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第2章 特殊三角形 单元综合巩固训练卷
一、选择题
1．三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
2．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．1，1， B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，7，9
3．若等腰三角形有一个角是40°，则它的底角为（ ）
A．40° B．70°
C．40°或70 D．40°或100°
4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，点D为 BC 的中点，则AD 的长为（ ）
A．4.8 B．5 C．6 D．8
5．如图，在Rt△OBC中，OC=1，OB=2，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．－－2 B．－ C．﹣2 D．﹣+2
6．如图，在中，，点D是边上一点，，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，若ABEF，AE＝AC，∠E＝65°，则∠CAB的度数为（ ）
A．25° B．50° C．60° D．65°
8．如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（ ）
A．16800元 B．7200元 C．5100元 D．无法确定
9．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（ ）
A．0 B．1 C． D．
10．如图，在直角三角形 中， ，点 为 上一动点，连接 .若 的面积为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
11．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝6cm，则CD的长为 .
12．已知两边长为5和12，则其斜边上的中线为 .
13．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，则DE= .
14．如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，那么这个三角形一定是 ．
15．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点G为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为 。
16．在中，，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则 ．
三、综合题
17．已知：如图，△ABC中，CD⊥AB，AB＝2 ，BC＝2，AC＝4.
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）求CD的长.
18．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”.
（1）若一个三角形的三边长分别是 ， 和2，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；
（3）如图， 中， ， ， 为 的中线，若 是平方倍三角形，求 的面积.
19．如图，AC与BD相交于点O，AB//CD， OA=OC.
（1）求证： △AOB≌△COD.
（2）若∠A+∠D=90°， AB=AC=2，求BD的长.
20．如图，已知 .
（1）请用直尺和圆规在图中作出 边上高 交 点 ，作出 的平分线 ，交 于点 （不写作法，但要保留作图痕）；
（2）若 ， ，求 的度数.
21．如图，在四边形ABCD中，CD＝AD＝ ，∠D＝90°，AB＝5．BC＝3．
（1）求∠C的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
22．如图，小明家在一条东西走向的公路 北侧 米的点A处，小红家位于小明家北 米（ 米）、东 米（ 米）点B处．
（1）求小明家离小红家的距离 ；
（2）现要在公路 上的点P处建一个快递驿站，使 最小，请确定点P的位置，并求 的最小值．
23．已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．
（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；
（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；
（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；
（4）作点A关于直线 CD的对称点A′，连结 CA′当CA′∥AB时，求CA′＝ （请直接写出答案）．
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第2章 特殊三角形 单元综合巩固训练卷
一、选择题
1．三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴a2+b2=c2．
因为a、b、c，为三角形的三边长，
所以为直角三角形．
故答案为：C．
【分析】由已知等式整理得出a2+b2=c2，则由勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形.
2．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．1，1， B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，7，9
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、12+12≠( )2，故不是直角三角形，故此选项错误；
B、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；
C、32+42=52，故是直角三角形，故此选项正确；
D、52+72≠92，故不是直角三角形，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断.
3．若等腰三角形有一个角是40°，则它的底角为（ ）
A．40° B．70°
C．40°或70 D．40°或100°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当这个等腰三角形的底角为40°时；
当这个等腰三角形的顶角为40°时，底角为（180°-40°）=×140°=70°，
∴这个等腰三角形的底角为40°或70°.
故答案为：C
【分析】分情况讨论：当这个等腰三角形的底角为40°时；当这个等腰三角形的顶角为40°时，利用三角形的内角和定理求出它的底角的度数.
4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，点D为 BC 的中点，则AD 的长为（ ）
A．4.8 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴，
∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴AD=BC=×10=5.
故答案为：B
【分析】利用勾股定理求出BC的长；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AD的长.
5．如图，在Rt△OBC中，OC=1，OB=2，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．－－2 B．－ C．﹣2 D．﹣+2
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理可知，斜边=，
∵点A在负半轴上，
∴A表示的数是﹣+2．
故答案为：D．
【分析】由勾股定理可求得斜边BC的值，再结合点A在负半轴上可得点A表示的数为OB-BC.
