二次函数图象共存问题—浙教版数学九（上）知识点训练
一、二次函数与一次函数图象共存
1．（2024九上·珠海期中）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解；∵时，一次函数的图象经过一，三，四象限，二次函数的开口向上，
故选：A．
【分析】根据确定一次函数图象经过的象限以及二次函数图象的开口方向，据此即可求解.
2．（2024九上·岳麓开学考）当ab＜0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：根据题意，ab＜0，
当a＞0时，b＜0，y=ax2开口向上，过原点，y=ax+b过一、三、四象限；
此时，A选项符合，
当a＜0时，b＞0，y=ax2开口向下，过原点，y=ax+b过一、二、四象限；
此时，没有选项符合．
故答案为：A．
【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质.根据题意：ab＜0，可知需要分两种情况：当a＞0时，b＜0；当a＜0时，b＞0；依次分析二次函数的开口，依次函数所过的象限，据此可得到大致图像.
3．（2023九上·福州月考）函数和在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、由一次函数图象知b>0，a<0，由二次函数图象知a>0，b>0，两者结果矛盾，故A不符合题意；
B、由一次函数图象知b<0，a>0，由二次函数图象知a>0，b>0，两者结果矛盾，故B不符合题意；
C、由一次函数 图像知b<0，a>0，由二次函数图象知a<0，b>0，两者结果矛盾，故C不符合题意；
D、由一次函数图象知b>0，a<0，由二次函数图象知a<0，b>0，两者结果相同，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】一次函数y=kx+b中，当k＞0时，图象经过一、三象限，当k＜0时，图象经过二、四象限；当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b=0时，图象过坐标原点，当b＜0时，图象交y轴的负半轴；二次函数y=ax2+bx+c中，a＞0时，图象开口向上，当a＜0时，图象开口向下；a、b同号时，对称轴在y轴的左侧，当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧；当c＞0时，图象交y轴的正半轴，当c=0时，图象过坐标原点，当c＜0时，图象交y轴的负半轴；据此分别判断每个函数图象对应的a与b的符号，两者符号相同时即为所求.
4．（2024九上·杭州期中）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：
A、一次函数y= ax+c的图象过一、 二、 四象限，则a<0， c>0，
∵二次函数 开口向上，对称轴直线x =c在y轴右侧，
∴a>0， c>0，不符合题意；
B、一次函数y= ax+c的图象过一、 三、 四象限，则a>0， c<0，
∵二次函数 开口向上，对称轴直线x = c在y轴左侧，
∴c<0， a>0， 符合题意；
C、 y= ax+c的图象过一、 二、 三象限， 则a>0，c>0，
∵二次函数 开口向下，对称轴直线x=c在y轴右侧，
∴a<0， c>0， 不符合题意；
D、函数y= ax+c的图象过一、二、 四象限， 则a<0， c>0，
∵二次函数 开口向下，对称轴直线x = c在y轴左侧，
∴a<0， c<0， 不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项排除即可.
5．（2023九上·福田月考）函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：①当k>0时，直线y=kx+k经过一、二、三象限，二次函数 y＝﹣kx2+4x+4 ，开口向下，对称轴为直线x=->0，排除B选项；
②k<0时，直线y=kx+k经过二、三、四象限，二次函数 y＝﹣kx2+4x+4 ，开口向上，对称轴为直线x=-<0，排除C、D选项；
故答案为：A.
【分析】分k>0和k<0进行分类讨论，通过判断一次函数经过的象限和二次函数的开口方向和对称轴一起判断即可.
二、二次函数与反比例函数图象共存
6．（【2024万唯】中考试题研究数学精讲本第三章微专题函数图象与系数的关系）若反比例函数 的图象在第二、四象限， 则二次函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象在第二、四象限
∴k＜0
∴二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为为负数、正数、正数
即a＜0，b＞0，c＞0
∵抛物线：开口向下，对称轴直线在y轴右侧，与y轴交于正半轴
∴ 二次函数 的图象可能是 B
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数图象在第二、四象限可得k的范围，即可得二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的符号，即可判断大致图象.
7．（2022·江干模拟）反比例函数 图象在二、四象限，则二次函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解： 反比例函数 图象在二、四象限，
，
二次函数 的图象开口向下，
对称轴 ，
，
，
对称轴在y轴的左侧.
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的图象在二、四象限可得k<0，则二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，据此判断.
