【精品解析】二次函数图象与性质—浙教版数学九（上）知识点训练

二次函数图象与性质—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2021九上·鄞州期末）下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：A、二次函数的顶点为（1，3），在第一象限，不合题意；
B、二次函数的顶点为（1，﹣3），在第四象限，不合题意；
C、二次函数的顶点为（﹣1，3），在第二象限，符合题意；
D、二次函数的顶点为（﹣1，﹣3），在第三象限，不合题意.
故答案为：C.
【分析】二次函数的顶点式为：y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k）；若A（m，n），当m>0，n>0时，点A在第一象限；当m<0，n>0时，点A在第二象限；当m<0，n<0时，点A在第三象限；当m>0，n<0时，点A在第四象限，据此判断即可得出答案.
2．（2023九上·萧山月考）二次函数y=的图象向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：二次函数y=的图象向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是：
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的几何变换规律：左加右减，上加下减，进而即可求解.
3．（2024九上·浙江期中）已知点（2，y1），（1，y2），（－1，y3）在抛物线y＝－x2＋2x＋m上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解： 抛物线y＝－x2＋2x＋m 的对称轴为直线，开口向下，
∴当x=1时， y2 最大；
又∵2离对称轴比-1近，
∴ y1 > y3 ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口确定x=1时， y2 最大，然后根据离对称轴近的函数值大解题即可.
4．（2024九上·浙江期中）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点（a，b＋c）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由图可知a<0，b>0，c>0，
∴b+c>0，
∴点 （a，b＋c）位于 第二象限，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图象得到a<0，b>0，c>0，进而得到b+c>0，即横坐标为负数，纵坐标为正数的点在第二象限.
5．（2024九上·浙江期中）对于抛物线y＝3（x+2）2﹣1，下列判断不正确的是（　　）
A．抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1）
B．把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线y＝3（x+1）2+1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
D．若点A（2，y1），B（﹣3，y2）在抛物上，则y1＜y2
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A选项，由顶点式的性质知 抛物线y＝3（x+2）2﹣1 的 顶点坐标为（﹣2，﹣1） ，故A正确；
B选项，抛物线向右平移1个单位， 为y＝3（x+2-1）2﹣1，即 y＝3（x+1）2+1 ，故B正确；
C选项，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x=-2，当x>-2时，y随x的增大而增大，故C正确；
D选项，A、B分别在对称轴的两侧，点A到对称轴的距离为2-(-2)=4，而点B到对称轴的距离为-2-(-3)=1，抛物线开口向上，离对称轴越近，对应的函数越小，故 y1>y2，故D错误；
故答案为：D.
【分析】分别根据二次函数的顶式点知其顶点坐标可判断A，根据平移规则可判断B选项，由函数的开口方向和对称轴，即可判断C选项，由点到对称轴的距离远近可判断函数值的大小关系即可判断D选项.
6．（2024九上·浙江期中）若－1≤x≤m时，函数y＝(x－2)2＋1的最大值为17，则m＝　 　．
【答案】6
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：
函数 的图象开口向上，对称轴为直线
当 时，y随x的增大而减小，当> 时，y随x的增大而增大，
当 时，
当 时，
解得
又因为当 时，函数的最大值为17，
所以
故答案为：6.
【分析】根据二次函数的开口方向和最值可得对称轴为直线 当 时， 计算当y=17时的x的值，结合函数图象即可得到结果.
7．（2024九上·温州开学考）已知二次函数的图象经过点和．若，则m的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∵点关于对称轴的对称点为，
∵二次函数的图象经过点和，且，
∴或．
故答案为：m＜-1或m＞5.
【分析】先判断函数的开口方向和对称轴，从而可得到其增减性，然后根据二次函数的对称性求出点P关于抛物线对称轴对称点的坐标，再结合P、Q两点纵坐标的大小，可求得m的取值范围．
8．（2022九上·杭州期中）已知二次函数经过点，，且最大值为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：设抛物线解析式为，
由最大值为，得到，即，
则抛物线解析式为
（2）解：列表：
描点、连线，
函数图象如图所示；
；
（3）解：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【分析】（1）根据两点式设抛物线解析式为：，再根据二次函数最大值为4，求出a的值，即可求出抛物线解析式；
（2）先根据二次函数的解析式列表，然后再平面直角坐标系中描点，最后连线即可；
（3）根据（2）中所画出的图象，即可写出y的取值范围.
9．（2024九上·宁波期中）已知二次函数的解析式为，其中.
（1）若点在该函数图象上，求这个二次函数的解析式.
（2）若是二次函数图象上两个不同的点；当时，，求的值.
（3）若该二次函数图象过点，且当时随的增大而增大，求的取值范围.
