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第4章 《相似三角形》单元测试（B卷·提高）
（考试时间：120分钟；满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知（x≠3），那么下列等式中不成立的是（ ）
A．4x＝3y B． C． D．
【思路点拔】根据比例的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵（x≠3），
∴4x＝3y，1，，．
∴不成立的是B．
故选：B．
2．（3分）如图，点P是AB的黄金分割点，即P点满足，若AB＝2，则AP的长为（ ）
A． B． C． D．0.618
【思路点拔】根据黄金分割的定义即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点P是AB的黄金分割点，且，
所以．
又因为AB＝2，
所以AP．
故选：A．
3．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝4，AC＝15，则AE的长为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．6
【思路点拔】根据平行线分线段成比例由DE∥BC得到，然后根据比例的性质可求出AE．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝2，BD＝4，AC＝15，
∴，
∴AE＝5．
故选：B．
4．（3分）下列两个图形，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个直角三角形
C．两个等腰三角形 D．两个正方形
【思路点拔】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．
【解答】解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故A不符合题意；
B、两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故B不符合题意；
C、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故C不符合题意；
D、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故D符合题意；
故选：D．
5．（3分）已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据题中数据先计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求．
【解答】解：根据题意，易证△ABC∽△A′B′C′，且相似比为：：1，
∴△A′B′C′的第三边长应该是．
故选：A．
6．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高为（ ）
A．24m B．24cm C．6m D．6cm
【思路点拔】根据题意可知：△ABD∽△AQP，根据相似三角形的性质即可得到PQ的长．
【解答】解：由题意可得，
BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，
∴△ABD∽△AQP，
∴，
即，
解得QP＝6，
∴树高PQ＝6m，
故选：C．
7．（3分）已知菱形ABCD中，点G是对角线BD上一点，CG分别交边AD和BA的延长线于点E，F．若 GE＝2，EF＝9，则CG的长为（ ）
A． B．4.3 C．4.5 D．
【思路点拔】根据菱形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DE∥BC，
∴△DGE∽△BGC，
∴，
∵CD∥FB，
∴△DGC∽△BGF，
∴，
∴，
∴CG2＝GE GF，
∵GE＝2，EF＝9，
∴CG2＝2×（2+9）＝22，
∴CG，
故选：D．
8．（3分）如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C位似，则位似中心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【思路点拔】根据位似中心的概念解答即可．
【解答】解：如图，分别延长A′A、B′B，交于点D，
则位似中心是点D，
故选：A．
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG OC．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④
【思路点拔】①由正方形证明OC＝OD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COM＝∠DOF，便可得结论；
②由全等三角形得OE＝OF，得∠OEG＝∠FCG＝45°，再利用对顶角相等，证得△OGE∽△FGC便可；
③先证明S△COE＝S△DOF，便可；
④证明△OEG∽△OCE，得OG OC＝OE2，再证明BE2+DF2＝EF2，由EF＞OE，可得结论．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，AC⊥BD，∠ODF＝∠OCE＝45°，
∵∠MON＝90°，
∴∠COM＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴OE＝OF，
∵∠MON＝90°，
∴∠OEG＝45°＝∠FCG，
∵∠OGE＝∠FGC，
∴△OGE∽△FGC，
