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第一章 解直角三角形常考题训练
一、单选题
1．如图，在中，，，于点， ．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．2
2．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点P的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形内接于，为的直径，，，D为弧的中点，M是弦上任意一点（不与端点A、C重合），连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
4．如图，在中，于点D，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．6
5．如图，在边长为8的等边中，D是的中点，E是直线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接．在D点运动过程中，线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在边长为的正方形中，，，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
7．如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将三角板和三角板按如图方式放置，其中，两条斜边相交于点O，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，河堤横断面迎水坡的坡度，堤宽米，则坡面的长度是（ ）
A．米 B．30米 C．米 D．10米
10．如图，在矩形中，连接，分别以点A和C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，交于点F．若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．3
11．如图，设为的边上一点，经过点且恰好与边相切于点．若，则阴影部分的面积为（ ）
B． C． D．
12．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值：如图，在中，，延长使，连接，得．设，则，AB=，所以，类比这种方法，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形，连接，
①若，则 ．
②探究的值为 ．
14．如图1，中，，D是边上的一个动点（不与点B，C重合），，交于点E，，交于点F．设的长为x，四边形的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为，则的长为 ．
15．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为 ．
16．如图在正方形网格中，格点的面积为，则 ．
17．如图，在矩形中，，在边上且，若点在边上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的处，过点作于点，与交于点，则的值为 ．
18．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，、相交于点O，则为 ．
19．如图，的顶点A在反比例函数的图象上，，轴，若的面积为6，，则 ．
20．如图，在中，直径长为4，弦于点G，且，点E为上一点，连，过点C作于点F，若，则的长为 ．
21．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼之间的水平距离为，则这栋楼的高度是 ．（结果保留根号）
三、解答题
22．请作答：
(1)用直尺和圆规作出 的外接圆 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 ，，求 ⊙ 的半径长．
23．如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，．
(1)求椅子的展角的度数．
(2)求点P到地面的距离．（精确到）
（参考数据：，，）
24．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上．
(1)连接，求证：．
(2)若，求点A到直线的距离．
25．如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，E两点．
(1)写出B，C，D点坐标（不写计算过程）
(2)若B、C、D三点在抛物线上，求这个抛物线的解析式．
(3)若圆A的切线交于x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，，试判断直线是否经过所示抛物线的顶点？说明理由．
26．如图，是的直径，，C为上一点，连接，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)过点D作，分别交，于点E，F．若，求值．
27．已知，在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点．
(1)如图1，若．
①求证：；
②连接，求证：
(2)如图2，若，求的值．
28．如图，眉山水街游人如织，交通十分拥挤．为了缓解这种交通状况，要伐掉一棵树，在地面上事先划定以 B为圆心，现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为 ，树的底部B点的俯角为．
(1)求大树的高度．（保留根号）
(2)距离大树点8米远有一配电箱， 配电箱是否处在危险区内？（，）
29．地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为，求电梯的坡度与长度．
参考数据：．
30．图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄和手臂始终在同一条直线上，枪身与额头F保持垂直．胳膊，，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为（即的长度），枪身．
(1)求点D到的距离；（结果保留根号）
(2)测温时规定枪身端点E与额头规定范围为3cm至5cm．在图2中若，张阿姨与测温员之间的距离为39cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．（参考数据：，）
31．如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且，抛物线经过A，B，C三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作，垂足为点D，用含m的代数式表示线段的长，并求出线段的最大值．
(3)设点M为x轴上一动点，当直线与直线所夹的锐角时，直接写出点M的坐标．
32．图1、图2别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，．
(1)求此滑雪运动员的小腿的长度；
(2)求此运动员的身高．（参考数据： ，，）
33．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线．继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，）
(1)求屋顶到横梁的距离；
(2)求房屋的高．
34．在矩形中，，，点E为边上一动点，连接，在右侧作，，．
(1)如图1，若点F恰好落在边上，求的长；
(2)如图2，延长交边于点H，当时，求的值．
35．如图，河旁有一座小山，山高，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为，．若在此处建桥，求河宽的长．（结果精确到）【参考数据：，，】
