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第4章 《相似三角形》单元测试（A卷·基础）
（考试时间：120分钟；满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各组中的四条线段是比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，20cm，40cm B．1cm，2cm，3cm，4cm
C．3cm，4cm，6cm，9cm D．5cm，10cm，15cm，20cm
2．（3分）如图，已知l1∥l2∥l3，AB＝6，AC＝15，DE＝5，EF的长为（ ）
A．7.5 B．10 C．4.5 D．6.5
3．（3分）下列四个三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），AB＝10cm，则BC的长为（ ）cm．
A． B． C． D．
5．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心．若OA＝2AD，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
6．（3分）已知△ABC的三边都不相等，如果△ABC与△DEF相似，且∠B＝∠D，那么下列等式一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在5×3的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，点A，B，C，D都在格点上，线段AB与CD相交于点E，则AE：BE等于（ ）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：1
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝4，BD＝2，则CD的长为（ ）
A． B．3 C．2.5 D．
9．（3分）如图是一张竖格书法纸，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的A，B，C三点都在竖格线上．若线段AB＝3cm，则线段BC的长为（ ）
A．6cm B．6.5cm C．7.5cm D．10.5cm
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，E、F分别是AC、BC边上的点，且，下列说法中①△ADC∽△CDB；②CE DF＝DE BF；③当n＝2时，EF＝CD；④∠EDF＝90°，其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知线段a＝4厘米，b＝9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于 厘米．
12．（3分） ．
13．（3分）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 cm．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 ．
15．（3分）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为（3，2），连接AC，与y轴相交于点D，点E在x轴上，如果△ABD和△ACE相似，则点E的坐标为 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的角平分线DE交BC于点E，EF⊥AE，交CD于点F，以AE，EF为边，作矩形AEFG，FG与DA相交于点H．若CE＝3，AH＝5，则AG＝ ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且．
（1）求的值；
（2）若△ABC的周长为60，求各边的长．
18．（6分）如图，E是正方形ABCD的边AB上的点，过点E作EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）若AB＝6，AE＝2，求线段CF的长．
19．（8分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如果AC＝14，BC＝8，DE＝9，求EF的长；
（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝7，BE＝11，求CF的长．
20．（8分）如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，请将经过的格点描重一点，不需证明）
（1）如图1，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似；
（2）如图2，在AB上找点Q，使BQ＝3，并求此时CQ的长为 ．
21．（10分）已知：如图，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，且AD2＝AF AB．
求证：（1）；
（2）△AEF∽△ACD．
22．（10分）期《黑神话：悟空》正式在全球上线，游戏中选取了27处山西极具代表性的古建筑为场景，飞虹塔就是其中之一．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．
主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图
侧量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝4米 步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得 PF＝6米，FD＝28米．（以上数据均为近似值）
根据表格伯息，求飞虹塔的大致高度AB．
23．（12分）如图，△ABC中，BC边上的中线AE与∠ABC的平分线BD交于F点，AD＝AF．
（1）求证：△ABF∽△CBD；
（2）求证：CD＝2EF；