8．（2020九下·金溪月考）反比例函数 的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵函数 的图象经过二、四象限，
∴k＜0，
由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＜1，
∴0＞k＞﹣1，
∴抛物线y＝2kx2﹣4x+k2开口向下，
对称轴为x＝﹣ ＝ ， ＜-1，
∴对称轴在﹣1左侧，
∵当x＝0时，y＝k2＜1．
故答案为：B．
【分析】先根据反比例函数的图象求出k的取值范围，再根据一元二次函数与其系数的关系求解即可。
9．（2023九上·安徽期中）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，二次函数，
∴当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限；二次函数的图象开口向下，顶点在y轴的正半轴；
当k＜0时，反比例函数的图象在第二、四象限；二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴；
∴选项A，B和C不符合题意，选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数图象与性质以及二次函数图象与性质，分类讨论，对每个选项逐一判断求解即可。
10．（2023九上·霍邱月考）反比例函数是常数，且与二次函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
（1）当k>0时， 比例函数的图象在第一、三象限， 二次函数 的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，没有符合的选项；
（2）当k<0时， 比例函数的图象在第二、四象限， 二次函数 的图象的开口向上，与y轴交于正半轴，符合的选项是C；
故答案为：C。
【分析】分两种情况：k>0和k<0，分别画出两个函数的图象或分析两个函数图象的特征，再选择即可。
三、一次函数、反比例函数、二次函数图象共存
11．（2024九下·深圳开学考）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号；
当a、b同为正数时，二次函数y=ax2-2x的开口向上，对称轴在y轴的右侧，抛物线经过坐标原点；一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，故B选项错误，不符合题意，C选项正确，符合题意；
当a、b同为负数时，二次函数y=ax2-2x的开口向下，对称轴在y轴的左侧，抛物线经过坐标原点；一次函数y=bx+a的图象经过第二、三、四象限，故A、D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】反比例函数，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，当k＜0时图象的两支分布在二、四象限；y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，当a、b同号时图象的对称轴在y轴的左侧，当a、b异号时，图象的对称轴在y轴的右侧，当c＞0时，图象交y轴的正半轴，当c=0时，图象经过坐标原点，当c＜0时，图象交y轴的负半轴，据此逐个判断得出答案.
12．（2024·濠江模拟）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由的图象知：a＜0，b＜0，c＞0，
∴a+b＜0，
∴ 一次函数的图象经过一、二、四象限，反比例函数的图象位于第二四象限.
故答案为：D.
【分析】由抛物线的位置确定a、b、c的符号，从而得出一次函数与反比例函数图象所在的位置，据此判断即可.
13．（2022·菏泽）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，
由对称轴x0，可知b＜0，
所以反比例函数y的图象在一、三象限，
一次函数y＝bx+c经过二、三、四象限．
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。
14．已知反比例函数y=在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意得，
一次函数y=-x+b的图象经过（1，k）
代入得-1+b=k，即，
抛物线，当x=0时，，
当x=1时，，
即抛物线图象交y轴正半轴，过（1，-1），
符合条件的选项只有A，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数y=在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象，可得，把点（1，k）代入y=-x+b得，函数 ，当x=0时，，当x=1时，，结合选项即可得解.
15．（2024·自贡）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：由图可知，
①一次函数与y轴交于正半轴：
∴-2n+4>0，解得n<2，
②反比例函数在一三象限，
∴n+1>0，解得n>-1，
③抛物线对称轴在x轴右侧，
∴，解得n<1，
综上所述， .
故答案为：C.
【分析】由函数图象位置对应解析式系数关系列出不等式组解出n即可.
16．（2024·温岭二模）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（ ）的图象上.
x …… 1 2 4 ……
y …… ……
A．一次函数和反比例函数
B．二次函数和反比例函数
C．一次函数和二次函数
D．一次函数和二次函数和反比例函数
【答案】B
【知识点】一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：若点（1，m）和（2，2-m）在一次函数的图象上，
设一次函数的解析式为：y=kx+b，则
解得：，
∴y=(2-2m)x+3m-2，
把x=4代入解析式得：y=6-5m，
令6-5m=-3m2＋5m-1，
整理得：3m2-10m+7=0，
∵b2-4ac=(-10)2-4×3×7=16＞0，
∴存在m的值使6-5m=-3m2＋5m-1，
故这三点不可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上；
若点（1，m）和（2，2-m）在反比例函数的图象上，
设反比例函数的解析式为：y=，
则k=m=2(2-m)，解得：k=m=，
∴4(-3m2＋5m-1)=，则-3m2＋5m-1=，
把x=4代入得：y=，
故当m=时，这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上.
故答案为：B.
【分析】由题意分两种情况：若点（1，m）和（2，2-m）在一次函数的图象上，用待定系数法求出一次函数的解析式，把x=4代入求得函数值，若函数值与-3m2＋5m-1可以相等，则这三点可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上，反之不可以；若点（1，m）和（2，2-m）在反比例函数的图象上，同理可判断求解.
四、两个不同的二次函数图象与性质综合
17．（2021九下·福州开学考）若二次函数y＝x2+与y＝－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）
A．这两个函数图象有相同的对称轴
B．这两个函数图象的开口方向相反
C．方程－x2+k＝0没有实数根
D．二次函数y＝－x2＋k的最大值为
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2＋的顶点坐标为（0，），
∴二次函数y＝ x2＋k的顶点坐标也为（0，），即有k＝，
它们的对称轴都为y轴，其中抛物线y＝x2＋的开口向上，抛物线y＝ x2＋的开口向下，二次函数y＝ x2＋的最大值为，方程 x2＋k＝0有实数根．
∴A、B、D正确，C、错误.
