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专题2.1.2 直线与圆的位置关系（二）九大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：有关切线概念辨析
【经典例题1】下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角、垂径定理、切线等知识，熟练掌握圆的相关知识和定理是解题关键．根据“在等圆或同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的圆心角相等”、垂径定理、直径所对的圆周角是直角、切线的定义，逐一分析判断即可．
【详解】解：等弧所对的弦相等，说法①正确；
垂直于弦的直径平分弦，故说法②错误；
同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法③错误；
直径所对的圆周角是直角，说法④正确；
垂直于半径且垂足在圆上的直线是圆的切线，故说法⑤错误．
综上所述，正确的命题有①④，共计2个．
故选：C．
【变式训练1-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．相等的弦所对的圆周角相等
C．垂直于弦的直径平分弦 D．圆的切线垂直于半径
【答案】C
【分析】本题考查了确定圆的条件、切线的判定、圆周角定理及垂径定理，根据确定圆的条件对A进行判断；根据圆周角定理对B进行判断；根据垂径定理的推论对C进行判断；根据切线的判定定理对D进行判断．
【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，原说法错误，A选项不符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，原说法错误，B选项不符合题意；
C、垂直于弦的直径平分弦，原说法正确，C选项符合题意；
D、圆的切线垂直于过切点的半径，原说法错误，D选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-2】下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．垂直于半径的直线是圆的切线
C．两直线平行，同旁内角相等 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形
【答案】D
【分析】本题主要考查了真假命题的判断，根据切线的定义、平行线的性质、矩形的判定逐一判断即可得出答案．熟练掌握相关概念是解题关键．
【详解】解：A、若，则或，故A选项错误；
B、过半径的外端且垂直于圆的半径的直线是切线，故B选项错误；
C、两直线平行，同旁内角互补，故C选项错误；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D正确；
故选：D．
【变式训练1-3】下列说法中，正确的是（ ）
A．正多边形都是中心对称图形；
B．圆的直径是这个圆的对称轴；
C．90°的圆周角所对的弦是直径；
D．垂直于半径的直线是圆的切线.
【答案】C
【分析】本题考查了圆的相关概念以及中心对称图形，熟记相关结论即可．
【详解】解：正五多边形不是中心对称图形，故A错误；
圆的直径是线段，而圆的对称轴是直线，故B错误；
的圆周角所对的弦是直径，故C正确
经过圆的外端，垂直于半径的直线是圆的切线，故D错误
故选：C ．
【变式训练1-4】下列命题是真命题的是（ ）
A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆
C．圆的切线垂直于半径 D．半径相等的半圆是等弧
【答案】D
【分析】本题考查了判断真假命题，圆周角的定义，不共线三点确定圆，切线的定义，等弧的定义，根据圆周角的定义，不共线三点确定圆，切线的定义，等弧的定义逐项分析即可，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】、圆周角是指顶点在圆上，且两边和圆相交的角，原选项不正确，不符合题意；
、不共线的三点确定一个圆，原选项不正确，不符合题意；
、圆的切线垂直于过切点的半径，原选项不正确，不符合题意；
、半径相等的半圆是等弧，原选项正确，符合题意；
故选：．
【变式训练1-5】下列说法正确的是（ ）
A．圆内接四边形的对角互补； B．相等的圆周角所对的弧相等；
C．平分弦的直径垂直于这条弦； D．垂直于半径的直线是圆的切线．
【答案】A
【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理、切线的定义等知识点，理解相关定义和性质是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质，切线的定义，圆周角定理，垂径定理逐项进行判断即可．
【详解】解：A、圆内接四边形的对角互补，选项说法正确，符合题意；
B、同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，选项说法错误，不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，选项说法错误，不符合题意；
D、圆的切线垂直于过切点的半径，选项说法错误，不符合题意．
故选A．
题型二：判断或补全使直线为切线的条件
【经典例题2】如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （ ）
A． B．
C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径
【答案】D
【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可．
【详解】解：是的直径，且是的切线
又
直线与相切
故选项A、B可以判定，不符合题意；
C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意；
D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意；
故选：D．
【变式训练2-1】如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查切线的证明，涉及圆的切线的判定、平行线的判定与性质、圆的性质等知识，根据选项，逐项判定即可得到答案，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键．
【详解】解：A、，
，
当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意；
B、，
，则，
，
，
当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意；
C、当时，，
，
，
，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意；
D、当时，由得到，则是等腰三角形，无法确定，不能得到切于点，该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练2-2】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则
