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第3章 一元一次不等式 单元检测(B卷·能力提升)
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列式子：x﹣1≥1；2x+2；﹣2＜0；；x+2y≤0．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（3分）如果关于x的方程（m﹣5）x|m|﹣4﹣1＝16是一元一次方程，则不等式m（1﹣x）＜10的解集为（ ）
A．x＜3 B．x＞3 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3
3．（3分）将不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）下列判断正确的个数（ ）
①若，则x＝y；
②若ac＝bc，则a＝b；
③若a＞b，则c﹣a＜c﹣b
④若xz2＞yz2，则x＞y
⑤若x＜y，则xz2＜yz2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）水果店以7元/kg的价格进了某种水果1吨，以11元/kg的价格销售了一半以后，为尽快销完，准备打折出售，如果要使总利润不低于3000元，那么余下的水果可打折出售（ ）
A．7.5 B．7.8 C．8 D．8.2
6．（3分）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A．10＜x＜12 B．12＜x＜15 C．10＜x＜15 D．11＜x＜14
7．（3分）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＜3 C．m＜2且3m≠1 D．m＜3且m≠2
8．（3分）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）若关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜3，则n﹣m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
10．（3分）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足x+4y≤3，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（ ）
A．12 B．6 C．﹣10 D．﹣14
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如果关于x的不等式（1+m）x＞3的解集为，则m的取值范围是 ．
12．（4分）不等式组的正整数解是 ．
13．（4分）如图，在数轴上点M，N分别表示数1，﹣3x+2，则x的取值范围是 ．
14．（4分）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
15．（4分）关于x的不等式组，不等式②的解集如图所示，则该不等式组的解集为 ．
16．（4分）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（8分）解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
18．（8分）解不等式组：并写出它的所有整数解．
．
19．（8分）下面是李希同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
解：由不等式①，得3x﹣x+2≥6…．第一步
解得x≥2…．第二步
由不等式②，得3x+3＞4x﹣1…．第三步
移项，得3x﹣4x＞﹣4…．第四步
解得x＞4…．第五步
所以，原不等式组的解集是x＞4…．第六步
任务一：（1）小明的解答过程中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
任务二：（2）直接写出这个不等式组正确的解集是 ．
20．（8分）如图，在数轴上，点A，B分别表示数﹣1，2x﹣3．
（1）x的取值范围是 ．
（2）若点C表示的数为﹣x+1，且点C在线段AB上，求x的取值范围．
21．（8分）已知关于a，b的二元一次方程组，（k为常数），a，b满足3a﹣b＞4．
（1）求k的取值范围；
（2）（ⅰ）若该方程组的解a，b均为正数，求k的取值范围；
（ⅱ）若该方程组的解a，b均为正整数，且k≤12，求k的值．
22．（8分）阅读材料：对于（x﹣1）（x﹣3）＞0，这类不等式，我们可以进行下面的解题思路分析：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得（1）或（2）从而将未知的一元二次不等式转化为学过的一元一次不等式组，分别解这两个不等式组，即可求得原不等式的解集，即：解不等式组（1）得x＞3，解不等式组（2）得x＜1，所以（x﹣1）（x﹣3）＞0的解集为x＞3或x＜1．
请根据以上材料回答下面问题：
（1）直接写出（x﹣2）（x﹣5）＜0的解集；
（2）仿照上述材料，求0的解集．
23．（8分）阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．
例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3，那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1．
例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．
请你解决下列问题：
（1）[4.8]＝ ，[﹣6.5]＝ ；
（2）如果[x]＝5，那么x的取值范围是 ；
