中小学教育资源及组卷应用平台
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】问题提出：
（1）如图①，的半径为4，弦，则点O到的距离是_____________．
问题探究：
（2）如图②，的半径为5，点A、B、C都在上，，求 ABC面积的最大值．
问题解决：
（3）如图③，是一圆形景观区示意图，的直径为，等边的边是的弦，顶点P在内，延长交于点C，延长交于点D，连接．现准备在和区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积．（提示：花卉种植面积尽可能小，即花卉种植面积的最小值）
【答案】（1）2；（2）；（3）
【分析】（1）作交于点C，连接，由垂径定理可知，利用勾股定理即可求出答案；
（2）作交于点D，连接，使 ABC面积最大，则应最大，即当经过圆心O的时候取值最大，由垂径定理以及勾股定理求出，得到，即可求出答案；
（3）设，则，证明是等边三角形，进一步得到，根据二次函数的性质得到当时，有最小值，此时点P与点O重合，则是的直径，求出的最小值为，用圆面积减去的最小值即可得到答案．
【详解】（1）解：作交于点C，连接，
∵，
由垂径定理可知：，
∵，
∴；
即点O到的距离是2，
故答案为：2
（2）作交于点D，连接，
∵，若使 ABC面积最大，则应最大，
∴当经过圆心O的时候取值最大，
由垂径定理可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
即 ABC面积的最大值为．
（3）设，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴当时，有最小值，
∴
∴，
∴此时点P与点O重合，则是的直径，
∴
此时，即的最小值为，
∴草坪的最大面积为．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，灵活运用这些知识并数形结合是解题的关键．
【题组训练2】定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1，为 ABC的截线，截得四边形，若，则称为 ABC边的“幸福线”．
(1)已知为边的“幸福线”，，，，则的长为________；
(2)如图2，若 ABC内接于，为弧的中点，、分别为、边的“幸福线”，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，如图3过点作的“幸福线”交于点，当四边形面积最大时，求的正切值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题目中“幸福线”的定义，得，根据邻补角的定义得，即可得，易证得，根据它们的对应边成比例求解即可；
（2）如图2，连接，由“幸福线”定义得，根据邻补角的定义得，即可证得，根据圆的半径，及圆周角定理得，再通过角的等量交换，可得，即可证得结论；
（3）如图3，连接交于点，根据“在同圆（或等圆）中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等”，及“三角形外接圆的圆心是这个三角形的外心”可得，且，然后利用据勾股定理求得的值为8，进而求得，然后根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”，先证明，，，得，的值，，，设，则,根据，即可得式子，令，根据二次函数的性质，可得当，即时，四边形的面积最大，此时点与点重合，根据，通过相似三角形对应边成比例，求出，的值，进而得到的值，过点作，垂足为点，则，易得，利用相似三角形对应边成比例，求出，的值，根据在中，，即可得出答案
【详解】（1）解：为边的“幸福线”，
，
，
，
，
，
，
，，，
．
（2）解：如图2，连接,令与交点为，
为边的“幸福线”，
，
，
，
，，
，
，
，
．
（3）解：如图3，连接交于点，
为弧的中点，
，且，
，
，，
，
，
由（2）得，
又，
，
，
为边的“幸福线”，
，
，
，
又，
，
，
同理得，
设，则，
,,
令，则当时，的值最大，
当时，四边形的面积最大，此时点与点重合，
，，
，，
，，
，
，
如图，过点作，垂足为点，则，
，
，
，，
，
在中，．
【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形外接圆性质，勾股定理，求直角三角函数的正切值，灵活利用相似三角形的相似比求对应的边及三角形面积，利用割补法求不规则图形面积，利用二次函数变形为顶点式求最值，合理添加辅助线构造直角三角形并利用勾股定理解三角形．
【题组训练3】如图，四边形内接于，，交于点．已知的半径为，，．
(1)求的度数；
(2)求的长；
(3)①当时，求的面积；
②当的面积最大时，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)①的面积为；
②当的面积最大时，．
【分析】连、，可得是等边三角形，再根据圆周角定理可得的度数；
作于点，先根据三组角相等证明，可得，则，又，可得，，设后即可根据求解；
①在的基础上作，利用勾股定理解三角形可得，再根据得，将各自含的值代入可得分式方程，解得，根据方程的解分别求得和的值后即可确定；
②由得：，则要使最大，取值应最大，根据最长为直径时可求得的最大值，将其代入即可求解．
【详解】（1）解：连、，
、是半径，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
．
（2）解：作于点，
由得，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
设，
，，，
，，
，，
．
（3）①解：在的基础上作，
，
，
又，
，
，
，
，
，
又，
，
解得，
经检验是原分式方程的解，
，，
．
②解：
由得：，
则要使最大，取值应最大，
最长为直径，
，
即，
最大值为，
此时
，
故最大时，．
【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、二次根式的混合运算、解分式方程、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、面积问题(二次函数综合)等，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
【题组训练4】如图1，在中，，，，是的中点．经过，，三点的交于点，连接．
(1)求和的长；
(2)如图2，两动点P、Q分别同时从点A和点C出发匀速运动，当点P运动到点E时，点Q恰好运动到点B，P、Q停止运动，连接．
①记，当的面积最大时，求x的值；