36．某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度．
【测量方案】在地面上选一点，垂直地面竖立标杆，后退2m到处，此时在一直线上；另选一点，垂直地面竖立标杆，后退4m到处，此时三点也在一直线上．
【测量数据】两次测量标杆之间的距离是为50m，两个标杆的高度均为m，且在同一直线上．
请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出古塔的高度．
37．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与 相交于点O，与相交于点N，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平分，，求矩形的面积．
38．综合探究
素材：一张矩形纸片．
操作：在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部．
(1)如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数；
(2)如图2，当落在对角线上时，求的长；
(3)连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段长度最小时点的位置，并求出此时的长．
39．如图1，某社区服务中心在墙外安装了遮阳棚，便于居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳棚长为5米，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为米，是为了增加纳凉面积加装的一块前挡板（前挡板垂直于地面）．（参考数据：）
(1)求出遮阳棚前端M到墙面的距离；
(2)已知本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若此时房前恰好有米宽的阴影，则加装的前挡板的宽度的长是多少？
40．综合与实践．
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，该怎么办呢？
小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．
第2步：再次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
将延长交于点G，将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．
请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：
(1)直接写出和的数量关系：__________；
(2)请求出的度数；
(3)求证：四边形是菱形．
41．【材料阅读】如图1，在△ABC中，设的对边分别为a，b，c，过点A作，垂足为D，会有，则=，即，同理，．有以上三式可得：正弦定理：，通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理：如图2，在中，设的对边分别为a，b，c，则①
② ③
用以上的公式和定理解决问题：
【简单应用】（1）在锐角中，设的对边分别为a，b，c，且，求；
（2）如图3，在中，，，求的面积与周长．
【灵活应用】（3）如图4，在中，角所对的边分别为，已知，的面积为，设为的中点，且，求的周长．（参考数据：）
42．中国古代在公元前世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”，如图所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．在图中，呈水平状态，为法线，，已知米，求镜面上点到水盆的距离．（结果精确到米，参考数据：）
43．综合实践，
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．
(1)探究发现
旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
(2)性质应用
如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长．
(3)延伸思考
如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值．
44．如图，四边形内接于为的直径，且．
(1)试判断的形状，并给出证明．
(2)若．
①求线段的长．
②求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 解直角三角形常考题训练
一、单选题
1．如图，在中，，，于点， ．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，由求出，由求出，继而求出由三角形中位线定理求出．
【详解】解：，
∴，
∵，
∴，
∴
∵E，F分别为的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
2．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点P的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据折叠可知，，，，进而可得是等边三角形，则，进而求得的面积，根据阴影部分面积求解即可．
【详解】解：连接，交于E，
∵沿对折O和Q重合，，
∴，，，，
∴，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查三角形的折叠问题、等边三角形的性质、扇形面积以及特殊角三角函数值的运用，掌握以上知识是解题的关键．
3．如图，四边形内接于，为的直径，，，D为弧的中点，M是弦上任意一点（不与端点A、C重合），连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】过点作于，过点作于，连接，根据圆周角定理可证，则，故，从而的最小值为的长，再利用三角函数计算即可．
【详解】解：过点作于，过点作于，连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为的长，
为弧的中点，
，
在中，，
，
的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，特殊角的三角函数，垂线段最短等知识，将的最小值转化为的长是解题的关键．
4．如图，在中，于点D，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
先根据题意得到，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
．
故选A．
5．如图，在边长为8的等边中，D是的中点，E是直线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接．在D点运动过程中，线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形．连接，在的延长线上取点M，使得，连接．根据全等三角形的性质可得出点F的运动轨迹，据此可解决问题．
【详解】解：连接，在的延长线上取点M，使得，连接，
由旋转的性质得：，
∴，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴点F在与夹角为的直线上运动．
过点A作的垂线，垂足为，当点F在点时，取得最小值．
延长与的延长线交于点N，
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
即的最小值为．
故选：D．
6．如图，在边长为的正方形中，，，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先根据“同角的余角相等”可得，在中，根据三角函数的定义可求得，进而可得.
