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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为，为轴上一动点，切于点，则当最小时，点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．
【题组训练2】正方形ABCD与正方形AEFG如图所示，AB=5，AG=4．现将正方形AEFG绕点A旋转一周． 在旋转过程中，当∠CBG最小时，点F到AB边的距离为（ ）
A． B． C． D．
【题组训练3】在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，M为上一点，若点N的坐标为，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题组训练4】在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．2
【题组训练5】如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．6 B． C．5 D．
【题组训练6】在平面直角坐标系中，以为圆心，PO为半径作圆，M为上一点，若点N的坐标为，则线段MN的最大值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【题组训练7】如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【题组训练8】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【题组训练9】如图，直线l与⊙O相切于点A，M是⊙O上的一个动点，MH⊥l，垂足为H．若⊙O的半径为4，则MA―MH的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【题组训练10】如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【题组训练11】如图，中，，，，D是上一点，E是上一点，，若以为直径的圆交于M、N点，则的最大值为 ．
【题组训练12】如图，正方形的边长为是边上的动点，于点E，点B关于点E的对称点为点F，当最大时，的长为 ．
【题组训练13】已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使．
（1）点到直线距离的最大值为 ；
（2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ．
【题组训练14】在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别、．以为斜边在右上方作．设点坐标为，则的最大值为 ．
【题组训练15】如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为 ．
【题组训练16】如图，在中，，，，是上一动点，连接，过点作于，过点作交于点，则的最大值是 ．
【题组训练17】已知 ABC中，上的一点，，，则的最大值为 ．
【题组训练18】如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移可以与该三角形的相切），则点到上的点的距离最大值为 ．
【题组训练19】如图，在 ABC中，，，分别是CB、AB的中点，连接EF，将绕点旋转一个角度，连接并延长，与直线交于点，则的最小值是 ．
【题组训练20】如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 ．
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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为，为轴上一动点，切于点，则当最小时，点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求的最小值转化为求的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解．
【详解】解：如图所示，连接，．
根据切线的性质定理，得；
根据勾股定理可得
要使最小，只需最小，
则根据垂线段最短，则作轴于，即为所求作的点；
此时点的坐标是．
故选A．
【点睛】本题考查了切线的性质，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握切线的性质将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析是解题的关键．
【题组训练2】正方形ABCD与正方形AEFG如图所示，AB=5，AG=4．现将正方形AEFG绕点A旋转一周． 在旋转过程中，当∠CBG最小时，点F到AB边的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据G点轨迹得出与⊙A相切时，最小，再由旋转的性质可得点、B、三点共线，由勾股定理求得，从而可得，过点作⊥AB延长线于H，再由便可解答；
【详解】解：如图，G点轨迹在⊙A上，圆的半径=AG=4，
由图可知当BG′与⊙A相切时，∠CBG′最小，即AG′B=90°，
AEFG为正方形，则AE′F′G′也为正方形，
∴∠AG′F′=90°，
∴点F′、B、G′三点共线，
∵AG′=AG=4，AB=5，∠AG′B=90°，
∴BG′=，
又∵F′G′=AG′=AG=4，
∴F′B=1，
过点F′作F′H⊥AB延长线于H，
∵∠ABG′=∠F′BH，∠AG′B=∠F′HB=90°，
∴△ABG′∽△F′BH，
∴AB∶F′B=AG′∶F′H，
∴5∶1=4∶F′H，
∴F′H=，
故选： C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识；此题综合性较强，掌握相关性质是解题关键．
【题组训练3】在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，M为上一点，若点N的坐标为，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据的坐标可确定其为直线上一点，进而通过直线和圆的位置关系结合图象得出的最大值．
【详解】解：点的坐标为，
点为直线上任意一点，如下图所示：
直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点，
由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最大，
此时：，
把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，，
，
，
，
，
此时，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，勾股定理，一次函数应用，熟练掌握与圆相关的最值问题解决方法是解题关键．
【题组训练4】在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．2
