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突破七：切线长定理中的综合证明
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若点E是的中点，的半径为6，求的长．
【题组训练2】如图，、是的切线，是切点，是的直径，连接，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积．
【题组训练3】如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作的切线交于点E，连接交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【题组训练4】如图，在中，点在边上，以为直径的与直线相切于点，连接，且，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【题组训练5】如图，在 ABC中，，以为直径的交于点，的切线交于点．
(1)求证：是中点；
(2)若，，连接，，交点为，求的长．
【题组训练6】如图，在中，，，以为直径的与相交于点，过点作的切线，交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若四边形为平行四边形，求的长；
(3)如图，为上一点，且，若．求点到的距离．
【题组训练7】如图，在中，，以上的点O为圆心，的长为半径的圆与交于点E，与切于点D．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)设，，求直径的长．
【题组训练8】如图，，是的切线，，为切点，连接．
(1)若与相切于点，求证；
(2)若，求证与相切．
【题组训练9】如图，已知P为圆O外一点，，为的切线，切点为A、B，是直径，
(1)说明；
(2)若，，求长．
【题组训练10】如图，中，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，且．连接交于点F．
(1)求证：．
(2)若，求线段的长．
【题组训练11】如图， ABC中，为边上一点，为内切圆，、、为切点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【题组训练12】如图，在，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的半径．
【题组训练13】已知的圆心在上，、分别为的切线，切点分别为、，交另一点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【题组训练14】如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点.
(1)证明：是的切线.
(2)如图2，连接，，求证：.
【题组训练15】如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E，交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【题组训练16】如图，在 ABC中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径长．
【题组训练17】如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：点是的中点；
(2)若，的半径为，求的长．
【题组训练18】如图，是 ABC的外接圆，是的直径，分别过，两点作的切线，交点为点，连接，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【题组训练19】如图， ABC中，，以为直径的交于点，切于，交于，连接．
(1)求证：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【题组训练20】如图，，分别与相切于，两点，是的直径．
(1)求证：
(2)连接交于点，若，，求的长．
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突破七：切线长定理中的综合证明
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若点E是的中点，的半径为6，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）根据切线长定理得到，．根据等腰三角形的性质和中位线定理即可得到结论；
（2）根据题意得出为等边三角形，得出，得出，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，，
∴，，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴；
（2）∵，点是的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵的半径为6，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，中位线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键．
【题组训练2】如图，、是的切线，是切点，是的直径，连接，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由切线长定理得，又由可得垂直平分线段，即得，由是的直径，得，可得，即可得；
（）先证明四边形是菱形，得到，即得是等边三角形，得到，，进而得，可得，再利用勾股定理得，由四边形的面积为得，设为，则，即得，求出，得到，，，再根据计算即可求解．
【详解】（1）证明：，是的切线，
∴，
又∵，
垂直平分线段，
∴，
又是的直径，
，
，
；
（2）解：连接，
点是的中点，
与互相垂直平分，
∴四边形是菱形，
，
∴是等边三角形，
，
，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，
，
∴，
设为，则，
∴，
解得（不合，舍去），，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，求弓形面积，掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
【题组训练3】如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作的切线交于点E，连接交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解答
(2)
【分析】（1）由为的直径，得，再证明是的切线，由切线长定理得，则，即可推导出，得，所以；
（2）连接，根据三角形的中位线定理证明，则，由，得，则，求得，由，求得，再证明，得，则．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴的长是．
【点睛】此题重点考查直径所对的圆周角等于90°、切线的判定定理、切线长定理、勾股定理、三角形的中位线定理、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
【题组训练4】如图，在中，点在边上，以为直径的与直线相切于点，连接，且，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，如图所示，由切线性、等腰三角形三线合一性求证即可得到答案；
（2）根据切线长定理得到，从而，在中，由三角函数定义得到，再由等面积法列方程解得，从而根据中垂线的判定与性质得到垂直平分，进一步得到，在中，由三角函数定义求出，代入化简即可得到答案．
【详解】（1）证明∶连接，如图所示：
∵与相切于点，
∴，
又∵，
由等腰三角形三线合一性知为边上的中线，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵是的半径，
∴与相切于点，
∴，
又∵，
∴，
在中，，，则，即，
∴，则，
∴，
∵，且，则，解得，
∵，，
∴点都在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴，
在中，，则，
∴．
【点睛】本题考查圆综合，涉及切线性质、等腰三角形判定与性质、圆的性质、切线长定理、特殊角的三角函数定义及求角度和边长、等面积法求线段长、中垂线的判定与性质等知识，熟练掌握圆的性质及综合问题求解，灵活运用相关几何性质与特殊角的三角函数值求线段长是解决问题的关键．
【题组训练5】如图，在 ABC中，，以为直径的交于点，的切线交于点．
(1)求证：是中点；
