二次函数的最值—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024九上·岱山开学考）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．（2024九上·温州月考）二次函数的最小值是0，那么的值等于（ ）
A．2 B．4 C． D．8
3．（2024九上·嘉兴期末）已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
4．（2023九上·江北期末）已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·拱墅月考）若一次函数y＝（n+1）x+n的图象过第一、三、四象限，则函数y＝nx2﹣nx（ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
6．（2024九上·温州月考）已知二次函数中，当时，的最小值是 ．
7．（2024九上·金华开学考）已知点P(m，n)在二次函数.的图象上，则m-n的最大值等于 .
8．（2024九上·温州开学考）已知，则当 时，y有最大值是 ．
9．（2023九上·仙居期中）已知二次函数有最大值，则 ．
10．（2024九上·温州月考）已知抛物线的图象经过点，．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围．
11．（2024九上·金华开学考）已知函数.(b，c为常数)的图象经过点(0，3)，(6，3).
（1）求b，c的值；
（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当-2≤x≤k时，求y的最小值.(可用含k的代数式表示)
二、能力提升
12．（2022九上·杭州月考）已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过，，三个点中的其中两个点.平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为-1 B．最小值为-1
C．最大值为 D．最小值为
13．（2024九上·桐乡市期末）已知点，，反比例函数经过点，点在线段上，过点作直线与轴平行，交反比例函数图象于点，再分别过点和点作轴垂线，所形成的矩形的面积的最大值是（ ）
A． B． C．4 D．5
14．（2023九上·定海月考） 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
15．（2023九上·龙泉期中）若b≤x≤b＋3时，二次函数y＝x2＋bx＋b2的最小值为15，则b的值为（ ）
A．-或 B．或
C．2或 D．-2或
16．（2022九上·舟山期中）已知关于的二次函数，其中为实数，当-2≤x≤1时，的最小值为4，满足条件的的值为 。
17．（2024九上·温州开学考）小明在研究某二次函数时，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x … 2 3 5 …
y … 1 0 …
（1）求该二次函数的表达式．
（2）当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求p的值．
（3）已知点C是该二次函数图象与y轴的交点，把点C向下平移个单位得到点M．若点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移5n个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，求m，n的值．
18．（2024九上·定海开学考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值；
（3）如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值．
三、拓展创新
19．（2023九上·浙江期中）定义平面内任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)之间的距离dPQ=|x2-x1|+|y2-y1|称为这两点间的曼哈顿距离(简称为曼距)．例如，在平面直角坐标系中，点P(-3，-2)与点Q(2，2)之间的曼距dPQ=|-3-2|+|-2-2|=5+4=9，若点A在直线y=x-2上，点B为抛物线y=x2+2x上一点，则曼距dAB的最小值（ ）
A． B． C． D．
20．（2017九上·义乌月考）新定义函数：在y关于x的函数中，若0≤x≤1时，函数y有最大值和最小值，分别记ymax和ymin，且满足 ，则我们称函数y为“三角形函数”．
（1）若函数y=x+a为“三角形函数”，求a的取值范围；
（2）判断函数y=x2﹣ x+1是否为“三角形函数”，并说明理由；
（3）已知函数y=x2﹣2mx+1，若对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴二次函数的顶点坐标为（-1，4），且二次函数的图象开口向下，
∵当时，，
∴a＜-1，
当y=1时，-a2-2a+3=1，
解得：或（舍去），
故答案为：A.
【分析】先将抛物线的解析式整理为顶点坐标式，得出抛物线的顶点坐标为（-1，4），且二次函数的图象开口向下，先求出当时，，得出x=a时，函数值y=1，结合抛物线的对称轴和开口方向可得a＜-1，将y=1代入抛物线解析式，求出a的值即可.
2．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：y=x2-4x+c=（x-2）2-4+c，
∵二次函数的最小值是0，
∴-4+c=0
解之：c=4.
故答案为：B.
【分析】先将函数解析式转化为顶点式，再根据二次函数y=x2-4x+c的最小值是0，可得到关于c的方程，解方程求出c的值.