故答案为：C.
【分析】先确定二次函数y＝x2＋的顶点坐标为（0，），由于二次函数y＝x2＋与y＝ x2＋k的图象的顶点重合，则得到k＝，然后根据二次函数性质得到它们的对称轴都为y轴，其中抛物线y＝x2＋的开口向上，抛物线y＝ x2＋的开口向下，二次函数y＝ x2＋的最大值为，并且k＝时，可得到方程 x2＋k＝0有实数根．
18．（2023九上·亳州月考）两个不同的二次函数与的图象有相同的对称轴，则下列结论不正确的是（ ）
A．这两个函数图象的开口方向相反
B．这两个函数图象的都经过点
C．这两个函数图象的关于轴对称
D．二次函数的最大值为
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
解： 二次函数与的图象有相同的对称轴
∴ x=
∴ 2k2=2
解得k=1或-1
若k=-1，则二次函数为与，此时是相同函数，不合题意；
若k=1，则二次函数为与，此时是不同函数，符合题意；
则这两个函数的开口方向相反····································A正确，不合题意；
当x=1，y的值都为0····················································B正确，不合题意；
这两个函数的图象关于x轴对称·································C正确，不合题意；
二次函数的最大值为x==··········D错误，符合题意；
故答案为D
【分析】本题考查二次函数的最值、对称轴、对称性，点在函数上等知识，熟悉二次函数的基础性质是关键。根据二次函数与的图象有相同的对称轴可得x=，解得k的值，分情况讨论，可对选项做出判断。
19．（2024·台湾）甲、乙两个二次函数分别为y＝（x+20）2+60、y＝﹣（x﹣30）2+60，判断下列叙述何者正确？（ ）
A．甲有最大值，且其值为x＝20时的y值
B．甲有最小值，且其值为x＝20时的y值
C．乙有最大值，且其值为x＝30时的y值
D．乙有最小值，且其值为x＝30时的y值
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵在二次函数y=（x+20）2+60中二次项系数a=1＞0，
∴抛物线开口向上，当x=-20时，函数有最小值60，故A、B选项都错误，不符合题意；
∵在二次函数y=-（x-30）2+60中二次项系数a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，当x=30时，函数有最大值60，故D选项都错误，不符合题意，C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】二次函数y=a(x-h)2+k中，当a＞0时，图象开口向上，当x=h时，函数有最小值k；当a＜0时，图象开口向下，当x=h时，函数有最大值k，据此解答即可.
20．（2024·杭州模拟） 已知二次函数为常数图象上两个不同的点，，且有以下四个结论：该二次函数图象与轴一定有两个不同的交点；若一次函数经过点，，则当时，总有；当时，；当时，；以上结论中正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 二次函数，
当y1=0时，则=0，
解得x1=-m，x2=m+3，
当-m=m+3时，
∴m=，则当m=时， 该二次函数图象与轴只有一个的交点 ，故①错误；
∵ 一次函数经过点，， 且，，，
又因为抛物线开口向上
∴当时 ，直线在抛物线的上方，即 当时，总有； 故②正确；
当时 ，对称轴为x=，
∴，故③正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为x=，
∴当x＜时，y随x的增大而减小，
∵时，p＜q，
∴≤或x1＜＜x2，
当≤时，x1+x2＞+=3，
当x1＜＜x2时，由抛物线开口向上，抛物线上离对称轴越近函数值越小，
∵p＜q，
∴-x1＜x2-，
∴x1+x2＞3，
综上可知：x1+x2＞3，故④错误；
故答案为：B.
【分析】由，当y1=0时，则=0，解得x1=-m，x2=m+3，
当-m=m+3时，求出m=，则当m=时， 该二次函数图象与轴只有一个的交点 ，故①错误；一次函数经过点，， 且，，，又因为抛物线开口向上，当时 ，直线在抛物线的上方，据此判断②；当时 ，对称轴为x=，可得，故③正确；由抛物线开口向上，对称轴为x=，可知当x＜时，y随x的增大而减小，结合时，p＜q，可得≤或x1＜＜x2，据此分别求解，即可判断④.
21．（2024九下·温州开学考）如图，两个二次函数的图象，其顶点P，Q都在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A，B，C，D四点，若，则的长度为 ．
【答案】10
【知识点】坐标与图形性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵AB=12，BC=6，CD=8，
∴设点A的横坐标为m，则点B的横坐标为m+12，点C的横坐标为m+18，点D的横坐标为m+26，
∵点P，Q分别为两条抛物线的顶点，A，B，C，D四点的纵坐标相同，
∴点P的横坐标为，
点Q的横坐标为，
∴PQ=m+19-m-9=10．
故答案为：10.
【分析】设点A的横坐标为m，根据AB、BC、CD的长，用m分别表示出B，C，D点的横坐标，再求出P、Q两点的横坐标，就可求得PQ的长.
