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第3章 一元一次不等式 单元检测(A卷·夯实基础）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若a＜b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．a+5＜b+5 B．﹣5a＜﹣5b C．3a＞3b D．
2．（3分）语句“x的与x的和不小于2”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图所示，用不等式表示图中的解集正确的是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＜3 D．x＞3
4．（3分）不等式组中，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）如果x＞y，且（a﹣1）x＜（a﹣1）y，那么a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a≤1 C．a＞1 D．a＜1
6．（3分）某批电子产品的进价为200元/件，售价为350元/件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于5%，则该批电子产品最多可降价（ ）
A．120元 B．132.5元 C．140元 D．142.5元
7．（3分）文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有x名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围为（ ）
A．k≥﹣8 B．k＞﹣8 C．k≤﹣8 D．k＜﹣8
9．（3分）若关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜3，则n﹣m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
10．（3分）若关于x的不等式5x+m≥7x的正整数解是1、2、3、4．则m的取值范围为（ ）
A．m＜10 B．m≥8 C．8≤m≤10 D．8≤m＜10
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如果a＞b，那么a+3 b+3．
12．（4分）不等式的解集是 ．
13．（4分）一元一次不等式组的最大整数解是 ．
14．（4分）定义新运算：对于任意实数a、b都有a b＝a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：2 5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，那么不等式4 x＜13的解集为 ．
15．（4分）把一些笔记本分给几个学生如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每个学生分5本．那么最后一人就分不到3本．则共有笔记本为 ．
16．（4分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（8分）用不等式表示：
（1）x的与x的2倍的和是非正数；
（2）x与5的和的28%不大于﹣6；
（3）m除以4的商加上3最多为5；
（4）a与b两数和的平方不小于3．
18．（8分）小丁和小迪分别解方程1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
19．（8分）解方程或解不等式组
（1）．
（2）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
20．（8分）解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解．
．
21．（8分）嘉淇准备完成题目：解一元一次不等式组，发现常数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成5，请你解一元一次不等式组；
（2）张老师说：我做一下变式，若的解集是x＞﹣1．请求常数“□”的取值范围．
22．（8分）已知关于x，y的方程组的解x为负数，y为非正数，求k的取值范围．
23．（8分）阅读运用：
对x，y定义一种新运算，规定T（x，y）＝ax+2by﹣1（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，如：T（0，1）＝a 0+2b 1﹣1＝2b﹣1，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝3．
（1）求a，b的值；
（2）求T（3，﹣6）；
（3）若关于m的不等式组 恰有2个整数解，求实数P的取值范围．
24．（10分）为了更好治理流溪河水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：
A型 B型
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/月） 240 200
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
（1）求a，b的值．
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案．
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．中小学教育资源及组卷应用平台
第3章 一元一次不等式 单元检测(A卷·夯实基础）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若a＜b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．a+5＜b+5 B．﹣5a＜﹣5b C．3a＞3b D．
【思路点拔】根据不等式的性质：不等式左右两边都加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，即可做出判断．
【解答】解：A、∵a＜b，
∴a+5＜b+5，本选项符合题意；
B、∵a＜b，
∴﹣5a＞﹣5b，本选项不符合题意；
C、∵a＜b，
∴3a＜3b，本选项不符合题意；
D、∵a＜b，
∴，本选项不符合题意．
故选：A．
2．（3分）语句“x的与x的和不小于2”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据题意，将文字描述按运算法则表示成不等式即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
故选：D．
3．（3分）如图所示，用不等式表示图中的解集正确的是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＜3 D．x＞3
