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专题2.3 三角形的内切圆六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：直角三角形的周长、面积与内切圆半径的关系
【经典例题1】如图， ABC的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键．
连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可．
【详解】解：如图：连接、、，，设半径为，
，，，
，
的内切圆与，，分别相切于点，，，
，，，且，
，
四边形是正方形，
，
，
，．
故选：C．
【变式训练1-1】如图， ABC的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内切圆，根据切线的性质，判断出四边形为正方形，利用直角三角形的内切圆的半径的计算公式，求出的长，进一步求出阴影部分的面积即可，掌握直角三角形的内切圆的半径的计算方法是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
，
∵与，，分别相切于点，，，
∴，，，，，
∴，，
∴四边形是正方形，，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练1-2】在 ABC中，，，则 ABC的内切圆的半径为 ．
【答案】1
【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，勾股定理求出的长，设内切圆的半径为，根据切线长定理，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
设的内切圆与三边的切点分别为，内切圆的半径为，如图，
则：四边形为正方形，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
【变式训练1-3】如图，在 ABC中，，是 ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为 ．
【答案】1
【分析】连接、．由已知条件可得出，，结合已知条件证明四边形是正方形，由正方形的性质可得出，
根据切线长定理可得，，进而可得出，，，最后利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：连接、．
∵内切于 ABC，
∴，，
又∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴．．
∵内切于 ABC，
∴，，
∵，，
∴，，
在中，
即．
解得：，（舍去），
故的半径为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理是解题的关键．
【变式训练1-4】如图，在中，， ABC的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ．
【答案】10
【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2．设，，则，由，由此即可解决问题；
【详解】解：如图连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2．
∵的内切圆与分别相切于点D、E、F，
∴可以假设，，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．
【变式训练1-5】如图， ABC中，，， ABC，，的内切圆半径分别记为，，，若，，则 ．
【答案】
【分析】根据已知条件证明，，利用三角形面积比解答即可．本题主要考查了三角形的内切圆，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键．
【详解】解：令，，，
在中，，
可得：，
，
，
又，
，
，
即：，
，
同理可得：，
，
，
即：，
∵，，的内切圆半径分别记为，，，
，，，
；
，
，，
．
故答案为：．
题型二：圆外切四边形模型
【经典例题2】如图，是四边形的内切圆．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；
【详解】解：∵是四边形的内切圆，
∴，，， ，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
故选：A；
【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到．
【变式训练2-1】如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4
C． D．
【答案】C
【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长．
【详解】解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点，
∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上，
∴DF=DE，OF⊥DC，
∴GF⊥DC，
∴OG⊥AB，
∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径．
在等腰直角三角形DEH中，DE=2，
∴EH=DH==AE．
∴AD=AE+DE=+2．
故选C．
【点睛】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．
【变式训练2-2】如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ．
【答案】62°
【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可．
【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆，
∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，
∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，
∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，
∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，
∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°，
∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．
故答案为：62°．
【点睛】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键．
【变式训练2-3】将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为
【答案】
【分析】首先作∠DAF与∠AB1C1的角平分线，交于点O，则O为该圆的圆心，过O作OF⊥AB1交AB1于点F，则OF即为所求，根据角平分线的性质可得∠OAF=30°，∠AB1O=45°，根据等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形性质可得B1F=x，AF=-x，接下来在Rt△OFA，利用勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求解.
【详解】作∠DAF与∠AB1C1的角平分线，交于点O，过O作OF⊥AB1交AB1于点F，
AB=AB1=，∠BAB1=30°，
∵四边形AB1C1D1是正方形，∠DAF与∠AB1C1的角平分线交于点O，∠BAB1=30°
∴∠OAF=30°，∠AB1O=45°
∵OF⊥AB1
∴B1F=OF=OA
设B1F=x，则AF=-x
∴（-x）2+x2=（2x）2
解得x=或x=（舍去）
即四边AB1ED的内切圆的半径为.
故答案为.
【点睛】此题主要考查了正方形中的旋转问题，添加合适的辅助线是解题关键.
