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5.5.1 一元一次方程的应用教学设计
课题 5.5.1 一元一次方程的应用 单元 第五单元 学科 数学 年级 七年级（上）
教材分析 “一元一次方程的应用”在教材中具有重要地位。教材通常从简单实际情境入手，引导学生将生活问题转化为数学模型。通过丰富多样的实例，涵盖行程、工程、销售等常见领域，逐步加深学生对方程应用的理解，本节主要了解和差倍分与工程问题。教材注重培养学生的建模能力和逻辑推理。先分析问题中的等量关系，再设未知数、列方程求解。在编排上，遵循由易到难、循序渐进的原则，使学生逐步掌握解题方法和技巧。同时，强调方程解法的规范和准确性，为后续学习更复杂的方程应用奠定基础。
核心素养 能力培养 1. 数学建模能力：引导学生将实际问题转化为一元一次方程的数学模型，培养抽象问题的能力。 2. 逻辑推理能力：依据法则解方程，锻炼逻辑思维的严谨性。 3. 应用与创新能力：通过实际问题培养应用意识，鼓励从不同角度思考，培养创新思维。
教学目标 1.学生能够学会分析实际问题中的数量关系，列出一元一次方程。 2.掌握运用一元一次方程解决和差倍分与工程问题等常见类型的实际问题。 3.通过实际问题的解决，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和逻辑思维能力。
教学重点 掌握从实际问题中找等量关系列方程求解。
教学难点 分析复杂情境中的数量关系，检验方程解的合理性。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新知导入 教师出示问题： 复习回顾： 求下列一元一次方程的解。 = 【解析】 去分母，得3(5x+3)=2(1+7x) 去括号，得15x+9＝2+14x 移项，合并同类项，得x=-7 得x=-7. 创设情境、导入新课 杭州第19届亚运会的会徽“潮涌”既展现江潮奔涌，又寓意勇立潮头，潮头形象象征大家团结携手、紧密相拥、永远向前。 复习回顾之前学习第四节的一元一次方程的解法内容。 先自主探究，再小组合作，分析。 巩固学习一元一次方程的解法的相关知识。 从亚运会的会徽导入一元一次方程实际应用和差倍分与工程问题，引出知识点。
新知探究 探究一：引入概念 杭州第19届亚运会共开设40个大项目，其中奥运项目的数量比非奥运项目的3倍多4个。请你算一算，其中奥运项目开设了多少个？ 请与你的同伴讨论和解答下面的问题。 （1）能直接列出算式求杭州第19届亚运会开设的奥运项目个数吗？ （2）如果用列方程的方法来解，设哪个未知数为x？ （3）根据怎样的相等关系来列方程？方程的解是多少？ 【强调】： 从上面的例子我们可以看到，运用方程解决实际问题的一般过程是： 1.审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。 2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）。 3.列方程：根据相等关系列出方程。 4.解方程：求出未知数的值。 5.检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答。 分析问题中的相等关系 1.逐步列式法:例如,x+2的2倍比3x-6大5,首先写出“x+2的2倍”即2(x+2),它比3x-6大5,那么“大-小=5”,即2(x+2)-(3x-6)=5. 2.列表分析法:用行(或列)表示不同的项目或种类,用列(或行)表示相应的数量。 3.画图分析法:用图形表示题目中的相等关系.例如,行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 拓展：设未知数有直接设和间接设两种，间接设未知数的几种情况如下: (1)设问题的局部(或部分)为x.如多位数问题设其中的一位或几位上的数为x (2)若题中所求几个未知量的比例关系已知,则可用x表示其中“每份”的数量。 (3)有些应用题,尽管解答时可问什么设什么，但当题目中还包含其他未知量时,这些未知量虽非题目所求,但缺了它就不易建立相等关系,这时可设辅助未知数。 常见问题中的相等关系 1.配套问题 相等关系:加工总量成比例,若一件产品由A,B两种配件组成,A,B两种配件的数量比是a:b,则A种配件总数量×b=B种配件总数量×a； 例如,一个眼镜由1个镜架和2个镜片配成,这里镜架总数×2=镜片总数×1。 2.工程问题 (1)基本关系式:工作量=工作效率×工作时间,工作时间=，工作效率=。 (2)当问题中总工作量未知而又不求总工作量时,要把总工作量看作整体1. (3)常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 方法 (1)找相等关系的规律:在工作量、工作效率、工作时间这三个量中,如果甲量已知,从乙量设元,那么就从丙量找相等关系列方程. (2)工程类应用题的工作总量不是具体数量时,往往把工作总量看作“1”。 (3)工作总量看作"1"时,工作效率=，工作时间=. 探究二：例题讲解 教材第139页 例1 每年9月5日为“中华慈善日”，某文艺团体开展募捐义演，全价票为每张30元，学生享受半价优惠。