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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，是的直径，是的切线，，在圆上取一点C，使得，延长、，交点为D．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的半径．
【题组训练2】如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的半径．
【题组训练3】已知：如图，是的直径，是的切线，与相交于点，连接并延长与相交于点，且点为的中点，，．
(1)求的半径；
(2)求证：与相切．
【题组训练4】如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交于点M、N，过点M作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【题组训练5】如图，是的直径，直线切于点于点F，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【题组训练6】如图，已知四边形中，，点是的中点，，以为直径作半圆．
(1)求证：是的切线；
(2)若与的交点是的中点，的半径为2，求的长．
【题组训练7】如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点E，交于点F，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【题组训练8】如图，直角 ABC内接于，点是直角 ABC斜边上的一点，过点作的垂线交于，过点作交的延长线于点，连结交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【题组训练9】如图，在中，是的直径，是上一点，是外一点，交于点，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【题组训练10】如图，在 ABC的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接OA交于点E，连接，并延长交线段于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)在（2）的条件下，若F是的中点，求的值．
【题组训练11】如图，在 ABC中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【题组训练12】如图， ABC内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【题组训练13】在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，，求的长．
【题组训练14】如图，为直径，，为上的两点，且，交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【题组训练15】如图，在中，，为边上的点，以为直径作，交于点．连接并延长交于点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
【题组训练16】如图，经过菱形的顶点，，与边，分别相交于点，．
(1)若与相切，求证：与相切；
(2)求证：．
【题组训练17】如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦，
(1)求证：是的切线；
(2)直线与交于点，且，，求的半径．
【题组训练18】如图，在中，是的直径，与相切于，连接，过点作，与交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长度．
【题组训练19】如图，是的直径，B、C都是上的点，连接，E是延长线上一点，连接，且．
(1)证明：是的切线；
(2)连接，交于点F．当时，若，求的长．
【题组训练20】如图，与相切于点为的直径，为上的一点，且．的延长线相交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，是的直径，是的切线，，在圆上取一点C，使得，延长、，交点为D．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为2．
【分析】（1）连接，证明，得到，即可证明与相切；
（2）先求得，得到，求得，再利用含30度角的直角三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴与相切；
（2）解：延长到点，使，连接，，设的半径为，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴的半径为2．
【题组训练2】如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键．
（1）连接，由垂径定理得，根据垂直平分线的的性质可得，证明，利用全等三角形的性质可得即可；
（2）先利用勾股定理求得，设，再根据等面积法列即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
为的中点，，
，则垂直平分，
，
，，
，
，
与相切；
（2）解：，，
，
由（1）可知，，
，
设，
，
，
，
解得，
故的半径为．
【题组训练3】已知：如图，是的直径，是的切线，与相交于点，连接并延长与相交于点，且点为的中点，，．
(1)求的半径；
(2)求证：与相切．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）先设的半径为，由于是的直径，是的切线，根据切线性质可知，在中，利用勾股定理可得，解方程可得出答案；
（2）连接，由于，，可知是的中位线，那么，于是，根据三角形外角性质可得，易证，而，，利用可证，那么，于是，从而可证是的切线．
【详解】（1）解：（1）设的半径为，
是的直径，是的切线，
，
在中，，
，
解得，
的半径为；
（2）证明：连接，
，，
是的中位线，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
即，
与相切．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、中位线的性质，解题的关键是证明．
【题组训练4】如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交于点M、N，过点M作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）连接，先证出，再证明即可；
（2）由平行线分线段成比例定理可求，由直角三角形斜边中线的性质可求，由勾股定理求出的长，然后证明即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，又是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是斜边上的中线．
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴
∴，
∴，
∴．
【题组训练5】如图，是的直径，直线切于点于点F，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据直线切于点C，得出，证明，得出，即可证明是的切线；
（2）延长交于点E，连接．作于点G，根据为的直径，得出．证出四边形为矩形，再证明，得出，证出矩形为正方形．延长交于点M，根据垂径定理得出，根据三角形中位线定理得出．设，则．．在中，根据勾股定理求出即可求解．
【详解】（1）解：连接，
直线切于点C，
，
，
．
，
．
，
，
，
是的切线；
（2）解：延长交于点E，连接．作于点G，
为的直径，
．
，
四边形为矩形，
．
是的切线，
，
．
，
，
，
矩形为正方形．
延长交于点M，
，
，
，
．
设，则．
，
，
．
在中，，
解得：（舍去），
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，垂径定理，三角形中位线定理，矩形和正方形的性质和判定以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
【题组训练6】如图，已知四边形中，，点是的中点，，以为直径作半圆．
(1)求证：是的切线；
(2)若与的交点是的中点，的半径为2，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定与性质，解直角三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及等边三角形的判定和性质是正确解答的关键．
（1）根据全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及切线的判定方法进行解答即可；
（2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而可得是等边三角形，再根据直角三角形的边角关系进行计算即可．
【详解】（1）证明：如图，延长交的延长线于点，过点作，垂足为，
点是的中点，
，
又，，
，
，
，即，
，
，
即点在上，
是的切线；
（2）解：如图，连接，
点是的中点，，
，
是等边三角形，
，
的半径，
，
在中，，，
．
【题组训练7】如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点E，交于点F，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）连接，根据圆的切线的性质，得到，根据角平分线的定义以及等边对等角的性质，得到，进而得出，推出，得到，即可证明结论；
（2）根据同弧所对的圆周角相等，得到，进而得出，再根据直径所对的圆周角是直角，得出，，由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，再结合勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
为圆O的切线，
．
平分，
．
，
，
，，
．
在和中，
，
，
．
是的切线．
（2）解：，
，
，
．
．
是直径，
，
，
．
在中，，，
．
．
【题组训练8】如图，直角 ABC内接于，点是直角 ABC斜边上的一点，过点作的垂线交于，过点作交的延长线于点，连结交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）连接，欲证明是的切线，只要证明即可；
（2）延长交圆于点，由切割线定理求出即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
又，
，
，
，
，
是切线；
（2）解：延长交圆于点，连接
是切线，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
，
，
