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专项01 几何图形与线段、射线和直线（7大题型60题专练）
题型01 认识立体图形
题型02 点、线、面、体
题型03 直线、射线、线段的认识
题型04 直线的性质（基础常考）
题型05 线段性质及其应用（基础常考）
题型06 点到直线的距离
题型07 线段的长短及其和差计算（重点）
题型01 认识立体图形
1．（2023秋 临海市期末）下列实物中，能抽象成圆柱体的是
A． B．
C． D．
2．（2023秋 路桥区期末）下列图形中，属于棱柱的是
A． B．
C． D．
3．（2022秋 温岭市期末）下列四个几何体中，是四棱锥的是
A． B．
C． D．
4．（2023秋 余姚市校级期中）一个体积为的立方体，其棱长为 ．
5．（2023秋 镇海区期末）已知一个长方体的其中某个面是边长为4的正方形，它所有棱长的和为56，则它的体积为 ．
6．（2023秋 舟山期末）有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．
（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是 ．（填“图1”或“图2”
（2）已知图1中裁去的小正方形边长为，求做成的纸盒体积．
（3）已知图1、图2中裁去的小正方形边长分别为 和 ，设为按图1方式裁得的3个纸盒底面周长之和，为按图2方式裁得的8个纸盒底面周长之和，试比较，的大小．
7．（2022秋 兰溪市期末）放置在水平地面上两个无盖（朝上的面）的长方体纸盒，大小、形状如图．小长方体的长、宽、高分别为：、、；大长方体的长、宽、高分别为：、、．
（1）做这两个纸盒共需要材料多少平方厘米？
（2）做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多多少平方厘米材料？
题型02 点、线、面、体
1．（2023秋 玉环市期末）汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明了
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不正确
题型03 直线、射线、线段的认识
1．（2023秋 玉环市期末）在一条直线上从左到右有、、个点，以下语句不能判定点是线段中点的是
A． B． C． D．
2．（2023秋 西湖区期末）杭衢高铁线上，要保证建德、建德南、龙游北、衢江、衢州西、江山这6个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票 种．（注往返的车票不同）
题型04 直线的性质
1．（2023秋 柯桥区期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是
①经过刨平的木板上两点，能且只能弹出一条笔直的墨线；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③从到架设电线，为使材料更省总是尽可能沿线段架设；
④在墙上挂条幅时，至少要钉两个钉子才能牢固．
A．②④ B．①④ C．②③ D．③④
2．（2022秋 路桥区期末）“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理应是
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．直线可以向两边延长
D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
3．（2023秋 舟山期末）如图，射击运动员在瞄准时，总是用一只眼瞄准准星和目标，这种现象用数学知识解释为 ．
4．（2023秋 拱墅区期末）墙上挂着一幅中国地图，北京、杭州、成都三个城市用三个点表示，过其中任意两个点画直线，共有 条直线．
题型05 线段性质及其应用
1．（2023秋 温州期末）如图，直线表示一段河道，点表示水池，现要从河向水池引水，设计了四条水渠开挖路线，，，，其中，要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是
A． B． C． D．
2．（2022秋 慈溪市期末）下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023秋 上城区期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是
A．用两颗钉子就可以把木条固定在墙上
B．在砌墙前，师傅会在墙两端拉一根笔直的水平线
C．植树时栽下两棵树，同一行树就可以栽在同一条直线上
D．把弯曲的公路改直，缩短路程
4．（2022秋 天台县期末）约公元前11世纪，人们已经知道了直角三角形“勾三、股四、弦五”（即如果直角三角形的两条直角边长分别是3和4，那么斜边长是5，如图所示）的知识．事实上，在任意的直角三角形中，必有两条直角边之和大于斜边，即，其数学道理是
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．经过一点可以画无数条直线 D．经过两点可以画无数条直线
5．（2023秋 苍南县期末）如图，一骑马少年从地出发，经过小溪回到位于地的家中，为使路程最短，则过小溪的地方应选择
A．地 B．地 C．地 D．地