【答案】A
【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确；
若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；
若，没有理由可证明DE是⊙O的切线．
【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；
当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，所以D选项正确；
当CD=BD时，又AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．
若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式训练2-3】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可）
【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）
【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．
【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．
题型三：证明某直线是圆的切线
【经典例题3】如图，已知为的直径，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，由为的直径得到，则，得到，由得到，由切线的判定定理即可得到结论；
（2）证明，在中，，，得到，则，由勾股定理求出，得到，求出，在中，，，则，即可求出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，，
，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，，
，
．
【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和解直角三角形是解题的关键．
【变式训练3-1】如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据等边对等角得，根据垂直的定义得，即，则与相切；
（2）根据三角形的内角和定理得到，推出是等边三角形，得到，求得，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：与相切，
理由：连接，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
即：，
，
又是半径，
与相切；
（2）解：，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式训练3-2】如图，直线经过点，且，，交直线于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果保留根号和）．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质．
（1）利用等腰三角形的性质证得，利用切线的判定定理即可得到答案；
（2）在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据，计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵在中，，，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
．
【变式训练3-3】如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为，求出图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可证得，再根据切线的判定定理即可得证；
（2）先证得是等边三角形，于是可得，，进而可求得，于是有，在中根据勾股定理可得，根据同旁内角互补两直线平行可证得，则四边形为直角梯形，根据即可求出阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
是的直径，
，
，
又，
，
，即，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：，
又，
是等边三角形，
，，
由（1）可知：，
，
于点，
，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
四边形为直角梯形，
．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，垂线的定义，切线的判定，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，勾股定理，同旁内角互补两直线平行，求扇形面积等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键．
【变式训练3-4】已知是的直径，是的切线，是切点，与交于点，为上的一点，连接．
(1)若，连，求的度数；
(2)若为的中点，求证：直线是的切线．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（）由切线的性质可得，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求解；
（）连接，由圆周角定理可得，再根据直角三角形的性质可得，即得，又由得，进而可得，据此即可求证．
【详解】（1）解：∵是的直径，是的切线，是切点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴直线是的切线．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式训练3-5】综合探究：如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点作，交的延长线于点，平分．
(1)若为的直径，求证；与相切；
(2)若为的直径，，求的度数；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，平行线的性质与判定等等：
（1）连接，由得，根据平分，即得，而，即可得，故与相切；
（2）先判断出，得出，进而求出，即可求出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，即．
∴．
∵为的半径，
∴与相切．
（2）解：∵为的直径，
∴．
∵，
∴．
∴．
由（1）知，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
题型四：利用切线的性质定理求角度
【经典例题4】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
【答案】60
【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．
