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专项03 线段与角压轴题（60题专练）
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 西湖区校级月考）如图，点，点都在线段上，若，则
A． B． C． D．
2．（2023秋 西湖区校级月考）如图，点，，是直线上的三个定点，，，其中为大于0的常数，若点是直线上的一动点，、分别是、的中点，则与的数量关系是
A． B． C． D．
3．（2023秋 婺城区校级月考）如图，，在线段上，下列四个说法：
①直线上以，，，为端点的线段共有6条；
②图中有3对互为补角的角；
③若，，则以为顶点的所有小于平角的角的度数和为；
④若，，，点是线段上任意一点（包含端点），则点到点，，，的距离之和的最小值为15，最大值为23．
其中正确说法的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023秋 余姚市期末）如图，直线，相交于点，平分，，且，则的度数为
A． B． C． D．
5．（2023秋 拱墅区期末）如图，点在直线上，在直线的同侧作射线，，若，且和互余．作平分，平分，则
A． B．
C． D．
6．（2022秋 杭州期末）如图，在三角形中，．是边上的一个动点（点不与，重合），过点，作射线，与边，形成夹角分别为，，则与满足数量关系
A． B． C． D．
7．（2022秋 上城区期末）已知与互为邻补角，且．平分，射线使，当时，则的度数为（本题中所有角都是指大于且小于的角）
A．或 B．或 C．或 D．或
8．（2023秋 椒江区校级月考）如图，点为线段外一点，、、、为上任意四点，连接、、、，下列结论不正确的是
A．以为顶点的角共有15个
B．若平分，平分，，则
C．若为中点，为中点，则
D．若，，则
二．填空题（共11小题）
9．（2023秋 椒江区校级月考）如图，已知直线上两点、（点在点左边），且，在直线上增加两点、（点在点左边），作线段的中点、作线段的中点；若线段，则线段 ．
10．（2023秋 鄞州区校级月考）如图，线段，点、分别是线段、的中点，且，则的长为 ．
11．（2023秋 余姚市期末）如图，数轴上、两点表示的数分别为，3，点在数轴上，且满足，则点表示的数是 ．
12．（2022秋 拱墅区校级期末）如图，是线段上的一点，是中点，已知图中所有线段长度之和为23．
（1）设线段的长为，则线段 ．（用含的代数式表示）．
（2）若线段，的长度都是正整数，则线段的长为 ．
13．（2023秋 台州期末）在同一平面内，对于固定线段和任意一点，如果线段上存在点，使点，点之间的距离等于1，那么我们称点是“线段的1覆盖点”．如图，当点与点重合时，以点为圆心，1为半径的圆上各点均为“线段的1覆盖点”．已知，则所有的“线段的1覆盖点”组成的图形面积为 ．
14．（2023秋 苍南县期末）如图1，材质均匀的弹性细绳平铺在数轴上，点，对应数轴上的数为和8，细绳上点与点到数轴原点的距离相等，细绳上点对应的数为最小正整数．一同学用大头针固定细绳上点，将细绳的点向右拉伸至点，点相应拉至点，如图2．若拉伸后，则此时点在数轴上对应的数为 ．
15．（2022秋 苍南县期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点转动，由连接点带动锁芯移动．图3为插销开启状态，此时连接点在线段上，如位置．开关绕点顺时针旋转后得到，锁芯弹回至位置（点与点重合），此时插销闭合如图4．已知，，则 ．
16．（2023秋 椒江区校级月考）如图，在中，有下列说法：①与表示同一个角；②与互补；③；④线段大于线段；⑤若与两个角的和是，差是，则的度数为．其中正确的有 （填序号）．
17．（2022秋 金华期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
18．（2023秋 拱墅区期末）如图，在内部顺次有一组射线，，，，满足，，，，，若，则 ．（用含，的代数式表示）
19．（2022秋 上城区期末）如图，，在线段上，下列说法：①直线上以，，，为端点的线段共有6条；②若，且，把三等分，则图中只能确定4对互补的角；③若，（其中，，则以为顶点的所有小于平角的角的度数和为；④若线段上再增加个点，，，，并连结，，，，当时，图中一共有91条线段，其中说法正确的是 （填序号）．
三．解答题（共41小题）
20．（2022秋 苍南县期末）如图，点是直线上一点，点是线段的中点．
（1）若，点在线段上，且，则的长为 ．
（2）若，，求的长（用含的代数式表示）．
21．（2023秋 鄞州区校级月考）如图，已知线段，延长到，使得，反向延长到，使得．
（1）求线段的长；
（2）若为的中点，为线段上一点，且，求线段的长．
22．（2022秋 西湖区期末）如图，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒．
（1）当时，求线段，的长．
（2）在运动过程中，若的中点为．
①用含的代数式表示线段，的长．
②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由．
23．（2023秋 莲都区期末）在数轴上点，，所表示的数分别是，6，．
（1）求的长；
（2）若点是的中点，用含的代数式表示的长；
（3）若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值．
24．（2023秋 西湖区校级月考）在数轴上，点表示的数为0，点表示的数为．给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“闭距离”．如图1，若，点表示的数为3，当点与点重合时，线段的长最大，值是4，则点与线段的“闭距离”为4．
（1）如图2，在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为2．
①当时，点与线段的“闭距离”为 ；
②若点与线段的“闭距离”为3，求的值；
（2）在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若线段上存在点，使得点与线段的“闭距离”为5，直接写出的最大值与最小值．
25．（2023秋 越城区校级期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
（1）如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则 ；
（2）如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．
①当为何值时，点是线段的三等分点；
②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒 的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值．
26．（2023秋 杭州期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数5，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数来表示．
例如：．
（1）求线段的长；
（2）以数轴上某点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，求点表示的数；
（3）若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，经过秒时，．求出的值．
27．（2023秋 西湖区校级月考）如图，数轴上有、、、四点，它们在数轴上表示的数分别为、、、20且，线段的长度为4．若线段以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．
（1）填空： ， ， ；
（2）当运动到线段时，求运动的时间是多少秒？
（3）若是线段上一点，当点运动到线段上时，当线段、线段、线段满足时，求此时线段的长．
28．（2023秋 江北区期末）直线上依次排列点，，，，已知，，点是线段的中点，点是线段的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，求线段的长；
（2）如图2，当线段从图1位置沿直线向右运动时，的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由；
（3）当线段从图1位置沿直线向右平移个单位长度时，若满足，则求的值．
29．（2023秋 义乌市期末）【问题探究】
（1）如图，点，均在线段上且点在点左侧，若，，，则线段的长为 ．
【方法迁移】
（2）已知点，均在线段上，若， ， ，则线段的长 ．（用含，的代数式表示）
【学以致用】
（3）已知七年级某班共有人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数有人，其中未参加围棋课的男生是参加围棋课男生人数的一半，参加围棋课的女生是女生总人数的，求与的数量关系．小聪同学在思考这个问题时联想到了上面的几何问题，并将这个实际问题转化为几何模型来解决，请你建立这个几何模型并求解．（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义）
