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第3章 圆的基本性质 单元综合梳理卷
一、选择题
1．已知⊙O的直径为5，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
2．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转70°，得到△AC′B′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．60° B．70° C．100° D．120°
4．如图，将含有30°角的三角尺ABC（∠BAC＝30°），以点A为中心，顺时针方向旋转，使得点C，A，B′在同一直线上，则旋转角的大小是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=25°，则∠AOD等于（ ）
A．155° B．140° C．130° D．110°
6．如图， 是 的直径，弦 于点 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点（即小正方形的交点）上．若将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△OA′B′，则下列所画图形正确的为（ ）
A． B．
C． D．
8．CD是圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE=3，AE=4，则下列说法正确的是（ ）
A．AC的长为 B．CE的长为3 C．CD的长为12 D．AD的长为10
9．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①AD2+AC2＝4；②∠DBC+∠ADO＝90°；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
10．如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．是不在上的一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是 .
12．如图所示，内接于.若的半径为2，则BC的长为 .
13．在半径为6cm的圆中，50°的圆心角所对的弧长为 cm．
14．等腰直角三角形的直角边长为2，其外接圆的半径为 ．
15．我们知道平面内到两个定点距离之比为常数（常数大于零且不为1）的点轨迹是一个圆，那么在平面直角坐标系内到原点（0，0）和点（3，0）距离之比为2的圆的圆心坐标是 .
16．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4 ，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 .
三、综合题
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证： ；
（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 （ ）过点（4，0）．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）已知点A（0，a），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围．
19．按要求解题：
（1）计算： (π－ )0＋ ＋(－1)2 015－ tan 60°．
（2）利用尺规作图找出下图残破的圆的圆心，不写作法，保留作图痕迹．
20．如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连结PA，PB，分别交⊙O于点C，D，
（1）求证：PA=PB；
（2）若∠P=60， ，△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积.
21．如图， 为⊙O的直径， ，垂足为点 ， ，垂足为点 ， .
（1）求 的长；
（2）求⊙O的半径.
22．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上.
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长.
23．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，连接AC、FC.
（1）求证：∠ACF=∠ADB；
（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；
（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时， 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由.
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第3章 圆的基本性质 单元综合梳理卷
一、选择题
1．已知⊙O的直径为5，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆的半径，点P到O的距离，
∴，
∴点P在圆外，
故答案为：C.
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．判断圆的半径与的大小即可解答．
2．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵钝角三角形的钝角所对的外接圆的圆弧大于半个圆周
∴三角形的三个顶点就集中在圆 劣弧上
∴钝角三角形的外心在三角形的外部
故答案为：C.
【分析】三角形的外心是指三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心，锐角三角形的三条边长都小于半个圆周，所以外心位于三角形内部；直角三角形的外接圆的的直径刚好等于斜边长，外心位于斜边上；钝角三角形的钝角所对的外接圆的圆弧大于半个圆周，所以外心在三角形的外部.
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转70°，得到△AC′B′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．60° B．70° C．100° D．120°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠CAB=30°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转70°后得到△AB′C′，
∴∠CAC′=70°，∠C'AB′=∠CAB=30°，
∴∠CAB′=∠CAC′+∠C'AB′=70°+30°=100°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和求出∠CAB=30°，再利用旋转的性质可得∠CAC′=70°，∠C'AB′=∠CAB=30°，再利用∠CAB′=∠CAC′+∠C'AB′计算即可。
4．如图，将含有30°角的三角尺ABC（∠BAC＝30°），以点A为中心，顺时针方向旋转，使得点C，A，B′在同一直线上，则旋转角的大小是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由题可知：旋转角是∠BAB′，
∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．
故答案为：D．
【分析】先求出旋转角是∠BAB′，再计算求解即可。
5．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=25°，则∠AOD等于（ ）
A．155° B．140° C．130° D．110°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴ ，
∵∠CAB=25°，
∴∠BOD=50°，
∴∠AOD=130°．
故答案为：C．
【分析】根据垂径定理可得，再利用圆周角的性质可得∠BOD=2∠BAC=50°，最后利用邻补角即可得到∠AOD=130°．
6．如图， 是 的直径，弦 于点 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，AB是直径，CD=6cm，
∴CE=ED=3cm，
在Rt△OEC中， （cm），
∴AE=OA+OE=5+4=9（cm），
故答案为：D．
【分析】先利用勾股股定理和垂径定理求出OE的长，再利用AE=OA+OE计算即可。
7．在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点（即小正方形的交点）上．若将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△OA′B′，则下列所画图形正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：A、是将△OAB绕点O旋转180°，得到△OA′B′，故A不符合题意；
B、此图是将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△OA′B′，故B符合题意；
C、△OA′B′不是将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°得到的，故C不符合题意；
D、△OA′B′不是将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°得到的，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用旋转的性质，对各选项逐一判断.