【答案】（1）解：将(1，3)， a-b=4代入 得： 3=a+a+1+a-4，
∴a=2，
∴b=a-4=-2，
∴这个二次函数的表达式为： ；
（2）解：
∴这两个点关于x轴对称，
；
（3）解：∵点(-1，t)在二次函数图象上，
∴t=a-a-1+a-4=a-5，
∵当x≥-1时y随x的增大而增大，
当a>0时， 有
∴0∴--5当a<0时，不符合题意舍去，
∴--5【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)将(1，3)， a-b=4代入 即可；
(2)由 可得这两个点关于x轴对称，再利用对称轴公式计算即可；
(3)由题意可得t =a﹣5， 分a>0和a<0分别求解即可.
10．（2024九上·温州开学考）已知抛物线与x轴交于点与．
（1）求该抛物线的解析式及它的对称轴．
（2）点在该抛物线上，求m的值．
（3）当函数值时，请直接写出自变量x的取值范围______．
（4）当时，请直接写出函数y的取值范围______．
【答案】（1）解：将点与代入抛物线，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：，对称轴为：；
（2）解：∵点在该抛物线上，
∴将点代入，
∴；
（3）或
（4）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）∵当或时，二次函数图象在x轴上方，∴当函数值时，自变量x的取值范围是：或．
（4）当时，，
当时，，
抛物线顶点为，
当时，函数y的取值范围为：．
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可，根据对称轴公式即可解答；
（2）将（1，m）点代入抛物线解析式，即可解答；
（3）结合抛物线与x轴交点坐标，找出x轴上方部分图象自变量x的取值范围即可；
（4）找出-3＜x＜2这段图象最高点及最低点对应的函数值即可.
（1）解：将点与代入抛物线，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：，对称轴为：．
（2）∵点在该抛物线上，
∴将点代入，
∴．
（3）∵当或时，二次函数图象在x轴上方，
∴当函数值时，自变量x的取值范围是：或．
（4）当时，，
当时，，
抛物线顶点为，
当时，函数y的取值范围为：．
二、能力提升
11．（2023九上·义乌月考）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当x＞0时，y＞0； ②若a＝﹣1，则b＝4；
③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为．其中真命题的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-几何问题；真命题与假命题
【解析】【解答】解：由图象可知，当x＞0时，图象经过第一、四象限，
∴当0＜x＜b时，y＞0，当x＞b时，y＜0，故①是假命题；
∵y＝﹣x2+2x+m+1=-（x-1）2+m+2，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵ 抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0） ，若a=-1，
∴
解之：b=3，故②是假命题；
∵x1+x2＞2 ，
∴（x1+x2）＞1，
∵x1＜1＜x2，
∴x1-1＜0＜x2-1，
∴点Q距离对称轴较远，
∴y1＞y2，故③是真命题；
作点D关于y轴的对称点D'，E关于x轴的对称点E'，连接D'E'，交x轴于点G，交y轴于点F，
∴EG=GE'，DF=D'F，
∴四边形EDFG的周长=DE+DF+EG+FG=D'E'+DE，
∴此时D'E'与DE的和为四边形EDFG的周长的最小值，
当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，
∴顶点坐标为（1，4），
当x=0时，y=3，
∴D'（-1，4），C（0，3），E（2，3），E'（2，-3），
∴，，
∴四边形EDFG的周长的最小值为，故④是假命题；
故答案为：C.
【分析】由图象可知，当x＞0时，图象经过第一、四象限，可对①作出判断；利用函数解析式可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性可求出b的值，可对②作出判断；利用已知可推出（x1+x2）＞1，根据x1＜1＜x2，可得到x1-1＜0＜x2-1，据此可推出点Q距离对称轴较远，可对③作出判断；作点D关于y轴的对称点D'，E关于x轴的对称点E'，连接D'E'，交x轴于点G，交y轴于点F，可证得EG=GE'，DF=D'F，可推出D'E'与DE的和为四边形EDFG的周长的最小值，将m=2代入函数解析式，可得到抛物线的顶点D的坐标，即可求出点C，E，E'的坐标，利用平面直角坐标系内两点的距离公式，分别求出DE，D'E'的长，即可求出四边形EDFG的周长的最小值，可对④作出判断；综上所述可得到真命题的序号.
12．（2023九上·义乌期中）设函数，，．直线x＝b的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（b，c1），B（b，c2），C（b，c3），（　　）
A．若b＜a1＜a2＜a3，则c2＜c3＜c1 B．若a1＜b＜a2＜a3，则c1＜c2＜c3
C．若a1＜a2＜b＜a3，则c3＜c2＜c1 D．若a1＜a2＜a3＜b，则c3＜c2＜c1
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
A、由图象可知： 若b＜a1＜a2＜a3，当x=b时，则c1＜c2＜c3 ， 故选项错误，不符合题意；
B、由图象可知：若a1＜b＜a2＜a3，当x=b时，c1＜c2＜c3不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C、由图象可知： 若a1＜a2＜b＜a3，当x=b时，c3＜c2＜c1不一定成立，故选项错误，不符合题意；
D、由图象可知： 若a1＜a2＜a3＜b，当x=b时，c3＜c2＜c1 ， 故选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据题意，画出满足题意的函数图象，根据x=b与二次函数图象交点的位置进行判断即可.