6．（2023秋 衢江区期末），，，四个村庄之间的道路如图，从去有四条路线：①，②，③，④，这四条路线中路程最短的是
A．① B．② C．③ D．④
7．（2023秋 诸暨市期末）如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是
A．垂线段最短 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．经过一点有无数条直线
8．（2023秋 嵊州市期末）“如图是一个正方形，把此正方形沿虚线减去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长_____原来正方形的周长，理由是_____”此题中横线上应填写的正确答案是
A．大于，两点之间线段最短 B．小于，两点之间线段最短
C．大于，垂线段最短 D．小于，垂线段最短
9．（2023秋 新昌县期末）如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 ．
10．（2023秋 武义县期末）如图，现要从村庄修建一条连接公路的最短小路，过点作于点，沿修建公路就能满足小路最短，这样修路的依据是 ．
11．（2022秋 衢江区期末）如图，某公园需从点到点修建观光桥，为了使游人观赏湖面风光的路线变长，选择“九曲桥”而不采用直桥的依据是“基本事实：两点之间， ．
12．（2022秋 上城区期末）如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论）
（1）作射线；
（2）作直线与射线相交于点；
（3）分别连接、；
（4）我们容易判断出线段与的数量关系是 ，理由是 ．
题型06 点到直线的距离
1．（2023秋 莲都区期末）如图，，，下列线段的长能表示点到的距离的是
A． B． C． D．
2．（2023秋 东阳市期末）如图，，，，．点到直线的距离 ，到直线的距离是 ．
3．（2023秋 东阳市期末）已知点，，如图所示，根据要求完成下列各题．
（1）画直线，线段和射线．
（2）过点画的垂线段，垂足为，并量出点到直线的距离为 ．（以答题纸为测量依据，结果精确到．
题型07 线段的长短及其和差计算
1．（2023秋 北仑区期末）如图，延长线段至点，使，若点恰好为线段中点，且，则线段的长度是
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023秋 嘉兴期末）如图，已知点是线段上一点，点是的中点，点是的中点．若，则的长为
A．7 B．6 C．5 D．4
3．（2023秋 拱墅区期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点在线段上．由操作可知，线段
A． B． C． D．
4．（2023秋 南浔区期末）已知线段，点在直线上，，则的长为
A．3 B．7 C．3或7 D．5或7
5．（2023秋 德清县期末）已知点，，，在直线上，，，为的中点，则的长为
A．3 B．5 C．3或7 D．1或5
6．（2023秋 东阳市期末）如图，，点为线段的中点，点为线段的三等分点，已知，则的长为
A． B． C． D．
7．（2023秋 椒江区校级期末）如图，点，为线段上两点，，且，则
A．15 B．9 C．6 D．
8．（2023秋 慈溪市期末）如图，，，为直线上从左到右的三个点，，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是
A． B． C． D．
9．（2023秋 东阳市期末）已知：、、是同一直线上的三点，点为的中点，若，，则的长为
A．1 B．13 C．13或1 D．9.5
10．（2023秋 镇海区期末）已知线段，延长至点，使得，量得，则线段的长是 ．
11．（2023秋 南浔区期末）如图，是线段上一点，是线段的中点．若，，则的长是 ．
12．（2023秋 慈溪市期末）如图，已知线段，点是上任一点，点、分别是和的中点，则的长度为 ．
13．（2023秋 桐乡市期末）如图，，若为的中点，点在线段上，且，则的长度为 ．
14．（2023秋 苍南县期末）如图，已知，延长至点，使，为线段中点，则长为
15．（2023秋 越城区校级期末）如图，已知线段，延长至点，使，为线段的中点，则的长为 ．（用含的代数式表示）
16．（2023秋 鄞州区期末）如图，延长线段到点，使，是的中点，若，则的长为 ．
17．（2023秋 西湖区期末）如图，已知线段上依次有，，，四个点，其中是中点，是中点，，，则 ．
18．（2023秋 嵊州市期末）如图，两根木条的长度分别为和，在它们的中点处各打一个小孔、（木条的厚度，宽度以及小孔大小均忽略不计）．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离 ．
19．（2023秋 金东区期末）已知在直线上有两点，（点在点的左侧），若，，且是中点，则的长等于 ．
20．（2023秋 衢江区期末）一根绳子长为，，是绳子上任意两点在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处．
（1）当时，，两点间的距离为 ．
（2）当，两点间的距离为时，的长为 ．
21．（2023秋 上城区期末）已知点是线段上一点，，分别是线段，的中点，若，，求的长．
22．（2023秋 新昌县期末）已知线段，延长至点，使，是线段的中点．求线段的长．