【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．
【变式训练4-1】如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 ．
【答案】
【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接，构造直角三角形，利用，从而得出的度数．
【详解】解：连接，
与相切于点，
，
，
；
，
，
故答案为：32
【变式训练4-2】如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ．
【答案】/26度
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，利用切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可利用圆周角定理求出的度数．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-3】如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为 ．
【答案】/50度
【分析】此题考查了切线的性质以及圆周角定理推论．熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，直径对的圆周角是直角，是解决问题的关键．
根据圆切线性质得到，得到，根据直径性质得到，得到．
【详解】解：∵与相切，
∴．
又∵，
∴．
∵是的直径，
∴．
∴．
故答案为：．
【变式训练4-4】如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为 °．
【答案】80
【分析】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为80．
【变式训练4-5】如图， ABC内接于是上一点，若，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．连接，利用平行线的性质得到，利用圆内接四边形的性质计算出，再根据三角形内角和计算出，接着利用圆周角定理得到，然后根据切线的性质得到，最后利用互余计算出的度数．
【详解】解：连接．
．
，
．
∵四边形为的内接四边形，
，
，
，
，
为切线，
，
．
题型五：利用切线的性质定理求线段长度
【经典例题5】如图，与相切于点A．交于点B，点C在上，且．若，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
如图：连接，根据切线的性质可得，然后利用证明，从而可得，再在中，利用勾股定理求出，最后根据，据此计算即可．
【详解】解：如图：连接，
∵与相切于点A，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
在中，，，
，
∵，
∴，
，
，解得：．
故选：B．
【变式训练5-1】如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 时，与半圆相切．
【答案】/1.5
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接，，先证明是等边三角形，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而可得，然后再证，即可判断．
【详解】解：当时，与半圆相切．
连接，，
∵为直径，
∴，
∵，
∴
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点E与点D关于对称，
∴，
∴，
∴，
∵是半的半径，
∴与半相切，
∴当时，与半圆相切．
故答案为：．
【变式训练5-2】如图，为的直径，，当 时，直线与相切．
【答案】1
【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出．
【详解】解：当时，直线与相切，
∴（cm），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键．
【变式训练5-3】如图，菱形的顶点、、在上，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为5，则的长为 ．
【答案】
【分析】题考查了菱形及圆的基本性质，等边三角形的判定与性质，切线的性质及30°角的直角三角形的性质，连接，根据菱形及圆的基本性质证得是等边三角形，再利用等边三角形及切线的性质求得，从而利用角的直角三角形的性质求出即可得到结果．
【详解】解：连接，
则，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，即是等边三角形，
∴，
又∵是切线，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练5-4】如图，在中，直径，切于，交于，若，则的长是 ；阴影部分的面积为 ．
【答案】 1
【分析】如图，连接，由题意可知，则，由为直径，可得，则，，，弓形的面积等于弓形的面积，由勾股定理得，，可求，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，，弓形的面积等于弓形的面积，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
故答案为：，1．
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练5-5】如图，四边形是的内接四边形，为直径，是切线，且的延长线于点E．
(1)求证：平分；
(2)若，求的半径和的长．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为5，的长为2
【分析】（1）连接，根据已知条件证明即可解决问题；
（2）取中点，连接，根据垂径定理可得，所以四边形是矩形，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
是的切线，
，
，
，
又，
，
，
平分；
（2）解：如图，取中点，连接，
，
又∵，
∴四边形是矩形，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
∴的长是．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握切线的性质．
题型六：切线性质定理中最值问题
【经典例题6】如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．连接．根据勾股定理知，因为是定值，所以当时，线段最短，即线段最短．
【详解】连接、．
是的切线，
；
根据勾股定理知，
当时，线段最短；
又，，
，
，
的最小值．
故选B．
【变式训练6-1】如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作于，过点作于，设与相切于点，连接，并延长交于，则，根据勾股定理求出，再根据等面积法求出，，进而得到，证明，得到，由于是定值，所以若要最小，则最大，当与重合时，，此时有最大值，即，即可求解．
【详解】解：过点作于，过点作于，