【答案】D
【分析】根据N的坐标可确定其为直线上一点，进而通过直线和圆的位置关系结合图象得出的最小值．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴点为直线上任意一点，
如下图，
直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点，
由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最小，
此时：＝，
由题意可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
此时，
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握与圆相关的最值问题解决方法是解题关键．
【题组训练5】如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．6 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可知圆C上点到直线y=x-3的最短距离是，由此求得答案．
【详解】解：∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=-3；y=0时，x=4
∴OB=3；OA=4
由勾股定理得，
∵C（0，1）
∴
∴BC=OB+OC=3+1=4
过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图，
则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，
∴5×CM=16，
∴CM=，
∴圆C上点到直线y=x-3的最小距离是 ，
∴△PAB面积的最小值是 ×5×=，
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离．
【题组训练6】在平面直角坐标系中，以为圆心，PO为半径作圆，M为上一点，若点N的坐标为，则线段MN的最大值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】根据的坐标可确定其为直线上一点，进而通过直线和圆的位置关系结合图象得出的最大值．
【详解】解：点的坐标为，
点为直线上任意一点，
如下图，
直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点，
由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最大，
此时：，
由题意可知：，，
，
，
，
，
此时．
故选：C．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握与圆相关的最值问题解决方法是解题关键．
【题组训练7】如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】连接OP，PC，OC，根据OP+PC≥OC，求出OP的最小值，根据直角三角形的性质得到AB=2OP，计算得到答案．
【详解】解：连接OP，PC，OC，
∵OP≥OC-PC=2，
∴当点O，P，C三点共线时，OP最小，最小值为2，
∵OA=OB，∠APB=90°，
∴AB=2OP，
当O，P，C三点共线时，AB有最小值为2OP=4，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了几何问题的最值，掌握三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边，得到点O，P，C三点共线时，OP最短是解题的关键．
【题组训练8】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查切线的判定和性质，勾股定理．根据题意连结、OQ，当时，线段最短，即线段最短，再根据勾股定理求解即可．
【详解】如答图，连结、OQ．
是的切线，
，
，
当时，，
线段最短，即线段最短．
，，
，
，
，
，
．
故选：D．
【题组训练9】如图，直线l与⊙O相切于点A，M是⊙O上的一个动点，MH⊥l，垂足为H．若⊙O的半径为4，则MA―MH的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】如图，作直径AB，连接BM，得到△ABM∽△MAH，由得到，根据函数的性质求解最值即可．
【详解】解：如图，作直径AB，连接BM，
∴，
∵⊙O的半径为4，
∴，
∵直线l与⊙O相切于点A，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴,
∴，
∵，
∴的最大值是2，
故选D．
【点睛】本题考查了切线的性质定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，二次函数的最值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【题组训练10】如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作于，过点作于，设与相切于点，连接，并延长交于，则，根据勾股定理求出，再根据等面积法求出，，进而得到，证明，得到，由于是定值，所以若要最小，则最大，当与重合时，，此时有最大值，即，即可求解．
【详解】解：过点作于，过点作于，
设与相切于点，连接，并延长交于，
则，
在矩形中，，，
，
，即，
，
同理可得：，
，
，，
，
又，
，
，
是定值，
若要最小，则最大，
当与重合时，，此时有最大值，即，
的最小值是，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．
【题组训练11】如图，中，，，，D是上一点，E是上一点，，若以为直径的圆交于M、N点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及轨迹等知识，如图，作于H，于K，由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可．
【详解】如图，连接，作于H，于K，
，
，
，
，
，
欲求的最大值，只要求出的最小值即可，
，
点O的运动轨迹是以C为圆心，为半径的圆，
在中，，，
，
，
，
当C、O、H共线，且与重合时，的值最小，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
【题组训练12】如图，正方形的边长为是边上的动点，于点E，点B关于点E的对称点为点F，当最大时，的长为 ．
【答案】
【分析】如图，延长到T，使得，连接交于G，连接．证明点F的运动轨迹是以T为圆心，4为半径的圆，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长到T，使得，连接交于G，连接．
∵四边形是正方形，
∴，
∵，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵B，F关于点E对称，
∴B，E，F共线，，
∵，
∴，
∴点F的运动轨迹是以T为圆心，4为半径的圆，
∴当与相切时，的值最大，