②如图3，连接并延长交于点，连接、．当平分时，求的值．
【答案】(1)；；
(2)①当的面积最大时，x的值为5；②．
【分析】（1）利用直角三角形的边角关系定理求得，，连接，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理求得，，则；过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可；
（2）①当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点，则，代入数值求得，过点作于点，利用含角的直角三角形的性质求得，再利用三角形的面积公式，配方法和二次函数的性质解答即可；
②过点作，过点作，利用角平分线的性质定理得到，利用圆的有关性质得到，利用直角三角形的边角关系定理求得，，再利用相似三角形的判定与性质求得，，最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可；
【详解】（1）解：在中，
，，，
，，
连接，如图，
，
是的直径，
，
又是的中点，
，
在中，
，，
，，
；
过点作于点，
在和中，
，，
，，
在中，
，
；
（2）解：①当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点，
，
，，，
，
，
过点作于点，如图，
，
，
的面积．
，，
当时，的面积最大．
当的面积最大时，的值为4；
②由（1）知：，
过点作，过点作，如图，
平分，，，
，
平分，
∴，
，
又，
，
，，
，
．
，，
，
，
，
解得：，，
在中，
，，
．
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，配方法，二次函数的性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【题组训练5】【学习新知】
（1）如图，已知半径为的外，有一点，满足，则点与上任意一点的连线最小值为______，最大值为______．
（2）如图，在 ABC中，，，求 ABC的最大面积．
【应用新知】
（3）如图，在等边 ABC中，，点为中点，点、分别在、上，且，连接、，，请问在 ABC内部是否存在一个点，使得，且满足到点A的距离最小，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）学习新知：1；7；（2）；（3）存在，的最小值为
【分析】（1）观察图形可得答案；
（2）以为边作等边，使、在的同侧，以为圆心，为半径作，则在上，连接交于，根据等边三角形，得，，即有，是满足条件的点，要使面积最大，只要边上的高取最大值，此时动点运动到优弧的中点位置，可得，，在中，，故CH，从而，即的最大面积为；
（3）以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，过作于，过A作于，取中点，以为圆心，为半径作，连接交于，证明∽，可得，又，是等边三角形，即得、、、四点共圆，有，是满足条件的点，当A、、共线时，最小，根据已知可得，，，即可得，，故，即的最小值为．
【详解】解：学习新知：
（1）点与上任意一点的连线最小值为，最大值为，
故答案为：；．
（2）以为边作等边，使、在的同侧，以为圆心，为半径作，则在上，连接交于，如图：
等边三角形，
，，
，即是满足条件的点，
要使面积最大，只要边上的高取最大值，此时动点运动到优弧的中点位置，
∴，
过圆心，
，，
在中，，
，
，
即的最大面积为；
应用新知：
（3）在内部存在一个点，使得，且满足到点A的距离最小，理由如下：
以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，过作于，过A作于，取中点，以为圆心，为半径作，连接交于，如图所示：
是等边三角形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，点为中点，，
，，
，即，
为中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
、、、四点共圆，
，
，即是满足条件的点，
当A、、共线时，最小，
在中，，，
，
，是中点，
，
，
在中，，，
，
，
，
即的最小值为．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及三角形面积，锐角三角函数，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造满足条件的圆，本题难度较大．
【题组训练6】【问题提出】
（1）如图①，在 ABC中，点D在边上，，且，则 ；
【问题探究】
（2）如图②，在 ABC中，， ，求出 ABC面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某市政中心计划由旧城改造出一块三角形空地，并拟定在 ABC中建一个户外健身区，其占地平面示意图为四边形，其中D为上一个三等分点（），过点D分别作 ，，且点分别在上．经过实地测量后得知：， m，现要求户外健身区所在四边形的面积最大，请你计算出户外健身区（即四边形）所占面积最大为多少？
【答案】（1）；（2）32；（3）四边形的最大值为平方米
【分析】（1）通过证明，由相似三角形的性质可求解；
（2）作 ABC的外接圆，由题意可得点在的垂直平分线上且在 ABC的外接圆上时，点到的距离最大，即 ABC的面积最大，由勾股定理和锐角三角函数可求，的长，即可求解；
（3）先求出，则当 ABC面积有最大值时，四边形的面积有最大值，由等边三角形的性质可求解．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图，作 ABC的外接圆，
，
点在的垂直平分线上且在 ABC的外接圆上时，点到的距离最大，即 ABC的面积最大，
如图，连接，过点C作于H，则，
，
设，，
，
，
，
，
，
，，
的最大面积；
（3）如图，连接，
点D是的三等分点，
，
，，
，，
，，
，，
，，
，
当 ABC面积有最大值时，四边形的面积有最大值，
由（2）可知，当点在的中垂线上，且在 ABC的外接圆上时， ABC的面积有最大值，
，，
是等边三角形，
，
的最大值（平方米），
四边形的最大值（平方米），
四边形的最大值为平方米．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【题组训练7】【问题提出】
(1)如图①，在中，点为边的中点，画出关于点的对称图形（点的对应点记为），此时四边形为形状为_________；
【问题探究】
(2)在（1）的条件下，若，，求四边形周长的最大值；
