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第2章 直线与圆的位置关系单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：直线与圆的位置关系
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列说法正确的个数是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
③相等的圆心角所对的弧相等；④若两个圆有公共点，则这两个圆相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据圆的性质，垂径定理及其推论，圆周角性质，圆与圆的位置关系解答即可．
【详解】解：①平分非直径的弦的直径垂直于弦，
故错误，不符合题意；
②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
故正确，符合题意；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
故错误，不符合题意；
④若两个圆有两个公共点，则这两个圆相交，
故错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的性质，垂径定理及其推论，圆周角性质，圆与圆的位置关系，熟练掌握基本知识解题的关键．
2．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内切圆，尺规作角平分线，根据内心为三条角平分线的交点，进行判断即可．
【详解】解：∵三角形的内心为三角形的三条角平分线的交点，
∴可以成功找到内心的是：
故选B．
3．如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，四边形的内角和，求出的度数，再根据圆周角定理，求出的度数即可．
【详解】解：连接，
∵分别与圆O相切于A、B两点，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
4．如图，是的直径，点D在上，过点D作的切线交的延长线于点C．若，则的半径为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理等知识．
连接，由切线的性质得出，设，由勾股定理得出，则可得出答案．
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的半径为6．
故选：B．
5．如图，是的弦，延长线交过点的的切线于点，如果，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质．直接利用切线的性质得出度数，再利用等腰三角形的性质得出度数．
【详解】解：连接，
的延长线交过点的的切线于点，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
6．已知半径为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】该题主要考查了切线的性质，梯形中位线，解题的关键是正确做出图形．
根据题意作出图形，可得，取中点，作，根据梯形中位线即可求解．
【详解】解：如图，，
取中点，作．
∴．
解得：．
故选：B．
7．如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查角度的最值问题，矩形的判定，圆的基本性质，通过角度构造圆是解决问题的关键．
构造的外接圆，当为圆的切线时，的角度最大，易证为矩形，通过勾股定理求得的长度，从而得到结果．
【详解】解：如图所示，为的外接圆，
延长交于点，连接，则，
，当的半径最小时，最大，
∵点C在上，
∴当为的切线时，最大．
连接，过点O作于点F，则，
，
，
∴四边形为矩形，
，
，
．
故选择：C．
8．如图，是半径为2的外的一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用切线的性质，再利用特殊角的三角函数值可求出，则，接着利用平行线的性质得到，利用三角形面积公式可得到，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算．
【详解】解：∵切于点，
∴，
∴，
在中，∵，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，图中阴影部分的面积，
∴图中阴影部分的面积．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质和扇形的面积计算公式，特殊角的三角函数，平行线的性质等知识，根据面积相等进行转化是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（ ）
A．7 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算．
连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短．
【详解】解：连接．
∵是O的切线，
∴，
根据勾股定理知，
∵当时，线段最短，
又∵、，
∴，
∴，是的中线，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
10．是 ABC的外接圆，是直径，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点．有下面四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线的判定、圆周角定理的应用、切线的性质、矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接、，设交于点，证明，结合，可判断结论①；再证明，结合，易得，即可判断结论③；证明四边形是矩形，易得，，即可判断结论②；结合，可知，即可判断结论④．
【详解】解：如图，连接、，设交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，故结论①不正确；
∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵为直径，
∴，
∴，即，故结论③正确；
∵为的切线，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，故结论②正确；
∵在直角三角形中，
∴，故结论④不正确．
综上所述，结论正确的有②③，共计2个．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11． ABC中，，点是内心，那么 ．
【答案】/124度
【分析】本题考查了三角形的内心的定义，熟知三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题关键．先求出，根据内心的定义得到，即可求出，最后求出．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵I是内心，
∴、分别平分、，
∴，
∴，
∴ ，
故答案为：．
12．抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．
连接，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．
【详解】连接，
∵分别与相切于点C，D，
∴，
∵，，
∴，
∴（），
故答案为：．
13．如图，，分别与圆相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则 °．
【答案】42
【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接、，根据切线的性质得到，，根据四边形内角和是求出，再根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：如图，连接、，
∵，分别与圆相切于A，B两点，
∴，，
∵，
∴，
由圆周角定理得：，
故答案为：42．
14．是的切线，为切点，连接交圆于点，其延长线交圆于点，，则点到的切线长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是圆的切线的性质，勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．首先连接，根据切线的定义可知，因为，所以，利用勾股定理求出的长．
【详解】解：如下图所示，连接，
是的切线，
，
，
，，
．
故答案为： ．
15．如图，、是的切线，切点分别是、，在上，过的切线分别交、于点、．若，则的周长为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了切线长定理的应用．根据切线长定理求出，，，代入求出的周长为，代入即可．
【详解】解：、、是圆的切线，切点分别是、、，
，，，
的周长是：
．
答：的周长是20．
故答案为：20．
16．的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
【答案】相交
【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心O与直线l的距离为，则圆心O与直线l的距离小于的半径，所以l与相交，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵的直径为，，
∴的半径为，
∵圆心O与直线l的距离为，
∴圆心O与直线l的距离小于的半径，
∴l与相交，
故答案为：相交．
17．如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】
【分析】根据切线的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，根据扇形、正方形、三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：与切于，
，
由题意可知：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
为边中点，
，，
，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键．
18．，分别为和的切线，连接交于C交于，且，已知和的半径分别为和，则 ．
【答案】125
