2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质
二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象与性质
1.(2024松原期中)抛物线y=3x2+2的顶点坐标是 ( )
A.(0,2) B.(-2,0)
C.(2,0) D.(0,-2)
2.抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到 ( )
A.向上平移5个单位
B.向下平移5个单位
C.向左平移5个单位
D.向右平移5个单位
3.在抛物线y=x2-4上的一个点是 ( )
A.(4,4) B.(1,-4)
C.(2,0) D.(0,4)
4.当a<0,c>0时,二次函数y=ax2+c的图象大致是 ( )
A B C D
5.函数y=-x2+2与y=-x2-1的图象的不同之处是 ( )
A.开口方向 B.对称轴
C.顶点 D.形状
6.抛物线y=3x2-4开口向 ,函数有最 值为 .
7.如果抛物线y=(2-a)x2+2的开口向下,那么a的取值范围是 .
8.抛物线y=-x2+1在y轴的右侧呈 趋势.(填“上升”或者“下降”)
9.已知二次函数y=ax2-2的图象经过点(-1,-1).
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象,并写出此函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况;
(2)当-1≤x≤2时,y的取值范围是多少
1.(2024阳泉期中)抛物线y=2x2+1上有两点A(x1,y1),B(x2,y2).嘉嘉说:“若0≤x1
A.嘉嘉正确,琪琪错误 B.琪琪正确,嘉嘉错误
C.他们说的都正确 D.他们说的都不正确
2.(易错题)若二次函数y=x2+与y=-x2+k的图象的顶点重合,则下列结论不正确的是 ( )
A.这两个函数图象有相同的对称轴 B.这两个函数图象的开口方向相反
C.二次函数y=-x2+k的最大值为 D.这两个函数图象的开口大小不同
3.(2024梅州一模)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+b与y=ax+b(a、b都不为0)的图象的相对位置可以是 ( )
A B C D
4.如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A、B、C,点B在y轴上,则ac的值为 ( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
5.已知抛物线y=ax2+k(a≠0)如图所示,则点P(a,ak)在第 象限.
6.如图为函数y=x2+1和y=x2的图象,则图中阴影部分的面积为 .
7.如图所示,小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-x2+3.5的一部分,若命中篮圈中心,求她与篮底的距离l.
8.(推理能力)已知抛物线y=x2-3如图所示.
(1)作出抛物线y=x2-3关于x轴对称的图象;
(2)写出新抛物线的表达式;
(3)两个图象的顶点分别为C、D,与x轴的交点为A、B,试判断四边形ACBD的形状,并说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.A 2.B 3.C 4.D 5.C
6.上 小 -4 7.a>2 8.下降
9.解:(1)将(-1,-1)代入y=ax2-2,得a-2=-1,解得a=1,∴y=x2-2,画出函数y=x2-2的图象如图,此函数图象的开口向上,顶点坐标为(0,-2),对称轴为y轴,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大.
(2)根据图象分析可得,若-1≤x≤2,则当x=0时,y取得最小值,且最小值为-2,当x=2时,y取得最大值,且最大值为2,所以当-1≤x≤2时,y的取值范围是-2≤y≤2.
课后提升
1.C 解析:抛物线y=2x2+1的对称轴为y轴,且开口向上.
若0≤x1则A(x1,y1),B(x2,y2)在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,
∴y1若x2则A(x1,y1),B(x2,y2)在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,
∴y1故选C.
2.D 解析:两个函数二次项系数的绝对值相同,
即|1|=|-1|=1,
所以它们的开口大小相同.故选D.
3.A 解析:A.由抛物线可知,a<0,b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;
B.由抛物线可知,a<0,由直线可知,a>0,相矛盾,故本选项错误;
C.由抛物线可知,a>0,b<0,由直线可知,a>0,b>0,相矛盾,故本选项错误;
D.由抛物线可知,a>0,b>0,由直线可知,a<0,b>0,相矛盾,故本选项错误.
故选A.
4.B 解析:连结AC,交y轴于点D,如图所示.
当x=0时,则y=c,即OB=c.
∵四边形OABC是正方形,∴AC=OB=2AD=2OD=c,AC⊥OB.
∴点A,∴=a×+c,解得ac=-2.故选B.
5.二 解析:由题图知a<0,k<0,
∴ak>0.∴点P(a,ak)在第二象限.
