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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和，是上一动点．连接，，，．
(1)求的长度；
(2)延长到点，连接，使得．求证：是的切线；
(3)猜想，，间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）由垂直平分，证明是等边三角形，求出的圆心角度数，进而根据弧长公式求出的长度，
（2）由证明，进而可得，即可得出结论；
（3）利用补短法，连接，延长到使，连接，证明，从而可得，，在中，求出，同理，，进而证明结论．也可利用旋转法作辅助线，构造直角三角形求解．
【详解】（1）解：连接，，
垂直平分，
，
又，
是等边三角形，
，
又，
，
．
（2）是的直径，
，
，
，
，
，
于点，且是的半径，
是的切线．
（3），理由如下：
法一：补短法
连接，延长到使，连接
是的直径，
，
，
四边形是圆内接四边形，
又，
在和中
，
，
过作于点，
在中，由，得
同理，
即：
法二：旋转法
连接，，
由（1）知，
，
是等边三角形
同理，可得也是等边三角形，
将绕点顺时针旋转得到
，，，
四边形是圆内接四边形
，，三点共线
过作于点，
在中， ，
由，得同理，
即：
【点睛】此题主要考查圆切线的综合，解题的关键是熟知切线的性质及三角函数的应用．证明直线是圆的切线常用的方法：（1）若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连圆心，证垂直，（2）在已知条件中，未给出直线与圆有公共点时，那么就应从圆心向这条直线作垂线，再证明垂线段的长度与半径相等即可，即“无切点，作垂直，证半径”．
【题组训练2】如图1，在中，，于，为边上的点，过、、三点的交于，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，点为弧上一动点，连接，，．在点运动过程中，试探索，，之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，在扇形中，为弧上任意一点，过点作于点，设为的内心，当点从点运动到点时，请直接写出内心所经过的路径长．
【答案】(1)见解析．
(2)，理由见解析．
(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可知，，根据圆内接四边形的性质，可求得，进而求得，问题即可得证．
（2）过点作的垂线，交于点，连接，可证得，得到，再证明为等腰直角三角形，得到，即可求得，，之间的数量关系．
（3）根据内心的定义，先求得的度数，根据，可求得，当点在上从点运动到点时，点在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上运动，内心所经过的路径长等于劣弧的长度，据此只需求得劣弧所对应的圆心角和劣弧所在圆的半径即可．
【详解】（1）∵，，
∴为等腰直角三角形底边上的中线和顶角的角平分线．
∴，．
∵四边形为的内接四边形，
∴．
又，
∴．
在和中
∴．
∴．
（2）．
理由如下：
如图，过点作的垂线，交于点，连接．
根据题意可知．
∵，
∴为的直径．
∴．
∴．
又，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴，．
又，
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴．
（3）．
理由如下：
如图，连接，，．
∵为的内心，
∴，．
∴
．
在和中
∴．
∴．
当点在上从点运动到点时，点在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上运动，内心所经过的路径长等于劣弧的长度．
设劣弧所在的圆为．
根据题意可知，，
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴．
内心所经过的路径长等于．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、内心的性质、圆周角的性质、弧长的计算，牢记全等三角形的判定定理及性质、内心的性质、圆周角的性质、弧长的计算公式是解题的关键．
【题组训练3】如图1，扇形中，，，点在半径上，连接．
(1)把沿翻折，点的对称点为点．
①当点刚好落在弧上，求弧的长；
②如图2，点落在扇形外，与弧交于点，过点作，垂足为，探究之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形，把图形沿着翻折， 点的对称点为点，弧与交于点，若，求的长．
【答案】(1)①，②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①如图所示，连接，根据折叠的性质可得是等边三角形，可得，再根据弧长公式即可求解；②如图所示，过点作，垂足为点，则（垂径定理），根据题意可得，由此即可求解；
（2）方法一：如图所示，将沿着翻折得，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 则四边形是矩形，中，可求出的长度，再证，由此即可求解；方法二：在中，求出的值，再根据勾股定理即可求解．
设，
【详解】（1）解：①如图所示，连接，
由翻折可知，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
②．理由如下，
如图所示，过点作，垂足为点，则（垂径定理），
在与中，，
∴，
∴，且，
∴，，即，
∴，
∴．
（2）解：方法一：如图所示，将沿着翻折得，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 则四边形是矩形，
