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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】圆内切于正三角形 ABC，半径为R，圆与圆及，均相切，圆的半径为r，则等于（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【分析】设圆、圆分别与相切于点，圆与相切于点，连接，，，，，，求出，根据三角形内切圆的性质可得，，且点在一条直线上，从而可得，由此即可得．
【详解】解：如图，设圆、圆分别与相切于点，圆与相切于点，连接，，，，，，
∵圆与圆相切，圆的半径为，圆的半径为，
，
圆内切于正三角形 ABC，
，，，平分，
，
，
∵圆与，均相切，
，，
是的角平分线，
，且点在一条直线上，
，即，
解得，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质、角平分线的判定定理、等边三角形的性质、圆与圆的位置关系，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．
【题组训练2】若四边形的对角线，相交于，，，，的周长相等，且，，的内切圆半径分别为，，，则的内切圆半径是（ ）
A． B． C． D．以上答案均不正确
【答案】A
【分析】设的内切圆半径为，，，，的周长为L，分别表示出四个三角形的面积，再根据由等高三角形面积之比等于对应的底之比可得，进而可得，由此列出方程，即可解出．
【详解】解：设的内切圆半径为，，，，的周长为L，
如图，是的内切圆，切点分别为，，，则，
由切线长定理可知：，，，，
，，，，，，
∴，
同理：，，，
由等高三角形面积之比等于对应的底之比可得：，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角的内切圆与内心性质、等高三角形面积之比等于对应的底之比的应用．知道三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半、等高三角形面积之比等于对应的底之比是解答本题的关键．
【题组训练3】如图，是 ABC的内切圆，若 ABC的周长为18，面积为9，则的半径是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．2
【答案】A
【分析】作辅助线如解析图，根据，代入数据求解即可.
【详解】解：如图，设与 ABC的各边分别相切于点E、F、G，连接，设的半径为r，
则，，
∵
，
又 ABC的周长为18，面积为9，
∴，
∴，
故选：A.
【点睛】本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键.
【题组训练4】如图，不等边 ABC内接于，I是其内心，，，， ABC内切圆半径为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】延长交于点，连接，交于点，利用圆周角定理，以及内心是三角形三条角平分线的交点，证明是等腰三角形，过点作，证明，得到，利用切线长定理，求出的长，过点作，连接，设，利用勾股定理，求出 ABC的高，进而求出 ABC的面积，再利用 ABC的面积等于 ABC的周长与内切圆半径乘积的一半，求出内切圆的半径即可．
【详解】解：延长交于点，连接，交于点，
则：，
∵I是内心，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作，
则：，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵I是内心，
∴，
∴，
如图2：过点作，连接，设，则：，
则：，
即：，
解得：，
∴；
∴
设的半径为
则：
∴，
即：，
解得：；
故选A．
【点睛】本题考查三角形的内切圆和内心．熟练掌握内心是三角形角平分线的交点，合理的添加辅助线，是解题的关键．同时考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及切线长定理．本题的综合性强，难度大，对学生的思维量要求较高．
【题组训练5】如图，在△ABC中，AB=3，AC=2.25，点D是BC边上的一点，AD=BD=2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么=（ ）
A．2 B．1.25 C．1.5 D．
【答案】C
【分析】如图，根据切线长定理可得AE=AG，BE=BF，DG=DF，根据已知条件可得AE=AG=BE=BF=1.5，再根据三角形的面积S△ABD：S△ADC=BD：DC=2：1即可求解．
【详解】解：如图，设⊙O与△ABD内切于E、F、G．
∴DG=DF，AE=AG，BE=BF，
∵DA=DB，
∴BF=AG=BE=AE，
∵AB=3，
∴AE=BE=BF=AG=1.5，
设DF=DG=m，
∵AD=2DC，
∴
∵S△ABD：S△ADC=BD：DC=2：1，
，
∴r1：r2=3：2=1.5
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、三角形的面积公式：（r为内切圆半径）等知识，解题的关键是灵活运用切线长定理，学会利用参数解决问题，有一定的难度．
【题组训练6】如图，在四边形中，，，，，分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，直线与延长线交于点，连接，则的内切圆半径是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，连接P，Q则PQ为BC的垂直平分线，可得EB=EC，又∠B=60°，所以△EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，则M在直线PQ上，连接BM，过M作BC垂线垂足为H，在Rt△BMH中，BH=BC=AD=，∠MBH=∠B=30°，通过解直角三角形可得出MH的值即为△BCE的内切圆半径的长．
【详解】解：有题意得PQ为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∵∠B=60°，
∴△EBC为等边三角形，
作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，
∴M在直线PQ上，
连接BM，过M作MH垂直BC于H，垂足为H，
∵
∴BH=BC=AD= ，
∵∠MBH=∠B=30°，
∴在Rt△BMH中,MH=BH×tan30°=×=4．
∴的内切圆半径是4．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线定理，等边三角形的判定，等边三角形内切圆半径的求法，解直角三角形，解题关键在于理解题意，运用正确的方法求三角形内切圆半径．
【题组训练7】如图，点D，E，F分别在正三角形的三边上，且也是正三角形.若 ABC的边长为a，的边长为b，则的内切圆半径为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】证明△AEF≌△CFD≌△BDE，再求出AH=（a-b），最后解直角三角形HAM，求出MH的长即可解决问题．
