课件9张PPT。相似三角形的应用复习教学目标：知识目标：１、学会运用相似三角形的判定定理、性质定理进行几何
证明或计算；
2、能将相似三角形的性质与方程、函数联系在一起，把实际问用与数学的方法解决。能力目标：培养学生的综合运用知识的能力。情感目标：体会相似三角形与方程、函数之间的关系。教学重点：相似三角形与方程、函数知识的综合运用教学难点：两个实际例子中方案的设计。1、在直径为AB的半圆内，划出一个三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图，设计方案是使AC=8，BC=6。
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DN=x，NF=y，求y关于x的函数关系式；
（3）当x为何值时，水池DEFN的面积最大，其最大面积是多少？
（4）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请你设计另
外的方案，使内接于满足条件
的三角形中欲建的最大水池能
避开大树；如果不在，
请说明理由。
分析：
AB是半圆的直径，可得出
∠C是直角，从而可以根据勾股
定理求出AB边的长，再根据三
角形面积公式很快可以得出AB
边上的高线。（1）求△ABC中AB边上的高h分析：
四边形DEFN为矩形，则有
NF∥BC，则△CNF∽△CAB，然
根据相似三角形对应高线的比
等于相似比，就可找到DN与NF
之间的联系。（2）设DN=x，NF=y，求y关于x的
函数关系式；（3）当x为何值时，水池DEFN
的面积最大，其最大面积
是多少？分析：要确定矩形DEFN的最
大面积，就一定要找到矩形面
积与x之间的关系。（4）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，
问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护
大树，请你设计另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲
建的最大水池能避开大树；如果不在，请说明理由。2.在△ABC中,∠ABC=900,AB=4,BC=3.O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线CB于点F.
(1)如图,求证:△ADE∽△AEP;
(2)设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(3)当BF=1时,求线段AP的长.分析(1)连结OD证∠ADE=∠AEP(2)AO=x,OD=3x/5,AD=4x/5,AE=8x/5,由(1)比例式,可得y=16x/5.(3)由两对相似三角形，可求ＰＢ＝２，则ＡＰ＝２或ＡＰ＝６ 某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如下图）
（1）他们在△AMD和△BMC地带种植太阳花，单价为8元/m2。当在△AMD地带 （图中阴影部分）中种满花后，共用去了160元。请计算种满△BMC地带所需的费用 是多少元。
（2）若其余地带要种的有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？
（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌ △DPC，且△APD的面积与△BPC的面积相等，并说明你的理由。课后思考：课件17张PPT。三角形相似的应用（3）
如图,已知△ABC中， DE∥BC，AH ⊥BC于点H，交DE于点G ,则：
忆一忆根据什么？相似三角形对应高线的比等于相似比。例1、在直径为AB的半圆内，划出一个三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，现要建造一个内接于三角形ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图设计方案是使AC=8，BC=6，求
(1)三角形AB边上的高线CH。
(2)设DN=x,NF=y,求y关于x的函数解析式。
(3)当x为何值时，水池DEFN的面积最大，
最大为多少？
HG 有一批形状相同的不锈钢片，呈直角三角形，如图（1）所示，已知∠A=90°，AB=8cm，BC=10cm，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，如图，甲、乙各设计一种方案，你觉得哪种方案更好，为什么？如图（1）甲乙 变 一 变MN 现有一块三角形余料ABC，它的一边BC=12cm，高线AD=8cm. E为AB上一动点(E不与A、B重合)，且EF∥BC交AC于点F ，以EF为边向下做一个正方形EFGH，设正方形EFGH与三角形ABC的重合部分面积为y,EF=x.求
(1)当HG落在BC上时,求x
议一议(2)当HG不落在BC边上时,求y关于x的关系式