【问题解决】
(3)如图②，某风景区有一段笔直的河流，有一处自然喷泉（点）在这条河流上，风景区在现有资金条件下准备修建一条长米的直通道路，在道路的尽头处安装一个张角为的高清摄像头以观测游客的活动，要求喷泉恰好在摄像头观测到河流的边界点、的正中间，求摄像头能观测区域 ABC的最大面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)摄像头能观测区域的最大面积为平方米
【分析】（1）根据题意画图，平行四边形的判定可得；
（2）构建等腰三角形，求得；构建的外接圆，连接并延长交于点，连接，，根据圆周角定理和其推论，可得，；根据特殊角的三角函数值，求得半径，结合，即可求得的最大值为的长，即可求得；
（3）延长到点，使，构建平行四边形，可得，构建的外接圆，连接，，根据圆周角定理，可得，根据特殊角的三角函数值可得半径，连接，延长与圆交点为，根据垂径定理，可得，可得的值，当点与点重合时，面积最大，即可求得．
【详解】（1）图①即为所求：平行四边形．
（2）如图②，延长至点，使，则为等腰三角形．
∵
∴
设，，三点共圆．连接并延长与圆交于点，连接，，，
∵
∴．
∴
．
∴四边形的周长最大值为．
（3）如图③，延长到点，使米，连接，，
则四边形为平行四边形．
∴
∵
∴
设、、三点共圆．
连接，
∵米，
∴，米．
连接，则，延长交于点，当点与点重合时，面积最大，此时．
最大值为平方米
∴摄像头能观测区域的最大面积为平方米．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外接圆的性质，圆周角定理及其推论，特殊角的三角函数值，垂径定理等知识，涉及的知识点较多，综合性强，难度较大，熟练应用圆的相关定理是解题的关键．
【题组训练8】如图1，已知扇形纸片，，半径．
(1)求扇形的面积及图中阴影部分的面积；
(2)如图2，在扇形的内部，与，都相切，且与只有一个交点，此时我们称为扇形的内切圆，试求的面积；
(3)如图3，在扇形纸片中，剪出一个扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的余料中，再剪出一个圆作为这个圆锥的底面，并使得这个圆锥的表面积最大，若能，请求出这个圆锥的表面积；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能，当时，有最大值
【分析】（1）根据扇形和等边三角形的面积公式即可求解；
（2）设与相切于点，连接，，根据相切两圆的性质得到、、三点共线，根据直角三角形的性质得到，再利用圆的面积公式即可求解；
（3）设圆锥的底圆的半径为，表面积为，根据圆的面积公式和二次函数性质即可求解．
【详解】（1），半径，
，
，，
是等边三角形，
，
阴影部分的面积．
（2）设与相切于点，连接，，
相切两圆的连心线必过切点，
、、三点共线，
，，
在中，
，
，
，
的半径．
．
（3）设圆锥的底圆的半径为，表面积为，
又，
，
当时，有最大值．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，三角形面积的计算，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【题组训练9】如图1，在中，，D是的中点经过A，B，D的圆O交AC于E点．
(1)求的长．
(2)当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记．
①求y关于x的表达式．
②连接，当的面积最大时，求x的值．
(3)如图2，连接，延长交⊙O于点F，连接，当与 BDE中的某一边相等时，求四边形的面积．
【答案】(1)；
(2)①；②；
(3)或或
【分析】（1）如图所示，连接，根据90度的圆周角所对的弦是直径得到是直径，则，利用含30度的直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可得到答案；
（2）①先根据时间=路程÷速度得到；设运动时间为t，则，，由此即可得到答案；②如图所示，过点P作于H，则，利用三角形面积公式得到，由此利用二次函数的性质求解即可；
（3）分如图3-1所示，当时，利用进行求解；如图3-2所示，当时， 利用进行求解；如图3-3所示，当时，过点E作于K，于G，利用进行求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，A、B、D都在圆O上，
∴是直径，
∴，
∵D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B，
∴（V表示速度），
∴；
设运动时间为t，
∴，，
∴，
∴；
②如图所示，过点P作于H，则，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值；
（3）解：如图3-1所示，当时，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴；
如图3-2所示，当时，过点E作于G，连接并延长交于H，连接，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴
；
如图3-3所示，当时，过点E作于K，于G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
；
综上所述，当与中的某一边相等时，四边形的面积为或或；
【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，角平分线的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【题组训练10】问题提出
(1)如图①，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，若AD=9，∠DCE=15°，求△BCE外接圆的半径长．
问题解决
(2)某社区准备设计一个矩形花园，如图②是花园的示意图，图中EF，EG，FG，FC是花园内四条小路，这四条小路将花园分成五个三角形区域，分别用来种植不同种类的花．根据设计要求，∠EGF=∠BCF，∠EFC=90°，DF：DC=1：2，AE=8米，该矩形花园面积是否存在最大值？若存在，请求出其最大面积：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)外接圆半径长为
(2)存在，矩形ABCD面积的最大值为450平方米
【分析】（1）作的外接圆，交于，解直角三角形，从而求得结果；
（2）先求得长，从而求得的外接圆的直径，作OH//AB，过作的切线，交于，延长交于，作，从而得出矩形的面积最大值是矩形的面积，过点作交于，交于，连接，推得，进而根据求得的值，进一步求得结果．