8．CD是圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE=3，AE=4，则下列说法正确的是（ ）
A．AC的长为 B．CE的长为3 C．CD的长为12 D．AD的长为10
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AO，
∵AB⊥CD于点E，OE=3，AE=4，
∴在Rt△AOE中，根据勾股定理
，
∵CD为圆O的直径，
∴OC=OD=OA=5，
∴CD=10，CE=OC-OE=2，故B选项和C选项错误；
在Rt△ACE中，根据勾股定理
，故A选项正确；
在Rt△ADE中，根据勾股定理
，故D选项错误.
故答案为：A.
【分析】连接AO，根据勾股定理求出AO=5，可求出CD=10，CE=OC-OE=2，据此判断B、C；在Rt△ACE中，根据勾股定理求出AC=，在Rt△ADE中，根据勾股定理求出AD=，据此判断A、D即可.
9．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①AD2+AC2＝4；②∠DBC+∠ADO＝90°；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2＝4，
由条件不能证明AD＝BC，
故①不符合题意；
∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴∠DBC＝∠BDO，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠ADO+∠DBC＝90°，
故②符合题意；
∵AC＝BD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵OD⊥AC，
∴ ＝ ，
∴ 度数是 ×180°＝60°，
∵AO＝DO，
∴△AOD是等边三角形，
∵AE⊥OD，
∴DE＝OE，
故③符合题意；
∵PD＝PB，∠C＝∠DEP＝90°，∠DPE＝∠BPC，
∴△PDE≌△PBC（AAS），
∴DE＝BC，
∵AO＝BO，AE＝EC，
∴BC＝2OE，
∴DE＝2OE，
故④符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠C=90°，根据勾股定理得AC2+BC2＝AB2＝4，由条件不能证明AD＝BC，故不能证明 AD2+AC2＝4 ，据此判断①；根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得OD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DBC＝∠BDO，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB＝90°，从而根据角的和差及等量代换可得∠ADO+∠DBC＝90°，据此判断②；根据相等的弦所对的劣弧相等得 ＝ 根据等量减去等量差相等得 ＝ ，根据垂径定理得 ＝ ，再根据圆心角、弧、弦的关系得 度数是60°，进而判断出三角形AOD是等边三角形，根据等边三角形的三线合一得DE＝OE，据此判断③；利用AAS证明△PDE≌△PBC得DE＝BC，根据三角形的中位线定理得BC＝2OE，从而即可得出答案.
10．如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC.
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴DC=AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=.
则扇形FDE的面积是：.
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
则在△DMG和△DNH中，
，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=.
则阴影部分的面积是：-.
故答案为：D.
【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，由直角三角形斜边上中线的性质可得DC=AB=1，易得四边形DMCN是正方形，DM=，根据扇形的面积公式可得扇形FDE的面积，由等腰三角形的性质可得CD平分∠BCA，根据角平分线的性质可得DM=DN，证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN=，据此不难求出阴影部分的面积.
二、填空题
11．是不在上的一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是 .
【答案】或
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当点P在圆内时，圆O的直径为4+9=13cm，
∴圆O的半径为6.5cm；
当点P在圆外时，圆O的直径为9-4=5cm，
∴圆O的半径为2.5cm，
综上圆O的半径为2.5cm或6.5cm.
故答案为：2.5cm或6.5cm.
【分析】分类讨论：当点P在圆内时，圆的直径=点P到圆的最大距离+最小距离，当点P在圆外时，圆的直径=点P到圆的最大距离-最小距离，据此解题即可.
12．如图所示，内接于.若的半径为2，则BC的长为 .
【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC、OB，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°，
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=2.
故答案为：2.
【分析】连接OC、OB，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOC=2∠A=60°，然后根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△OBC是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可得出BC的长.