本题主要考查了正方形的性质和根据三角函数定义解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键。
【详解】解：∵四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
7．如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，证明，则，设，得到，则，故，同理可求，则，因此．
【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，
由旋转得，
∵四边形是正方形，
∴，，，设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，设，
则，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可求，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键．
8．如图，将三角板和三角板按如图方式放置，其中，两条斜边相交于点O，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的判定和性质，利用平行线得到相似三角形是解决问题的关键．设，分别表示出、 ，然后利用相似三角形的性质得出结果．
【详解】解：设，
在中， ，
∴ ，
∴，
在中，，
∴ ，
∴ ，
又∵，
∴，
∴ ，
故选：A．
9．如图，河堤横断面迎水坡的坡度，堤宽米，则坡面的长度是（ ）
A．米 B．30米 C．米 D．10米
【答案】A
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是银师的关键．
根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出．
【详解】解：迎水坡的坡度，
，
米，
米，
由勾股定理得：（米，
故选：A．
10．如图，在矩形中，连接，分别以点A和C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，交于点F．若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质、矩形的性质和解直角三角形，如图，利用基本作图得到，，由于，则，所以，根据余弦的定义，在中求出，在中求出，然后计算即可，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
【详解】解：由作法得垂直平分，设垂足为点，如图，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
．
故选：B．
11．如图，设为的边上一点，经过点且恰好与边相切于点．若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角函数，求不规则图形的面积，连接，由切线的性质得到，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质求出，由锐角的正切求出长，求出的面积，扇形的面积，即可求出阴影部分的面积，利用锐角的正切求出的长是解题的关键．
【详解】解：连接，设与 的交点为，
∵与相切于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积 ，
扇形的面积，
∴阴影部分的面积，
故选：．
12．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值：如图，在中，，延长使，连接，得．设，则，AB=，所以，类比这种方法，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正切值的求解勾股定理，在中，，延长使，连接，得，设，则，根据进行求解即可．
【详解】解：如图，在中，，延长使，连接，得，
设，则，
，
在中，
，
故选：B．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形，连接，
①若，则 ．
②探究的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
①由直角三角形的性质可得，再运用勾股定理求出的长，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长；②如图：过点A作，交的延长线于点H，利用平角定义可求出∠，从而可得是等腰直角三角形，则，先求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，最后证明，从而利用平行线的性质可得，最后根据正切的定义即可解答．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵中，，
∴；
如图：过点A作，交的延长线于点H，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
14．如图1，中，，D是边上的一个动点（不与点B，C重合），，交于点E，，交于点F．设的长为x，四边形的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了动点的函数图象问题，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，求出是解题的关键．根据抛物线的对称性知，，作于H，当时，的面积为，则此时，则，证明，则，即可解决得到答案．
【详解】解：∵抛物线的顶点为，过点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴时，，
∴，
作于H，当时，的面积为，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为 ．
【答案】/0.8
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，过作于，利用勾股定理可以求出的长，再根据余弦的定义即可求出的值，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】如图，过作于，
∴，
由网格可知：，，
∴，
故答案为：．
16．如图在正方形网格中，格点的面积为，则 ．
【答案】
【分析】此题考查的是勾股定理和求一个角的锐角三角函数，掌握勾股定理和构造直角三角形求一个角的正弦值是解决此题的关键．过点C作于点D，根据勾股定理即可求出和，然后根据三角形的面积求出，再根据正弦值的定义即可得出结论．
【详解】解：过点C作于点D
根据勾股定理可得，
∵的面积等于
∴
解得：
在中，
故答案为：．
17．如图，在矩形中，，在边上且，若点在边上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的处，过点作于点，与交于点，则的值为 ．
【答案】/0.75