某场演出共售出966张票，收入25800元。问：这场演出共售出学生票多少张？ 分析：题中涉及的数量有票数、票价、总票价等，它们之间的相等关系有： 解：设这场演出售出学生票 x 张，则售出全价票（966－x）张。 根据题意，得(966－x)×30＋×30×x＝25800。 解这个方程，得x＝212。 检验：x＝212是方程的解，且符合题意。 答：这场演出共售出学生票212张。 例2 某工程队承包了全长为2400米的隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从隧道两端同时施工，花 30个月完成整个施工任务。已知甲班组比乙班组平均每月多施工8米，问：甲、乙两个班组平均每月各施工多少米？ 分析：由题意可知，本题有如下数量和数量关系. 解：设乙班组每月施工x米，则甲班组每月施(x＋8)米，由题意，得30x＋30(x＋8)＝2400。 解这个方程，得x＝36。 检验：x＝36是方程的解，且符合题意。 甲班组每月施工长度为36＋8＝44(米)。 答：甲班组平均每月施工44米，乙班组平均每月施工36米。 学生自学、互动。在具体学习时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想，发现结论。 阅读教材实际例题，理解实际问题的解决 勾起学生的探究欲望，激发学生对学习本节课的浓厚兴趣。通过例题的解决发现规律，提高学生归纳能力.激发学生兴趣，引入新课主题， 通过对问题的讨论，学生将学习一元一次方程实际应用的解法。
课堂练习 【例1】三个正整数的比是1:2:4,它们的和是84,那么这三个数中最大的数是_______. 48 【解析】设这三个正整数分别为x,2x,4x.由题意得x+2x+4x=84,解得x=12,所以这个数中最大的数是4x=48.故答案为48。 【例2】《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六，不足十六，问人数鸡价各几何 译文:今有人合伙买鸡，每人出9钱,会多出11钱;每人出6钱,又差16钱.问人数、买鸡的钱数各多少 设人数为x,可列方程为（ ） A.9x+11=6x+16 B.9x-11=6x-16 C.9x+11=6x-16 D.9x-11=6x+16 D【解析】已知人数为x,由题意得,9x-11=6x+16,故选D。 【例3】一项工作,甲单独做需9天完成,乙单独做需12天完成,如果两人合作几天后,余下的工作再由甲单独做2天完成,则甲、乙两人合作了_______天. 4【解析】设甲、乙两人合作了x天,由题意得(+)x+2×=1，解得x=4,故答案为4。 【例4】星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除,根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需4h;若爸爸单独完成,需2h当天,小峰先单独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了3h,求这次小峰打扫了多长时间。 【选做】5.如图,将正整数1至1000按一定规律排列,整体平移表中带阴影的三个方框,平移后被方框遮住的三个数的和可能是（ ） A.1002 B.1004 C.1006 D.1008 C【解析】设被方框遮住的最上面的数为x，则左下方的数为x+7,右下方的数为x+9,所以三个数的和为3x+16.当 3x+16=1002时,x=328,不符合题意;当3x+16=1004时,x=329 ,不符合题意;当3x+16=1006时，x=330,符合题意;当3x+16 =1008时,x=330,不符合题意，故选C。 【选做】6.一项工程由甲、乙、丙三个人来完成,原计划n天完成(n为正整数)，如果按照甲、乙、丙各做一天的顺序工作,恰好能如期完成,如果按照丙、甲、乙各做一天的顺序工作,那么比原计划晚0.5天完成,如果按照乙、丙、甲各做一天的顺序工作,那么比原计划晚1天完成,若丙单独完成这项工程需要50天，则n=_______。 37【解析】第一种:甲+乙+丙+…=1;第二种:丙+甲+乙+…=1;第三种:乙+丙+甲+…=1.可以发现只要经过3的倍数天,甲、乙、丙的工作量都是一样的,所以有两种可能:①第一种情况,最后两天为甲+乙,那么第三种情况最后三天必然是乙+丙+甲，由此得到甲+乙=乙+丙+甲,显然不符合题意;②第一种情况,最后一天为甲,那么第二种情况最后就是丙+甲,第三种情况最后两天就是乙+丙,所以甲=丙+甲=乙+丙,因为丙单独完成这项工程需要50天,所以丙的工效为,所以甲单独完成这项工程需要25天,乙单独完成这项工程需要50天。设乙和丙工作了x天,则甲工作了(x+1)天,恰好如期完成,则x+x+（x+1)=1,解得x=12, 所以n=12+12+13=37。 完成例题和练习.在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出重点要点难点 加深学生对一元一次方程的应用的理解。培养学生多角度思考和解决问题的能力.