22．定义：若两个二次函数的图象关于轴对称，则称互为“对称二次函数”.
（1）已知二次函数，则它的“对称二次函数”的顶点坐标为 .
（2）已知关于的二次函数和，其中的图象经过点.若与互为“对称二次函数”，求函数的表达式；
（3）在(2)的条件下，当时，的最小值为-2，请直接写出的值.
【答案】（1）
（2）解：∵的图象经过点，
∴1=-2×22+4m×2+3m-2
解得：m=1，
∴y1=-2x2+4x+1=-2（x-1）2+3，
∵与互为“对称二次函数”，
∴y1+y2=-2x2+4x+1+ax2+bx+c=（a-2）x2+（b+4）x+c+1=2x2-4x-1，
即
解得：a=4，b=-8，c=-2，
∴y2=4x2-8x-2；
（3）解：的值为2或-1.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）∵，
∴它的顶点坐标为，
∴它的“对称二次函数”的顶点坐标为，
故答案为：.
（3）由（2）可知y2=4x2-8x-2=4（x-1）2-6，
∴函数开口向上，对称轴为x=1，
当n≤1≤n+1时，0≤n≤1，最小值为-6；
当n+1＜1时，n＜0，最小值为-2=4（n+1-1）2-6，解得n=-1；
当n＞1时，最小值为-2=4（n-1）2-6，解得n=2；
∴n的值为2或-1.
【分析】（1）二次函数化为顶点式即可求解；
（2）利用 经过点（2，1）解得m=1，再根据与互为“对称二次函数”，即可解答；
（3）根据（2）的条件及结论，得出二次函数向上开口，对称轴为x=1，再分别从n≤1≤n+1、n+1＜1、n＞1分别解题即可.
23．（2024·裕华模拟）如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线恰好经过和两点，解决下列问题．
（1）求与抛物线相对应的b、c的值；
（2）若把抛物线相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线，求抛物线与x轴交点的坐标，并说明抛物线是否经过的顶点；
（3）另有直线l：与抛物线交于点P，Q，与抛物线交于点M，N，若的值是整数，请直接写出n的最大值．
【答案】（1）解：把和代入抛物线，得
，
解得．
（2）解：∵，
∴的解析式为，
故抛物线的顶点坐标为；
根据题意，得抛物线的解析式，
令，
得，
解得，
故抛物线与x轴交点的坐标为；
当，
，
故抛物线经过的顶点．
（3）解：∵直线l：与抛物线交于点P，Q，与抛物线交于点M，N，
∴，
∴，
当时，
得，，
解得，，
∴，，
∴，
令，
根据反比例函数的性质，得当越小时，越大，
∵的值是整数，
∴y是整数，且是整数，
当时，不是整数，不符合题意；
当时，不是整数，不符合题意；
当时，是整数，符合题意；
∴的最小值是3，此时最大，此时，
故n的最大值为．
故n的最大值是
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数-动态几何问题；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意把和代入抛物线中即可求解；
（2）先根据题意得到抛物线的顶点坐标，物线的解析式，进而根据抛物线与坐标轴的交点问题即可得到抛物线与x轴交点的坐标，再将抛物线的顶点坐标代入抛物线的解析式，进而即可求解；
（3）当时，得，，解得，，进而计算，得到，再令，根据反比例函数的性质结合题意即可求解。
24．（2023九下·靖江期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为.
（1）函数的友好同轴二次函数为 .
（2）当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值.
（3）已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由.
【答案】（1）
（2）解：由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为；
①当时，时，，
解得：；
②当时，时，，
解得：；
综上所述，；
（3）解：由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为，
把分别代入可得，
，，
则，
，
，
①当时，，即，
，
解得：；
②当时，，即，
，
解得：；
③当时，，即，
，
解得：；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，.
【知识点】二次函数的最值；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（1）设友好同轴二次函数为，
由函数可知，
对称轴为直线，与y轴交点为，
，，对称轴为直线，
，
友好同轴二次函数为；
【分析】（1）设友好同轴二次函数为y=ax2+bx+c，由函数解析式可得对称轴为直线x=4，与y轴交点为（0，3），则a=1-=，c=3，由对称轴方程可求出b的值，进而可得友好同轴二次函数；
（2）由函数解析式可求得：该函数的友好同轴二次函数为y=a(x-1)2+3-a，①当a>0时，x=4时，ymax=5，代入求解可得a的值；②当a<0时，x=1时，ymax=5，代入求解可得a的值，据此解答；
（3）同理可得：该函数的友好同轴二次函数为y2=(1-a)x2+4(1-a)x+c，将（m，p）、（m，q）分别代入y1、y2中可得p、q，然后表示出p-q，据此求解.
25．（2021九上·惠水期末）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”.求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数.
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数.
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值.
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”.
【答案】（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴ ，
解得： ，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1.
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）.
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）.
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）.
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6.
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2020即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”.