【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，由翻折可得，，由矩形的性质得出，，求出，证明，由相似三角形的性质得出，，再证明，最后由正切的定义即可得出答案．
【详解】解：由翻折可得，，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
18．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，、相交于点O，则为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理，正弦的定义，取格点，连接、，证明，，进而可得，根据正弦的定义计算即可得解．
【详解】解：取格点，连接、，如图，
由图可知：在正方形网格中，，
，，
，
小正方形的边长为1，
在中，，，
，
．
故答案为：．
19．如图，的顶点A在反比例函数的图象上，，轴，若的面积为6，，则 ．
【答案】
【分析】题目主要考查反比例函数综合问题，三角函数解三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键
根据题意得出，轴，设交y轴于点D，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，即可得出，结合图象即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵轴，
∴轴，
设交y轴于点D，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的面积为6，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
20．如图，在中，直径长为4，弦于点G，且，点E为上一点，连，过点C作于点F，若，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，连接，由线段垂直平分线的性质，而，判定是等边三角形，得到，由圆周角定理得到，求出，由勾股定理求出，由，求出，即可求出的长．
【详解】解：连接，
∵直径长为4，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴．
故答案为：．
21．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼之间的水平距离为，则这栋楼的高度是 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
由题意得：，
在中，，
，
在中，，
，
，
这栋楼的高度为，
故答案为：．
三、解答题
22．请作答：
(1)用直尺和圆规作出 的外接圆 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 ，，求 ⊙ 的半径长．
【答案】(1)图形见详解
(2)
【分析】本题考查了三角形外接圆的作图原理、圆周角定理，明确三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点是解决第一问的关键．能够综合运用圆周角定理及三角函数求解半径是解决第二问的关键．
（1）分别作线段，的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作⊙，⊙即为所求．
（2）根据圆周角定理由的度数得到，再根据等腰三角形‘三线合一’得到与的值，最后利用三角函数求得⊙的半径长即可．
【详解】（1）如图，⊙即为所求．
（2）设的垂直平分线交于点，连接，．
．
．
，是的垂直平分线．
，．
．
即⊙ 的半径长为．
23．如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，．
(1)求椅子的展角的度数．
(2)求点P到地面的距离．（精确到）
（参考数据：，，）
【答案】(1)椅子的展角的度数约为
(2)点到地面的距离约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键．
（1）过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得的长，再根据等腰三角形的性质可得的长，然后在中，解直角三角形可得的大小，最后根据三角形的内角和定理求解即可得；
（2）过点作于点，在中，利用正弦的定义求解即可得．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
答：椅子的展角的度数约为．
（2）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：点到地面的距离约为．
24．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上．
(1)连接，求证：．
(2)若，求点A到直线的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据含的直角三角形的性质，得到，证明为等边三角形，为等边三角形，即可证明；
（2）过点A作于点D．求出，根据为等边三角形，解直角三角形即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转得到．
∴，，，
∴为等边三角形，为等边三角形．
∴，，
∴．
（2）解：如图，过点A作于点D．
∵，
∴，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴点A到直线的距离为．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
25．如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，E两点．
(1)写出B，C，D点坐标（不写计算过程）
(2)若B、C、D三点在抛物线上，求这个抛物线的解析式．
(3)若圆A的切线交于x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，，试判断直线是否经过所示抛物线的顶点？说明理由．
【答案】(1)，
(2)抛物线为：
(3)直线经过抛物线的顶点，理由见解析
【分析】（1）连接，构造直角三角形解答，在直角中，，根据勾股定理就可以求出的长，求出D的坐标，再利用圆的性质得出B，C的坐标．
（2）求出B、C、D的坐标，用待定系数法设出一般式解答；
（3）求出抛物线交点坐标，连接，则是直角三角形，且等于圆的半径，根据三角函数就可以求出的长，已知，就可以得到，则M点的坐标可以求出；同理可以在直角中，根据三角函数求出的长，求出N的坐标，根据待定系数法就可以求出直线的解析式．将交点坐标代入直线解析式验证即可．
【详解】（1）如图1，连接，得， ，
∴，
∴，
∵点为圆心，以为半径的圆与x轴交于B、C两点，
∴；
（2）∵，
∴将B，C，D三点代入抛物线得，
，
解得：
∴抛物线为：．
（3）如图2，连接，在中，，
∴
∴
∵
∴
设直线的解析式为，由于点和在直线上，