∴由折叠和（1）可知，，
∵，
∴，
∴，
中，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
方法二：如图所示，将沿着翻折得，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，则四边形是矩形，
∴由折叠和（1）可知，，
∵，
∴，
∴，
中，，
设，则，，
由得，，
解得：，即．
【点睛】本题主要考查圆的几何图形的综合，掌握折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【题组训练4】在 ABC中，，点M，N分别为边的中点，连接．
初步尝试：
（1）如图1，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ．
特例研讨：
（2）如图2，若， ，先将绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到，当点A，E，F在同一直线上时，与相交于点D，连接．
①求的度数；
②求的长．
深入探究：
（3）若，将绕点B顺时针旋转α，得到，连接．当旋转角α满足，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），；（2）①②（3）或
【分析】（1），点M，N分别为边，的中点，则是的中位线，即可得出结论；
（2）特例研讨：①连接，证明是等边三角形，是等边三角形，得出，即可求出结论；
②在中，求得，由①知在中，利用三角函数求出即可；
（3）当点C，E，F在同一直线上时，且点E在上时，设，则，得出，则A．B，E，C 在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出，表示与，即可求解；当F在上时，可得A，B，E，C在同一个圆上，设，则，设，则，则，表示与，即可求解．
【详解】解：（1）∵，点M，N分别为边的中点，
∴是的中位线，
∴，；
故答案为：，；
（2）特例研讨：①如图所示，连接，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到，
∴；，
∵点A，E，F在同一直线上，
∴，
在中，M是斜边的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即旋转角，
∴，，
∴是等边三角形，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
；
②如图所示，
∵ ，，
∴，
在中，，
，
由①知在中，，
∴，
∴；
（3）如图所示，当点C，E，F在同一直线上时，且点E在上时，
∵，
∴，设，则，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转α，得到，
∴，
∴，
∴，
∵点C，E，F在同一直线上，
∴，
∴，
∴A，B，E，C在同一个圆上，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，当F在上时，
∵，
∴A，B，E，C在同一个圆上，设，则，
将绕点B顺时针旋转α，得到，
∴，
∴.
设，则，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，对角互补四边形四顶点共圆，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练综合运用以上知识是解题的关键．
【题组训练5】【特例感知】
（1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点D，，若，则 ， ．
【类比迁移】
（2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，过点D作，垂足为F，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，若，，，则的内心与外心之间的距离为______．
【答案】（1）3，；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）作于点F，求得，，利用勾股定理和面积法即可求解；
（2）结论：．只要证明，推出，，推出即可解决问题；
（3）过点D作，交的延长线于点F，，交于点E，连接，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接．由（1）（2）可知，四边形是正方形，是对角线．由切线长定理可知：，推出，由面积法可知内切圆半径为2，在中，理由勾股定理即可解决问题；
【详解】解；（1）作于点F，
∵平分，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
故答案为：3，；
（2）如图，结论：．
理由：作于，连接，．
平分，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
∴，
，
．
（3）如图，过点D作，交的延长线于点F，，交于点E，连接，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接．由（1）（2）可知，四边形是正方形，是对角线．
，
正方形的边长为，
由（2）可知：，
，
由切线长定理可知：，
，
设内切圆的半径为，
则
解得，
即，
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
【题组训练6】如图，为的直径，为上一点，连接，过作于点，过作，使，其中交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，点在上，且满足，连接并延长交的延长线于点．
