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专题2.2 切线长定理六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：利用切线长定理求圆半径
【经典例题1】如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点D、E、F，若，，则圆的半径为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
【答案】D
【分析】本题考查切线长定理、正方形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．根据切线长定理得：，，，先证明四边形是正方形，再利用勾股定理列方程可得的长，即可求解．
【详解】解：如图，设在内切圆圆心为点，连接，
的内切圆分别与、、相切于点、、，
，，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
在中，，
，
解得：（负值舍去，
，
圆的半径为3，
故选：D．
【变式训练1-1】如图，分别与相切于A，B两点，，则的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数，连接，证明，得到，利用三角函数即可求解，由三角形全等得到是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，分别与相切于两点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练1-2】如图，四边形是的外切四边形，且，，若四边形的面积等于，则的半径等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，设点为四边形与的切点，连接，由切线长定理可得，，，，由，可得，进而可得，设，最后根据面积可得，据此即可求解，掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键．
【详解】解：设点为四边形与的切点，连接，则，，，，
由切线长定理得，，，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即，
设，
∵四边形的面积等于，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练1-3】如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质和直角三角形的性质，根据切线的性质求得，平分，再由直角三角形的性质得，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】解：∵是的两条切线，
∴，平分，
∴，，
∴，即的半径等于，
故答案为：．
【变式训练1-4】如图，在中，分别与相切于点，交于点．若，则的半径为 ．
【答案】
【分析】连接，过点O作于点F．由切线长定理可知，证明四边形为矩形得，由垂径定理得，设，则，在和中，由勾股定理可求出，在中，，进而可求出的半径．
【详解】解：连接，过点O作于点F．
与相切于点，
，
，
∴四边形为矩形，
，
∵
．
，
设，则，
在和中，
，
，
．
在中，，
∴，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
题型二：利用切线长定理求周长
【经典例题2】如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则 ADE的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，切线的性质、切线长定理等知识，解决本题的关键是掌握切线的性质和切线长定理．
设与相切于点M，切设 ABC的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r，证得四边形是正方形，则，根据是的切线，可得，，求出再求出内切圆的半径，进而可得 ADE的周长．
【详解】解：如图，设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，，，
∴
由切线长定理可知，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
故选：B．
【变式训练2-1】如图，为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交于点C，D．F为⊙O上的点，连若，则的周长和的度数分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了切线长定理、圆周角定理、圆的切线性质等知识点，连接，可得，，；据此即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
由切线的性质以及切线长定理得：，，，
∵，
∴
∴；
的周长
故选：D
【变式训练2-2】如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若 ABC的周长为16，则切线长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．利用切线长定理，可以得到：，再根据的周长为16，即可求解．
【详解】解：∵是的切线，．
∴，
同理，，
三角形的周长．
，
故选：C．
【变式训练2-3】如图，，分别是的切线，，为切点，切于，交，于点，，若，则 ABC的周长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．
利用切线长定理，可以得到：，据此即可求解．
【详解】∵，分别是的切线，
∴
同理，．
∴三角形的周长．
故答案为：．
【变式训练2-4】如图，分别切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ．
【答案】5
【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理可得，，结合的周长，即可求解．
【详解】解：∵分别切⊙于两点，
∴
又∵过点作⊙的切线分别交于两点，
∴
∵的周长为10，
∴
∴，
故答案为：．