6．如图，在中，，点D是边上一点，，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
由三角形内角和为180°可得：，
即
解得：，故A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意，
故答案为：C．
【分析】
根据等腰三角形中等边对等角的性质得出，，，根据三角形外角的性质得出，从而得出，根据三角形内角和为180°可以得出，即可得出答案．
7．如图，若ABEF，AE＝AC，∠E＝65°，则∠CAB的度数为（ ）
A．25° B．50° C．60° D．65°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AE＝AC，
∴△AEC是等腰三角形，
∴∠E＝∠ACE＝65°，
∵AB∥EF，
∴∠CAB＝∠ACE＝65°.
故答案为：D.
【分析】根据AE＝AC结合等腰三角形的性质可得∠E=∠ACE=65°，由二直线平行，内错角相等可得∠CAB=∠ACE，据此解答.
8．如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（ ）
A．16800元 B．7200元 C．5100元 D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=3m，BC=4m，
∴，
∴AC=5m，
∵， ，
∴，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=（），
∴要投入资金为：（元）；
故答案为：B.
【分析】连接AC，根据勾股定理可得AC=5m，利用勾股定理逆定理知△ACD是直角三角形，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD求出其面积，再乘以每平方米的费用即可.
9．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示：
根据题意得：∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB=
故选：C．
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AB的长，即可得出结果．
10．如图，在直角三角形 中， ，点 为 上一动点，连接 .若 的面积为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：以 为对称轴作点 的对称点 ，过点 作 ，垂足为点E，过 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，如图所示，
在 中，
∴
在 ，
∴
∴
当 时， 最短，
故 的最小值为
连接 ，得 ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴ 的最小值为
故答案为：B.
【分析】以 为对称轴作点 的对称点 ，过点 作 ，垂足为点E，过 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，据此可得 的最小值为 ，求出 的长即可.
二、填空题
11．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝6cm，则CD的长为 .
【答案】6cm
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC；
∵CD∥OB，
∴∠C=BOC，
∴∠C=∠AOC；
∴CD=OD=6cm.
故答案为：6cm．
【分析】根据OC平分∠AOB，可得∠AOC=∠BOC，根据CD∥OB，得出∠C=∠AOC，最后根据等角对等边得出CD=OD，即可求出答案．
12．已知两边长为5和12，则其斜边上的中线为 .
【答案】6.5或6
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图：分为两种情况：
① 当 AC=5，BC=12时，
由勾股定理得：
∵CD 是斜边AB上的中线，
；
② 当AC=5，AB=12时，
∵CD 是斜边AB上的中线，
；
即 或6，
故答案为：6.5或6.
【分析】此题分为两种情况：① 当AC=5，BC=12时，根据勾股定理算出AB的长，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直接得出答案；当AC=5，AB=12时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直接得出答案.
13．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，则DE= .
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接AD
∵AB=AC，D为BC的中点
∴AD⊥BC，
∴
∵DE⊥AB
∴
即
故答案为：
【分析】连接AD，根据等腰三角形性质可得AD⊥BC，，再根据勾股定理可得AD=12，再根据三角形面积即可求出答案.
14．如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，那么这个三角形一定是 ．
【答案】直角三角形
【知识点】因式分解﹣公式法；勾股定理
【解析】【解答】∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c
∴a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0
即a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0
∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0
∴a=3，b=4，c=5
∵a2+b2=c2
故答案为：直角三角形
【分析】由已知可得（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0，求出a,b,c，再根据勾股定理逆定理可得.
15．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点G为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为 。
【答案】11
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AD交EF于G'点，
∵EF是AC的垂直平分线，
∵G’C=G‘A，GC=GA
∴GD+GC=GD+GA＞AD=G'D+G'A=G'D+G'C，
∴当点G在G'点时，△CDG的周长最短，
∵S△ABC=BC×AD=×4×AD=18，
∴AD=9，
∴G'D+G'C=9，
∵D为BC的中点，
∴CD=2，
∴△CDG的周长为11.