①试探究线段与之间满足的数量关系；
②若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)①;②．
【分析】（1）如图，连接，根据等边对等角得：，由垂直定义得：，根据等量代换可得：，即，可得结论；
（2）①如图，过作于点，证明，则，得；
②先根据勾股定理求，则，设，则，根据勾股定理列方程得：，可得的值，证明，列比例式可得的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴是的切线；
（2）解：①线段与之间满足的数量关系是：，
理由如下：
如图，连接,过作于点，
∴，
∵，且，
∴，
∵为公共边，
∴（），
∴，
∴；
②∵,,,
∴,
∵，
∴，由①得：，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形、垂直的定义、全等三角形的判定、勾股定理及相似三角形性的判定与性质，熟练掌握并运用是解题关键
【题组训练7】如图，是等边三角形与三角形的公共边，且，
(1)连接，请探究，，的数量关系；
(2)点E是等边三角形内部一点，且满足，求线段的最小值．
【答案】(1)数量关系为：．理由见解析
(2)线段AE的最小值为
【分析】（1）通过构造三角形全等，以为边作等边，连接，，将要解决的问题转化到特殊的三角形中，根据勾股定理即可得解．
（2）依据题意可得，点D，E，B，C四点共圆，可证四边形是菱形， 中，，，；分析出A、E、O在一直线上时可得的最小值．
【详解】（1）数量关系为：．
理由：以为边作等边，连接，如图所示，
∵与是等边三角形，
∴，，．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
在中，由勾股定理得．
∵，，
∴．
（2）∵，，
∴．
∴点D，E，B，C四点共圆．
以点O为圆心作的外接圆，连接、，交于点F如图所示，
∵，
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∵是等边三角形，
∴．
∴四边形是菱形．
∴与互相直分，平分．
在中，，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴线段AE的最小值为．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、点与圆的位置关系，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识点，熟练运用全等三角形求证等角、相等线段是解题的关键．
【题组训练8】如图，在中，为的直径，为的弦，点E是的中点，过点E作的垂线，交于点M，交于点N，分别连接，．
(1)与的数量关系是 ；
(2)求证：；
(3)若，，求阴影部分图形的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）证得是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据点E是的中点，得出，由，证得，得到，根据题意得到，进一步得到；
（3）先解直角三角形得到，从而得到，证得是等边三角形，则，然后证得，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
【详解】（1）解：∵为的直径，点E是的中点，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为： ；
（2）解：连接，
∵是的直径，E是的中点，
∴，
∴，
∵，垂足为点M，
∴，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，，，过点O作于点F，
∵，垂足为点M，
∴，
∵，由（2）得，
∴，
又∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴．
【点睛】本题考查了扇形的面积，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形以及等边三角形的判定和性质，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键．
【题组训练9】如图，点A，B，C分别是上的三等分点，连接，，．点D，E分别是，上的点，且．过点D作的垂线，垂足为H，与分别交于N、M，与边交于F点．
(1)求证： ABC是等边三角形；
(2)探索与的数量关系，并加以证明；
(3)点E从点B沿方向运动到点C，点H也随之运动，若的半径为2，则点H运动的路径长是多少？
【答案】(1)见解析
(2)；证明见解析
(3)点H的运动路径长为
【分析】（1）根据点A，B，C分别是上的三等分点，证明，即可得出答案；
（2）连接，，，，证明，得出，，证明，得出，证明为等边三角形，根据，得出，，即可证明结论；
（3）延长交于点K，连接并延长交于点L，取的中点I，连接，，说明，证明K、H、O、D四点都在以为直径的圆上，证明，得出点H在过点K与平行的直线上运动，线段就是点E从点B运动到点C时，点H的运动路径，求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵点A，B，C分别是上的三等分点，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
（2）解：；证明如下：
连接，，，，如图所示：
∵为的内接正三角形，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
即．
（3）解：延长交于点K，连接并延长交于点L，如图所示：
∵，
∴平分，
∴，，
∴，
取的中点I，连接，，则，