故②正确；
③∵△COE≌△DOF，
∴S△COE＝S△DOF，
∴，
故③正确；
④∵△COE≌△DOF，
∴OE＝OF，
又∵∠EOF＝90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°＝∠OCE，
∵∠EOG＝∠COE，
∴△OEG∽△OCE，
∴OE：OC＝OG：OE，
∴OG OC＝OE2，
∵CE＝DF，BC＝CD，
∴BE＝CF，
又∵Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，
∴BE2+DF2＝EF2，
∵EF2＞OE2，
∴BE2+DF2＞OG OC，
故④错误，
故选：B．
10．（3分）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，连结BD，E，F分别在边BC，CD上，连结AE，AF分别交BD于点M，N，若∠EAF＝45°，BE＝1，则下列结论中：①∠AFD+∠AEB＝135°；②；③DF＝1；④DN2+BM2＝MN2；⑤2MN＝3BM；结论正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】根据三角形内角和定理得△ADF与△AEB两个三角形所有内角相加为360°，结合矩形性质：每个内角都为90° 即可判断①；利用勾股定理求出AE，利用矩形的性质证明△ADM∽△EBM，利用相似三 角形相似比即可求出EM，从而判断②；利用矩形 的性质及已知条件，证明△ADB∽△BAE，得到∠ADB＝∠BAE，进而说明∠AMD＝90°，∠ANM＝45°，得AM＝MN，再证明△ADM∽△BAM，即可求得BM，进而求得DN，再证明△ANB∽△FND，即可求出DF，从而判断③④⑤．
【解答】解：∠ADF+∠AFD+∠FAD＝180°，
∠AEB+∠ABE+∠BAE＝180°，
∴∠ADF+∠AFD+∠FAD+∠AEB+∠ABE+∠BAE＝360°，
∵∠ADF＝∠ABE＝90°，
∴∠AFD+∠FAD+∠AEB+∠BAE＝180°，
∵∠EAF+∠BAE+∠FAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，∠AFD+∠AEB＝180°﹣45°＝135°，
故①正确；
∵BE＝1，AB＝2，
在Rt△ABE中，
∴，
∵AD∥BC，
∴△ADM∽△EBM，
∴，
∵AD＝4，AM＝AE﹣EM，
∴．
∴，故②正确；
在Rt△ABD中，，
∵，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴△ADB∽△BAE，
∴∠BAE＝∠ADB，
∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠DAE+∠ADB＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MNA＝45°，
∴，
∵∠BAE＝∠ADB，∠AMD＝∠AMB＝90°，
∴△ADM∽△BAM，
∴，
∴，
∴，，
∵AB∥CD，
∴△ANB∽△FND，
∴，
∴，
故③错误；
∴DN2+BM2≠MN2，故④错误；
∴2MN≠3BM，故⑤错误；
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则AB的长为 3 ．（结果保留根号）
【思路点拔】根据黄金比值是计算即可．
【解答】解：∵D是线段AB的黄金分割点，
∴BCAB，
由题意得：ABAB＝2，
解得：AB＝3，
故答案为：3．
12．（3分）如图所示，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AEFD是正方形，若矩形BCFE和矩形ABCD相似，且AD＝2，则AB的长为 ．
【思路点拔】直接利用相似多边形的性质得出对应边的比值进而得出答案．
【解答】解：设EB＝x，
∵矩形BCFE和矩形ABCD相似，
∴，
∵四边形AEFD是正方形，
∴AD＝BC＝2，
∴，
解得：x＝﹣1±（负数不合题意舍去），
∴BE＝﹣1，
故AB＝2﹣11，
故答案为：1．
13．（3分）如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，已知∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为平行四边形DEFG的工件，使GF在BC上，D，E两点分别在AB，AC上，且DE＝5cm，求平行四边形DEFG的面积为多少？
【思路点拔】过点A作AP⊥BC于点P，交DE于点H，由勾股定理求出AB＝10cm，利用等积法求出AP＝4.8cm），证明△ADE∽△ABC，得出，进而求出AH＝2.4cm，进而PH＝2.4cm，即可求出平行四边形DEFG的面积．
【解答】解：如图，过点A作AP⊥BC于点P，交DE于点H，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴AB10（cm），
∵AP⊥BC，
∴AB AC＝BC AP，即6×8＝10×AP，
∴AP＝4.8（cm），
∵四边形DGFE是平行四边形，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，AP⊥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵DE＝5cm，
∴，
∴AH＝2.4（cm），
∴PH＝AP﹣AH＝4.8﹣2.4＝2.4（cm），
∴平行四边形DEFG的面积＝DE PH＝5×2.4＝12（cm2），
答：平行四边形DEFG的面积为12cm2．