【思路点拔】不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【解答】解：本题可观察数轴向左画又是实心圆，因此是x≤3．
故选：B．
4．（3分）不等式组中，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式组，得：，
∴不等式组的解集为：﹣3≤x＜1，
在数轴上表示如图：
．
故选：B．
5．（3分）如果x＞y，且（a﹣1）x＜（a﹣1）y，那么a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a≤1 C．a＞1 D．a＜1
【思路点拔】根据题意可知不等式x＞y的两边同时乘以（a﹣1）后，不等号方向发生了改变，故a﹣1＜0，据此可得答案．
【解答】解：∵x＞y，且（a﹣1）x＜（a﹣1）y，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：D．
6．（3分）某批电子产品的进价为200元/件，售价为350元/件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于5%，则该批电子产品最多可降价（ ）
A．120元 B．132.5元 C．140元 D．142.5元
【思路点拔】设这批电子产品降价x元，根据题意得，求解即可得到答案．
【解答】解：设这批电子产品降价x元．
根据题意得，
，
解得x≤140，
所以，若要保证单件利润率不低于5%，则该批电子产品最多可降价140元．
故选：C．
7．（3分）文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有x名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】根据每人送4本，则还余9本，即本数比学生数的4倍多9，如果每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足2本，即最后一人的本书大于等于0且小于2，据此即可得到结论．
【解答】解：根据题意，得，
故选：A．
8．（3分）若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围为（ ）
A．k≥﹣8 B．k＞﹣8 C．k≤﹣8 D．k＜﹣8
【思路点拔】根据所给方程组，用k表示出x+y，再根据x与y的和不大于3建立关于k的不等式，据此可解决问题．
【解答】解：，
①﹣②得，
x+y＝﹣k﹣5，
因为x与y的和不大于3，
所以﹣k﹣5≤3，
解得k≥﹣8．
故选：A．
9．（3分）若关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜3，则n﹣m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
【思路点拔】先求出不等式组的解集，再根据已知不等式组的解集与所求不等式组解集比较即可求得m与n的值，从而求出n﹣m的值．
【解答】解：，
解不等式x+m＜0得：x＜﹣m；
解不等式2x﹣n＞2得：；
则不等式组的解集为：；
由于不等式组的解集为﹣2＜x＜3，
所以，
则m＝﹣3，n＝﹣6，
所以n﹣m＝﹣6﹣（﹣3）＝﹣3，
故选：A．
10．（3分）若关于x的不等式5x+m≥7x的正整数解是1、2、3、4．则m的取值范围为（ ）
A．m＜10 B．m≥8 C．8≤m≤10 D．8≤m＜10
【思路点拔】解5x+m≥7x得，再由题意可得，解这个不等式即可得出答案．
【解答】解：解5x+m≥7x得，
∵该不等式的正整数解为1、2、3、4，
∴，
解得8≤m＜10．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如果a＞b，那么a+3 ＞ b+3．
【思路点拔】根据不等式的性质“在不等式两边同时加上同一个数（式子）时，不等号的方向不变”，可得答案．
【解答】解：∵a＞b，
根据不等式的性质得：a+3＞b+3，
故答案为：＞．
12．（4分）不等式的解集是 x＞1 ．
【思路点拔】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：，
去分母：x﹣1＜3（2x﹣2），
去括号：x﹣1＜6x﹣6，
移项、合并同类项：﹣5x＜﹣5，
系数化为1：x＞1，
故答案为：x＞1．
13．（4分）一元一次不等式组的最大整数解是 2 ．
【思路点拔】求出不等式组的解集为﹣2≤x＜3，即可求出最大整数解．
【解答】解：解不等式2（x+3）﹣2≥0，得x≥﹣2
解不等式，得x＜3，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜3
∴不等式组的整数解有﹣2，﹣1，0，1，2，
∴不等式组的最大整数解为2．
故答案为：2．
14．（4分）定义新运算：对于任意实数a、b都有a b＝a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：2 5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，那么不等式4 x＜13的解集为 x＞1 ．
【思路点拔】根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解不等式可得．
【解答】解：根据题意，原不等式转化为：4（4﹣x）+1＜13，
去括号，得：16﹣4x+1＜13，
移项、合并同类项，得：﹣4x＜﹣4，
系数化为1，得：x＞1，
故答案为：x＞1．
15．（4分）把一些笔记本分给几个学生如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每个学生分5本．那么最后一人就分不到3本．则共有笔记本为 26本 ．
【思路点拔】首先设共有学生x人，则书有（3x+8）本，由关键语句“如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本”可得不等式0≤（3x+8）﹣5（x﹣1）＜3，解不等式，取整数解即可得答案．
【解答】解：设共有学生x人，则书有（3x+8）本，由题意得：
0≤（3x+8）﹣5（x﹣1）＜3，
解得：5＜x≤6，
∵x为正整数，
∴x＝6．
∴3x+8＝26（本）．
故答案为：26本．
16．（4分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 a≥2 ．
【思路点拔】先解的两个不等式，再根据求不等式组的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”即可得出关于a的不等式，解出a即可．
【解答】解：∵，
∴，
∵关于x的不等式组无解，
∴a≥2，
故答案为：a≥2．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（8分）用不等式表示：
（1）x的与x的2倍的和是非正数；
（2）x与5的和的28%不大于﹣6；
（3）m除以4的商加上3最多为5；
（4）a与b两数和的平方不小于3．
