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第2章 直线与圆的位置关系单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：直线与圆的位置关系
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．如图，是的直径，与的相切，与的延长线相交于点C，若，则∠A的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．下列语句中，正确的是（ ）
A．同一平面上的三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点
D．菱形的四边中点在同一圆上
3．如图，在 ABC中，，则 ABC的内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
4．已知三角形的三边长分别为3，4，5，则此三角形的内切圆半径为（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．已知：如图，E是相交两圆和的一个交点，且，为外公切线，切点分别为A，B连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，的半径为1，点在边上运动，过点的直线与相切于点，则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，与相切于点A，点E在上，连接，与相交于点C，与相交于点D，已知，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知直线交于A，B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为10，则的长等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．如图，和是的两条切线，、是切点，连接交于点、，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
10．如图，在中，，点P为边上一点，连接，分别以点A，P为圆心，大于是的长为半径画弧，两弧交于点E，F，交于点D，再以点D为圆心，长为半径作圆，交于点M，恰好是的切线．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，在中，，，．以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是 ．
12．如图，在中，，，，，，为内心，则 ．
13．如图，正方形的边长为6，E是的中点， F是边上的动点， 连接，以点F为圆心，长为半径作． 当与正方形的边相切时，的长为 ．
14．如图，在 ABC中，，是 ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为 ．
15．如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为 ．
16．如图，在矩形中，点E在上运动， ADE的内切圆与相切于点G，将 ADE沿翻折，点A落在点F处，连接，当点E恰为的三等分点（靠近点A）时，且，，则 ．
17．如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在射线上，且与点O的距离为，如果以的速度沿A向B的方向移动，则经过 秒后与直线相切．
18．如图，在中，，，，为边上的一点，以为半径的半圆交于点、交于点．过点作半圆的切线交边于点，且，则的长为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在 ABC中，，以为直径的交于点，过点作的切线，交于点，的反向延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，的半径为10，求的长度．
20．如图，在 ABC中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求的长．
21．在中，，，点为线段上一动点，当点运动到某一位置时，它到点，的距离都等于，到点的距离等于的所有点组成的图形为，点为线段延长线上一点，且点到点的距离也等于．
(1)依题意补全图形；
(2)求直线与图形的公共点的个数．
22．如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，的切线交的延长线于点E．
(1)求证： ；
(2)若，，求的半径．
23．“谁言寸草心，报得三春晖”表达的是儿女的孝心像小草一样，无法报答得了母亲如同春晖一般的恩情．在数学中，三角形也有“心”，现在已经发现的三角形的心已经超过4万多个，其中有4个心对它们熟悉的人比较多，这4个心分别是垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”，其实三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，而“重心”就是三角形三条中线的交点，如图1中，三条中线AD、BE、CF的交点G就是 ABC的重心，且．请你解决以下问题：
(1)三角形的重心在三角形的__________部；三角形的内心在三角形的__________部；（选填“内”或“外”）
(2)在图1中，若 ABC的面积为6，则的面积为__________；
(3)如图2，是 ABC的内心，，AI的延长线分别与BC和 ABC的外接圆交于D、E两点，若，求IE的长．
24．【问题提出】
当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？
【数学眼光】
如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．
【数学思维】
小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，．
（1）按照小明的思路完成证明过程；
【问题解决】
（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？
