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第3章 实数 单元综合闯关自测
一、选择题
1．下列实数中，无理数是（ ）
A． B．0.2 C．0 D．
2． 2的绝对值是（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
3．如图，数轴上点M表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
4．若正数满足，则下列整数中与最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．-8没有立方根
C．8的立方根是±2 D．4的算术平方根是2
6．16的平方根与27的立方根的相反数的差是（ ）
A．1 B．7 C．7或－1 D．7或1
7．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列各数：，，π，0.32，，0.101101110．．．每两个0之间依次多一个1)，其中是无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知a是正整数，且满足，则a的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．一个数的倒数等于它本身的只有1
B．一个数的平方根等于它本身的是1，0
C．一个数的算术平方根等于它本身的只有1，0
D．一个数的立方根等于它本身的只有1，0
二、填空题
11．估算： ．
12．已知立方体的体积为27m3 ，则它的棱长是 m ．
13．请写出一个比2大的无理数是 ．
14．当取到最小值时，整数x的值是 ．
15．一个正偶数的算术平方根为m，则下一个正偶数的算术平方根为
16．给出下列说法：①0是正数；②0是整数；③0是自然数；④0 是最小的自然数；⑤0 是最小的正数；⑥0是非正数；⑦0 是偶数；⑧0 就表示没有.其中正确的说法有 .
三、综合题
17．下列各数： ，3.1415， ，0， ， ，1.3030030003……（每两个3之间多一个0）中，
（1）无理数为： ；
（2）整数为： ；
（3）按从小到大排列，并用“＜”连接．
18．
（1）请写出所有平方等于本身的数．
（2）请写出一个平方小于本身的数；
（3）请写出两个平方大于本身的数；
（4）已知a≠0且a≠1，比较a与a2的大小．
19．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，∴ 的整数部分为2，小数部分为（ ﹣2）．
请解答：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）已知（ ）的小数部分为 ，（ ）的小数部分为 ，计算 的值．
20．若一个数m的两个不同的平方根是2a+22和3a-7．
（1）求这个数m；
（2）求 的平方根．
21．利用计算器比较下列各组数的大小．
（1） 和 ；
（2） 和 ；
（3） 与 ；
（4） 与
22．求下列各数的立方根．
（1）343；
（2）- 125；
（3）-0.729；
（4） ；
（5）-
5
23．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出 的近似值，得出1.4＜ ＜1.5.利用“逐步逼近“法，请回答下列问题：
（1） 介于连续的两个整数a和b之间，且a＜b，那么a= ，b= .
（2）x是 +2的小数部分，y是 1的整数部分，则x= ，y= .
（3）在（2）的条件下，求（ x）y的平方根.
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第3章 实数 单元综合闯关自测
一、选择题
1．下列实数中，无理数是（ ）
A． B．0.2 C．0 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数，故A选项错误；
B、0.2是有限小数，属于有理数，故B选项错误；
C、0是整数，属于有理数，故C选项错误；
D、是无理数，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据无理数的定义，逐项判断即可．
2． 2的绝对值是（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】C
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：2的绝对值是是2.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值的定义即可求解．
3．如图，数轴上点M表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：从数轴可知：M点表示的数在2到3之间，且大于2.5，
∵，，，，
∴，，，，
∴选项A和选项D不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意，选项C符合题意；
故答案为：C.
【分析】从数轴可知：M点表示的数在2到3之间，且大于2.5，进而根据算术平方根的定义估算出、、、的大小即可判断得出答案.
4．若正数满足，则下列整数中与最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵x2=18，
∴
又∵
∴
∴下列整数中最接近x的是4.
故答案为：C.
【分析】先根据算术平方根的定义求出，再利用估算无理数大小的方法可得，据此判断得出答案.
5．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．-8没有立方根
C．8的立方根是±2 D．4的算术平方根是2
【答案】D
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、4的平方根是±2，故A不符合题意；
B、-8的立方根是-2，故B不符合题意；
C、8的立方根是2 ，故C不符合题意；
D、4的算术平方根是2，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，可对A作出判断；利用负数的立方根是负数，正数的立方根是正数，可对B、C作出判断；利用正数的算术平方根是正数，可对D作出判断.
6．16的平方根与27的立方根的相反数的差是（ ）
A．1 B．7 C．7或－1 D．7或1
【答案】C
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵16的平方根为±4，
27的立方根为3，
∴3的相反数为-3，
∴4-（-3）=7，或-4-（-3）=-1.
