一元一次方程培优测试题（含解析）

一元一次方程培优测试题
一、选择题
1．若关于x的一元一次方程 的解为x=-2，则关于y的一元一次方程 的解为(　　)
A．y=1 B．y=-2 C．y=-3 D．y=-4
2．已知方程2-3(x-1)=2x+10的解和关于x的方程 的解互为相反数则m的值为 (　　)
A．-1 B．1 C．2 D．-2
3．某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%在这次交易中，该商人(　　)
A．赚16元 B．赔16元 C．不赚不赔 D．无法确定
4．多项式和（m，1为实数，且m≠0）的值由x的取值决定，下表是当x取不同值时多项式对应的值，则关于x的方程的解是（　　）
x 1 2 3 4
－2 －1 0 1
1 －1 －3 －5
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
5．我国古代的 “九宫图” 是由的方格构成的， 每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等。如图给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是（　　）
A．2020 B． C．2019 D．
6．已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（　　）
A． B．
C． D．
7．若方程2-3(x-1)=2x+10的解和关于x的方程=1的解互为相反数，则m的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
8．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．小明在解方程-2x=1的过程中，去分母时，方程的右边忘记乘3，结果他得到的解为x=，那么n的值为（　　）
A．-5 B．5 C．3 D．-3
10．如图，啤酒瓶高为h，瓶内液体高为a，若将瓶盖好后倒置，液体高为a′（a′+b=h），则酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．多项式和（、为实数，且）的值随的取值不同而变化，下表是当取不同值时分别对应的两个多项式的值，则关于的方程：的解是　 　．
0 1 2
5 3 1
若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为　 　．
13．小甬是一个善于发现的好学生，它在求两位数平方的时候发现可以“列竖式”的方法进行速算，求解过程如下图．
所以 所以 所以
现小甬用“列竖式”的方法计算一个两位数平方，部分过程如上图．若这个两位数的十位数字为，则这个两位数为　 　（用含的代数式表示）．
14．小军在解关于x的方程 去分母时，方程左边的-1没有乘 10，因而求得方程的解为x=4，则这个方程的正确解为　 　
15．爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为　 　．
16．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0时，我们称使得成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．
（1）若（m，1）是“相伴数对”，则m＝　 　；
（2） （m，n）是“相伴数对”，则代数式m-[n+（6-12n-15m）]的值为　 　．
17．如图，一个盛有水的长方体玻璃容器的内底面为边长为4cm的正方形，容器内水的高度为2cm，把一根长方体玻璃棒垂直放入容器中，其中玻璃棒底面为边长是2cm的正方形，则容器内的水将升高　 　cm（假设水不会溢出）.
18．水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1：2；1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通(即管子端离容器底5cm)，现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升0.5cm，则开始注入　 　分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.
三、计算题
19．解下列方程：
（1）．（2），
四、解答题
20．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；
（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
21．对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
（1）﹣3和5关于1的“相对关系值”为　 　；
（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值；
（3）若a0和a1关于1的“相对关系值”为1，a1和a2关于2的“相对关系值”为1，a2和a3关于3的“相对关系值”为1，…，a20和a21关于21的“相对关系值”为1．
①a0+a1的最大值为　 　；
②a1+a2+a3+…+a20的值为　 　（用含a0的式子表示）．
22．某市一商场经销的A，B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为50%；B种商品每件进价50元，售价 80元.
（1）A种商品每件进价为　 　元，每件 B种商品的利润率为　 　.
（2）若该商场同时购进 A，B两种商品共50件，恰好总进价为 2 100元，求购进 A 种商品多少件.
（3）在“春节”期间，该商场只对 A，B两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按总售价打九折
超过600元 其中 600元部分八折优惠，超过600元的部分七折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买 A，B 商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元.
23．阅读与理解：对一个关于x的多项式求导数，多项式中xn的导数等于，常数项的导数为0.已知是关于的多项式，记为.我们规定：的导出多项式为，记为.例如：若，则的导出多项式；若，要求的导出多项式，先化简，则的导出多项式.根据以上材料，回答问题：
（1）若，则它的导出多项式　 　.
（2）设是的导出多项式
①若，求关于的方程的解；
②已知是关于的二次多项式，且关于的方程的解为整数，求正整数的值.