6.4 解析:如图,连结OA、CB,∵函数y=x2的图象向上平移1个单位得到函数y=x2+1的图象,∴AB=OC=1.∵AB∥OC,∴四边形ABCO是平行四边形.∵A点的横坐标为2,∴S平行四边形ABCO=2×1=2.∴S阴影=2S平行四边形ABCO=2×2=4.
7.解:由题意,得当y=3.05时,3.05=-x2+3.5,
解得x=±1.5.因为篮圈中心在第一象限,所以篮圈中心点的坐标是(1.5,3.05).
所以她与篮底的距离l=2.5+1.5=4(m).
答:她与篮底的距离l为4 m.
8.解:(1)作出抛物线y=x2-3关于x轴对称的图象如图所示.
(2)新抛物线的表达式为y=-x2+3.
(3)四边形ACBD为菱形.理由如下:
∵点A、B关于y轴对称,点C、D关于x轴对称,
∴OA=OB,OC=OD.∴四边形ACBD为平行四边形.
∵AB⊥CD,∴ ACBD为菱形.第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
1.抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是 ( )
A.直线x=2 B.直线x=-2 C.直线x=1 D.直线x=-1
2.(2024重庆巴南区期末)二次函数y=2x2+8x-6的图象的顶点坐标是 ( )
A.(2,18) B.(-2,-14) C.(4,58) D.(-4,-6)
3.二次函数y=-x2-2x+3的图象大致是 ( )
A B C D
4.已知二次函数y=2x2-4x+5,当函数值y随x值的增大而减小时,x的取值范围是 ( )
A.x<1 B.x>1 C.x<2 D.x>2
5.将二次函数y=x2+2x-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度,得到的函数表达式是 ( )
A.y=(x+3)2-2 B.y=(x+3)2+2 C.y=(x-1)2+2 D.y=(x-1)2-2
6.当x= 时,二次函数y=x2-2x+6的最小值为 .
7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x的值及其对应的函数值y如表所示:
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 m …
那么表中m的值为 .
8.已知二次函数y=-x2+6x-10.
(1)用配方法将它改写成y=a(x-h)2+k的形式;
(2)写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)写出其图象与二次函数y=-x2的图象的关系.
1.(易错题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是 ( )
A.图象关于直线x=1对称 B.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是-4
C.当x<1时,y随x的增大而增大 D.-1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么 ( )
A.a<0,b<0,c>0 B.a<0,b>0,c>0 C.a>0,b>0,c<0 D.a>0,b<0,c<0
3.抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.若一次函数y=(a+1)x+a的图象经过第一、三、四象限,则二次函数y=ax2-ax( )
A.有最大值 B.有最大值- C.有最小值 D.有最小值-
5.已知二次函数y=x2-6x+c的图象经过A(-1,y1),B(3,y2),C(4,y3)三点,则用“>”将y1、y2、y3从大到小连接的结果是 .
6.抛物线y=x2-6x+c与x轴只有一个交点,则c= .
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-1,0)和点(2,0),以下结论:①abc<0;②4a-2b+c<0;③a+b=0;④当x<时,y随x的增大而减小.其中正确的结论有 .(填写代表正确结论的序号)
8.(2024上海杨浦区期末)已知二次函数y=-x2+4x-3.
(1)用配方法将函数y=-x2+4x-3的表达式化为y=a(x+m)2+k的形式,并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标;
(2)设该函数的图象与x轴交于点A、B,点A在点B左侧,与y轴交于点C,顶点记作D,求四边形ADBC的面积.
9.(推理能力)如图,已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴交于点B.
(1)OB= ;
(2)此二次函数关系式为 ;
(3)在x轴的负半轴上是否存在点P,使得△PAB是以AB为腰的等腰三角形 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.C 2.B 3.A 4.A 5.D
6.1 5 7.0
8.解:(1)y=-x2+6x-10
=-(x2-12x+20)
=-(x2-12x+36-16)
=-(x-6)2+8.
(2)其图象开口向下,对称轴是直线x=6,顶点坐标为(6,8).
(3)将二次函数y=-x2的图象向右平移6个单位,再向上平移8个单位即得到二次函数y=-x2+6x-10的图象;反之,也可以说成将二次函数y=-x2+6x-10的图象向左平移6个单位,再向下平移8个单位即得到二次函数y=-x2的图象.