【分析】连接AD交EF于G'点，由垂直平分线的性质可得当A、G、D在一条直线上时， △CDG周长的最短，结合△ABC的面积求出AD的长，则△CDG周长的最短可求.
16．在中，，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则 ．
【答案】66°或24°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得：是的垂直平分线，
如图，由题意得：是的垂直平分线，
综上：或
故答案为：或
【分析】分两种情况：∠A为钝角和锐角，据此分别画出图形，利用线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质分别解答即可.
三、综合题
17．已知：如图，△ABC中，CD⊥AB，AB＝2 ，BC＝2，AC＝4.
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）求CD的长.
【答案】（1）证明：∵AB＝2 ，BC＝2，AC＝4.
∵AC2+BC2＝20＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：∵△ABC是直角三角形，
∴CD＝ .
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理：只要较小两边的平方和等于较大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此进行解答即可；
（2）根据三角形的面积公式，利用等积法进行解答即可.
18．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”.
（1）若一个三角形的三边长分别是 ， 和2，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；
（3）如图， 中， ， ， 为 的中线，若 是平方倍三角形，求 的面积.
【答案】（1）解：此三角形是平方倍三角形，理由如下：
∵ ，满足是平方倍三角形的定义，
∴三边长分别是 ， 和2的三角形是平方倍三角形；
（2）解：在Rt ABC中，如图所示，则 ①，
∵Rt ABC是平方倍三角形，
∴②，
把①代入②得： ，即：a=b，
把a=b代入①得：c= ，
∴该直角三角形的三边之比=1：1： ；
（3）解：∵ 中， ， 为 的中线，
∴CD= AB=AD=BD，
设CD= AB=AD=BD=x，则AB=2x，
∵AB＞BC，
∴2x＞5，即：x＞ ，
∵ 是平方倍三角形，
①当 ，则 ，解得： ，
∴AB=2x= ，AC= ，
∴ 的面积= ，
②当 ，则 ，解得： ，
∴AB=2x= ，AC= ，
∴ 的面积= ，
综上所述， 的面积为 或 .
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用“平方倍三角形”的定义进行验证，可作出判断.
（2）设直角三角形的三边分别为a，b，c（斜边），利用勾股定理可得到a2+b2=c2，再根据“平方倍三角形”的定义可得到c2+b2=3a2，由此可推出a=b，利用勾股定理用含b的代数式表示出c，然后求出这个直角三角形的三边之比.
（3）利用直角三角形的中线的性质可证得CD= AB=AD=BD，设CD= AB=AD=BD=x，则AB=2x，即可求出x的取值范围；再根据 “平方倍三角形”的定义，分情况讨论：当BD2+CD2=3BC2时，建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到AB的长，利用勾股定理求出AC的长；然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积；当BC2+BD2=3DC2时，建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AB的长，利用勾股定理求出AC的长；然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
19．如图，AC与BD相交于点O，AB//CD， OA=OC.
（1）求证： △AOB≌△COD.
（2）若∠A+∠D=90°， AB=AC=2，求BD的长.
【答案】（1）证明：∵AB//CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
又∵OA=OC，
∴△AOB≌△COD（AAS）；
（2）解：∵∠A+∠D=90°，∠A=∠C，
∴∠C+∠D=90°，
∴∠DOC=90°，△DOC为直角三角形，
∵△AOB≌△COD，AB=AC=2，
∴BO=DO，DC=AB=2，OA=OC=1，
∴在Rt△DOC中根据勾股定理，
，
∴ .
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠C，∠B=∠D，根据AAS可证△AOB≌△COD；
（2）先求出△DOC为直角三角形，由△AOB≌△COD，可得BO=DO，DC=AB=2，OA=OC=1，在Rt△DOC中根据勾股定理求出OD的长，利用BD=BO+DO计算即得.
20．如图，已知 .