1 / 1二次函数图象共存问题—浙教版数学九（上）知识点训练
一、二次函数与一次函数图象共存
1．（2024九上·珠海期中）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·岳麓开学考）当ab＜0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·福州月考）函数和在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·杭州期中）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023九上·福田月考）函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、二次函数与反比例函数图象共存
6．（【2024万唯】中考试题研究数学精讲本第三章微专题函数图象与系数的关系）若反比例函数 的图象在第二、四象限， 则二次函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·江干模拟）反比例函数 图象在二、四象限，则二次函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020九下·金溪月考）反比例函数 的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023九上·安徽期中）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023九上·霍邱月考）反比例函数是常数，且与二次函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
三、一次函数、反比例函数、二次函数图象共存
11．（2024九下·深圳开学考）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
12．（2024·濠江模拟）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022·菏泽）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知反比例函数y=在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2024·自贡）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·温岭二模）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（ ）的图象上.
x …… 1 2 4 ……
y …… ……
A．一次函数和反比例函数
B．二次函数和反比例函数
C．一次函数和二次函数
D．一次函数和二次函数和反比例函数
四、两个不同的二次函数图象与性质综合
17．（2021九下·福州开学考）若二次函数y＝x2+与y＝－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）
A．这两个函数图象有相同的对称轴
B．这两个函数图象的开口方向相反
C．方程－x2+k＝0没有实数根
D．二次函数y＝－x2＋k的最大值为
18．（2023九上·亳州月考）两个不同的二次函数与的图象有相同的对称轴，则下列结论不正确的是（ ）
A．这两个函数图象的开口方向相反
B．这两个函数图象的都经过点
C．这两个函数图象的关于轴对称
D．二次函数的最大值为
19．（2024·台湾）甲、乙两个二次函数分别为y＝（x+20）2+60、y＝﹣（x﹣30）2+60，判断下列叙述何者正确？（ ）
A．甲有最大值，且其值为x＝20时的y值
B．甲有最小值，且其值为x＝20时的y值
C．乙有最大值，且其值为x＝30时的y值
D．乙有最小值，且其值为x＝30时的y值
20．（2024·杭州模拟） 已知二次函数为常数图象上两个不同的点，，且有以下四个结论：该二次函数图象与轴一定有两个不同的交点；若一次函数经过点，，则当时，总有；当时，；当时，；以上结论中正确的是( )
A． B． C． D．
21．（2024九下·温州开学考）如图，两个二次函数的图象，其顶点P，Q都在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A，B，C，D四点，若，则的长度为 ．
22．定义：若两个二次函数的图象关于轴对称，则称互为“对称二次函数”.
（1）已知二次函数，则它的“对称二次函数”的顶点坐标为 .
（2）已知关于的二次函数和，其中的图象经过点.若与互为“对称二次函数”，求函数的表达式；
（3）在(2)的条件下，当时，的最小值为-2，请直接写出的值.
23．（2024·裕华模拟）如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线恰好经过和两点，解决下列问题．
（1）求与抛物线相对应的b、c的值；
（2）若把抛物线相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线，求抛物线与x轴交点的坐标，并说明抛物线是否经过的顶点；
（3）另有直线l：与抛物线交于点P，Q，与抛物线交于点M，N，若的值是整数，请直接写出n的最大值．
24．（2023九下·靖江期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为.
（1）函数的友好同轴二次函数为 .
（2）当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值.
（3）已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由.
25．（2021九上·惠水期末）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”.求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数.
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数.
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值.
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解；∵时，一次函数的图象经过一，三，四象限，二次函数的开口向上，
故选：A．
【分析】根据确定一次函数图象经过的象限以及二次函数图象的开口方向，据此即可求解.
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：根据题意，ab＜0，
当a＞0时，b＜0，y=ax2开口向上，过原点，y=ax+b过一、三、四象限；
此时，A选项符合，
当a＜0时，b＞0，y=ax2开口向下，过原点，y=ax+b过一、二、四象限；
此时，没有选项符合．
故答案为：A．
【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质.根据题意：ab＜0，可知需要分两种情况：当a＞0时，b＜0；当a＜0时，b＞0；依次分析二次函数的开口，依次函数所过的象限，据此可得到大致图像.
3．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、由一次函数图象知b>0，a<0，由二次函数图象知a>0，b>0，两者结果矛盾，故A不符合题意；
B、由一次函数图象知b<0，a>0，由二次函数图象知a>0，b>0，两者结果矛盾，故B不符合题意；
C、由一次函数 图像知b<0，a>0，由二次函数图象知a<0，b>0，两者结果矛盾，故C不符合题意；
D、由一次函数图象知b>0，a<0，由二次函数图象知a<0，b>0，两者结果相同，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】一次函数y=kx+b中，当k＞0时，图象经过一、三象限，当k＜0时，图象经过二、四象限；当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b=0时，图象过坐标原点，当b＜0时，图象交y轴的负半轴；二次函数y=ax2+bx+c中，a＞0时，图象开口向上，当a＜0时，图象开口向下；a、b同号时，对称轴在y轴的左侧，当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧；当c＞0时，图象交y轴的正半轴，当c=0时，图象过坐标原点，当c＜0时，图象交y轴的负半轴；据此分别判断每个函数图象对应的a与b的符号，两者符号相同时即为所求.