．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角 三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【题组训练9】如图，在中，是的直径，是上一点，是外一点，交于点，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查切线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据圆周角定理得到，等量代换，求得，根据切线的判定定理得到结论．
（2）由 (1) 可知，是的切线，解直角三角形即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图，在中，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线．
（2）解：由 (1) 可知，是的切线，，
∴，
∴，
∴，
即的半径为．
【题组训练10】如图，在 ABC的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接OA交于点E，连接，并延长交线段于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)在（2）的条件下，若F是的中点，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)半径为
(3)
【分析】（1）连，证明，由全等三角形的性质得出，由切线的性质得出，则可得出，可得出结论；
（2）由锐角三角函数可求的长，由勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求的长，即可求解；
（3）由直角三角形的性质得出，得出，证明，由相似三角形的性质可得，则可求解．
【详解】（1）证明：连OD，
在和中，
，
，
，
与相切，
，
，
，
，
为半径，
是切线；
（2）解：连接OD，
，，
，
，
，
，
，
，
，
半径为；
（3）解：为的中点，，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解题的关键．
【题组训练11】如图，在 ABC中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质和判定，直角三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
（1）作，垂足为，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得，再通过导角得出是的平分线，再利用角平分线的性质可得，从而证明结论；
（2）根据，，可得，，设的半径为，则，利用，可得的值，再利用勾股定理求出的长．
【详解】（1）证明：如图，作，垂足为，连接，
，是的中点，
，
，
，
，
，
即是的平分线，
点在上，与相切于点，
，且是的半径，
，是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，在中，，，，
可设，，
，
，
则，，
设的半径为，则，
，
，
即，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：．
【题组训练12】如图， ABC内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)
【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、同角的余角相等、勾股定理、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
（1）由是的直径，得，由，得，由，，得，所以，即可证明是的切线；
（2）由，，得，则；
（3）作于点，则，由勾股定理得，则，可求得，所以，即可由，求得．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
点是弧的中点，
，
，
，，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）证明：，
，
，
，
．
（3）解：作于点，
，平分，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长是．
【题组训练13】在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，同圆的半径相等和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）连接，过点作于点，设，则，利用圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
即，
．
是的半径，
是的切线；
（2）连接，过点作于点，如图，
为的直径，
，．
．
，，
，
，
，．
，，
，
，
，
，．
设，则，
，
．
解得：．
．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质．连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
【题组训练14】如图，为直径，，为上的两点，且，交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，再根据等腰三角形的性质和已知可得，从而可得，然后利用同弧所对的圆周角定理可得，从而可得，进而可得，最后利用平行线的性质即可解答；
（2）连接，根据切线的性质、圆周角定理推出，，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线与相切；
（2）解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的半径为．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．
【题组训练15】如图，在中，，为边上的点，以为直径作，交于点．连接并延长交于点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握切线的判定．
（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形两个锐角互余即可证明是的切线；
（2）根据，，利用勾股定理求出半径，进而可以求阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过点E作，
，，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
，
的的中点，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积扇形的面积等边三角形的面积．
【题组训练16】如图，经过菱形的顶点，，与边，分别相交于点，．
(1)若与相切，求证：与相切；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查的切线的判定与性质、菱形的性质、圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
（1）连接、、，根据菱形的性质及全等三角形的判定与性质可得，然后由切线的判定方法可得结论；
（2）连接、，根据圆的性质及全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】（1）证明：连接、、，
经过菱形的顶点，，
过点，，，，
在和中，
，
，
，
与相切，
，
是半径，
与相切；
（2）证明：在和中，
，
，
，
，
，
，
．
【题组训练17】如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦，
(1)求证：是的切线；
(2)直线与交于点，且，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据切线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
（2）设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径．
【详解】（1）证明：连接，
是的切线，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
在中，，即，
解得：，
的半径为3．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理的，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
【题组训练18】如图，在中，是的直径，与相切于，连接，过点作，与交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用切线的性质得到，利用平行线性质结合等量代换得到，证明,得到，即可证明是的切线；
（2）连接，利用圆周角定理得到，利用勾股定理得到，证明，利用相似的性质即可得到的长度．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）如图，连接，
是的直径，，
，，
在中，，，
又，
，
，即，
解得：．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，平行线性质，全等三角形性质和判定，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形性质和判定，掌握以上知识是解题的关键．
【题组训练19】如图，是的直径，B、C都是上的点，连接，E是延长线上一点，连接，且．
(1)证明：是的切线；
(2)连接，交于点F．当时，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得到，结合，推出，再根据是的直径，得到，进而得到，即可推出，从而得到，即可证明结论；
（2）由，可得，易证是等边三角形，根据，求出，利用勾股定理求出，得到，再利用勾股定理求出，由即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，即，
是半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的特征，等边三角形的判定与性质，勾股定理．灵活掌握切线的判定定理是解题的关键．
【题组训练20】如图，与相切于点为的直径，为上的一点，且．的延长线相交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接，证明，， 可得，从而可得结论；
（2）证明，设的半径为，利用，再建立方程求解即可；
【详解】（1）证明：连接，
是的切线 ，
，即，
在和中
，
，
，
，
又是的半径 ，
是的切线；
（2）解：
，
，
∴
设的半径为，
在中，，
∵，
，解得，
检验：当时，，
是原方程的解．
的半径是4；
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
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