【变式训练2-4】如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．
【答案】
【分析】连接，由题意可知过点，，且，列出方程求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，
∵正方形，正方形和正方形都在正方形内，
∴，
∵分别与，，，相切，
∴四边形是正方形，
∴过点，，
四边形为正方形，
，，．
．
．
设的直径为，则
．
，
．，
，
（）
解得：．
即的直径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键．
题型三：三角形内心有关的应用
【经典例题3】如图，点O是 ABC的内心，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的内心及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内心及三角形内角和是解题的关键；由题意易得分别是的角平分线，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解．
【详解】解：∵点O是的内心，
∴分别是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【变式训练3-1】如图，点I为 ABC的内心，连接AI并延长，交 ABC的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】C
【分析】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，延长到，使，连接．通过内心和圆周角可得，进而得到，根据勾股定理求出，证明是的中位线即可解决问题．
【详解】解：延长到，使，连接，
是的内心，
，，
，，，
，
，
，
∴，
∵，
，
∵，，
，
，
，即点为的中点，
，
是的中位线，
，
故选：C．
【变式训练3-2】如图，点为 ABC外接圆的圆心，点为 ABC的内心，连接，，若，则的度数为
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的内心和外心的概念，圆周角定理，等腰三角形的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
连接，根据点是内心得到，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义以及三角形内角和定理进行计算，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵点是的内心，
∴平分，
∵，
∴，
∵点是的外接圆的圆心，
∴，
∵，
故答案为： ．
【变式训练3-3】如图，是的直径， ABC内接于，点I为 ABC的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数：
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；
（2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论；
（3）由（2）可知，然后由勾股定理依次求出，即可．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，又，
∴，
∵四边形是内接四边形，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵点I为的内心，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内心性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
【变式训练3-4】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，
(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数；
(2)求证：DE=DB．
【答案】(1)124°
(2)证明见解析
【分析】（1）根据圆周角定理求出，根据三角形的内心的概念，三角形内角和定理求出∠EBC；
（2）根据内心的性质，三角形的外角定理证明．
【详解】（1）解：∵∠CBD=34°
∴∠CAD=34°
∵点E是△ABC的的内心
∴∠BAC=2∠CAD=68°
∴∠EBC+∠ECB=（180°-68°）÷2=56°
∴∠BEC=180°-56°=124°
（2）∵E是△ABC的内心
∴∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC
∵ ∠DEB=∠BAD+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠CBD，∠CBD=∠CAD
∴∠DEB=∠DBE
∴DE=DB ．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，三角形的内心的概念，三角形的外角的性质是解题的关键．
【变式训练3-5】如图，I是 ABC的内心，AI的延长线交 ABC的外接圆于点D．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接、，求证：点D是的外心．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证；
（2）连接，证出即可得证；
（3）连接，，，证出即可得证．
【详解】（1）证明：点I是 ABC的内心，
平分，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接，
点I是 ABC的内心，
平分，平分，
，
又，
，
，，
，
．
（3）证明：如图，连接，，，
，
．
，
∴点D是的外心．
【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.
题型四：一般三角形的周长、面积与内切圆半径的关系
【经典例题4】如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出关于的方程是解题的关键．
由切线长定理可知：，设，则，然后根据，列方程求解即可．
【详解】解：∵ ABC的内切圆与分别相切于点、、，
，
设，则．
根据题意得．
解得；．
∴，
∴．
【变式训练4-1】如图， ABC中，，，与 ABC的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求 ABC的周长．
【答案】30
【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．
【详解】解：连接，，设．
由切线长定理，得．
与的三边分别切于点D，E，F，
，，
∵
∴四边形为正方形．
的半径为2，，
，．
在中，，
即，
解得，
，，
的周长为．
【变式训练4-2】在 ABC中，其内切圆与边切于D，若，则 ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形内切圆的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练应用切线长定理和连接合适的辅助线是解题的关键，设，根据三角形内切圆的性质得出，再作，运用锐角三角函数的定义表示出，再由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图， ABC中，内切圆圆心为，