课后提升
1.C 解析:A.由函数图象可知,图象关于直线x=1对称,故本选项说法正确;
B.由函数图象可知,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是-4,故本选项说法正确;
C.由函数图象可知,当x<1时,y随x的增大而减小,故本选项说法错误;
D.因为抛物线的对称轴是直线x=1,与x轴的一个交点的坐标是(-1,0),所以与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),故-1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,故本选项说法正确.
故选C.
2.A 解析:∵抛物线开口向下,与y轴的交点在y轴正半轴上,∴a<0,c>0.
∵抛物线的对称轴在y轴左侧,
∴-<0.∴b<0.故选A.
3.A 解析:因为-=-=1>0,=m2+1>0,故此抛物线的顶点在第一象限.故选A.
4.B 解析:∵一次函数y=(a+1)x+a的图象经过第一、三、四象限,∴
解得-1∵y=ax2-ax=aa,
∴该函数的最大值为-a.
故选B.
5.y1>y3>y2 解析:∵二次函数y=x2-6x+c中,a=1>0,∴抛物线开口向上.∵-=-=3,∴B(3,y2)在对称轴上,y2最小.∵A(-1,y1),C(4,y3),3-(-1)>4-3,
∴y3y3>y2.
6.9 解析:∵抛物线y=x2-6x+c与x轴只有一个交点,∴Δ=(-6)2-4c=0,解得c=9.
7.①②③ 解析:①抛物线的对称轴在y轴右侧,则ab<0,又抛物线与y轴交于正半轴,即c>0,故abc<0,故①正确;②x=-2时,函数值小于0,则4a-2b+c<0,故②正确;③抛物线与x轴交于点(-1,0)和点(2,0),则对称轴为x=,∴-,故a+b=0,故③正确;④当x<时,y随x的增大而增大,故④错误.
8.解:(1)∵二次函数y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,
∴该函数图象的开口向下,顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2.
(2)∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,
∴D(2,1).
当y=0时,即-x2+4x-3=0,解得x1=1,x2=3.
∵该函数的图象与x轴交于点A、B,点A在点B左侧,
∴A(1,0),B(3,0).
∴AB=2.
当x=0时,y=-3,
∴点C的坐标为(0,-3).
如图所示,S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC
=×2×1+×2×3
=4,
∴四边形ADBC的面积为4.
9.解:(1)3
(2)y=-x2+x+3
(3)存在.分两种情况:①若AB=PB,则OP=OA,
∴P(-4,0);
②若AB=AP,
∵OB=3,OA=4,
∴AB==5.
∴OP=AP-OA=1.
∴P(-1,0).
综上所述,点P的坐标为(-4,0)或(-1,0).第5课时 二次函数最值的应用
二次函数最值的应用
1.(2024大连月考)二次函数y=-3x2+12x-5的最大值是 ( )
A.7 B.-7
C.17 D.-17
2.已知二次函数的图象(0≤x≤3.4)如图.关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是 ( )
A.有最大值2,无最小值
B.有最大值2,有最小值1.5
C.有最大值2,有最小值-2
D.有最大值1.5,有最小值-2
3.某学生在练习投篮时,篮球被抛出后,距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足下面的函数关系式:h=-t2+2t+2,则篮球距离地面的最大高度是 ( )
A.8 m B.6 m
C.4 m D.2 m
4.从喷水池喷头喷出的水珠,在空中形成一条抛物线,如图所示,在抛物线各个位置上,水珠的竖直高度y(单位:m)与它距离喷头的水平距离x(单位:m)之间满足函数关系式y=-2x2+4x+1,则喷出水珠的最大高度是 m.
5.某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-t2+30t+2,则这种礼炮从点火升空到最高点引爆需要的时间为 s.
6.某超市销售一款钢笔,每支钢笔的成本为20元/支,销售中发现,该钢笔每天的销售量y(支)与销售单价x(元)之间存在如图所示的关系.