【变式训练2-5】如图，为外一点，分别切于点，切于点，分别交于点，若，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，关键是把的周长转化为已知切线相关的线段计算．
根据切线长定理得到，，，再根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵分别切于点，切于点，，
∴，，，
∴的周长，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式训练2-6】如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则四边形周长为 ．
【答案】14
【分析】根据正方形的性质，得到，，推出均为圆O的切线，根据切线长定理，推出，推出正方形的边长为4，设设，则，，勾股定理求出的值，再根据周长公式进行求解即可．
【详解】解：∵以正方形的边为直径作半圆O，
∴，，，
∴均为圆O的切线，
∵过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，
∴，
∵的周长为12，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，，
∴四边形周长，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了正方形的性质、圆的切线判定、切线长定理、勾股定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键．
题型三：利用切线长定理求角度
【经典例题3】如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查切线的性质、切线长定理和全等三角形的性质，根据切线性质，，可知，再根据为切线可知．
【详解】解：由题意得，连接、、，
由切线性质得，，，，，，
∴
又，
，，
，，
，
，
，
．
故选：A．
【变式训练3-1】如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为 ．
【答案】/50度
【分析】此题考查了切线的性质以及圆周角定理推论．熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，直径对的圆周角是直角，是解决问题的关键．
根据圆切线性质得到，得到，根据直径性质得到，得到．
【详解】解：∵与相切，
∴．
又∵，
∴．
∵是的直径，
∴．
∴．
故答案为：．
【变式训练3-2】如图，已知、分别切圆于点、，满足，且，．则 ．
【答案】/度
【分析】根据已知等式得出，证明垂直平分，进而设，则，根据三角形内角和定理得出，进而得出在以为圆心为半径的圆上，根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵
∴即
∴
∴
又∵、分别切圆于点、，则
∴
又∵
∴垂直平分
∴
∴
设，则
∵．
∴，
在中，
∴
∴
∵
∴在以为圆心为半径的圆上，
∴
故答案为：．
【变式训练3-3】如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，根据切线长定理得到平分，根据切线的性质得到，则利用角平分线的定义得到，然后利用互余计算出的度数．
【详解】解：，是的切线，，为切点，
平分，，
，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练3-4】如图，，是的切线，切点为，点在上，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，由圆的内接四边形的性质可得，进而可得，再根据切线长定理可得，即得，最后根据三角形内角和定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，是的切线，切点为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-5】已知点是外一点，分别与相切于点．
（1）如图①，若，则 ；
（2）如图②，连接，若，则 ；
（3）如图③，点是优弧上一点，连接，若，则 °．
【答案】 1 56 60
【分析】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，掌握切线长定理是解题关键．
（1）根据切线长定理求解即可；
（2）由切线可知，，，进而得到，再根据三角形内角和定理求解即可；
（3）连接，由切线可知，，得出为等边三角形，从而得到，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：（1）分别与相切于点，，
，
故答案为：1；
（2）分别与相切，
，，
，
，
，
故答案为：56；
（3）如图，连接，
分别与相切，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
．
故答案为60
题型四：求圆的切线长
【经典例题4】如图，、分别切⊙O于A、B，，⊙O半径为2，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线长定理和勾股定理，解题关键是熟记切线长定理，得出，再利用勾股定理求解；
连接，，根据切线长定理得出，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：连接，，
∵、分别切⊙O于A、B，，
∴，，
∵⊙O半径为2，
∴，
，
故答案为：．
【变式训练4-1】如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，再根据三角形的周长进行计算即可．
【详解】解：切相切于点，
，
切相切于点，
，
切相切于点，
，
的周长为18，
，
，
故答案为：．
【变式训练4-2】如图，分別切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ．
【答案】
【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理可得，，结合的周长，即可求解．
【详解】解：∵分別切⊙于两点，
∴
又∵过点作⊙的切线分别交于两点，
∴
∵的周长为10，
∴
∴，
故答案为：．