此时，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题，正方形的性质，中心对称、勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三角形中位线定理的判定与性质，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键正确寻找点F的运动轨迹．
【题组训练13】已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使．
（1）点到直线距离的最大值为 ；
（2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，
（1）如图1，当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，可得结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论；
正确作出图形是解题的关键．
【详解】解：（1）如图1，
∵，的半径是，，
∴当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，
最大值为：，
故答案为：；
（2）如图2，
∵，是直线与的公共点，线段的长度最大，
∴线段是的直径，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
【题组训练14】在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别、．以为斜边在右上方作．设点坐标为，则的最大值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，解直角三角形，直线与圆的位置关系，求的最大值，就是求的最大值是解答本题的关键．
根据题意先求出长，为直径的圆的变径长，分析发现点的轨迹是以为直径，上方的圆弧上运动，设直线，，整理得：，直线与轴的交点坐标为，当直线与圆相切时，取到最大值，画出相切时的示意图，利用得到，解出值即可．
【详解】解：设直线的解析式为，
把、代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为，
、，
，
线段的中点坐标为，
以为斜边在右上方作，点，
点的轨迹是以为直径，上方的圆弧上运动，
∵以为斜边在右上方作．
∴点C在第一象限，
，，
设直线，，
整理得：，
求的最大值，就是求的最大值，
直线与轴的交点坐标为，
当直线与圆相切时，取到最大值，此时t取得最大值，如图所示，过点B作，
∵直线的解析式为，
∴
∵直线与圆相切
∴
∵
∴，
∴四边形为矩形，
∴
∴
∵，
∴，
，
∵，
∴，，
∴
，，
，
解得，
的最大值是9．
故答案为：9．
【题组训练15】如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为 ．
【答案】
【分析】先证明，得出，证出，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，，由勾股定理求出，得出即可．
【详解】解：由题意得：，
∵四边形ABCD是正方形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
，
，
由勾股定理得：，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键．
【题组训练16】如图，在中，，，，是上一动点，连接，过点作于，过点作交于点，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】如图，取的中点，连接，，延长交于．证明，推出点在以为圆心，为半径的圆上运动，推出当与相切时，的值最大，即可求解．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，延长交于．
，，，
，，
，
，
，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当与相切时，的值最大，
直线，直线都是的切线，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等知识，解决本题的关键是发现点在以为圆心，为半径的圆上运动，推出当与相切时，的值最大．
【题组训练17】已知 ABC中，上的一点，，，则的最大值为 ．
【答案】/90度
【分析】本题考查了四点共圆，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，则当与圆相切时，有最大值，由“”可证，可得，可证四边形是矩形，可得，即可求解．
【详解】解：如图，以为边作等边，连接，过点作于，
，
设，则，
，，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当与圆相切时，有最大值，
此时：，
是等边三角形，，
，
，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，
故答案为：．
【题组训练18】如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移可以与该三角形的相切），则点到上的点的距离最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点到圆的距离，圆外一点到圆上的点的最短距离和最长距离都在此圆外的点与圆心的连线所在的直线上，记圆外的点为，圆上的点为，圆心为，记，圆的半径为，则当，，共线时，若在线段之间，则取最小值，若在线段之间，则取最大值．
【详解】解：当与、相切时，如图，连接，，延长交于，
∵是等边三角形，半径为1
∴，
根据勾股定理可得，
，
，
，
点到上的点的距离的最大值为．
故答案为：．
【题组训练19】如图，在 ABC中，，，分别是CB、AB的中点，连接EF，将绕点旋转一个角度，连接并延长，与直线交于点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．证明点在以为直径的圆上，得到当为的切线时，有最小值，此时重合，据此求解即可．
【详解】解：连接，由题意得和都是等腰直角三角形，且，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴点在以为直径的圆上，点在以为圆心，为半径的圆上，
∴当为的切线时，有最小值，此时重合，
∴，
即的最小值是，
故答案为：．
【题组训练20】如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质．首先根据平行线的性质和，可证，，根据可证，，从而可证，根据可知点在以中点为圆心以为直径的圆上，且当与相切时最大，根据勾股定理求出的长度，从而得到此时的值．
【详解】解：，，
，
在和中，
，
，
于点，
，
点在以中点为圆心以为直径的圆上，
如下图所示，
以点的中点为圆心，线段为半径作，
当与相切时最大，
设的半径为，
则有，，
，，
在中，，
．
故答案为： ．
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