课堂小结 知识点1 列方程解决实际问题的步骤 1.审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。 2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）。 3.列方程：根据相等关系列出方程。 4.解方程：求出未知数的值。 5.检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答。 知识点2 分析问题中的相等关系 1.逐步列式法:例如,x+2的2倍比3x-6大5,首先写出“x+2的2倍”即2(x+2),它比3x-6大5,那么“大-小=5”,即2(x+2)-(3x-6)=5. 2.列表分析法:用行(或列)表示不同的项目或种类,用列(或行)表示相应的数量。 3.画图分析法:用图形表示题目中的相等关系.例如,行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点3 常见问题中的相等关系 1.配套问题：相等关系，加工总量成比例。 2.工程问题 (1)基本关系式:工作量=工作效率×工作时间,工作时间=，工作效率=。 (2)当问题中总工作量未知而又不求总工作量时,要把总工作量看作整体1. (3)常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 学生归纳本节所学知识 回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
作业布置 1.必做题：学案课后练习 习题1-4 2.选做题：学案课后练习 习题5-6 学生自主完成 巩固训练，提高学生应用数学知识解决问题能力
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第五章 一元一次方程
5.5.1 一元一次方程的应用
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1. 学生能够学会分析实际问题中的数量关系，列出一元一次方程；
2. 掌握运用一元一次方程解决和差倍分与工程问题、等常见类型的实际问题；
3. 通过实际问题的解决，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和逻辑思维能力。
02
新知导入
杭州第 19届亚运会的会徽“潮涌”既展现江潮奔涌，又寓意勇立潮头，潮头形象象征大家团结携手、紧密相拥、永远向前。
03
新知讲解
杭州第19届亚运会共开设40个大项目，其中奥运项目的数量比非奥运项目的3倍多4个。请你算一算，其中奥运项目开设了多少个？
请与你的同伴讨论和解答下面的问题。
（1）能直接列出算式求杭州第19届亚运会开设的奥运项目个数吗？
（2）如果用列方程的方法来解，设哪个未知数为x？
（3）根据怎样的相等关系来列方程？方程的解是多少？
03
新知讲解
解：
（1)杭州第19届亚运会开设的奥运项目个数=×3+4=31(个);
（2）设非奥运项目为x个，则奥运项目有(40-x)个;
（3）等量关系：非奥运项目+奥运项目=40,
由题意x+3x+4=40,解得x=9.
03
新知讲解
例1 每年9月5日为“中华慈善日”，某文艺团体开展募捐义演，全价票为每张30元，学生享受半价优惠。某场演出共售出966张票，收入25800元。问：这场演出共售出学生票多少张？
分析：题中涉及的数量有票数、票价、总票价等，它们之间的相等关系有：
03
新知讲解
解：设这场演出售出学生票 x 张，则售出全价票（966－x）张。
根据题意，得(966－x)×30＋×30×x＝25800。
解这个方程，得x＝212。
检验：x＝212是方程的解，且符合题意。
答：这场演出共售出学生票212张。
03
新知讲解
从上面的例子我们可以看到，运用方程解决实际问题的一般过程是：
1.审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。
2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）。
3.列方程：根据相等关系列出方程。
4.解方程：求出未知数的值。
5.检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答。
03
新知讲解
分析问题中的相等关系
1.逐步列式法:例如,x+2的2倍比3x-6大5,首先写出“x+2的2倍”即2(x+2),它比3x-6大5,那么“大-小=5”,即2(x+2)-(3x-6)=5.
2.列表分析法:用行(或列)表示不同的项目或种类,用列(或行)表示相应的数量。
3.画图分析法:用图形表示题目中的相等关系.例如,行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。
03
新知讲解
拓展：设未知数有直接设和间接设两种，间接设未知数的几种情况如下:
(1)设问题的局部(或部分)为x.如多位数问题设其中的一位或几位上的数为x
(2)若题中所求几个未知量的比例关系已知,则可用x表示其中“每份”的数量。
(3)有些应用题,尽管解答时可问什么设什么，但当题目中还包含其他未知量时,这些未知量虽非题目所求,但缺了它就不易建立相等关系,这时可设辅助未知数。
03
新知讲解
常见问题中的相等关系
1.配套问题
相等关系:加工总量成比例,若一件产品由A,B两种配件组成,
A,B两种配件的数量比是a:b,则A种配件总数量×b=B种配件总数量×a；
例如,一个眼镜由1个镜架和2个镜片配成,这里镜架总数×2=镜片总数×1。
2.工程问题
(1)基本关系式:工作量=工作效率×工作时间,工作时间=，工作效率=。
(2)当问题中总工作量未知而又不求总工作量时,要把总工作量看作整体1.