∴K、H、O、D四点都在以为直径的圆上，
根据解析（2）可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点H在过点K与平行的直线上运动，
∴线段就是点E从点B运动到点C时，点H的运动路径，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴点H的运动路径长为．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的判定和性质，四点共圆，本题难度较大，综合性较强，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形的基本性质和圆的基本性质．
【题组训练10】已知，在中，，，是角平分线．点在边上，交直线于点（点，均不与点重合），内接于圆．
(1)当时，求证：是圆的切线；
(2)当点在线段上时，求证：；
(3)试判断，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)当点E在B，G之间（不含点G）时，；当点E在AG之间（不含点A，点G）时，，理由见解析
【分析】（1）连接，先证明，再根据，得到，得到，即可得证；
（2）由，得到，从而得证
（3）过点D作交于点G，则，分点E在线段上和线段外分别证明计算即可得解
【详解】（1）∵，内接于圆．
∴圆心O是中点．连接．
∵，即，
∴．
∴点D在上，即为的半径．
∵是的角平分线，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是的切线．
（2）解法一：
由（1）得点D在上．
∵平分，即，
∴，∴．
解法二：
过点D分别作于M，于N．
又∵平分，∴．
∵，，
∴，即．
又∵，
∴，∴，∴．
（3）由（2）得．
过点D作交于点G，则．
∵平分，∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，．
当点E在A，G之间（不含点A，点G）时，F在或的延长线上．
∵，∴．
∴，∴．
∴．
当点E在B，G之间（不含点G）时，
由得．
同理可证．
∴．
另外，由于F与A不重合，所以E不和G重合．
综上所述，当点E在B，G之间（不含点G）时，；当点E在之间（不含点A，点G）时，．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合运用，同事也考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用圆的性质是解答本题的关键．
【题组训练11】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
(1)如图1，点D是CA延长线上的一点，点E在线段AB上，且AD＝AE，连接BD和CE，延长CE交BD于点F．求证：BD＝CE；
(2)在（1）的条件下，若点F为BD的中点，求∠AFD的度数；
(3)如图2，点P是△ABC外一点，∠APB＝45°，猜想PA，PB，PC三条线段长度之间存在的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)45°
(3)PB﹣PCPA，理由见解析
【分析】（1）由两个等腰直角三角形得到两个三角形全等的条件，即可；
（2）利用（1）得到的结论，判断出点A，E，F，D四点共圆，即可；
（3）利用三角形相似的判定和性质，再利用勾股定理，即可．
【详解】（1）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAB＝90°，
在Rt△EAC和Rt△DAB中，
，
∴Rt△EAC≌Rt△DAB（SAS），
∴CE＝BD；
（2）解：如图1，
由（1）有，Rt△EAC≌Rt△DAB，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ACE+∠AEC＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝∠ABD+∠BEF＝90°，
∵∠DAE＝90°，
∴点A，E，F，D四点共圆，
∴∠AFE＝∠ADE＝45°，
∴∠AFD＝45°；
（3）解：结论：PB﹣PCPA．
理由：如图2，在PB上截取PM＝PC，
由（2）有，∠BPC＝90°，
∴CMPC，∠PMC＝45°，
∴∠BMC＝135°，
∵∠APB＝45°，
∴∠APC＝135°，
∴∠APC＝∠BMC，
∵∠ACP+∠ACM＝∠BCM+∠ACM＝45°，
∴∠ACP＝∠BCM，
∴△APC∽△BMC，
∴，
∴BMPA，
∴PB＝PM+BM＝PCPA，
∴PB﹣PCPA．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、四点共圆的判定、同弧所对圆周角相等、三角形相似的判定与性质，掌握这些才能正确解题．
【题组训练12】如图， ABC和 ADE中，.
(1)如图1，若，.点A、B、D共线时，探究与的关系，说明理由；
(2)如图2，，，且点A、B、D不共线时，点H为线段的中点，判断与的数量关系，并证明.
(3)如图3，若，.点A、B、D不共线时，点G为的中点， ADE绕点A旋转过程中，连接，若，，直接写出线段的取值范围.
【答案】(1)且,理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据题意得到，然后利用全等三角形的性质和等量代换解题即可；
（2）延长至G，使得，连接，则，然后推导解题即可；
（3）取的中点O，连接以为半径作圆O，则点G在圆O上运动，，然后利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）且,理由为：
∵，，.