，
，
设，
，
，，
作垂足为，
，
，
在中，，
即，
整理得，
，
，
．
故选：D．
【变式训练4-3】如图， ABC的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则 ABC的周长为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据，于是得到 ABC的周长．
【详解】解：∵ ABC的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，，，
∵，
∴，
∴ ABC的周长，
故选：A．
【变式训练4-4】如图，是 ABC的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则 ABC的面积为（ ）
A． B．24 C．26 D．52
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；
根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可．
【详解】 是 ABC的内切圆且半径为2，，，
，
，
则的面积为26，
故选：C
【变式训练4-5】如图，在 ABC中，，于， 为 ABC的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出 ABC的面积，利用面积相等即可解决问题．
【详解】解：如图所示：为 ABC中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，
，
，
，
的长为，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键．
题型五：三角形内切圆与外接圆综合
【经典例题5】如图，在 ABC中，．
(1)在图①中作 ABC的外接圆；在图②中作 ABC的内切圆．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若O、I两点在同一 ABC中，当，时，______，______．（如需画草图，请使用图③）
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】（1）作的垂直平分线交于点，再以点为圆心，为半径作圆得到的外接圆；作和的平分线，它们相交于点，作过点作于点，然后以点为圆心，为半径作圆得到 的内切圆；
（2）如图③，设与各边的切点为、、，连接、、，根据切线的性质得到，，，过点作于点，设的半径为，则，先根据圆周角定理可判断为的直径，利用勾股定理可计算出得到，接着证明四边形为正方形得到，根据切线长定理得到，，从而得到，解得，然后利用勾股定理可计算出，再利用面积法求出，接着利用勾股定理求出，最后利用余弦的定义求出的余弦值．
【详解】（1）解：如图①，为所作；
如图②，为所作；
（2）如图③，设与各边的切点为、、，连接、、，则，，，过点作于点，
设的半径为，则，
，
为的直径，
，，，
，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
，，
，
，
解得，
，
，
在中，，
在中，，，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．主要考查了三角形外接圆和三角形的内切圆．
【变式训练5-1】如图，E是 ABC的内心，的延长线与 ABC的外接圆相交于点D．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为
【分析】本题主要考查圆与三角形的综合运用，理解三角形内心的含义，掌握垂径定理的运用是解题的关键，
（1）连接，根据三角形中点是内心可得，根据三角形外角的性质，等角对等边的性质可得，由此即可求解；
（2）连接交于点F，连接，由角平分线的性质可得，垂直平分，在中，，设的半径为r，则，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵平分平分，
，
又，
，
，
，，
，
；
（2）解：连接交于点F，连接，
，
，
垂直平分，
，
，在中，，
设的半径为r，则，
，
解得，
的半径为．
【变式训练5-2】如图，为 ABC的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)
(2)11
【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是：
（1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果；
（2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵为的内切圆，
∴，，
∴；
（2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为，
∴，，
∴的周长为：
∵，，，
∴
．
【变式训练5-3】如图，是圆O直径，弦，垂足为D，圆O周长为，
(1)，求内切圆的面积；
(2)，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】此题考查了垂径定理、内切圆、圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
（1）连接，证明，则是等边三角形，得到，点O是的内心，求出，即可得到内切圆的面积；
（2）连接，根据（1）中的结论求出，即可证明．
【详解】（1）解：连接，
∵是圆O直径，圆O周长为，
∴，，
∴，
∵
∴，
∵是圆O直径，弦，
∴，垂直平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，点O是的内心，
∴，
∴
∴内切圆的面积为；
（2）如图，连接，
∵是等边三角形， ，
∴，，
∴，
∵点O是的内心，
∴，
∴
∴．
【变式训练5-4】如图， ABC外接圆的圆心在边上，为 ABC的内心，交于，交于，连接交于，交于．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先证明，再证明，，再结合三角形的内角和定理可得答案；
（2）如图，连接，，，过作于，证明，，可得，再证明，可得，同理可得：，结合，可得四边形为正方形，证明，，可得，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵外接圆的圆心在边上，
∴，
∴，
∵为的内心，
∴，，
∴．
（2）如图，连接，，，过作于，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵为的内心，
∴，
∴四边形为正方形，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与内心的性质，圆周角定理的应用，三角形的平分线的含义，内角和定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
题型六：圆综合问题
【经典例题6】如下图，已知 ABC中，，，点是 ABC内一点，若且平分．
(1)求证：点是的内心；
(2)如图：直接写出答案：
