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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，在中，以 C 为圆心作交及其延长线于点E、D，连接，
(1)求证∶是的切线；
(2)求点C到的距离；
(3)点 P 是上一动点， 求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点作，交于点，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，推出为的半径，即可得证；
（2）求出的长，勾股定理求出的长，过点作，等积法求出的长即可；
（3）取的中点，连接，进而得到，结合，得到，进而得到，进而得到，得到，得到三点共线时，的长最小为的长，勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：过点作，交于点，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
由题意，可知：为的直径，
∴，
∴，
∴为的半径，
又∵，
∴是的切线；
（2）∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
过点作，
则：，即：，
∴，
∴点C到的距离为；
（3）取的中点，连接，则：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值为的长，
∵，，由（2）知，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查切线的判定，含30度的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．
【题组训练2】如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上．
(1)求证：是的切线；
(2)若点、的坐标分别为，；
①求的半径；
②求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)①；②．
【分析】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键．
（1）连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论；
（2）①连接，设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
②过点作于，利用勾股定理求得、的长，再利用矩形的判定与性质可得答案．
【详解】（1）证明：连接，
平分，
，
，
，
，
∴，
，
，
为半径，
即是的切线；
（2）解：①连接，
由A、D的坐标得，；
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得，
解得，，
即的半径为；
②过点作于，
在中，
，
在中，，
，，
在中，
，
由（1）得，
，
，
四边形是矩形，
．
【题组训练3】如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等边三角形的判定与性质．
（1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线；
（2）由线段是的直径证明，再根据等角的余角相等证明，则；
（3）由，证明，则是等边三角形，所以，则，所以，再证明，得．
【详解】（1）证明：如图，连接，则，
，
平分，
，
，
∵，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线；
（2）证明：线段是的直径，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：，，
，
∴是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【题组训练4】如图，是 ABC的外接圆，为直径，D是上一点，且点C是优弧的中点，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的半径长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)的半径的长为．
【分析】（1）连接，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得；
（2）连接，由题意可得即可证可得则可证是的切线；
（3）过点作于点，由角平分线的性质可得可证可得根据勾股定理可求的半径长．
【详解】（1）证明：连接，如图：
∵点C是优弧的中点，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
且
（2）证明：连接，如图：
∵为直径，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：过点作于点，如图：
又∵
在和中，
设则
在中，由勾股定理得，
解得：
∴的半径的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
【题组训练5】如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)与的延长线交于点，若，，，
①求的值．
②求的长．
【答案】(1)相切，见解析
(2)①；②
【分析】（1）连接，根据圆内接四边形的性质及圆周角定理推出，据此即可得解；
（2）连接，与交于点，根据垂径定理得出，，根据题意得到，根据相似三角形的性质得到，据此即可得解；
（3）先证明，根据相似三角形的性质得到，再由在中，求解即可．
【详解】（1）解：相切，理由如下，
证明：连接，如图1，
∵ 四边形内接于，，
∴ 是的直径，即点在上．
∴ ．
∴ ．
∵ ．
又∵ ，
∴
∴，即．
∴
∵是的半径
∴是的切线．
（2）解：①如图2，与交于点，
∵，
∴
∴
∴
∴垂直平分
∴ ，．
∴；
②∵ ，，
∴ ．
∴
∴设，则，．
在中，，
∴ ．
解得：，（舍）．
∴ ．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键．
【题组训练6】如图，在中，是直径，是的平分线，分别交于点E，于点F，点D在的延长线上，连接，，．
(1)求的度数．
(2)求证：是的切线．
(3)连接，过点E作于点H，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角即可求解；
（2）如图，连接，，由圆周角定理得，再由，，得，，进而求得，即可证明结论；
（3）先证是等腰直角三角形，得，由勾股定理求得，结合，得，可得，，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴．
∵是的平分线，
∴．
（2）证明：如图，连接，．
∵，
∴
∵，，
∴，，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
（3）∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴，
∴，，