13．（2023九上·义乌月考）已知二次函数（），经过点P（，12）．当时，的取值范围为．则如下四个值中有可能为的是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵当时，即，x的取值范围为或，
∴或是方程的两个根，
∴，
∴，
∴，
又∵，x的取值范围为或，
∴，
∴，
∵函数经点，
∴，
∴，
∴，
结合选项可得，m可能取值为2，
故答案为：A.
【分析】由，x的取值范围为或，可以得出或是方程的两个根，则，再由，可得，即，将点代入函数解析式可得，结合选项判断可能人取值，即可得解．
14．（2023九上·期中）二次函数、、是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值有以下结论：；；关于的方程的负实数根在和之间；和在该二次函数的图象上，则当实数时，．
其中正确的结论是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①将点代入二次函数的解析式可得：可得即a与b互为相反数，即则即故①错误；
②将代入得：所以又因为 当时，对应的函数值 即，解得则故②正确；
③因为，则对称轴直线方程：又因为 当时，对应的函数值 所以根据二次函数的对称性可得：当时，对应的函数值而时所以抛物线与x轴的交点坐标在和0之间，即 关于的方程的负实数根在和之间 ，所以③正确；
④因为 和在该二次函数的图象上，所以若，且s所以解得故④错误，
综上所述②③正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查二次函数各项系数的关系、二次函数图象及性质.
15．（2024九上·浙江期中）若抛物线和两坐标轴的交点分别为(0，2)，(m，0)，(m+6，0)，当02，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①当m>0时，如图所示，抛物线与x轴有2个交点，且都在x轴正半轴；当 02不是总成立，故m>0不符合题意；
②当m<0时，如图所示，过点C作CM||x轴交抛物线于点M，易知抛物线的对称轴为直线x=，由对称性知点M的坐标为(2m+6，2)
而 02 ，则
m+2≤2m+6，且m+2>0，
得m≥-，故
综上所述，
故答案为：.
【分析】分类讨论m>0和m<0的两种情形，结合二次函数的草图，当m>0时，明显不符合题意；而当m<0时，则m+2≤2m+6即符合题意.
16．（2024九上·嘉兴期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴交于点 ，
∴点A坐标（0，－3）.
∵ =a(x-2)2－4a－3
∴顶点坐标是P（2，－4a－3），对称轴是x=2，
∴B点坐标（4，－3）.
∴AB=4.
∴，
∴BC=3.
∴C(1，－3)或者C（7，－3）
∴当C坐标为(1，－3)时，直线OP的解析式：y=－3x.
把x=2代入得，y=-6，即－4a－3=－6，
∴.
∴当C坐标为(7，－3)时，直线OP的解析式：
把x=2代入得，，即，
∴.
故答案为：或.
【分析】根据A点坐标和对称轴可以得到点B的坐标，从而得到AB长，根据4BC=3AB，得BC长，点C在直线AB上，但位置不确定，由两种情况：①点C在线段AB之间，②点C在线段AB的延长线上，分情况表示出点C坐标，从而得到直线OP的解析式，把x=2代入，即可得到a的值.
17．（2024九上·浙江期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋3（a≠0，b是实数）图象经过四点：（－1，m），（1，n），（2，3），（4，p）．
（1）若m＝4，①求二次函数的表达式；②已知x≤2k－3时，y随x的增大而减小，求k的最大值．
（2）若m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当 m＝4 时，图象经过点（－1，4），
①把（－1，4），（2，3）分别代入 y＝ax2＋bx＋3，得
， 解得： ，
②由 得： 对称轴为直线 ， 时， 随 的增大而减小，
， 解得： ，
的最大值为 2 .
（2）解：把 分别代入 ， 得： ，
时， 时， 时， ；当 时， ，
这三个实数中， 有且只有一个是负数，
， 即： ， 解得： ，
当 时， ，
这三个实数中， 有且只有一个是负数，
， 即： ， 解得： ，综上所述， 的取值范围是： 或 .
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)①把(-1， 4)， (2， 3)代入 得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组求得a、b的值，即可求得二次函数的解析式；
②根据二次函数的性质即可求得；
(2)根据题意得到m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，即 根据二次函数的性质即可求得.