（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，求x的值．
24．（10分）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？中小学教育资源及组卷应用平台
第3章 一元一次不等式 单元检测(B卷·能力提升)
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列式子：x﹣1≥1；2x+2；﹣2＜0；；x+2y≤0．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拔】根据不等式的定义逐个判断即可得到答案．
【解答】解：不等式有x﹣1≥1；﹣2＜0；x+2y≤0，
故选：B．
2．（3分）如果关于x的方程（m﹣5）x|m|﹣4﹣1＝16是一元一次方程，则不等式m（1﹣x）＜10的解集为（ ）
A．x＜3 B．x＞3 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3
【思路点拔】根据一元一次方程的定义即可求得m＝﹣5，然后解一元一次不等式即可．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣5）x|m|﹣4﹣1＝16是一元一次方程，
∴m﹣5≠0且|m|﹣4＝1，
解得m＝﹣5，
∴﹣5（1﹣x）＜10，
解得x＜3，
故选：A．
3．（3分）将不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】先求出不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集，即可．
【解答】解：，得：，
∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，
数轴表示如图：
；
故选：A．
4．（3分）下列判断正确的个数（ ）
①若，则x＝y；
②若ac＝bc，则a＝b；
③若a＞b，则c﹣a＜c﹣b
④若xz2＞yz2，则x＞y
⑤若x＜y，则xz2＜yz2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：①若，则x＝y，①符合题意；
②若ac＝bc，则a＝b不一定成立，例如c＝0时，有可能a＝b，也有可能a＞b或a＜b，②不符合题意；
③若a＞b，则﹣a＜﹣b，则c﹣a＜c﹣b，③符合题意；
④若xz2＞yz2，则x＞y，④符合题意；
⑤若x＜y，则xz2＜yz2不一定成立，例如若x＜y，z＝0时，则xz2＝yz2，⑤不符合题意．
综上，可得正确的个数有3个：①③④．
故选：C．
5．（3分）水果店以7元/kg的价格进了某种水果1吨，以11元/kg的价格销售了一半以后，为尽快销完，准备打折出售，如果要使总利润不低于3000元，那么余下的水果可打折出售（ ）
A．7.5 B．7.8 C．8 D．8.2
【思路点拔】设未知数，找出相等关系，由题意得出相等关系是：500×4+500×（11 x×0.1﹣7）大于等于3000，列出不等式求解．
【解答】解：设余下的水果应按原售价打x折出售，
根据题意得1000÷2×（11﹣7）+1000÷2×（11x×0.1﹣7）≥3000，
解得：x≥8.2．
答：余下的水果可以按原定价的8.2折出售．
故选：D．
6．（3分）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A．10＜x＜12 B．12＜x＜15 C．10＜x＜15 D．11＜x＜14
【思路点拔】根据题意得出不等式组解答即可．
【解答】解：根据题意可得：，
可得无解，
∵三个人都说错了，
∴12＜x＜15
故选：B．
7．（3分）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＜3 C．m＜2且3m≠1 D．m＜3且m≠2
【思路点拔】先银分式方程求得解为x＝m﹣3，再根据方程银为负数和分式有意义条件列不等式求解即可．
【解答】解：，m﹣2＝x+1，x＝m﹣3，
∵原方程解为负数，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3，
∵x+1≠0，
∴m﹣3+1≠0，
∴m≠2，
∴m＜3且m≠2，
故选：D．
8．（3分）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】设购买篮球x个，则购买排球（30﹣x）个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组．
【解答】解：设购买篮球x个，则购买排球（30﹣x）个，
由题意得，
故选：C．
9．（3分）若关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜3，则n﹣m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
【思路点拔】先求出不等式组的解集，再根据已知不等式组的解集与所求不等式组解集比较即可求得m与n的值，从而求出n﹣m的值．
【解答】解：，
解不等式x+m＜0得：x＜﹣m；
解不等式2x﹣n＞2得：；
则不等式组的解集为：；
由于不等式组的解集为﹣2＜x＜3，
所以，
则m＝﹣3，n＝﹣6，
所以n﹣m＝﹣6﹣（﹣3）＝﹣3，
故选：A．
10．（3分）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足x+4y≤3，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（ ）
A．12 B．6 C．﹣10 D．﹣14
【思路点拔】由方程组得x，y，由x+4y≤3，得到关于m的不等式，解不等式得到m≤﹣2，再解不等式组求得每个不等式的解集，根据不等式组只有3个整数解得出﹣10，从而确定m的取值范围，继而得出答案．