(3)常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。
03
新知讲解
方法
(1)找相等关系的规律:在工作量、工作效率、工作时间这三个量中,如果甲量已知,从乙量设元,那么就从丙量找相等关系列方程.
(2)工程类应用题的工作总量不是具体数量时,往往把工作总量看作“1”。
(3)工作总量看作"1"时,工作效率=工作时间=
.
03
新知讲解
03
新知讲解
例2 某工程队承包了全长为2400米的隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从隧道两端同时施工，花 30个月完成整个施工任务。已知甲班组比乙班组平均每月多施工8米，问：甲、乙两个班组平均每月各施工多少米？
分析：由题意可知，本题有如下数量和数量关系.
03
新知讲解
解：设乙班组每月施工x米，则甲班组每月施(x＋8)米，由题意，得30x＋30(x＋8)＝2400。
解这个方程，得x＝36。
检验：x＝36是方程的解，且符合题意。
甲班组每月施工长度为36＋8＝44(米)。
答：甲班组平均每月施工44米，乙班组平均每月施工36米。
04
课堂练习
【例1】三个正整数的比是1:2:4,它们的和是84,那么这三个数中最大的数是_______.
48 【解析】设这三个正整数分别为x,2x,4x.由题意得x+2x+4x=84,解得x=12,所以这个数中最大的数是4x=48.故答案为48。
04
课堂练习
【例2】《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六，不足十六，问人数鸡价各儿何 译文:今有人合伙买鸡，每人出9钱,会多出11钱;每人出6钱,又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是少 设人数为x,可列方程为（ ）
A.9x+11=6x+16 B.9x-11=6x-16
C.9x+11=6x-16 D.9x-11=6x+16
D【解析】已知人数为x,由题意得,9x-11=6x+16,故选D。
04
课堂练习
【例3】一项工作,甲单独做需9天完成,乙单独做需12天完成,如果两人合作几天后,余下的工作再由甲单独做2天完成,则甲、乙两人合作了_______天.
4【解析】设甲、乙两人合作了x天,由题意得(+)x+2×
=1，解得x=4,故答案为4。
04
课堂练习
【例4】星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除,根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需4h;若爸爸单独完成,需2h当天,小峰先单独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了3h,求这次小峰打扫了多长时间。
【解析】设小峰打扫了xh,则爸爸打扫了(3-x)h.
由题意,得x+(3-x)=1,解得x=2。
答:小峰打扫了2h。
04
课堂练习
【选做】5.如图,将正整数1至1000按一定规律排列,整体平移表中带阴影的三个方框,平移后被方框遮住的三个数的和可能是（ ）
A.1002 B.1004 C.1006 D.1008
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
…
04
课堂练习
C【解析】设被方框遮住的最上面的数为x，则左下方的数为x+7,右下方的数为x+9,所以三个数的和为3x+16.当3x+16
=1002时,x=328,不符合题意;当3x+16=1004时,x=329 ,不符合题意;当3x+16=1006时，x=330,符合题意;当3x+16
=1008时,x=330, 不符合题意.故选C。
04
课堂练习
【选做】6.一项工程由甲、乙、内三个人来完成,原计划n天完成(n为正整数)，如果按照甲、乙、丙各做一天的顺序工作,恰好能如期完成,如果按照丙、甲、乙各做一天的顺序工作,那么比原计划晚0.5天完成,如果按照乙、丙、甲各做一天的顺序工作,那么比原计划晚1天完成,若丙单独完成这项工程需要50天，则n=_______。
37【解析】第一种:甲+乙+丙+…=1;第二种:丙+甲+乙+…=1;第三种:乙+丙+甲+…=1.可以发现只要经过3的倍数天,甲、乙、丙的工作量都是一样的,所以有两种可能:
04
课堂练习
①第一种情况,最后两天为甲+乙,那么第三种情况最后三天必然是乙+丙+甲，由此得到甲+乙=乙+丙+甲,显然不符合题意;②第一种情况,最后一天为甲,那么第二种情况最后就是丙+甲,第三种情况最后两天就是乙+丙,所以甲=丙+甲=乙+丙,因为丙单独完成这项工程需要50天,所以丙的工效为,所以甲单独完成这项工程需要25天,乙单独完成这项工程需要50天。设乙和丙工作了x天,则甲工作了(x+1)天,恰好如期完成,则x+x+（x+
1)=1,解得x=12,所以n=12+12+13=37。
05
课堂小结
知识点1 列方程解决实际问题的步骤
1.审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。
2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）。
3.列方程：根据相等关系列出方程。
4.解方程：求出未知数的值。
5.检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答。
05
课堂小结
知识点2 分析问题中的相等关系
1.逐步列式法:例如,x+2的2倍比3x-6大5,首先写出“x+2的2倍”即2(x+2),它比3x-6大5,那么“大-小=5”,即2(x+2)-(3x-6)=5.