18．（2024九上·杭州月考）
（1）【问题初探】
综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：
已知二次函数y＝x2+2x－3，当－2≤x≤2时，y的取值范围为；
①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成y＝a(x－h)2+k
形式，确定抛物线对称轴为直线x＝h，通过－2、h和2的大小
关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围；
②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是　 　；
（2）【类比分析】
张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数y＝－x2+2x－3，当－2≤x≤2时，求y的取值范围；
（3）【学以致用】
已知二次函数y＝－x2+6x－5，当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y1，最小值为y2，若y1－y2＝3，求a的值．
【答案】（1）－4≤y≤5
（2）解：对称轴为x=-1，
①当时，即
时，
②当即
时，
③当即
Ⅰ即
∴y有最大值，
Ⅱ即
∴y有最大值，
综上所述，，
（3）解：对称轴为x=3，
①当a≥3时，
∵
∴
∴
②当时，即
∵
∴
∴
③时，
Ⅰ即
∴
∵
∴
∴
Ⅱ即
∴
∵
∴
∴
综上所述，a=3或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据小伟的做法：
∴对称轴为：x=-1，
∵且
∴当x=-1时，y有最小值为-4，
当x=2时，y有最大值为5，
∴y的取值范围是：－4≤y≤5，
故答案为：－4≤y≤5.
【分析】（1）根据小伟的做法进行求解即可；
（2）根据题意知需对a-1，-1，a+1之间的关系进行讨论，即可求解；
（3）把函数化为顶点式，比较a，3和a+3的大小，分成三种情况讨论，①当a≥3时，②当时，③时，分别列式计算即可.
三、拓展创新
19．（2024九上·金华开学考）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一段抛物线.记为抛物线C1，它与x轴交于点O，A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A1，A2；将抛物线C2绕点A2，旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A2，A3；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M(2023，m)在此“波浪线”上，则m的值为（　　）
A．-9 B．-5 C．9 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵
∴ 抛物线C1 的对称轴为直线x=3
∴A1(6，0)，A2(12，0)
∴整个函数图象每隔12个单位长度，函数值就相等
∵2023÷12=168…7
由旋转可知： 抛物线C2 的解析式为
∴当x=7时，y=(7-9)2-9=-5
∴m=-5
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出点A1(6，0)，A2(12，0)，可以得出整个函数图象每隔12个单位长度，函数值就相等，因为2023÷12=168…7，因此当x=7时的函数值就是m的值，再根据旋转的性质可得：抛物线C2 的解析式为，把x=7代入中求出y的值即可.
20．（2024九上·浙江期中）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”．抛物线y＝ax2－2ax＋2a（a为常数）与直线y＝x交于M、N两点，若线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是　 　．
【答案】 或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：
∵y＝ax2－2ax＋2=a(x-1)2+a，
∴当a>0时，
抛物线的顶点坐标为(1， a)，过点P(2，2a)， Q(3， 5a)， R(4， 10a).
显然， “完美点”(1， 1)， (2， 2)， (3， 3)符合题意.下面讨论抛物线经过(2，1)，(3，2)的两种情况：
①当抛物线经过(2， 1)时， 解得 此时，P(2， 1)， Q(3， )， R(4， 5).
如图所示， 满足题意的“完美点”有(1， 1)， (2， 1)，(2， 2)， (3， 3)， 共4个.
②当抛物线经过(3， 2)时， 解得此时，P(2， )， Q(3， 2)， R(4， 4).
如图所示， 满足题意的“完美点”有(1， 1)， (2， 1)，(2， 2)， (3， 2)， (3， 3)， (4， 4)， 共6个.
∴a的取值范围是 ；
同理当a<0时，a的取值范围是 ；
故答案为：或 .
【分析】抛物线的顶点坐标为(1， a)，当a>0时，过点P(2，2a)， Q(3， 5a)， R(4， 10a)， 显然， “整点”(1，1)， (2， 2)， (3， 3)符合题意， 再将(2， 1)和(3， 2)代入即可；同理可得a<0时的取值范围.
21．（2024九上·岱山开学考）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
【答案】（1）解：①.
②，∵，∴，∴函数的“最优纵横值”为2.
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵最优纵横值为5，
∴，
∴.
（3）解：，
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征；配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，故答案为：.
【分析】（1）①根据定义，求出y-x的值即可；
②根据定义， 先计算y-x的值，结合x的取值范围和反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴求出b=3，故抛物线的解析式为y=-x2+3x+c，根据定义，求出y-x=-x2+3x+c-x=-（x-1）2+1+c，根据配方法可得x=1时，y-x的值最大为c+1，根据最优纵横值为5，即可得出1+c=5，解得c=4；
（3）根据定义，求出，结合故y-x与x的函数图象，关于直线x=b对称，且抛抛物线的开口向下，据此分为b＞0和b＜-1两种情况，分别计算求出b的值，即可求解.