14．（3分）如图，点D、E是△ABC边BC、AC上的点，BD：CD＝2：5，连接AD、BE，交点为F，DF：AF＝1：4，那么的值是 ．
【思路点拔】过D作DG∥BE，交AC于G，依据平行线分线段成比例定理，即可得到BD：CD＝EG：GC，DF：AF＝EG：AE，进而可得的值．
【解答】解：如图所示，过D作DG∥BE，交AC于G，
则BD：CD＝EG：GC＝2：5，即：，，
∴DF：AF＝EG：AE＝1：4，即：AE＝4EG，
∴．
故答案为：．
15．（3分）图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂AC，BD可分别绕点M，N旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），AM＝BN＝20mm，CM＝DN＝15mm，MN＝8mm．如图（c），当夹子完全张开时（即A，B两点重合），夹嘴间的距离CD的长为 14 mm．
【思路点拔】连接CD，根据已知可证△AMN∽△ACD，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：连接CD，如图，
∵AM＝BN＝20mm，CM＝DN＝15mm，MN＝8mm，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ACD，
∴，
∴CD14（mm），
∴夹嘴间的距离CD为14mm；
故答案为：14．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，，点E在BC边上，且AE＝AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G，则 2 ．
【思路点拔】根据AAS证△DFE≌△DCE即可得DF＝DC，然后证明△ABE是等腰直角三角形，△AFD是等腰直角三角形，即AF＝DF＝DC，作FH⊥AD于H，得出F是BG的中点，即BF＝FG，令AB＝1，分别求出DG和CG的长度，可得出CGDG，作FR⊥DC于R，得F是BG的中点，求出BC＝2FR，得S△BCG＝2S△DFG，进而可以解决问题．
【解答】解：∵AE＝AD，ADAB，
∴AEAB，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠DAF＝90°﹣45°＝45°，
∴△AFD为等腰直角三角形，
∴AF＝DF，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠AED＝∠DEC，
∵∠DFE＝∠DCE＝90°，DE＝DE，
∴△DFE≌△DCE（AAS），
∴DF＝DC，
∴AF＝DC，
如图，作FH⊥AD于H，连接CF，
∴点H是AD的中点，
∵AB∥DG，
∴点F是BG的中点，
∴BF＝FG＝FC，
∵∠AEB＝45°，
∴∠EFC＝∠ECF∠AEB＝22.5°，
∴∠FCD＝∠CFD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠CDE＝∠FDE＝22.5°，
∵∠ABF＝∠AFB（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CBG＝90°﹣∠ABF＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠CBG＝∠CDE，
令AB＝1，则AD＝AE＝BC，
∴CE1，
∵∠CBG＝∠CDE，∠DCE＝∠BCG＝90°，
∴△BCG∽△DCE，
∴，
∴，
∴CG＝2，
∴DG＝1﹣（2）1，
∴CGDG，
∵点F是BG的中点，作FR⊥DC于R，
∴FR∥BC，
∴FR是△GBC的中位线，
∴2FR＝BC，
∵S△DFGDG FR，
∴S△BCGBC CG2FRDG＝2DG FG，
∴S△BCG＝2S△DFG，
∴2，
故答案为：2．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知：，且2a﹣3b+c＝28，求a、b、c的值．
【思路点拔】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入2a﹣3b+c＝28进行计算，求出k的值，进而求解即可．
【解答】解：设k，
则a＝2k，b＝5k，c＝7k，
∵2a﹣3b+c＝28，
∴4k﹣15k+7k＝28，
解得k＝﹣7，
∴a＝﹣14，b＝﹣35，c＝﹣49．
18．（6分）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．
（1）如果AB＝4，BC＝8，DE＝6，求EF的长；
（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝15，求AB的长．
【思路点拔】（1）由l1∥l2∥l3，可得，再代入数据即可得到结论；
（2）由l1∥l2∥l3，可得，可得，结合AC＝AB+BC＝25，从而可得答案．
【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝4，BC＝8，DE＝6，
∴，
∴EF＝12，经检验：符合题意；
（2）∵l1∥l2∥l3，
∴，而DE：EF＝2：3，
∴，
∴AC＝AB+BC＝15，
∴AB15＝6．
19．（8分）实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）点M是OA的中点，在（1）的条件下，M的对应点M′的坐标为 ．
（3）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O2A2B．
【思路点拔】（1）先作出点O、A绕点B顺时针旋转90°的对应点，然后再顺次连接即可；