2.列表分析法:用行(或列)表示不同的项目或种类,用列(或行)表示相应的数量。
3.画图分析法:用图形表示题目中的相等关系.例如,行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。
05
课堂小结
知识点3 常见问题中的相等关系
1.配套问题：相等关系，加工总量成比例。
2.工程问题
(1)基本关系式:工作量=工作效率×工作时间,工作时间=，工作效率=。
(2)当问题中总工作量未知而又不求总工作量时,要把总工作量看作整体1.
(3)常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。
06
作业布置
【必做】1.某人要去某关口,路程378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地,则此人第三天走的路程为__________里。
48【解析】设第三天走的路程为x里,则第二天走的路程为 2x里,第一天走的路程为4x里,第四天走的路程为一程为x里,第五天走的路程为x里，第六天走的路程为x里。根据题意得,4x+2x+x+x+x+x=378,解得x=48，故答案为48.
06
作业布置
【必做】2.七年级师生计划冬游观景.若单独租用50座的客车若干辆,则刚好坐满:若单独租用60座的客车,则可少和一辆,也正好坐满.
(1)求参加冬游观景的师生总人数.
(2)景区门票的购买与客车的租赁联合促销:租一辆 50座的客车的费用为1600元,租一辆60座的客车的费用为2500元,门票原价为20元/位.若租50座的客车,则门票打6折；若租60座的客车,则免门票,请问单独租用哪种客车更划算 为什么
【解析】(1)设单独租用50座客车x辆,则单独租用60座客车(x-1)辆。根据题意得50x=60(x-1),解得x=6,所以50x
=50×6=300。
答:参加冬游观景的师生有300人。
(2)单独租用60座客车更划算,理由如下:单独租用50座客车所需费用为1600×6+20×0.6×300=13200(元);单独租用60座客车所需费用为2500×5=12500(元)。因为13200
>12500,所以单独租用60座客车更划算。
06
作业布置
06
作业布置
【必做】3.一项工程,甲单独做要6小时完成,乙单独做要9小时完成，甲乙合作2小时,完成了这项工程的__________.余下的由甲单独做,还要__________小时完成。
【解析】甲、乙合作2小时,完成了这项工程的+设余下的由甲单独做，还要x小时完成。依题意,得=1-，解得x=，故答案为。
06
作业布置
【选做】4.某公司计划租用甲、乙两辆车运送一批货物,已知甲车单独运送这批货物需要20天,乙车单独运送需要10天,现由甲车先运5天,然后甲、乙两车合作运完剩下的货物。
(1)甲、乙两车合作还需多少天完成运送任务
(2)已知甲车每天的租金比乙车少100元,运完这批货物公司共支付了租金6650元,则甲、乙两车的租金每天分别是多少元
【解析】
(1)设甲、乙两车合作还需x天完成运送任务。依题意得
+=1,解得x=5.
答:甲、乙两车合作还需5天完成运送任务。
(2)设甲车每天的租金为y元,则乙车每天的租金为(y+100)元。依题意得(5+5)y+5(y+100)=6650,解得y=410,所以y+100=510。
答:甲车每天的租金为410元,乙车每天的租金为510元。
06
作业布置
06
作业布置
【选做】5.甲、乙两人完成一项工作,甲先做了3天,然后乙加入,一起完成剩下的工作,设工作总量为1,工作进度如下表,则完成这项工作共需（ ）
A.9天 B.10天 C.11天 D.12天
时间 第3天 第5天
工作进度
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作业布置
A【解析】根据表格可得甲做3天完成,所以每天完成,所以甲做5天完成的工作量为,所以乙做2天完成的工作量为-=，所以乙每天完成的工作量为设工作共需要x天,则甲做了x天,乙做了(x-3)天。依题意，得+=1,解得x=9。
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作业布置
【选做】6.甲、乙两工程队想共同承包一项工程,甲队单独做这项工程需30天完成,乙队单独做这项工程需20天完成,合同规定15天完成,否则每超过一天罚款1000元，甲、乙两队经商量后签订了该合同.