则，
解得
∴直线的解析式为
∵抛物线的顶点坐标为，
当时，
∴点在直线上，即直线经过抛物线的顶点．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式，切线的性质，解直角三角形，培养了同学们的实际应用能力，注意利用数形结合得出是解题关键．
26．如图，是的直径，，C为上一点，连接，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)过点D作，分别交，于点E，F．若，求值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用三线合一线构造直角三角形解题即可．
（1）连接，证明，得到，即可得到结论；
（2）作于, 于,设为,根据解直角三角形得到和长解题即可．
【详解】（1）证明: 连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）作于, 于,
，
，
又∵
，
，
，
，
设为, 则，，
，
，
∴，
又∵
，
．
27．已知，在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点．
(1)如图1，若．
①求证：；
②连接，求证：
(2)如图2，若，求的值．
【答案】(1)①见详解②见详解
(2)
【分析】（1）①根据图形特征及已知证得，再由，的值，推导，从而得到；
②延长，交于点，由全等三角形推得是的中点，在中，，再由即可得出结论；
（2）根据条件推出，得到．由及．建立关于的方程，求解的值即可．
本题综合考查了解直角三角形、矩形的性质、相似三角形、实数的运算等知识，综合性较强，灵活运用知识才能很好解决问题．
【详解】（1）解：在矩形中，
．
．
，
．
，
，
．
，
，
即．
②如图，延长，交于点．
在矩形中，．
．
在和中，
，
．
．
中，
．
，
．
．
（2）解：在矩形中，
，
，
，
，
，
，
，
，
且，
，
，
且，，
，
．
，
设，
则．
解得或（舍．
．
28．如图，眉山水街游人如织，交通十分拥挤．为了缓解这种交通状况，要伐掉一棵树，在地面上事先划定以 B为圆心，现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为 ，树的底部B点的俯角为．
(1)求大树的高度．（保留根号）
(2)距离大树点8米远有一配电箱， 配电箱是否处在危险区内？（，）
【答案】(1)大树的高度为米
(2)配电箱不在危险区内
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角定义和锐角三角函数定义是解题的关键．
（1）由锐角三角函数定义求出的长，再求出的长即可；
（2）由可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可知，，，
，
（米），
在中，，
(米)，
答： 大树的高度为 米．
（2）解：
，
∵距离大树 B 点 8 米远有一配电箱，
∴配电箱不在危险区内．
29．地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为，求电梯的坡度与长度．
参考数据：．
【答案】电梯的坡度，长度是19.5米
【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题和坡度问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
过A，Q分别作水平线交过点B的铅垂线于点C ，D，如图，则，，根据题意求得和．在中，，求得．即可求得．利用勾股定理求得即可．
【详解】解：过A，Q分别作水平线交过点B的铅垂线于点C ，D，如图，
则，
根据题意得．
∵，
∴．
在中，，
∴．解得．
∴．
∴．
电梯的坡度为．
答：电梯的坡度，长度是19.5米．
30．图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄和手臂始终在同一条直线上，枪身与额头F保持垂直．胳膊，，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为（即的长度），枪身．
(1)求点D到的距离；（结果保留根号）
(2)测温时规定枪身端点E与额头规定范围为3cm至5cm．在图2中若，张阿姨与测温员之间的距离为39cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．（参考数据：，）
【答案】(1)；
(2)不在规定范围内，理由见解析．
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形，做辅助线构造直角三角形．
（1）过点B作，所以，再利用已知条件求出，所以，进一步可得；
（2）过点A作于K，利用已知条件求出，进一步求出，可知在规定范围内．
【详解】（1）解：过点B作，交延长线于G，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：不在规定范围内，理由如下：
过点A作于K，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴不在规定范围内．
31．如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且，抛物线经过A，B，C三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作，垂足为点D，用含m的代数式表示线段的长，并求出线段的最大值．
(3)设点M为x轴上一动点，当直线与直线所夹的锐角时，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2) ，最大值为
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的综合问题，掌握待定系数法、抛物线的性质以及最值问题、解直角三角形是解题的关键．
（1）先求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）过P作轴，交于F，先表示出P、F的坐标，由此得到线段的长度，根据平行线的性质得，解直角三角形即可求出的表达式，利用二次函数的性质求出的最大值即可．
（3）分两种情况：当点M在上时或当点M在的延长线上时，分别求出即可．
【详解】（1）解：由，当时，；当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入抛物线中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）过P作轴，交于F．
∵点P在二次函数图象上且横坐标为m，
∴，
则，
∴，
∵于点D，
在中，，
∴，
∵轴，
∴，
∴ ，
∵，，
∴当时，最大，最大值为．
（3）当点M在上时，过点M作于点N．
∵
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴．