【详解】（1）解：如图1，
作的外接圆，交于，连接CF，
四边形是矩形，
，，
平分，，
，，
在中，
，
，
，
，
是的直径，
，
外接圆的半径长是；
（2）解：如图2，
作的外接圆，
四边形是矩形，
∴AD//BC，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理（1）得，
的直径，
作OH//AB，交于，过作的切线，交于，延长交于，作，
从而得出矩形的面积最大值是矩形的面积，
过点作交于，交于，连接，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即矩形面积的最大值是．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”模型．
【题组训练11】已知，点A，B分别在射线上运动，．
(1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系 证明你的结论：
(2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
(3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时， AOB的面积最大 请说明理由，并求出 AOB面积的最大值．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)当时，的面积最大；理由见解析，面积的最大值为
【分析】（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD=AB，OD′=A′B′，进而得出结论；
（2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D，进而求得结果；
（3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由(2）可知∶当OC⊥AB时，OC最大，BT=3，当OA=OB时，∠ BOC=22.5°，此时OT最大，根据等腰三角形的性质可得∠OBE=∠BOC=22.5°，由外角的性质可得∠BET=45°，则ET=BT=3，利用勾股定理可得OE，由OT=OE+ET可得OT，然后根据三角形的面积公式进行计算．
【详解】（1）解：，证明如下：
，AB中点为D，
，
为的中点，，
，
，
；
（2）解：如图1，
作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，
当O运动到O′时，OC最大，
此时△AOB是等边三角形，
∴BO′=AB=6，
OC最大=CO′=CD+DO′=AB+BO′=3+3；
（3）解∶如图，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，证明如下∶
以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，
由（2）可知，当OC⊥AB时，OC最大，
∵等腰直角三角形ABC，AC=BC，∠ACB=90°，
又OC⊥AB于T，
∴TC=AT=BT=AB=3，
∵OC=OT+CT=OT+3，
∴当OA=OB时，此时OT最大，即OC最大，
∴△AOB的面积最大，
∴∠BOT=∠AOB=22.5°，
∵OE= BE ，
∴∠OBE=∠BOC = 22.5° ，
综上，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，△AOB面积的最大值为．
【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”的模型．
【题组训练12】如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，以点O为圆心、2为半径画圆，点C是⊙O上任意一点，OC．将OC绕点O按顺时针方向旋转90°，交⊙O于点D
(1)当AD与⊙O相切时，
①求证：BC是⊙O的切线；
②求点C到OB的距离．
(2)连接BD，CD，当△BCD的面积最大时，点B到CD的距离为 ．
【答案】(1)①见解析，②
(2)4+
【分析】（1）①先证明△BOC≌△AOD，则∠BCO=∠ADO=90°，BC是⊙O的切线；
②过点C作CE⊥OB，根据勾股定理得BC=，由△BCO的面积公式可得OB·CE=BC·OC，求得CE=；
（2）当点C在⊙O上运动到△BCD是等腰三角形，且BO的延长线与CD垂直位置时，△BCD的面积最大（如图2），由等腰直角三角形的性质可求得OF=，则点B到CD的距离为4+．
【详解】（1）①证明：∵AD与⊙O相切，
∴∠ADO=90°，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB-∠AOC=∠COD-∠AOC，即∠COB=∠AOD，
∵OB=OA，OC=OD，
∴△BOC≌△AOD（SAS）．
∴∠BCO=∠ADO=90°．
∴BC是⊙O的切线．
②如图1，过点C作CE⊥OB，垂足为E，则CE即为点C到OB的距离．
在Rt△BOC中，∵OB=4，OC=2，
∴，
∴OB·CE=BC·OC，即4CE=2×2，CE=．
∴点C到OB的距离是．
（2）如图2，当点C在⊙O上运动到△BCD是等腰三角形，且BO的延长线与CD垂直位置时，
△BCD的面积最大，
此时OB=4，OC=OD=2，
∵△COD是等腰直角三角形，
∴，
∴BF＝4+．
故答案为：4+．
【点睛】此题主要考查了圆的综合以及等腰直角三角形的性质、旋转的性质、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【题组训练13】如图，在矩形中，，，E是上一点，且．动点P从点B出发，沿方向以每秒3个单位的速度向点C运动，过点P作交于点F，过点F作交于点G，连结．当点F与点A重合时，点P停止运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)求的长（用含t的代数式表示）；
(2)当点P在何处时，的面积最大？最大面积是多少？
(3)作的外接圆，在点P的运动过程中，是否存在实数t，使与四边形的一边（边除外）相切？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)PF的长5t
(2)当时，面积最大，最大为
(3)存在，或或时，与四边形的一边（边除外）相切
【分析】（1）先证明四边形CGFP是平行四边形，再证明△PFB∽△ECD，运用相似三角形性质即可得出答案；
（2）利用三角形面积可得：S△PFG＝BF FG＝﹣6t2+10t，再运用二次函数最值即可得出答案；