23．（2023秋 温州期末）如图，线段，为延长线上的一点，．
（1）求线段的长．
（2）当是图中某条线段的中点时，求出所有满足条件的线段的长．
24．（2023秋 余姚市期末）如图，点是线段的中点，点在线段上，且．
（1）若，求的长．
（2）若，求的长．
25．（2023秋 台州期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点，求：
（1）求的长度；
（2）求的长度．
26．（2023秋 路桥区期末）如图，是线段上的一点，且，，为的中点，为的中点．
（1）线段的长为 2 ；
（2）求线段的长．
27．（2023秋 玉环市期末）如图，已知为线段延长线上一点，为线段中点，，．
（1）求的长度；
（2）若为线段中点，求的长度．
28．（2023秋 镇海区期末）如图，已知线段，点为线段上一动点，点在线段上且满足．
（1）当点为中点时，求的长；
（2）若为中点，当时，求的长．
29．（2023秋 东阳市期末）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且
（1）若，求的长．
（2）当在线段的延长线上时，如图②所示，若点，分别是线段，的中点，求的长．
（3）当运动到某一时刻，使得点与点重合时，若点是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．
30．（2023秋 杭州期末）如图，点为线段上一点，与的长度之比为，为线段的中点．
（1）若，求的长；
（2）若是线段的中点，若，求的长（用含的代数式表示）．
31．（2023秋 义乌市期末）【问题探究】
（1）如图，点，均在线段上且点在点左侧，若，，，则线段的长为 ．
【方法迁移】
（2）已知点，均在线段上，若， ， ，则线段的长 ．（用含，的代数式表示）
【学以致用】
（3）已知七年级某班共有人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数有人，其中未参加围棋课的男生是参加围棋课男生人数的一半，参加围棋课的女生是女生总人数的，求与的数量关系．小聪同学在思考这个问题时联想到了上面的几何问题，并将这个实际问题转化为几何模型来解决，请你建立这个几何模型并求解．（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义）中小学教育资源及组卷应用平台
专项01 几何图形与线段、射线和直线（7大题型60题专练）
题型01 认识立体图形
题型02 点、线、面、体
题型03 直线、射线、线段的认识
题型04 直线的性质（基础常考）
题型05 线段性质及其应用（基础常考）
题型06 点到直线的距离
题型07 线段的长短及其和差计算（重点）
题型01 认识立体图形
1．（2023秋 临海市期末）下列实物中，能抽象成圆柱体的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】，抽象出来是六棱柱，不合题意；
，抽象出来是球，不合题意；
，抽象出来是圆柱，符合题意；
，抽象出来是圆锥，不合题意．
故选．
2．（2023秋 路桥区期末）下列图形中，属于棱柱的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】根据棱柱的定义可得：符合棱柱定义的只有选项．选项属于圆锥，选项属于圆柱，选项属于球体．
故选．
3．（2022秋 温岭市期末）下列四个几何体中，是四棱锥的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】四棱锥是底面是四边形的锥体，因此选项中的几何体符合题意，
故选．
4．（2023秋 余姚市校级期中）一个体积为的立方体，其棱长为 3 ．
【答案】3．
【解析】，
答：棱长为．
故答案为：3．
5．（2023秋 镇海区期末）已知一个长方体的其中某个面是边长为4的正方形，它所有棱长的和为56，则它的体积为 96 ．
【答案】96．
【解析】长方体的其中某个面是边长为4的正方形，
与这个正方形的面相对的面也是正方形，
这个长方体共有8条棱的长度均为4，
长方体共有12条棱，
这个长方体的另外4条棱相等，设长度为，
又这个长方体的所有棱长的和为56，
，
解得：，
这个长方体的体积为：．
故答案为：96．
6．（2023秋 舟山期末）有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．
（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是 图2 ．（填“图1”或“图2”
（2）已知图1中裁去的小正方形边长为，求做成的纸盒体积．
（3）已知图1、图2中裁去的小正方形边长分别为 和 ，设为按图1方式裁得的3个纸盒底面周长之和，为按图2方式裁得的8个纸盒底面周长之和，试比较，的大小．
【解析】（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2；
故答案为：图2；
（2）图1中裁去的小正方形边长为，
做成的纸盒的体积；
（3），理由如下：
，
，
，
．
7．（2022秋 兰溪市期末）放置在水平地面上两个无盖（朝上的面）的长方体纸盒，大小、形状如图．小长方体的长、宽、高分别为：、、；大长方体的长、宽、高分别为：、、．
（1）做这两个纸盒共需要材料多少平方厘米？