（3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示）
25．如图，已知抛物线与x轴交于A、B（A在B的左边），与y轴交于C，且．
(1)若点A的坐标是，C的坐标是，试求抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下，如图1，直线与抛物线交于D、E两点，点F在直线下方的抛物线上，若以F为圆心作，满足与直线相切，求当的半径最大时，点F的坐标；
(3)如图2，若，M、N分别是抛物线对称轴右侧上的两点（M在N的右边），连接、、，交x轴于点P，点K是的中点，若的内心在x轴上，K的纵坐标为n，试探究的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
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第2章 直线与圆的位置关系单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：直线与圆的位置关系
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．如图，是的直径，与的相切，与的延长线相交于点C，若，则∠A的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查圆的切线，三角形内角和定理和外角的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟知圆的切线的性质．
连接，根据切线的性质可得，再根据三角形内角和定理求得，最后利用三角形外角的性质求得答案．
【详解】连接，
与相切，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
2．下列语句中，正确的是（ ）
A．同一平面上的三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点
D．菱形的四边中点在同一圆上
【答案】D
【分析】本题考查了确定圆的条件、三角形外心的性质、三角形内心的定义、四点共圆等知识．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵同一平面内，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故A选项不正确；
∵三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线性质可知外心到三角形三个顶点距离相等，故B选项不正确，
三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，故C选项错误；
∵菱形的四边中点顺次连接得到矩形，矩形的对角互补，即矩形的四个顶点在以矩形的对角线为直径的圆上，
∴菱形的四边中点在同一圆上，故D选项正确，
故选：D．
3．如图，在 ABC中，，则 ABC的内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内心的性质，勾股定理；设的内切圆的半径为r，切点为，过点A作于点D，设，则，根据勾股定理求得的值，即可得出，连接，根据等面积法，即可求解．
【详解】解：如图所示，设的内切圆的半径为r，切点为，过点A作于点D，
设，则，
，
连接，
．
4．已知三角形的三边长分别为3，4，5，则此三角形的内切圆半径为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心、三角形面积，设内切圆的半径为，切点分别为、、，连接、、、、、，则，得出，即可得出结果．
【详解】解：设 ABC内切圆的圆心为，半径为，切点分别为、、，，，，
连接、、、、、，如图所示：
则，
∵三角形的三边长分别为3，4，5，，
∴为直角三角形，
，
，
即，
解得：，
故选：C．
5．已知：如图，E是相交两圆和的一个交点，且，为外公切线，切点分别为A，B连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、切线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线进行角之间的转化，本题需先连接，，可得；结合，可得，所以进一步推导得，则，利用三角形内角和可得的值．
【详解】解：连接，，延长与交于点H，连接，
∴，
∴，
∵为外公切线，
∴，，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
6．如图，在中，，，的半径为1，点在边上运动，过点的直线与相切于点，则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质，作于，由勾股定理可得，由等面积法得出，再结合当点与点重合时，最大，当与上的高，即点重合时，最小，分别利用勾股定理计算即可得解，找准最大值与最小值的点是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
如图，当点与点重合时，最大，
，
由勾股定理可得：，
如图，当与上的高，即点重合时，最小，
，
由勾股定理可得：，
∴的最大值与最小值的差为，
故选：C．
7．如图，与相切于点A，点E在上，连接，与相交于点C，与相交于点D，已知，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接．证明得，求出，然后根据阴影部分的面积即可求解．
【详解】解：如图，连接．
是的切线，
．
．
，
，
阴影部分的面积．
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质， 扇形的面积公式，证明相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
8．如图，已知直线交于A，B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为10，则的长等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，连接，根据题意可证得，再根据角平分线的性质，得，过作，则，得四边形为矩形，设，在中，由勾股定理得，从而求得的值，由垂径定理得出的长．