【变式训练4-3】如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】如图，作于H，证明，，四边形为矩形，可得，证明，再进一步可得答案．
【详解】解：如图，作于H，
∵直径于H，，为的切线，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，分别切于C，B，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，关键是通过辅助线构造直角三角形，求出的长．
【变式训练4-4】如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长．
【答案】10
【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果．
【详解】解：∵是的切线，
∴；
∵过点C的切线分别交于点D、E，
∴；
∵的周长20，
∴，
∴，
即，
∴．
题型五：利用切线长定理求证
【经典例题5】如图，点A 在外， 分别与相切于点B，D， 的延长线相交于点C，交于点 E，连接并延长，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的半径及的长．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为6，
【分析】（1）切线的性质结合切线长定理，得到，，根据，得到，圆周角定理得到，即可得证；
（2）切线长定理，得到，求出的长，勾股定理求出的长，根据，求出的长，连接，圆周角定理，得到，利用，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 分别与相切于点B，D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵ 分别与相切于点B，D，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即的半径为6，
连接，
∵连接并延长，交于点F，
∴为直径，
∴，，
由（1）知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
【变式训练5-1】如图，已知是的直径，过点A作射线，点P为l上一个动点，点C为上异于点A的一点，且，过点B作的垂线交的延长线于点D，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明，求得，据此即可证明为的切线；
（2）过点作，设，求得，，利用勾股定理求得，再求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，过点A作射线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴为的切线；
（2）解：过点作，垂足为点，
设，
∴，
∵，
∴为的切线，
∵、、为的切线，
∴，，
∴，
∵射线，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了切线长定理，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
【变式训练5-2】在 ABC中，，经过点的与斜边相切于点．
(1)如图①，当点在上时，试说明；
(2)如图②，，当点O在 ABC外部时，求长的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理；
（1）利用切线长定理得到，进而得到，再由，等量代换即可得证；
（2）当点在上时，求出长，再根据当点与点重合时，最长，即可确定出的范围．
【详解】（1）当点在上时，为的半径，
，且点在上，
与相切．
与边相切于点，
，
，
，
．
即；
（2）在中，，，，
如图，连接、，当点在上时，为的半径，
，且点在上，
与相切，
与边相切于点，
，
∴，
设，则，，
在中，，
根据勾股定理得：，即，
解得：，
在中，，，
．
，，
垂直平分，
根据面积法得：，则符合条件的长大于．
由题意可知，当点与点重合时，最长，
综上，当点在外时，．
【变式训练5-3】如图，分别与相切于两点，是的直径．
(1)求证：；
(2)连接交于点，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由切线的性质和切线长定理可得，，，进而由可得平分，得到，，再由即可求证；
（）由（）可得，即得，，，可得，由可得，得到，，进而即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵分别与相切于两点，
∴，，，
∵，
∴平分，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，角平分线的判定和性质，余角性质，三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式训练5-4】如图，已知是的直径，于B，E是上的一点，交于D，，连接交于
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查的是切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
（1）连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到是的切线；
（2）过点D作于H，根据勾股定理求出，根据矩形的性质、勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求出．
【详解】（1）证明：连接，
∵
∴
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：过点D作于H，
∵，
，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
，
∵是的切线
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
即，
∵，
∴，
，即，
解得：
【变式训练5-5】如国，在 ABC中，，点是边的中点，点在边上，经过点，且与边相切于点，与相切于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的直径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，得到，根据切线的性质得到，得到，根据平行线的判定定理好可得证；