13．在半径为6cm的圆中，50°的圆心角所对的弧长为 cm．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：弧长为： ．
故答案是： ．
【分析】利用弧长公式计算求解即可。
14．等腰直角三角形的直角边长为2，其外接圆的半径为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】因为等腰直角三角形的直角边长为2，
所以斜边长为
又因为90°圆周角所对的弦是直径，可知等腰直角三角形斜边为外接圆的直径
所以其外接圆半径为 ，
故答案为：
【分析】根据90°圆周角所对的弦是直径，可知等腰直角三角形斜边为外接圆的直径。
15．我们知道平面内到两个定点距离之比为常数（常数大于零且不为1）的点轨迹是一个圆，那么在平面直角坐标系内到原点（0，0）和点（3，0）距离之比为2的圆的圆心坐标是 .
【答案】（6,0）
【知识点】线段上的两点间的距离；圆的相关概念
【解析】【解答】解：由题意得： ,
∴x2+y2=2(x-3)2+2y2,
整理得：x2-12x+y2+18=0,
(x-6)2+y2=18.
∴圆心为（6,0）.
故答案为：（6,0）.
【分析】根据定义列方程，化简再转化为到定点距离等于定长的轨迹形式，即符合圆的定义，这个定点就是圆心，从而求解。
16．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4 ，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 .
【答案】 ﹣2
【知识点】勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】连结AE，如图1，
∵∠BAC=90°，AB=AC，BC= ，
∴AB=AC=4，
∵AD为直径，
∴∠AED=90°，
∴∠AEB=90°，
∴点E在以AB为直径的O上，
∵O的半径为2，
∴当点O、E. C共线时，CE最小，如图2
在Rt△AOC中，∵OA=2，AC=4，
∴OC= ，
∴CE=OC OE=2 ﹣2，
即线段CE长度的最小值为2 ﹣2.
故答案为：2 ﹣2.
【分析】连结AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED=90°，接着由∠AEB=90°得到点E在以AB为直径的 O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=2 ，从而得到CE的最小值为2 ﹣2.
三、综合题
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证： ；
（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．
【答案】（1）解：∵直径AB⊥弦CD，
∴弧BC=弧BD，
∴∠A=∠BCD；
（2）解：连接OC．
．
∵直径AB⊥弦CD，CD=8，
∴CE=ED=4．
∵直径AB=10，
∴CO=OB=5．
在Rt△COE中，
∵OC=5，CE=4，
∴OE= =3，
∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据等弧对等角证明即可；（2）连接OC，根据垂径定理得到CE=DE=4，再利用勾股定理求出OE，然后计算OB-OE即可。
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 （ ）过点（4，0）．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）已知点A（0，a），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx过点（4，0），
∴ ，
∴
（2）解：∵点A（0，a）绕原点O顺时针旋转90°得到点B，
∴点B的坐标为（a，0），
∵点B向右平移2个单位长度得到点C，
∴点C的坐标为（a+2，0）.
（3）解：（i）如图1，当a>0时，
抛物线y=ax2-4ax开口向上，与x轴交于两点（0，0），（4，0），
若线段AC与抛物线有公共点（如图），只需满足：
，
解得： ，
（ii）如图2，当a<0时，
抛物线y=ax2-4ax开口向下，与x轴交于两点（0，0），（4，0）.
若线段AC与抛物线有公共点（如图），只需满足：
，
解得： ，
综上所述，a的取值范围为 或 .
【知识点】列式表示数量关系；坐标与图形变化﹣旋转；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）将点（4，0）代入即可求出答案；
（2）y轴上的点绕远点O顺时针旋转90°到x轴，向右平移则横坐标加2即可求出B的坐标；
（3）根据图象列出不等式求出a的范围即可。
19．按要求解题：
（1）计算： (π－ )0＋ ＋(－1)2 015－ tan 60°．
（2）利用尺规作图找出下图残破的圆的圆心，不写作法，保留作图痕迹．
【答案】（1）解：(π－ )0＋ ＋(－1)2 015－ tan 60°
＝1＋2－1－3
＝－1
（2）解：如图，点O即为所求．
【知识点】实数的运算；确定圆的条件
【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算及特殊角的三角函数值化简即可求解；（2）作圆上任意两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，找到交点即为圆心．
20．如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连结PA，PB，分别交⊙O于点C，D，
（1）求证：PA=PB；
（2）若∠P=60， ，△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：
（2）解：∵∠P=60°，由（1）知△PAB为等边三角形，
连OA，OC，A作AH⊥OC于E，∴AE=
设⊙O的半径为r，△AOC的面积等于9
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据 可推出，进而得到∠A=∠B，然后根据等腰三角形的判定定理证明即可；
（2）易得△PAB为等边三角形，得到∠A=60°，=30°， 连接OA，OC，过点A作AH⊥OC于E，则AE= ，设○O的半径为r，根据△AOC的阿敏级为9求出r的值，最后根据S阴影=S扇形AOC-S△AOC计算即可.