（2）做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多多少平方厘米材料？
【解析】（1）小长方体的表面积为：，
大长方体的表面积为：；
；
答：做这两个纸盒共需要材料平方厘米；
（2）
答：做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多平方厘米材料．
题型02 点、线、面、体
1．（2023秋 玉环市期末）汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明了
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不正确
【答案】
【解析】汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明线动成面，
故选．
题型03 直线、射线、线段的认识
1．（2023秋 玉环市期末）在一条直线上从左到右有、、个点，以下语句不能判定点是线段中点的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、当点是线段上任意一点时，都满足，因此不能判定点是线段中点，故符合题意；
、，
点是线段中点，故不符合题意；
、，
点是线段中点，故不符合题意；
、，
点是线段中点，故不符合题意．
故选．
2．（2023秋 西湖区期末）杭衢高铁线上，要保证建德、建德南、龙游北、衢江、衢州西、江山这6个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票 30 种．（注往返的车票不同）
【答案】30．
【解析】把6个车站建德、建德南、龙游北、衢江、衢州西、江山看作是直线上的6个点，
则这条直线上的线段条数就是单程车票的种数，
直线上有6个点，
这条直线上的条数为：（条，
单程火车票的种数为15种，
又往返的车票不同，
需要印制不同的火车票30种．
故答案为30种．
题型04 直线的性质
1．（2023秋 柯桥区期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是
①经过刨平的木板上两点，能且只能弹出一条笔直的墨线；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③从到架设电线，为使材料更省总是尽可能沿线段架设；
④在墙上挂条幅时，至少要钉两个钉子才能牢固．
A．②④ B．①④ C．②③ D．③④
【答案】
【解析】①经过刨平的木板上两点，能且只能弹出一条笔直的墨线；④在墙上挂条幅时，至少要钉两个钉子才能牢固，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“点动成线”来解释；
③从到架设电线，为使材料更省总是尽可能沿线段架设，可以用基本事实“两点这间线段最短”来解释；
故选．
2．（2022秋 路桥区期末）“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理应是
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．直线可以向两边延长
D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
【答案】
【解析】“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理应是两点确定一条直线，
故选．
3．（2023秋 舟山期末）如图，射击运动员在瞄准时，总是用一只眼瞄准准星和目标，这种现象用数学知识解释为 两点确定一条直线 ．
【答案】两点确定一条直线．
【解析】准星与目标是两点，
利用的数学知识是：两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
4．（2023秋 拱墅区期末）墙上挂着一幅中国地图，北京、杭州、成都三个城市用三个点表示，过其中任意两个点画直线，共有 3 条直线．
【答案】3．
【解析】过其中任意两个点画直线，共有3条直线．
故答案为：3．
题型05 线段性质及其应用
1．（2023秋 温州期末）如图，直线表示一段河道，点表示水池，现要从河向水池引水，设计了四条水渠开挖路线，，，，其中，要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】在，，，四条路线中只有，
垂线段最短，即要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是．
故选．
2．（2022秋 慈溪市期末）下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】①两点确定一条直线，正确，符合题意；
②同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线，不正确，不符合题意；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，符合题意；
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不正确，不符合题意．
故选．
3．（2023秋 上城区期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是