(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(2)当销售单价为多少元时,该超市每天获利最大 最大利润是多少
1.为搞好环保,某公司准备修建一个长方体的污水处理池,池底矩形的周长为100 m,则池底的最大面积是 ( )
A.600 m2 B.625 m2 C.650 m2 D.675 m2
2.(跨学科)如图,在羽毛球比赛中,某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-x2+x+1的一部分(水平地面为x轴,单位:m),有下列结论:①出球点A离地面点O的距离是1 m;②羽毛球最高达到 m;③羽毛球横向飞出的最远距离是3 m.其中,正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.如图,为预防某传染病,某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区,隔离区一面靠长为5 m的墙,隔离区分成两个区域,中间用塑料膜隔开.已知整个隔离区塑料膜总长为12 m,如果隔离区出入口的大小不计,并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长,小明认为:隔离区的最大面积为12 m2;小亮认为:隔离区的面积可能为9 m2.则 ( )
A.小明正确,小亮错误 B.小明错误,小亮正确
C.两人均正确 D.两人均错误
4.如图所示,是一个长20 m、宽16 m的矩形花园,根据需要将它的长缩短x m、宽增加x m,要想使修改后的花园面积达到最大,则x应为 .
5.兰州深安黄河大桥采用叠合梁拱桥方案设计,主拱形OAB呈抛物线状,从上垂下若干个吊杆,与桥面相连.如图所示,建立平面直角坐标系,吊杆CD到原点O的水平距离OC=26 m,吊杆EF到原点O的水平距离OE=134 m,且CD=EF,主拱形离桥面的距离y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=-0.006(x-h)2+k,其图象的对称轴为直线x=h.
(1)求OH的长度;
(2)求主拱形到桥面的最大高度AH的长.
6.(应用意识)加强劳动教育,落实五育并举.某中学在当地政府的支持下,建成了一处劳动实践基地.2025年计划将其中1 000 m2的土地全部种植甲、乙两种蔬菜.经调查发现:甲种蔬菜种植成本y(单位:元/m2)与其种植面积x(单位:m2)的函数关系如图所示,其中200≤x≤700,乙种蔬菜的种植成本为50元/m2.
(1)当x为何值时,y的值是35;
(2)设2025年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元,如何分配两种蔬菜的种植面积,使W最小
【详解答案】
课堂达标
1.A 2.C 3.C 4.3 5.6
6.解:(1)设y=kx+b(k≠0),
则
解得
∴y=-10x+400.
(2)设该超市每天的利润为W元,
则W=(x-20)(-10x+400)=-10x2+600x-8 000=-10(x-30)2+1 000,
∵-10<0,∴当x=30时,W取得最大值,最大值为1 000.
答:当销售单价为30元时,该超市每天获利最大,最大利润是1 000元.
课后提升
1.B 解析:设矩形的一边长为x m,则其邻边长为(50-x)m,
若面积为S m2,则S=x(50-x)=-x2+50x=-(x-25)2+625.∵-1<0,∴S有最大值.∴当x=25时,S的最大值为625.故选B.
2.C 解析:当x=0时,y=1,
则出球点A离地面点O的距离是1 m,故①正确;
∵y=-x2+x+1,
配方,得y=-,
∴羽毛球最高可达到 m,故②正确;
当y=0时,0=-x2+x+1,
解得x1=-1(舍去),x2=4≠3,故③错误.
其中,正确结论的个数是2.
故选C.
3.B 解析:设平行于墙的长度为x m(0其图象对称轴为x=-=6.
∵0∵<12,∴小明错误;
令S=9,得9=-x2+4x,解得x1=9(舍),x2=3,∴x=3时,S=9,
∴隔离区的面积可能为9 m2.故选B.
4.2 解析:设修改后的花园面积为S m2,
由题图可得,S=(20-x)(16+x)=-(x-2)2+324,
∴当x=2时,S取得最大值324.
5.解:(1)由题意,得其对称轴为直线x==80,即h=80,OH=80 m.
答:OH的长度为80 m.
(2)∵h=80,
∴y=-0.006(x-80)2+k.
将(0,0)代入y=-0.006(x-80)2+k,
得-0.006×(0-80)2+k=0,
解得k=38.4,
∴y=-0.006(x-80)2+38.4.
∴A(80,38.4),即AH=38.4 m.
答:主拱形到桥面的最大高度AH的长为38.4 m.
6.解:(1)当200≤x≤600时,设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
∵点(200,20),(600,40)在该函数图象上,
∴解得
即当200≤x≤600时,y与x的函数关系式为y=0.05x+10,
当y=35时,35=0.05x+10,
解得x=500,
即当x为500时,y的值是35.
(2)由题意可得,
当200≤x≤600时,W=x(0.05x+10)+50(1 000-x)=0.05(x-400)2+42 000,
∴当x=400时,W取得最小值42 000,此时1 000-x=600;
当600∴当x=700时,W取得最小值43 000,此时1 000-x=300.