当点M在的延长线上时，同法可得．
综上所述，满足条件的点M的坐标为或．
32．图1、图2别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，．
(1)求此滑雪运动员的小腿的长度；
(2)求此运动员的身高．（参考数据： ，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据含角的直角三角形的性质即可得到答案；
（2）利用求出，根据分别求出和，即可得到答案
【详解】（1）解：在中，，
则 ，
答：此滑雪运动员的小腿ED的长度为；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
答：此运动员的身高约为．
33．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线．继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，）
(1)求屋顶到横梁的距离；
(2)求房屋的高．
【答案】(1)
(2)19.6米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）过点作，垂足为，根据题意可得，设，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】（1），
，
该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，
，，
．
答：屋顶到横梁的距离为．
（2）过点E作于点H，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，，
解得：，
，
答：房屋的高为19.6米．
34．在矩形中，，，点E为边上一动点，连接，在右侧作，，．
(1)如图1，若点F恰好落在边上，求的长；
(2)如图2，延长交边于点H，当时，求的值．
【答案】(1)3.5
(2)
【分析】本题属于四边形综合题，主要考查相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定等相关知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定．
（1）由四边形为矩形，可得，，，再证明，可得，最后求得的长；
（2）由题意可知，，过点作于点，由上易得，可得，设，则，由题意可知，可得，代入建立关于的方程，解之即可．
【详解】（1）四边形为矩形，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
（2），，
，
如图，过点F作于点M，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
又，
，
，
即，
解得，（舍去）
．
35．如图，河旁有一座小山，山高，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为，．若在此处建桥，求河宽的长．（结果精确到）【参考数据：，，】
【答案】河宽的长为．
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据等腰三角形的性质可得，在中， 由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴．
36．某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度．
【测量方案】在地面上选一点，垂直地面竖立标杆，后退2m到处，此时在一直线上；另选一点，垂直地面竖立标杆，后退4m到处，此时三点也在一直线上．
【测量数据】两次测量标杆之间的距离是为50m，两个标杆的高度均为m，且在同一直线上．
请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出古塔的高度．
【答案】古塔的高度为39米
【分析】本题考查解直角三角形的应用．先证明得，即，再证明得，即，解出即可．
【详解】解：由题可知，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
同理，
∴，
即：，
解得：，，
∴古塔的高度为39米．
37．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与 相交于点O，与相交于点N，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平分，，求矩形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的性质，菱形的判定定理，以及解直角三角形的方法和步骤．
（1）通过证明推出四边形是平行四边形，进而求证四边形是菱形；
（2）根据题意得出，进而得出，，根据菱形的性质得出，则，根据矩形的面积公式即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，则，
∴，
∵的垂直平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：由（1）可得：四边形是菱形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
38．综合探究
素材：一张矩形纸片．
操作：在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部．
(1)如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数；
(2)如图2，当落在对角线上时，求的长；
(3)连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段长度最小时点的位置，并求出此时的长．
【答案】(1)
(2)
(3)点落在对角线上时，线段长度最小，此时的长为3
【分析】（1）根据折叠的性质得到是等边三角形. 则，再根据折叠的性质得到，即可得到答案；
（2）由折叠的性质得到，再由同角的余角相等即可得到，由即可求出的长；
（3）由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小， 根据勾股定理得到，由折叠得：，，，设，则，，根据勾股定理得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：连接，
由折叠得：，垂直平分.
∵在上，
∴，
∴，
∴是等边三角形.
∴，
∵，
∴.
（2）依题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）点落在对角线上时，线段长度最小时的长为3.
理由如下：由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小，如图，
中，，
由折叠得：，，，
设，则，，
根据勾股定理得，，
则
解得
∴线段长度最小时的长为3.