解题小结一个基本图形。在复习相似三角形的过程中，我们可以把一些基本图形归类，熟记一些基本的方法，都将帮助我们解题。以相似三角形 背景的综合题，要充分运用方程、分类讨论、转化、函数以及数形结合的思想来研究解决。 在直径为AB的半圆内，划出一个三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，现要建造一个内接于三角形ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图设计方案是使AC=8，BC=6，求(1)三角形AB边上的高线CH
(2)设DN=x,NF=y,求y关于x的函数解析式
(3)当x为何值时，水池DEFN的面积最大，最大为多少？
探一探(4)在实际施工时，发现AB上距B点1.85米处有一棵大树，问这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树请你设计另外的方案，
使内接于满足条件的三角形中欲建
的最大水池能避开大树；
如果不在，请说明理由
练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90。，AC=4，BC=3，（1）如图1，四边形DEFG为⊿ABC的内接正方形，求正方形的边长。
练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90。，AC=4，BC=3，（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接与⊿ABC，求正方形的边长（1）如图1，四边形DEFG为⊿ABC的内接正方形，求正方形的边长。
练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90。，AC=4，BC=3，（3）如图3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于⊿ABC，求正方形的边长。（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接与⊿ABC，求正方形的边长（1）如图1，四边形DEFG为⊿ABC的内接正方形，求正方形的边长。
练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90。，AC=4，BC=3，（4）如图4，三角形内有并排的个正方形，它们组成的矩形内节于⊿ABC，请写出正方形的边长。 1.(2004.江苏无锡市)已知，如图所示的四边形ABCD为菱形，AF⊥BC于F，
(1)求证：AD2= DE·DB.
(2)过点E作EG⊥AF交AB于点G，若线段BE，DE(BE＜DE)的长是方程x2-3mx+2m2=0(m＞0)的两个根，且菱形ABCD的面积为 ，求EG的长.【解析】(1)证等积式，首先想到化成比例式，但式子有12，应想到菱形的性质：对角线互相垂直平分，故连接AC交BD于O点，即BD=2DO，所以AD2=DE·DO 做一做 2.(2005·山东省)如图中的(1)是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1，BE交于点M、N，且图(1)被直线MN分成面积相等的上、下两部分.
(1)求 的值.(2)求MB、NB的长.
(3)将图(1)沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒(如图(2)所示)后，求点M、N间的距离. 图（1） 图（2） M(2)∵分成的两部分面积相等得MB·NB= ，即
MB·NB=5 MB+NB=5，因此可以构造一元二次
方程x2-5x+5=0，且MB＜NB.
∴MB= ，NB= (3)由(2)已知B1M= ∵图(2)中的BN与图(1)中的EN相等.
∴BN=B1M，
即四边形BB1MN是矩形.∴MN=1. 3.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，
MN∥AB，AB=6，BC=4，CD=3，设DM=x.(1)设MN=y，用x的代数式表示y.
(2)设梯形MNCD的面积为S，用x
的代数式表示S.
(3)若梯形MNCD的面积S等于梯
形ABCD的面积的13，求DM.
【解析】(1)过D作DE⊥AB于E点交MN于F，MN=MF+FN=MF+3，在Rt△DAE中,AD= 由MN∥AB 课件25张PPT。三角形相似的应用（2）复习提问:我们已经学习相似三角形的性质有哪些？1、相似三角形对应角相等。2、相似三角形对应边成比例。 3、相似三角形的周长之比等于相似比；4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。5、相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比等于相似比。复习练习1、如图， △ＡＢＣ中，ＤＥ??ＦＧ??ＢＣ，ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ=_________
2.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm,延长两腰BD,CD交于点O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,则OF=_______.
