新浙教版七上数学专题讲义10-整式的加减（含解析）

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整式的加减
【知识梳理】
1、同类项：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项。常数项都是同类项。
合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变。
2、去（添）括号法则：
去（添）括号时，若括号前边是“+”号，去掉括号和“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，去掉括号和“-”号，括号里的各项都要变号。
整式的加减：
整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并。
【课堂练习】
选择题
1.下列每组中的两个代数式，不属于同类项的是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
2.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.如果单项式与的和仍然是一个单项式，则，的值是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.下列去括号正确的是．
A. B.
C. D.
5.当，时代数式的值是( )
A. B. C. D.
6.老师布置了下面这道题．先化简再求值：，其中一位同学将“”抄成“”，其余运算正确，结果却是对的．下列关于和的值的叙述正确的是 ．
A. 一定是，一定是 B. 不一定是，一定是
C. 一定是，不一定是 D. 不一定是，不一定是
7.三张大小不一的正方形纸片按如图和图方式分别放置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图阴影部分周长之和为，图阴影部分周长为，要求与的差，只需知道一个图形的周长，这个图形是( )
图 图
A. 整个长方形 B. 图正方形 C. 图正方形 D. 图正方形
8.在多项式中任意加括号均不为零，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”例如：，，．
下列说法：
至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；
不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为；
所有可能的“加算操作”共有种不同运算结果．
其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.把当成一个整体，合并如下整式中的“同类项”： ．
10.若与是同类项，那么的值为 ．
11.定义一种运算：，计算 ______．
12.某同学做了一道数学题：已知两个多项式，，计算，他误将“”看成“”，求得的结果是若，则的正确结果是 ．
13.“幻方”最早记载于春秋时期的大戴礼中，现将，，，，，，，这八个数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图所示，则的值是 ，的值是 ．
三、计算题
14.化简
； ．
四、解答题
15.已知与互为相反数，求代数式的值．
16.一根钢筋长米，第一次用去了全长的，第二次用去了余下的还多米，求剩余钢筋的长．
17.下表中的字母都是按规律排列的．
序号
图形










我们把某格中的字母的和称为“特征多项式”，例如第格的“特征多项式”为，第格的“特征多项式”为，回答下列问题：
第格的“特征多项式”为 ，第格的“特征多项式”为 ，第格的“特征多项式”为 为正整数
求第格的“特征多项式”与第格的“特征多项式”的差．
18.将连续的偶数，，，，，，排成如下的数表．
十字框里的五个数之和与中间的数有什么关系
设十字框里中间的数为，用含的式子表示十字框里的五个数之和
十字框中的五个数之和能等于吗若能，请写出这五个数若不能，请说明理由．
【课后巩固】
1.如果整式与整式的和为一个常数，那么我们称，为常数的“和谐整式”例如：和为数的“和谐整式”若关于的整式与为常数的“和谐整式”其中为常数，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知，，当时，恒成立，则的值为( )
A. B. C. D.
3.若、、、是正整数，且，，，设的最大值为，最小值为，则( )
A. B. C. D.
4.已知实数满足，若，则的值是______
5.如图，若一个表格的行数代表关于的整式的次数，列数代表关于的整式的项数规定单项式的项数为，那么每个关于的整式均会对应表格中的某个小方格．若关于的整式是三次二项式，则对应表格中标的小方格．已知也是关于的整式，下列说法正确的有__________写出所有正确的序号若对应的小方格行数是，则对应的小方格行数一定是；若对应的小方格列数是，则对应的小方格列数一定是；若对应的小方格行数是，则对应的小方格行数不可能是；若对应的小方格列数是，且对应的小方格列数是，则对应的小方格行数不可能是．
6.近年来，电商多选择在月日促销今年的促销期间，某电商客服在为买家包装商品时用到长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的箱子，并发现有如图所示的甲、乙两种打包方式每条打包带绕一圈，且不计接头处的长回答下列问题：
用含，，的式子表示甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度：甲需要______厘米，乙需要______厘米；
当时，两种打包方式中，哪种方式节省打包带？并用作差法证明你的结论．
7.【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和和为非零数作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项例如：，经过处理器得到．
【应用】若关于的二次多项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题：