30．（2023秋 杭州月考）如图，已知直线与直线相交于点，夹角，射线，与互补，是的角平分线．
（1）和度数相等吗？请说明理由．
（2）射线平分，求的度数．
（3）在（2）的条件下，若，求夹角的度数．
31．（2022秋 德清县期末）如图，点是直线上一点，射线，，在直线的上方，射线在直线的下方，且平分，，．
（1）若，求的度数；
（2）若平分，求的度数．
32．（2023秋 滨江区期末）【综合与实践】：线段和角有很多相似之处，如都可以度量，都能进行大小比较等．小滨根据“角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形”，研究了一个问题：
【操作发现】：如图，射线从出发，绕着端点以每秒的速度逆时针旋转，回到位置时，停止旋转．当射线旋转24秒时到达位置，继续旋转30秒，到达位置，若平分，求的度数；
【特例研究】：在上述条件下，若射线从出发，继续旋转秒，问是否存在，使得？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
33．（2023秋 柯桥区月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板如图1所示放置，两个顶点重合于点，与重合，且，，，．将三角板绕着点逆时针旋转一周，旋转过程中，平分，平分和均是指小于的角），探究的度数．
（1）当三角板绕点旋转至如图2的位置时，与重合， ， ．
（2）三角板绕点旋转过程中，的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．
（3）类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的式子来表示）
34．（2022秋 镇海区期末）如图1，已知点在直线上，射线、分别在直线的上、下两侧且，始终是的平分线．
（1）若，求的度数．
（2）如图2，设，已知，求的值．
（3）如图3，在满足（2）的条件下，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线、同时开始旋转，记旋转时间为秒．当和互余时，求旋转时间的值．
35．（2022秋 金华期末）（1）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起．
①若，则 ；若，则 ；
②猜想与的度数有何特殊关系，并说明理由．
（2）如图（b），两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的度数有何关系？请说明理由．
（3）如图（c），已知，作，都是锐角且，若在的内部，请直接写出与的度数关系．
36．（2023秋 义乌市月考）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识．
一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点和点表示，表盘与线段交于点、，为表盘圆心．
（1）若为，，是中点，则手表全长 ．
（2）表盘上的点对应数字“12”，点对应数字“6”， 为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合．
① 度；
②作射线，使，求此时的度数．
37．（2022秋 路桥区期末）某校举办创意钟面设计大赛，七（1）班数学兴趣小组设计了以一副三角板为背景的圆形钟面．如图，点为钟面的圆心，，，，且点，，在同一直线上，边指向12点方向，边指向6点方向，记时针为线段，分针为线段，时钟运行正常．
（1）边所指的钟面数字为 ；当时针与边重合时，钟面显示的时间为 ；
（2）①若经过20分钟，求时针和分针各走了多少度？
②若时针恰好平分，求此时分针与边夹角的度数；
（3）若时针与分针同时从12点出发，当时针与分针第一次形成一个平角时，直接写出此时钟面显示的时间．（精确到分钟）
38．（2023秋 镇海区期末）学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题．
信息1 如图所示为小明设计的个性手表，时针，分针只在右半表盘来回转动（顺时针转至6的位置再逆时针旋转至12，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示）
信息2 学校作息时间表 第一节 第五节
第二节 第六节
大课间 第七节
第三节 第八节
第四节 体活课
（1）如图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为 度；
（2）已知某天上午第一节为数学课．
①请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为 ；
②若在这节数学课中，小明发现某一时刻，时针与分针刚好垂直，则这个时刻左边电子表盘上显示的时间是什么时候？
（3）若右半表面有一光线，始终保持平分．若在某一时刻射线刚好指向刻度2的位置，此时的位置记为，经过一个小时，射线的位置记为．若，请直接写出当在处时，电子表盘所显示的时间．
39．（2023秋 仙居县期末）已知：两块三角尺（直角三角形和直角三角形，，按如图1摆放，点、、在同一条直线上，、分别平分和．
（1）求的度数；
（2）求的度数；
（3）将三角尺绕点按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由．
40．（2023秋 拱墅区期末）综合与实践．
问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察两个问题．
问题1：已知，平分，平分，则 ．
问题2：已知，点是的中点，点是的中点，则 ．
数学思考：（1）完成问题1与问题2的填空．
深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系．
（2）老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题．
如图1，点在直线上，，在直线同侧），，分别平分，．求的度数（无需作答）．
完成下列问题的解答：
①“运河小组”提出问题：如图2，线段，点，在线段上，，点，分别是线段，的中点，求的长．
②“武林小组”提出问题：如图3，点在直线上，，在直线两侧），，分别平分，．求的度数．
41．（2023秋 江北区月考）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起．
（1）若， ；若，则 ；并猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；
（2）如图（b），若是两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的大小有何关系，请说明理由；
（3）已知，（都是锐角），如图（c），若把它们的顶点重合在一起，请直接写出与的大小相等的关系（用含有，的式子表示）．
42．（2023秋 江北区月考）已知是内部的一条射线，、分别为、上的点，线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转．
（1）如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值；
（2）如图②，若、分别在、内部旋转时，总有，求的值．
（3）知识迁移，如图③，是线段上的一点，点从点出发在线段上向点运动，点从点出发在线段上向点运动，点、的速度比是，在运动过程中始终有，求 ．
43．（2022秋 台州期末）如图1，将两块直角三角板与的直角顶点重合在一起，其中直角边在内部．
（1）如图2，若，求和的度数．
（2）若．
①和有什么关系？请说明理由．
②当时，求的度数．
44．（2022秋 嘉兴期末）定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两部分，这条射线叫做这个角的内倍分线．
（1）如图1，是的一条内倍分线，满足，若，求的度数．
（2）已知，把一块含有角的三角板按如图2叠放．将三角板绕顶点以2度秒的速度按顺时针方向旋转秒．
①为何值时，射线是的内倍分线；
②在三角板转动的同时，射线以每秒度的速度绕点逆时针方向旋转至，在旋转过程中存在恰好同时是，的内倍分线，请直接写出的值．
45．（2022秋 黄岩区期末）定义：当射线在内部，时，我们称为射线在内的角值，记作．如图1，若，，则，则．
（1）如图1，射线在内部，若，则 ；若，则 ；
（2）如图2，已知，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为秒．
①若射线，的运动速度均为每秒，试用含的式子表示和，并直接写出它们的数量关系；
②若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速返回，则当为何值时，？