故答案为：C.
【分析】根据平方根和立方根的定义分别求出16的平方根和 27的立方根的相反数 ，再列式、计算求出答案.
7．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】A、-1+1=0，符合题意；
B、-2-2=-4≠0，不符合题意；
C、3÷ =9≠1，不符合题意；
D、52=25≠10，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据实数之间的运算法则进行计算 即可得到答案。
8．下列各数：，，π，0.32，，0.101101110．．．每两个0之间依次多一个1)，其中是无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵
∴无理数有，，0.101101110（每两个0之间依次多一个1），一共有3个.
故答案为：C
【分析】利用开方开不尽的数是无理数；含的数是无理数；有规律但不循环的小数是无理数；由此可得到无理数的个数.
9．已知a是正整数，且满足，则a的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵， ，
∴a-1=7，
解之：a=8.
故答案为：B
【分析】利用估算无理数的大小，可知，据此可求出a的值.
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．一个数的倒数等于它本身的只有1
B．一个数的平方根等于它本身的是1，0
C．一个数的算术平方根等于它本身的只有1，0
D．一个数的立方根等于它本身的只有1，0
【答案】C
【知识点】有理数的倒数；平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵±1的倒数=±1，∴A不正确；
∵1的平方根=±1，∴B不正确；
∵1的算术平方根是1，0的算术平方根是0，∴C正确；
∵-1的立方根=-1，∴D不正确；
故答案选：C.
【分析】根据倒数、平方根、立方根、算术平方根的定义分别计算，即可得出结论.
二、填空题
11．估算： ．
【答案】1.732
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
故答案为：1.732．
【分析】根据算术平方根的意义用夹逼法可求解.
12．已知立方体的体积为27m3 ，则它的棱长是 m ．
【答案】3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：设立方体的边长为x，
则x3=27，
解得x=3.
故答案为：3.
【分析】设立方体的边长为x，根据正方体的体积公式列方程求解，即可解答.
13．请写出一个比2大的无理数是 ．
【答案】π
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解： 写出一个比2大的无理数是 ：.
故答案为：.
【分析】根据题意写出一个无理数即可.
14．当取到最小值时，整数x的值是 ．
【答案】4
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵16＜19＜25，
∴，
∵，
∴4.5，
∴当x=4时，有最小值.
故答案为：4.
【分析】本题主要考查估算平方根的大小，可以先估算在4-5之间，要判断的大小，还需要判断离4和5哪个更近，那么只需要判断4.5的平方与19的大小即可，由于4.5的平方大于19，因此小于4.5，离4更近，因此x=4时，有最小值.
15．一个正偶数的算术平方根为m，则下一个正偶数的算术平方根为
【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵一个正偶数的算术平方根为m，
∴这个偶数为，
∴下一个正偶数为，
∴下一个正偶数的算术平方根为.
故答案为：.
【分析】根据求解即可.
16．给出下列说法：①0是正数；②0是整数；③0是自然数；④0 是最小的自然数；⑤0 是最小的正数；⑥0是非正数；⑦0 是偶数；⑧0 就表示没有.其中正确的说法有 .
【答案】②③④⑥⑦
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：①0不是正数，故原说法错误；
②0是整数，故原说法正确；
③0是自然数，故原说法正确；
④0是最小的自然数，故原说法正确；
⑤0不是最小的正数，故原说法错误；
⑥0是最小的非负数，故原说法正确；
⑦0是偶数，故原说法正确；
⑧0在一般情况下，表示没有，故原说法错误；
其中正确的有②③④⑥⑦，共5个，
故答案为：②③④⑥⑦．
【分析】根据有理数中整数、正负数、自然数、偶数数的定义，判断各项的正误即可．
三、综合题
17．下列各数： ，3.1415， ，0， ， ，1.3030030003……（每两个3之间多一个0）中，
（1）无理数为： ；
（2）整数为： ；
（3）按从小到大排列，并用“＜”连接．
【答案】（1） ，1.3030030003……（每两个3之间多一个0）
（2） ，0，
（3）解：
【知识点】无理数的大小比较；有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【分析】（1）无限不循环的小数就是无理数，有限小数和无限循环小数就是有理数，根据有理数和无理数的定义判断即可；
（2）正数包括正整数，负整数和零三部分，判断之前应该先把含有运算符号的进行化简；
（3）按照正数大于零，零大于负数，两个负数比大小绝对值大的反而小，进行比较排序即可。
18．
（1）请写出所有平方等于本身的数．
（2）请写出一个平方小于本身的数；
（3）请写出两个平方大于本身的数；
（4）已知a≠0且a≠1，比较a与a2的大小．
【答案】（1）解：平方等于本身的数0和1；
（2）解：，，
，
平方小于本身的数是；
（3）解：，，
两个平方大于本身的数是2和3；
（4）解：当时，，
，
当时，，
，
当时，，
．
【知识点】有理数大小比较；平方根
【解析】【分析】（1）根据数学常识即可得到答案；
（2）小于1的分数的平方符合要求；
（3）大于1的数的平方符合要求；
（4）分、和三种情况求解即可。
19．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，∴ 的整数部分为2，小数部分为（ ﹣2）．
请解答：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）已知（ ）的小数部分为 ，（ ）的小数部分为 ，计算 的值．
【答案】（1）3；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴额整数部分为4，小数部分为a=.