ABCDEFO3、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且AC=2AD.则ΔACD∽ Δ______.它们的相似比K =_______,ABCED校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，
你有什么方法？
把一小镜子放在离树（AB）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？ABEDC方法一 把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？ （精确到0.1M） ABCDEF课内练习： 步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上准星宽度AB为2mm，目标的正面宽度CD为50cm，求眼睛到目标的距离OF。 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O’B’，比较棒子的影长A’B’与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB. 如果O’B’＝1, A’B’＝2, AB＝274,求金字塔的高度OB.体验：例2.如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2.25m，现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度AC=1.20m，AB在水平位置。求AB的长度（结果保留3个有效数字）。解：由题意得，AB∥PO
∴∠ABC=∠OPQ ∵∠CAB=∠POQ=Rt∠
∴△ABC∽△OPQ∴AB/OP=AC/OQ
∴AB=OP×AC/OQ=5×1.2/2.25≈2.67m答：AB的长约为2.67m。1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 m。 1m16m0.5m8给我一个支点我可以撬起整个地球!---阿基米德？反馈与评价2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高为 . 4米3.如图:小明在打网球时,要使球恰好能打过网 ,而且落在离网５米的位置上，则拍击球的高度应为（ ） 。 A、2.7米 B、1.8米
C、0.9米 D、 6米 Ａ 如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x。O思考：（分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔直径AB。而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出AB的长度。）O挑战自我 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？NMQPEDCBA解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以课堂小结:一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
2 测距(不能直接测量的两点间的距离)、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决 、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解解决实际问题时（如测高、测距），
一般有以下步骤：①审题 ②构建图形
③利用相似解决问题谈谈你的收获怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度?想一想怎样测量旗杆的高度呢？求旗杆高度的方法:
旗杆的高度和影长组成的三角形人身高和影长组成的三角形因为旗杆的高度不能直接测量,我们可以利用再利用相似三角形对应边成比例来求解.
相似于１、旗杆的高度是线段 ；旗杆的高度与它的影长组成什么三角形？（ ）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？温馨提示：BC△ABC6m2、人的高度与它的影长组成什么三角形？（ ）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？△A′B′ C ′3、 △ABC与△A′B′ C ′ 有什么关系?试说明理由.1.2m1.6mACBDE┐┐ACBDE┐┐结束寄语不经历风雨，怎么见彩虹.,没有人能随随便便成功!课件17张PPT。三角形相似的应用（1）某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？ 你能够将上面生活中的问题
转化为数学问题吗？问题情境思考30m你能吗算一算：
ΔABC与ΔA’B’C’的相似比
是多少？
ΔABC与ΔA’B’C’的周长比
是多少?
面积比是多少？4×4正方形网格看一看：
ΔABC与ΔA’B’C’有什么关系？ 为什么？
（相似）2探究新知4×4正方形网格验一验：
是不是任何相似三角形都有此关系呢？
你能加以验证吗？周长比等于相似比，
面积比等于相似比的平方探究新知已知:Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’相似比为k.=k2k两个相似三角形的对应高之比等于相似比。求证:=已知：如图，△ABC∽ △A’B’C’, △ABC与 △A’B’C’的相似比是k,AD、A’D’是对应高。
求证：
ABCB’A’C’DD’证明：
∵△ABC∽△A’B’C’
∴∠B= ∠B’
∴∠ABD=∠A‘B’D‘=90O
∴ △ABD∽△A’B’D’
两个相似三角形的对应高之比等于相似比。相似三角形对应中线的比与对应
角平分线的比等于相似比。
你能类比证明吗?已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比周长比面积比注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，
求面积比要平方，而已知面积比，求相似比或
周长比则要开方。练一练：24100100100002．．．．．．．．．例1.如图：是某市部分街道图，比例尺为1：10 000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积。ABCD某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？问题情境30m解:如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m,
ΔABC的周长为80m，面积为100m2,
求ΔADE的周长和面积问题解决30mADE1.过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变，则
ΔEFC的面积等于多少？BDEF面积为多少？ 2.若设sΔABC=S, SΔADE=S1, SΔEFC=S2.
请猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？
你能加以验证吗？BC48m2拓展延伸36m2证明：DE//BCEF//AB1636练习1、如图， △ＡＢＣ中，ＤＥ??ＦＧ??ＢＣ，ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ=_________
2.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm,延长两腰BD,CD交于点O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,则OF=_______.
ABCDEFO练习3、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且AC=2AD.则ΔACD∽ Δ______.它们的相似比K =_______,ABCED小结本节课你有哪些收获？１.这节课我们学到了哪些知识？２.我们是用哪些方法获得这些知识的？３.通过本节课的学习，你有没有新的想法或发现？
你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？作业1.作业本
2. 探究的推理过程课外整理完成，
各组自行组织讨论交流