（3）如图3，在钟面内有三条射线，和，分别指向12点，4点，8点．射线，同时从射线开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，同时到射线停止旋转．设，当射线运动到的内部时，请用含的式子表示．
46．（2023秋 椒江区校级月考）如图，两条直线、相交于点，且，射线（与射线重合）绕点逆时针方向旋转，速度为，射线（与射线重合）绕点顺时针方向旋转，速度为．两射线、同时运动，运动时间为秒．（本题出现的角均指小于平角的角）
（1）图中一定有 个直角；当时，的度数为 ，的度数为 ，的度数为 ．
（2）当时，若，试求出的值；
（3）当时，探究的值，在满足怎样的条件是定值，在满足怎样的条件不是定值．
47．（2023秋 义乌市期末）定义：如果有三个角，，，满足，则称是和的“减余角”．
（1）已知，，若是和的“减余角”，则 ．
（2）现有一张正方形纸片，如图1所示，点为线段上一点（不与、重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为．
①若是和的“减余角”，求的度数．
②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图2所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．
48．（2023秋 余姚市期末）将一副三角板如图放置，已知，，．现将三角板绕点按逆时针方向旋转，三角板绕点按顺时针方向旋转．
（1）求图中起始位置时的度数．
（2）若两块三角板以相同速度旋转，当与第一次在一条直线上时，求转过的角度．
49．（2022秋 杭州期末）如图，将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线上，现将含角的三角板绕点逆时针旋转，在这个过程中．
（1）如图2，当平分时，试问是否也平分，请说明理由．
（2）当所在的直线平分时，求的度数；
（3）试探究与之间满足怎样的数量关系，并说明理由．
50．（2023秋 西湖区校级月考）已知，射线在的内部，且．射线是平面上绕点旋转的一条动射线，平分．
（1）如图1，射线在的内部．
①求的度数；
②若与互余，求的度数；
（2）若，直接写出的度数（用含的式子表示）．
51．（2022秋 鄞州区期末）如图1，平分，是内部从点出发的一条射线，平分．
（1）【基础尝试】如图2，若，，求的度数；
（2）【画图探究】设，用的代数式表示的度数；
（3）【拓展运用】若与互余，与互补，求的度数．
52．（2022秋 杭州期末）如图，三角尺的直角顶点在直线上，点，在直线的同侧．
（1）如图①，若，求的度数．
（2）如图②，若平分，平分，求的度数．
（3）绕点旋转三角尺，使点，在直线的异侧，如图③，当时，求的度数．
53．（2023秋 柯桥区期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角：，，，若其中有一个角的角度是另一个角的两倍，则称射线为的“倍分线”．
（1）若射线是的角平分线，则射线 （填“是”或“不是” 的“倍分线”；
（2）如图②，若，射线为的“倍分线”，求；
（3）若，射线从射线的位置开始，绕点逆时针以每秒的速度向射线运动，当射线到达射线时停止运动，运动的时间为秒，同时射线从射线的位置开始以每秒的速度向射线运动，如图③所示，并与射线同时停止，则当经过多少秒时，射线是的“倍分线”．
54．（2023秋 东阳市期末）如图①，射线在的内部，图中的3个角：，，，若其中有一个角的度数是另一个角的两倍，则称射线是的“好线”；如图②，一副三角板的边，在直线上，边，重合在射线上，现将三角板绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，当边与射线重合时，两块三角板都停止转动，设旋转时间为秒．
（1）在旋转过程中，当时，射线是的好线吗？请说明理由．
（2）当秒时，求的度数．
（3）当三角板直角边所在的射线是的“好线”时，求的值．
55．（2023秋 海曙区期末）如图1，在直线上取一点，向上作一条射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．如图2，将直角三角板绕点逆时针转动，当与第一次重合时停止．
（1）如图2，时，若和互余，且满足始终在内部，求此时的度数；
（2）如图2，当始终在内部时，猜想与有怎样的数量关系（用含的等式表示），并说明理由；
（3）如图2，当时，若直角三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，与第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 秒．（直接写出结果）
56．（2022秋 玉环市期末）如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒．
（1）若，，秒时， ；
（2）若，，当在的左侧且平分时，求的值；
（3）如图2，在运动过程中，射线始终平分．
①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出 秒；
②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系．
57．（2022秋 上城区期末）【问题提出】已知与有共同的始边，且满足，若，求的度数．
【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形，运用分类讨论的数学思想，解决问题．
在图①中，当射线在的内部时，由题意易得；
在图②中，当射线在的外部时，由题意易得．
【问题应用】请仿照这种方法，解决下面两个问题
（1）如图③，已知点，，在数轴上对应的数分别为，2，1，请在数轴上标出线段的中点并写出所表示的数；若数轴上存在点，它到点的距离恰好是线段的长，求线段的长．
（2）如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于且小于的角）．
①若，求的垂角；
②如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数．
58．（2023秋 松阳县期末）一副三角尺按如图所示摆放，将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，三角尺的直角边与重合时停止旋转，三角尺也停止旋转，设运动的时间为．
（1）用含的代数式表示： ； ；
（2）当为何值时，？
（3）下列三个问题，依次按易、中、难排列，对应的满分值为2分、3分、4分，请根据自己的认知水平，选择其中一个问题完成作答．
①当为何值时，与重合？
②当为何值时，？
③在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
59．（2023秋 玉环市期末）如图有两个转盘，分别为甲转盘（均匀分布三片叶片）和乙转盘（均匀分布四片叶片），将甲转盘绕点逆时针转动一周回到原位置的时间为秒，乙转盘逆时针转速为36度秒．
（1）甲转盘中线段绕点每秒逆时针转动 度；
（2）如图1，若在转盘甲转动同时，线段从线段出发，绕着点以47度秒的速度逆时针旋转，假设同时转动的时间为（秒，请回答以下问题：
①当，求的度数；
②当第一次与重合，求转动时间；
（3）现将甲转盘和乙转盘重叠，调整起始位置（如图，使它们同时绕着点逆时针旋转，乙转盘转动一周，两个转盘同时停止转动，设转动时间为（秒，问：是否存在某个时间使得乙转盘叶片是甲转盘叶片夹角的三等分线．若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
60．（2023秋 杭州期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将一直角三角板的直角顶点放在直线上，，是三角板的两条直角边，三角板可绕点任意旋转，射线平分．当三角板绕点旋转到图1的位置时，，试求的度数；
数学思考：（1）请你解答老师提出的问题．
数学探究：（2）老师提出，当三角板绕点旋转到图2的位置时，射线平分，请同学们猜想与之间有怎样的数量关系？并说明理由；
深入探究：（3）老师提出，当三角板绕点旋转到图3的位置时，射线平分，请同学们猜想与之间有怎样的数量关系？并说明理由．
声明：
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专项03 线段与角压轴题（60题专练）
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 西湖区校级月考）如图，点，点都在线段上，若，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，而，
，
故选．
2．（2023秋 西湖区校级月考）如图，点，，是直线上的三个定点，，，其中为大于0的常数，若点是直线上的一动点，、分别是、的中点，则与的数量关系是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由，，
，，，
当在线段上时，
，
；
当在线段的延长线上时，
，
；
当在线段的延长线上时，
，