A．用两颗钉子就可以把木条固定在墙上
B．在砌墙前，师傅会在墙两端拉一根笔直的水平线
C．植树时栽下两棵树，同一行树就可以栽在同一条直线上
D．把弯曲的公路改直，缩短路程
【答案】
【解析】、用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，故此选项不合题意；
、在砌墙前，师傅会在墙两端拉一根笔直的水平线，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，故此选项不合题意；
、植树时栽下两棵树，同一行树就可以栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，故此选项不合题意；
、把弯曲的公路改直，缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释，故此选项符合题意；
故选．
4．（2022秋 天台县期末）约公元前11世纪，人们已经知道了直角三角形“勾三、股四、弦五”（即如果直角三角形的两条直角边长分别是3和4，那么斜边长是5，如图所示）的知识．事实上，在任意的直角三角形中，必有两条直角边之和大于斜边，即，其数学道理是
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．经过一点可以画无数条直线 D．经过两点可以画无数条直线
【答案】
【解析】，理由是：两点之间，线段最短，
故选．
5．（2023秋 苍南县期末）如图，一骑马少年从地出发，经过小溪回到位于地的家中，为使路程最短，则过小溪的地方应选择
A．地 B．地 C．地 D．地
【答案】
【解析】依据两点之间，线段最短，可知为使路程最短，则过小溪的地方应选择地．
故选．
6．（2023秋 衢江区期末），，，四个村庄之间的道路如图，从去有四条路线：①，②，③，④，这四条路线中路程最短的是
A．① B．② C．③ D．④
【答案】
【解析】如图所示：从去有以下四条路线可走，其中路程最短的是：④．
故选．
7．（2023秋 诸暨市期末）如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是
A．垂线段最短 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．经过一点有无数条直线
【答案】
【解析】用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，
能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选．
8．（2023秋 嵊州市期末）“如图是一个正方形，把此正方形沿虚线减去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长_____原来正方形的周长，理由是_____”此题中横线上应填写的正确答案是
A．大于，两点之间线段最短 B．小于，两点之间线段最短
C．大于，垂线段最短 D．小于，垂线段最短
【答案】
【解析】如图，五边形的周长为，正方形的周长为，
在中，，
所以，
即五边形的周长小于正方形的周长，理由是两点之间线段最短．
故选．
9．（2023秋 新昌县期末）如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 垂线段最短 ．
【答案】垂线段最短．
【解析】沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
10．（2023秋 武义县期末）如图，现要从村庄修建一条连接公路的最短小路，过点作于点，沿修建公路就能满足小路最短，这样修路的依据是 垂线段最短 ．
【答案】垂线段最短．
【解析】过点作于点，沿修建公路就能满足小路最短，这样修路的依据是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
11．（2022秋 衢江区期末）如图，某公园需从点到点修建观光桥，为了使游人观赏湖面风光的路线变长，选择“九曲桥”而不采用直桥的依据是“基本事实：两点之间， 线段最短 ．
【答案】线段最短．
【解析】为了使游人观赏湖面风光的路线变长，选择“九曲桥”而不采用直桥的依据是“基本事实：两点之间，线段最短．
故答案为：线段最短．
12．（2022秋 上城区期末）如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论）
（1）作射线；
（2）作直线与射线相交于点；
（3）分别连接、；
（4）我们容易判断出线段与的数量关系是 ，理由是 ．
【解析】（1）（2）（3）如图所示：
（4），理由是：两点之间，线段最短．
故答案为：，两点之间线段最短．
题型06 点到直线的距离
1．（2023秋 莲都区期末）如图，，，下列线段的长能表示点到的距离的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
线段的长能表示点到的距离．
故选．
2．（2023秋 东阳市期末）如图，，，，．点到直线的距离 9 ，到直线的距离是 ．
【答案】9，．
【解析】设点到的距离为．
，
，
，
点到直线的距离9，到直线的距离是．
故答案为：9，．
3．（2023秋 东阳市期末）已知点，，如图所示，根据要求完成下列各题．
（1）画直线，线段和射线．