【解答】解：，
①+②×2，得：5x＝6m+3，
解得x，
①﹣②×3，得：5y＝m+8，
解得y，
∵x+4y≤3，
∴3，
解得m≤﹣2，
解不等式5x﹣m＞0，得：x，
解不等式x﹣4＜﹣1，得：x＜3，
∵不等式组只有3个整数解，
∴﹣10，
解得﹣5≤m＜0，
∴﹣5≤m≤﹣2，
∴符合条件的整数m的值的和为﹣5﹣4﹣3﹣2＝﹣14，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如果关于x的不等式（1+m）x＞3的解集为，则m的取值范围是 m＜﹣1 ．
【思路点拔】由题意得出1+m＜0，则可得出答案．
【解答】解：∵不等式（1+m）x＞3的解集为，
∴1+m＜0，
解得m＜﹣1，
故答案为：m＜﹣1．
12．（4分）不等式组的正整数解是 1 ．
【思路点拔】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．
【解答】解：，
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x＜2，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜2．
∴不等式组的正整数解为：1．
故答案为：1．
13．（4分）如图，在数轴上点M，N分别表示数1，﹣3x+2，则x的取值范围是 x ．
【思路点拔】根据题意可得：﹣3x+2＞1，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：﹣3x+2＞1，
﹣3x＞1﹣2，
﹣3x＞﹣1，
x，
故答案为：x．
14．（4分）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 a＞3 ．
【思路点拔】先对不等式进行求解，再根据不等式组无解，得a＞3．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥a
解不等式②，得x≤3，
∵该不等式组无解，
∴a＞3，
故答案为：a＞3．
15．（4分）关于x的不等式组，不等式②的解集如图所示，则该不等式组的解集为 x＞2 ．
【思路点拔】根据数轴可得a的正负情况，从而求得不等式组的解集．
【解答】解：由题意得：﹣1＜a＜0．
解不等式①，得x＞2；
解不等式②，得x＞a．
∴不等式组的解集为：x＞2．
故答案为：x＞2．
16．（4分）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 2＜x≤4 ．
【思路点拔】根据第二次运算结果不大于28，且第三次运算结果要大于28，列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：依题意得：，
解得：2＜x≤4，
故答案为：2＜x≤4．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（8分）解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
【思路点拔】（1）根据去分母，去括号，移项等过程求解不等式，在数轴上表示解集即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1），
2（2x﹣1）﹣3（5x+1）＞6，
4x﹣2﹣15x﹣3＞6，
﹣11x＞11，
x＜﹣1，
将解集表示在数轴上．如图所示：
（2），
解不等式①得：x≥7，
解不等式②得：x＜2，
将解集表示在数轴上，如图所示：
∴不等式组无解．
18．（8分）解不等式组：并写出它的所有整数解．
．
【思路点拔】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】解：解不等式2（x+3）﹣4≥0，得：x≥﹣1，
解不等式x﹣1，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
所以不等式组的整数解为﹣1，0、1．
19．（8分）下面是李希同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
解：由不等式①，得3x﹣x+2≥6…．第一步
解得x≥2…．第二步
由不等式②，得3x+3＞4x﹣1…．第三步
移项，得3x﹣4x＞﹣4…．第四步
解得x＞4…．第五步
所以，原不等式组的解集是x＞4…．第六步
任务一：（1）小明的解答过程中，第 五 步开始出现错误，错误的原因是 系数化为1 ；
任务二：（2）直接写出这个不等式组正确的解集是 2≤x＜4 ．
【思路点拔】任务一：根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1判断即可；
任务二：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：任务一：（1）小明的解答过程中，第五步开始出现错误，错误的原因是系数化为1错误，
故答案为：五，系数化为1；
任务二：（2）
由不等式①，得3x﹣x+2≥6，
解得x≥2，
由不等式②，得3x+3＞4x﹣1，
移项，得3x﹣4x＞﹣4，
解得x＜4，
所以，原不等式组的解集是2≤x＜4，
故答案为：2≤x＜4．
20．（8分）如图，在数轴上，点A，B分别表示数﹣1，2x﹣3．
（1）x的取值范围是 x＞1 ．
（2）若点C表示的数为﹣x+1，且点C在线段AB上，求x的取值范围．
【思路点拔】（1）根据点B在点A的右侧，据此列出不等式求解即可；
（2）利用（1）的结果可判断﹣x+1的位置，并列出不等式组求解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：﹣1＜2x﹣3，
解得x＞1，
故答案为：x＞1；
（2）∵C表示的数为﹣x+1，且点C在线段AB上，