；
故选．
3．（2023秋 婺城区校级月考）如图，，在线段上，下列四个说法：
①直线上以，，，为端点的线段共有6条；
②图中有3对互为补角的角；
③若，，则以为顶点的所有小于平角的角的度数和为；
④若，，，点是线段上任意一点（包含端点），则点到点，，，的距离之和的最小值为15，最大值为23．
其中正确说法的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】①以、、、为端点的线段、、、、、共6条，
故①正确；
②图中互补的角就是分别以、为顶点的两对邻补角，即和互补，和互补，
故②错误；
③由，，
根据图形可以求出，
故③正确；
④当在线段上，则点到点，，，的距离之和最小为，当和重合，则点到点、、、的距离之和最大为，④错误．
正确的结论有2个，
故选．
4．（2023秋 余姚市期末）如图，直线，相交于点，平分，，且，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
平分，
，
，
，
，
故选．
5．（2023秋 拱墅区期末）如图，点在直线上，在直线的同侧作射线，，若，且和互余．作平分，平分，则
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】设，
和互余，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
．故选项正确，符合题意；
．
，，
故选项，，不符合题意．
故选．
6．（2022秋 杭州期末）如图，在三角形中，．是边上的一个动点（点不与，重合），过点，作射线，与边，形成夹角分别为，，则与满足数量关系
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由图可知与互补，与互余，
（1），（2），
（2）（1）得．
故选．
7．（2022秋 上城区期末）已知与互为邻补角，且．平分，射线使，当时，则的度数为（本题中所有角都是指大于且小于的角）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】
【解析】如图1中，当在的内部时，
，
平分，时，
，
，
，
；
如图2中，当的外部时，
，，
，
．
综上所述，的度数为或．
故选．
8．（2023秋 椒江区校级月考）如图，点为线段外一点，、、、为上任意四点，连接、、、，下列结论不正确的是
A．以为顶点的角共有15个
B．若平分，平分，，则
C．若为中点，为中点，则
D．若，，则
【答案】
【解析】、以为顶点的角的射线有6条，
角的个数为：，正确；
、，
设，则，
，
平分，平分，
，
，
，正确；
、为中点，为中点，
，，
，正确；
、，，
，
得不出，错误；
故选．
二．填空题（共11小题）
9．（2023秋 椒江区校级月考）如图，已知直线上两点、（点在点左边），且，在直线上增加两点、（点在点左边），作线段的中点、作线段的中点；若线段，则线段 16或4 ．
【答案】16或4
【解析】如图，把直线放到数轴上，让点和原点重合，则点对应的数为0，点对应的数为10，点对应的数为，点对应的数为，
线段的中点为、线段的中点为，
点对应的数为，点对应的数为，
（1）如图1，当点在点左侧时，，化简得：，由点在点左边可得：．
（2）如图1，当点在点右侧时，，化简得：，由点在点左边可得：
．
故答案为：16或4
10．（2023秋 鄞州区校级月考）如图，线段，点、分别是线段、的中点，且，则的长为 ．
【答案】．
【解析】由，得
，．
点、分别是线段、的中点，
，．
由线段的和差，得，
，
．
解得．
，
故答案为：．
11．（2023秋 余姚市期末）如图，数轴上、两点表示的数分别为，3，点在数轴上，且满足，则点表示的数是 0，12 ．
【答案】0，12．
【解析】由，即，可得在的右侧，
①当在、之间时，
，数轴上、两点表示的数分别为，3，
，，
此时点表示的数是0，
②当在的右侧时，
，数轴上、两点表示的数分别为，3，
，，
此时点表示的数是12，
故答案为：0，12．
12．（2022秋 拱墅区校级期末）如图，是线段上的一点，是中点，已知图中所有线段长度之和为23．
（1）设线段的长为，则线段 ．（用含的代数式表示）．
（2）若线段，的长度都是正整数，则线段的长为 ．
【答案】，3．
【解析】（1）设线段的长为，
，，，
，
，即，
；
（2）线段，的长度都是正整数，
，，
可能为1，2，3，
当时，是小数，不符合题意，舍去，
当时，，符合题意，
当时，是小数，不符合题意，舍去，
故答案为：，3．
13．（2023秋 台州期末）在同一平面内，对于固定线段和任意一点，如果线段上存在点，使点，点之间的距离等于1，那么我们称点是“线段的1覆盖点”．如图，当点与点重合时，以点为圆心，1为半径的圆上各点均为“线段的1覆盖点”．已知，则所有的“线段的1覆盖点”组成的图形面积为 ．
【答案】．
【解析】图形面积为，
故答案为：．
14．（2023秋 苍南县期末）如图1，材质均匀的弹性细绳平铺在数轴上，点，对应数轴上的数为和8，细绳上点与点到数轴原点的距离相等，细绳上点对应的数为最小正整数．一同学用大头针固定细绳上点，将细绳的点向右拉伸至点，点相应拉至点，如图2．若拉伸后，则此时点在数轴上对应的数为 4 ．
【答案】4．
【解析】如图1，，，，，，
如图2，设，，
根据，列方程：
．
．
．
故答案为：4．
15．（2022秋 苍南县期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点转动，由连接点带动锁芯移动．图3为插销开启状态，此时连接点在线段上，如位置．开关绕点顺时针旋转后得到，锁芯弹回至位置（点与点重合），此时插销闭合如图4．已知，，则 24 ．
【答案】24．
【解析】由图3得，当点在的右侧时，即位置时，与点的距离为，
由图4得，当点在的左侧时，即位置时，与点重合，即位置，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：24．
16．（2023秋 椒江区校级月考）如图，在中，有下列说法：①与表示同一个角；②与互补；③；④线段大于线段；⑤若与两个角的和是，差是，则的度数为．其中正确的有 ①②③④⑤ （填序号）．
【答案】①②③④⑤．
【解析】①与表示同一个角，①说法正确；
②点是上的点，则与互补，故②说法正确；
③，则，故③说法正确；
④点是上的一点，则，故④说法正确；
⑤与两个角的和是，差是，
，，
解得：，，
故⑤说法正确．
故正确的有①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．
17．（2022秋 金华期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转得到，当恰好是的三分线时，的值为 或 ．
【答案】或．
【解析】，是的两条三分线，，
，，
将按顺时针方向旋转得到，
，，
当时，
，
当时，
，
综上所述：的值为或．
故答案为：或．
18．（2023秋 拱墅区期末）如图，在内部顺次有一组射线，，，，满足，，，，，若，则 ．（用含，的代数式表示）
【答案】．
【解析】，
，，，
，以此类推，，
，
．
19．（2022秋 上城区期末）如图，，在线段上，下列说法：①直线上以，，，为端点的线段共有6条；②若，且，把三等分，则图中只能确定4对互补的角；③若，（其中，，则以为顶点的所有小于平角的角的度数和为；④若线段上再增加个点，，，，并连结，，，，当时，图中一共有91条线段，其中说法正确的是 ① （填序号）．
【答案】①．
【解析】①直线上以，，，为端点的线段有线段、、、、、，共有6条，故①正确；
②如图1，，且，把三等分，
，
，
，，，
．．．
还有若干，故②不正确；
③如图2，不妨设，，，
则以为顶点的所有小于平角的角的度数和为：
，
故③不正确；
④如图3，当时，
与点连接的线段有14条，
线段上共有14个点，线段有：（条
（条，
故④不正确；
故答案为：①．
三．解答题（共41小题）
20．（2022秋 苍南县期末）如图，点是直线上一点，点是线段的中点．
（1）若，点在线段上，且，则的长为 3 ．
（2）若，，求的长（用含的代数式表示）．
【解析】（1），
，
，
，，
点是线段的中点，
．
故答案为：3．
（2）①当点在点，之间，
，
，
点为中点，
，
，
②当点在点左侧，
，
又点为中点，
，
．
综上：或．
21．（2023秋 鄞州区校级月考）如图，已知线段，延长到，使得，反向延长到，使得．
（1）求线段的长；
（2）若为的中点，为线段上一点，且，求线段的长．
【解析】（1）由题意，，
．
．
，
．
．
（2）由题意，为的中点，
．
，
．
在点右侧时，；
在点左侧时，．
综上，可知线段的长为1或3．
22．（2022秋 西湖区期末）如图，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒．
（1）当时，求线段，的长．
（2）在运动过程中，若的中点为．
①用含的代数式表示线段，的长．
②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由．
【解析】（1）当时，，
，
点是线段的中点，
；
（2）①由题意得：，
，