【详解】如图，由于△ABC，△DEF都为正三角形，
∴AB=BC=CA，EF=FD=DE，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3；
在△AEF和△CFD中，
，
∴△AEF≌△CFD（AAS）；
同理可证：△AEF≌△CFD≌△BDE；
∴BE=AF，即AE+AF=AE+BE=a．
设M是△AEF的内心，MH⊥AE于H，
则AH=（AE+AF-EF）=（a-b）；
∵MA平分∠BAC，
∴∠HAM=30°；
∴HM=AH tan30°=（a-b） =（a-b）=．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质以及内心的性质，根据已知得出AH的长是解题关键．
【题组训练8】如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点，
∵，，，
∴，
，
∵为斜边上的中线，
∴，
∴，
连接，，，，，，则，
∵ ，且，，，
∴，
解得，
同理可得，，
解得，
∴，
故选：C．
【题组训练9】如图， ABC中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆性质，圆的面积，先用勾股定理求得得长，再利用内切圆性质求得圆的半径，继而求得面积计算即可．
【详解】∵，，是边上的高，
∴，，
∴，，
设与的半径分别为x，y，则
∴，，
解得，
∴与的面积比为，
故答案为：．
【题组训练10】如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为 ．
【答案】4
【分析】首先利用勾股定理求出斜边的长度，再判断四边形为正方形，然后利用切线长定理求出内切圆半径，进而求出周长．
【详解】如图，连接、，
在中，，
设内切圆半径为r，、为的切线，
∴，，
∵，，
∴四边形为正方形，
∴，
由切线长定理得，，，，，
∴，解得，
则的周长为
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质定理，切线长定理，解题关键是判断四边形为正方形，再依据切线长定理把三角形的周长化为两条切线长，再转化为半径进行求解．
【题组训练11】定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
【答案】
【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及等积法，进行计算即可．
【详解】如图，
∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，
∴圆心是三角形的内心，
∴当过点时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即，此时最大，过点分别作弦、、的垂线，垂足分别为、、，连接、、，
∵，
∴，
∵，，，
∴
∵，
∴
设，则，
∴
解得： ，
即，
在中，
即圆的半径为；
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算．根据题意，正确的画出符合题意的图形，利用三角形的内心和等积法进行计算，是解题的关键．
【题组训练12】如图，等边 ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边 ABC的内心成中心对称．若等边 ABC的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ．
【答案】
【分析】先作，作于点E，和交于点O，再根据边长求出，即可求出，然后根据面积公式即可求出答案．
【详解】作，作于点E，和交于点O，如图所示：
∵等边 ABC的边长为6
∴AB=6，则BD=3，
∵，
∴，
∴，
根据太极图的对称性，黑色部分的面积占内切圆面积的一半，
∴
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了等边三角形以及三角形的内切圆，解题关键是求出圆的半径．
【题组训练13】如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理求出，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出,即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，
、与分别相切于点、，
，，
四边形为正方形，
设，
则，
的内切圆与、、分别相切于点、、，
，，
，
，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理和切线的性质．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆和内心．
【题组训练14】如图，在四边形材料中，，，，，，现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是 ．
【答案】
【分析】延长交延长线于，当这个圆是的内切圆时，此圆的面积最大，构造三角形，通过等面积法求解即可．
【详解】解：延长交延长线于
因为，，
，
，即，
解得，
，
在中，，
，
设这个圆的圆心为，与分别相切于，
所以，
，
，
，
，
即，
解得
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形的关系，构造三角形用等面积法是解题的关键．
【题组训练15】如图，是 ABC的内切圆，点D，E是切点，，，则 ．
【答案】110°
【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO＝∠BEO＝90°，从而得出∠DOE．
【详解】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°，
∴∠B＝180° 50° 60°＝70°，
∵E，D是切点，
∴∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＝360° 90° 90° 70°＝110°．
故答案为：110°．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆和切线的性质，三角形内角和，四边形内角和，是基础知识要熟练掌握．
【题组训练16】如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 ．
【答案】S1+S3=S2+S4
【分析】设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC OH⊥AB，OE=OF=OG=OH=r，设DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d，推出S1+S3=r（a+b）r+ r（c+d）=r（a+b+c+d）=S2+S4．
【详解】解：如图设切点分别为E、F、G、H，
由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC OH⊥AB，OE=OF=OG=OH=r，
设DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d，