∴
∴，
又∵
∴
即
∴
（2），理由为：
如图，延长至G，使得，连接，
∵H是的中点，
∴
又∵
∴
∴，
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴
（3）如图，取的中点O，连接以为半径作圆O,
则是的中位线，
∴，，
所以点G在圆O上运动，
在中，
，
∴线段的取值范围为
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形，勾股定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【题组训练13】如图，是的两条弦，且于点
(1)如图1：若，求证；
(2)如图2：若，求弓形的面积．
(3)连结，若，
①与具有怎样的数量关系，并证明．
②在上存在点，满足，点是的中点，连结，已知，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)①，理由见解析；②4
【分析】（1）根据等腰三角形的判定与性质和圆周角定理即可证得结论；
（2）连接、，过O作于G，于F，根据垂径定理和矩形的判定和性质证得，，，，，，设，则，利用勾股定理和等腰三角形的性质得到，再利用扇形和三角形的面积公式求解即可；
（3）①连接、、，过O作于G，于F，
连接根据等腰三角形的性质和圆周角定理得，再根据直角三角形的两个锐角互余得到即可求解；
②连接、、，过M作于H，先证明经过点O，则，，再根据等弧对等弦得到，再证明四边形是矩形得到，设，根据勾股定理列等量关系求得，进而求得、、，再证明，利用相似三角形的性质求得，进而求得，然后利用勾股定理求得即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，连接、，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图2，连接、、，过O作于G，于F，
∴，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，则，
在中，，
在中，，
，，
∵，
∴，解得，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴弓形的面积为；
（3）解：①．理由为：
如图3，连接，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图3，连接、、，过M作于H，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴经过点O，则，，又，
∴，
∵,,
∴，
∴，
∴，则，
∵，
∴四边形是矩形，则，，
∵，∴，
设，，
则，，
∴，解得，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
解得，
∴，
在中，，
∴的半径为4．
【点睛】本题是圆的综合题型，涉及圆的有关性质和计算，垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，还涉及勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造矩形、等腰三角形及相似三角形，难度较大，属于压轴题型．
【题组训练14】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)若AB=5，BE=4，求BD的长；
(3)你能发现线段AB，BE和CE之间的数量关系吗？请写出结论，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)BD=2；
(3)CE=AB-BE，理由见解析
【分析】（1）连接OD，先证OD∥BE，再根据BE⊥DE，可得OD⊥DE，即可得证结论；
（2）证△ABD∽△DBE，根据线段比例关系即可求出BD的长度；
（3）过点D作DH⊥AB于H，根据HL证Rt△BED≌Rt△BHD，再根据AAS证△ADH≌△CDE，再利用等量代换即可得出CE=AB-BE．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BE，
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵BE⊥DE，
∴∠ADB=∠BED=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∵AB=5，BE=4，
∴，
∴BD=2；
（3）解：CE=AB-BE，理由如下：
过D作DH⊥AB于H，则∠DHA=90°，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，DH⊥AB，
∴DH=DE，∠DEC=90°，
在Rt△BED与Rt△BHD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），
∴BE=BH，
在△ADH和△CDE中，
，
∴△ADH≌△CDE（AAS），
∴AH=CE，
∵AB=AH+BH，
∴AB=BE+CE，
∴CE=AB-BE．
【点睛】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【题组训练15】已知，点、、、是圆上的四个点，
(1)如图1，如果，判断 ABC的形状，并证明．
(2)如果 ABC是等边三角形，点在圆上运动，连接、、，请直接写出这三条线段的数量关系．
(3)如图2，如果 ABC是等边三角形，圆半径为2，当点在弧上运动时，四边形周长最大值为______．
【答案】(1)等边三角形，证明见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理得到，从而得到，计算出，即可证明；