（2）由题意得，点M′是O′A′的中点，利用中点坐标公式求解即可；
（3）根据位似的性质作图即可．
【解答】解：（1）如图，△O′A′B即为所求．
（2）∵点M是OA的中点，
∴点M′是O′A′的中点，
根据作图可知：O′（1，5），A′（4，4），
∴点M′的坐标为；
（3）如图，△O2A2B即为所求．
20．（8分）如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA＝∠B，∠DAF＝∠EAC．
（1）若AF＝BF＝4，求AE；
（2）求证：．
【思路点拔】（1）通过证明△BAE∽△EAF，可得，即可求解；
（2）通过证明△DAE∽△CAB，可得，∠D＝∠C，通过证明△DAF∽△CAE，可得，可得结论．
【解答】（1）解：∵∠FEA＝∠B，∠BAE＝∠EAF
∴△BAE∽△EAF，
∴，
∴AE2＝AF AB，
∵AF＝BF＝4，
∴AB＝8，
∴AE2＝4×8＝32，
∴AE＝4；
（2）证明：∵∠DAF＝∠CAE，∠FAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝∠CAF，
∵∠FEA＝∠B，
∴△DAE∽△CAB，
∴，∠D＝∠C，
∵∠DAF＝∠EAC，
∴△DAF∽△CAE，
∴，
∴，
∴．
21．（10分）如图，是小明晚上散步回家的场景，图中线段AB表示站在路灯左侧的小明，线段MN表示直立在地面上的路灯，此时小明的影长BE为0.8m，当小明步行5.4m至路灯右侧点D处时，此时影长DF为1m，已知小明的身高为1.6m，则路灯MN的高为多少米？
【思路点拔】根据题意可得：AB⊥EF，MN⊥EF，CD⊥EF，从而可得∠ABE＝∠MNE＝∠MNF＝∠CDF＝90°，然后证明A字模型相似△EAB∽△EMN和△CDF∽△MNF，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：AB⊥EF，MN⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABE＝∠MNE＝∠MNF＝∠CDF＝90°，
∵∠AEB＝∠MEN，
∴△EAB∽△EMN，
∴，
∴，
∵∠CFD＝∠MFN，
∴△CDF∽△MNF，
∴，
，
∴，
解得：BN＝2.4，
∴，
解得：MN＝6.4，
∴路灯MN的高为6.4米．
22．（10分）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
甲 乙
图例
方案 如图①是测试距离为5m的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为3m的小视力表②．通过测量大视力表中“E”的高度（BC的长），即可求出小视力表中相应的“E”的高度（DF的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距3m的两面墙上分别悬挂视力表（AB）与平面镜（MN），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MN的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（AB）就可以计算出镜长MN
（1）甲生的方案中如果大视力表中“E”的高是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高是多少？
（2）乙生的方案中如果视力表的全长为0.8m，请计算出镜长至少为多少米．
【思路点拔】（1）根据两组对角相等证明△CAB∽△FAD，再根据相似三角形对应边成比例列式求解；
（2）作CD⊥MN于点D，延长线交A′B′于点E，先证△MNC∽△A′B′C，再根据相似三角形的相似比等于高的比列式求解．
【解答】解：（1）由题意知BC⊥AB，DF⊥AD，
∴∠CBA＝∠FDA＝90°，
又∵∠CAB＝∠FAD，
∴△CAB∽△FAD，
∴，
由题意知AD＝3m，AB＝5m，BC＝3.5cm，AD＝3m，
∴，
解得DF＝2.1cm，
即小视力表中相应“E”的高是2.1cm；
（2）如图，作CD⊥MN于点D，延长线交A′B′于点E，
由题意知，AB∥MN∥A′B′，
∵MN∥A′B′，CD⊥MN，
∴CE⊥A′B′，
∵MN∥A′B′，
∴∠MNC＝∠A′B′C，∠NMC＝∠B′A′C，
∴△MNC∽△A′B′C，
∴，
由题意知CE＝5m，DE＝3m，A′B′＝AB＝0.8m，
∴CD＝CE﹣DE＝2m，
∴，
∴MN＝0.32m，
∴镜长至少为0.32m．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．点P从A点出发沿AC向C点运动，速度为每秒2cm，同时点Q从C点出发沿CB向B点运动，速度为每秒1cm，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PQC是以∠C为顶角的等腰三角形？
（2）当t为何值时，△PQC的面积为5cm2？
（3）当t为何值时，△PQC与△ABC相似？
【思路点拔】（1）由勾股定理得出AC的长度，根据已知有条件得出AP、PC、CQ的长度，∠C为顶角的等腰三角形，得出PC＝CQ，列出方程即可．
（2）首先作出高线，由平行线分线段成比例定理得出比例式，由含有t的代数式表示出PD的长度，再根据三角形的面积公式得出即可．
（3）根据已知条件需要分类讨论，分两种情况讨论，从而得出比例式，代入即可求出．
【解答】（1）解：∵AB＝8cm，BC＝6cm，
∴AC＝10cm，
由题意AP＝2t，PC＝10﹣2t，CQ＝t，（0＜t≤5），
∵△PQC是以∠C为顶角的等腰三角形，
∴PC＝CQ，
∴10﹣2t＝t，