24．整体思考是一种重要的解决数学问题的策略．例如：已知当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值是多少？
解：∵当时，代数式 的值为2024，
当时，
请认真阅读上面例题的解答过程，完成下面问题．
（1）若，则　 　．
（2）已知的值．
（3）A，B两地相距60千米，甲、乙两人同时从A，B两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少时间相距10千米．
25．
怎么做出更多的纸盒
素材1 如右图，用4个长方形纸板作侧面，1个正方形纸板作底面可以做成1个竖式无盖纸盒
素材2 如右图，用2个长方形纸板与2个正方形纸板作侧面，1个长方形纸板作底面可以做成1横式无盖纸盒
素材3 现有200张长方形纸板与100张正方形纸板
问题解决
（1）问题1 若要使做成的竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多，则最多可以做成多少个无盖纸盒（两种纸盒之和）？
（2）问题2 若要使做成的竖式无盖纸盒比横式无盖纸盒多10个，则最多可以做成多少个无盖纸盒（两种纸盒之和）？
（3）问题3 若要先做出10个竖式无盖纸盒，接着再做竖式无盖纸盒或横式无盖纸盒，则最后最多可以做成　 　个无盖纸盒（两种纸盒之和，包括先做出的10个纸盒）？(直接写答案)
26．如图1，小盛买了一支铅笔和一个铅笔套.未开始使用时，铅笔长度是铅笔套长度的3倍多1cm，且铅笔长度比铅笔套长度多12cm.如图2，当铅笔套用于保护铅笔时，铅笔分界处到笔尖的距离比到套口的距离多1cm.
（1）铅笔套的长度为　 　cm；
（2）如图2，铅笔使用一段时间后，当套口到铅笔顶部的距离等于套口到笔尖的距离时，测得套上铅笔套的整支笔长度为9cm，求套口到分界处的距离；
（3）铅笔套既能保护铅笔，也能套在铅笔顶部作延长器使用，且用于保护时套口到分界处的距离与用于延长器时套口到顶部的距离都为lcm.正常情况下，1cm铅笔平均可以写1000字.当套口刚好是套上铅笔套的整支笔的三等分点时，小盛已经写了约　 　字.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵关于x的一元一次方程 的解为x=-2
∴关于y的一元一次方程 的解为y+1=-2
∴y=-2-1=-3
故答案为：C
【分析】根据题意可得y+1=-2，再解方程即可求出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：2-3(x-1)=2x+10
解得：x= -1
，解得：
∵两个方程的解互为相反数
∴，解得：m=2
故答案为：C
【分析】分别求出两方程的解，再根据题意建立方程，再解方程即可求出答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】设赚了25%的衣服是x元，则（1+25%）x=120，
解得x=96元，
则实际赚了24元；
设赔了25%的衣服是y元，
则（1-25%）y=120，
解得y=160元，
则赔了160-120=40元；
∵40＞24；
∴赔大于赚，在这次交易中，该商人赔了40-24=16元．
故选B．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：当x取2时，与的值相等，都是-1，因此，此方程的解是x=2.
故答案为：B.
【分析】根据方程的解的意义求解.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：2+3-2025+3=x+2，
∴x=-2019，
故答案为：D.
【分析】根据题意列方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，得到，
∴的解为，
∵方程的解是，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据x、y的值可得x=1-y，则方程的解为y=-2021，据此解答.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：方程2-3(x-1)=2x+10的解为x=-1，
方程的解为x=
方程的解互为相反数，
解得m=2.
故答案为：C.
【分析】分别求出两方程的解，由两方程的解互为相反数，可得其和为0，据此解答即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题目要求： 每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等 ，
可知：，求得：，
，求得：，
，求得：，
，即：，求得：，
，即，求得：，
则，即，求得：
所以，即，求得：
故答案为：C．
【分析】如图，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等建立方程，解方程即可得．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：把x= 代人方程x-n-6x=1，得-n- = 1，
解得n=-3．
故答案为：D.
【分析】把x= 代人方程x-n-6x=1中求出n值即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】设啤酒瓶的底面积为x，酒瓶的容积为1，
ax=1 bx，
解得
∴酒的体积为：
∴酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为：
故答案为：C.
【分析】设啤酒瓶的底面积为x，酒瓶的容积为1，则啤酒瓶中液体的体积可以表示为ax或1 bx，根据用两个不同的式子表示同一个量，这两个式子应该相等，从而列出方程，求解即可求出x的值，进而算出酒瓶内液体的体积，从而即可求出 酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比 。
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】x=-5
【解析】【解答】解：根据小军的算法去分母可得：
4x+2－1=5x+5m
将x=4代入上述方程可得：
∴原方程为：
解得：x=-5
故答案为：x=-5
【分析】先根据小军的算法解方程可得m值，可得原方程为，再解方程即可求出答案.