（3）若，求BF．
24．（12分）如图，矩形ABCD中，AD＞AB，点P是对角线AC上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作EF⊥AC分别交射线AB、射线AD于点E、F．
（1）求证：△AEF∽△BCA；
（2）若BP＝AB，F为AD中点，求的值；
（3）若EP：PF＝4：1，且△ABP与△PCD相似，则 ．中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 《相似三角形》单元测试（A卷·基础）
（考试时间：120分钟；满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各组中的四条线段是比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，20cm，40cm B．1cm，2cm，3cm，4cm
C．3cm，4cm，6cm，9cm D．5cm，10cm，15cm，20cm
【思路点拔】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A.1×40＝20×2，故本选项正确；
B.1×4≠2×3，故本选项错误；
C.3×9≠4×6，故本选项错误；
D.5×20≠10×15，故本选项错误；
故选：A．
2．（3分）如图，已知l1∥l2∥l3，AB＝6，AC＝15，DE＝5，EF的长为（ ）
A．7.5 B．10 C．4.5 D．6.5
【思路点拔】先由l1∥l2∥l3，运用平行线分线段成比例可得，再由AB＝6，AC＝15，DE＝5可得DF＝12.5，进而求解即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴．
∵AB＝6，AC＝15，DE＝5，
∴DF12.5，
∴EF＝DF﹣DE＝7.5．
故选：A．
3．（3分）下列四个三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】通过勾股定理算出已知图形三条边的长度，然后算出三边之比，再逐一算出选项的三边之比是否和题干图形的比一样，再进行判断即可．
【解答】解：通过勾股定理可得到已经图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为
A、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意；
B、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比一样，故两个三角形相似，故符合题意；
C、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，3，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意；
D、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意；
故选：B．
4．（3分）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），AB＝10cm，则BC的长为（ ）cm．
A． B． C． D．
【思路点拔】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），AB＝10cm，
∴BCAB10＝（55）cm，
∴BC的长为（55）cm，
故选：A．
5．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心．若OA＝2AD，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【思路点拔】结合题意可得△ABC与△DEF的位似比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为2：3，进而可得答案．
【解答】解：∵OA＝2AD，
∴OA：OD＝2：3．
∵△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，
∴△ABC与△DEF的位似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：3．
∵△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长为6．
故选：A．
6．（3分）已知△ABC的三边都不相等，如果△ABC与△DEF相似，且∠B＝∠D，那么下列等式一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，且∠B＝∠D，
∴△ABC∽△EDF或△ABC∽△FDE，
当△ABC∽△EDF时，
，，故A、D正确，不符合题意；
当△ABC∽△FDE时，
，故B正确，不符合题意；
两组相似三角形中BC，EF均不是对应边，故C一定不成立．
故选：C．
7．（3分）如图，在5×3的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，点A，B，C，D都在格点上，线段AB与CD相交于点E，则AE：BE等于（ ）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：1
【思路点拔】根据AC∥BD，可以得到△AEC∽△BED，然后即可得到2：1，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
AC∥BD，
∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，
∴△AEC∽△BED，
∴2：1，
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝4，BD＝2，则CD的长为（ ）
A． B．3 C．2.5 D．