3．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
对称轴为，顶点坐标为，开口向上.
当，即-3故，故.
当，即b<－3时，最小值在处取得，
故，故(不符合题意，舍去).
当，即b>1时，最小值在处取得，
故，故.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数表达式求出对称轴和顶点坐标.然后分情况讨论，当时，最小值在顶点处取得；当时，最小值在处取得；当时，最小值在处取得；把x的值代入，得到关于b的方程，求解即可。
4．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数对称轴为，
由题意得，二次函数经过点，，，
结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；
②当时，最小值为，最大值为5；
③当时，最小值为，最大值为时y的值；
∴m的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=2，二次函数经过点（0，5）、（2，-4a+5）、（4，5），然后分05．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝（n+1）x+n的图象过第一、三、四象限
∴，解得-1==
∵-1∴二次函数的开口向下，有最大值，当x=时，y值最大=
故答案为：B.
【分析】根据一次函数图象与象限的关系，可得一次函数的系数和常数项与0的大小关系，进而可得n的取值范围；根据二次函数的系数和顶点式，可直接判断函数的最值.
6．【答案】-22
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：y=-x2-2x+2=-（x+1）2+3，
∵a=-1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴当-1＜x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x=4时y的最小值为-16-8+2=-22；
当-1≤x≤4时，y的最小值为-22.
故答案为：-22.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可知抛物线的开口向下，当-1＜x≤4时，y随x的增大而减小，将x=4代入函数解析式，可求出此时y的最小值.
7．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵点P(m，n)在二次函数的图象上
∴n=m2＋4
∴m-n=m-m2-4=-m2＋m-4=
∴当m=时，m-n 的最大值 为.
故答案为：.
【分析】把点P坐标代入中得到n=m2＋4，从而得到m-n=，再根据二次函数的最值得出答案.
8．【答案】3；6
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵，-2＜0，
∴当时，y有最大值是，
故答案为：3；6．
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大可得当-2(x-3)2+36最大时，y就最大；进而结合二次函数的性质，可得其最值.
9．【答案】-2
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：因为 二次函数有最大值 ，
所以
解得且
故综上所述m的取值为m=-2.
故答案为：-2.
【分析】本题主要考查二次函数的最值，当x取全体实数时，只有开口向下才有最大值，故解出m即可求解.
10．【答案】（1）解：拋物线的图象经过点，
，且.
.
所求二次函数的表达式为
（2）由题意，，
当时，取最大值为4.
①当时，
又，
当时，取最大值为；
当时，取最小值为.
又，
.
②当t>1时，
若，即，
当时，取最大值为；
当时，取最小值为，此时，符合题意.
若，即，
当时，取最大值为；
当时，取最小值为.
又，
.
.
或，不合题意
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将已知的两个点的坐标分别代入函数解析式，可得到关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，可得到二次函数解析式.
（2）将函数解析式转化为顶点式，可得到当x=1时y的最大值，再分情况讨论：当t≤1时，由x的取值范围，可得到当x=t时y的最大值，当x=-2时y的最小值，根据m-n=9，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值；当t＞1时，可得到t的取值范围为1＜t≤4，分别求出当x=1和x=t时y的最大值和最小值，根据m-n=9可求出n的值，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值；综上所述，可得到t的值.
11．【答案】（1）解：把点(0，3)，(6，3)代入得：
解得，c=3，b=-6
（2）解：由（1）知：
∵a=1>0，对称轴为直线x=3
∴ 0≤x≤4
∴当x=3时，y有最小值为-6
当x=0时，y有最小值=（0-3）2-6=3
∴ y的最大值与最小值之差 为3-（-6）=9.
∴ 当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差 为9.
（3）解：由（1）可得：
∵a=1>0，对称轴为直线x=3
∴当k ≤ 3时
∴当-2 ≤x ≤ k时，y随x的增大而减小
∴当x= k时，y有最小值为k2-6k＋3
当k>3时
∴当-2≤x≤ k时，顶点（3，-6）是抛物线的最低点
∴ y的最小值为-6
综上所述，y的最小值为-6或k2-6k＋3.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把点(0，3)，(6，3)代入得，解出b，c即可.