(2)若，，连接，，交点为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)1.8
【分析】（1）连接，根据切线的性质，就可以证出，从而证明；
（2）求出，根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求，根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：连接，
，为直径，
为切线，
切于点，
，
；
，
，
，
，
即为的中点；
（2）解：连接，
，
为的切线，
是的切线，
平分，
，为的中点，
点、分别为、的中点，
，
在中，，，，由勾股定理得：，
在中，为的中点，
，
在中，，，由勾股定理得：，
由三角形的面积公式得：，
即，
解得：，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．
【题组训练6】如图，在中，，，以为直径的与相交于点，过点作的切线，交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若四边形为平行四边形，求的长；
(3)如图，为上一点，且，若．求点到的距离．
【答案】(1)见解析；
(2)
(3)．
【分析】（1）根据切线的判定及切线长定理判定即可；
（2）连接，证明四边形是矩形得，从而利用弧长公式即可得解；
（3）过点作于点，由勾股定理得，再由三角函数得，，从而得，由，得，进而构造方程即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵为的直径，
∴切于点，
∵是的切线，
∴；
（2）解：连接，如下图，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（3）解：过点作于点，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，切线长定理，切线的判定，三角形函数以及勾股定理，熟练掌握切线长定理，切线的判定，三角形函数以及勾股定理是解题的关键．
【题组训练7】如图，在中，，以上的点O为圆心，的长为半径的圆与交于点E，与切于点D．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)设，，求直径的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【分析】本题考查的是圆的切线的判定，切线长定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的性质建立方程是解本题的关键．
（1）证明为的切线，利用切线长定理可得答案；
（2）证明，再利用余角的含义可得结论；
（3）证明，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：，
．
是的半径，
为的切线．
又切于点，
．
（2）是的直径，
．
．
又，
．
由（1）得，
．
．
（3）由（2）得，，，
．
，
．
．
的直径长为．
【题组训练8】如图，，是的切线，，为切点，连接．
(1)若与相切于点，求证；
(2)若，求证与相切．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）利用切线长定理证明，即可求证；
（）延长到点，使得，连，过点作，垂足为G，连接，，，，证明，再由证明，根据性质再证明，最后由性质即可求证；
此题考查了切线长定理和切线的判定与性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点的的应用及正确添加辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵与相切，切点为，且，是的切线，，为切点，
∴ ，，
∵，
∴；
（2）证明：延长到点，使得，连接，过点作，垂足为G，连接，，，，
∵，，
∴ ，
∵，是的切线，，为切点，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，，
∴，
∴与相切．
【题组训练9】如图，已知P为圆O外一点，，为的切线，切点为A、B，是直径，
(1)说明；
(2)若，，求长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先根据切线长定理得到，然后证明出垂直平分，然后得到，即可证明出；
（2）首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，求出，然后证明出为中位线，即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图所示，连接交于点，连接，
∵，是的切线，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴是的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴
∴，即
∴
∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴为中位线，
∴．
【点睛】此题考查了切线长定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【题组训练10】如图，中，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，且．连接交于点F．
(1)求证：．
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)、
【分析】（1）连接，由切线得性质得：，再证明与相切于点C，则，再证，得，则，即可得答案；
（2）先求出的值，由，求出，再证明垂直平分，则，求出的长，即可得答案．
【详解】（1）解：如下图，连接，
与相切于点E，
，
，
，
，
是的半径，，
与相切于点C，
，
在和中，，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，且，
，
解得：，
，
，
点O、点A都在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
，
，
，
，
线段，的长分别是1、．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【题组训练11】如图， ABC中，为边上一点，为内切圆，、、为切点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理；
（1）根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解；
（2）设，则，根据，即可求解．
【详解】（1）∵为内切圆，、、为切点，
∴，
∵，
∴即
∴
（2）设，
∵，
∴
∵，
∴
∵，
∴，解得，
∴
【题组训练12】如图，在，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，等腰三角形的性质和勾股定理．
（1）先证明为的切线，则根据切线长定理得到平分，则，再利用得到，然后根据三角形内角和定理可得到的度数；
（2）设的半径为r，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后在中利用勾股定理得到，于是解方程可得到的半径．
【详解】（1）∵，
∴，
∴为的切线，
∵为的切线，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
即，
∴；
（2）如图，
设的半径为r，
由（1）知，
在中，∵，
∴
在中，，
解得，
即的半径为．
【题组训练13】已知的圆心在上，、分别为的切线，切点分别为、，交另一点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明出或即可利用同位角相等，两直线平行，或内错角相等，两直线平行证明出结论；
（2）先由勾股定理求出，再利用，利用平行线分线段成比例定理求出半径，最后由得到比例线段即可求出．
【详解】（1）证明：连接，
、分别为的切线，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：在中，
，，
由勾股定理，得，
设，则，，
，，
，
由（1）知，
，
即，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
在中，
由勾股定理，得，
，
，
，
即，
解得．
【点睛】本题考查圆的切线的性质，圆的基本性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．
【题组训练14】如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点.