(1)正常情况下,甲、乙两队是否能履行该合同 为什么
(2)现两队合作完成这项工程的75%,因别处有急事,必须调走一个队,问:调走哪个队更合适些 为什么
【解析】(1)正常情况下,甲、乙两队能履行该合同。理由如下:设甲、乙两队合作需x天完成这项工程。根据题意得+
=1,解得x=12。因为12<15,所以正常情况下,甲、乙两队能履
行该合同。
(2)调走甲队更合适些。理由如下:设调走乙队,甲队还需m天完成这项工程,根据题意得+75%=1,解得m=,所以12×75%
+m=12×75%+=因为>15,所以调走乙队不合适。设调走甲队,乙队还需n天完成这项工程。据题意得+75%=1,解得n=5,所以12×75%+n=12×75%+5=14。因为14<15,所以调走甲队合适。
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作业布置
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第五章 一元一次方程
5.5.1 一元一次方程的应用
学习目标：
1.学生能够学会分析实际问题中的数量关系，列出一元一次方程；
2.掌握运用一元一次方程解决和差倍分与工程问题等常见类型的实际问题；
3.通过实际问题的解决，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和逻辑思维能力。
核心素养目标：
1. 数学建模能力：引导学生将实际问题转化为一元一次方程的数学模型，培养抽象问题的能力。
2. 逻辑推理能力：依据法则解方程，锻炼逻辑思维的严谨性。
3. 应用与创新能力：通过实际问题培养应用意识，鼓励从不同角度思考，培养创新思维。
学习重点：掌握从实际问题中找等量关系列方程求解。
学习难点：分析复杂情境中的数量关系，检验方程解的合理性。
一、知识链接
1.运用方程解决实际问题的一般过程是：
(1)审题：分析题意，找出题中的________及________。
(2)设元：选择一个适当的________用字母表示（例如x）。
(3)列方程：根据________列出方程。
(4)解方程：求出________的值。
(5)检验：检查求得的值是否正确和符合________，并作答。
2.画图分析法:用图形表示题目中的________.例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。
3.工程问题
(1)基本关系式:工作量=工作效率×工作时间，工作时间=________________，工作效率=________________。
(2)当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作________.
(3)常见的相等关系为总工作量=各部分工作量________。
4.工作总量看作"1"时，工作效率=________，工作时间=________.
二、自学自测
1.有三个数从小到大排列，后一个数比前一个数大3。已知这三个数的和为27，求这三个数。
2.某动车组列车有1193个座位，其中商务座22个，二等座数量比一等座数量的7倍少13个。该动车组列车一等座和二等座的座位数分别有多少个？
一、创设情境、导入新课
杭州第19届亚运会的会徽“潮涌”既展现江潮奔涌，又寓意勇立潮头，潮头形象象征大家团结携手、紧密相拥、永远向前。
二、合作交流、新知探究
探究一：引入概念
杭州第19届亚运会共开设40个大项目，其中奥运项目的数量比非奥运项目的3倍多4个。请你算一算，其中奥运项目开设了多少个？
请与你的同伴讨论和解答下面的问题。
（1）能直接列出算式求杭州第19届亚运会开设的奥运项目个数吗？
（2）如果用列方程的方法来解，设哪个未知数为x？
（3）根据怎样的相等关系来列方程？方程的解是多少？
【强调】：
从上面的例子我们可以看到，运用方程解决实际问题的一般过程是：
1.审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。
2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）。
3.列方程：根据相等关系列出方程。
4.解方程：求出未知数的值。
5.检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答。
分析问题中的相等关系
1.逐步列式法:例如，x+2的2倍比3x-6大5，首先写出“x+2的2倍”即2(x+2)，它比3x-6大5，那么“大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5.
2.列表分析法:用行(或列)表示不同的项目或种类，用列(或行)表示相应的数量。
3.画图分析法:用图形表示题目中的相等关系.例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。
拓展：设未知数有直接设和间接设两种，间接设未知数的几种情况如下:
(1)设问题的局部(或部分)为x.如多位数问题设其中的一位或几位上的数为x
(2)若题中所求几个未知量的比例关系已知，则可用x表示其中“每份”的数量。
(3)有些应用题，尽管解答时可问什么设什么，但当题目中还包含其他未知量时，这些未知量虽非题目所求，但缺了它就不易建立相等关系，这时可设辅助未知数。
常见问题中的相等关系
1.配套问题
相等关系:加工总量成比例，若一件产品由A，B两种配件组成，A，B两种配件的数量比是a:b，则A种配件总数量×b=B种配件总数量×a；
例如，一个眼镜由1个镜架和2个镜片配成，这里镜架总数×2=镜片总数×1。
2.工程问题
(1)基本关系式:工作量=工作效率×工作时间，工作时间=，工作效率=。
(2)当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1.
(3)常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。
方法
(1)找相等关系的规律:在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果甲量已知，从乙量设元，那么就从丙量找相等关系列方程.
(2)工程类应用题的工作总量不是具体数量时，往往把工作总量看作“1”。
(3)工作总量看作"1"时，工作效率=，工作时间=.