（2）连接，设，，根据勾股定理得到，求得，，设的半径为，则，，证明，根据相似三角形的性质即可得结论．
【详解】（1）证明：∵，点是边的中点，
∴，
∴，
∵，是的切线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，，与相切于点，
∴，，
设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设的半径为，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为．
【点睛】本题考查圆的切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
题型六：切线长定综合问题
【经典例题6】综合探究
已知的两边分别与相切于点，，的半径为．
(1)如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数；
(2)如图2，点在上运动，当线段经过圆心时，的大小满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，若线段与的另一个交点为点，的半径．
①求图中阴影部分的周长；
②连接，为边上的一点，且，延长交于点，求的长．
【答案】(1)
(2)当时，四边形是菱形，见解析
(3)①；②
【分析】（1）连接，，利用圆的切线的性质定理和四边形的内角和定理解答即可；
（2）连接，，如图，利用（1）的方法得到，利用全等三角形的判定与性质得到，利用两组对角相等的四边形为平行四边形的性质得到四边形为平行四边形，再利用菱形的判定定理解答即可；
（3）①利用（2）的结论，圆周角定理和扇形的弧长公式和直角三角形的性质解答即可；
②过点作，交的延长线于点，利用相似三角形的判定与性质求得，，进而得到，再利用菱形的性质和（2）的结论解答即可．
【详解】（1）解：连接，，如图，
的两边分别与相切于点，，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：当线段经过圆心时，时，四边形为菱形，说明理由：
连接，，如图，
由（1）知：，
，
，
，
．
的两边分别与相切于点，，
，
∵
∴
∴
在和中，
，
，
，
∴
∴
∴，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形；
（3）解：①的半径，
，
由（2）知：四边形为菱形，
，
，
的长．
，，
，
，
，
图中阴影部分的周长为．
②过点作，交的延长线于点，如图，
，，
，．
∵，
，，
，，
，
，
，
，
．
．
四边形为菱形，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，四边形的内角和定理，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，圆的有关计算，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
【变式训练6-1】已知：如图，中，，是上一点，以点为圆心，为半径的圆切于点．
（1）求证：；
（2）若，，求⊙O的半径；
（3）若点关于的对称点为，试探究当点满足什么条件时，四边形为菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当点为中点时，四边形为菱形
【分析】（1）首先证得是圆的切线，根据切线长定理，即可判断；
（2）勾股定理得的长，然后证明，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（3）易证四边形是平行四边形，再加上条件：点为中点，则四边形为菱形．
【详解】解：（1）证明：，且为的半径，
切于点，
切于点，
；
（2）连接，
由（1）得：．
在中，，
由勾股定理得：．
切于点，
于点．
．
，
，
，
即，
，
的半径为．
（3）结论：当点为中点时，四边形为菱形．
经过圆心，点关于的对称点为，
过点作，，交于点，交于点
，．
．
，
，
，
四边形是平行四边形．
由（1）知，
四边形为菱形．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，相似三角形的判定与性质，切线的性质，作出合适的辅助线是解题的关键．
【变式训练6-2】已知的两边分别与相切于点A，B，的半径为r．
(1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上，，求的度数；
(2)如图2，点C在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；
(3)若交于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．
【答案】(1)
(2)当时，四边形是菱形
(3)阴影部分的周长
【分析】（1）连接，由切线的性质可求，由四边形内角和可求解；
（2）当时，四边形是菱形，连接，由切线长定理可得，由“”可证，可得，可证，可得四边形是菱形；
（3）分别求出的长，由弧长公式可求，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，连接，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，当时，四边形是菱形，
连接，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∴，
∵点C运动到距离最大，
∴经过圆心，
∵为的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）解：∵的半径为r，，
∴，
∴，，
∵，
∴的长度，
∴阴影部分的周长．
【点睛】本题考查圆的综合应用，掌握圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，切线长定理，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质是解决本题的关键．
【变式训练6-3】【综合运用】在正方形中， E是边上一动点 （不与点 C， D 重合）． 边 关于对称的线段为， 连接．
(1)如图①， 若 求证： 为等边三角形；