（3）分三种情况：①如图2，当⊙O与AB相切时，FG是直径，由△PFB∽△FGP，建立方程求解即可；②如图3，当⊙O与BC相切时，连接OP延长PO交FG于M，连接OF、OG，根据PB＝MF＝MG＝FG＝PC，建立方程求解即可；③如图4，当⊙O与EC相切时，连接GO，延长GO交PF于M，连接OF、OP，由△FGM∽△PFB，建立方程求解即可．
【详解】（1）如图1，
∵动点P从点B出发，沿BC方向以每秒3个单位的速度向点C运动，
∴BP＝3t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，
在Rt△ECD中，∠D＝90°，DE＝3，CD＝4，
∴CE＝＝＝5，
∵PF∥CE，FG∥BC，
∴四边形CGFP是平行四边形，
∴∠FPB＝∠ECB＝∠DEC，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴△PFB∽△ECD，
∴＝＝，即＝＝，
∴BF＝4t，PF＝5t；
（2）由（1）知：BF＝4t，BP＝3t，
∴CP＝BC﹣BP＝5﹣3t，
∵四边形CGFP是平行四边形，
∴FG＝CP＝5﹣3t，
∴S△PFG＝BF FG＝×4t（5﹣3t）＝﹣6t2+10t，
∴当t＝﹣时，S△PFG的最大值＝﹣6×（）2+10×＝，
∵BP＝3t＝3×，
∴此时点P是BC的中点，
故当t＝，即点P在BC的中点时，△PFG的面积最大，最大面积是．
（3）存在．
①如图2，
当⊙O与AB相切时，FG是直径，
∴∠FPG＝90°，
∵FG∥BC，
∴∠PFG＝∠FPB，
∵∠FPG＝∠B＝90°，
∴△PFB∽△FGP，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝；
②如图3，
当⊙O与BC相切时，连接OP延长PO交FG于M，连接OF、OG，
∵OP⊥BC，BC∥FG，
∴PO⊥FG，
∴FM＝MG，
由PB＝MF＝MG＝FG＝PC，
得：3t＝（5﹣3t），
解得：t＝；
③如图，
当⊙O与EC相切时，连接GO，延长GO交PF于M，连接OF、OP，
∵OG⊥EC，BF∥EC，
∴GO⊥PF，
∴MF＝MP＝t，
∵△FGM∽△PFB，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝．
综上所述，当t＝或或时，⊙O与四边形ABCE的一边（AE边除外）相切．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，垂径定理，平行四边形的性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，运用方程思想把问题转化为利用方程解决，学会添加常用辅助线，构造相似三角形，属于中考压轴题．
【题组训练14】如图，在中，，，，射线，点是边上一动点，连接，过点作交射线于点，连接．
（1）求证：点、、、在同一圆上；
（2）若，则_______；
（3）①当面积的最大时，求的长；
②当点从点运动到点时，直接写出的外接圆圆心经过的路径长______．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）①当面积最大时，；②．
【分析】（1）根据圆的内接四边形性质即可证明点、、、在以为直径的同一圆上；
（2）根据题意过点作，从而构造出一组相似三角形：，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）①根据，推出各边之间的关系，从而设出未知数，根据三角形面积公式进行求解即可；②由（1）可知△ACE外接圆的圆心是的中点，推出点的运动路径为，进而根据角之间的互余关系推出角相等，进而得出，利用相似三角形对应边成比例进行求解即可．
【详解】解：（1）证明：根据题意可知，，
∵，
∴点、、、在以为直径的同一圆上.
（2）如图1，
过点作，垂足为点，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，解得，
故答案为：．
（3）①由（2）可知，
∴，
设，则，，，
∴，
∴当面积最大时，，即．
②如图2所示，
由（1）可知外接圆的圆心是的中点，，
∴点在的垂直平分线上运动，
∴点的运动路径为，
根据题意，，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的综合运用，作出辅助线，从而构造出相似三角形进行求解是解题的关键．
【题组训练15】问题发现（1）如图1，已知⊙O的半径为3，．为⊙O上一动点，则的最大值为 ；
问题探究（2）如图2，在 ABC中，设，，，为的中点，连接．求证：；
小明同学思考时，先过点作于，请你试着帮助小明完成剩下的过程．
问题解决（3）如图3，为平面内一定点，且满足，，现在要建一个面积尽可能大的矩形景区，使得，请问是否存在这样一个满足要求的矩形？若存在，请求出这个矩形的最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根号）
【答案】（1）4；（2）见解析；（3）存在，
【分析】（1）当、、三点共线时，的值最大，即可求解；
（2）在中，①；在中，②；联立①②并解得，进而求解；
（3）当题设矩形的最大面积时，该矩形为正方形，进而求解．
【详解】解：（1）当、、三点共线时，的值最大，
则，
故答案为：4；
（2）设，则，，
在中，①；
在中，②；
联立①②并解得，
则；
（3）设一个矩形的周长为，一边长为，则其邻边长为，
则该矩形的面积为，
∵，故该矩形面积有最大值，当时，面积最大，
此时一边为，另外一边为，
即当矩形为正方形时，该矩形的面积最大；
故当题设矩形的最大面积时，该矩形为正方形，如下图：
过点作于点，，
则，
故，
则矩形的面积．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质、勾股定理的运用、矩形和正方形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
【题组训练16】不在射线上的点是边长为2的正方形外一点，且满足，以，为邻边作．
（1）如图，若点在射线上，请用尺规补全图形；
（2）若点不在射线上，且在AB的左侧，求的度数；
（3）设与交点为，当的面积最大时，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）45°；（3）
【分析】（1）以B为圆心，AB长为半径，画圆交CB于点P，连接AP，BD，即可；
（2）连接PB，QC，过点D作DH⊥DQ，交QC的延长线于点H，先证明四边形BCQP是平行四边形，再推出∠CQD=45°，从而得是等腰直角三角形，然后证明，进而即可得到结论；