在中，．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定及性质，切线的判定，勾股定理，利用正切值求线段长度等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【题组训练7】如图，等腰 ABC内接于，，是边上的中线，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：为的切线；
(3)若的半径为5，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）由可判定，由全等三角形的性质得，由平行四边形的判定方法，即可得证；
（2）连接并延长交于，由三角形的外心得，由平行四边形的性质得，即可得证；
（3）过点作交于，连接，由等腰三角形的性质得，由勾股定理得，从而可得， 由正弦函数得，可求的值，由勾股定理得，求出和的值，由相似形的判定方法得，由相似形的性质得，即可求解．
【详解】（1）证明：是边上的中线，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
四边形是平行四边形；
（2）证明：连接并延长交于，
等腰内接于，
∴弧弧，
，
四边形是平行四边形，
，
，
即：，
为的切线；
（3）解：过点作交于，连接，
，
，，
则，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，平行四边形的判定及性质，切线的判定，三角形的外心，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，正弦函数，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；掌握圆的基本性质，平行四边形的判定及性质，切线的判定，作出恰当的辅助线构建直角三角形，熟练利用勾股定理求边长是解题的关键．
【题组训练8】如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N．
(1)求证：与相切；
(2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）根据题意可得，根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而得出，证明，得出，即可得证；
（2）分点在以及半圆上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
为的中点，是中点，
，
是的直径，
，
，
∵，
，
又
，
，
是切线
，
，
，
是切线；
（2）如图所示，当点在上时，连接，交于点，
，
，
，
，
直径，
，
∴，
，
；
当点在半圆上时，过点作，垂足为点，，垂足为点，
四边形是矩形，
在中，，
∵，
∴，
，
∴，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．
【题组训练9】如图，在 ABC中，，以为直径的分别与交于点D，E，过点D作，垂足为点F．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若⊙O的半径为4，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)﹣4
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，由，得，从而证明结论；
（2 ）连接，根据圆周角定理知，从而证明，即可；
（3 ）连接，过点O作于点H，分别求出扇形和的面积，即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接，则是的半径，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴直线是的切线；
（2）解：连接，则，
∵，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴；
（3）解：连接，过点O作于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角函数，扇形面积的计算等知识，证明是解题的关键．
【题组训练10】如图，是的直径，是的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点，
(1)求证：为的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）；
(3)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接、，证明，得，即，从而即可得证；
（2）令交于点，利用角平分线的性质及三线合一得，，，，进而利用三角函数求得，，从而求得，再求出，即可得解；
（3）由题可设则，证明，得设，则，，在中，由勾股定理得，从而，解得或（舍去），在中，利用三角形函数求解即可．
【详解】（1）证明：连接、，
∵点在圆上，为切点，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线；
（2）解：令交于点，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴在中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴，
∴；
（3）解：由题可设则，
∵，，
∴，
∴
设，则，，
在中，，
∴
∴，
∴，
又，
∴，
∴或（舍去）
∴在中，．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，切线的判定，三线合一，解一元二次方程，相似三角形的判定及性质，熟练掌握切线的判定，三线合一，解一元二次方程，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【题组训练11】如图，为的直径，C，D为圆上的两点，，弦相交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的半径；
(3)在（2）的条件下，过点C作的切线，交的延长线于点P，过点P作交于F，Q两点（点F在线段上），求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)．
【分析】对于（1），先根据等腰三角形的性质得，再根据平行线得性质得，即可得出，然后根据“弧，弦，圆周角的关系”得出答案；
对于（2），连接，可知，再根据“两角相等的两个三角形相似”得，即可求出，然后根据直径所对的圆周角是直角得，最后根据勾股定理得出答案；
对于（3），作，连接，先根据切线的性质得再根据“两角相等的两个三角形相似”得，根据相似三角形的对应边成比例得，即可求出，进而求出，然后说明，再根据相似三角形的对应边成比例求出，，接下来根据勾股定理求出,最后根据得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，
∵，
∴．
∵
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵是直径，
∴，
∴，
∴的半径为；
（3）如图，过点O作于点H，连接，
∵是切线，
∴且，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
∵，
∴，且，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴,