1 / 1二次函数图象与性质—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2021九上·鄞州期末）下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·萧山月考）二次函数y=的图象向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·浙江期中）已知点（2，y1），（1，y2），（－1，y3）在抛物线y＝－x2＋2x＋m上，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·浙江期中）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点（a，b＋c）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024九上·浙江期中）对于抛物线y＝3（x+2）2﹣1，下列判断不正确的是（　　）
A．抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1）
B．把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线y＝3（x+1）2+1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
D．若点A（2，y1），B（﹣3，y2）在抛物上，则y1＜y2
6．（2024九上·浙江期中）若－1≤x≤m时，函数y＝(x－2)2＋1的最大值为17，则m＝　 　．
7．（2024九上·温州开学考）已知二次函数的图象经过点和．若，则m的取值范围是　 　．
8．（2022九上·杭州期中）已知二次函数经过点，，且最大值为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
9．（2024九上·宁波期中）已知二次函数的解析式为，其中.
（1）若点在该函数图象上，求这个二次函数的解析式.
（2）若是二次函数图象上两个不同的点；当时，，求的值.
（3）若该二次函数图象过点，且当时随的增大而增大，求的取值范围.
10．（2024九上·温州开学考）已知抛物线与x轴交于点与．
（1）求该抛物线的解析式及它的对称轴．
（2）点在该抛物线上，求m的值．
（3）当函数值时，请直接写出自变量x的取值范围______．
（4）当时，请直接写出函数y的取值范围______．
二、能力提升
11．（2023九上·义乌月考）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当x＞0时，y＞0； ②若a＝﹣1，则b＝4；
③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为．其中真命题的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
12．（2023九上·义乌期中）设函数，，．直线x＝b的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（b，c1），B（b，c2），C（b，c3），（　　）
A．若b＜a1＜a2＜a3，则c2＜c3＜c1 B．若a1＜b＜a2＜a3，则c1＜c2＜c3
C．若a1＜a2＜b＜a3，则c3＜c2＜c1 D．若a1＜a2＜a3＜b，则c3＜c2＜c1
13．（2023九上·义乌月考）已知二次函数（），经过点P（，12）．当时，的取值范围为．则如下四个值中有可能为的是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．（2023九上·期中）二次函数、、是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值有以下结论：；；关于的方程的负实数根在和之间；和在该二次函数的图象上，则当实数时，．
其中正确的结论是（　　）
A． B． C． D．
15．（2024九上·浙江期中）若抛物线和两坐标轴的交点分别为(0，2)，(m，0)，(m+6，0)，当02，则m的取值范围是　 　．
16．（2024九上·嘉兴期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为　 　．
17．（2024九上·浙江期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋3（a≠0，b是实数）图象经过四点：（－1，m），（1，n），（2，3），（4，p）．
（1）若m＝4，①求二次函数的表达式；②已知x≤2k－3时，y随x的增大而减小，求k的最大值．
（2）若m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，求a的取值范围．
18．（2024九上·杭州月考）
（1）【问题初探】
综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：
已知二次函数y＝x2+2x－3，当－2≤x≤2时，y的取值范围为；
①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成y＝a(x－h)2+k
形式，确定抛物线对称轴为直线x＝h，通过－2、h和2的大小
关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围；
②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是　 　；
（2）【类比分析】
张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数y＝－x2+2x－3，当－2≤x≤2时，求y的取值范围；
（3）【学以致用】
已知二次函数y＝－x2+6x－5，当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y1，最小值为y2，若y1－y2＝3，求a的值．
三、拓展创新
19．（2024九上·金华开学考）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一段抛物线.记为抛物线C1，它与x轴交于点O，A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A1，A2；将抛物线C2绕点A2，旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A2，A3；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M(2023，m)在此“波浪线”上，则m的值为（　　）
A．-9 B．-5 C．9 D．5
20．（2024九上·浙江期中）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”．抛物线y＝ax2－2ax＋2a（a为常数）与直线y＝x交于M、N两点，若线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是　 　．
21．（2024九上·岱山开学考）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：A、二次函数的顶点为（1，3），在第一象限，不合题意；
B、二次函数的顶点为（1，﹣3），在第四象限，不合题意；
C、二次函数的顶点为（﹣1，3），在第二象限，符合题意；
D、二次函数的顶点为（﹣1，﹣3），在第三象限，不合题意.
故答案为：C.
【分析】二次函数的顶点式为：y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k）；若A（m，n），当m>0，n>0时，点A在第一象限；当m<0，n>0时，点A在第二象限；当m<0，n<0时，点A在第三象限；当m>0，n<0时，点A在第四象限，据此判断即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：二次函数y=的图象向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是：
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的几何变换规律：左加右减，上加下减，进而即可求解.