设与相切于点，连接，并延长交于，
则，
在矩形中，，，
，
，即，
，
同理可得：，
，
，，
，
又，
，
，
是定值，
若要最小，则最大，
当与重合时，，此时有最大值，即，
的最小值是，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．
【变式训练6-2】如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接、，过点作于，由三线合一可求出的长，再利用勾股定理可求出的长，根据切线的性质得到，利用勾股定理可求出的长，然后根据垂线段最短即可得解．
【详解】解：如图，连接、，过点作于，
，
是等边三角形，且，
，
，
是的切线，
，
，
，
当取得最小值时，取得最小值，
根据垂线段最短可知，当时，最小，取得最小值，此时，
的最小值为：，
故选：．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，三线合一，勾股定理，切线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握切线的性质及垂线段最短是解题的关键．
【变式训练6-3】如图，在等腰中，，点O是边中点，的半径为1，点P是边上一动点，则由点P到的切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查动态几何和勾股定理，转化线段的最小值，找到位置是解题的关键．先确定最小值时的位置为最短时，线段最小，再利用勾股定理解题．
【详解】解：如图，连接，
与相切于点Q，
，
当最短时，线段最小，
当时，线段最小，
点O是边的中点，
，
，
，
，
，即P到的切线长的最小值为．
故选：B．
【变式训练6-4】如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意识别出点是在以为直径的圆上运动，点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动，所以当与圆相切于点，且在外部时，最大，最小，再根据已知长度计算就可以．
【详解】解：，
，
点是在以为直径的圆上运动，
，且是绕点旋转，
点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动，
如图，当与圆相切于点，且在外部时，最大，最小，
，
，
，
，
，
此时，即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的性质、勾股定理等，解题的关键是识别出隐圆模型，作出合适的辅助线．
【变式训练6-5】如图，在 ABC中，，，，经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值为 ．
【答案】/
【分析】如图所示，设的外接圆圆心为O，过点O作于E，连接，利用垂径定理，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质证明，可以得到要使最小，则的直径要最小，过点C作于点，以为直径作圆与分别相交于点，连接，此时，线段的长度最小，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，设的外接圆圆心为O，过点O作于E，连接，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴要使最小，则的直径要最小，
过点C作于点，以为直径作圆与分别相交于点，连接，此时，线段的长度最小，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，正确确定最小值时的情形是解题的关键．
题型七：切线的性质与判定综合应用
【经典例题7】如图，为的直径，点F 在上，，点P 在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）由切线的性质得，再证证，，进而可得，即可证明结论；
（2）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，证明，得，可求出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
与半圆相切于点，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
∴；
（2）解：设，则，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，（舍去）
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等知识，灵活运用以上知识是解题的关键．
【变式训练7-1】如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明，由全等三角形的性质得出．由切线的性质得出，则，可得出结论；
（2）由勾股定理求出的长，设，则，得出方程，解方程可得x，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴为的切线；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
【变式训练7-2】如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C．
(1)求证：是的切线；
(2)若交直线于点D，交于另一点F．
①求证：；
②若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②5
【分析】（1）连接，．证明，推出即可解决问题．
（2）①连接，想办法证明即可解决问题．
②利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接，．
是的切线，
，
，
，，，
，
，
，
是的切线；
（2）①证明：连接．
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
．
②解：，，
，
，
，，，
，设，
在中，，
，
，
的半径为5．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练7-3】如图①，在矩形中，对角线相交于点O，点A关于的对称点为，连接交于点E，连接 ．
(1)求证：．
(2)如图②，以点O为圆心，长为半径作圆，与相切．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质可得，，根据四边形是矩形，得出，从而，从而得出；
（2）设与切于点F，连接，并延长交于点G，可证得，从而得出，进而得出，从而．
【详解】（1）证明：∵点A关于的对称点为，
∴，，
∵四边形是矩形
∴
∴
∴；
（2）证明：如图2，设与切于点F，连接，并延长交于点G，
∴
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
由（1）知：
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）知：
∴，即，
∴
【点睛】本题考查了圆的切线性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