(2)如图②， 以为直径作半圆O， 当与半圆O相切时， 求 的度数；（参考数据： ）
(3)如图③， 延长， 交射线于点 G， 连接， 交于点H． 若 当 为等腰三角形，求其底边长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查正方形的性质，由三角函数求角度，切线的性质；
（1）由可得，即可得到，再结合即可得到为等边三角形；
（2）先说明、与半圆O相切，由切线长定理可得，设，，在中利用勾股定理求出的关系即可；
（3）设，则，，，即可得到，，，再根据为等腰三角形，分类讨论求出的度数，根据度数求其底边长即可．
【详解】（1）证明：∵正方形中，
∴，，
∵边 关于对称的线段为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）解：如图，与半圆O切点为，
∵，
∴、与半圆O相切，
∵与半圆O相切，
∴，，
设，，
∴，，
∴，
在中，
∴，
整理得
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：设，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，
∴当时，，即，解得，此时、、、是同一个点，不合题意；
当时，，即，解得，此时、、、是同一个点，不合题意；
当时，，即，解得，
此时，
在上取一点，使，则
∴,
∴，
设，
∴，
∴
∴，
∵
∴，
∴，
即底边长为：．
【变式训练6-4】如图1，以正方形的顶点A为圆心，作圆弧，P是上一动点，过点P作的切线交于点E，交于点F，连接．
(1)求的大小；
(2)如图2，连接，
①求证为定值；
②当，时，求的面积．
(3)如果的周长为20，设，的面积为y，求y关于x的函数关系式．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②15
(3)
【分析】（1）连接，根据切线长定理可得，即可求解；
（2）①设正方形的边长为a，根据切线长定理得出，则的周长，即可解答；
②根据，则，根据勾股定理求出a的值，最后根据三角形的面积公式即可求解；
（3）根据的周长为20，得出，设，则，根据勾股定理求出，进而得出，根据三角形的面积公式得出．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴均为圆弧的切线．
∵为圆弧的切线，
∴，
∴，
∴；
（2）设正方形的边长为a．
①证明：∵均为圆弧的切线，
∴，
∴的周长，
∵，
∴，
∴为定值；
②解：∵，
∴，
∴．
在中，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵的周长为20，
∴，
∴．
设，则
∵，
∴，
化简整理得，，
∴，
∴，
∴y关于x的函数关系式为．
【点睛】此题主要考查了圆的切线长定理，勾股定理，二次函数的性质，掌握从圆外一点可以画两条圆的切线，这条切线长相等，圆心到这点的连线平分两条切线的夹角，以及求二次函数最值的方法和步骤是解题的关键．
【变式训练6-5】如图，在半径为1的中，直径与直径的夹角，点P是劣弧上一点，连接分别交、于点M、N．
(1)若，求证：．
(2)猜想线段与之和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)过点C作的切线，过点P作的切线，当直线和的夹角为时，求弧的长．
(4)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)线段与之和为定值，即
(3)或
(4)见解析
【分析】（1）先根据垂径定理和线段垂直平分线的性质得到，再根据圆周角定理求得，进而得到，根据等边三角形的判定与性质证明是等边三角形即可证得结论；
（2）连接，先证明是等边三角形得到，，再证明得到，进而可得结论；
（3）设的切线和切线相交于点Q，分和两种情况，利用切线长定理和弧长公式分别求解即可；
（4）连接、，先证明和都是等边三角形，得到，然后利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质证明，得到，两式相加即可求解．
【详解】（1）证明：当时，如图，则垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：线段与之和为定值．
连接，如图，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
则，又，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：设的切线和切线相交于点Q，
当直线和的夹角为时，如图，连接，
则，
∴，
∴，
∴弧的长为；
同理当时，则，
∴，
∴，
∴弧的长为；
综上，满足条件的弧的长为或；
（4）解：连接、，如图，
∵，，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
同理，∵，，
∴，
∴，
由（2）知，
∴,
∴得，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、切线长定理、弧长公式、相似三角形的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
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专题2.2 切线长定理六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：利用切线长定理求圆半径
【经典例题1】如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点D、E、F，若，，则圆的半径为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
【变式训练1-1】如图，分别与相切于A，B两点，，则的半径为 ．
【变式训练1-2】如图，四边形是的外切四边形，且，，若四边形的面积等于，则的半径等于 ．
【变式训练1-3】如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ．
【变式训练1-4】如图，在中，分别与相切于点，交于点．若，则的半径为 ．
题型二：利用切线长定理求周长