S1=r（a+b）r，S2=r （b+c） S3= r（c+d），S4=r（a+d），
∴S1+S3=r（a+b）r+ r（c+d）=r（a+b+c+d），
S2+S4=r（a+d）+r （b+c）=r（a+b+c+d），
∴S1+S3=S2+S4．
故答案为：S1+S3=S2+S4．
【点睛】本题考查了内切圆的性质，熟练运用切线的性质和三角形面积公式是解题的关键．
【题组训练17】如图， ABC是一张周长为的三角形纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为 ．
【答案】8
【分析】根据切线长定理得到BD＝BG，CP＝CG，MH＝MD，NH＝NP，根据三角形的周长公式计算即可得出结论．
【详解】解：由切线长定理得，BD＝BG，CP＝CG，MH＝MD，NH＝NP，
∴BD＋CP＝BG＋CG＝5，
∴AD＋AP＝18 10＝8，
∴△AMN的周长＝AM＋MN＋AN＝AM＋MD＋AN＋NP＝AD＋AP＝8（cm），
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆，掌握切线长定理是解题的关键．
【题组训练18】如图，的周长为，，是的内切圆，的切线与、分别交于点、，则的周长为 ．
【答案】8
【分析】设⊙O与△ABC与各边的切点分别为D、E、F，⊙O与MN相切于G点，如图，利用切线长定理得到AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，MD＝MG，NG＝NE，则可计算出AD＋CE＝8，接着利用AB＋BC＝16得到BD＋BE＝8，然后利用等线段代换得到△BMN的周长＝BD＋BE．
【详解】设与与各边的切点分别为、、，与相切于点，如图，
，，，
，即，
，
的周长为24，
，
，
即，
，
的切线与、分别交于点、，
，，
的周长．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理．
【题组训练19】如图，是 ABC的内切圆，过点作交于点，交于点．若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据内切圆的性质易证BD+EC=DE，结合可得的三角形相似，利用对应边成比例即可求得DE的长．
【详解】解：连接BO、CO，
∵O是的内切圆的圆心，
∴，
∵，
∴，
故DB=DO，
同理可证EO=EC；
∵，
∴，
故，
∴，
去分母得：，
①+②得：17DE=136-8DE，
解得DE=；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是内切圆的性质和相似三角形的性质，解题的关键是结合方程思想求出DE的长．
【题组训练20】在中，，，则该三角形的内切圆半径为 ．
【答案】
【分析】根据判断三角形为锐角三角形，求出各边长，根据内接圆公式即可算出.
【详解】解：如图，过A作AD垂直BC于D，
∵，，
∴，三角形ABC为锐角三角形，
∴在Rt△ADB中，AB=8，AD=BD，
∴AD=BD=，
在Rt△ACD中，，
∴CD=，AC=，
∴BC=CD+BD=，
∴S△ABC=，
∵S△ABC=，
∴，
解得：r=，
故答案为：.
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，需要熟练掌握内切圆的性质以及求内切圆半径的公式.
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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】圆内切于正三角形 ABC，半径为R，圆与圆及，均相切，圆的半径为r，则等于（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
【题组训练2】若四边形的对角线，相交于，，，，的周长相等，且，，的内切圆半径分别为，，，则的内切圆半径是（ ）
A． B． C． D．以上答案均不正确
【题组训练3】如图，是 ABC的内切圆，若 ABC的周长为18，面积为9，则的半径是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．2
【题组训练4】如图，不等边 ABC内接于，I是其内心，，，， ABC内切圆半径为（ ）
A．4 B． C． D．
【题组训练5】如图，在△ABC中，AB=3，AC=2.25，点D是BC边上的一点，AD=BD=2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么=（ ）
A．2 B．1.25 C．1.5 D．
【题组训练6】如图，在四边形中，，，，，分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，直线与延长线交于点，连接，则的内切圆半径是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【题组训练7】如图，点D，E，F分别在正三角形的三边上，且也是正三角形.若 ABC的边长为a，的边长为b，则的内切圆半径为（ ）
A． B．
C． D．
【题组训练8】如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题组训练9】如图， ABC中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ．
【题组训练10】如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为 ．
【题组训练11】定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
【题组训练12】如图，等边 ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边 ABC的内心成中心对称．若等边 ABC的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ．
【题组训练13】如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径 ．
【题组训练14】如图，在四边形材料中，，，，，，现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是 ．
【题组训练15】如图，是 ABC的内切圆，点D，E是切点，，，则 ．
【题组训练16】如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 ．
【题组训练17】如图， ABC是一张周长为的三角形纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为 ．
【题组训练18】如图，的周长为，，是的内切圆，的切线与、分别交于点、，则的周长为 ．
【题组训练19】如图，是 ABC的内切圆，过点作交于点，交于点．若，，，则的长为 ．
【题组训练20】在中，，，则该三角形的内切圆半径为 ．
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