（2）过点画的垂线段，垂足为，并量出点到直线的距离为 1.8 ．（以答题纸为测量依据，结果精确到．
【解析】（1）如图所示：
（2）经测量，
故答案为：1.8．
题型07 线段的长短及其和差计算
1．（2023秋 北仑区期末）如图，延长线段至点，使，若点恰好为线段中点，且，则线段的长度是
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【解析】若点是线段中点，
，，
，，
，，
．
故选．
2．（2023秋 嘉兴期末）如图，已知点是线段上一点，点是的中点，点是的中点．若，则的长为
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】
【解析】点是的中点，点是的中点，
，，
，
故选．
3．（2023秋 拱墅区期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点在线段上．由操作可知，线段
A． B． C． D．
【答案】
【解析】
．
故选．
4．（2023秋 南浔区期末）已知线段，点在直线上，，则的长为
A．3 B．7 C．3或7 D．5或7
【答案】
【解析】（1）点在右边时，
；
（2）点在点的左边时，
，
的长为3或7．
故选．
5．（2023秋 德清县期末）已知点，，，在直线上，，，为的中点，则的长为
A．3 B．5 C．3或7 D．1或5
【答案】
【解析】当在线段的反向延长线上时，如图1，
由线段的和差，得，
由线段中点的性质，得，；
当在线段的延长线上时，如图2，
由线段的和差，得，
由线段中点的性质，得，．
综上可知，的长为1或5．
故选．
6．（2023秋 东阳市期末）如图，，点为线段的中点，点为线段的三等分点，已知，则的长为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
，
点为线段的中点，
，
点为线段的三等分点，
．
故选．
7．（2023秋 椒江区校级期末）如图，点，为线段上两点，，且，则
A．15 B．9 C．6 D．
【答案】
【解析】，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选．
8．（2023秋 慈溪市期末）如图，，，为直线上从左到右的三个点，，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设，则，
点的速度是点的速度的3倍，且都向右运动，
，
设，则，
，
，
，
知道长度即可知道长度；
故选．
9．（2023秋 东阳市期末）已知：、、是同一直线上的三点，点为的中点，若，，则的长为
A．1 B．13 C．13或1 D．9.5
【答案】
【解析】分两种情况：
当点在线段上时，如图：
点为的中点，，
，
，
；
当点在线段的延长线时，如图：
点为的中点，，
，
，
；
综上所述：的长为13或1，
故选．
10．（2023秋 镇海区期末）已知线段，延长至点，使得，量得，则线段的长是 ．
【答案】．
【解析】，，
，
，
，
故答案为：．
11．（2023秋 南浔区期末）如图，是线段上一点，是线段的中点．若，，则的长是 4 ．
【答案】4．
【解析】，，
，
是线段的中点，
，
，
，
故答案为：4．
12．（2023秋 慈溪市期末）如图，已知线段，点是上任一点，点、分别是和的中点，则的长度为 5 ．
【答案】5．
【解析】是的中点，是的中点，
，，
．
故答案为：5．
13．（2023秋 桐乡市期末）如图，，若为的中点，点在线段上，且，则的长度为 ．
【答案】．
【解析】，若为的中点，
，
，即，
，
．
故答案为：．
14．（2023秋 苍南县期末）如图，已知，延长至点，使，为线段中点，则长为 4.5
【答案】4.5．
【解析】，，
，
，
为线段的中点，
，
．
故答案为：4.5．
15．（2023秋 越城区校级期末）如图，已知线段，延长至点，使，为线段的中点，则的长为 ．（用含的代数式表示）
【答案】．
【解析】线段，，
，
，
为线段的中点，
，
．
故答案为：．
16．（2023秋 鄞州区期末）如图，延长线段到点，使，是的中点，若，则的长为 2.5 ．
【答案】2.5．
【解析】，，
，
，
是的中点，
，
．
故答案为：2.5．
17．（2023秋 西湖区期末）如图，已知线段上依次有，，，四个点，其中是中点，是中点，，，则 4 ．
【答案】4．
【解析】是中点，是中点，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：4．
18．（2023秋 嵊州市期末）如图，两根木条的长度分别为和，在它们的中点处各打一个小孔、（木条的厚度，宽度以及小孔大小均忽略不计）．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离 2.5或9.5 ．
【答案】2.5或9.5．
【解析】本题有两种情形：
（1）当、（或、重合，且剩余两端点在重合点同侧时，
，
（厘米）；
（2）当、（或、重合，且剩余两端点在重合点两侧时，
，
（厘米）．
故两根木条的小圆孔之间的距离是或，
故答案为：2.5或9.5．
19．（2023秋 金东区期末）已知在直线上有两点，（点在点的左侧），若，，且是中点，则的长等于 4或8 ．
【答案】4或8．
【解析】如图1，当点在点的左边，
，，
，
是中点，
；
如图1，当点在点的右边，
，，
，
是中点，
；
综上可知，的长等于4或8．
故答案为：4或8．