【变式训练7-4】如图，过上的动点作的切线，在上取点（异于点），使得，弦，连接交于点，连接并延长，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)记，；的面积分别为，，，当时，求的值；
(3)设的半径为，当时，求四边形的面积．（用含的式子表示）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)．
【分析】（1）如图，连接、，，由切线的性质得，由，，得，，从而得，进而根据切线的性质定理即可证明结论成立；
（2）证明，得，进而得，又，得，求解一元二次方程得，或（舍去），从而得，于是即可得解；
（3）连接并延长交于，交于，连接，，，，证明，得，进而得，再证，得，，得，，得，从而，得，进而证明，，，在和中，利用勾股定理求解得，，，从而即可得解．
【详解】（1）解：如图，连接、，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∵和等高，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，或（舍去）
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
（3）解：连接并延长交于，交于，连接，，，，
∵，，
∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
由得，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，，
∵，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∵即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
解得，
∴，，
∴平行四边形的面积．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定及性质，切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，线段垂直平分线的判定，熟练掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【变式训练7-5】如图，已知是 ABC边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点．
(1)求证：是切线；
(2)求证：；
(3)若是中点，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，由切线的性质可知．证明得出，即，说明是圆O的切线；
（2）证明得出，整理得；
（3）设，则．由勾股定理求出x的值，得出．由，可设，则，，即可求出，从而得出，解出y的值，即可求出，即半径为．由直角三角形斜边中线的性质得出，结合等边对等角，得出，进而可证，得出，代入数据，即可求出，最后由求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
与圆相切于点，
，即，
，
，
，即，
是圆的切线；
（2）证明：，
．
，
．
又，
，
，
；
（3）解：，
，
设，则．
，
，
解得：舍去负值，
．
，
，
设，
则，
，
，
解得：，
，即半径为．
是中点，
，
．
，
，
，
，
，即，
解得：，
．
【点睛】本题考查切线的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解直角三角形等知识．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键．
题型八：切线的性质与判定中动点问题
【经典例题8】如图，在中，，，．
(1)求、的长；
(2)点从点出发，沿着方向以个单位长度秒的速度匀速运动，同时动点从点出发，沿着方向也以个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为秒以为圆心，长为半径的与、的另一个交点分别为、，连结，．
①当为何值时，点与点重合？
②若与线段只有一个公共点，求的取值范围．
【答案】(1)6，10
(2)①；②或
【分析】本题为圆的综合题，涉及到圆与直线的关系、三角形相似等知识点．
（1）在中，，，即可求解；
（2）①利用、，即可求解；
②分与圆相切、两种情况，求解即可．
【详解】（1）在中，，，
，
，
∴；
（2）①，，
是圆直径，
，
，
∴，
，即：，
，
当与重合时，，
，
解得；
②当与圆相切时，，
，
，，
，，
∴，
，即：，
；
当时，圆与只有一个交点，
当时，、重合，由（1）知：，
时，圆与线段只有一个交点，
故：当圆与线段只有一个交点，的取值范围为：或．
【变式训练8-1】如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
(1)求证：与相切．
(2)若正方形的边长为，求的半径．
(3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）方法一：连接，过点作于点，四边形是正方形，是正方形的对角线，得出，进而可得为的半径，又，即可得证；
方法二：连接，过点作于点，根据正方形的性质证明得出，同方法一即可得证；
方法三：过点作于点，连接．得出四边形为正方形，则，同方法一即可得证；
（2）根据与相切于点，得出，由（1）可知，设，在中，勾股定理得出，在中，勾股定理求得，进而根据建立方程，解方程，即可求解．
（3）方法一：连接，设，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，结合题意得出，即可得出；
方法二：连接，证明得出，进而可得，同理可得
方法三：连接，证明得出，设，则，进而可得，进而同方法一，即可求解．
【详解】（1）方法一：证明：连接，过点作于点，
与相切于点，
．
四边形是正方形，是正方形的对角线，
，
，
为的半径，
为的半径，
，
与相切．
方法二：
证明：连接，过点作于点，
与相切于点，，
，
四边形是正方形，
，
又，
，
，
为的半径，
为的半径，
，
与相切．
方法三：
证明：过点作于点，连接．
与相切，为半径，
，
，
，
，
又四边形为正方形，
，
四边形为矩形，
又为正方形的对角线，
，
，
矩形为正方形，
．
又为的半径，
为的半径，
又，
与相切．
（2）解：为正方形的对角线，
，
与相切于点，
，
由（1）可知，设，
在中，
，
，
，，
又正方形的边长为．
在中，
，
，
，
．
∴的半径为．
（3）方法一：
解：连接，设，
，
，
，
．
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
又，
．
．
方法二：
解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
方法三：
解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
．
又，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
【变式训练8-2】如图1，已知的直径，点E是射线上的一个动点，以为边构造，满足，．