点是线段的中点，的中点为，
，；
②线段的长度不变，为5；
由①得：，；
．
23．（2023秋 莲都区期末）在数轴上点，，所表示的数分别是，6，．
（1）求的长；
（2）若点是的中点，用含的代数式表示的长；
（3）若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值．
【解析】（1）因为点，所表示的数分别是，6，
所以．
（2）因为点是的中点，
所以，
则点表示的数是2．
当时，
．
当时，
．
（3）设运动的时间为，
则点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为，
因为的中点为，
所以点所表示的数为．
因为中点为，
所以点所表示的数为，
所以，，，
所以．
24．（2023秋 西湖区校级月考）在数轴上，点表示的数为0，点表示的数为．给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“闭距离”．如图1，若，点表示的数为3，当点与点重合时，线段的长最大，值是4，则点与线段的“闭距离”为4．
（1）如图2，在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为2．
①当时，点与线段的“闭距离”为 2 ；
②若点与线段的“闭距离”为3，求的值；
（2）在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若线段上存在点，使得点与线段的“闭距离”为5，直接写出的最大值与最小值．
【解析】（1）①根据题意可知，时，到的最大值为的长，
，
点与线段的“闭距离”为2，
故答案为：2；
②点到的“闭距离”为3，
当时，，
当时，，，
的值为或5；
（2）点表示的数为，点表示的数为，在线段上存在点，使得点与线段的“闭距离”为5，
当时，可得不等式组，
解得：，
当时，可得不等式组，
解得：，
综上所述，或，
的最大值为4，最小值为．
25．（2023秋 越城区校级期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
（1）如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则 3 ；
（2）如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．
①当为何值时，点是线段的三等分点；
②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒 的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值．
【解析】（1），，
故答案为：3；
（2）由题意可得：，
，
点是线段的三等分点，分两种情况：
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：当为或时，点是线段的三等分点；
由题意得： ，则，，
点，点分别是，的三等分点，
可以分四种情况讨论：
当时，则，，
分别解得：，
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
解得：（舍去）；
点，点分别是，的三等分点，的值为或或．
26．（2023秋 杭州期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数5，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数来表示．
例如：．
（1）求线段的长；
（2）以数轴上某点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，求点表示的数；
（3）若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，经过秒时，．求出的值．
【解析】（1）点表示数，点表示数5，
；
（2）点以点为折点向右对折后点在点的右边，且，
对折后的点表示的数为，
点表示的数为；
（3）点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，
秒时点表示的数为，点表示的数为，
，
①当点在点右边时，，
，
，
解得：；
①当点在点右边时，，
，
，
解得：；
综上所述：的值为0.8或12．
27．（2023秋 西湖区校级月考）如图，数轴上有、、、四点，它们在数轴上表示的数分别为、、、20且，线段的长度为4．若线段以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．
（1）填空： ， ， ；
（2）当运动到线段时，求运动的时间是多少秒？
（3）若是线段上一点，当点运动到线段上时，当线段、线段、线段满足时，求此时线段的长．
【解析】（1），
，，
数轴上有、、、四点，它们在数轴上表示的数分别为、、、20，
线段的长度为4，
，
故答案为：，，16；
（2），，
，
设运动时间为秒，
运动后点表示的数是，运动后点表示的数是
根据题意得，或，
解得：或4.5，
答：运动时间为：或4.5．
（3）设线段没有运动时，点表示的数是，运动秒后，
点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，
，，，，
，
，
，
即：，
①当点在点的右侧时，
，
，
，
②当点在点的左侧时，
，
，
，
存在关系式，此时线段的长为：或．
28．（2023秋 江北区期末）直线上依次排列点，，，，已知，，点是线段的中点，点是线段的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，求线段的长；
（2）如图2，当线段从图1位置沿直线向右运动时，的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由；
（3）当线段从图1位置沿直线向右平移个单位长度时，若满足，则求的值．
【解析】（1）点与点重合，
，
点是线段的中点，点是线段的中点，，，
，，
．
（2）设，则，，
点是线段的中点，点是线段的中点，
，，
，
的值为定值3．
（3）沿直线向右平移个单位长度，
，
，，
，
，
，
点是线段的中点，点是线段的中点，
，，
，
，
，
．
29．【问题探究】
（1）如图，点，均在线段上且点在点左侧，若，，，则线段的长为 1.5 ．
【方法迁移】
（2）已知点，均在线段上，若， ， ，则线段的长 ．（用含，的代数式表示）
【学以致用】
（3）已知七年级某班共有人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数有人，其中未参加围棋课的男生是参加围棋课男生人数的一半，参加围棋课的女生是女生总人数的，求与的数量关系．小聪同学在思考这个问题时联想到了上面的几何问题，并将这个实际问题转化为几何模型来解决，请你建立这个几何模型并求解．（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义）
【解析】（1），，
，
，
，
故答案为：1.5．
（2）点，均在线段上，且 ， ，
有以下两种情况：
①当点在点左侧时，如图所示：
，
，
，
②当点在点的右侧时，如图所示：
，
，
，
，
，
，
．
综上所述：线段的长或．
故答案为：或．
（3）如图所示：
线段表示七年级某班人数，
线段表示该班男生人数，
线段表示该班女生人数，
线段表示参加围棋课的男生人数，
线段表示未参加围棋课的男生人数，
线段表示参加围棋课的女生人数，
线段表示未参围棋课的女生人数，
设，，
，，
，，
选择围棋课的人数有人，
，
即，
，
又七年级某班共有人，
，
，
，
即，
，
．
30．如图，已知直线与直线相交于点，夹角，射线，与互补，是的角平分线．
（1）和度数相等吗？请说明理由．
（2）射线平分，求的度数．
（3）在（2）的条件下，若，求夹角的度数．
【解析】（1），理由如下：
与互补，
，
直线与直线相交于点，
，
，
又，
，
（2）平分，平分，
，，
，
直线与直线相交于点，
，
，
即；
（3），
有以下两种情况：
①当在的左侧时，如图1所示：
由（1）可知：，
是的角平分线，
，
由（2）可知：，
，
，
又，
，
解得：，
②当在的右侧时，如图2所示：
同理得：，，，
，
又，
，
解得：．
综上所述：夹角的度数为或．
31．如图，点是直线上一点，射线，，在直线的上方，射线在直线的下方，且平分，，．
（1）若，求的度数；
（2）若平分，求的度数．
【解析】（1）平分，，
，
又，，
，
，
；
（2）设，则，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
32．【综合与实践】：线段和角有很多相似之处，如都可以度量，都能进行大小比较等．小滨根据“角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形”，研究了一个问题：
【操作发现】：如图，射线从出发，绕着端点以每秒的速度逆时针旋转，回到位置时，停止旋转．当射线旋转24秒时到达位置，继续旋转30秒，到达位置，若平分，求的度数；