15．【答案】或
【解析】【解答】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，
∵，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
∴内外两个圈的4个数字之和都是，横、竖的4个数字之和也是，
则，得，
，得，
，，
当时，，，
当时，，，
故答案为：或.
【分析】有理数的运算、方程的计算，在计算时要注意移项需要变号
16．【答案】（1）
（2）-3
【解析】【解答】解：（1）∵（m，1）是“相伴数对”，
∴
解得：
故答案为：；
（2）∵（m，n）是相伴数对，
∴，
即：
∵
∴原式=
故答案为：-3.
【分析】（1）根据新运算的定义，将代入 ，计算即可求出m的值；
（2）根据（m，n）是相伴数对得到：，化简得到：把待求式子化简并转化与有关的式子，进而即可求解.
17．【答案】
【解析】【解答】解：设水升高xcm，
依题意可列方程：，
解得，，
故答案为：.
【分析】设水升高xcm，再根据体积的计算方法以及前后变化，即可列出方程求解.
18．【答案】1或或
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1：2；1，
又∵每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升0.5cm，
∴注水1分钟，丙的水位上升0.5×4=2（cm），
∵甲与乙的水位高度之差是0.5cm，
∴①设开始注入t分钟的水量后，甲的水位比乙高0.5cm，依题可得：
1-0.5t=0.5，
解得：t=1；
②设开始注入t分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm，有两种情况，
Ⅰ当甲的水位不变时，依题可得：
0.5t-1=0.5，
解得：t=3，
∴2×3=6＞5，
∴此时丙容器已向乙容器溢水，
∵5÷2= （分钟），
∴乙的水位上升0.5× = （cm），
即经过 分钟时丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升 cm，
∴+2×0.5×（t- ）-1=0.5，
解得：t= ；
Ⅱ当乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为： +（5- ）÷0.5÷2= （分钟），
∴5-1-2×2×（t- ）=0.5，
解得：t= .
综上所述：开始注入 分钟或 分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm；
故答案为：1或
或
.
【分析】根据题意求出注水1分钟，丙上升水位，再根据题意分情况讨论：①设开始注入t分钟的水量后，甲的水位比乙高0.5cm；②设开始注入t分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm，有两种情况：Ⅰ当甲的水位不变时；Ⅱ当乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时；分别列出方程，解之即可得出答案.
19．【答案】（1）
（2）
20．【答案】（1）19秒；（2）；（3）t的值为2、6.5、11或17
21．【答案】（1）8；（2）a的值为4或﹣2；（3）①3；②20a0+210或250﹣20a0
22．【答案】（1）40；60%
（2）解：设购进A种商品x件，则购进B种商品（50 x）件，
根据题意得：40x＋50（50 x）＝2100，
解得：x＝40．
答：购进A种商品40件，B种商品10件．
（3）解：设小华打折前应付款y元．
①当打折前购物金额超过450元，但不超过600元，即450＜y≤600，
根据题意得：0.9y＝522，
解得：y＝580，
②当打折前购物金额超过600元，即y＞600，
600×0.8＋（y 600）×0.7＝522，
解得：y＝660．
综上所得，小华在该商场购买同样商品要付580元或660元．
【解析】【解答】解：（1）设A种商品每件进价为a元，
根据题意得：60 a＝50%a，
解得：a＝40，
∴A种商品每件进价为40元，
每件B种商品利润率为＝60%．
故答案为：40；60%．
【分析】（1）设A种商品每件进价为a元，利用：“利润＝售价 进价”列出方程60 a＝50%a，求出a的值即可得到A的进价；再利用“利润率＝利润÷进价×100%”列出算式求出每件B种商品利润率即可；
（2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（50 x）件，再根据“ 总进价为 2 100元 ”列出方程40x＋50（50 x）＝2100，再解方程即可；
（3）设小华打折前应付款y元，再分类讨论：①当打折前购物金额超过450元，但不超过600元，即450＜y≤600，②当打折前购物金额超过600元，即y＞600，分别列出方程求解即可.
23．【答案】（1）
（2）解：①，
，
，
，
.
②，
，
，
，
解得，
方程的解为整数， 且 为正整数，
=2或4 .
【解析】【解答】解：(1) ，
它的导出多项式.
