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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题2.3 三角形内切圆六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形内心的定义，作图—基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．掌握三角形内心为三角形内角平分线的交点是解题关键．利用基本作图和三角形内心的定义进行判断即可．
【详解】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．
故选B．
2．如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质．
【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示：
由切线长定理可知：，，，，，
，，
，，
，
故选：D．
3．如图，点是外任意一点，、分别是的切线，、是切点．设与交于点．则点是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，三角形内心的定义；连接、、、，证明点是的角平分线交点，即可求解．
【详解】如解图，连接、、、，
、分别是的切线，
是和的平分线，．
．
，
．
．
．
，
．
又是的平分线，
是的内心．
故选：C．
4．如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（ ）
A．1.5 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形面积以及切线的性质，正确将四边形分割成三角形是解题关键．利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出的半径．
【详解】解：是四边形的内切圆，设切点分别为：，，，，
连接，，，，，，，，的半径为，如图：
，，
四边形的面积
，
解得：．
故的半径为3．
故选：B．
5．有下列五个命题：①等弧所对的圆心角相等；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；⑤直径平分弦，则垂直于弦．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】本题考查了命题，垂径定理，三角形内心的性质，圆心角、弧、弦的关系等知识．熟练掌握了命题，垂径定理，三角形内心的性质，圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
根据命题，垂径定理，三角形内心的性质，圆心角、弧、弦的关系进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，等弧所对的圆心角相等；①正确，故符合要求；
经过不在一条直线上三个点一定可以作圆；②错误，故不符合要求；
三角形的内心到三角形各边的距离都相等；③错误，故不符合要求；
同圆或等圆中，等弦所对的弧可能不唯一，故所对的弧不一定对应相等；④错误，故不符合要求；
直径平分不是直径的弦，则直径垂直于弦，⑤错误，故不符合要求；
故选：D．
6．如图，是 ABC的内切圆，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内切圆的定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的内切圆，
∴分别平分，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7．直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r 四者之间的关系是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．切于E，切于F，切于D，得出正方形推出，根据切线长定理结合三角形的周长求出，即可求出答案．
【详解】解：如图，切于E，切于F，切于D，连接，
则，，
∴四边形是正方形，
∴，
由切线长定理得：，
∵直角三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，
∴，
即的周长是
，
∴，
故选：A．
8．如图，在 ABC中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理．过点I作，，垂足分别为G，F，可得，，，设，，，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过点I作，，垂足分别为G，F，
∵点I为的内心，
∴以为半径的圆I是的内切圆，
∴，，，
设，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
9．如图，在 ABC中，，，，为的内切圆，过O作分别交、于D、E，则的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】B
【分析】如图，为 ABC的内切圆，切点分别为，连接，，，过作于，利用内切圆的性质求解，，再利用相似三角形的性质解得即可．
【详解】解：如图，为的内切圆，切点分别为，连接，，，过作于，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选:B
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
10．如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】作 AOB的外接圆，连接，取的中点Q，连接，证明是等边三角形，求出，得到点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解．
【详解】解：作 AOB的外接圆，连接，取的中点Q，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，
当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，
∵是等边三角形，，
∴，
∵，，
∴．
∴的最小值是，
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，则的外接圆的圆心坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理，根据直径所对的圆周角为直角直接求解即可．
根据圆周角为的弦即为直径来求解即可．
【详解】解：，，均在圆上，，
是外接圆的直径，
外接圆的圆心是的中点．
故答案为：．
12．如图，为的内切圆，点为切点，若，，则 ABC的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意，连接，根据内切圆的性质可得四边形是正方形，则，根据切线的性质可得，，设的半径为，则，运用勾股定理可得，则有，，由几何图形面积的计算公式即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是直角三角形的内切圆，点为切点，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形形是正方形，
∴，
∵点为切点，
∴，，
设的半径为，则，
∴，
∴，
∴，，