（2）延长到点，使，如图，先证明得到，，再证明为等边三角形，则，运算可判断，同理可得当点在劣弧上时，当点在劣弧上时的线段关系；
（3）由（2）可得：当点在弧上运动时，，从而将四边形的周长转化为，从而得到最大时周长最大，利用等边三角形的性质得到和的长，结合半径可得结果．
【详解】（1）解：等边三角形，理由是：
∵，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形；
（2）当点在劣弧上时，如图，延长到点，使，
为等边三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
为等边三角形，
，
；
同理：当点在劣弧上时，；
当点在劣弧上时，；
（3）由（2）可得：当点在弧上运动时，，
∴四边形周长为，
由于固定不变，则当最大时，即为直径时，周长最大，
连接并延长，交于E，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
则四边形周长的最大值为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，知识点较多，属于圆和三角形的综合问题，解题时要注意前问的结论要能合理运用，产生关联．
【题组训练16】如图，点是等边三角形的边上的动点（），作的外接圆交于．点是上一点，且，连接，，且交于．
(1)求证：．
(2)当点运动变化时，的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数．
(3)探究线段，，间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)不变，，理由见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）连接，利用等弧所对的圆周角相等可得，根据等边三角形的性质可得，从而证明，进而可得，根据等边对等角得，最后利用等量代换即可得出结论；
（2）根据等弧所对的圆周角相等可得，然后利用三角形的外角性质可得，即可解答；
（3）延长，相交于点，先证明是等边三角形，然后证明，即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接．
，
．
又，，
，
，
．
，，
．
（2）不变，，理由如下：
，
．
，
，即不变．
（3）．
证明如下：
延长，相交于点．
，，
，
．
由（2）知，
，
是等边三角形，
，．
，
，
，
．
又，
，
，
．
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【题组训练18】如图1，直角坐标系中，OT为第一象限的角平分线， ， ，点P为OA上一动点，Q为y轴上一动点， ，以PQ为直径的圆与OT相交于点C．
(1)若 ，求点P坐标；
(2)求证： ；
(3)判断OP、OQ、OC之间的数量关系并证明；
(4)如图2，将题设条件“ ”更换为“ ”，以PQ为直径的圆与AB相交于M、N两点，则MN的最大值为 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，证明见解析
(4)
【分析】（1）证得P为OA的中点即可得出结论；
（2）证得为等腰直角三角形，从而得出；
（3）连接AC，可证得，进而得出，进一步得出结论；
（4）设PQ的中点为，连接，可推出点在以O为圆心，3为半径的圆上运动，作CD与相切，切点为I，且，当在I时，MN最大，进一步得出结果．
【详解】（1），
，
，
，
，
，即P为OA的中点，
；
（2）PQ为直径，
，
，
为等腰直角三角形，
；
（3），
证明：连接AC，
∵四边形OPCQ是圆的内接四边形
，
在和中，
，
，
，
，
即 ；
（4）如图，设P Q的中点为，连接，
，
，
点在以O为圆心，3为半径的圆上运动，
设到MN的距离为d，，
，
当到MN的距离最小时，MN最大，
作CD与相切，切点为I，且，
当在I时，MN最大，
连接OI并延长交MN与点E，
，
，
，
，
，
，
MN的最大值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆中的圆周角、弧、弦、之间的关系，确定圆的条件，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是结合所学知识利用数形结合的思想解决问题．
【题组训练18】如图，是半圆O的直径，点C是半圆O上一点（不与点A，B重合），连接，，，点D是上一点（不与点B，C重合），连接交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)①若，，求的长；
②判断之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；②，理由见解析
【分析】（1）根据圆周角定理得出，再由对顶角相等即可证明相似；
（2）①由圆周角定理得出，再由含30度角的直角三角形的性质得出，得出，结合已知条件得出，再由（1）中相似三角形的性质求解即可；
②过点C作的垂线，交AD于点F，根据相似三角形的判定得出，再由其性质得出，再由圆周角定理及勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又，
∴．
（2）解：∵是半圆O的直径，
∴．
∵，
∴，即．
在中，，
∴．
①∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴．
②．
理由如下：过点C作的垂线，交于点F，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，．