故答案为：.
【分析】(1)根据导数的定义可得的导出多项式为.
(2) ① 利用导数的定义得到 的表达式，进而得到方程，解得.
② 利用导数的定义得到 的表达式，进而得到方程，解得，又方程的解为整数， 且 为正整数，进而解得=2或4 .
24．【答案】（1）3
（2）解：
∴m2-2mn+n2=m2-2mn+n2+n2-n2=(m2-n2)-2(mn-n2)=4-2=2 .
（3）解：设甲、乙两人出发x小时后相距10千米，根据题意得：
3(a+b)=60，即a+b=20.
① x(a+b)=60-10，
解得x=2.5
② x(a+b)=60+10，
解得x=3.5
答：甲、乙两人出发2.5小时或3.5小时后相距10千米.
【解析】【解答】解：(1)∵x2+3x=2
=2(x2+3x)-1=2x2-1=3
【分析】(1)原式前两项提取公因式2变形后，把已知等式代入计算即可；
(2)原式加一个n2，再减一个n2合并后，把已知等式代入计算即可；
(3)根据题意得出a+b的值，再设甲、乙两人出发x小时相距10千米，进行分类讨论相遇前，后的10千米，根据题意列方程求解即可.
25．【答案】（1）解：∵竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多，
∴设竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒各做×个，
依题意得：
解得：，
要使做的纸盒数量为最多，则x应取最大，
∴当x=28时，做成的无盖纸盒最多，此时所做的最多纸盒数为：28+28=56(个)
答：要使做成的竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多，则最多可以做成56个无盖纸盒；
（2）解：∵竖式无盖纸盒比横式无盖纸盒多10 个，
设横式无盖纸盒做y个，则竖式无盖纸盒做(y+1 0)个，
依题意得：
解得
要使做的纸盒数量为最多，则应取最大，
∴当x=22时，做成的无盖纸盒最多，此时所做的最多纸盒数为：22+32=54(个).
答：做成的竖式无盖纸盒比横式无盖纸盒拿个，则最多可以做成54个无盖纸盒；
（3）60
【解析】【解答】解：（3）先做10个竖式无盖纸盒，则用去长方形纸板40张，正方形纸板10张，此时还余下长方形纸板160张，正方形纸板90 张，
设做竖式无盖纸盒a个，横式无盖纸盒b个，
由题意得
解得
即做10个竖式无盖纸盒，40个横式无盖纸盒正好把材料用完，因此所做的纸盒为最多，所做的最多纸盒数为：10+10+40=-60(个).
故答案为：60.
【分析】（1）由于竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多，故设竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒各做×个，根据所做的竖式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量不超过长方形纸板的总数量及所做的竖式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量不超过正方形纸板的总数量，列出不等式组，求出最大整数解即可；
（2）由于竖式无盖纸盒比横式无盖纸盒多10 个，设横式无盖纸盒做y个，则竖式无盖纸盒做(y+1 0)个，根据所做的竖式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量不超过长方形纸板的总数量及所做的竖式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量不超过正方形纸板的总数量，列出不等式组，求出最大整数解即可；
（3）先做10个竖式无盖纸盒，则用去长方形纸板40张，正方形纸板10张，此时还余下长方形纸板160张，正方形纸板90 张，设做竖式无盖纸盒a个，横式无盖纸盒b个，根据后来所做的竖式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量=160及所做的竖式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量+所做的横式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量=90，列出方程组，求解即可解决此题.
26．【答案】（1）5.5
（2）解：设套口到顶部的距离为 ，由题意得，
解得
设分界处到套口的距离为 ，则
答：套口到分界处的距离 .
（3）5500或13750
【解析】【解答】解：（1）设铅笔套长为 ，
则
故答案为： ；
（3）套上铅笔套后整支笔的长度为：
若套口在离顶端的三等分点时，
铅笔剩余长度为： ，
用去了： ，
写的字约： （字）；
若套口在离笔尖近三等分点时，
铅笔剩余长度为：
用去了：
写的字约： （字）
综上所述，当套口刚好是套上铅笔套的整支笔的三等分点时，小盛已经写了约5500或13750字，
故答案为：5500或13750字.
【分析】（1）设铅笔套长为 ，利用 铅笔长度是铅笔套长度的3倍多1cm， 列方程；
（2） 设套口到顶部的距离为 ，列方程求解；
（3）分类讨论：①套口在离顶端的三等分点；②套口在离笔尖近三等分点.
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