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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题2.2 切线长定理六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列☉O中，不能确定的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为
A．60 B．55 C．45 D．50
3．如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（ ）
A．b B． C． D．
4．如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，分别与相切与点A，B，E，连接并延长与的延长线相交于点F．已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为外一点，，分别切于，两点，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
7．如图，、是的切线，、为切点，是上一点，连接、，若，，则的半径长为（ ）
A． B． C．3 D．
8．下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
9．我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是：如图， ABC是直角三角形，，已知步，步，与相切于点分别与相切于为点，求的半径．根据题意，的半径是（ ）
A．100步 B．120步 C．140步 D．160步
10．如图，、是的切线，切点分别为、，是的直径，交于点，连接交于，连接交于点．下列结论：①；②；③平分；④；⑤是的内心；⑥．其中一定成立的有（ ）个．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．圆外切等腰梯形的周长为，一底角为，则此等腰梯形面积为 ．
12．如图，，是的切线，若，， ．
13．如图，、、、都是的切线，，，则 ．
14．如图，的直径，，分别是它的两条切线，与相切于点，并与，分别交于，两点，，，则关于的函数表达式为 ．
15．已知、为圆的两条切线，连接交圆于点，若，，，则 ．
16．已知在 ABC中，，，，半径为1的圆在三角形内移动，圆可以与三角形的边相切，则该圆能到达的面积为 ．
17．如图，、的坐标分别为和，，为的内切圆，则的横坐标为 ．
18．如图，，为的两条切线，且，，点D为内一动点，且，则的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，是半圆的直径，和是它的两条切线，切点分别为，平分．
(1)求证：是半圆的切线．
(2)若，，求的长．
20．已知： ABC是边长为的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边，相交于点D，E，，垂足为F．
(1)求证：直线是的切线；
(2)当直线与相切时，求：的半径．
21．小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求：
(1)大树到城堡南门的距离；
(2)城堡外圆的半径．
22．如图，在 ABC中，，点D在以为直径的上，且为的切线，交于点E，求的值．
23．如图，已知D为上一点，点C在直径的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)过点B作的切线交的延长线于点E，若，，求的长．
24．如图，，分别切于点A，B，点C是劣弧上一动点（不与点A，B重合），过点C作的切线，分别交，于点D，E，连接，，．分别交，于点M，N．
(1)求证：的周长不随点C的运动而变化．
(2)求证：．
(3)当，时，求的长．
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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题2.2 切线长定理六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列☉O中，不能确定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是圆心角与弧之间的关系，切线长定理的应用，切线的性质，根据以上知识逐一分析即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
∵是的切线，
∴，
∴，故C不符合题意；
如图，∵，
∴，
而，
∴，
∴不能推出，故D符合题意；
故选D
2．如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为
A．60 B．55 C．45 D．50
【答案】D
【分析】根据切线长定理得到，，，，进而求出，再根据四边形的周长公式计算，得到答案．本题考查了切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：四边形外切于，切点分别为、、、，
，，，，
，
四边形的周长为：，
故选：D．
3．如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（ ）
A．b B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质等知识，利用切线的性质得出，证明，进而得出，即可得到，同理可证，由得到，即可得到答案．
【详解】解：连接，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，切点分别为，如图，连接，
则，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可证，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
4．如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．
根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，是的切线，根据切线长定理得，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
5．如图，，分别与相切与点A，B，E，连接并延长与的延长线相交于点F．已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由分别与相切与点，结合圆的切线的性质，切线长定理得到，，，，再由 ，可证，进而可得，再由三线合一可得，再由同角的余角相等可得，进而可证，再由相似三角形对应边成比例求得，最后通过勾股定理即可求解；
【详解】解：连接，
分别与相切与点，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，掌握切线长相等，等腰三角形的三线合一，利用相似三角形对应边成比例求边长是解题的关键．
6．如图，为外一点，，分别切于，两点，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】本题考查切线长定理，直接根据切线长定理，即可得出结果．
【详解】∵为外一点，，分别切于，两点，
∴，
故选B．
7．如图，、是的切线，、为切点，是上一点，连接、，若，，则的半径长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，连接，，，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据解直角三角形即可得到结论．
【详解】连接，，，
则，
又∵、是的切线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选A．