的整数部分为2，小数部分为b=.
∴.
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵
∴，
∴的整数部分为3，小数部分为.
故答案为：3，.
【分析】（1）利用估算无理数的大小，可知，可得到的整数部分，由此可求出其小数部分.
（2）利用估算无理数的大小和不等式的性质，可得到，，由此可求出a，b的值，然后求出a+b的值.
20．若一个数m的两个不同的平方根是2a+22和3a-7．
（1）求这个数m；
（2）求 的平方根．
【答案】（1）解：因为这个数的平方根是2a+22和3a-7，
所以2a+22 +3a-7=0．
所以a=-3．
所以这个数m=(3a-7)2=[3×(-3)-7]2 =256
（2）解：当a=-3时， = =4，
又因为4的平方根是±2，
所以 的平方根是±2．
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】（1）利用正数的两个平方根互为相反数，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，然后求出这个数即可.
（2）将（1）中a的值代入代数式，利用算术平方根和平方根的性质，可求出结果.
21．利用计算器比较下列各组数的大小．
（1） 和 ；
（2） 和 ；
（3） 与 ；
（4） 与
【答案】（1）解：∵≈11.62，≈2.24，
∴>.
（2）解：∵≈1.73，≈1.44，
∴>.
（3）解：>0，
∴<.
（4）解：.
∵102=100，()2=99，
∴>0，
∴.
【知识点】计算器在数的开方中的应用
【解析】【分析】（1）利用计算器求出，的值，据此比较；
（2）利用计算器求出，的值，据此比较；
（3）（4）利用作差法进行比较.
22．求下列各数的立方根．
（1）343；
（2）- 125；
（3）-0.729；
（4） ；
（5）-
5
【答案】（1）解：因为 73=343，
所以343的立方根是7，即 =7.
（2）解：因为(-5)3=- 125，
所以-125的立方根是一5，即 =-5.
（3）解：因为(-0.9)3=-0.729，
所以-0.729的立方根是-0.9，
即 =-0.9.
（4）解：因为 = ，( )2=
所以 的立方根是 ，即 .
（5）解：-5的立方根是 .
【知识点】立方根及开立方
【解析】【分析】根据立方根的定义解答，注意立方根的性质，即正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
23．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出 的近似值，得出1.4＜ ＜1.5.利用“逐步逼近“法，请回答下列问题：
（1） 介于连续的两个整数a和b之间，且a＜b，那么a= ，b= .
（2）x是 +2的小数部分，y是 1的整数部分，则x= ，y= .
（3）在（2）的条件下，求（ x）y的平方根.
【答案】（1）4；5
（2）；3
（3）解：由（2）可知x=-4，y=3，
∴原式=（-+4）3=64，
∴（-x）y的平方根是±8.
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵16＜19＜25，
∴4＜＜5，
故答案为：4，5.
（2）∵4＜＜5，
∴的整数部分是4，
∴+2的整数部分是6，-1的整数部分是3，
∴x=-4，y=3，
故答案为：-4，3.
【分析】（1）找出19在哪两个连续的整数的平方之间，开根号即可得出答案.
（2）由（1）知4＜＜5，从而可得的整数部分，分析得x、y的值.
（3）将（2）中x、y值代入代数式计算即可得出答案.
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