（3）延长AB交PQ于点N，则AN⊥PQ，由题意得点P在以点M为圆心，AB为弦的圆上，当的面积最大时，则的面积最大，此时，点P在圆M的最下面，过点M作MH⊥AB，则AH=BH=1，四边形MPNH是矩形，进而即可求解．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）连接PB，QC，过点D作DH⊥DQ，交QC的延长线于点H，
∵在中，
∴AD=PQ，AD∥PQ，
∵在正方形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∴PQ=BC，PQ∥BC，
∴四边形BCQP是平行四边形，
∴∠PQD+∠APQ=180°，∠QPB+∠PQC=180°，
又∵∠APB=∠APQ+∠BPQ=45°，
∴∠PQD+∠PQC=360°-45°=315°，
∴∠CQD=360°-（∠PQD+∠PQC）=360°-315°=45°，
∵DH⊥DQ，
∴是等腰直角三角形，
∴DQ=DH，
∵∠ADQ+∠CDQ=∠CDH+∠CDQ=90°，
∴∠ADQ=∠CDH，
又∵AD=CD，
∴，
∴∠AQD=∠H=45°，
∵AP∥DQ，
∴=45°；
（3）延长AB交PQ于点N，则AN⊥PQ，
∵，
∴点P在以点M为圆心，AB为弦的圆上，且∠AMB=2∠APB=90°，
∴MB=MA=AB=×2=，
∵当的面积最大时，则的面积最大，此时，点P在圆M的最下面，即：MP⊥PQ，
过点M作MH⊥AB，则AH=BH=1，四边形MPNH是矩形，
∴HN=MP=，AH=PN=MH=1
∴AN=+1，
延长DA、PM交于点G，则PG⊥DG，DG=2+1=3，PG=AN=+1，
∴=．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆的基本性质，锐角三角函数的定义，第（3）小题，添加辅助线，构造辅助圆，利用圆的性质，找出点P的位置，是解题的关键．
【题组训练17】如图，在中，，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作的切线，切点为P，连接．将绕点O按逆时针方向旋转到时，连接．设旋转角为．
（1）当时，求证：是的切线；
（2）当与相切时，求旋转角和点H运动路径的长；
（3）当面积最大时，请直接写出此时点H到的距离．
【答案】（1）见解析；（2）或，点H运动路径的长为或；（3）
【分析】（1）先证，得到，根据AP是⊙O的切线，得到，继而得到，即可证明BH是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线BC、BD，切点分别为C、D，连接OC，OD，可得到，继而得到，同理可得到，
当点H与点C重合时，可知，继而可求得，当点H与点D重合时，，继而可求得；
（3）作ON⊥AB于点N，则，因为h在圆上，所以，，则时△AHB面积最大．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
，
是⊙O的切线，
，
，即于点H，
是⊙O的切线；
（2）如图，过点B作⊙O的切线BC、BD，切点分别为C、D，连接OC，OD，则有，
，
，
，
同理，
当点H与点C重合时，由（1）知：，
，
，
的长为；
当点H与点D重合时，，
的长为，
当与⊙O相切时，旋转角或，点H运动路径的长为或．
（3）如图，作ON⊥AB于点N，
，其中表示H到直线AB的距离，
∵∠AOB=90°，OA=OB=4，
∴，
∴，
∴，
∵H在⊙O上，
∴，，
∴当时，最大，
∴当△AHB面积最大时，H到AB的距离为．
【点睛】本题考查圆的切线、全等三角形的判定与性质、弧长公式、三角形的面积、勾股定理等，解题的关键是综合运用相关知识．
【题组训练18】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，过点D作⊙O的切线交EC于点F．
（1）求证：EF=FC；
（2）填空：①当∠ACD的度数为 时，四边ODFC为正方形；
②若AD=4，DC=2，则四边形ABCD的最大面积是 ．
【答案】（1）见解析；（2）①45°；② 9
【分析】（1）根据已知和根据圆周角定理可得CE是⊙O的切线且∠ADC=∠EDC=90°，根据切线性质可得DF=FC，进而有∠CDF=∠DCF，再利用等角的余角相等证得∠E=∠EDF，则有DF=EF，即可得证；
（2）①连接OD，根据切线的性质、正方形的判定和圆周角定理即可解答；
②根据圆周角定理可得∠ADC=∠ABC=90°，根据题意只需△ABC面积最大即可．
【详解】（1）证明：∵AC为⊙O的直径，AC⊥CE，
∴CE为⊙O的切线，∠ADC=∠EDC=90°，
又∵DF为⊙O的切线，
∴DF=CF，
∴∠CDF=∠DCF，
∵∠EDF+∠CDF=90°，∠E+∠DCF=90°，
∴∠E=∠EDF，
∴DF=EF，
∴EF=FC；
（2）①当∠ACD的度数为45°时，四边ODFC为正方形，
理由为：连接OD，
∵DF为⊙O的切线，
∴∠ODF=90°，
∵∠ACD=45°，
∴∠AOD=90°，即∠COD=90°，
又AC⊥CF，
∴∠OCF=∠ODF=∠COD=90°，又OD=OC，
∴四边形ODFC是正方形，
故答案为：45°；
②∵AC为⊙0的直径，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∵AD=4，DC=2，
∴AC= ，
S△ADC= ，
要使四边形ABCD的面积最大，只需△ABC的面积最大，
当△ABC为等腰直角三角形时，△ABC的面积最大，
∴四边形ABCD的最大面积为4+ ×2 ×=4+5=9，
故答案为：9．
【点睛】本题是以圆为载体的综合题，考查了切线的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、正方形的判定、等角的余角相等、勾股定理等知识，涉及知识点较多，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键．
【题组训练19】问题情境：
（1）如图（1），A，B是⊙O上的两点，且AB为定值，请在⊙O上画出一点P，使△PAB面积最大，此时PA PB（填“＞”或“＜”或“＝”）；
（2）如图（2），∠AOB＝90°，M，N两点分别在OA，OB上运动，且MN＝6，试求△MON的面积的最大值；
问题解决：
（3）如图（3），一所中学的操场上有一块扇形空地AOB，其圆心角为60°，半径为R，学校的园艺师要在这块空地上修建一个矩形草坪CDEF，使其两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点分别在线段OA，OB上，试求矩形草坪的面积的最大值．