3．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解： 抛物线y＝－x2＋2x＋m 的对称轴为直线，开口向下，
∴当x=1时， y2 最大；
又∵2离对称轴比-1近，
∴ y1 > y3 ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口确定x=1时， y2 最大，然后根据离对称轴近的函数值大解题即可.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由图可知a<0，b>0，c>0，
∴b+c>0，
∴点 （a，b＋c）位于 第二象限，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图象得到a<0，b>0，c>0，进而得到b+c>0，即横坐标为负数，纵坐标为正数的点在第二象限.
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A选项，由顶点式的性质知 抛物线y＝3（x+2）2﹣1 的 顶点坐标为（﹣2，﹣1） ，故A正确；
B选项，抛物线向右平移1个单位， 为y＝3（x+2-1）2﹣1，即 y＝3（x+1）2+1 ，故B正确；
C选项，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x=-2，当x>-2时，y随x的增大而增大，故C正确；
D选项，A、B分别在对称轴的两侧，点A到对称轴的距离为2-(-2)=4，而点B到对称轴的距离为-2-(-3)=1，抛物线开口向上，离对称轴越近，对应的函数越小，故 y1>y2，故D错误；
故答案为：D.
【分析】分别根据二次函数的顶式点知其顶点坐标可判断A，根据平移规则可判断B选项，由函数的开口方向和对称轴，即可判断C选项，由点到对称轴的距离远近可判断函数值的大小关系即可判断D选项.
6．【答案】6
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：
函数 的图象开口向上，对称轴为直线
当 时，y随x的增大而减小，当> 时，y随x的增大而增大，
当 时，
当 时，
解得
又因为当 时，函数的最大值为17，
所以
故答案为：6.
【分析】根据二次函数的开口方向和最值可得对称轴为直线 当 时， 计算当y=17时的x的值，结合函数图象即可得到结果.
7．【答案】或
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∵点关于对称轴的对称点为，
∵二次函数的图象经过点和，且，
∴或．
故答案为：m＜-1或m＞5.
【分析】先判断函数的开口方向和对称轴，从而可得到其增减性，然后根据二次函数的对称性求出点P关于抛物线对称轴对称点的坐标，再结合P、Q两点纵坐标的大小，可求得m的取值范围．
8．【答案】（1）解：设抛物线解析式为，
由最大值为，得到，即，
则抛物线解析式为
（2）解：列表：
描点、连线，
函数图象如图所示；
；
（3）解：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【分析】（1）根据两点式设抛物线解析式为：，再根据二次函数最大值为4，求出a的值，即可求出抛物线解析式；
（2）先根据二次函数的解析式列表，然后再平面直角坐标系中描点，最后连线即可；
（3）根据（2）中所画出的图象，即可写出y的取值范围.
9．【答案】（1）解：将(1，3)， a-b=4代入 得： 3=a+a+1+a-4，
∴a=2，
∴b=a-4=-2，
∴这个二次函数的表达式为： ；
（2）解：
∴这两个点关于x轴对称，
；
（3）解：∵点(-1，t)在二次函数图象上，
∴t=a-a-1+a-4=a-5，
∵当x≥-1时y随x的增大而增大，
当a>0时， 有
∴0∴--5当a<0时，不符合题意舍去，
∴--5【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)将(1，3)， a-b=4代入 即可；
(2)由 可得这两个点关于x轴对称，再利用对称轴公式计算即可；
(3)由题意可得t =a﹣5， 分a>0和a<0分别求解即可.
10．【答案】（1）解：将点与代入抛物线，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：，对称轴为：；
（2）解：∵点在该抛物线上，
∴将点代入，
∴；
（3）或
（4）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）∵当或时，二次函数图象在x轴上方，∴当函数值时，自变量x的取值范围是：或．
（4）当时，，
当时，，
抛物线顶点为，
当时，函数y的取值范围为：．
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可，根据对称轴公式即可解答；
（2）将（1，m）点代入抛物线解析式，即可解答；
（3）结合抛物线与x轴交点坐标，找出x轴上方部分图象自变量x的取值范围即可；
（4）找出-3＜x＜2这段图象最高点及最低点对应的函数值即可.