∴的面积，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，切线长定理，特殊四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键．
13．如图， 在 ABC中， 作， 若 ABC的内心I恰好落在上， 则 ．
【答案】
【分析】连接，设交于点，根据全等三角形的判定与性质得出，再由内心的性质得出，然后，则有等量替换和三角形外角的性质得出，最后由等角对等腰得出，由此求出．
【详解】连接，设交于点，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
为的内心，
平分，
平分，
即，
,
，，
，
设，
则，
，
为的一个外角，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内心、角平分线性质、等腰三角形的判定、以及全等三角形的性质和判定，能通过内心找到角与角、边与边的关系，是解答此题的关键．
14．如图，为 ABC的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若 ABC的周长为21，边的长为6， ADE的周长为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了切线长定理及内心，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以 ADE的周长，代入求出即可．
【详解】解：的周长为21，，
，
设与 ABC的三边、、的切点为、、，切为，
，，，，
，
ADE的周长
，
故答案为9．
15．如图，等边三角形内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与 ABC的面积之比是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形、三角形的内切圆、勾股定理等知识，解题关键是求出圆的半径．
先作，作于点E，和交于点O，设等边 ABC的边长为，求出，即可求出，，，即可求出答案．
【详解】解：作于点D，作于点E，和交于点O，如图所示：
设等边 ABC的边长为，
∴，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据太极图的对称性，黑色部分的面积占内切圆面积的一半，
∴
∵，
∴圆中的黑色部分的面积与的面积之比是：．
故答案为：
16．有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．
【答案】
【分析】连接，作的平分线交于点 ，作于 ，如图求得 ，则 ， ，所以平分 和 ，加上平分 ，根据角平分线性质得到点到四边形的各边的距离相等，则得到是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为，接着证明为等腰直角三角形得到，设，则，，然后证明 ，利用相似比可计算出．
【详解】解：连接，作的平分线，交于点O，作 于，
在和 中，
，
∴，
∴ ，
平分 和 ，
平分 ，
点到四边形的各边的距离相等，
∴是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
设，则，，
∵，，
∴，
，
即 ，
．
即的半径为，
∴圆形纸片的半径为．
故答案为：
【点睛】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆是所求的面积最大的圆是解题的关键．
17．如图， ABC中，交、于M、N，MN与 ABC内切圆相切，若 ABC周长为12，设，，则y与x的函数解析式为 (不要求写自变量x的取值范围)．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线长定理，相似三角形的判定和性质，求出的周长是本题的关键．由切线的性质可得，，，，可得的周长，由相似三角形的性质可得与的函数解析式．
【详解】解：如图，设切点分别为点，点，点，点，
，，，都与内切圆相切，
，，，，
，
周长为12
，
的周长，
故答案为：
18．如图，将矩形的边翻折到，使点D的对应点E在边上，再将边翻折到，且点A的对应点F为的内心，则 ．
【答案】4
【分析】设交于点，作于点，作于点，根据平行线的判定和性质得出，根据折叠得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，根据三角形内心的定义得出，，根据矩形的性质得出，，求得，，等量代换得出，结合平行线的性质得出，根据等腰直角三角形的定义得出，根据等边对等角得出，推得，，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等得出，结合三角形的外角性质得出，根据正切的定义的得出，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：设交于点，作于点，作于点，则，如图：
∴，
∴，
根据折叠可得，
∵，，
∴，，
∵点为的内心，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内心的定义，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，正切的定义等．正确地作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知：在 ABC中，，
(1)利用直尺和圆规作 ABC的外接圆；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）分别作的垂直平分线，二者的交点为圆心，以为半径作圆，即可求解；
（2）连接，，根据圆周角定理得出，证出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图即为所作．
（2）解：如图，连接，，
则：，
，
，
是等边三角形，
，
即：的半径为6．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质，三角形的外接圆，圆周角定理，等边三角形的性质和判定等，掌握作法及相关的定理是解题的关键．
20．已知：如图，是的内切圆，．若，，求的半径r；若，，，求的半径r．
【答案】3；
【分析】本题考查了直角三角形的内切圆的性质及半径的求法，利用切线长定理得出四边形是正方形是解题的关键；
首先设、、与的切点分别为D、E、F；证四边形是正方形；根据切线长定理可得：，由此可求出r的长．
【详解】解：如图；
设、、与的切点分别为D、E、F；
在，，，；
根据勾股定理；
四边形中，，；
则四边形是正方形；
由切线长定理，得：，，；
则；
即：．
当，，，
由以上可得：
；
即：．
则的半径r为：．
21．如图，是的直径， ABC内接于，点I为 ABC的内心，连接并延长，交于点D，连接．
(1)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(2)若，求 ABC的周长．
【答案】(1)见解析
(2)30
【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
（1）连接AI，由三角形的内心性质得到内心，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论；
（2）过点I分别作，垂足分别为，根据内切圆的性质和切线长定理得到，利用勾股定理求得，，进而可求解．