【思路点拔】证明△ADC∽△CDB，得出，代入已知条件即可求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，即∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴，
∵AD＝4，BD＝2，
∴
∴（负值舍去），
故选：D．
9．（3分）如图是一张竖格书法纸，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的A，B，C三点都在竖格线上．若线段AB＝3cm，则线段BC的长为（ ）
A．6cm B．6.5cm C．7.5cm D．10.5cm
【思路点拔】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，
∵纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，
∴，
即，
∴BC＝7.5．
故选：C．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，E、F分别是AC、BC边上的点，且，下列说法中①△ADC∽△CDB；②CE DF＝DE BF；③当n＝2时，EF＝CD；④∠EDF＝90°，其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】由余角的性质可得∠ACD＝∠B，可证△ADC∽△CDB，故①正确；通过证明△CDE∽△BDF，可得，即CE DF＝DE BF，故②正确；由余角的性质可证∠CDE+∠CDF＝90°＝∠EDF，故④正确；即可求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△CDB，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵∠ACD＝∠B，
∴△CDE∽△BDF，
∴，∠BDF＝∠CDE，
∴CE DF＝DE BF，故②正确；
∵∠BDF+∠CDF＝∠BDC＝90°，
∴∠CDE+∠CDF＝90°＝∠EDF，故④正确；
当n＝2时，则2，
∴AC＝2CE，BC＝2BF，
∴点E是AC的中点，点F是BC的中点，
∴EFAB，
当AC＝BC时，∵CD⊥AB，
∴CDAB，故③错误，
故选C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知线段a＝4厘米，b＝9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于 6 厘米．
【思路点拔】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
所以c2＝4×9，解得c＝±6（线段是正数，负值舍去），
∴c＝6cm，
故答案为：6．
12．（3分） ．
【思路点拔】依据比例基本性质中的等比性质，即可得到分式的值．
【解答】解：∵，
∴由等比性质可得，
故答案为：．
13．（3分）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 20 cm．
【思路点拔】利用已知得出：△ABO∽△A′B′O，进而利用相似三角形的性质求出即可．
【解答】解：设小孔O到A′B′的距离为x cm，
由题意可得：△ABO∽△A′B′O，
则，
解得：x＝20．
故答案为：20．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 ．
【思路点拔】连接DE．首先证明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△AEFS△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题．
【解答】解：连接DE．
∵CD＝2BD，CE＝2AE，
∴2，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴S△ABE＝S△ABD，
∴S△AEF＝S△BDF，
∴S△AEFS△ABD，
∵BDBC，
∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值4，
∴△AEF的面积的最大值，
故答案为：
15．（3分）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为（3，2），连接AC，与y轴相交于点D，点E在x轴上，如果△ABD和△ACE相似，则点E的坐标为 （2，0）或 ．
【思路点拔】先由一次函数的性质得A（﹣1，0），B（0，2）；勾股定理得，，再设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），运用待定系数法解出直线AC的解析式为，易得∠ADB＞90°，∠CAE2＜90°，运用相似三角形的性质，得∠ADB＝∠CE1A或∠ADB＝∠ACE2，所以进行分类讨论，依据三边成比例列式计算，即可作答．
【解答】解：当x＝0时，则y＝2x+2＝2；
当y＝0时，则2x+2＝0，解得x＝﹣1；
∴A点的坐标为（﹣1，0），B点的坐标为（0，2）；
∴，
∵点C的坐标为（3，2），
∴，
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵点A，C在直线y＝2x+2上，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为；
∵连接AC，与y轴相交于点D，
∵当x＝0时，则，
∴，
∴，，
∵点E在x轴上，
∴设E（m，0）
∵∠ADB＞90°，∠CAE2＜90°，△ABD和△ACE相似，
∴∠ADB＝∠CE1A或∠ADB＝∠ACE2，
①当△ADB∽△CE1A时，，
则，
解得m＝2，
∴E1（2，0），
②当△ADB∽△AE1C时，，
则，
此时m无解；
③当△ADB∽△E2CA时，，
则，
此时；
④当△ADB∽△ACE2时，，
则，
此时m无解；
综上：点E的坐标是（2，0）或，
故答案为：（2，0）或．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的角平分线DE交BC于点E，EF⊥AE，交CD于点F，以AE，EF为边，作矩形AEFG，FG与DA相交于点H．若CE＝3，AH＝5，则AG＝ ．