21．如图， 为⊙O的直径， ，垂足为点 ， ，垂足为点 ， .
（1）求 的长；
（2）求⊙O的半径.
【答案】（1） 为⊙O的直径， ，
，
在 与 中，
；
（2）由（1）得，
⊙O的半径为 .
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由垂径定理得到 ，由 解得 ，再证明 ，由全等三角形的对应边相等性质解得 ，再由垂径定理可得 的长；
（2）由（1）中结论可知 ，由垂径定理得到 ，继而得到 ，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可知 ，再根据余弦的定义解题即可.
22．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上.
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长.
【答案】（1）解：连接
∵
∴
∴
∵
∴
（2）解：∵
∴
设 ，则
在 中，
∴
∴ 的半径长为13.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接 ，结合OD⊥AB，根据垂径定理，推导得∠AOD，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得到答案；
（2）根据垂径定理性质，计算得AC；在Rt△ACO中，通过勾股定理即可计算得⊙O的半径.
23．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，连接AC、FC.
（1）求证：∠ACF=∠ADB；
（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；
（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时， 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由.
【答案】（1）证明：∵
PO⊥BC
∴
BO=CO
∴
AO垂直平分BC
∴
AB=AC
又∵
△ACD是以AC为直角边作等腰直角三角形
∴
AC= AD
∴
AB= AD
∴
∠ABD=∠ADB
∵
∠ABD=∠ACF
∴
∠ACF =∠ADB
（2）解：过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M，过点A作AN⊥BF于N，连结AF，
则AN=m，
∴∠ANB=∠AMC=90°，
在△ABN和△ACM中，
，
∴Rt△ABN≌Rt△ACM（AAS）
∴BN=CM，AN=AM，
又∵∠ANF=∠AMF=90°，
在Rt△AFN≌Rt△AFM中，
，
∴Rt△AFN≌Rt△AFM（HL），
∴NF=MF，
∴BF+CF=BN+NF+CM-MF，
=BN+CM=2BN=n，
∴BN=，
∴在Rt△ABN中，AB2=BN2+AN2=m2+()2=m2+，
在Rt△ACD中，CD2=AB2+AC2=2AB2=2m2+，
∴CD=
（3） 解： 的值不发生变化，过点过点D作DM⊥y轴于点M
∴ ∠DMA=∠AOC=90°
∴ ∠OAC+∠ACO=90°
∵ △ACD是以AC为直角边作等腰直角三角形
∴ ∠DAC=90°，AC= AD
∴ ∠DAM +∠OAC = 90°
∴∠DAM=∠ACO
∴ △DAM ≌△ACO
∴ DM=AO
在△DAF与△CAF中，
AD=AC，AF=AF，DF=CF，
∴ △DAF ≌△CAF
∴ ∠DAF=∠CAF = 45°
∴ ∠CBF=∠CAF = 45°
∴ ∠BEO = 45°
∴ ∠DEM=∠BEO = 45°
∴ △DEM是等腰直角三角形
∴
∴
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）连接AB，根据垂径定理首先判断出 AO垂直平分BC ，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AB=AC ，根据等腰直角三角形的性质得出 AC= AD ，故 AB= AD 根据等边对等角得出 ∠ABD=∠ADB ，根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ABD=∠ACF ，故 ∠ACF =∠ADB ；
（2） 过点A作AH⊥BD于点H ，根据等腰直角三角形的性质得出 ∠ACD=∠ADC ，由（1）知 ∠ACF =∠ADB ，根据等量减去等量差相等得出 ∠FCD=∠FDC ，根据等角对等边得出 CF =DF ，故 BD= BF+ DF = BF+CF = n，根据等腰三角形的三线合一得出 BH= DH= BD=n，进而根据勾股定理算出AD，CD的长得出答案；
（3） 的值不发生变化，过点过点D作DM⊥y轴于点M ，连接AF，根据同角的余角相等得出 ∠DAM=∠ACO ，从而利用AAS判断出 △DAM ≌△ACO ，根据全等三角形的对应边相等得出DM=AO，然后利用SSS判断出 △DAF ≌△CAF ，进而判断出△DEM是等腰直角三角形 ，根据等腰直角三角形的边之间的关系得出结论.
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