【答案】（1）＝；（2）9；（3）（2﹣）R2
【分析】（1）画出点P是优弧AB的中点，此时点P到AB的距离最大，即△PAB面积最大，可求PA＝PB；
（2）由题意可得点O在以MN为直径的圆上，由（1）可知点O是半圆的中点时，△MON的面积最大，由三角形的面积公式和勾股定理可求解；
（3）如图（3），过点O作OH⊥DE于H，交CF于点G，连接EO，由垂径定理和矩形的性质可证四边形HEFG是矩形，可得S△EFO＝S矩形HEFG＝S矩形CDEF，则当△EFO的面积有最大值时，矩形CDEF的面积有最大值，由（1）可知：当EF＝OF时，△EFO的面积有最大值，由直角三角形的性质和勾股定理可求EF2＝（2﹣）R2，即可求解．
【详解】解：（1）如图，画出点P是优弧AB的中点，此时点P到AB的距离最大，即△PAB面积最大，
∵点P是优弧AB的中点，
∴＝，
∴AP＝BP，
故答案为：＝；
（2）∵∠AOB＝90°，
∴点O在以MN为直径的圆上，
如图所示，
由（1）可知：点O是半圆的中点时，△MON的面积最大，此时OM＝ON，
∵MN＝6，
∴OM2＋ON2＝MN2，
∴OM2＝18，
∴△MON的面积的最大值＝×OM×ON＝9；
（3）如图（3），过点O作OH⊥DE于H，交CF于点G，连接EO，
∴DH＝HE，OC＝OF，
∵四边形CDEF是矩形，
∴DE∥CF，∠DEF＝∠EFC＝90°，
∴∠OGF＝∠OHE＝90°，
∴四边形HEFG是矩形，
∴S矩形HEFG＝S矩形CDEF，
∵S△EFO＝×EF×HE，
∴S△EFO＝S矩形HEFG＝S矩形CDEF，
∴当△EFO的面积有最大值时，矩形CDEF的面积有最大值，
由（1）可知：当EF＝OF时，△EFO的面积有最大值，
∵CO＝OF，∠COF＝60°，
∴△COF是等边三角形，
又∵∠OGF＝90°，
∴∠GOF＝30°，
∴GF＝OF，GO＝GF＝OF，
∵OH2＋HE2＝OE2，
∴（OF＋EF）2＋（OF）2＝R2，
∴EF2＝（2﹣）R2，
∴S矩形CDEF＝4S△OEF＝4××HE×EF＝4×××EF×EF＝（2﹣）R2．
∴矩形草坪的面积的最大值为（2﹣）R2．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关 性质，矩形的判定和性质，等边三角形判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
【题组训练20】如图，是半圆的直径，为半圆的圆心，是弦，取的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是半圆的切线；
（2）当，时，求的长；
（3）当时，直接写出面积最大时，点到直径的距离．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）连接OD，先说明∠BAD=∠CAD，然后根据等腰三角形的性质和平行线的性质证得OD//AC，再运用平行线的性质∠ODE=90°即可；
（2）连接BC、OC，则∠ACB是直角，利用特殊锐角三角函数值可得∠BAC=30°，则∠BOC=60°，最后依据扇形的弧长公式进行计算即可；
（3）连接OD、BC、OC，过点O作OF⊥AC，垂足为F，先证明四边形ODEF为矩形，得到OF=ED，再通过解直角三角形求得AC、OF，最后运用角平分线定理即可解答．
【详解】解：（1）证明：如解图①，连接
是的中点，
，
，
，
又是半圆的半径，
是半圆的切线；
图①
（2）如解图②，连接、，则是直角．
∵，，
∴
，
图②
（3）如解图③所示：连接、、，过点作，垂足为．
∵．
四边形为矩形，
，
当时，为等腰直角三角形，此时面积最大，
·
，
平分
点到的距离．
图③
【点睛】本题主要考查的是切线的判定、锐角三角函数、矩形的判定等知识，正确作出辅助线并灵活应用所学知识是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】问题提出：
（1）如图①，的半径为4，弦，则点O到的距离是_____________．
问题探究：
（2）如图②，的半径为5，点A、B、C都在上，，求 ABC面积的最大值．
问题解决：
（3）如图③，是一圆形景观区示意图，的直径为，等边的边是的弦，顶点P在内，延长交于点C，延长交于点D，连接．现准备在和区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积．（提示：花卉种植面积尽可能小，即花卉种植面积的最小值）
【题组训练2】定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1，为 ABC的截线，截得四边形，若，则称为 ABC边的“幸福线”．
(1)已知为边的“幸福线”，，，，则的长为________；
(2)如图2，若 ABC内接于，为弧的中点，、分别为、边的“幸福线”，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，如图3过点作的“幸福线”交于点，当四边形面积最大时，求的正切值．
【题组训练3】如图，四边形内接于，，交于点．已知的半径为，，．
(1)求的度数；
(2)求的长；
(3)①当时，求的面积；
②当的面积最大时，直接写出的值．
【题组训练4】如图1，在中，，，，是的中点．经过，，三点的交于点，连接．
(1)求和的长；
(2)如图2，两动点P、Q分别同时从点A和点C出发匀速运动，当点P运动到点E时，点Q恰好运动到点B，P、Q停止运动，连接．
①记，当的面积最大时，求x的值；
②如图3，连接并延长交于点，连接、．当平分时，求的值．
【题组训练5】【学习新知】
（1）如图，已知半径为的外，有一点，满足，则点与上任意一点的连线最小值为______，最大值为______．
（2）如图，在 ABC中，，，求 ABC的最大面积．
【应用新知】
（3）如图，在等边 ABC中，，点为中点，点、分别在、上，且，连接、，，请问在 ABC内部是否存在一个点，使得，且满足到点A的距离最小，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．
【题组训练6】【问题提出】
（1）如图①，在 ABC中，点D在边上，，且，则 ；
【问题探究】
（2）如图②，在 ABC中，， ，求出 ABC面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某市政中心计划由旧城改造出一块三角形空地，并拟定在 ABC中建一个户外健身区，其占地平面示意图为四边形，其中D为上一个三等分点（），过点D分别作 ，，且点分别在上．经过实地测量后得知：， m，现要求户外健身区所在四边形的面积最大，请你计算出户外健身区（即四边形）所占面积最大为多少？