4．【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：
A、一次函数y= ax+c的图象过一、 二、 四象限，则a<0， c>0，
∵二次函数 开口向上，对称轴直线x =c在y轴右侧，
∴a>0， c>0，不符合题意；
B、一次函数y= ax+c的图象过一、 三、 四象限，则a>0， c<0，
∵二次函数 开口向上，对称轴直线x = c在y轴左侧，
∴c<0， a>0， 符合题意；
C、 y= ax+c的图象过一、 二、 三象限， 则a>0，c>0，
∵二次函数 开口向下，对称轴直线x=c在y轴右侧，
∴a<0， c>0， 不符合题意；
D、函数y= ax+c的图象过一、二、 四象限， 则a<0， c>0，
∵二次函数 开口向下，对称轴直线x = c在y轴左侧，
∴a<0， c<0， 不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项排除即可.
5．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：①当k>0时，直线y=kx+k经过一、二、三象限，二次函数 y＝﹣kx2+4x+4 ，开口向下，对称轴为直线x=->0，排除B选项；
②k<0时，直线y=kx+k经过二、三、四象限，二次函数 y＝﹣kx2+4x+4 ，开口向上，对称轴为直线x=-<0，排除C、D选项；
故答案为：A.
【分析】分k>0和k<0进行分类讨论，通过判断一次函数经过的象限和二次函数的开口方向和对称轴一起判断即可.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象在第二、四象限
∴k＜0
∴二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为为负数、正数、正数
即a＜0，b＞0，c＞0
∵抛物线：开口向下，对称轴直线在y轴右侧，与y轴交于正半轴
∴ 二次函数 的图象可能是 B
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数图象在第二、四象限可得k的范围，即可得二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的符号，即可判断大致图象.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解： 反比例函数 图象在二、四象限，
，
二次函数 的图象开口向下，
对称轴 ，
，
，
对称轴在y轴的左侧.
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的图象在二、四象限可得k<0，则二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，据此判断.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵函数 的图象经过二、四象限，
∴k＜0，
由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＜1，
∴0＞k＞﹣1，
∴抛物线y＝2kx2﹣4x+k2开口向下，
对称轴为x＝﹣ ＝ ， ＜-1，
∴对称轴在﹣1左侧，
∵当x＝0时，y＝k2＜1．
故答案为：B．
【分析】先根据反比例函数的图象求出k的取值范围，再根据一元二次函数与其系数的关系求解即可。
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，二次函数，
∴当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限；二次函数的图象开口向下，顶点在y轴的正半轴；
当k＜0时，反比例函数的图象在第二、四象限；二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴；
∴选项A，B和C不符合题意，选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数图象与性质以及二次函数图象与性质，分类讨论，对每个选项逐一判断求解即可。
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
（1）当k>0时， 比例函数的图象在第一、三象限， 二次函数 的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，没有符合的选项；
（2）当k<0时， 比例函数的图象在第二、四象限， 二次函数 的图象的开口向上，与y轴交于正半轴，符合的选项是C；
故答案为：C。
【分析】分两种情况：k>0和k<0，分别画出两个函数的图象或分析两个函数图象的特征，再选择即可。
11．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号；
当a、b同为正数时，二次函数y=ax2-2x的开口向上，对称轴在y轴的右侧，抛物线经过坐标原点；一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，故B选项错误，不符合题意，C选项正确，符合题意；
当a、b同为负数时，二次函数y=ax2-2x的开口向下，对称轴在y轴的左侧，抛物线经过坐标原点；一次函数y=bx+a的图象经过第二、三、四象限，故A、D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】反比例函数，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，当k＜0时图象的两支分布在二、四象限；y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，当a、b同号时图象的对称轴在y轴的左侧，当a、b异号时，图象的对称轴在y轴的右侧，当c＞0时，图象交y轴的正半轴，当c=0时，图象经过坐标原点，当c＜0时，图象交y轴的负半轴，据此逐个判断得出答案.
12．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由的图象知：a＜0，b＜0，c＞0，
∴a+b＜0，
∴ 一次函数的图象经过一、二、四象限，反比例函数的图象位于第二四象限.
故答案为：D.
【分析】由抛物线的位置确定a、b、c的符号，从而得出一次函数与反比例函数图象所在的位置，据此判断即可.
13．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，
由对称轴x0，可知b＜0，
所以反比例函数y的图象在一、三象限，
一次函数y＝bx+c经过二、三、四象限．
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。
14．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意得，
一次函数y=-x+b的图象经过（1，k）
代入得-1+b=k，即，
抛物线，当x=0时，，
当x=1时，，
即抛物线图象交y轴正半轴，过（1，-1），
符合条件的选项只有A，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数y=在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象，可得，把点（1，k）代入y=-x+b得，函数 ，当x=0时，，当x=1时，，结合选项即可得解.