∴﹣1＜﹣x+1＜2x﹣3，
解得：．
21．（8分）已知关于a，b的二元一次方程组，（k为常数），a，b满足3a﹣b＞4．
（1）求k的取值范围；
（2）（ⅰ）若该方程组的解a，b均为正数，求k的取值范围；
（ⅱ）若该方程组的解a，b均为正整数，且k≤12，求k的值．
【思路点拔】（1）由方程组两式相加得出3a﹣b＝k+3，结合3a﹣b＞4得出k+3＞4，解不等式即可；
（2）（ⅰ）采用加减消元法解得，，从而得出不等式组，解不等式组即可得解；（ⅱ）由（ⅰ）可知k＞6，，，结合该方程组的解a，b均为正整数，即可得解．
【解答】解：（1），
由①+②，得3a﹣b＝k+3．
∵该方程组的解a，b满足3a﹣b＞4，
∴k+3＞4，
解得k＞1；
（2）（ⅰ）解关于a，b的方程组
由①×2+②，得5a＝2k+3．
由①﹣②×2，得5b＝k﹣6．
解得，．
∵该方程组的解a，b均为正数，
∴，
解得k＞6．
∴k的取值范围为k＞6；
（ⅱ）由（ⅰ）可知k＞6，，．
∵k≤12，
∴6＜k≤12．
∵该方程组的解a，b均为正整数，
∴k＝11．
22．（8分）阅读材料：对于（x﹣1）（x﹣3）＞0，这类不等式，我们可以进行下面的解题思路分析：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得（1）或（2）从而将未知的一元二次不等式转化为学过的一元一次不等式组，分别解这两个不等式组，即可求得原不等式的解集，即：解不等式组（1）得x＞3，解不等式组（2）得x＜1，所以（x﹣1）（x﹣3）＞0的解集为x＞3或x＜1．
请根据以上材料回答下面问题：
（1）直接写出（x﹣2）（x﹣5）＜0的解集；
（2）仿照上述材料，求0的解集．
【思路点拔】（1）将不等式转换为两个不等式组①或②，分别求解；
（2）先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式．
【解答】解：（1）根据实数的乘法法则：同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数，因此，原不等式可转化为：
①或②，
解①得：2＜x＜5，
解②得：无解，
所以原不等式的解集是：2＜x＜5；
（2）根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：
①或②，
解①得：x＞3，
解②得：x＜﹣2．
所以原不等式的解集是：x＞3或x＜﹣2．
23．（8分）阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．
例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3，那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1．
例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．
请你解决下列问题：
（1）[4.8]＝ 4 ，[﹣6.5]＝ ﹣7 ；
（2）如果[x]＝5，那么x的取值范围是 5≤x＜6 ；
（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，求x的值．
【思路点拔】（1）根据新定义直接计算即可得到答案；
（2）根据新定义直接求解即可得到答案；
（3）根据新定义列不等式直接求解即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得，
[4.8]＝4，[﹣6.5]＝﹣7，
故答案为：4，﹣7；
（2）∵[x]＝5，
∴5≤x＜6，
故答案为：5≤x＜6；
（3）∵[5x﹣2]＝3x+1，
∴3x+1≤5x﹣2＜3x+2，
解得：，
∵3x+1是整数，
∴；
24．（10分）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
【思路点拔】（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是（x﹣40）元，根据买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，列出一元一次方程，求解即可；
（2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”（120﹣m）套，根据总费用不超过8500元，购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，列出一元一次不等式组，求解得m可以取88，89，分别求出每种方案得费用比较即可．
【解答】解：（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是（x﹣40）元，
由题意得：5x+10（x﹣40）＝1100，
解得：x＝100，
∴x﹣40＝60．
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；
（2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”（120﹣m）套，
由题意得：，
解得：87.5≤m＜90，
又∵m为正整数，
∴m可以取88，89；
∴共有2种购买方案：
①购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”；
②购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”；
∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，
∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，
∴最低费用是31×100+60×89＝8440（元）．