ABC外接圆的半径______； ABC的内心与外心的距离______．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（）利用三角形内角和定理及等腰三角形的 性质求出，证明平分即可求证；
（）利用等腰三角形的性质和勾股定理求出，进而求出，再利用面积法求出即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平分，
∴点是的内心；
（2）解：连接，则，，
∵，
∴点共线，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了圆的内切和外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键．
【变式训练6-1】如图，在 ABC中，点D在边上，平分，经过点B、C的交于点E，连接交于点F，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为5
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，然后利用外角性质及切线的判定方法可得结论
（2）根据等腰三角形的性质可得，再根据解直角三角形及勾股定理可得的长，进而得到答案．
【详解】（1）连接，如图，
∵
∴
∵平分，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵是半径
∴是的切线；
（2）∵，平分，
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴ ，即
∴
∴的半径为5
【点睛】此题考查的是外角的性质，切线的定义，等腰三角形的性质，解直角三角形和勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
【变式训练6-2】如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交于点，以为直径作．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）连接，利用圆周角定理得到点在上，利用角平分线的定义，同圆的半径相等的性质，等腰三角形的性质和平行线的判定与性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）勾股定理，直角三角形的边角关系定理，含角的直角三角形的性质解答即可；
（3）利用（2）的结论得到为等边三角形，则，利用勾股定理求得，再利用阴影部分的面积解答即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
，
以为直径作，
点在上，
，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
．
，
．
，
，
，
．
（3）解：由（2）知：，，，
，
为等边三角形，
，
，，
，
阴影部分的面积
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，含角的直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质，连接经过切点的半径，直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
【变式训练6-3】在 ABC中，于点D，P是边上（与点A，C不重合）的动点，连接PB交于点M，过C，P，M三点作交的延长线于点N，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若与相切，求此时的半径r；
(3)在点P的运动过程中，设线段长为y，圆半径为r，求y关于r的函数解析式及其定义域
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，根据圆内接四边形性质和同弧所对圆周角相等推出，再结合等腰三角形的性质推出，即可求证；
（2）连接并延长交于点H，连接，根据，推出，从而得到，证明，得到，再利用同一个三角形面积不变性求解出，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理即可求出半径；
（3）连接，，，作，根据条件推出，利用垂径定理和圆周角定理推出，再利用三角函数即可求得线段MN和半径r之间的数量关系．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵
∴
∵圆内接四边形
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
（2）如图2，连接并延长交于点H，连接．
∵，，
∴，，
∵，
∴为的垂直平分线，即
又∵与相切，即
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
在中，
在中，，
即：，解得．
当与相切时，的半径r为．
（3）如答图3，连接，，，作，
∵
∴
∵，，
∴
∵
∴，，
又∵
∴
又∵
∴
∴，
即．
【点睛】本题考查了圆的综合题型，涉及到了等腰三角形的性质、垂直平分线的判定、圆周角定理、平行线的性质与判定、全等三角形的性质与判定、同一个三角形的面积不变性、三角函数等知识点，解题的关键是能够正确作出辅助线，熟练运用各知识点．
【变式训练6-4】如图，是直角三角形，，以为直径作，与相交于点B，连接．
(1)尺规作图：在劣弧上取点C，使得弧弧，连接，交于点E；
(2)在（1）的条件下，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接，若E为的中点，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意画图即可；
（2）根据圆周角定理得出，即可得证；
（3）设，则，根据线段比例关系得出，根据勾股定理得出，证明，根据线段比例关系得出，，，即可得出的值．
【详解】（1）解：如图，
（2）证明：，
，
又，
；
（3）设，则，
，
，
即，
故，
在中，，
，
，
，
即，
故，，
；
是的直径，
，
在中，
．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练6-5】如图，以 ABC的边为直径作交于点D，且D为的中点，过点D作于点E，交的延长线于点P，过点D作于点F，已知，．
(1)求证：是的切线；
(2)当动点M（不与点A，B重合）在上运动时，的值是否发生变化？若不变，求出此值；若变化，请说明变化规律．
【答案】(1)见解析
(2)不会发生变化，
【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
（2）连接，设的半径为r，则，利用勾股定理求得r值，利用相似三角形的判定与性质得到，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，则为的中位线，
，
，
，
为的半径，
是的切线．
（2）(2)解：的值不会发生变化，．
理由：连接，设的半径为r，则
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值不会发生变化，．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定与性质，三角形的中位线，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