15．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：由图可知，
①一次函数与y轴交于正半轴：
∴-2n+4>0，解得n<2，
②反比例函数在一三象限，
∴n+1>0，解得n>-1，
③抛物线对称轴在x轴右侧，
∴，解得n<1，
综上所述， .
故答案为：C.
【分析】由函数图象位置对应解析式系数关系列出不等式组解出n即可.
16．【答案】B
【知识点】一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：若点（1，m）和（2，2-m）在一次函数的图象上，
设一次函数的解析式为：y=kx+b，则
解得：，
∴y=(2-2m)x+3m-2，
把x=4代入解析式得：y=6-5m，
令6-5m=-3m2＋5m-1，
整理得：3m2-10m+7=0，
∵b2-4ac=(-10)2-4×3×7=16＞0，
∴存在m的值使6-5m=-3m2＋5m-1，
故这三点不可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上；
若点（1，m）和（2，2-m）在反比例函数的图象上，
设反比例函数的解析式为：y=，
则k=m=2(2-m)，解得：k=m=，
∴4(-3m2＋5m-1)=，则-3m2＋5m-1=，
把x=4代入得：y=，
故当m=时，这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上.
故答案为：B.
【分析】由题意分两种情况：若点（1，m）和（2，2-m）在一次函数的图象上，用待定系数法求出一次函数的解析式，把x=4代入求得函数值，若函数值与-3m2＋5m-1可以相等，则这三点可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上，反之不可以；若点（1，m）和（2，2-m）在反比例函数的图象上，同理可判断求解.
17．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2＋的顶点坐标为（0，），
∴二次函数y＝ x2＋k的顶点坐标也为（0，），即有k＝，
它们的对称轴都为y轴，其中抛物线y＝x2＋的开口向上，抛物线y＝ x2＋的开口向下，二次函数y＝ x2＋的最大值为，方程 x2＋k＝0有实数根．
∴A、B、D正确，C、错误.
故答案为：C.
【分析】先确定二次函数y＝x2＋的顶点坐标为（0，），由于二次函数y＝x2＋与y＝ x2＋k的图象的顶点重合，则得到k＝，然后根据二次函数性质得到它们的对称轴都为y轴，其中抛物线y＝x2＋的开口向上，抛物线y＝ x2＋的开口向下，二次函数y＝ x2＋的最大值为，并且k＝时，可得到方程 x2＋k＝0有实数根．
18．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
解： 二次函数与的图象有相同的对称轴
∴ x=
∴ 2k2=2
解得k=1或-1
若k=-1，则二次函数为与，此时是相同函数，不合题意；
若k=1，则二次函数为与，此时是不同函数，符合题意；
则这两个函数的开口方向相反····································A正确，不合题意；
当x=1，y的值都为0····················································B正确，不合题意；
这两个函数的图象关于x轴对称·································C正确，不合题意；
二次函数的最大值为x==··········D错误，符合题意；
故答案为D
【分析】本题考查二次函数的最值、对称轴、对称性，点在函数上等知识，熟悉二次函数的基础性质是关键。根据二次函数与的图象有相同的对称轴可得x=，解得k的值，分情况讨论，可对选项做出判断。
19．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵在二次函数y=（x+20）2+60中二次项系数a=1＞0，
∴抛物线开口向上，当x=-20时，函数有最小值60，故A、B选项都错误，不符合题意；
∵在二次函数y=-（x-30）2+60中二次项系数a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，当x=30时，函数有最大值60，故D选项都错误，不符合题意，C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】二次函数y=a(x-h)2+k中，当a＞0时，图象开口向上，当x=h时，函数有最小值k；当a＜0时，图象开口向下，当x=h时，函数有最大值k，据此解答即可.
20．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 二次函数，
当y1=0时，则=0，
解得x1=-m，x2=m+3，
当-m=m+3时，
∴m=，则当m=时， 该二次函数图象与轴只有一个的交点 ，故①错误；
∵ 一次函数经过点，， 且，，，
又因为抛物线开口向上
∴当时 ，直线在抛物线的上方，即 当时，总有； 故②正确；
当时 ，对称轴为x=，
∴，故③正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为x=，
∴当x＜时，y随x的增大而减小，
∵时，p＜q，
∴≤或x1＜＜x2，
当≤时，x1+x2＞+=3，
当x1＜＜x2时，由抛物线开口向上，抛物线上离对称轴越近函数值越小，
∵p＜q，
∴-x1＜x2-，
∴x1+x2＞3，
综上可知：x1+x2＞3，故④错误；
故答案为：B.