【特例研究】：在上述条件下，若射线从出发，继续旋转秒，问是否存在，使得？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【解析】【操作发现】由题意得：，，
平分，
，
；
【特例研究】：存在；，
，
，
，或，
解得：，或，
存在秒或秒时，使得．
33．（2023秋 柯桥区月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板如图1所示放置，两个顶点重合于点，与重合，且，，，．将三角板绕着点逆时针旋转一周，旋转过程中，平分，平分和均是指小于的角），探究的度数．
（1）当三角板绕点旋转至如图2的位置时，与重合， 150 ， ．
（2）三角板绕点旋转过程中，的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．
（3）类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的式子来表示）
【解析】（1）如图2中，
平分，平分，，，
，，
，，
故答案为150，75．
（2）如图3中，
如图4中，．
理由：设，则，，
．
（3）平分，平分，
，
，
，
综上所述，或．
在旋转过程中，根据上面方法可得结论：或．
34．（2022秋 镇海区期末）如图1，已知点在直线上，射线、分别在直线的上、下两侧且，始终是的平分线．
（1）若，求的度数．
（2）如图2，设，已知，求的值．
（3）如图3，在满足（2）的条件下，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线、同时开始旋转，记旋转时间为秒．当和互余时，求旋转时间的值．
【解析】（1）平分，
，
．
（2）平分，
，
，
，
，
，
．
（3）当时，，
①当时，
，，
，
；
②当时，
，，
（舍；
③当时，
，，
，
；
综上秒或45秒．
35．（2022秋 金华期末）（1）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起．
①若，则 ；若，则 ；
②猜想与的度数有何特殊关系，并说明理由．
（2）如图（b），两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的度数有何关系？请说明理由．
（3）如图（c），已知，作，都是锐角且，若在的内部，请直接写出与的度数关系．
【解析】（1）①根据题意，，，
，
，
，
根据题意，，，
，
，
．
故答案为：；60；
②根据题意，
，
；
（2）根据题意，
，
，
，
（3）
①在上方时，如图：，
②在内部，如图：，
③在内部，如图：，
④在下方，如图：
．
综上所述，或或．
36．（2023秋 义乌市月考）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识．
一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点和点表示，表盘与线段交于点、，为表盘圆心．
（1）若为，，是中点，则手表全长 7 ．
（2）表盘上的点对应数字“12”，点对应数字“6”， 为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合．
① 度；
②作射线，使，求此时的度数．
【解析】（1）是中点．
；
；
；
；
；
（2）①分针的速度为（每分）；
时针的速度为（每分）；
30分钟时针走的路程为，即时针从8点到走的路程为，
，
故答案为：；
②当在内部时，，
；
当在外部时，．
37．（2022秋 路桥区期末）某校举办创意钟面设计大赛，七（1）班数学兴趣小组设计了以一副三角板为背景的圆形钟面．如图，点为钟面的圆心，，，，且点，，在同一直线上，边指向12点方向，边指向6点方向，记时针为线段，分针为线段，时钟运行正常．
（1）边所指的钟面数字为 8 ；当时针与边重合时，钟面显示的时间为 ；
（2）①若经过20分钟，求时针和分针各走了多少度？
②若时针恰好平分，求此时分针与边夹角的度数；
（3）若时针与分针同时从12点出发，当时针与分针第一次形成一个平角时，直接写出此时钟面显示的时间．（精确到分钟）
【解析】（1），，，
是等腰直角三角形，，，
在钟面中，相连两个整数之间，即每一个大格是，每大格中相连的每一个小格是，分针每分钟走，时针每分钟走，
边指向6点方向时，，即两个大格，
边所指的钟面数字为8；
，
时针的时间为：（分钟），即1小时30分钟，
当时针与边重合时，钟面显示的时间为1小时30分钟，即，
故答案为：8；；
（2）由（1）可知，分针每分钟走，时针每分钟走，
①若经过20分钟，时针走了，分针走了；
②，若时针恰好平分，
，
此时，走了分钟，
指向整点9的位置，
此时分针与边夹角的度数为；
（3）设时针与分针第一次形成一个平角时所有的时间为分钟，
，
解得，，
经过分钟时，时针与分针第一次形成一个平角，
钟面显示的时间为12时分钟．
38．（2023秋 镇海区期末）学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题．
信息1 如图所示为小明设计的个性手表，时针，分针只在右半表盘来回转动（顺时针转至6的位置再逆时针旋转至12，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示）
信息2 学校作息时间表 第一节 第五节
第二节 第六节
大课间 第七节
第三节 第八节
第四节 体活课
（1）如图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为 30 度；
（2）已知某天上午第一节为数学课．
①请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为 ；
②若在这节数学课中，小明发现某一时刻，时针与分针刚好垂直，则这个时刻左边电子表盘上显示的时间是什么时候？
（3）若右半表面有一光线，始终保持平分．若在某一时刻射线刚好指向刻度2的位置，此时的位置记为，经过一个小时，射线的位置记为．若，请直接写出当在处时，电子表盘所显示的时间．
【解析】（1）表盘上一大格的角度是，
如图1中为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时间是，
时针和分针中间有三个半大格，所成的夹角为；
故答案为：105；
（2）①在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置如图：
该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，
这个时刻对应的时间为．
②设时针与分针垂直时，显示的时间是8时分．
则，
解得．
依题意电子表盘面不足一分钟的部分不显示，
所以电子表盘显示的时间是 8 时 04分；
（3）一小时后，分钟的位置不变，时针不经过拐点时会向前转动，
若要，则时针在一小时后会经过刻度12或刻度6并反向运动；
若时针一开始在刻度之间，与分针所成角的平分线不可能在刻度2 的位置；
故时针开始的位置在刻度之间．
设显示的时间是 11 时分，
当 时，
，
．
当 时，
，
．
故具体的时间为11时分或11时分，
表盘不足一分钟的时间不显示，
故显示的时间的为11时16分或11时41分．
39．（2023秋 仙居县期末）已知：两块三角尺（直角三角形和直角三角形，，按如图1摆放，点、、在同一条直线上，、分别平分和．
（1）求的度数；
（2）求的度数；
（3）将三角尺绕点按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由．
【解析】（1）、、在同一条直线上，
，
，，
；
（2），平分，
，
由（1）知，
平分，
，
；
（3）的度数在转动过程中不会变化，
设，
平分，则，，
平分，
，
．
40．（2023秋 拱墅区期末）综合与实践．
问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察两个问题．
问题1：已知，平分，平分，则 ．
问题2：已知，点是的中点，点是的中点，则 ．
数学思考：（1）完成问题1与问题2的填空．
深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系．
（2）老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题．
如图1，点在直线上，，在直线同侧），，分别平分，．求的度数（无需作答）．
完成下列问题的解答：
①“运河小组”提出问题：如图2，线段，点，在线段上，，点，分别是线段，的中点，求的长．
②“武林小组”提出问题：如图3，点在直线上，，在直线两侧），，分别平分，．求的度数．
【解析】（1）问题，平分，
，
平分，
；
故答案为：．
问题，点是的中点，
，
点是的中点，
，
故答案为：15．
（2）①线段，点，在线段上，，
，
点，分别是线段，的中点，
，，
，
；
②设，
点在直线上，
，，
，分别平分，，
，，
，
．
41．（2023秋 江北区月考）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起．