【分析】本题主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质，如图所示，过、、分别作的垂线，垂足依次为，结合切线的性质可证，，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过、、分别作的垂线，垂足依次为，
∴，
∵，分别为和的切线，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在 ABC中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）由等边对等角得出，，从而得到，推出，由平行线的性质得出，即可得证；
（2）过点作于点H，则，则四边形是矩形，由矩形的性质可得，，有勾股定理得出，推出，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，过点作于点H，则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
20．如图，为的直径，点D、E在上，C是的延长线上一点，且．
(1)若，则___；
(2)判断直线与的位置关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)直线与相切，证明见解析
【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理，根据圆周角定理证明是解决问题的关键．
（1）由为的直径，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）连接，由圆周角定理证得，由已知和等腰三角形的性质证得，，进而证得，根据切线的判定定理即可证得与相切；
【详解】（1）解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：与相切，理由如下：
连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切．
21．如图，点P是外一点．请利用尺规过点P作的一条切线．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
【答案】见解析
【分析】本题考查切线的定义和尺规作图；作法为：①连接，以为直径作；②与相交于点E，作直线．则直线即为所求．
【详解】解：如图，直线即为所求，
证明：∵是直径，
∴，
∴，
∴是的切线．
22．2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为，取，结果取整数）？
【答案】当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约
【分析】从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点，可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，的长就是地球表面上P，Q两点间的距离．为计算的长，需先求出（即）的度数．
【详解】解：如图：
设，在图中，FQ是的切线，是直角三角形．
∵，
∴．
∴的长为：．
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约．
【点睛】本题考查了切线的性质定理，弧长公式，解直角三角形的应用，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出圆心角的度数．
23．如图，在中，，以为直径的交于点，的切线交于点．
(1)求证：；
(2)连接，，交点为，若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，先证明是的切线，再根据是的切线，可得，即有，进而可得，则有，问题随之得解；
（2）连接，先证明是线段的垂直平分线，即有，再证明，即有，则，问题随之得解．
【详解】（1）连接，如图，
∵为的直径，
∴，即，
∴，，
∵，
∴，
∴是的切线，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，如图，
∵在（1）中有，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，解直角三角形以及等角对等边等知识，掌握切线的判定与性质，切线长定理，是解答本题的关键．
24．如图，是 ABC的外心，是 ABC的内心，连接AI并延长交和于，．
(1)求证：；
(2)若，，，求AI的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）欲证明，只要证明；
（2）连接，由，可得，设，，则，，同法可证：，推出，推出，推出，设，，由，可得，推出，即解得，由此即可解决问题；
【详解】（1）是的内心，
平分，平分，
，，
，，
，
，
；
（2）连接．
，
，
，
，，
，
，设，，则，，
同法可证：，
，
，
：：，设，，
，，
，
，
，
或舍弃，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
25．如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
(3)在（）的条件下，如图，若是线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，①求证：是的切线；②连接，如图，求的最小值．
【答案】(1) ABC为等腰直角三角形，证明见解析
(2)
(3)①证明见解析；②
【分析】（）由为的直径得，再根据得，即得，即可求证；
（）利用勾股定理求出，进而利用勾股定理可求出的长度；
（）①由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，即可得，即可求证；②由旋转的性质可得为等腰直角三角形，即得，当时，最短，此时点和圆心重合，即的最小值等于圆的半径，据此即可求解．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形．
证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴；
（3）①证明：∵为等腰直角三角形，
∴，
由旋转可得，，
∴，
即，
∵为的直径，
∴是的切线；
②由旋转可得，，
∴，，
∴，
即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
当时，最短，此时点和圆心重合，即的最小值等于圆的半径，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
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第2章 直线与圆的位置关系单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：直线与圆的位置关系
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列说法正确的个数是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
③相等的圆心角所对的弧相等；④若两个圆有公共点，则这两个圆相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，点D在上，过点D作的切线交的延长线于点C．若，则的半径为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
5．如图，是的弦，延长线交过点的的切线于点，如果，则为（ ）
A． B． C． D．
6．已知半径为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为（ ）
A． B． C． D．3
7．如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（ ）
A．4 B．6 C． D．
8．如图，是半径为2的外的一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（ ）
A．7 B．3 C． D．
10．是 ABC的外接圆，是直径，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点．有下面四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11． ABC中，，点是内心，那么 ．
12．抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留）
13．如图，，分别与圆相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则 °．
14．是的切线，为切点，连接交圆于点，其延长线交圆于点，，则点到的切线长为 ．
15．如图，、是的切线，切点分别是、，在上，过的切线分别交、于点、．若，则的周长为 ．
16．的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
17．如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
18．，分别为和的切线，连接交于C交于，且，已知和的半径分别为和，则 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在 ABC中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
20．如图，为的直径，点D、E在上，C是的延长线上一点，且．
(1)若，则___；
(2)判断直线与的位置关系，并证明你的结论．
21．如图，点P是外一点．请利用尺规过点P作的一条切线．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
22．2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为，取，结果取整数）？
23．如图，在中，，以为直径的交于点，的切线交于点．
(1)求证：；
(2)连接，，交点为，若，，求的长．
24．如图，是 ABC的外心，是 ABC的内心，连接AI并延长交和于，．
(1)求证：；
(2)若，，，求AI的长．
25．如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
(3)在（）的条件下，如图，若是线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，①求证：是的切线；②连接，如图，求的最小值．
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