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查圆周角定理及相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，熟练掌握运用圆周角定理及相似三角形的判定和性质是解题关键．
【题组训练19】如图，锐角△ABC的三边长分别为BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于点E．交△ABC的外接圆于点D，边BC的中点为M．
(1)求证：MD垂直BC；
(2)求的值(用a，b，c表示)；
(3)作∠ACB的平分线交AD于点P，若点P关于点M的对称点恰好落在△ABC的外接圆上，试探究a，b，c应满足的数量关系．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由题意易得，BD=CD，进而问题可求证；
（2）由题意易得，则有△DBE∽△DAB，然后可得，同理可得△DEC∽△DCA，则有，进而问题可求解；
（3）由题意易得四边形BPCP是平行四边形，则有，，然后可得，，作BH⊥AC，垂足为H，进而根据勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴，
∴BD=CD，
又∵M是BC的中点，
∴DM⊥BC．
（2）解：连接CD，
∵∠DBC与∠BAD分别是与所对的圆周角，
∴
又∵∠D是公共角，
∴△DBE∽△DAB．
∴，即，
∴；
同理，∴△DEC∽△DCA，
得
∵BD=CD
．∴；
∵BE+CE=BC
∴，得．
（3）解：点P关于点M的对称点为P'，如图，
∵M是BC的中点，点P与点P'关于点M对称，
∴四边形BPCP'是平行四边形，
∴．
∵点P在圆上，
∴
∵点P是△ABC两个内角∠BAC与∠ACB的角平分线交点，易知BP平分∠ABC，
∴，
∵，
∴．
设，则有，解得：，
∴
如图，作BH⊥AC，垂足为H，
可得
整理得：．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角定理、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【题组训练20】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)若AB＝5，BE＝4，求BD的长；
(3)请探究线段AB、BE、CE之间的数量关系并直接写出结果______．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)AB＝BE+CE
【分析】（1）、首先连接OD，通过角平分线证明角相等，进而证明两直线平行，即可得证；
（2）、易证，由对应线段成比例即可得出．
（3）、证明、，得出线段相等，再用等量代换即可求出．
【详解】（1）证明：连OD，∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠DBC，
∴∠ODB＝∠DBC
∴，
∵DE⊥BE，
∴DE⊥OD
∴DE与⊙O相切
（2）在△ABD和△DBE中，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∵DE⊥BE，
∴∠DEB＝∠ADB＝90°
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴
∴BD：AB＝BE：BD，即，
∴，
∴
（3）AB＝BE+CE
理由如下：
过点D作与H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
在 和中
，
，
， ，
在 和中
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线性质，平行线性质，全等三角形判定与性质，圆内接四边形，圆的切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握这些判定与性质并能熟练运用是解题关键．
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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和，是上一动点．连接，，，．
(1)求的长度；
(2)延长到点，连接，使得．求证：是的切线；
(3)猜想，，间的数量关系，并证明．
【题组训练2】如图1，在中，，于，为边上的点，过、、三点的交于，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，点为弧上一动点，连接，，．在点运动过程中，试探索，，之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，在扇形中，为弧上任意一点，过点作于点，设为的内心，当点从点运动到点时，请直接写出内心所经过的路径长．
【题组训练3】如图1，扇形中，，，点在半径上，连接．
(1)把沿翻折，点的对称点为点．
①当点刚好落在弧上，求弧的长；
②如图2，点落在扇形外，与弧交于点，过点作，垂足为，探究之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形，把图形沿着翻折， 点的对称点为点，弧与交于点，若，求的长．
【题组训练4】在 ABC中，，点M，N分别为边的中点，连接．
初步尝试：
（1）如图1，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ．
特例研讨：
（2）如图2，若， ，先将绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到，当点A，E，F在同一直线上时，与相交于点D，连接．