填空：若，则 ______；
若，求关于的方程的解；
【延伸】
已知，是关于的二次多项式，若是经过处理器得到的整式，满足，求的值．
参考答案
【课堂练习】
1.【答案】
2.【答案】
【解析】解：，故选项A错误；
B.，故选项B错误；
C.，故选项C正确；
D.不能合并，故选项D错误；
3.【答案】
【解析】解：由同类项的定义，
可知，，解得：，，
根据同类项的定义，单项式与的和仍然是一个单项式，意思是与是同类项，根据同类项中相同字母的指数相同得出关于、的方程，求出，的值即可．
4.【答案】
【解析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
解：、，故错误；
B、正确；
C、，故错误；
D、，故错误．
5.【答案】
【解析】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式去括号合并后，将与的值代入计算即可求出值．
解：原式，
当，时，原式．
6.【答案】
7.【答案】
【解析】解：设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为，可得
，
，
，
故选：．
设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为，分别表示出、的值，就可计算出的值为，从而可得只需知道正方形的周长即可．
8.【答案】
【解析】本题属于新定义问题，涉及去括号与添括号法则，掌握去括号和添括号法则是解题的关键．
根据“加算操作”的定义，结合添括号法则和去括号法则逐项判断即可．
解： ，故说法正确．
若使其运算结果与原多项式之和为，则需出现，显然无论怎样添加括号，均无法使得的符号为负号，故说法正确．
当括号中有两个字母时，共有种情况，分别是；
；
；
；；
；．
当括号中有三个字母时，共有种情况，分别是；
；
．
当括号中分别有两个字母和三个字母时，共有种情况，分别是
；．
当括号中有四个字母时，共有种情况，分别是；
．
所有可能的“加算操作”共有种不同的运算结果，故说法正确．
故选：．
9.【答案】
10.【答案】或
【解析】根据同类项的定义所含字母相同，相同字母的指数相同列出方程，，求出，的值，再代入计算即可．
解：因为与是同类项，
所以，，
所以，，
当时，原式；
当时，原式；
故答案为或．
11.【答案】
【解析】本题考查了整式的加减，是一种新定义运算，规定运算法则为与的差，根据法则将二阶行列式转化为整式的运算即可．
解：由得：
．
12.【答案】
【解析】由题意，得又，所以则．
13.【答案】，
【解析】本题主要考查了有理数的运算，先设中间的四个的右上的数字为，左下的数字为，再根据题意列出关系式，整理可得答案．
【详解】设中间的四个的右上的数字为，左下的数字为，
根据题意，得，，
将上式变形得，．
故答案为：，．
14.【答案】解：
15.【答案】解：与互为相反数，
，，
解得：，，
．
【解析】直接利用相反数的定义以及绝对值的性质得出，的值，进而合并同类项得出答案．
16.【答案】剩余钢筋的长为米．
17.【答案】解：；，；．
由可得，
第格的“特征多项式”为，
第格的“特征多项式”为，
则第格的“特征多项式”与第格的“特征多项式”的差为．
18.【答案】解：，，
十字框中的五个数之和是中间数的倍；
十字框中的五个数之和为：；
假设十字框中的五个数之和能等于，
即，解得，
此时在第一列，以为中心的十字框不存在，
十字框中的五个数之和不能等于．
【解析】本题考查列代数式，合并同类项，根据图表的排列得出“同一列上下相邻的两数相差，同一行左右相邻的两数相差”，从而得出十字框的五个数之和为中间数的倍，进而完成解答．
将十字框中的个数加起来的和除以中间这个数就可以得出结论；
根据同一列上下相邻的两数相差，同一行左右相邻的两数相差就可以表示出这个数之和；
用就可以得出中间的这个数，然后根据图表中数字的列数进行判断即可得出结论．
【课后巩固】
1.【答案】
【解析】提示：因为关于的整式与为常数的“和谐整式”，所以，即，无论取何值都成立，则，解得所以．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
，，
，，
，，，
先算出，根据，得到，再根据，列出关于的方程，求出值即可．
3.【答案】
【解析】根据题意可得，，，再将其代入中进行化简即可得出答案．
解：，，，
，，，
，
、、、是正整数，且，，
，为正整数，的最小值为，的最大值为，
当时，的最大值为，
当时，的最小值为，
4.【答案】
【解析】本题考查了整式的加减运算．关键是能正确进行整式的加减运算．把用含有和式子表示，再代入计算即可．
解：
，，
5.【答案】
【解析】本题主要考查整式的加减，多项式的次数与项的概念，熟练掌握整式加减是解决此题的关键根据表格得出对应的次数，进而分析的次数即可判定；根据对应的列数得出的项数，进而分析即可判定；
根据对应的行数得出的次数，进而分析的次数即可判定；根据对应的列数和对应的列数可得出的项数和的项数，进而分析判定即可．
解：对应的小方格行数是，整式的次数是，
又整式是三次二项式，则的次数一定是次，
对应的小方格行数一定是，故正确；
对应的小方格列数是，有五项，
又是三次二项式，则的列数可以是、可以是，也可以是，故错误；
对应的小方格行数是，整式的次数是，
又整式是三次二项式，则的次数不会高于次
对应的小方格行数不可能是，故正确；
对应的小方格列数是，且对应的小方格列数是，
有三项，有五项，整式是三次二项式，
的次数不能是，即对应的小方格行数不可能是，故正确．
综上所述，正确的说法有．
6.【答案】
【解析】解：甲需要：厘米，
乙需要：厘米，
即甲需要厘米，乙需要厘米，
故答案为：，；
乙种方式节省打包带，证明如下：
，
，，，，乙种方式节省打包带．
7.【答案】
【解析】解：根据题目中整式处理器的处理方法可得：，
故答案为：．
由题可知，，
可得，
又，，解得：，
关于的方程的解为．
由题可知，经过处理器得到的整式，
则，
同时，，
，解得：，的值为．
根据整式处理器的处理方法即可求解；
根据整式处理器的处理方法，可得，即可求出关于的方程的解；
是经过处理器得到的整式，满足，可得，即可求出的值．
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