【思路点拔】首先证明Rt△ECF≌Rt△ABE（ASA），推导出AE＝EF，结合矩形AEFG，推导出四边形AEFG为正方形，然后利用∠GAH＝∠FEC，∠G＝∠C，推导出△GAH∽△CEF，，进而得到AG EF＝AH CE，代入数据得到AE2＝5×3＝15，进而解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，CD＝AB，∠B＝∠C＝90°，
∴∠AEB+∠EAB＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠EAB＝∠CEF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE∠ADC＝45°，
在Rt△CDE中，CE＝CD＝AB，
在Rt△ECF和Rt△ABE中，
，
∴Rt△ECF≌Rt△ABE（ASA），
∴AE＝EF，
在矩形AEFG中，AG＝EF＝AE，
∴四边形AEFG为正方形，
∴∠G＝90°，
∴AG∥EF，
∴∠GAH＝∠FEC，
又∵∠G＝∠C，
∴△GAH∽△CEF，
∴，
∴AG EF＝AH CE，
∴AE2＝5×3＝15，
∴AG＝AE，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且．
（1）求的值；
（2）若△ABC的周长为60，求各边的长．
【思路点拔】（1）设k，易得a＝5k，b＝4k，c＝6k，然后把它们分别代入中，再进行分式的运算即可；
（2）根据三角形周长定义得到5k+4k+6k＝60，解关于k的方程求出k，然后计算5k、4k和6k即可．
【解答】解：（1）设k，则a＝5k，b＝4k，c＝6k，
所以；
（2）5k+4k+6k＝60，
解得k＝4，
所以a＝20，b＝16，c＝24．
18．（6分）如图，E是正方形ABCD的边AB上的点，过点E作EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）若AB＝6，AE＝2，求线段CF的长．
【思路点拔】（1）根据正方形ABCD得到∠A＝∠B＝90°，从而得到∠ADE+∠AED＝90°，结合EF⊥DE可得∠BEF+∠AED＝90°，即可得到∠ADE＝∠BEF，即可得到证明；
（2）根据△ADE∽△BEF可得，结合AB＝6，AE＝2与正方形性质即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∵EF⊥DE，
∴∠BEF+∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠BEF，
∴△ADE∽△BEF；
（2）解：∵△ADE∽△BEF，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，AE＝2，
∴，
∴，
∴．
19．（8分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如果AC＝14，BC＝8，DE＝9，求EF的长；
（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝7，BE＝11，求CF的长．
【思路点拔】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算即可；
（2）连接AF，交BE于H，先证明△FEH∽△FDA，根据相似三角形的性质求出HE，进而求出BH，证明△ABH∽△ACF，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AC＝14，BC＝8，DE＝9，
∴，
解得：EF＝12；
（2）连接AF，交BE于H，
∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AD∥BE，
∴△FEH∽△FDA，
∴，即，
解得：HE，
∴BH＝BE﹣HE，
∵BE∥CF，
∴△ABH∽△ACF，
∴，即，
解得：CF＝17．
20．（8分）如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，请将经过的格点描重一点，不需证明）
（1）如图1，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似；
（2）如图2，在AB上找点Q，使BQ＝3，并求此时CQ的长为 ．
【思路点拔】（1）过P点且平行于BC的格线与AB的交点为Q点；或取格点D，则PD垂直AB，则PD与AB的交点为Q点；
（2）取格点E，延长连接BE和AC的分点可把AB5等份，从而得到3等份，从而得到BQ＝3，过Q点作QH⊥CB于H，如图，由于QH∥AC，利用平行线分线段成比例定理得到，即，则可求出QH、BH，然后利用勾股定理计算CQ．
【解答】解：（1）如图1，点Q1、点Q2为所作；
（2）如图2，点Q为所作，
过Q点作QH⊥CB于H，如图，
∵BC＝3，AC＝4，
∴AB5，
∵QH∥AC，
∴，即，
∴QH，BH，
∴CH＝3，
在Rt△CHQ中，CQ．
故答案为：．
21．（10分）已知：如图，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，且AD2＝AF AB．
求证：（1）；
（2）△AEF∽△ACD．
【思路点拔】（1）利用已知可得DE∥BC，然后利用平行线分线段成比例证明即可；
（2）利用两边成比例且夹角相等来证明△AEF∽△ACD即可．
【解答】证明：（1）∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴；
（2）∵AD2＝AF AB，
∴，
由（1）得：，
∴．
∵∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ACD．
22．（10分）期《黑神话：悟空》正式在全球上线，游戏中选取了27处山西极具代表性的古建筑为场景，飞虹塔就是其中之一．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．
