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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题2.1.2 直线与圆的位置关系（二）九大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．同圆中同弧所对的圆周角相等
C．长度相等的弧是等弧 D．三点确定一个圆
2．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是( )
A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2)
3．如图， ABC是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（ ）
A． B．
C．AC是直径 D．且
4．如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， ABC中，，，，D为边的中点，以上一点O为圆心的和、均相切，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为的直径，C、D为上的点，直线切于C点，图中与互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．，是的切线，，是切点，，是上的点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是圆的直径，点D在圆上，直角梯形中，，是的切线，面积为，则圆的面积为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，在边长为4的等边三角形中，为线段的中点，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段的长不可能为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，O为射线上一点，以点O为圆心，长为半径作，要使射线与相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，是的直径，是的切线，与相交于点D．若，，则劣弧的长为 ．（结果保留）
12．如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当 cm时，与OA相切.
13．如图，切于C，过圆心O点，是弦，，则
14．从圆外一点向圆引切线和最长割线，如果切线长，割线长为，则切点到割线的距离为 ．
15．如图，为的直径，弦于点，直线切于点，延长交于点，若，，则的长度为 ．
16．抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留）
17．如图，已知与相切于点A，点B为上一点，，过点B作于点C，交于点D，连接．已知，则图中阴影部分的面积是 ．
18．在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，记点关于直线的对称点为N，若以N为圆心，为半径的与x轴相切，则 AOB外接圆的半径为 ；m的值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，．
(1)与有怎样的位置关系？请说明理由；
(2)若，求的长．
20．如图所示，是的直径，切于，交于点，连接，若，求的度数．
21．请按下列要求作图．
(1)如图1，在方格纸中，点A在圆上，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线；
(2)如图2，已知，点Q在外，用尺规作上所有过点Q的切线．（保留作图痕迹）
22．如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接．
(1)求证平分；
(2)若，，求的长．
23．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB＝50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A、B、C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒⊙A，⊙A与水平地面切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm时，点C到水平地面的距离CE为59cm．设AFMN．
(1)求⊙A的半径长；
(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为80cm，．求此时拉杆BC的伸长距离．
24．在矩形中，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动两点在分别到达两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒，回答下列问题：
(1)如图1，当为几秒时，的面积等于？
(2)如图2，以为圆心，为半径作．
①在运动过程中，是否存在这样的，使正好与四边形的一边（或者边所在的直线）相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
②若与四边形的边有4个公共点，请直接写出的取值范围______．
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专题2.1.2 直线与圆的位置关系（二）九大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．同圆中同弧所对的圆周角相等
C．长度相等的弧是等弧 D．三点确定一个圆
【答案】B
【分析】本题考查的是等弧的概念、确定圆的条件、切线的判断定理、圆周角定理，正确理解相关的概念和定理是解题的关键．根据等弧的概念、确定圆的条件、切线的判断定理、圆周角定理判断即可．
【详解】解：A、经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线，故本选项说法不正确，不符合题意；
B、同圆中同弧所对的圆周角相等，本选项说法正确，符合题意；
C、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故本选项说法不正确，不符合题意；
D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法不正确，不符合题意；
故选：B．
2．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是( )
A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2)
【答案】D
【分析】根据切线的判定在网格中作图即可得结论．
【详解】解：如图，
过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，
能够与该圆弧相切的格点坐标是(6，2)．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键.
3．如图， ABC是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（ ）
A． B．
C．AC是直径 D．且
【答案】D
【分析】根据切线的判定定理对各个选项进行判断即可.
【详解】解：A.当，则AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切；
B.AC不一定是的直径，所以不能判断EF直线EF与相切；
C. AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切；
D. 当，则AC为的直径，且，所以EF直线EF与相切.
故选D.