（1）若， ；若，则 ；并猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；
（2）如图（b），若是两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的大小有何关系，请说明理由；
（3）已知，（都是锐角），如图（c），若把它们的顶点重合在一起，请直接写出与的大小相等的关系（用含有，的式子表示）．
【解析】（1）若，
，，
，
，
；
若，
，
，
，
，
故答案为：；；
，
理由：，
；
（2），
理由：，
；
（3），
理由：，
．
42．（2023秋 江北区月考）已知是内部的一条射线，、分别为、上的点，线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转．
（1）如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值；
（2）如图②，若、分别在、内部旋转时，总有，求的值．
（3）知识迁移，如图③，是线段上的一点，点从点出发在线段上向点运动，点从点出发在线段上向点运动，点、的速度比是，在运动过程中始终有，求 ．
【解析】（1）线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转，
，，
，，
，
，
；
（2）设旋转时间为，则，
，
，
，
，
；
（3）设运动时间为，则，
，
，
，
，
．
43．（2022秋 台州期末）如图1，将两块直角三角板与的直角顶点重合在一起，其中直角边在内部．
（1）如图2，若，求和的度数．
（2）若．
①和有什么关系？请说明理由．
②当时，求的度数．
【解析】（1）由题意得：
，
，
，，
的度数为，的度数为；
（2）①，
理由：，
，
；
②，，
，
，
，
，
的度数为．
44．（2022秋 嘉兴期末）定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两部分，这条射线叫做这个角的内倍分线．
（1）如图1，是的一条内倍分线，满足，若，求的度数．
（2）已知，把一块含有角的三角板按如图2叠放．将三角板绕顶点以2度秒的速度按顺时针方向旋转秒．
①为何值时，射线是的内倍分线；
②在三角板转动的同时，射线以每秒度的速度绕点逆时针方向旋转至，在旋转过程中存在恰好同时是，的内倍分线，请直接写出的值．
【解析】（1）是的一条内倍分线，满足，
；
（2）①将三角板绕顶点以2度秒的速度按顺时针方向旋转秒，
，
当时，
，
即，
解得；
当时，
，
即
解得；
综上所述，当或60时，射线是的内倍分线；
②由题意得，且
，
即，
解得，
即：．
当转到外面之后，
，，
，
，，
综上所述：或．
45．（2022秋 黄岩区期末）定义：当射线在内部，时，我们称为射线在内的角值，记作．如图1，若，，则，则．
（1）如图1，射线在内部，若，则 ；若，则 ；
（2）如图2，已知，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为秒．
①若射线，的运动速度均为每秒，试用含的式子表示和，并直接写出它们的数量关系；
②若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速返回，则当为何值时，？
（3）如图3，在钟面内有三条射线，和，分别指向12点，4点，8点．射线，同时从射线开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，同时到射线停止旋转．设，当射线运动到的内部时，请用含的式子表示．
【解析】（1）依题意，
射线在内部，若，
则；
，
；
（2）①由题意可知，．
，
，
．
，
，
．
．
②运动到时，，停止运动，，
．
当时，，，
．
，
若，
则，解得．
当时，，
，
同理可由，
解得．
综上，的值为3或7．
（3）由射线所对应的时间可知．
，同时到射线停止旋转，
的速度是的2倍，
，
，
，
．
当射线运动到内部时，，
，
．
46．（2023秋 椒江区校级月考）如图，两条直线、相交于点，且，射线（与射线重合）绕点逆时针方向旋转，速度为，射线（与射线重合）绕点顺时针方向旋转，速度为．两射线、同时运动，运动时间为秒．（本题出现的角均指小于平角的角）
（1）图中一定有 4 个直角；当时，的度数为 ，的度数为 ，的度数为 ．
（2）当时，若，试求出的值；
（3）当时，探究的值，在满足怎样的条件是定值，在满足怎样的条件不是定值．
【解析】（1）如图所示，两条直线，相交于点，，
，
，
图中一定有4个直角；
当时，，，
，，；
故答案为：4；，，；
（2）当与重合时，，
当与重合时，，
如图所示，当时，，，
由，可得
，
解得；
如图所示，当时，，，
由，可得
，
解得；
综上所述，当时，的值为或；
（3）当时，，
，
解得，
①如图所示，当时，
，，
，
（不是定值），
②如图所示，当时，
，，
，
（定值），
综上所述，当时，的值不是定值，当时，的值是3．
47．（2023秋 义乌市期末）定义：如果有三个角，，，满足，则称是和的“减余角”．
（1）已知，，若是和的“减余角”，则 ．
（2）现有一张正方形纸片，如图1所示，点为线段上一点（不与、重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为．
①若是和的“减余角”，求的度数．
②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图2所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）是和的“减余角”，
，
，
故答案为：．
（2）是和的“减余角”，
，
，
，
，
由对折得，
．
（3）存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”．
理由如下：
由对折设，
，
．
当时，
，
，
由平角，
，
，
．
当时，
，
，
由平角，
，
．
综上所述，或．
48．（2023秋 余姚市期末）将一副三角板如图放置，已知，，．现将三角板绕点按逆时针方向旋转，三角板绕点按顺时针方向旋转．
（1）求图中起始位置时的度数．
（2）若两块三角板以相同速度旋转，当与第一次在一条直线上时，求转过的角度．
【解析】（1）由题意可知：图中起始位置时，
，，
；
（2）设转过的角度为，则转过的角度也是，
由题意可知，，
．即转过的角度为．
49．（2022秋 杭州期末）如图，将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线上，现将含角的三角板绕点逆时针旋转，在这个过程中．
（1）如图2，当平分时，试问是否也平分，请说明理由．
（2）当所在的直线平分时，求的度数；
（3）试探究与之间满足怎样的数量关系，并说明理由．
【解析】（1）当平分时，也平分，
平分时，
，
，
，
，
也平分；
（2）所在的直线平分，
，
；
（3）当在内部时，
；
当在外部时，
①旋转角度大于45度而小于等于90度，
；
②旋转角度大于90度而小于等于180度，
．
50．（2023秋 西湖区校级月考）已知，射线在的内部，且．射线是平面上绕点旋转的一条动射线，平分．
（1）如图1，射线在的内部．
①求的度数；
②若与互余，求的度数；
（2）若，直接写出的度数（用含的式子表示）．
【解析】（1）①，射线在的内部，，
，
；
②平分，
，
，
与互余，
，
，
，
由①得，
，
；
（2）当射线在的内部，
，，由（1）得，
，
平分，
，
；
当射线在的外部，
，，由（1）得，
，
平分，
，
；
综上所述，的度数为或．
51．（2022秋 鄞州区期末）如图1，平分，是内部从点出发的一条射线，平分．
（1）【基础尝试】如图2，若，，求的度数；
（2）【画图探究】设，用的代数式表示的度数；
（3）【拓展运用】若与互余，与互补，求的度数．
【解析】（1）平分，，
，
，
，
平分，
．
（2）平分，平分，
，
，
，
即，
；
（3）由（2）得，
与互余，，
，，
与互补，
，
，
，
．
52．（2022秋 杭州期末）如图，三角尺的直角顶点在直线上，点，在直线的同侧．
（1）如图①，若，求的度数．
（2）如图②，若平分，平分，求的度数．
（3）绕点旋转三角尺，使点，在直线的异侧，如图③，当时，求的度数．
【解析】（1），，，
，
（2）平分，平分，
，，
，，
；
（3）设，
，
则，
，
由题意可知：，
，
，
，
，
．
53．（2023秋 柯桥区期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角：，，，若其中有一个角的角度是另一个角的两倍，则称射线为的“倍分线”．
（1）若射线是的角平分线，则射线 是 （填“是”或“不是” 的“倍分线”；
（2）如图②，若，射线为的“倍分线”，求；
（3）若，射线从射线的位置开始，绕点逆时针以每秒的速度向射线运动，当射线到达射线时停止运动，运动的时间为秒，同时射线从射线的位置开始以每秒的速度向射线运动，如图③所示，并与射线同时停止，则当经过多少秒时，射线是的“倍分线”．
【解析】（1）射线是的角平分线，
，