【详解】（1）解：，理由：
如图，连接，
为 ABC的内心，
∴，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点I分别作，垂足分别为，
为 ABC的内心，即为 ABC的内切圆的圆心，
分别为该内切圆与 ABC三边的切点，
，
，
，
，
，
的周长为
．
22．如图，是的外接圆，直径，直线经过点C，于点D，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，由，利用等边对等角得到，由，得到即可证明；
（2）证明，可求得，最后由勾股定理即可求解；
（3）求出，证明是等边三角形，求出，在中，可求出，根据即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵是直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴ ，
∴；
（3）解：在中，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
在中，
∵ ，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理以及扇形面积的计算，熟练掌握圆的基础知识是解本题的关键．
23．如图，已知 ABC内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)已知 ，的半径为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，三角函数等知识点，熟练掌握圆的切线的判定方法是解题的关键；
（1）连接，根据是的直径，求出，根据题意求出，从而证明，即可求证；
（2）设，则，由，从而求得的值，根据，即可求解；
【详解】（1）证明：连接，
，
，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
点在上，
是的切线．
（2）解：，，
设，则，由，
得，解得，
，，
同理，
，
，
，
，
24．如图1，为上一点，点在直径的延长线上，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，时，求的的半径；
(3)若，，平分，求的长
【答案】(1)与相切，理由见解析
(2)3
(3)
【分析】（1）连接，先判断出，再根据，判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，进而得出，再判断出，得出，得到，，即可得出结论；
（3）如图2，连接，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，过点作于，根据角平分线的定义得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：与相切，理由：
如图1，连接，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
与相切；
（2）解：由（1）知，，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
的半径为3；
（3）解：如图2，连接，
为的直径，
，
，
过点作于，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
或（不合题意舍去），
．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．
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专题2.3 三角形内切圆六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点是外任意一点，、分别是的切线，、是切点．设与交于点．则点是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
4．如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（ ）
A．1.5 B．3 C．4 D．6
5．有下列五个命题：①等弧所对的圆心角相等；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；⑤直径平分弦，则垂直于弦．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，是 ABC的内切圆，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r 四者之间的关系是 （ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在 ABC中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．如图，在 ABC中，，，，为的内切圆，过O作分别交、于D、E，则的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．
10．如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，则的外接圆的圆心坐标是 ．
12．如图，为的内切圆，点为切点，若，，则 ABC的面积为 ．
13．如图， 在 ABC中， 作， 若 ABC的内心I恰好落在上， 则 ．
14．如图，为 ABC的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若 ABC的周长为21，边的长为6， ADE的周长为 ．
15．如图，等边三角形内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与 ABC的面积之比是 ．
16．有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．
17．如图， ABC中，交、于M、N，MN与 ABC内切圆相切，若 ABC周长为12，设，，则y与x的函数解析式为 (不要求写自变量x的取值范围)．
18．如图，将矩形的边翻折到，使点D的对应点E在边上，再将边翻折到，且点A的对应点F为的内心，则 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知：在 ABC中，，
(1)利用直尺和圆规作 ABC的外接圆；
(2)若，求的半径．
20．已知：如图，是的内切圆，．若，，求的半径r；若，，，求的半径r．
21．如图，是的直径， ABC内接于，点I为 ABC的内心，连接并延长，交于点D，连接．
(1)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(2)若，求 ABC的周长．
22．如图，是的外接圆，直径，直线经过点C，于点D，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
23．如图，已知 ABC内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)已知 ，的半径为，求的长．
24．如图1，为上一点，点在直径的延长线上，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，时，求的的半径；
(3)若，，平分，求的长
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