【思路点拔】（1）先表示出x的与x的2倍的和，再结合非正数为小于等于零的数即可列出不等式；
（2）先求和，再求其百分数，“不大于﹣6”即小于等于﹣6；
（3）首先表示m除以4的商，再加上3，小于等于5得出即可；
（4）首先表示a与b两数和，再平方，大于等于3．
【解答】解：根据题意，得
（1）x+2x≤0；
（2）x与5的和的28%不大于﹣6可以表示为：28%（x+5）≤﹣6；
（3）3≤5；
（4）（a+b）2≥3．
18．（8分）小丁和小迪分别解方程1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【思路点拔】根据解分式方程的步骤进行计算并判断即可．
【解答】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下：
1，
两边同乘（x﹣2），去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，
移项，合并同类项得：x＝1，
检验：将x＝1代入（x﹣2）中可得：1﹣2＝﹣1≠0，
则x＝1是分式方程的解，
故原分式方程的解是x＝1．
19．（8分）解方程或解不等式组
（1）．
（2）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【思路点拔】（1）按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）去分母，得24﹣3（3x﹣7）＝4（x+7），
去括号，得24﹣9x+21＝4x+28，
移项，合并同类项，得﹣13x＝﹣17，
系数化为1，得x；
（2）解不等式①，得x＜1；
解不等式②，得x≥﹣3．
在数轴上表示解集如图所示：
，
所以原不等式组的解集为﹣3≤x＜1．
20．（8分）解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解．
．
【思路点拔】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集求出即可．
【解答】解：，
解不等式①得x＞﹣1；
解不等式②得x≤2；
∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
∴原不等式组的所有非负整数解为0，1，2．
21．（8分）嘉淇准备完成题目：解一元一次不等式组，发现常数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成5，请你解一元一次不等式组；
（2）张老师说：我做一下变式，若的解集是x＞﹣1．请求常数“□”的取值范围．
【思路点拔】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）设“□”为a，则不等式x+3＞2的解集为x＞﹣1，再由不等式x﹣a＞﹣3的解集为x＞a﹣3，结合不等式组的解集为x＞﹣1可得关于a的不等式，解之即可．
【解答】解：（1），
解不等式①得，x＞﹣1，
解不等式②得，x＞2，
∴不等式组的解集为x＞2；
（2）设“□”为a，则不等式x+3＞2的解集为x＞﹣1，
不等式x﹣a＞﹣3的解集为x＞a﹣3，
∵不等式组的解集为x＞﹣1，
∴a﹣3≤﹣1，
即a≤2，
∴常数“□”的取值范围小于等于2．
22．（8分）已知关于x，y的方程组的解x为负数，y为非正数，求k的取值范围．
【思路点拔】用k表示出x、y的值，根据x为负数，y为非正数列出关于x、y的不等式组，求出k的取值范围即可．
【解答】解：，
①+②得：2x＝2k﹣6，即x＝k﹣3，
①﹣②得：2y＝﹣8﹣4k，即y＝﹣4﹣2k，
由题意得：，
解得：﹣2≤k＜3．
23．（8分）阅读运用：
对x，y定义一种新运算，规定T（x，y）＝ax+2by﹣1（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，如：T（0，1）＝a 0+2b 1﹣1＝2b﹣1，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝3．
（1）求a，b的值；
（2）求T（3，﹣6）；
（3）若关于m的不等式组 恰有2个整数解，求实数P的取值范围．
【思路点拔】（1）根据定义的新运算T，列出二元一次方程组，解方程组求出a，b的值；
（2）根据新定义计算即可；
（3）根据（1）求出的a，b的值和新运算列出方程组求出m的取值范围，根据题意列出不等式，解不等式求出实数p的取值范围．
【解答】解：（1）∵T（x，y）＝ax+2by﹣1，T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝3．
∴，
解得；
（2）由（1），得T（x，y）xy﹣1，
∴T（3，﹣6）3（﹣6）﹣1＝1﹣8﹣1＝﹣8；
（3）解不等式组 ，得m，
因为原不等式组有2个整数解，
所以23，
解得﹣4≤p．
24．（10分）为了更好治理流溪河水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：
A型 B型
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/月） 240 200
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
（1）求a，b的值．
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案．
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
【思路点拔】（1）根据“购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元”即可列出方程组，继而进行求解；
（2）可设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10﹣x）台，则有12x+10（10﹣x）≤105，解之确定x的值，即可确定方案；
（3）因为每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，所以有240x+200（10﹣x）≥2040，解之即可由x的值确定方案，然后进行比较，作出选择．
【解答】解：（1）根据题意得：，
∴；
（2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10﹣x）台，
则：12x+10（10﹣x）≤105，
∴x≤2.5，
∵x取非负整数，
∴x＝0，1，2，
∴有三种购买方案：
①A型设备0台，B型设备10台；
②A型设备1台，B型设备9台；
③A型设备2台，B型设备8台．
（3）由题意：240x+200（10﹣x）≥2040，
∴x≥1，
又∵x≤2.5，x取非负整数，
∴x为1，2．
当x＝1时，购买资金为：12×1+10×9＝102（万元），
当x＝2时，购买资金为：12×2+10×8＝104（万元），
∴为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台．