【点睛】本题主要考查切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
4．如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理等知识，由圆周角定理解得，再根据切线的性质得到，最后根据三角形内角和定理解题．
【详解】解：由圆周角定理得：
是的切线，
故选：B．
5．如图， ABC中，，，，D为边的中点，以上一点O为圆心的和、均相切，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质与三角形的面积．注意运用切线的性质来进行计算或论证，通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
过点O作于点E，于点F，连接，根据切线的性质，可知、是的半径；勾股定理求出，然后由三角形的面积间的关系，列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．
【详解】解：过点O作于点E，于点F，连接
、是的切线，
点E、F是切点，
、是的半径；
，
在中， ，，，
根据勾股定理，得，
D是边的中点，
，
又，
，
即，
解得：
故选：A．
6．如图，为的直径，C、D为上的点，直线切于C点，图中与互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，余角的定义，连接，由切线的性质得到，则，再由等边对等角得到，则，根据同弧所对的圆周角相等得到，则，由直径所对的圆周角是直角得到，则，再根据度数之和为90度的两个角互为余角即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵直线切于C点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵度数之和为90度的两个角互为余角，
∴图中与互余的角有，共3个，
故选：C．
7．，是的切线，，是切点，，是上的点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，圆周角定理的应用，圆的切线的定义等知识，理解是解本题的关键．如图，连接先求解 再利用圆周角定理可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接
，是的切线，
故选A
8．如图，是圆的直径，点D在圆上，直角梯形中，，是的切线，面积为，则圆的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查梯形的面积以及圆的面积，矩形的判定和性质，切线的性质，熟练掌握切线性质是解题的关键．连接，证明四边形为矩形，得出，设半径为，则，，根据直角梯形的面积为计算即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵是圆的直径，点D在圆上，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴
设半径为，则，，
，
，
，
，
圆的面积．
故选：B．
9．如图，在边长为4的等边三角形中，为线段的中点，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段的长不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质以及勾股定理．首先连接，，，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【详解】解：连接，，，
∵在边长为4的等边三角形中，为线段的中点，
∴，，
∵是的切线，
∴；
根据勾股定理知，
∵为定值，
∴当的值最小时，的值最小，当的值最大时，的值最长，
∴当时，线段最小，当与点重合时，线段最长，
∵在中， ，
∴，
∵，
∴，
∴线段最小值，线段最大值．
∴，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
10．如图，，O为射线上一点，以点O为圆心，长为半径作，要使射线与相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质，切线的性质，解直角三角形，设旋转后与相切于点D，连接，根据切线的性质和三角函数，求出，再分点D在射线上方和下方两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：如图，设旋转后与相切于点D，连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∴当点D在射线上方时，，
当点D在射线下方时，，
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，是的直径，是的切线，与相交于点D．若，，则劣弧的长为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】根据的切线性质可得，再根据直角三角形锐角互余可得，最后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴的长为，
∴的长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式是解答本题的关键．
12．如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当 cm时，与OA相切.
【答案】4
【分析】过M作MN⊥OA于点N，此时以MN为半径的圆与OA相切，根据30°角所对直角边为斜边的一半可得OM的长.
【详解】解：如图，过M作MN⊥OA于点N，
∵MN=2cm，，
∴OM=4cm，
则当OM=4cm时，与OA相切.
故答案为4.
【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
13．如图，切于C，过圆心O点，是弦，，则
【答案】/25度
【分析】本题考查切线的性质，根据切线的性质，得到，进而得到，根据等边对等角结合三角形的外角，求出的度数．
【详解】解：∵切于C，过圆心O点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
14．从圆外一点向圆引切线和最长割线，如果切线长，割线长为，则切点到割线的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，根据题意可得，是直径，进而证明，设的半径为，则，解得：，，进而勾股定理求得，然后等面积法，即可求解．
【详解】解：如图所示，
依题意，，是直径
∵，，
∴
又∵，
∴
∴
设的半径为，则，
∴
解得：，
则，
设，则，
∴
解得：
∴
即切点到割线的距离为，
故答案为：．
15．如图，为的直径，弦于点，直线切于点，延长交于点，若，，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得是解题的关键，根据垂径定理求得，，即可得到.则是等腰直角三角形，得出根据切线的性质得到，得到是等腰直角三角形，进而即可求得
【详解】解： 为的直径，弦于点
，
，
是等腰直角三角形
直线切于点，
是等腰直角三角形
故答案为：
16．抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．
连接，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．
【详解】连接，
∵分别与相切于点C，D，
∴，
∵，，
∴，
∴（），
故答案为：．
17．如图，已知与相切于点A，点B为上一点，，过点B作于点C，交于点D，连接．已知，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积的计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线的性质得到，证明，得到，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：连接，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
由圆周角定理可得：
，
．
故答案为:
18．在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，记点关于直线的对称点为N，若以N为圆心，为半径的与x轴相切，则 AOB外接圆的半径为 ；m的值为 ．
【答案】
【分析】先求得点A、B坐标，利用勾股定理求得，根据直角三角形的外接圆圆心为斜边的中点求解半径即可； 如图，连接交直线于P，过N作轴于E，过M作于K，交于S，根据轴对称的性质得到点P为的中点，且，证明得到，设，则，，根据圆的切线性质得到，则，求得，利用中点坐标公式求得，将点P代入中，即可求得m值．