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专题2.3 三角形的内切圆六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：直角三角形的周长、面积与内切圆半径的关系
【经典例题1】如图， ABC的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如图， ABC的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】在 ABC中，，，则 ABC的内切圆的半径为 ．
【变式训练1-3】如图，在 ABC中，，是 ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为 ．
【变式训练1-4】如图，在中，， ABC的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ．
【变式训练1-5】如图， ABC中，，， ABC，，的内切圆半径分别记为，，，若，，则 ．
题型二：圆外切四边形模型
【经典例题2】如图，是四边形的内切圆．若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4
C． D．
【变式训练2-2】如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ．
【变式训练2-3】将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为
【变式训练2-4】如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．
题型三：三角形内心有关的应用
【经典例题3】如图，点O是 ABC的内心，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】如图，点I为 ABC的内心，连接AI并延长，交 ABC的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【变式训练3-2】如图，点为 ABC外接圆的圆心，点为 ABC的内心，连接，，若，则的度数为
【变式训练3-3】如图，是的直径， ABC内接于，点I为 ABC的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数：
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【变式训练3-4】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，
(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数；
(2)求证：DE=DB．
【变式训练3-5】如图，I是 ABC的内心，AI的延长线交 ABC的外接圆于点D．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接、，求证：点D是的外心．
题型四：一般三角形的周长、面积与内切圆半径的关系
【经典例题4】如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，求的长．
【变式训练4-1】如图， ABC中，，，与 ABC的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求 ABC的周长．
【变式训练4-2】在 ABC中，其内切圆与边切于D，若，则 ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】如图， ABC的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则 ABC的周长为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【变式训练4-4】如图，是 ABC的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则 ABC的面积为（ ）
A． B．24 C．26 D．52
【变式训练4-5】如图，在 ABC中，，于， 为 ABC的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：三角形内切圆与外接圆综合
【经典例题5】如图，在 ABC中，．
(1)在图①中作 ABC的外接圆；在图②中作 ABC的内切圆．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若O、I两点在同一 ABC中，当，时，______，______．（如需画草图，请使用图③）
【变式训练5-1】如图，E是 ABC的内心，的延长线与 ABC的外接圆相交于点D．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【变式训练5-2】如图，为 ABC的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的周长．
【变式训练5-3】如图，是圆O直径，弦，垂足为D，圆O周长为，
(1)，求内切圆的面积；
(2)，求证：．
【变式训练5-4】如图， ABC外接圆的圆心在边上，为 ABC的内心，交于，交于，连接交于，交于．
(1)求的度数；
(2)求证：．
题型六：圆综合问题
【经典例题6】如下图，已知 ABC中，，，点是 ABC内一点，若且平分．
(1)求证：点是的内心；
(2)如图：直接写出答案：
ABC外接圆的半径______； ABC的内心与外心的距离______．
【变式训练6-1】如图，在 ABC中，点D在边上，平分，经过点B、C的交于点E，连接交于点F，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的半径．
【变式训练6-2】如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交于点，以为直径作．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下求阴影部分的面积．
【变式训练6-3】在 ABC中，于点D，P是边上（与点A，C不重合）的动点，连接PB交于点M，过C，P，M三点作交的延长线于点N，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若与相切，求此时的半径r；
(3)在点P的运动过程中，设线段长为y，圆半径为r，求y关于r的函数解析式及其定义域
【变式训练6-4】如图，是直角三角形，，以为直径作，与相交于点B，连接．
(1)尺规作图：在劣弧上取点C，使得弧弧，连接，交于点E；
(2)在（1）的条件下，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接，若E为的中点，求的值．
【变式训练6-5】如图，以 ABC的边为直径作交于点D，且D为的中点，过点D作于点E，交的延长线于点P，过点D作于点F，已知，．
(1)求证：是的切线；
(2)当动点M（不与点A，B重合）在上运动时，的值是否发生变化？若不变，求出此值；若变化，请说明变化规律．
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