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，切线的性质，平行线的性质，弧，弦，圆心角的关系，作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
【题组训练12】如图，是的直径，交于点D，E是的中点，交于点F，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、切线的判定、圆周角定理、锐角三角函数等知识．
（1）连接交于点G，证明，又由是直径即可证明是的切线；
（2）连接，证明则，可设，由三角形中位线定理得，得到，由勾股定理，可得，则，证明，则，求出，则根据正切定义即可求出答案．
【详解】（1）解：连接交于点G，
E是的中点，
，
即，
，
∵，
∴，
，
∵是直径，
∴是的切线；
（2）连接，
∵
∴
∴，
∴，
，
可设，
∵，
∴是的中位线，
∴，
，
在中，
由勾股定理，可得，
，
∵，
∴，
∴，
∴
解得，
．
．
【题组训练13】如图，是的直径，弦于点E，连接，过点A作于点M，交过点C的直线于点G，连接并延长，交直线于点N，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径和的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)半径为3，．
【分析】此题考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、圆周角定理等知识．
（1）证明，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接，证明，则，设，则，则，在中得到，解得（舍去），则，得到，则的半径为3，，即可得到，则，由勾股定理得到，则．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）连接，由（1）证知：，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中有：，即：，
∴（舍去），
∴，
∴，
∴的半径为3，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
【题组训练14】如图，是 ABC的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的半径长．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】
（1）连接，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得；
（2）连接，由题意可得，即可证，可得，则可证是的切线；
（3）过点作于点，由角平分线的性质可得，可证可得，根据勾股定理可求的半径长．
【详解】（1）
证明：连接
，
，，
四边形是圆内接四边形，
，且，
；
（2）
证明：连接
为直径，
，
又，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
（3）
解：过点作于点，
又，，
，
在和中，
(AAS)，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得，，
的半径的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
【题组训练15】如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查了切线的判定，圆的基本性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；
（1）连接，由等腰三角形的性质得，由角的平分线及等量代换得，即可求证；
（2）由直径所对的圆周角为直角得，由等角得余角相等得 ，即可求证；
（3）由等腰三角形的性质得，，，由直角三角形的特征得，即可求证；
掌握切线的判定方法：“连半径，证垂直”，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
直线是的切线；
（2）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【题组训练16】如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据圆周角定理得出，证明，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，解直角三角形得出，证明，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，最后求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
【题组训练17】综合探究
如图，在 ABC中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据已知条件先证明，然后利用即可证明．
（2）由（1）可得，由已知条件可得，得出，推出，再由平行线的性质可得．
（3）连接，可得，且，进一步求得和，即可求得．
【详解】（1）证明：∵以为直径的交于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
；
（2）解：由（1）可知，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
（3）解：连接，如图，
∵，且以为直径
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
则．
【点睛】本题主要考查直径所对圆周角为直角、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、切线的判定定理、勾股定理以及三线合一的性质，解题的关键是熟练直径所对圆周角为直角和切线的判定．
【题组训练18】已知锐角 ABC内接于，点是 ABC的内心，连接交于点，过点作的平行线．
(1)求证：直线与相切；
(2)若半径为，．
①连接BD，求证：；
②直接写出的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析；的最小值为
【分析】本题考查圆与几何的综合，解题的关键是掌握圆的基本性质，垂径定理，三角形内心的性质，三角形的外角，即可．
（1）连接，根据题意，三角形外心的性质，则平分，根据圆的基本性质，则，根据垂径定理，则，根据平行线的性质，则，即可；
（2）连接，根据题意，三角形外心的性质，则平分，则，根据三角形外角和，则，，根据圆的基本性质，即可；设与交于点，连接，根据勾股定理，求出，，以点为圆心，为半径画，连接交于点，在中，，根据，则点的运动轨迹为，当点在时，存在最小值，，联立，即可．
【详解】（1）解：连接，
∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∴，
∴点是的中点，
∴，
∵直线，
∴，
∴直线与相切．
（2）连接，
由（1）得，，
∵所对的圆周角为，，
∴，
∴，
∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
设与交于点，连接，
由（1）得，且，
∵半径为，，
∴，，
∴，
∴，
∵直线与相切，
∴，
∴；
以点为圆心，为半径画，连接交于点，在中，，