∵42 000<43 000,
∴当种植甲种蔬菜400 m2,乙种蔬菜600 m2时,W最小.第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质
1.(2024张家口桥西区期末)抛物线y=3(x+2)2的开口向 ( )
A.左 B.右 C.上 D.下
2.(2024崇左江州区期末)二次函数y=-3·(x+1)2图象的对称轴是 ( )
A.直线x=1 B.y轴 C.直线x=-1 D.直线x=3
3.抛物线y=(x-2)2是由抛物线y=x2平移得到的,下列平移正确的是 ( )
A.向上平移2个单位 B.向下平移2个单位
C.向左平移2个单位 D.向右平移2个单位
4.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-3)2(a≠0)的图象可能是 ( )
A B C D
5.二次函数y=a(x+h)2的图象如图所示,则对应的a、h的符号正确的是 ( )
A.a>0,h>0 B.a>0,h<0 C.a<0,h>0 D.a<0,h<0
6.抛物线y=3(x-1)2的开口向 ,对称轴是直线 ,顶点坐标是 ,它向
平移 个单位可得到抛物线y=3x2.
7.二次函数y=(x-1)2中,当x<1时,y随x的增大而 .(填“增大”或“减小”)
8.已知抛物线y=-(x+1)2.
(1)写出抛物线的对称轴;
(2)完成下表:
x … -7 -3 1 3 …
y … -9 -1 …
(3)请在平面直角坐标系中描点画出二次函数的图象.
1.(易错题)已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-2时,y随x的增大而增大,当x>-2时,y随x的增大而减小,则h的值为( )
A.-4 B.-2 C.4 D.2
2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是( )
A.第一、二象限 B.第二、四象限
C.第三、四象限 D.第二、三象限
3.在平面直角坐标系中,函数y=-x+1与y=-(x-1)2的图象大致是 ( )
A B C D
4.如图,在平面直角坐标系中,过点A且与x轴平行的直线交抛物线y=(x+1)2于B、C两点.若线段BC的长为6,则点A的坐标为 ( )
A.(0,1) B.(0,4.5) C.(0,3) D.(0,6)
5.将抛物线y=2(x+3)2向右平移2个单位后,得到抛物线y=2(x-h)2,则h的值为 .
6.已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,则y1与y2的大小关系是y1 y2.(填“<”“>”或“=”)
7.如图,在 ABCD中,BC=6,S ABCD=12,则抛物线的表达式为 ;若将抛物线向左平移,使它的对称轴为y轴,则应向左平移 个单位.
8.已知一条抛物线的开口方向和形状与y=3x2相同,顶点在抛物线y=(x+2)2的顶点上.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)将(1)中的抛物线向右平移4个单位得到的新抛物线的表达式为 ;
(3)将(1)中的抛物线的顶点不变,开口方向相反,所得的新抛物线的表达式为 .
9.(推理能力)如图,将抛物线y=x2向右平移a个单位后,顶点为A,与y轴交于点B,且△AOB为等腰直角三角形.
(1)求a的值;
(2)在图中的抛物线上是否存在点C,使△ABC为等腰直角三角形 若存在,写出点C的坐标,并求S△ABC;若不存在,请说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.C 2.C 3.D 4.C 5.C
6.上 x=1 (1,0) 左 1
7.减小
8.解:(1)抛物线的对称轴为直线x=-1.
(2)表格填写如下:
x … -7 -5 -3 -1 1 3 5 …
y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
(3)二次函数的图象如图.
课后提升
1.D 解析:∵当x<-2时,y随x的增大而增大,当x>-2时,y随x的增大而减小,
∴二次函数y=-(x+h)2图象的对称轴为直线x=-2.∴h的值为2.故选D.
2.A 解析:∵y=-3(x+1)2,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,0).
∴抛物线经过第三、四象限.
∴不经过第一、二象限.
故选A.
3.D 解析:∵y=-x+1的图象过第一、二、四象限,y=-(x-1)2的开口向下,顶点在点(1,0),
∴同时符合条件的图象只有选项D.
故选D.
4.C 解析:将抛物线y=(x+1)2向右平移1个单位,得到抛物线y=x2,此时BC的长度和点A的位置都不变,BC=6,∴点C的对应点C'的横坐标是3.代入y=x2,得y=3,∴A(0,3).故选C.