（1）解：将点与代入抛物线，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：，对称轴为：．
（2）∵点在该抛物线上，
∴将点代入，
∴．
（3）∵当或时，二次函数图象在x轴上方，
∴当函数值时，自变量x的取值范围是：或．
（4）当时，，
当时，，
抛物线顶点为，
当时，函数y的取值范围为：．
11．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-几何问题；真命题与假命题
【解析】【解答】解：由图象可知，当x＞0时，图象经过第一、四象限，
∴当0＜x＜b时，y＞0，当x＞b时，y＜0，故①是假命题；
∵y＝﹣x2+2x+m+1=-（x-1）2+m+2，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵ 抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0） ，若a=-1，
∴
解之：b=3，故②是假命题；
∵x1+x2＞2 ，
∴（x1+x2）＞1，
∵x1＜1＜x2，
∴x1-1＜0＜x2-1，
∴点Q距离对称轴较远，
∴y1＞y2，故③是真命题；
作点D关于y轴的对称点D'，E关于x轴的对称点E'，连接D'E'，交x轴于点G，交y轴于点F，
∴EG=GE'，DF=D'F，
∴四边形EDFG的周长=DE+DF+EG+FG=D'E'+DE，
∴此时D'E'与DE的和为四边形EDFG的周长的最小值，
当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，
∴顶点坐标为（1，4），
当x=0时，y=3，
∴D'（-1，4），C（0，3），E（2，3），E'（2，-3），
∴，，
∴四边形EDFG的周长的最小值为，故④是假命题；
故答案为：C.
【分析】由图象可知，当x＞0时，图象经过第一、四象限，可对①作出判断；利用函数解析式可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性可求出b的值，可对②作出判断；利用已知可推出（x1+x2）＞1，根据x1＜1＜x2，可得到x1-1＜0＜x2-1，据此可推出点Q距离对称轴较远，可对③作出判断；作点D关于y轴的对称点D'，E关于x轴的对称点E'，连接D'E'，交x轴于点G，交y轴于点F，可证得EG=GE'，DF=D'F，可推出D'E'与DE的和为四边形EDFG的周长的最小值，将m=2代入函数解析式，可得到抛物线的顶点D的坐标，即可求出点C，E，E'的坐标，利用平面直角坐标系内两点的距离公式，分别求出DE，D'E'的长，即可求出四边形EDFG的周长的最小值，可对④作出判断；综上所述可得到真命题的序号.
12．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
A、由图象可知： 若b＜a1＜a2＜a3，当x=b时，则c1＜c2＜c3 ， 故选项错误，不符合题意；
B、由图象可知：若a1＜b＜a2＜a3，当x=b时，c1＜c2＜c3不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C、由图象可知： 若a1＜a2＜b＜a3，当x=b时，c3＜c2＜c1不一定成立，故选项错误，不符合题意；
D、由图象可知： 若a1＜a2＜a3＜b，当x=b时，c3＜c2＜c1 ， 故选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据题意，画出满足题意的函数图象，根据x=b与二次函数图象交点的位置进行判断即可.
13．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵当时，即，x的取值范围为或，
∴或是方程的两个根，
∴，
∴，
∴，
又∵，x的取值范围为或，
∴，
∴，
∵函数经点，
∴，
∴，
∴，
结合选项可得，m可能取值为2，
故答案为：A.
【分析】由，x的取值范围为或，可以得出或是方程的两个根，则，再由，可得，即，将点代入函数解析式可得，结合选项判断可能人取值，即可得解．
14．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①将点代入二次函数的解析式可得：可得即a与b互为相反数，即则即故①错误；
②将代入得：所以又因为 当时，对应的函数值 即，解得则故②正确；
③因为，则对称轴直线方程：又因为 当时，对应的函数值 所以根据二次函数的对称性可得：当时，对应的函数值而时所以抛物线与x轴的交点坐标在和0之间，即 关于的方程的负实数根在和之间 ，所以③正确；
④因为 和在该二次函数的图象上，所以若，且s所以解得故④错误，
综上所述②③正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查二次函数各项系数的关系、二次函数图象及性质.
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①当m>0时，如图所示，抛物线与x轴有2个交点，且都在x轴正半轴；当 02不是总成立，故m>0不符合题意；
②当m<0时，如图所示，过点C作CM||x轴交抛物线于点M，易知抛物线的对称轴为直线x=，由对称性知点M的坐标为(2m+6，2)
而 02 ，则
m+2≤2m+6，且m+2>0，
得m≥-，故
综上所述，
故答案为：.
【分析】分类讨论m>0和m<0的两种情形，结合二次函数的草图，当m>0时，明显不符合题意；而当m<0时，则m+2≤2m+6即符合题意.
16．【答案】或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴交于点 ，
∴点A坐标（0，－3）.
∵ =a(x-2)2－4a－3
∴顶点坐标是P（2，－4a－3），对称轴是x=2，
∴B点坐标（4，－3）.
∴AB=4.
∴，
∴BC=3.
∴C(1，－3)或者C（7，－3）
∴当C坐标为(1，－3)时，直线OP的解析式：y=－3x.
把x=2代入得，y=-6，即－4a－3=－6，
∴.
∴当C坐标为(7，－3)时，直线OP的解析式：
把x=2代入得，，即，
∴.
故答案为：或.
【分析】根据A点坐标和对称轴可以得到点B的坐标，从而得到AB长，根据4BC=3AB，得BC长，点C在直线AB上，但位置不确定，由两种情况：①点C在线段AB之间，②点C在线段AB的延长线上，分情况表示出点C坐标，从而得到直线OP的解析式，把x=2代入，即可得到a的值.