①求的度数；
②求的长．
深入探究：
（3）若，将绕点B顺时针旋转α，得到，连接．当旋转角α满足，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由．
【题组训练5】【特例感知】
（1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点D，，若，则 ， ．
【类比迁移】
（2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，过点D作，垂足为F，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，若，，，则的内心与外心之间的距离为______．
【题组训练6】如图，为的直径，为上一点，连接，过作于点，过作，使，其中交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，点在上，且满足，连接并延长交的延长线于点．
①试探究线段与之间满足的数量关系；
②若，，求线段的长．
【题组训练7】如图，是等边三角形与三角形的公共边，且，
(1)连接，请探究，，的数量关系；
(2)点E是等边三角形内部一点，且满足，求线段的最小值．
【题组训练8】如图，在中，为的直径，为的弦，点E是的中点，过点E作的垂线，交于点M，交于点N，分别连接，．
(1)与的数量关系是 ；
(2)求证：；
(3)若，，求阴影部分图形的面积．
【题组训练9】如图，点A，B，C分别是上的三等分点，连接，，．点D，E分别是，上的点，且．过点D作的垂线，垂足为H，与分别交于N、M，与边交于F点．
(1)求证： ABC是等边三角形；
(2)探索与的数量关系，并加以证明；
(3)点E从点B沿方向运动到点C，点H也随之运动，若的半径为2，则点H运动的路径长是多少？
【题组训练10】已知，在中，，，是角平分线．点在边上，交直线于点（点，均不与点重合），内接于圆．
(1)当时，求证：是圆的切线；
(2)当点在线段上时，求证：；
(3)试判断，，之间的数量关系，并说明理由．
【题组训练11】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
(1)如图1，点D是CA延长线上的一点，点E在线段AB上，且AD＝AE，连接BD和CE，延长CE交BD于点F．求证：BD＝CE；
(2)在（1）的条件下，若点F为BD的中点，求∠AFD的度数；
(3)如图2，点P是△ABC外一点，∠APB＝45°，猜想PA，PB，PC三条线段长度之间存在的数量关系，并证明你的结论．
【题组训练12】如图， ABC和 ADE中，.
(1)如图1，若，.点A、B、D共线时，探究与的关系，说明理由；
(2)如图2，，，且点A、B、D不共线时，点H为线段的中点，判断与的数量关系，并证明.
(3)如图3，若，.点A、B、D不共线时，点G为的中点， ADE绕点A旋转过程中，连接，若，，直接写出线段的取值范围.
【题组训练13】如图，是的两条弦，且于点
(1)如图1：若，求证；
(2)如图2：若，求弓形的面积．
(3)连结，若，
①与具有怎样的数量关系，并证明．
②在上存在点，满足，点是的中点，连结，已知，求的半径．
【题组训练14】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)若AB=5，BE=4，求BD的长；
(3)你能发现线段AB，BE和CE之间的数量关系吗？请写出结论，并说明理由．
【题组训练15】已知，点、、、是圆上的四个点，
(1)如图1，如果，判断 ABC的形状，并证明．
(2)如果 ABC是等边三角形，点在圆上运动，连接、、，请直接写出这三条线段的数量关系．
(3)如图2，如果 ABC是等边三角形，圆半径为2，当点在弧上运动时，四边形周长最大值为______．
【题组训练16】如图，点是等边三角形的边上的动点（），作的外接圆交于．点是上一点，且，连接，，且交于．
(1)求证：．
(2)当点运动变化时，的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数．
(3)探究线段，，间的数量关系，并证明．
【题组训练18】如图1，直角坐标系中，OT为第一象限的角平分线， ， ，点P为OA上一动点，Q为y轴上一动点， ，以PQ为直径的圆与OT相交于点C．
(1)若 ，求点P坐标；
(2)求证： ；
(3)判断OP、OQ、OC之间的数量关系并证明；
(4)如图2，将题设条件“ ”更换为“ ”，以PQ为直径的圆与AB相交于M、N两点，则MN的最大值为 ．
【题组训练18】如图，是半圆O的直径，点C是半圆O上一点（不与点A，B重合），连接，，，点D是上一点（不与点B，C重合），连接交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)①若，，求的长；
②判断之间的数量关系，并说明理由．
【题组训练19】如图，锐角△ABC的三边长分别为BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于点E．交△ABC的外接圆于点D，边BC的中点为M．
(1)求证：MD垂直BC；
(2)求的值(用a，b，c表示)；
(3)作∠ACB的平分线交AD于点P，若点P关于点M的对称点恰好落在△ABC的外接圆上，试探究a，b，c应满足的数量关系．
【题组训练20】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)若AB＝5，BE＝4，求BD的长；
(3)请探究线段AB、BE、CE之间的数量关系并直接写出结果______．
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