5.-1 解析:根据平移的性质“左加右减”,得3-2=-h,解得h=-1.
6.> 解析:∵函数的二次项系数为-1<0,∴在对称轴(直线x=1)的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴(直线x=1)的右侧,y随x的增大而减小.∵a>2>1,∴y1>y2.
7.y=(x-3)2 3 解析:易求 ABCD的高OA为2,故有A(0,2),D(6,2),且它们为关于抛物线对称轴对称的点,所以C(3,0).设抛物线的表达式为y=a(x-3)2,把(0,2)代入,得a=,所以y=(x-3)2.将抛物线向左平移3个单位后,它的对称轴为y轴.
8.解:(1)由题意,设抛物线的表达式为y=a(x-h)2.
∵抛物线开口方向和形状与y=3x2相同,
∴a=3.
∵顶点在抛物线y=(x+2)2的顶点上,
∴h=-2.
∴抛物线的表达式为y=3(x+2)2.
(2)y=3(x-2)2 (3)y=-3(x+2)2
9.解:(1)∵将抛物线y=x2向右平移a个单位后为抛物线y=(x-a)2,∴点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,a2).∵OA=OB,∴a2=a.
∵a≠0,∴a=1.
(2)存在.由(1)可得点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,1),作点B关于抛物线的对称轴对称的点C,连结AC、BC,BC交抛物线的对称轴于点D,如图所示.
∵△AOB为等腰直角三角形,
∴△ABD为等腰直角三角形.
∴∠BAD=45°.
∵AD为抛物线的对称轴,
∴AB=AC,∠CAD=∠BAD=45°.
∴△ABC为等腰直角三角形.
∵点B(0,1),抛物线的对称轴为直线x=1,
∴点C的坐标为(2,1).
∴S△ABC=AB·AC==1.故在图中的抛物线上存在点C,使△ABC为等腰直角三角形,点C的坐标为(2,1),且S△ABC=1.第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质
1.抛物线y=-2(x+2)2-1的顶点坐标为 ( )
A.(2,-1) B.(-2,-1)
C.(2,1) D.(-2,1)
2.(2024廊坊期末)根据如图所示的二次函数y=(x-2)2+3的图象,可以判断坐标系原点可能是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
3.把抛物线y=x2向右平移2个单位,然后向下平移3个单位,则平移后得到的抛物线表达式是 ( )
A.y=(x-2)2-3 B.y=-(x+2)2-3
C.y=(x+2)2+3 D.y=-(x-2)2+3
4.(易错题)若二次函数y=(x-m)2-1,当x<3时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是 ( )
A.m=3 B.m>3
C.m≥3 D.m≤3
5.已知二次函数y=(x-3)2+m,当x 时,y随x的增大而减小.
6.已知二次函数y=a(x-3)2+c(a、c为常数,a<0),当自变量x分别取,0,4时,所对应的函数值分别为y1、y2、y3,则y1、y2、y3的大小关系为 .(用“<”连接)
7.把抛物线C1:y=(x+1)2+2先向右平移4个单位,再向下平移5个单位得到抛物线C2.
(1)求抛物线C2的函数关系式;
(2)动点P(a,-6)能否在抛物线C2上 请说明理由.
1.(2024岳阳开学)顶点为(-4,1),且开口方向、形状与函数y=-x2的图象相同的抛物线是 ( )
A.y=(x+4)2+1 B.y=-(x+4)2-1
C.y=(x-4)2+1 D.y=-(x+4)2+1
2.若抛物线y=(x+m)2+n的顶点在第二象限,则直线y=mx-n不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.无论实数n为何值,y关于x的二次函数y=-4(x-n)2-2n图象的顶点一定在( )
A.直线y=-2x上 B.y轴上
C.直线y=2x上 D.x轴上
4.点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上.若y1A.m>2 B.m> C.m<1 D.5.二次函数y=a(x-2)2+c与一次函数y=cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 ( )
A B C D
6.如图,在平面直角坐标系中,有两条位置确定的抛物线,它们的对称轴相同,表达式中的h、k、m、n都是常数,则下列关系不正确的是 ( )
A.h<0,k>0 B.m<0,n>0 C.h=m D.k=n
7.已知二次函数y=(x-2m)2+1,当m8.如图,在平面直角坐标系中,点A是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 .
9.如图,已知抛物线y=a(x-h)2+经过点O(0,0),A(2,0).