20．（2023秋 衢江区期末）一根绳子长为，，是绳子上任意两点在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处．
（1）当时，，两点间的距离为 ．
（2）当，两点间的距离为时，的长为 ．
【解析】（1），，
，
由于翻折，如图，则，，
，
，两点间的距离为；
（2）当时，如图，
由于翻折，则，，
由图知，，即，
，
；
当时，如图，
则，即，
，
；
综上，的长为或．
21．（2023秋 上城区期末）已知点是线段上一点，，分别是线段，的中点，若，，求的长．
【解析】，分别是线段，的中点，
，，
．
22．（2023秋 新昌县期末）已知线段，延长至点，使，是线段的中点．求线段的长．
【解析】，，
，
，
是线段的中点，
，
．
23．（2023秋 温州期末）如图，线段，为延长线上的一点，．
（1）求线段的长．
（2）当是图中某条线段的中点时，求出所有满足条件的线段的长．
【解析】（1），，
，，
；
（2）当点是的中点，，
当点是的中点，，
当点是的中点，，
．
综上所述，线段的长为4或1或3．
24．（2023秋 余姚市期末）如图，点是线段的中点，点在线段上，且．
（1）若，求的长．
（2）若，求的长．
【解析】（1），．
，
，
是线段的中点，
．
（2）是线段的中点，
，
，
，
，
，
．
25．（2023秋 台州期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点，求：
（1）求的长度；
（2）求的长度．
【解析】（1）是中点，且，
．
（2），，
，
是中点，
，而，
．
26．（2023秋 路桥区期末）如图，是线段上的一点，且，，为的中点，为的中点．
（1）线段的长为 2 ；
（2）求线段的长．
【解析】（1）是线段上的一点，
，
又，，
，
，
故答案为：2．
（2），为的中点，
，
由（1）可知：，
，
又为的中点，
，
．
27．（2023秋 玉环市期末）如图，已知为线段延长线上一点，为线段中点，，．
（1）求的长度；
（2）若为线段中点，求的长度．
【解析】（1），．
，
为线段中点，
；
（2）由（1）可知：，
为线段中点，
，
．
28．（2023秋 镇海区期末）如图，已知线段，点为线段上一动点，点在线段上且满足．
（1）当点为中点时，求的长；
（2）若为中点，当时，求的长．
【解析】（1）点为中点，，
，
，
；
（2）如图，
为中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图，
为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
综上所述，的长为6或1.2．
29．（2023秋 东阳市期末）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且
（1）若，求的长．
（2）当在线段的延长线上时，如图②所示，若点，分别是线段，的中点，求的长．
（3）当运动到某一时刻，使得点与点重合时，若点是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．
【解析】，，，
，，
解得：，，
，，
（1）若，则有以下两种情况，
①当点在点的左侧时，如图1①所示：
，，，
，
；
②当点在点的右侧时，如图1②所示：
，，，
；
综上所述：线段的长为17或25．
（2）设，如图2所示：
，
点，分别是线段，的中点，
，，
，
；
（3）为定值，理由如下：
设，
点与点重合，点在点的左侧，
点在线段上，
又点在线段的延长线上，如图3所示：
，，
，
．
30．（2023秋 杭州期末）如图，点为线段上一点，与的长度之比为，为线段的中点．
（1）若，求的长；
（2）若是线段的中点，若，求的长（用含的代数式表示）．
【解析】（1），
设，，
，
，
解得：，
，，
为线段的中点，
，
；
（2），
，
为线段的中点，
，
，
是线段的中点，
，
，
，
解得：．
31．（2023秋 义乌市期末）【问题探究】
（1）如图，点，均在线段上且点在点左侧，若，，，则线段的长为 1.5 ．
【方法迁移】
（2）已知点，均在线段上，若， ， ，则线段的长 ．（用含，的代数式表示）
【学以致用】
（3）已知七年级某班共有人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数有人，其中未参加围棋课的男生是参加围棋课男生人数的一半，参加围棋课的女生是女生总人数的，求与的数量关系．小聪同学在思考这个问题时联想到了上面的几何问题，并将这个实际问题转化为几何模型来解决，请你建立这个几何模型并求解．（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义）
【解析】（1），，
，
，
，
故答案为：1.5．
（2）点，均在线段上，且 ， ，
有以下两种情况：
①当点在点左侧时，如图所示：
，
，
，
②当点在点的右侧时，如图所示：
，
，
，
，
，
，
．
综上所述：线段的长或．
故答案为：或．
（3）如图所示：
线段表示七年级某班人数，
线段表示该班男生人数，
线段表示该班女生人数，
线段表示参加围棋课的男生人数，
线段表示未参加围棋课的男生人数，
线段表示参加围棋课的女生人数，
线段表示未参围棋课的女生人数，
设，，
，，
，，
选择围棋课的人数有人，
，
即，
，
又七年级某班共有人，
，
，
，
即，
，
．