∵，
∴点的运动轨迹为，
当点在时，存在最小值，；
联立，得，
∴的最小值为．
【题组训练19】如图，是的直径，是的弦，M为的中点，与交于点F，过点D作，交的延长线于点E，且平分．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据角平分线定义和半径性质得到，得到，根据，得到，即得是的切线；
（2）连接， 根据， ，，得到，根据，即得；
（3）根据，，得到，得到， ，得到，，得到，即得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即；
（3）解：∵中，，，
∴，
∴，
由（2）知，，
∵中，，，
∴，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆综合．熟练掌握圆切线的判定与性质，等腰三角形性质，角平分线定义，锐角三角函数解直角三角形，平行线判定和性质，圆周角定理及其推论，是解决问题的关键．
【题组训练20】如图，在 ABC中，，以为直径的与边，分别交于D，E两点，过点D作于点H．
(1)求证：为的切线；
(2)求证：点H为的中点；
(3)若，，则的长为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）结，，如图1，先利用是圆的直径得到，再根据等腰三角形的性质得，然后利用三角形中位线定理可得，而，进一步即可证得结论；
（2）连结，如图2，根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质可得么，从而，然根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；
（3）易得，利用余弦的定义，分别在和中计算出与的长，则即可求出，然后计算即可得到的长．
【详解】（1）证明：连接，，如图1，
是直径，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，
为的切线；
（2）证明：连接，如图2，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
点H为的中点；
（3）解：如图2， ，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理的推论、切线的判定定理、三角形中位线定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质和锐角三角函数的知识，考查的知识点多，综合性强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键；
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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，在中，以 C 为圆心作交及其延长线于点E、D，连接，
(1)求证∶是的切线；
(2)求点C到的距离；
(3)点 P 是上一动点， 求的最小值．
【题组训练2】如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上．
(1)求证：是的切线；
(2)若点、的坐标分别为，；
①求的半径；
②求的长．
【题组训练3】如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【题组训练4】如图，是 ABC的外接圆，为直径，D是上一点，且点C是优弧的中点，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的半径长．
【题组训练5】如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)与的延长线交于点，若，，，
①求的值．
②求的长．
【题组训练6】如图，在中，是直径，是的平分线，分别交于点E，于点F，点D在的延长线上，连接，，．
(1)求的度数．
(2)求证：是的切线．
(3)连接，过点E作于点H，若，，求的长．
【题组训练7】如图，等腰 ABC内接于，，是边上的中线，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：为的切线；
(3)若的半径为5，，求的长．
【题组训练8】如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N．
(1)求证：与相切；
(2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离．
【题组训练9】如图，在 ABC中，，以为直径的分别与交于点D，E，过点D作，垂足为点F．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若⊙O的半径为4，，求阴影部分的面积．
【题组训练10】如图，是的直径，是的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点，
(1)求证：为的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）；
(3)若，求的值．
【题组训练11】如图，为的直径，C，D为圆上的两点，，弦相交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的半径；
(3)在（2）的条件下，过点C作的切线，交的延长线于点P，过点P作交于F，Q两点（点F在线段上），求的长．
【题组训练12】如图，是的直径，交于点D，E是的中点，交于点F，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
【题组训练13】如图，是的直径，弦于点E，连接，过点A作于点M，交过点C的直线于点G，连接并延长，交直线于点N，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径和的长．
【题组训练14】如图，是 ABC的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的半径长．
【题组训练15】如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【题组训练16】如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
【题组训练17】综合探究
如图，在 ABC中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的长．
【题组训练18】已知锐角 ABC内接于，点是 ABC的内心，连接交于点，过点作的平行线．
(1)求证：直线与相切；
(2)若半径为，．
①连接BD，求证：；
②直接写出的最小值．
【题组训练19】如图，是的直径，是的弦，M为的中点，与交于点F，过点D作，交的延长线于点E，且平分．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【题组训练20】如图，在 ABC中，，以为直径的与边，分别交于D，E两点，过点D作于点H．
(1)求证：为的切线；
(2)求证：点H为的中点；
(3)若，，则的长为______．
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