射线为的“倍分线”，
故答案为：是；
（2）①如图1，当时，；
②如图2，当时，
，
；
③如图3，时，
，
，
，
综上可知，的度数为或或；
（3）由题意可知，，，，
①当时，此时，
则，
解得：；
②当时，
则，
解得：，
③当时，此时，
则，
解得：；
综上可知，当经过或或秒时，射线是的“倍分线”．
54．（2023秋 东阳市期末）如图①，射线在的内部，图中的3个角：，，，若其中有一个角的度数是另一个角的两倍，则称射线是的“好线”；如图②，一副三角板的边，在直线上，边，重合在射线上，现将三角板绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，当边与射线重合时，两块三角板都停止转动，设旋转时间为秒．
（1）在旋转过程中，当时，射线是的好线吗？请说明理由．
（2）当秒时，求的度数．
（3）当三角板直角边所在的射线是的“好线”时，求的值．
【解析】（1）如图，当时，
，
，
，
即射线是的好线．
（2）由题意得，
，
，
；
（3）当边与射线重合时，两块三角板都停止转动，
（秒，
当是的“好线”时，
根据题意得，，或
当是的“好线”时，
①时，
，
解得．
当时，
，
②当时，
，
解得．
③当时，
，
解得．
当是的“好线”时，，，
当时，
，
，
当时，
，
，
综上所述，当秒或秒或 秒或秒或时，三角板直角边所在的射线是的“好线”．
55．（2023秋 海曙区期末）如图1，在直线上取一点，向上作一条射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．如图2，将直角三角板绕点逆时针转动，当与第一次重合时停止．
（1）如图2，时，若和互余，且满足始终在内部，求此时的度数；
（2）如图2，当始终在内部时，猜想与有怎样的数量关系（用含的等式表示），并说明理由；
（3）如图2，当时，若直角三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，与第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 25.2或54 秒．（直接写出结果）
【解析】（1）和互余，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
；
（3）设旋转的时间为秒，
①在直线上方时，
，，
，
，
，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
解得：，
②不在直线上方时，
，，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：25.2或54．
56．（2022秋 玉环市期末）如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒．
（1）若，，秒时， 100 ；
（2）若，，当在的左侧且平分时，求的值；
（3）如图2，在运动过程中，射线始终平分．
①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出 秒；
②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系．
【解析】（1）当，，秒时，
，，
，
；
故答案为：100；
（2），，
又在的左侧且平分，
，
，
，
解得：，
（3）①当是的角平分线时，如图所示：
，
，
又始终平分，
，
，
，
，
当是的角平分线时，如图所示：
，
又始终平分，
，此时射线与重合，
，
，
解得：，
当是的角平分线时，如图所示：
，
又始终平分，
，
，
又，
，
解得：，
故答案为：12或30或48；
②当在的左侧时，如图所示：
，
又始终平分，
，
与始终互余，
，
，
，
，
，
化简得：．
57．（2022秋 上城区期末）【问题提出】已知与有共同的始边，且满足，若，求的度数．
【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形，运用分类讨论的数学思想，解决问题．
在图①中，当射线在的内部时，由题意易得；
在图②中，当射线在的外部时，由题意易得．
【问题应用】请仿照这种方法，解决下面两个问题
（1）如图③，已知点，，在数轴上对应的数分别为，2，1，请在数轴上标出线段的中点并写出所表示的数；若数轴上存在点，它到点的距离恰好是线段的长，求线段的长．
（2）如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于且小于的角）．
①若，求的垂角；
②如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数．
【解析】（1）如图，所表示的数为，
点，，在数轴上对应的数分别为，2，1，，
，
点表示的数为7或，
的长为：或；
（2）①设的垂角为，
根据题意得，
或，
解得或（舍去），
的垂角是；
②设这个角的度数为，
当时，它的垂角为，
根据题意得，
解得，
当时，它的垂角为，
根据题意得，
解得，
故这个角的度数为或．
58．（2023秋 松阳县期末）一副三角尺按如图所示摆放，将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，三角尺的直角边与重合时停止旋转，三角尺也停止旋转，设运动的时间为．
（1）用含的代数式表示： ； ；
（2）当为何值时，？
（3）下列三个问题，依次按易、中、难排列，对应的满分值为2分、3分、4分，请根据自己的认知水平，选择其中一个问题完成作答．
①当为何值时，与重合？
②当为何值时，？
③在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）三角尺是等腰直角三角形，且绕点以每秒的速度顺时针旋转，
；
三角尺是含的直角三角形，且绕点以每秒的速度逆时针旋转，
；
故答案为：，；
（2）解：①如图：
，，，，
，
解得；
②如图：
，，，，
，
解得，
综上所述，当为或时，；
（3）解：①当与重合时，如图：
，
，，
，
解得，
当为时，与重合；
②当时，如图：
，
，
，
解得；
，
，
解得，
与重合时，三角尺停止旋转，
，
不符合题意，舍去；
综上所述，当为时，；
③存在这样的，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线．
：当射线是由射线、射线的角平分线时，如图：
平分，
，
，
，，
，
解得；
：当射线是由射线、射线的角平分线时，如图：
平分，
，
，
，，
，
解得；
：当射线是由射线、射线的角平分线时，如图：
平分，
，
，
，，
，
解得；
综上所述，存在这样的，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线，的值为或或．
59．（2023秋 玉环市期末）如图有两个转盘，分别为甲转盘（均匀分布三片叶片）和乙转盘（均匀分布四片叶片），将甲转盘绕点逆时针转动一周回到原位置的时间为秒，乙转盘逆时针转速为36度秒．
（1）甲转盘中线段绕点每秒逆时针转动 32 度；
（2）如图1，若在转盘甲转动同时，线段从线段出发，绕着点以47度秒的速度逆时针旋转，假设同时转动的时间为（秒，请回答以下问题：
①当，求的度数；
②当第一次与重合，求转动时间；
（3）现将甲转盘和乙转盘重叠，调整起始位置（如图，使它们同时绕着点逆时针旋转，乙转盘转动一周，两个转盘同时停止转动，设转动时间为（秒，问：是否存在某个时间使得乙转盘叶片是甲转盘叶片夹角的三等分线．若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）甲转盘绕点逆时针转动一周回到原位置的时间为秒，
线段绕点每秒逆时针转动的度数为；
故答案为：32．
（2）①线段从线段出发，绕着点以47度秒的速度逆时针旋转，
当时，；
②当第一次与重合时，，
解得：，
答：当第一次与重合，转动时间；
（3）乙转盘逆时针转速为36度秒，
；
根据题意得：，
，
，
当为的三等分线时，，
解得：；
当为的三等分线时，，
解得：；
当为的三等分线时，，
解得：；
综上分析可知，当或5或10时，乙转盘叶片是甲转盘叶片夹角的三等分线．
60．（2023秋 杭州期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将一直角三角板的直角顶点放在直线上，，是三角板的两条直角边，三角板可绕点任意旋转，射线平分．当三角板绕点旋转到图1的位置时，，试求的度数；
数学思考：（1）请你解答老师提出的问题．
数学探究：（2）老师提出，当三角板绕点旋转到图2的位置时，射线平分，请同学们猜想与之间有怎样的数量关系？并说明理由；
深入探究：（3）老师提出，当三角板绕点旋转到图3的位置时，射线平分，请同学们猜想与之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【解析】（1），，
，
平分，
，
；
（2）．
理由如下：，
，
平分，
，
；
（3）．
理由如下：平分，
，
①，
，
，
②，
①②，得．
声明：
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