探究二：例题讲解
教材第139页
例1 每年9月5日为“中华慈善日”，某文艺团体开展募捐义演，全价票为每张30元，学生享受半价优惠。某场演出共售出966张票，收入25800元。问：这场演出共售出学生票多少张？
分析：题中涉及的数量有票数、票价、总票价等，它们之间的相等关系有：合并同类项等变形求解。
例2 某工程队承包了全长为2400米的隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从隧道两端同时施工，花 30个月完成整个施工任务。已知甲班组比乙班组平均每月多施工8米，问：甲、乙两个班组平均每月各施工多少米？
分析：由题意可知，本题有如下数量和数量关系.
【例1】三个正整数的比是1:2:4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是_______.
【例2】《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载:今有共买鸡，人出九，盈十一;人出六，不足十六，问人数鸡价各几何 译文:今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱;每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少 设人数为x，可列方程为（ ）
A.9x+11=6x+16 B.9x-11=6x-16
C.9x+11=6x-16 D.9x-11=6x+16
【例3】一项工作，甲单独做需9天完成，乙单独做需12天完成，如果两人合作几天后，余下的工作再由甲单独做2天完成，则甲、乙两人合作了_______天.
【例4】星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除，根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h;若爸爸单独完成，需2h当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间。
【选做】5.如图，将正整数1至1000按一定规律排列，整体平移表中带阴影的三个方框，平移后被方框遮住的三个数的和可能是（ ）
A.1002 B.1004 C.1006 D.1008
【选做】6.一项工程由甲、乙、丙三个人来完成，原计划n天完成(n为正整数)，如果按照甲、乙、丙各做一天的顺序工作，恰好能如期完成，如果按照丙、甲、乙各做一天的顺序工作，那么比原计划晚0.5天完成，如果按照乙、丙、甲各做一天的顺序工作，那么比原计划晚1天完成，若丙单独完成这项工程需要50天，则n=_______。
知识点1 列方程解决实际问题的步骤
1.审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。
2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）。
3.列方程：根据相等关系列出方程。
4.解方程：求出未知数的值。
5.检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答。
知识点2 分析问题中的相等关系
1.逐步列式法:例如，x+2的2倍比3x-6大5，首先写出“x+2的2倍”即2(x+2)，它比3x-6大5，那么“大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5.
2.列表分析法:用行(或列)表示不同的项目或种类，用列(或行)表示相应的数量。
3.画图分析法:用图形表示题目中的相等关系.例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。
知识点3 常见问题中的相等关系
1.配套问题：相等关系，加工总量成比例。
2.工程问题
(1)基本关系式:工作量=工作效率×工作时间，工作时间=，工作效率=。
(2)当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1.
(3)常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。
必做题：
1.某人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第三天走的路程为__________里。
2.七年级师生计划冬游观景.若单独租用50座的客车若干辆，则刚好坐满:若单独租用60座的客车，则可少和一辆，也正好坐满.
(1)求参加冬游观景的师生总人数.
(2)景区门票的购买与客车的租赁联合促销:租一辆 50座的客车的费用为1600元，租一辆60座的客车的费用为2500元，门票原价为20元/位.若租50座的客车，则门票打6折；若租60座的客车，则免门票，请问单独租用哪种客车更划算 为什么
3.一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要9小时完成，甲乙合作2小时，完成了这项工程的__________.余下的由甲单独做，还要__________小时完成。
4.某公司计划租用甲、乙两辆车运送一批货物，已知甲车单独运送这批货物需要20天，乙车单独运送需要10天，现由甲车先运5天，然后甲、乙两车合作运完剩下的货物。
(1)甲、乙两车合作还需多少天完成运送任务
(2)已知甲车每天的租金比乙车少100元，运完这批货物公司共支付了租金6650元，则甲、乙两车的租金每天分别是多少元
选做题：
5.甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入，一起完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表，则完成这项工作共需（ ）
A.9天 B.10天 C.11天 D.12天
6.甲、乙两工程队想共同承包一项工程，甲队单独做这项工程需30天完成，乙队单独做这项工程需20天完成，合同规定15天完成，否则每超过一天罚款1000元，甲、乙两队经商量后签订了该合同.
(1)正常情况下，甲、乙两队是否能履行该合同 为什么
(2)现两队合作完成这项工程的75%，因别处有急事，必须调走一个队，问:调走哪个队更合适些 为什么
参考答案
【预习自测】
1.解：设第一个数为a，因为后一个数比前一个数大3，三个数分别为a，a+3，a+6，已知三个数和为27，可得a+a+3+a+6=27，合并同类项得3a=18，a=6，这三个数为6，9，12.