(1)证明：是的切线.
(2)如图2，连接，，求证：.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等边对等角得出，进而根据为切线，， ，得出，即可得证；
（2）根据、、分别与相切于点D、E、C，根据切线长定理得出，，则，，，，即可得出，进而即可得证．
【详解】（1）证明：连接，
∵为直径，
∴.
在中，B为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为切线，
∴，
∴
∴.
即，
∴是的切线.
（2）证明：∵、、分别与相切于点D、E、C，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了切线的性质与切线长定理，掌握切线的判定方法以及切线长定理是解题的关键．
【题组训练15】如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E，交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由是的直径，得，由切线长定理得，有，再根据余角性质得，便可得出结论；
（2）连接，由勾股定理求得，再证，便可求得，进而求得．
【详解】（1）解：证明：连接，
是的直径，
，
，
，为半径，
是的切线，
是的切线，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，
，，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，即，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，切线长定理相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，关键是证明三角形相似．
【题组训练16】如图，在 ABC中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）作，垂足为点H，连接，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，然后根据角平分线的性质，即可求证；
（2）根据勾股定理求出的长，可得，设的半径为r，在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，作，垂足为点H，连接，
∵，D是的中点，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
即是的平分线，
∵点O在上，与相切于点E，
∴，且是的半径，
∴，是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在中，，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
设的半径为r，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
∴的半径长为3．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识是解题的关键．
【题组训练17】如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：点是的中点；
(2)若，的半径为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明是的切线．根据是的切线，可得，进而证明，等量代换可得，即可得证；
（2）根据，可得四边形是正方形，则是等腰直角三角形．勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接．
为的直径，
．
，
是的切线．
是的切线，
，
．
，，
，
，
，
点是的中点．
（2）解：若，由()得，四边形是正方形，
是等腰直角三角形．
半径为，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【题组训练18】如图，是 ABC的外接圆，是的直径，分别过，两点作的切线，交点为点，连接，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）利用圆周角定理和切线的性质求得，根据等角的余角相等得到，再根据切线长定理以及等腰三角形的性质即可证明结论成立；
（2）先证明，利用正切函数求得，在中，利用正切函数求得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，是的切线，
∴，
∴，
∵都是的切线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵都是的切线，
∴是弦的垂直平分线，
∴，，
由（1）得，则，
∵，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线性质定理，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是熟练运用上述性质和判定定理解答．
【题组训练19】如图， ABC中，，以为直径的交于点，切于，交于，连接．
(1)求证：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出，根据切线长定理得出，进而可得，即可得证；
（2）连接，证明是等边三角形，阴影部分的面积为，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是直径，
∴
∴，
∵，
∴是的切线，
又切于，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴,
∴，
∵，
∴，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵
∴，则是等边三角形，
在中，，
∴，
∴阴影部分的面积为
．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆周角定理，勾股定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【题组训练20】如图，，分别与相切于，两点，是的直径．
(1)求证：
(2)连接交于点，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据切线长定理和切线的性质可得，，，根据等腰三角形三线合一性质可得，可得，，得到，从而得证；
（2）根据余弦，正弦的定义及勾股定理可得，从而有，，代入计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，交于点．
∵、为的切线，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，等腰三角形三线合一性质，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，勾股定理．正确的添加辅助线是解题的关键．
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