(1)如图2，当______时，点C恰好在上．
(2)如图3，当动点E与点O重合时，连接，求证：是的切线．
(3)在点E的运动过程中，是否存在的边所在的直线与相切？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)或
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定等等：
（1）连接，证明是等边三角形，得到，则；
（2）设与交于F，连接，先得到，再证明是等边三角形，得到，，证明，推出，得到，即可证明是的切线；
（3）分当与圆相切时，当与圆相切时，两种情况画出对应的图形求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴当时，点C恰好在上，
故答案为：1；
（2）证明；如图所示，设与交于F，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴是的切线；
（3）解：如图所示，当与圆相切时，过点D作于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由平行线间间距相等可得，
∴，
∴；
如图所示，当与圆相切时，设切点为F，连接，
∵∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由切线的性质可得，
∴，
∴；
综上所述，存在的边所在的直线与相切，此时的长为或．
【变式训练8-3】如图，在中，∠B=90°，，，动点从点出发，以的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以为直径作，连接，设运动时间为．
(1)试用含的代数式表示出及的长度，并直接写出的取值范围；
(2)当为何值时，与相切？
(3)若线段与有两个交点．求的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）由勾股定理求出，由题意求出点和点的最长运动时间，则可得出答案；
（2）由切线的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出，得出，则可得出答案；
（3）由（2）得，当时，直线与有两个交点，证明，由相似三角形的性质得出，求出的值可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，，，
在中，，
，
，动点的速度为，
动点的最长运动时间为，
，动点的速度为，
动点的最长运动时间为，
的取值范围为；
（2）解：若与相切，则，即，
，
，
，
，即，解得，
当时，与相切；
（3）解：由（2）得，当时，直线与有两个交点，
当点恰好在上时，线段与的两个交点恰好为，，如图所示：
为的直径，
，
，
，
，即，解得，
若线段与有两个交点，则的取值范围为．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练8-4】如图，在矩形ABCD中，AB＝4.5，BC＝6，点P是线段AD上的一个动点，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，连接CP．
(1)当⊙P经过PC的中点时，PC的长为 _______ ；
(2)当CP平分∠ACD时，判断AC与⊙P的位置关系，说明理由，并求出PD的长．
【答案】(1)；
(2)AC相切⊙P，见解析；PD的长为
【分析】（1）先判断出PC＝2PD，再利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；
（2）先判断出PH＝PD，再求出AC，进而求出CH，得出AH，最后用勾股定理建立方程求解，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4.5，∠ADC＝90°，
∵⊙P经过PC的中点，
∴PC＝2PD，
在Rt△CDP中，根据勾股定理得，PC2﹣PD2＝CD2，
∴（2PD）2﹣PD2＝CD2，
∴3PD2＝4.52，
∴，
∴PC＝2PD＝，
故答案为：；
（2）AC是⊙P的切线，理由如下：
如图，在Rt△ADC中，根据勾股定理得，，
过点P作PH⊥AC于H，
∵CP平分∠ACD，
∴PH＝PD，
∴AC切⊙P于H．
∵PH=PD，PC=PC，
∴Rt △PHC≌Rt△PDC（HL），
∴CH＝CD＝4.5，
∴AH＝AC﹣CH＝3，
设PD＝x，则PH＝x，AP＝AD﹣PD＝6﹣x，
在Rt△APH中，根据勾股定理得，AP2﹣PH2＝AH2，
∴（6﹣x）2﹣x2＝32，
∴x＝，
即PD的长为．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
题型九：过圆外一点作圆的切线（尺规作图）
【经典例题9】如图，经过格点的圆与网格线交于点．
(1)在图1中，先画的中点，再将弦平移，得到弦；
(2)在图2中，是格点，先画圆的切线和为切点，再画弦．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）连接，作线段垂直平分线，连接，作交圆于点即可得到答案；
（2）取圆心，连接，作线段的垂直平分线交圆于，连接，再连接交于，连接并延长交圆于，连接即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
点、弦即为所求；
（2）解：如图所示：
切线和、弦即为所求．
【点睛】本题考查复杂作图，涉及垂直平分线的尺规作图、相等角的尺规作图、圆的性质、平行线的判定与性质等知识，熟记垂直平分线的尺规作图、相等角的尺规作图及圆的基本性质是解决问题的关键．
【变式训练9-1】（1）如图1，点在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的切线；
（2）如图2，点在圆O外，用圆规直尺作出过点的圆的一条切线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，基本作图；
（1）先确定直径，进而根据网格的特点作，即可求解；
（2）连接，以为直径作圆，交于点，连接，则即为所求的切线．
【详解】（1）如图1所示， 即为圆的切线，
（2）如图所示，即为所求的切线
【变式训练9-2】如图，已知是的直径，C是半圆上一点（不与点A，B重合）．
(1)用尺规过点C作的切线，交的延长线于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求的直径．
【答案】(1)作图见解析
(2)12
【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题不，属于中考常考题型．
（1）过点C作交的延长线于点D即可；
（2）证明是等边三角形，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：是切线，的半径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
故的直径为12．
【变式训练9-3】如图，在的方格中，点A，B，C为格点．
(1)利用无刻度的直尺在图1中画出 ABC的中线．
(2)在图2中标出 ABC的外心Q并画出 ABC外接圆的切线．
【答案】(1)图见详解；
(2)图见详解；