8．下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【答案】B
【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用三角形的中位线定理、垂径定理、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
B、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故原命题是假命题，本选项符合题意；
C、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真命题，故此选项不符合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
故选：B．
9．我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是：如图， ABC是直角三角形，，已知步，步，与相切于点分别与相切于为点，求的半径．根据题意，的半径是（ ）
A．100步 B．120步 C．140步 D．160步
【答案】B
【分析】此题考查了切线的性质，正方形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
如图所示，连接，，，证明四边形是正方形，设步，根据切线长定理，得到步，步，利用勾股定理求出，然后构建方程求解即可．
【详解】如图所示，连接，，，
∵，是的切线
∴，
∴
∵
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是正方形
设步，则步，步，
∵，，是的切线
∴步，步，
∵步，
∴
∴
∴．
故选：B．
10．如图，、是的切线，切点分别为、，是的直径，交于点，连接交于，连接交于点．下列结论：①；②；③平分；④；⑤是的内心；⑥．其中一定成立的有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，，①根据、是的切线，即可判断；②根据，，可得是的垂直平分线，进而可以判断；③根据是的垂直平分线，可得，进而可以判断；④根据，，即可判断；⑤证明，，即可判断；⑥根据，可得，进而可以判断．
【详解】解：如图，连接，，
①∵、是的切线，
∴，，故结论①正确；
②∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，，故结论②正确；
③∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴平分，故结论③正确；
④∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，故结论④正确；
⑤∵是的切线，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是的内心，故结论⑤正确；
⑥∵，
∴，，
∴，故结论⑥错误；
∴其中一定成立的是①②③④⑤，共5个．
故选：A．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了切线的性质，垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，三角形中位线定理，三角形的内心及相似三角形的判定等知识点．解题的关键是熟练掌握切线性质及圆周角定理．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．圆外切等腰梯形的周长为，一底角为，则此等腰梯形面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰梯形的性质，切线长定理，等腰梯形是的外切梯形，，设与相切于点，设，根据圆外切等腰梯形的周长为，得出，进而求得面积，即可求解．
【详解】解：如图所示，等腰梯形是的外切梯形，，设与相切于点，连接，
设，
依题意，，
∵，
∴，，
∴
∴，
∴
∴
∵梯形的周长为，解得：
依题意，，，与平行，
∴三点共线，
∴梯形的面积为
故答案为：．
12．如图，，是的切线，若，， ．
【答案】
【分析】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键，根据切线的性质得到，，根据等边三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：．
13．如图，、、、都是的切线，，，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了切线长定理，设、、、与的切点分别为E、F、M、N，根据切线长定理可得出，，，，由此即可解决问题．
【详解】解∶设、、、与的切点分别为E、F、M、N，
∵、、、都是的切线，
∴，，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：2．
14．如图，的直径，，分别是它的两条切线，与相切于点，并与，分别交于，两点，，，则关于的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】作交于点，由切线的性质可知，，进而可证得四边形是矩形，于是有，，因而可得，由切线长定理可得，，于是可得，在中，根据勾股定理即可求出关于的函数表达式．
【详解】解：如图，作交于点，
，分别是的两条切线，
，，
又，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
与相切于点，
，，
则，
在中，根据勾股定理可得：
，
即：，
整理，得：，
即：，
关于的函数表达式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质定理，垂线的性质，矩形的判定与性质，切线长定理，勾股定理，完全平方公式，用关系式表示变量间的关系等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
15．已知、为圆的两条切线，连接交圆于点，若，，，则 ．
【答案】
【分析】连接，，，作，设，证是等边三角形，得出，证，，得出，得出是直径，再利用勾股定理列方程求出，即可．
【详解】解：连接，，，过点A作作于F，设，
同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，，
，
，
是等边三角形，
，，
，是的切线，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
同理可证：，
得出：，
，
，，
，
是直径，
，
，，，
，，
，
，
，
，
(负值已舍去），
．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程等知识．作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
16．已知在 ABC中，，，，半径为1的圆在三角形内移动，圆可以与三角形的边相切，则该圆能到达的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质定理，切线长定理，解直角三角形，解题的关键是正确画出图形，根据平移得出图①中圆不能到达的部分即为图②中外部．
根据题意画出图形，先求出圆不能到达的面积，再用三角形的面积减去圆不能到达的面积即可．
【详解】解：∵该圆与三角形三边相切，
∴，
∵，
∴，
将四边形平移后如图所示：
则图①中圆不能到达的部分即为图②中外部，
∵半径为1，且与三边相切，
∴，，
∴四边形为正方形，，，
设，，
则，
由平移可得：，
∴
解得：，
∴，
∴图②中外部面积，
∴该圆能到达的面积，
故答案为：．