17．【答案】（1）解：当 m＝4 时，图象经过点（－1，4），
①把（－1，4），（2，3）分别代入 y＝ax2＋bx＋3，得
， 解得： ，
②由 得： 对称轴为直线 ， 时， 随 的增大而减小，
， 解得： ，
的最大值为 2 .
（2）解：把 分别代入 ， 得： ，
时， 时， 时， ；当 时， ，
这三个实数中， 有且只有一个是负数，
， 即： ， 解得： ，
当 时， ，
这三个实数中， 有且只有一个是负数，
， 即： ， 解得： ，综上所述， 的取值范围是： 或 .
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)①把(-1， 4)， (2， 3)代入 得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组求得a、b的值，即可求得二次函数的解析式；
②根据二次函数的性质即可求得；
(2)根据题意得到m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，即 根据二次函数的性质即可求得.
18．【答案】（1）－4≤y≤5
（2）解：对称轴为x=-1，
①当时，即
时，
②当即
时，
③当即
Ⅰ即
∴y有最大值，
Ⅱ即
∴y有最大值，
综上所述，，
（3）解：对称轴为x=3，
①当a≥3时，
∵
∴
∴
②当时，即
∵
∴
∴
③时，
Ⅰ即
∴
∵
∴
∴
Ⅱ即
∴
∵
∴
∴
综上所述，a=3或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据小伟的做法：
∴对称轴为：x=-1，
∵且
∴当x=-1时，y有最小值为-4，
当x=2时，y有最大值为5，
∴y的取值范围是：－4≤y≤5，
故答案为：－4≤y≤5.
【分析】（1）根据小伟的做法进行求解即可；
（2）根据题意知需对a-1，-1，a+1之间的关系进行讨论，即可求解；
（3）把函数化为顶点式，比较a，3和a+3的大小，分成三种情况讨论，①当a≥3时，②当时，③时，分别列式计算即可.
19．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵
∴ 抛物线C1 的对称轴为直线x=3
∴A1(6，0)，A2(12，0)
∴整个函数图象每隔12个单位长度，函数值就相等
∵2023÷12=168…7
由旋转可知： 抛物线C2 的解析式为
∴当x=7时，y=(7-9)2-9=-5
∴m=-5
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出点A1(6，0)，A2(12，0)，可以得出整个函数图象每隔12个单位长度，函数值就相等，因为2023÷12=168…7，因此当x=7时的函数值就是m的值，再根据旋转的性质可得：抛物线C2 的解析式为，把x=7代入中求出y的值即可.
20．【答案】 或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：
∵y＝ax2－2ax＋2=a(x-1)2+a，
∴当a>0时，
抛物线的顶点坐标为(1， a)，过点P(2，2a)， Q(3， 5a)， R(4， 10a).
显然， “完美点”(1， 1)， (2， 2)， (3， 3)符合题意.下面讨论抛物线经过(2，1)，(3，2)的两种情况：
①当抛物线经过(2， 1)时， 解得 此时，P(2， 1)， Q(3， )， R(4， 5).
如图所示， 满足题意的“完美点”有(1， 1)， (2， 1)，(2， 2)， (3， 3)， 共4个.
②当抛物线经过(3， 2)时， 解得此时，P(2， )， Q(3， 2)， R(4， 4).
如图所示， 满足题意的“完美点”有(1， 1)， (2， 1)，(2， 2)， (3， 2)， (3， 3)， (4， 4)， 共6个.
∴a的取值范围是 ；
同理当a<0时，a的取值范围是 ；
故答案为：或 .
【分析】抛物线的顶点坐标为(1， a)，当a>0时，过点P(2，2a)， Q(3， 5a)， R(4， 10a)， 显然， “整点”(1，1)， (2， 2)， (3， 3)符合题意， 再将(2， 1)和(3， 2)代入即可；同理可得a<0时的取值范围.
21．【答案】（1）解：①.
②，∵，∴，∴函数的“最优纵横值”为2.
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵最优纵横值为5，
∴，
∴.
（3）解：，
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征；配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，故答案为：.
【分析】（1）①根据定义，求出y-x的值即可；
②根据定义， 先计算y-x的值，结合x的取值范围和反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴求出b=3，故抛物线的解析式为y=-x2+3x+c，根据定义，求出y-x=-x2+3x+c-x=-（x-1）2+1+c，根据配方法可得x=1时，y-x的值最大为c+1，根据最优纵横值为5，即可得出1+c=5，解得c=4；
（3）根据定义，求出，结合故y-x与x的函数图象，关于直线x=b对称，且抛抛物线的开口向下，据此分为b＞0和b＜-1两种情况，分别计算求出b的值，即可求解.
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