解得 ．
（2）解：过点P作PD⊥BC于点D，
∵∠B＝90°，
∴AB∥PD，
∴，
∴，
∴
解得 ．
（3）当△PQC∽△ABC时，
∴，
∴，
解得 ，
当△PQC∽△BAC 时，
∴，
∴，
解得 ，
综上所述 或 时，△PQC与△ABC 相似．
24．（12分）【发现与思考】
如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC中点，连接OE，AE，AE与BD交于点F，AB＝4，BC＝6．
（1）直接写出线段OE、AE的长度：OE＝ 2 ，AE＝ 5 ；
（2）直接写出线段BF与BD的比值： ；
【方法与探究】
如果将【发现与思考】中的“在矩形ABCD中”这一条件变得更为一般化，改为“在平行四边形ABCD中”——如图②，那么条件变了，线段BF与BD的比值是否保持不变？请说明理由；
【拓展与应用】
如图③，在△ABC中，中线AE与中线BD相交于点F，点H是CD的中点，连接HF并延长交AB于点G，若AC＝4，AB＝3，则请直接写出线段AG的长度：AG＝ ．
【思路点拔】（1）根据矩形的性质得到AO＝OC，∠ABC＝90°，BO＝ODBD，根据三角形中位线定理得到OE2；根据勾股定理即可得到结论；
（2）由（1）知，OE是△ACB的中位线，根据相似三角形的性质得到BF＝2OF，根据矩形的性质得到BO＝ODBD，于是得到结论；
【方法与探究】根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝ODBD，根据三角形中位线定理得到OE∥AB，OEAB，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
【拓展与应用】如图③，过D作DP∥BC交AE于P，过C作CN∥HG交BD于M，交AB于N，根据三角形中位线定理和相似三角形的性质得到结论．
【解答】解：【发现与思考】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，∠ABC＝90°，BO＝ODBD，
∵点E是BC中点，
∴BE，
∴OE是△ACB的中位线，
∴OE2；
∴AE5；
故答案为：2，5；
（2）由（1）知，OE是△ACB的中位线，
∴OE∥AB，OEAB，
∴△OFE∽△BFA，
∴，
∴BF＝2OF，
∴OB＝OD＝3OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝ODBD，
∴；
故答案为：；
【方法与探究】不变，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝ODBD，
∵点E是BC中点，
∴BE＝CE，
∴OE是△ACB的中位线，
∴OE∥AB，OEAB，
∴△OFE∽△BFA，
∴，
∴BF＝2OF，
∴OB＝OD＝3OF，
∴BD＝6OF，
∴；
【拓展与应用】
如图③，过D作DP∥BC交AE于P，
∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴AP＝PE，
∴PD是△ACE的中位线，
∴PD，
∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝CE，
∴PDBE，
∵PD∥BC，
∴△PDF∽△EBF，
∴，
如图③，过C作CN∥HG交BD于M，交AB于N，
∵点H是CD的中点，
∴DH＝CH，
∴DF＝FM，
∴BM＝FM，
∴BN＝GN，
∵HG∥CN，
∴3，
∴AG＝3NG，
∴AB＝5NG，
∴，
∴AB＝3，
∴AG．
故答案为：．中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 《相似三角形》单元测试（B卷·提高）
（考试时间：120分钟；满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知（x≠3），那么下列等式中不成立的是（ ）
A．4x＝3y B． C． D．
2．（3分）如图，点P是AB的黄金分割点，即P点满足，若AB＝2，则AP的长为（ ）
A． B． C． D．0.618
3．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝4，AC＝15，则AE的长为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．6
4．（3分）下列两个图形，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个直角三角形
C．两个等腰三角形 D．两个正方形
5．（3分）已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高为（ ）
A．24m B．24cm C．6m D．6cm
7．（3分）已知菱形ABCD中，点G是对角线BD上一点，CG分别交边AD和BA的延长线于点E，F．若 GE＝2，EF＝9，则CG的长为（ ）
A． B．4.3 C．4.5 D．
8．（3分）如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C位似，则位似中心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG OC．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④