【详解】连接，过作，垂足为，
，
，
平分，
，
，
∴，
，
，
四边形为矩形，
，．
，
设，则，
的直径为10，
，
，
在中，由勾股定理得．
即，
解得，．
大于，故舍去，
，
，，
，由垂径定理知，为的中点，
．
故选：C．
9．如图，和是的两条切线，、是切点，连接交于点、，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】题目主要考查切线的性质，等角对等边及全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，根据题意得出，，，再由等角对等边确定，连接，利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．
【详解】解：和是的两条切线，
，，，
∵，
，
，
，
连接，
是的直径，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
，
，
故选：A．
10．如图，在中，，点P为边上一点，连接，分别以点A，P为圆心，大于是的长为半径画弧，两弧交于点E，F，交于点D，再以点D为圆心，长为半径作圆，交于点M，恰好是的切线．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是切线的性质、含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，由线段垂直平分线的性质可得，再由直角三角形性质求得，根据切线的性质得到，再证明，再列出方程求解即可．
【详解】解：连接，
由题意可得，是的垂直平分线，
，
设，
，，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，在中，，，．以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是 ．
【答案】或
【分析】利用直角三角形的面积减去扇形的面积解答即可．
本题考查了三角函数的应用，扇形的面积，分割法求面积，熟练掌握三角函数的应用和扇形面积公式是解题的关键．
【详解】解：∵，，，．
∴，，
∴，，
∴阴影部分面积是：，
故答案为：或．
12．如图，在中，，，，，，为内心，则 ．
【答案】
【分析】作于点于点于点，作于点，连接、、，由，，求得，再利用三角形面积公式求出，再利用勾股定理求出，进而求出，由为的内心，得到，结合，易证四边形是正方形，设，则，求得，求出，由，易证，得到，再根据易证四边形是矩形，推出，，根据，求出，求出，再利用勾股定理即可得到答案．
【详解】解：作于点于点于点，作于点，连接、、，
，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵为的内心，
∴，
∴四边形是正方形，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
，
∴，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查勾股定理、三角形的内心的性质、正方形、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
13．如图，正方形的边长为6，E是的中点， F是边上的动点， 连接，以点F为圆心，长为半径作． 当与正方形的边相切时，的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，分当与直线相切时，与直线相切时两种情况讨论，在中利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵正方形的边长为6，
∴，，
∵E是的中点，
∴，
当与直线相切时，如图，设切点为，连接，，
∴四边形是矩形．
，
在中，，
．
当与直线相切时，如图，
∵，
∴切点为，
此时，，
在中，，
∴，
解得
故答案为：或．
14．如图，在 ABC中，，是 ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理，正方形的性质和判定，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质是解题关键．连接，设，可证四边形为正方形，用r表述出的长，列方程求解即可．
【详解】解：连接，则，
设，
在中，，
是的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴，
又∵，
∴四边形为正方形，
，
，
∴，
而，
，
，即的半径为1
故答案为：1．
15．如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，连接，由为圆O的切线，利用切线的性质得到与垂直，利用勾股定理列出关系式，由最小时最短，根据垂线段最短得到垂直于时最短，利用面积法求出此时的值，再利用勾股定理即可求出的最短值．
【详解】解：连接，如图所示，
∵是的切线，
∴，
根据勾股定理知：，
∴当时，线段最短，
∵在中，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
故答案为：．
16．如图，在矩形中，点E在上运动， ADE的内切圆与相切于点G，将 ADE沿翻折，点A落在点F处，连接，当点E恰为的三等分点（靠近点A）时，且，，则 ．
【答案】
【分析】设内切圆圆心为O，连接，过O作于点H，作于点K，则四边形为正方形，根据切线长定理可得和，设半径为r，则，，求得和，利用勾股定理求得r，则，，根据折叠的性质得，，过F作于点M，交于点N，则，可证明，有，设，则，，利用勾股定理求得x，可求得，和，根据余弦定义即可求得．
【详解】解：如图，设内切圆圆心为O，连接，过O作于点H，作于点K，
则四边形为正方形，
根据切线长定理可得， ，
设半径为r，则，，
∴，
在中，，
∵，
∴，解得或 (舍去)，
∴，，
根据折叠的性质得，，
过F作于点M，交于点N，则，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得或(舍去)
∴，，