（1）请用直尺和圆规在图中作出 边上高 交 点 ，作出 的平分线 ，交 于点 （不写作法，但要保留作图痕）；
（2）若 ， ，求 的度数.
【答案】（1）解：正确作出高和角平分线
（2）解：∵ ，
∴
∵ 平分
∴
∵
∴
∴
∴
【知识点】直角三角形的性质；尺规作图-垂线；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，AC的长为半径画弧，与BC交于一点，再以这个点到点C的距离为半径，分别以点C与这个点为圆心分别画弧，两弧在BC的下方交于一点，连接该点与A点交BC于点D，则AD即为所求；以点A为圆心，AC的长为半径画弧，与AB交于一点，分别以点C与这个点为圆心，大于它们距离的一半长为半径分别画弧，两弧在BC的下方交于一点，连接该点与A点交BC于点E，则AE即为所求；
（2）利用三角形内角和求出∠BAC=110°，利用角平分线的定义得出∠BAE=∠BAC=55°，在Rt△ABD中求出∠BAD=60°，利用∠DAE=∠BAD-∠BAE计算即得.
21．如图，在四边形ABCD中，CD＝AD＝ ，∠D＝90°，AB＝5．BC＝3．
（1）求∠C的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：连接AC，如图，
∵∠D＝90°，
∴
∵CD＝AD＝ ，
∴
∵AB＝5．BC＝3
∴
∴
∵CD＝AD
∴
∴
（2）解：
=
=
=6+4
=10
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）先求出
，再求出
，最后计算求解即可；
（2）根据
，再结合三角形的面积公式进行计算求解即可。
22．如图，小明家在一条东西走向的公路 北侧 米的点A处，小红家位于小明家北 米（ 米）、东 米（ 米）点B处．
（1）求小明家离小红家的距离 ；
（2）现要在公路 上的点P处建一个快递驿站，使 最小，请确定点P的位置，并求 的最小值．
【答案】（1）解：如图，连接AB，
由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，
∵AB＞0
∴AB=1300米；
（2）解：如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．
驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，
∵∠ACB=90°，
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B=1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先求出 AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000， 再根据AB＞0求解即可；
（2）根据题意求出A'C= 900米，再利用勾股定理计算求解即可。
23．已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．
（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；
（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；
（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；
（4）作点A关于直线 CD的对称点A′，连结 CA′当CA′∥AB时，求CA′＝ （请直接写出答案）．
【答案】（1）证明：如图2中，
∵AB＝10，AD＝5，
∴AD＝DB，
∵CA＝CB，AD＝DB，
∴CD⊥AB．
（2）解：如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD．
设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，
∵AD＝5，
∴10k＋6k＝5，
∴k＝ ，
∴BC＝6k＝ ；
如图1﹣1中，当AB＞AD时，BC＝BD，
同法可得10k﹣6k＝5，
解得k＝ ，
∴BC＝6k＝ ，
综上所述，BC的值为 或 ．
（3）解：如图3 1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC，
由（2）可知，BC＝ ；
如图3 2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，
此时AB＝10k＝10，
∴k＝1，BC＝6k＝6．
综上所述，BC的值为 或6．
（4）5
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（4）如图3中，当CA′∥AB时，
∵CA′∥AB，
∴∠ADC＝∠A′CD，
由翻折可知，∠A′CD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD＝5，
∴CA′＝CA＝5.
故答案为：5.
【分析】（1）根据题意可得AD＝DB，然后根据等腰三角形的性质进行证明；
（2）当AB＜AD时，BC＝BD，设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，根据AD=5可得k的值，进而可得BC；当AB＞AD时，BC＝BD，同理求解即可；
（3）当△ADC≌△BED时，BD=AC=BC，由（2）可知BC的值；当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，此时AB＝10k＝10，求出k的值，进而可得BC；
（4）当CA′∥AB时，由平行线的性质可得∠ADC＝∠A′CD，由翻折可知∠A′CD＝∠ACD，则∠ACD=∠ADC，推出AC＝AD＝5，据此解答.
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