(1)写出该抛物线的对称轴;
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA',试判断点A'是否为该抛物线的顶点,并说明理由.
10.(几何直观)如图,已知抛物线顶点A的坐标为(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C、D两点,点P是 x轴上的一个动点.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)当PA+PB的值最小时,求点P的坐标.
【详解答案】
课堂达标
1.B 2.A 3.A 4.C
5.<3 6.y27.解:(1)把抛物线C1:y=(x+1)2+2先向右平移4个单位,再向下平移5个单位得到抛物线C2:y=(x+1-4)2+2-5,即y=(x-3)2-3.
(2)动点P(a,-6)不能在抛物线C2上.理由如下:
∵抛物线C2的函数关系式为y=(x-3)2-3,
∴函数的最小值为-3.
∵-6<-3,
∴动点P(a,-6)不能在抛物线C2上.
课后提升
1.D 解析:∵顶点为(-4,1),
∴设抛物线表达式为y=a(x+4)2+1.
∵开口方向、形状与函数y=-x2的图象相同,
∴a=-1.
∴抛物线表达式为y=-(x+4)2+1.
故选D.
2.B 解析:抛物线y=(x+m)2+n的顶点为(-m,n),∵抛物线y=(x+m)2+n的顶点在第二象限,
∴-m<0,n>0.
解得m>0,n>0,∴-n<0,
∴直线y=mx-n经过的象限为第一、三、四象限,故直线y=mx-n不经过的象限为第二象限.
故选B.
3.A 解析:∵二次函数y=-4(x-n)2-2n图象的顶点坐标为(n,-2n),∴无论n为何实数,其图象的顶点都在直线y=-2x上.故选A.
4.B 解析:∵点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上,
∴y1=(m-1-1)2+n=(m-2)2+n,y2=(m-1)2+n.∵y1.故选B.
5.B 解析:选项A中,由题图可知,一次函数y=cx+a中,c<0,a<0,二次函数y=a(x-2)2+c中,a>0,c<0,故A错误;选项B中,由题图可知,一次函数y=cx+a中,a>0,c<0,二次函数y=a(x-2)2+c中,a>0,c<0,故B正确;选项C中,二次函数y=a(x-2)2+c的图象的对称轴应为直线x=2,在y轴右侧,故C错误;选项D中,由题图可知,一次函数y=cx+a中,c>0,a>0,二次函数y=a(x-2)2+c中,a>0,c<0,故D错误.故选B.
6.D 解析:根据二次函数表达式确定两抛物线的顶点坐标分别为(h,k),(m,n),又因为它们的对称轴相同,所以m=h,由题图知h<0,k>0,m<0,n>0,因为点(h,k)在点(m,n)的下方,所以k=n不正确.故选D.
7.m≥1 解析:二次函数y=(x-2m)2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=2m,当x<2m时,y随x的增大而减小,当m8.18 解析:∵抛物线y=a(x-3)2+k的对称轴为直线x=3,且AB∥x轴,∴AB=2×3=6.
∴等边三角形ABC的周长为3×6=18.
9.解:(1)∵抛物线y=a(x-h)2+经过点O(0,0),A(2,0),∴该抛物线的对称轴为直线x==1.
(2)点A'是该抛物线的顶点.理由如下:
过A'作A'B⊥x轴于点B(图略),
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA',
∴OA'=OA=2,∠A'OA=60°.
在Rt△A'OB中,∠OA'B=30°,
∴OB=OA'=1.
∴A'B=tan 60°·OB=.
∴点A'的坐标为(1,).
由题意知抛物线的顶点坐标为(1,),
∴点A'为该抛物线的顶点.
10.解:(1)∵抛物线顶点A的坐标为(1,4),
∴设此抛物线的表达式为y=a(x-1)2+4.
把点B(0,3)的坐标代入,得a+4=3,解得a=-1,
∴此抛物线的表达式为y=-(x-1)2+4.
(2)如图,作点B关于x轴的对称点B',B'的坐标为(0,-3),连结AB',AB'与x轴的交点为点P,此时PA+PB的值最小,设直线AB'的表达式为
y=kx+b(k≠0),
将(1,4),(0,-3)代入y=kx+b,得
解得
∴直线AB'的表达式为y=7x-3.
令y=0,则7x-3=0,解得x=,
∴当PA+PB的值最小时,点P的坐标为.