在中，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆、切线长定理、折叠的性质、勾股定理、矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握圆的性质和矩形的性质．
17．如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在射线上，且与点O的距离为，如果以的速度沿A向B的方向移动，则经过 秒后与直线相切．
【答案】4
【分析】本题考查了切线的性质，角所对直角边是斜边的一半，由的圆心在射线上，根据题画出图形，再根据切线的性质和角所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵的圆心在射线上，
∴如图，当移动到与直线相切于点，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
此时，
故答案为：．
18．如图，在中，，，，为边上的一点，以为半径的半圆交于点、交于点．过点作半圆的切线交边于点，且，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，设半径为，接，，过作交于，设半径为，接，，先证明是等边三角形，得到，求出，再根据可求得结果．
【详解】解：设半径为，接，过作交于，则，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过点作半圆的切线交边于点，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，解得，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在 ABC中，，以为直径的交于点，过点作的切线，交于点，的反向延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，的半径为10，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）欲证明，只需推知，需证，根据等腰三角形性质可得，，即可；
（2）过点作于点，构建矩形，设．则由矩形的性质推知：，．在中，由勾股定理知：，通过解方程得到的长度，结合，得到．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
．
是的切线，是半径，
，
；
（2）如图，过点作于点，则，
四边形是矩形，
，．
设．
，，
，．
在中，由勾股定理知：，即，
解得，（不合题意，舍去）．
．
，
，
．
【点睛】本题考查了圆综合．熟练掌握等腰三角形性质，圆切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质．垂径定理，解一元二次方程，是解题的关键．
20．如图，在 ABC中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．
（1）由，得到，再由，得到，进而得到，再根据同位角相等两直线平行可得与平行，又由垂直于，得到与也垂直，可得为圆的切线；
（2）连接，由为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得，即与垂直，又，根据三线合一得到为中点，由求出的长，再由的长，利用勾股定理求出的长，三角形的面积有两种求法，乘以除以2，或乘以除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出的长．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
∵为圆的半径，
是的切线；
（2）解：如图所示，连接，
为的直径，
，
又，且，
，
在中，，，根据勾股定理得：，
又∵，
∴，
．
21．在中，，，点为线段上一动点，当点运动到某一位置时，它到点，的距离都等于，到点的距离等于的所有点组成的图形为，点为线段延长线上一点，且点到点的距离也等于．
(1)依题意补全图形；
(2)求直线与图形的公共点的个数．
【答案】(1)见解析；
(2)直线与图形的公共点的个数为个，理由见解析．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，垂直平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据题意补全图形即可；
（2）连接，证明为的切线，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点到点，的距离都等于，
∴点为的中垂线与的交点，
∵到点的距离等于的所有点组成图形W，
∴图形是以点为圆心，为半径的圆，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在上，即点在图形，
根据题意补全图形如图所示，
（2）解：直线与图形的公共点的个数为个；
连接，如图：
∵，
∵点到点的距离也等于，
∴为的切线，
∴直线与图形的公共点的个数为个．
22．如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，的切线交的延长线于点E．
(1)求证： ；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接并延长交于点，如图，先证明垂直平分得到，再根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，于是可判断四边形为矩形，所以，从而得到结论；
（2）先利用垂直平分得到，再利用四边形为矩形得到，接着在中利用勾股定理计算出，设的半径为，则，，由勾股定理可得，然后解方程即可．
【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接，如图，
，，
垂直平分，
，
为的切线，
，
为的直径，
，
四边形为矩形，
，
；
（2）解：垂直平分，
，
四边形为矩形，
，
在中，，，
，
设的半径为，则，，
在中，，
∴，
解得，
即的半径为．
【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，切线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．