2.解：设一等座的数量为x，二等座数量为（7x-13），根据题意可列7x-13+x+22=1193，合并同类项得8x=1184，解得x=148，所以一等座有148个，二等座有1023个。
【作业布置】
必做
1.48【解析】设第三天走的路程为x里，则第二天走的路程为 2x里，第一天走的路程为4x里，第四天走的路程为一程为x里，第五天走的路程为x里，第六天走的路程为x里。根据题意得，4x+2x+x+x+x+x=378，解得x=48，故答案为48.
2.【解析】(1)设单独租用50座客车x辆，则单独租用60座客车(x-1)辆.根据题意得50x=60(x-1)，解得x=6，所以50x=50×6=300。
答:参加冬游观景的师生有300人。
(2)单独租用60座客车更划算，理由如下:单独租用50座客车所需费用为1600×6+20×0.6300=13200(元);单独租用60座客车所需费用为2500×5=12500(元)。因为13200>12500，所以单独租用60座客车更划算。
3. 【解析】甲、乙合作2小时，完成了这项工程的+=。设余下的由甲单独做，还要x小时完成。依题意，得=1-，解得x= ，故答案为，。
4.【解析】
(1)设甲、乙两车合作还需x天完成运送任务。依题意得+=1，解得x=5.
答:甲、乙两车合作还需5天完成运送任务。
(2)设甲车每天的租金为y元，则乙车每天的租金为(y+100)元。依题意得(5+5)y+5(y+100)=6650，解得y=410，所以y+100=510。
答:甲车每天的租金为410元，乙车每天的租金为510元。
选做
5.A【解析】根据表格可得甲做3天完成，所以每天完成，所以甲做5天完成的工作量为，所以乙做2天完成的工作量为-=，所以乙每天完成的工作量为。设工作共需要x天，则甲做了x天，乙做了(x-3)天。依题意，得+x =1，解得x=9。
6.【解析】(1)正常情况下，甲、乙两队能履行该合同。理由如下:设甲、乙两队合作需x天完成这项工程。根据题意得+=1，解得x=12。因为12<15，所以正常情况下，甲、乙两队能履行该合同。
(2)调走甲队更合适些。理由如下:设调走乙队，甲队还需m天完成这项工程，根据题意得+75%=1，解得m=15/2，所以12×75%+m=12×75%+=33/2。因为>15，所以调走乙队不合适。设调走甲队，乙队还需n天完成这项工程。据题意得+75%=1，解得n=5，所以12×75%+n=12×75%+5=14。因为14<15，所以调走甲队合适。
拓展
【解析】(1)由题意可知，动点P在AO，BC，DE段的速度均为每秒4个单位，在OB段的速度为每秒2个单位，在CD段的速度为每秒8个单位，AO=OB=BC=CD=8，DE=4.所以动点P从点A运动至点区需要的时间为8÷4+8÷2+8÷4+8÷8+4÷4=2+4+2+1+1=10(秒)，因为动点Q从点E出发，以每秒2个单位的速度沿着“坡面数轴”的负方向运动，所以在DE段的速度为每秒2个单位，在CD段的速度为每秒1个单位，所以动点Q从点E运动到点D需要4÷2=2(秒)，从点D运动到点C需要8÷1=8(秒)，所以点P从点A运动至点E时点Q与点C重合，即对应的数为16.故案为10，16。
(2)因为P，Q两点在M处相遇，所以由(1)可知点M在C-D-E段，动点P从点A运动到点C用时为8÷4+8÷2+8÷4=8(秒)，动点Q从点E运动到点D用时为4÷2=2(秒).因为(8-2)××2=6，所以当动点P到达点C时，点Q与点C的距离为8-6=2，所以此时P，Q两点再运动2/8+1=2/9(秒)在点M处相遇，所以点M所对应的数为16+×8=。
(3)①当点P在OA段时，点O在DE段，此时PB大于8，QD小于4，不符合题意。
②当点P在OB时，点Q在CD段，此时PB=OB-(t-2)×2，QD=(t-2)×1，所以8-2t+4=2(t-2)，解得t=4。③当点P在BC段时，点Q在CD段，此时PB=(t-6)×4，QD=(t-2)×1，所以4t-24=2(t-2)，解得t=10.因为点P运动到C点时t=8，所以t=10不符合题意。④当点P在CD段时，点Q在CD段，此时PB=8+(t-8)×8，QD=(t-2)×1，所以8+(t-8)×8=2(t-2)，解得t=。⑤当点P在DE段时，点Q在CD段，易证此时不符合题意。综上所述，当t=4或时，P，B两点在数轴上相距的长度是Q，D两点在数轴上相距长度的2倍。
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