【分析】本题考查作垂直平分线，作垂线：
（1）根据格点作垂直平分线找到中点，连接即可得到答案；
（2）根据边的垂直平分线结合（1）得到圆心，根据切线垂直即可得到答案；
【详解】（1）解：如图所示，根据正方形对角线互相垂直平分得到与交点，连接即为所求，
；
（2）解：如图所示，点是，边垂直平分线的交点，连接根据格点垂直即为所求，
．
【变式训练9-4】(1)尺规作图：已知及圆外一点P，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A、点B；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接并延长，交于点D，连接，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质，熟练掌握圆周角定理、切线的判定与性质是解答本题的关键．
（1）连接，作线段的垂直平分线，交于点M，再以点M为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，连接即可．
（2）连接，由切线的性质可得即，由圆周角定理得到，根据四边形内角和为即可得的答案．
【详解】（1）解：如图，连接，作线段的垂直平分线，交于点M，再以点M为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，连接
由圆周角定理可得，，
∵为的半径，
∴为的切线．
则即为所求；
（2）解：连接，
∵为的两条切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练9-5】如图，在边长为1的正方形网格纸上，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图1中，①作的中点M：
②作，使得；
③取格点C，使为的一条切线．（做出符合题意的一点即可）
(2)在图2中，作直径，E为外任一点，过E作的垂线垂足为F．
【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析；
(2)见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，涉及垂径定理、全等三角形的判定与性质、网格的特点，解本题的关键在正确画出符合题意的图形．
（1）①连接，过点、格点作直线交于点，点即为所求点；
②在网格上找到点，连接，并延长交于点，则，即为所求，设点下方的格点为，点上方的格点为，连接、、，与交于点，与交于点，再根据“边角边”，得出，进而得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，，再根据对顶角相等，得出，进而得出，再根据垂线的定义，得出，再根据垂径定理，即可得出；
③根据题意作出点C，由网格的特点得，进而求解即可；
（2）连接交于点F即为所求．
【详解】（1）①如图，点即为所求点；
②如图，在网格上找到点，连接，并延长交于点，则，即为所求．
设点下方的格点为G，点上方的格点为，连接、、，与交于点，与交于点，
∵，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
③如图所示，点C即为所求；
由网格的特点可得，
又∵是的半径
∴为的一条切线；
（2）如图所示，连接交于点F即为所求；
由网格的特点可得，．
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专题2.1.2 直线与圆的位置关系（二）九大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：有关切线概念辨析
【经典例题1】下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式训练1-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．相等的弦所对的圆周角相等
C．垂直于弦的直径平分弦 D．圆的切线垂直于半径
【变式训练1-2】下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．垂直于半径的直线是圆的切线
C．两直线平行，同旁内角相等 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形
【变式训练1-3】下列说法中，正确的是（ ）
A．正多边形都是中心对称图形；
B．圆的直径是这个圆的对称轴；
C．90°的圆周角所对的弦是直径；
D．垂直于半径的直线是圆的切线.
【变式训练1-4】下列命题是真命题的是（ ）
A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆
C．圆的切线垂直于半径 D．半径相等的半圆是等弧
【变式训练1-5】下列说法正确的是（ ）
A．圆内接四边形的对角互补； B．相等的圆周角所对的弧相等；
C．平分弦的直径垂直于这条弦； D．垂直于半径的直线是圆的切线．
题型二：判断或补全使直线为切线的条件
【经典例题2】如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （ ）
A． B．
C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径
【变式训练2-1】如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则
【变式训练2-3】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可）
题型三：证明某直线是圆的切线
【经典例题3】如图，已知为的直径，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的长．
【变式训练3-1】如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【变式训练3-2】如图，直线经过点，且，，交直线于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果保留根号和）．
【变式训练3-3】如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为，求出图中阴影部分的面积．
【变式训练3-4】已知是的直径，是的切线，是切点，与交于点，为上的一点，连接．
(1)若，连，求的度数；
(2)若为的中点，求证：直线是的切线．
【变式训练3-5】综合探究：如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点作，交的延长线于点，平分．
(1)若为的直径，求证；与相切；
(2)若为的直径，，求的度数；
题型四：利用切线的性质定理求角度
【经典例题4】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
【变式训练4-1】如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 ．
【变式训练4-2】如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ．