23．“谁言寸草心，报得三春晖”表达的是儿女的孝心像小草一样，无法报答得了母亲如同春晖一般的恩情．在数学中，三角形也有“心”，现在已经发现的三角形的心已经超过4万多个，其中有4个心对它们熟悉的人比较多，这4个心分别是垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”，其实三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，而“重心”就是三角形三条中线的交点，如图1中，三条中线AD、BE、CF的交点G就是 ABC的重心，且．请你解决以下问题：
(1)三角形的重心在三角形的__________部；三角形的内心在三角形的__________部；（选填“内”或“外”）
(2)在图1中，若 ABC的面积为6，则的面积为__________；
(3)如图2，是 ABC的内心，，AI的延长线分别与BC和 ABC的外接圆交于D、E两点，若，求IE的长．
【答案】(1)内，内
(2)1
(3)
【分析】本题考查了重心、内心的定义，底高成比例的三角形的三角形面积也成相同比例，等边三角形的性质，同弧所对圆心角相等，勾股定理．
（1）运用三角形重心、内心的定义回答；
（2）底高成比例的三角形的三角形面积也成相同比例；
（3）根据等边三角形的性质，同弧所对圆心角相等及勾股定理解答．
【详解】（1）解：∵三角形的重心是三角形的三条中线的交点，
∴三角形的重心在三角形的内部，
∵三角形的内心是三角形的内切圆圆心，
∴三角形的内心在三角形的内部，
故答案为：内，内．
（2）解：∵ ABC的面积为6，是 ABC的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
（3）解：连接，做于
，
∴．
是等边三角形
于，，
故答案为：
24．【问题提出】
当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？
【数学眼光】
如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．
【数学思维】
小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，．
（1）按照小明的思路完成证明过程；
【问题解决】
（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？
（3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示）
【答案】（1）见解析
（2）观赏者站在距离墙壁米处最理想，观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米
（3）
【分析】（1）由圆周角定理得，再由三角形外角定理得，所以，因此视角最大，站在此处观赏最理想；
（2）连接，，，，作于点，利用圆周角定理得到，证明为等边三角形，推出米，结合等边三角形性质得到米，再证明四边形为矩形，利用矩形的性质求解，即可解题；
（3）根据等腰三角形性质结合题意得到，由（2）同理可知，四边形为矩形，结合矩形性质得到，再结合勾股定理求解，即可解题．
【详解】解：（1），
，
，
，
视角最大，站在此处观赏最理想．
（2）连接，，，，作于点，
由题知，米，，
，
，
为等边三角形，
米，
，
米，
，
四边形为矩形，
米，
米，
距地面的距离为（米)，
即点C距地面的距离为1.2米．
（3）展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，
米，
，，
米，
米，
由（2）同理可知，四边形为矩形，
米，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角定理，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，等腰三角形性质等知识点，解题的关键是熟练综合运用相关性质和定理．
25．如图，已知抛物线与x轴交于A、B（A在B的左边），与y轴交于C，且．
(1)若点A的坐标是，C的坐标是，试求抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下，如图1，直线与抛物线交于D、E两点，点F在直线下方的抛物线上，若以F为圆心作，满足与直线相切，求当的半径最大时，点F的坐标；
(3)如图2，若，M、N分别是抛物线对称轴右侧上的两点（M在N的右边），连接、、，交x轴于点P，点K是的中点，若的内心在x轴上，K的纵坐标为n，试探究的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)定值，
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点坐标代入，即可求解；
（2）过F作于H，过F作轴，交直线于Q，由切线的性质得H在上，，由勾股定理得，设，，可求，即可求解；
（3）设，设抛物线解析式为，将代入得，，设直线解析式为，联立直线与抛物线的解析式得，，同理可求出，由中点得，待定系数法得直线解析式为，可求出 ，由可求出，即可求解．
【详解】（1）解：A的坐标是，
，
，
，
可设抛物线的解析式为，
，
，
解得：，
，
故抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过F作于H，过F作轴，交直线于Q，
为的切线，
H在上，，
直线，
，
，
设，，
，
，
当时， ，
，
，
F；
（3）解：定值，
设，
，，
，，
设抛物线解析式为，
将代入得，
，
的内心在x轴上，
，
设直线解析式为：，
联立，
解得：，
，
平分，且在轴上，
直线与直线关于轴对称，
同理设直线解析式为：，
同理可求出，
K是的中点，
，
，
，
设直线解析式为：，则有
，
解得：，
直线解析式为：，
当时，
，
解得：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的性质，切线的性质，三角形的内心定义，勾股定理等；能熟练使用待定系数法求函数解析及辅助未知数表示点的坐标，掌握切线的性质，并能利用二次函数性质求最值是解题的关键．
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