【详解】解：对于，当时，，
当时，由得，
∴，，
∴，，又，
∴，
∴外接圆的半径为；
如图，连接交直线于P，过N作轴于E，过M作于K，交于S，
∵点关于直线的对称点为N，
∴点P为的中点，且，则，
∴，，
∴，又，
∴，
∴，
设，则，，
∵以N为圆心，为半径的与x轴相切，轴于E，
∴，
∴，
解得，，则，
∵点P为的中点，
∴，又点P在直线上，
∴，解得，
故答案为：；．
【点睛】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点问题、直角三角形的外接圆问题、圆的切线性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形等知识，是填空题中的压轴题，有一定的难度．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，．
(1)与有怎样的位置关系？请说明理由；
(2)若，求的长．
【答案】(1)相切，见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形：
（1）连接，则，等边对等角得到，角平分线得到，进而得到，推出，得到，即可得出结论；
（2）直径所对的圆周角为直角，得到，易得，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：与相切，理由如下：
连接，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴与相切．
（2）∵是的直径，
∴，
∵
∴，
又∵在中，
，
∴．
20．如图所示，是的直径，切于，交于点，连接，若，求的度数．
【答案】
【分析】先由切线性质得到，进而在中，由三角形内角和定理求出，结合圆的半径相等及三角形外角性质，数形结合即可得到的度数．
【详解】解：是的直径，切于，
，
在中，，，则，
，是的一个外角，
．
又∵，
∴．
【点睛】本题考查圆中求角度，涉及切线性质、垂直定义、三角形内角和定理、圆的基本性质、等腰三角形性质、三角形外角性质等知识，熟练掌握相关几何性质灵活运用是解决问题的关键．
21．请按下列要求作图．
(1)如图1，在方格纸中，点A在圆上，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线；
(2)如图2，已知，点Q在外，用尺规作上所有过点Q的切线．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了切线的性质，过圆外一点作圆的切线（尺规作图）以及方格作图：
（1）根据方格的特征，因为，，，得是直径，，即得，据此作图即可；
（2）连接，再作线段的垂直平分线，交于一点，即为点，以点为圆心，为半径，相交于点A，点B，连接，，因为为直径，，即为切线，切线，即可作答．
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求：
（2）解：所有过点Q的切线为切线，切线，如图所示：
22．如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接．
(1)求证平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)答案见解析
(2)1
【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用
(1)连接，根据切线的性质，则，又因为，所以，又因为，得出则平分；
(2)根据勾股定理可求出，根据利用相似比求出的长．
点评
【详解】（1）证明：连接，
与相切于点C
为的直径，
AB为的直径
BC平分
（2）解：为的直径
，
，
，，
23．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB＝50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A、B、C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒⊙A，⊙A与水平地面切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm时，点C到水平地面的距离CE为59cm．设AFMN．
(1)求⊙A的半径长；
(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为80cm，．求此时拉杆BC的伸长距离．
【答案】(1)⊙A的半径长为8cm
(2)此时拉杆BC的伸长距离为30cm
【分析】（1）如图所示，过点B作BH⊥MN于H交AF于K，设⊙A的半径长为xcm，证明△ABK∽△ACG，得到，即，由此求解即可；
（2）先解直角三角形ACG求出AC的长即可求出BC的长．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作BH⊥MN于H交AF于K，设⊙A的半径长为xcm，
∵，AD⊥MN，
∴，四边形ADHK和四边形ADEG都是矩形，
∴AD=HK=GE=xcm，
∵BH=38cm，CE=59cm，
∴BK=（38-x）cm，CG=（59-x）cm，
∵，
∴△ABK∽△ACG，
∴，即，
解得，
∴⊙A的半径长为8cm；
（2）解：在Rt△ACG中，CG=CE-GE=72cm，
∵，
∴，
∴BC=AC-AB=30cm，
∴此时拉杆BC的伸长距离为30cm．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，切线的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
24．在矩形中，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动两点在分别到达两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒，回答下列问题：
(1)如图1，当为几秒时，的面积等于？
(2)如图2，以为圆心，为半径作．
①在运动过程中，是否存在这样的，使正好与四边形的一边（或者边所在的直线）相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
②若与四边形的边有4个公共点，请直接写出的取值范围______．
【答案】(1)当t为2秒或4秒时，的面积等于．
(2)①当或或或或时，与四边形的一边相切．②当时，与四边形有四个交点．
【分析】（1）根据题意得，，由此根据三角形面积公式建立方程求解即可；
（2）①由题意可知圆Q与不相切．如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．此时与相切；如图2，当与相切的第2个位置时，切点为，连接，结论方程即可，当正好与四边形的边相切时，如图3所示．建立方程即可．如图4，当重合，重合，同理可得：此时，与相切，②当时，如图1所示：与四边形有两个公共点；如图3所示：当圆Q与相切时，与四边形有三个公共点．由①可得，此时，如图，当过时，连接，可得，（舍去）．可得当时，与四边形有四个交点．
【详解】（1）解：∵当运动时间为t秒时，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵的面积等于，
∴．
∴．
解得：，．
答：当t为2秒或4秒时，的面积等于．
（2）解：①由题意可知圆Q与不相切．
如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．
∵，
∴．
∴．
∴为圆Q的切线．
此时与相切；
如图2，当与相切的第2个位置时，切点为，连接，
此时四边形为矩形，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
当正好与四边形的边相切时，如图3所示．
由题意可知：．
在中，由勾股定理可知：，即．
解得：，（舍去）；
如图4，当重合，重合，
同理可得：此时，与相切，
综上所述可知当或或或时，与四边形的一边相切．
②当时，如图1所示：与四边形有两个公共点；
如图3所示：当圆Q与相切时，与四边形有三个公共点．
由①可得，此时，
如图，当过时，连接，
由题意可知：．
由勾股定理可知：，．
∵，
∴，即．
整理得：．
解得：，（舍去）．
∴当时，与四边形有四个交点．
【点睛】本题主要考查的是矩形的性质，切线的性质，三角形的面积公式、勾股定理，一元二次方程的解法，根据题意画出图形是解题的关键．
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