主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图
侧量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝4米 步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得 PF＝6米，FD＝28米．（以上数据均为近似值）
根据表格伯息，求飞虹塔的大致高度AB．
【思路点拔】判定△QCD∽△QAB，PEF∽△PAB，推出CD：AB＝QD：QB，EF：AB＝PF：PB，得到QD：QB＝PF：PB，因此4：（4+BD）＝6：（6+28+BD），求出BD＝56米，得到3：AB＝4：（4+56），即可求出AB＝45米．
【解答】解：∵CD⊥PB，AB⊥PB，
∴CD∥AB，
∴△QCD∽△QAB，
同理：PEF∽△PAB，
∴CD：AB＝QD：QB，EF：AB＝PF：PB，
∵EF＝CD，
∴QD：QB＝PF：PB，
∵QD＝4米，PF＝6米，FD＝28米，
∴4：（4+BD）＝6：（6+28+BD），
∴BD＝56米，
∴3：AB＝4：（4+56），
∴AB＝45米，
∴飞虹塔的大致高度是45米．
23．（12分）如图，△ABC中，BC边上的中线AE与∠ABC的平分线BD交于F点，AD＝AF．
（1）求证：△ABF∽△CBD；
（2）求证：CD＝2EF；
（3）若，求BF．
【思路点拔】（1）根据等边对等角得到∠ADF＝∠AFD，进而得到∠ABF＝∠CDB，由BD是∠ABC的平分线，得到∠ABF＝∠CBD，即可证明△ABF∽△CBD；
（2）取CD中点G，连接EG，利用三角形中位线的性质，易证△ADF∽△AGE，得到，进而的得到，即可证明；
（3）同理（2）取CD中点G，连接EG，证明△CEG∽△CBD，设EG＝x，则BD＝2x，求出BF＝2x﹣2，由△ADF∽△AGE，得到，根据△ABF∽△CBD，由相似的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
∴∠ABF＝∠CDB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠CBD，
∴△ABF∽△CBD；
（2）证明：取CD中点G，连接EG，如图，
∵AE是BC边上的中线，即点E为BC的中点，
∴EG是△CBD的中位线，
∴EG∥BD，
∴△ADF∽△AGE，
∴，
∵AD＝AF，
∴AG＝AE，
∴EF＝DG，
∵，
∴，
∴CD＝2EF；
（3）解：如（2）中图，可知EG∥BD，
∵△CEG∽△CBD，
∴，
∵点G是CD的中点，点E为BC的中点，
∴，
设EG＝x，则BD＝2x，
∵DF＝2，
∴BF＝2x﹣2，
∵△ADF∽△AGE，
∴，
∴
∴，即，
∴，
∵DG＝CG，
∴，
解得：，
∴，
∴．
24．（12分）如图，矩形ABCD中，AD＞AB，点P是对角线AC上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作EF⊥AC分别交射线AB、射线AD于点E、F．
（1）求证：△AEF∽△BCA；
（2）若BP＝AB，F为AD中点，求的值；
（3）若EP：PF＝4：1，且△ABP与△PCD相似，则 或或 ．
【思路点拔】（1）由矩形的性质可得∠BAD＝90°＝∠ABC，由余角的性质可得∠AFE＝∠BAC，即可证△AEF∽△BCA；
（2）由矩形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，由余角的性质可得∠BEP＝∠BPE，可得BP＝BE＝AB，通过证明△EBH∽△EAF，可得BHAFADBC，通过证明△APF∽△CPH，得到的值；
（3）设EP＝4a，PF＝a，由相似三角形的性质可求AP＝2a，BC＝2AB，由勾股定理可求AFa，分两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求FD的值，即可求的值．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD＝90°＝∠ABC
∴∠BAC+∠DAC＝90°，
∵EF⊥AC
∴∠APE＝90°，∠DAC+∠AFE＝90°
∴∠AFE＝∠BAC，且∠ABC＝∠EAF＝90°
∴△AEF∽△BCA
（2）如图，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC，AD∥BC
∵BP＝AB
∴∠BAP＝∠BPA，
∵∠APE＝90°，
∴∠BAP+∠E＝90°，∠BPA+∠BPE＝90°
∴∠BEP＝∠BPE
∴BP＝BE，
∴AB＝BE
∵点F是AD中点，
∴AF＝DFADBC
∵AD∥BC
∴△EBH∽△EAF
∴
∴BHAFADBC
∴CH＝BC﹣BHBC
∵AD∥BC
∴△APF∽△CPH
∴
（3）当点E在AB上或点F在AD的延长线上时，△ABP与△PCD必然有一个是锐角三角形，一个钝角三角形，不合题意舍去，
当点F在AD上时，
∵EP：PF＝4：1，
∴设EP＝4a，PF＝a，
∵∠AFE＝∠BAC，且∠APE＝∠APF＝90°
∴△APE∽△FPA
∴
∴AP2＝PE PF＝4a2，
∴AP＝2a，
∴
∵△AEF∽△BCA
∴
∴BC＝2AB
∵AP＝2a，PF＝a，
∴AFa，
∵△ABP与△PCD相似，且∠BAP＝∠ACD
∴1或，
如图，若1
∴AP＝PC＝2a，
∴AC＝4a，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴ABa，
∴CBa＝AD
∴FD＝AD﹣AFa
∴
如图，
∴2a CP＝AB2，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴5AB2＝（2a+PC）2，
∴10a PC＝4a2+PC2+4a PC
∴PC＝3a±a
∴AB2＝2a CP＝（±1）2a2，
∴AB＝（±1）a
∴AD＝BC＝（2±2）a，
∴FD＝AD﹣AF＝（2）a，或FD＝AD﹣AF＝（2）a
∴或
故答案为：或或.