17．如图，、的坐标分别为和，，为的内切圆，则的横坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆内切三角形的性质，切线长定理，坐标与图形．设的内切圆的各切点分别为、、，连接，根据三角形内切圆的性质可得出，根据切线长定理可得出，，．结合题意可求出，，从而得出，，进而可求出，即圆心的横坐标．
【详解】解：如图，设的内切圆的各切点分别为、、，连接，
∴，，，．
∵，即，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，即，
∴，，
∴，
∴圆心的横坐标为．
故答案为：．
18．如图，，为的两条切线，且，，点D为内一动点，且，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查切线长定理、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握切线长定理及三角函数是解题的关键；连接，，延长交于点E，连接，连接，由题意易得，是等边三角形，则有，然后可得，进而根据三点共线及三角函数可进行求解
【详解】解：如解图，连接，，
则，
∵，
∴，
延长交于点E，连接，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴当经过点O时，取最大值，最大值为的直径，连接，
∵，，，
∴，
∴，
在中，，
∴的直径为，即的最大值为；
故答案为．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，是半圆的直径，和是它的两条切线，切点分别为，平分．
(1)求证：是半圆的切线．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）过作，垂足为，再由角平分线的性质得到，从而可知是半圆的切线；
（）由切线长定理可知，，再由线段和差可求得的长；
本题主要考查了切线的性质和判定、切线长定理的应用，掌握切线的性质和判定、切线长定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，过作，垂足为，
∵与半圆相切于点，
∴，
∵平分，
∴，
∴是半圆的半径，
∴是半圆的切线；
（2）解：∵是半圆的两条切线，切点分别为，
∴，
∵，
∴，
∵是半圆的两条切线，切点分别为，
∴．
20．已知： ABC是边长为的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边，相交于点D，E，，垂足为F．
(1)求证：直线是的切线；
(2)当直线与相切时，求：的半径．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、切线的性质与判定、切线长定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、切线的性质与判定、切线长定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键；
（1）连接，由题意易得，然后可得，进而可知，则问题可求证；
（2）由切线长定理可得，则可知，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：连接，如图所示，
∵是边长为的等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴直线是的切线；
（2）解：连接，如图所示，
∵直线、都与相切，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
即的半径为．
21．小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求：
(1)大树到城堡南门的距离；
(2)城堡外圆的半径．
【答案】(1)12里
(2)里
【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）由切圆于，切圆于，连接，得到，，里，由勾股定理求出（里），
（2）在中，由勾股定理列式，，所以求出（里），即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，表示圆形城堡，
由题意知：切圆于，切圆于，连接，
，，里，
（里），
（里），
（里），
则大树到城堡南门的距离里；
（2）解：设城堡的半径为里，
∴里，（里），
∵，
∴在中，
，
（里）．
城堡的半径为里．
22．如图，在 ABC中，，点D在以为直径的上，且为的切线，交于点E，求的值．
【答案】
【分析】连接与相交于点F，先证明是的切线，推出垂直平分，进而得到，证明，得到，证明，推出，得到再利用锐角三角函数的定义，求解即可．
【详解】解：连接与相交于点F，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
又∵为半径，
∴是的切线，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，全等三角线和相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握相关知识点，正确的作出辅助线，是解题的关键．
23．如图，已知D为上一点，点C在直径的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)过点B作的切线交的延长线于点E，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定、切线长定理、圆周角定理、勾股定理、三角形相似的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解题的关键．
（1）如图，连接．由是的直径，可得，可证得．进而可证，再由是的半径，即可证得结论；
（2）如图，连接．利用切线性质，可得，得，，再由，可得，得出，在中，设，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接．
是的直径，
，
．
，
，
．
又，即，
，即，
．
又是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接．
、均为的切线，
，，
，，
，
，
又∵
∴，
∴，
∵，，
，
，
∴，
，
在中，设，
，
解得．
即的长为5．
24．如图，，分别切于点A，B，点C是劣弧上一动点（不与点A，B重合），过点C作的切线，分别交，于点D，E，连接，，．分别交，于点M，N．
(1)求证：的周长不随点C的运动而变化．
(2)求证：．
(3)当，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）连接，根据切线长定理可得，同理可得，的周长为，故的周长不随点C的运动而变化；
（2）由（1）可得，，可得，根据圆周角定理可知，可得，再根据圆周角定理和圆的切线的性质可得，结合等边对等角可知，即可证；
（3）根据对顶角相等可证，可得，再可证，可知，从而可得，结合可知为含角的直角三角形，根据即可得知．
【详解】（1）证明：连接．
，都与相切，
∴．
同理可证．
的周长为：
，
∴的周长不随点C的运动而变化．
（2）证明：如图，延长交于点F，连接，．
由（1）可知，，
∴，，
∴．
易知，
∴．
∵，
∴．
是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）如图，连接．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
，
∵在中，，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线长定理，切线的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，含角的直角三角形，等边对等角，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
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