【经典例题2】如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则 ADE的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式训练2-1】如图，为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交于点C，D．F为⊙O上的点，连若，则的周长和的度数分别为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若 ABC的周长为16，则切线长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．无法确定
【变式训练2-3】如图，，分别是的切线，，为切点，切于，交，于点，，若，则 ABC的周长是 ．
【变式训练2-4】如图，分别切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ．
【变式训练2-5】如图，为外一点，分别切于点，切于点，分别交于点，若，则的周长为 ．
【变式训练2-6】如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则四边形周长为 ．
题型三：利用切线长定理求角度
【经典例题3】如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为 ．
【变式训练3-2】如图，已知、分别切圆于点、，满足，且，．则 ．
【变式训练3-3】如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ．
【变式训练3-4】如图，，是的切线，切点为，点在上，若，则 ．
【变式训练3-5】已知点是外一点，分别与相切于点．
（1）如图①，若，则 ；
（2）如图②，连接，若，则 ；
（3）如图③，点是优弧上一点，连接，若，则 °．
题型四：求圆的切线长
【经典例题4】如图，、分别切⊙O于A、B，，⊙O半径为2，则的长为 ．
【变式训练4-1】如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是 ．
【变式训练4-2】如图，分別切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ．
【变式训练4-3】如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则线段的长为 ．
【变式训练4-4】如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长．
题型五：利用切线长定理求证
【经典例题5】如图，点A 在外， 分别与相切于点B，D， 的延长线相交于点C，交于点 E，连接并延长，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的半径及的长．
【变式训练5-1】如图，已知是的直径，过点A作射线，点P为l上一个动点，点C为上异于点A的一点，且，过点B作的垂线交的延长线于点D，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的值．
【变式训练5-2】在 ABC中，，经过点的与斜边相切于点．
(1)如图①，当点在上时，试说明；
(2)如图②，，当点O在 ABC外部时，求长的取值范围．
【变式训练5-3】如图，分别与相切于两点，是的直径．
(1)求证：；
(2)连接交于点，若，，求的长．
【变式训练5-4】如图，已知是的直径，于B，E是上的一点，交于D，，连接交于
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的长．
【变式训练5-5】如国，在 ABC中，，点是边的中点，点在边上，经过点，且与边相切于点，与相切于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的直径．
题型六：切线长定综合问题
【经典例题6】综合探究
已知的两边分别与相切于点，，的半径为．
(1)如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数；
(2)如图2，点在上运动，当线段经过圆心时，的大小满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，若线段与的另一个交点为点，的半径．
①求图中阴影部分的周长；
②连接，为边上的一点，且，延长交于点，求的长．
【变式训练6-1】已知：如图，中，，是上一点，以点为圆心，为半径的圆切于点．
（1）求证：；
（2）若，，求⊙O的半径；
（3）若点关于的对称点为，试探究当点满足什么条件时，四边形为菱形．
【变式训练6-2】已知的两边分别与相切于点A，B，的半径为r．
(1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上，，求的度数；
(2)如图2，点C在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；
(3)若交于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．
【变式训练6-3】【综合运用】在正方形中， E是边上一动点 （不与点 C， D 重合）． 边 关于对称的线段为， 连接．
(1)如图①， 若 求证： 为等边三角形；
(2)如图②， 以为直径作半圆O， 当与半圆O相切时， 求 的度数；（参考数据： ）
(3)如图③， 延长， 交射线于点 G， 连接， 交于点H． 若 当 为等腰三角形，求其底边长．
【变式训练6-4】如图1，以正方形的顶点A为圆心，作圆弧，P是上一动点，过点P作的切线交于点E，交于点F，连接．
(1)求的大小；
(2)如图2，连接，
①求证为定值；
②当，时，求的面积．
(3)如果的周长为20，设，的面积为y，求y关于x的函数关系式．
【变式训练6-5】如图，在半径为1的中，直径与直径的夹角，点P是劣弧上一点，连接分别交、于点M、N．
(1)若，求证：．
(2)猜想线段与之和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)过点C作的切线，过点P作的切线，当直线和的夹角为时，求弧的长．
(4)求证：．
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