【题组训练7】【问题提出】
(1)如图①，在中，点为边的中点，画出关于点的对称图形（点的对应点记为），此时四边形为形状为_________；
【问题探究】
(2)在（1）的条件下，若，，求四边形周长的最大值；
【问题解决】
(3)如图②，某风景区有一段笔直的河流，有一处自然喷泉（点）在这条河流上，风景区在现有资金条件下准备修建一条长米的直通道路，在道路的尽头处安装一个张角为的高清摄像头以观测游客的活动，要求喷泉恰好在摄像头观测到河流的边界点、的正中间，求摄像头能观测区域 ABC的最大面积．
【题组训练8】如图1，已知扇形纸片，，半径．
(1)求扇形的面积及图中阴影部分的面积；
(2)如图2，在扇形的内部，与，都相切，且与只有一个交点，此时我们称为扇形的内切圆，试求的面积；
(3)如图3，在扇形纸片中，剪出一个扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的余料中，再剪出一个圆作为这个圆锥的底面，并使得这个圆锥的表面积最大，若能，请求出这个圆锥的表面积；若不能，请说明理由．
【题组训练9】如图1，在中，，D是的中点经过A，B，D的圆O交AC于E点．
(1)求的长．
(2)当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记．
①求y关于x的表达式．
②连接，当的面积最大时，求x的值．
(3)如图2，连接，延长交⊙O于点F，连接，当与 BDE中的某一边相等时，求四边形的面积．
【题组训练10】问题提出
(1)如图①，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，若AD=9，∠DCE=15°，求△BCE外接圆的半径长．
问题解决
(2)某社区准备设计一个矩形花园，如图②是花园的示意图，图中EF，EG，FG，FC是花园内四条小路，这四条小路将花园分成五个三角形区域，分别用来种植不同种类的花．根据设计要求，∠EGF=∠BCF，∠EFC=90°，DF：DC=1：2，AE=8米，该矩形花园面积是否存在最大值？若存在，请求出其最大面积：若不存在，请说明理由．
【题组训练11】已知，点A，B分别在射线上运动，．
(1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系 证明你的结论：
(2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
(3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时， AOB的面积最大 请说明理由，并求出 AOB面积的最大值．
【题组训练12】如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，以点O为圆心、2为半径画圆，点C是⊙O上任意一点，OC．将OC绕点O按顺时针方向旋转90°，交⊙O于点D
(1)当AD与⊙O相切时，
①求证：BC是⊙O的切线；
②求点C到OB的距离．
(2)连接BD，CD，当△BCD的面积最大时，点B到CD的距离为 ．
【题组训练13】如图，在矩形中，，，E是上一点，且．动点P从点B出发，沿方向以每秒3个单位的速度向点C运动，过点P作交于点F，过点F作交于点G，连结．当点F与点A重合时，点P停止运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)求的长（用含t的代数式表示）；
(2)当点P在何处时，的面积最大？最大面积是多少？
(3)作的外接圆，在点P的运动过程中，是否存在实数t，使与四边形的一边（边除外）相切？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【题组训练14】如图，在中，，，，射线，点是边上一动点，连接，过点作交射线于点，连接．
（1）求证：点、、、在同一圆上；
（2）若，则_______；
（3）①当面积的最大时，求的长；
②当点从点运动到点时，直接写出的外接圆圆心经过的路径长______．
【题组训练15】问题发现（1）如图1，已知⊙O的半径为3，．为⊙O上一动点，则的最大值为 ；
问题探究（2）如图2，在 ABC中，设，，，为的中点，连接．求证：；
小明同学思考时，先过点作于，请你试着帮助小明完成剩下的过程．
问题解决（3）如图3，为平面内一定点，且满足，，现在要建一个面积尽可能大的矩形景区，使得，请问是否存在这样一个满足要求的矩形？若存在，请求出这个矩形的最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根号）
【题组训练16】不在射线上的点是边长为2的正方形外一点，且满足，以，为邻边作．
（1）如图，若点在射线上，请用尺规补全图形；
（2）若点不在射线上，且在AB的左侧，求的度数；
（3）设与交点为，当的面积最大时，求的值．
【题组训练17】如图，在中，，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作的切线，切点为P，连接．将绕点O按逆时针方向旋转到时，连接．设旋转角为．
（1）当时，求证：是的切线；
（2）当与相切时，求旋转角和点H运动路径的长；
（3）当面积最大时，请直接写出此时点H到的距离．
【题组训练18】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，过点D作⊙O的切线交EC于点F．
（1）求证：EF=FC；
（2）填空：①当∠ACD的度数为 时，四边ODFC为正方形；
②若AD=4，DC=2，则四边形ABCD的最大面积是 ．
【题组训练19】问题情境：
（1）如图（1），A，B是⊙O上的两点，且AB为定值，请在⊙O上画出一点P，使△PAB面积最大，此时PA PB（填“＞”或“＜”或“＝”）；
（2）如图（2），∠AOB＝90°，M，N两点分别在OA，OB上运动，且MN＝6，试求△MON的面积的最大值；
问题解决：
（3）如图（3），一所中学的操场上有一块扇形空地AOB，其圆心角为60°，半径为R，学校的园艺师要在这块空地上修建一个矩形草坪CDEF，使其两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点分别在线段OA，OB上，试求矩形草坪的面积的最大值．
【题组训练20】如图，是半圆的直径，为半圆的圆心，是弦，取的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是半圆的切线；
（2）当，时，求的长；
（3）当时，直接写出面积最大时，点到直径的距离．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