【分析】由，当y1=0时，则=0，解得x1=-m，x2=m+3，
当-m=m+3时，求出m=，则当m=时， 该二次函数图象与轴只有一个的交点 ，故①错误；一次函数经过点，， 且，，，又因为抛物线开口向上，当时 ，直线在抛物线的上方，据此判断②；当时 ，对称轴为x=，可得，故③正确；由抛物线开口向上，对称轴为x=，可知当x＜时，y随x的增大而减小，结合时，p＜q，可得≤或x1＜＜x2，据此分别求解，即可判断④.
21．【答案】10
【知识点】坐标与图形性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵AB=12，BC=6，CD=8，
∴设点A的横坐标为m，则点B的横坐标为m+12，点C的横坐标为m+18，点D的横坐标为m+26，
∵点P，Q分别为两条抛物线的顶点，A，B，C，D四点的纵坐标相同，
∴点P的横坐标为，
点Q的横坐标为，
∴PQ=m+19-m-9=10．
故答案为：10.
【分析】设点A的横坐标为m，根据AB、BC、CD的长，用m分别表示出B，C，D点的横坐标，再求出P、Q两点的横坐标，就可求得PQ的长.
22．【答案】（1）
（2）解：∵的图象经过点，
∴1=-2×22+4m×2+3m-2
解得：m=1，
∴y1=-2x2+4x+1=-2（x-1）2+3，
∵与互为“对称二次函数”，
∴y1+y2=-2x2+4x+1+ax2+bx+c=（a-2）x2+（b+4）x+c+1=2x2-4x-1，
即
解得：a=4，b=-8，c=-2，
∴y2=4x2-8x-2；
（3）解：的值为2或-1.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）∵，
∴它的顶点坐标为，
∴它的“对称二次函数”的顶点坐标为，
故答案为：.
（3）由（2）可知y2=4x2-8x-2=4（x-1）2-6，
∴函数开口向上，对称轴为x=1，
当n≤1≤n+1时，0≤n≤1，最小值为-6；
当n+1＜1时，n＜0，最小值为-2=4（n+1-1）2-6，解得n=-1；
当n＞1时，最小值为-2=4（n-1）2-6，解得n=2；
∴n的值为2或-1.
【分析】（1）二次函数化为顶点式即可求解；
（2）利用 经过点（2，1）解得m=1，再根据与互为“对称二次函数”，即可解答；
（3）根据（2）的条件及结论，得出二次函数向上开口，对称轴为x=1，再分别从n≤1≤n+1、n+1＜1、n＞1分别解题即可.
23．【答案】（1）解：把和代入抛物线，得
，
解得．
（2）解：∵，
∴的解析式为，
故抛物线的顶点坐标为；
根据题意，得抛物线的解析式，
令，
得，
解得，
故抛物线与x轴交点的坐标为；
当，
，
故抛物线经过的顶点．
（3）解：∵直线l：与抛物线交于点P，Q，与抛物线交于点M，N，
∴，
∴，
当时，
得，，
解得，，
∴，，
∴，
令，
根据反比例函数的性质，得当越小时，越大，
∵的值是整数，
∴y是整数，且是整数，
当时，不是整数，不符合题意；
当时，不是整数，不符合题意；
当时，是整数，符合题意；
∴的最小值是3，此时最大，此时，
故n的最大值为．
故n的最大值是
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数-动态几何问题；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意把和代入抛物线中即可求解；
（2）先根据题意得到抛物线的顶点坐标，物线的解析式，进而根据抛物线与坐标轴的交点问题即可得到抛物线与x轴交点的坐标，再将抛物线的顶点坐标代入抛物线的解析式，进而即可求解；
（3）当时，得，，解得，，进而计算，得到，再令，根据反比例函数的性质结合题意即可求解。
24．【答案】（1）
（2）解：由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为；
①当时，时，，
解得：；
②当时，时，，
解得：；
综上所述，；
（3）解：由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为，
把分别代入可得，
，，
则，
，
，
①当时，，即，
，
解得：；
②当时，，即，
，
解得：；
③当时，，即，
，
解得：；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，.
【知识点】二次函数的最值；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（1）设友好同轴二次函数为，
由函数可知，
对称轴为直线，与y轴交点为，
，，对称轴为直线，
，
友好同轴二次函数为；
【分析】（1）设友好同轴二次函数为y=ax2+bx+c，由函数解析式可得对称轴为直线x=4，与y轴交点为（0，3），则a=1-=，c=3，由对称轴方程可求出b的值，进而可得友好同轴二次函数；
（2）由函数解析式可求得：该函数的友好同轴二次函数为y=a(x-1)2+3-a，①当a>0时，x=4时，ymax=5，代入求解可得a的值；②当a<0时，x=1时，ymax=5，代入求解可得a的值，据此解答；
（3）同理可得：该函数的友好同轴二次函数为y2=(1-a)x2+4(1-a)x+c，将（m，p）、（m，q）分别代入y1、y2中可得p、q，然后表示出p-q，据此求解.
25．【答案】（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴ ，
解得： ，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1.
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）.
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）.
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）.
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6.
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2020即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”.
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