【变式训练4-3】如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为 ．
【变式训练4-4】如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为 °．
【变式训练4-5】如图， ABC内接于是上一点，若，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的度数．
题型五：利用切线的性质定理求线段长度
【经典例题5】如图，与相切于点A．交于点B，点C在上，且．若，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．4
【变式训练5-1】如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 时，与半圆相切．
【变式训练5-2】如图，为的直径，，当 时，直线与相切．
【变式训练5-3】如图，菱形的顶点、、在上，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为5，则的长为 ．
【变式训练5-4】如图，在中，直径，切于，交于，若，则的长是 ；阴影部分的面积为 ．
【变式训练5-5】如图，四边形是的内接四边形，为直径，是切线，且的延长线于点E．
(1)求证：平分；
(2)若，求的半径和的长．
题型六：切线性质定理中最值问题
【经典例题6】如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式训练6-1】如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】如图，在等腰中，，点O是边中点，的半径为1，点P是边上一动点，则由点P到的切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最小值为 ．
【变式训练6-5】如图，在 ABC中，，，，经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值为 ．
题型七：切线的性质与判定综合应用
【经典例题7】如图，为的直径，点F 在上，，点P 在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式训练7-1】如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求线段的长．
【变式训练7-2】如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C．
(1)求证：是的切线；
(2)若交直线于点D，交于另一点F．
①求证：；
②若，求的半径．
【变式训练7-3】如图①，在矩形中，对角线相交于点O，点A关于的对称点为，连接交于点E，连接 ．
(1)求证：．
(2)如图②，以点O为圆心，长为半径作圆，与相切．求证：．
【变式训练7-4】如图，过上的动点作的切线，在上取点（异于点），使得，弦，连接交于点，连接并延长，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)记，；的面积分别为，，，当时，求的值；
(3)设的半径为，当时，求四边形的面积．（用含的式子表示）
【变式训练7-5】如图，已知是 ABC边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点．
(1)求证：是切线；
(2)求证：；
(3)若是中点，求的长．
题型八：切线的性质与判定中动点问题
【经典例题8】如图，在中，，，．
(1)求、的长；
(2)点从点出发，沿着方向以个单位长度秒的速度匀速运动，同时动点从点出发，沿着方向也以个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为秒以为圆心，长为半径的与、的另一个交点分别为、，连结，．
①当为何值时，点与点重合？
②若与线段只有一个公共点，求的取值范围．
【变式训练8-1】如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
(1)求证：与相切．
(2)若正方形的边长为，求的半径．
(3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长．
【变式训练8-2】如图1，已知的直径，点E是射线上的一个动点，以为边构造，满足，．
(1)如图2，当______时，点C恰好在上．
(2)如图3，当动点E与点O重合时，连接，求证：是的切线．
(3)在点E的运动过程中，是否存在的边所在的直线与相切？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由．
【变式训练8-3】如图，在中，∠B=90°，，，动点从点出发，以的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以为直径作，连接，设运动时间为．
(1)试用含的代数式表示出及的长度，并直接写出的取值范围；
(2)当为何值时，与相切？
(3)若线段与有两个交点．求的取值范围．
【变式训练8-4】如图，在矩形ABCD中，AB＝4.5，BC＝6，点P是线段AD上的一个动点，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，连接CP．
(1)当⊙P经过PC的中点时，PC的长为 _______ ；
(2)当CP平分∠ACD时，判断AC与⊙P的位置关系，说明理由，并求出PD的长．
题型九：过圆外一点作圆的切线（尺规作图）
【经典例题9】如图，经过格点的圆与网格线交于点．
(1)在图1中，先画的中点，再将弦平移，得到弦；
(2)在图2中，是格点，先画圆的切线和为切点，再画弦．
【变式训练9-1】（1）如图1，点在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的切线；
（2）如图2，点在圆O外，用圆规直尺作出过点的圆的一条切线．
【变式训练9-2】如图，已知是的直径，C是半圆上一点（不与点A，B重合）．
(1)用尺规过点C作的切线，交的延长线于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求的直径．
【变式训练9-3】如图，在的方格中，点A，B，C为格点．
(1)利用无刻度的直尺在图1中画出 ABC的中线．
(2)在图2中标出 ABC的外心Q并画出 ABC外接圆的切线．
【变式训练9-4】(1)尺规作图：已知及圆外一点P，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A、点B；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接并延长，交于点D，连接，求的度数．
【变式训练9-5】如图，在边长为1的正方形网格纸上，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图1中，①作的中点M：
②作，使得；
③取格点C，使为的一条切线．（做出符合题意的一点即可）
(2)在图2中，作直径，E为外任一点，过E作的垂线垂足为F．
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