【点睛】此题考查了解直角三角形、矩形的折叠问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
39．如图1，某社区服务中心在墙外安装了遮阳棚，便于居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳棚长为5米，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为米，是为了增加纳凉面积加装的一块前挡板（前挡板垂直于地面）．（参考数据：）
(1)求出遮阳棚前端M到墙面的距离；
(2)已知本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若此时房前恰好有米宽的阴影，则加装的前挡板的宽度的长是多少？
【答案】(1)遮阳棚前端M到墙面的距离为米
(2)则加装的前挡板的宽度的长是米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点M作，垂足为N，在中，利用正弦求出的长度即可；
（2）过点E作，垂足为H，在中，利用余弦求出的长度，在中，利用正切求出，最后利用线段的和差求出结果．
【详解】（1）解：过点M作，垂足为N，
在，米，，
，
米，
遮阳棚前端M到墙面的距离为米；
（2）如图，过点E作，垂足为H，
在，米，，
米，
米，
米，
由（1）可知米，
米，米，
米，
在中，米，
米，
加装的前挡板的宽度的长是米．
40．综合与实践．
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，该怎么办呢？
小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．
第2步：再次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
将延长交于点G，将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．
请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：
(1)直接写出和的数量关系：__________；
(2)请求出的度数；
(3)求证：四边形是菱形．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了图形的变换——折叠，矩形的性质，菱形的判定等：
（1）根据折叠的性质可得，从而得到，即可求解；
（2）根据锐角三家函数可得，即可求解；
（3）由（2）得，从而得到是等边三角形，进而得到，再有折叠的性质，即可求证．
【详解】（1）解：∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
∴，
∵再次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段．
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵由折叠的性质得：，
∵在中，，
∴，
∴，
，
由折叠的性质得：；
（3）证明：由②得，
∵四边形是矩形，
∴，
，，
∴是等边三角形，
∴，
由折叠得，
，
∴四边形是菱形．
41．【材料阅读】如图1，在△ABC中，设的对边分别为a，b，c，过点A作，垂足为D，会有，则=，即，同理，．有以上三式可得：正弦定理：，通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理：如图2，在中，设的对边分别为a，b，c，则①
② ③
用以上的公式和定理解决问题：
【简单应用】（1）在锐角中，设的对边分别为a，b，c，且，求；
（2）如图3，在中，，，求的面积与周长．
【灵活应用】（3）如图4，在中，角所对的边分别为，已知，的面积为，设为的中点，且，求的周长．（参考数据：）
【答案】（1）；（2）的面积为，周长为18；（3）
【分析】本题考查三角形的性质、锐角三角函数，理解题中新定义并灵活运用是解答的关键．
（1）利用题意正弦定理得到，进而得到，利用特殊角的三角函数值可求解；
（2）根据题中面积公式和余弦定理求解即可；
（3）延长，使得，连接，证明得到，，则，进而得到，，利用题中正弦定理和余弦定理求得，，，进而求得，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）∵在中，，，
∴，
，
∴（负值舍去），
∴周长；
（3）∵在中，，的面积为，
∴，则，
延长，使得，连接，
∵为的中点，
∴，又，
∴，
∴，，
∴，则，
在中，，，
∴，则，
∴在中， ，
∴（负值舍去），
∵,
∴（负值舍去），
∴的周长为．
42．中国古代在公元前世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”，如图所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．在图中，呈水平状态，为法线，，已知米，求镜面上点到水盆的距离．（结果精确到米，参考数据：）
【答案】面上点到水盆的距离约为米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作，由可得，由，可得，进而得到，分别解和即可求解，掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过点作，垂足为，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴米，
在中，，
∴米，
∴镜面上点到水盆的距离约为米．
43．综合实践，
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．
(1)探究发现
旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
(2)性质应用
如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长．
(3)延伸思考
如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤．
（1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论；
（2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解；
（3）令相交于点Q，过点E作于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出，，则，即可解答．
【详解】（1）解：∵点D和点E为分别为中点，
∴由图1可知，，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
根据旋转的性质可得：，
∴，
∴；
（2）解：由图1可知∵点D和点E为分别为中点，
∴，，
∴，
∴，
∴当所在直线经过点B时，，
根据勾股定理可得：，
由（1）可得：，
∴，
解得：；
（3）解：令相交于点Q，过点E作于点G，
根据题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∵边平分线段，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据旋转的性质可得：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
44．如图，四边形内接于为的直径，且．
(1)试判断的形状，并给出证明．
(2)若．
①求线段的长．
②求的值．
【答案】(1)见解析
(2)① ②
【分析】本题是圆的综合题，考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握圆的性质是解题关键.
（1）根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明；
（2）①由为的直径，可得，利用勾股定理即可求得答案；
②过点作于点，由是等腰直角三角形，可得，再根据三角函数定义可得，可得，即可求得答案．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由为：
∵是圆的直径，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：①∵，
∴，
，
∵为的直径，
，
；
②如图，过点作于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