10．（3分）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，连结BD，E，F分别在边BC，CD上，连结AE，AF分别交BD于点M，N，若∠EAF＝45°，BE＝1，则下列结论中：①∠AFD+∠AEB＝135°；②；③DF＝1；④DN2+BM2＝MN2；⑤2MN＝3BM；结论正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则AB的长为 ．（结果保留根号）
12．（3分）如图所示，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AEFD是正方形，若矩形BCFE和矩形ABCD相似，且AD＝2，则AB的长为 ．
13．（3分）如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，已知∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为平行四边形DEFG的工件，使GF在BC上，D，E两点分别在AB，AC上，且DE＝5cm，求平行四边形DEFG的面积为多少？
14．（3分）如图，点D、E是△ABC边BC、AC上的点，BD：CD＝2：5，连接AD、BE，交点为F，DF：AF＝1：4，那么的值是 ．
15．（3分）图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂AC，BD可分别绕点M，N旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），AM＝BN＝20mm，CM＝DN＝15mm，MN＝8mm．如图（c），当夹子完全张开时（即A，B两点重合），夹嘴间的距离CD的长为 mm．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，，点E在BC边上，且AE＝AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G，则 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知：，且2a﹣3b+c＝28，求a、b、c的值．
18．（6分）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．
（1）如果AB＝4，BC＝8，DE＝6，求EF的长；
（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝15，求AB的长．
19．（8分）实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）点M是OA的中点，在（1）的条件下，M的对应点M′的坐标为 ．
（3）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O2A2B．
20．（8分）如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA＝∠B，∠DAF＝∠EAC．
（1）若AF＝BF＝4，求AE；
（2）求证：．
21．（10分）如图，是小明晚上散步回家的场景，图中线段AB表示站在路灯左侧的小明，线段MN表示直立在地面上的路灯，此时小明的影长BE为0.8m，当小明步行5.4m至路灯右侧点D处时，此时影长DF为1m，已知小明的身高为1.6m，则路灯MN的高为多少米？
22．（10分）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
甲 乙
图例
方案 如图①是测试距离为5m的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为3m的小视力表②．通过测量大视力表中“E”的高度（BC的长），即可求出小视力表中相应的“E”的高度（DF的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距3m的两面墙上分别悬挂视力表（AB）与平面镜（MN），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MN的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（AB）就可以计算出镜长MN
（1）甲生的方案中如果大视力表中“E”的高是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高是多少？
（2）乙生的方案中如果视力表的全长为0.8m，请计算出镜长至少为多少米．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．点P从A点出发沿AC向C点运动，速度为每秒2cm，同时点Q从C点出发沿CB向B点运动，速度为每秒1cm，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PQC是以∠C为顶角的等腰三角形？
（2）当t为何值时，△PQC的面积为5cm2？
（3）当t为何值时，△PQC与△ABC相似？
24．（12分）【发现与思考】
如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC中点，连接OE，AE，AE与BD交于点F，AB＝4，BC＝6．
（1）直接写出线段OE、AE的长度：OE＝ ，AE＝ ；
（2）直接写出线段BF与BD的比值： ；
【方法与探究】
如果将【发现与思考】中的“在矩形ABCD中”这一条件变得更为一般化，改为“在平行四边形ABCD中”——如图②，那么条件变了，线段BF与BD的比值是否保持不变？请说明理由；
【拓展与应用】
如图③，在△ABC中，中线AE与中线BD相交于点F，点H是CD的中点，连接HF并延长交AB于点G，若AC＝4，AB＝3，则请直接写出线段AG的长度：AG＝ ．