（2）先把二次函数化为顶点式为：，当 0≤x≤4时，再根据开口方向和对称轴可以得到：当x=3时，y有最小值为-6，当x=0时，y有最小值=（0-3）2-6=3，再求 y的最大值与最小值之差 即可.
（3）分两种情况讨论：
当k ≤ 3时，当-2 ≤x ≤ k时，y随x的增大而减小
根据增减性可得：当当x= k时，y有最小值=k2-6k＋3
当k>3时，x的取值范围为当-2≤x≤ k时，因此顶点（3，-6）是抛物线的最低点， 因此y的最小值为-6.
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得，二次函数的图象经过点A，B或点A，点C，
①若经过点A和点B
把A（2，1），B（4，3）代入得
解得
∵
∴二次函数的图象不能经过点A，B；
②若经过点A、点C，则有
解得，
∴
当时，
则点A（2，1）是的顶点
此时二次函数的顶点在上，且与y轴交点，纵坐标为-1，故D不符合题意；
经过平移，顶点始终在直线上，
故平移后函数表达式为，其中c为沿x轴正方向平移的单位，c取实数，
当x=0时，
当时，y有最大值，为：
故答案为：C.
【分析】由题意得：二次函数的图象经过点A，B或点A，点C，分别将A、B或A、C的坐标代入求出a、b的值，得到二次函数的解析式，求出顶点坐标，此时二次函数的顶点在y=x-1上，且与y轴交点纵坐标为-1，据此判断D；根据二次函数图象的几何变换可得平移后函数表达式为y=(x-2-c)2+c+1，令x=0，表示出y，结合二次函数的性质可得y的最大值，据此判断.
13．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的最值；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：设直线BC的解析式为
∴
∴
∵反比例函数经过点，
∴反比例函数解析式为：
设点P纵坐标为m，则点Q纵坐标也为m，
∴
∴
∴
∵点P在线段BC上，
∴
∴
∴矩形最大值为，
故答案为：A.
【分析】分别结合题意求出直线BC的解析式和反比例函数的解析式，然后设点P纵坐标为m，则点Q纵坐标也为m，然后用含m的代数式表示矩形的面积，最后结合二次函数的性质即可求出其最大值.
14．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，
∵ 二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，5），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线BC为，
设，则Q，
∴PQ=-t2+4t，
∵PQ∥AB，
∴△PQK∽△ABK，
∴，
∵k=-，
∴当时，有最大值为：，
∴有最小值为，
∴
故答案为：A.
【分析】过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，先由抛物线与纵坐标的交点坐标特点求出A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而根据点的坐标与图形的性质设，则Q，由两点间的距离公式表示出PQ=-t2+4t，AB=5，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△PQK∽△ABK，根据相似三角形对应边成比例可得，然后根据二次函数的性质求出有最大值，从而得到有最小值，进而可得答案.
15．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数
∴二次函数图象开口向上，对称轴为
①当时，即
∴当时，为最小值，
∴
解得：
②当时，即
在自变量x满足的情况下，y随x增大而增大，
∴当时，为最小值，
∴
解得：
③当时，即
在自变量x满足的情况下，y随x增大而减小，
∴当时，为最小值，
∴
解得：
综上所述，b的值为：或，
故答案为：B.
【分析】由二次函数解析式知：二次函数图象开口向上，对称轴为然后分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别根据二次函数的增减性和最值计算即可.
16．【答案】0或-2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 当-2≤x≤1时，的最小值为4
当a＜-2时，x=-2，
12+12a+4a2+2a+4=4
2a2+7a+6=0
解之：a1=-2，a2=-（舍去）；
当-2≤a≤1时，x=a时
3a2-6a2+4a2+2a+4=4
解之：a1=0，a2=-2；
当a＞1时，x=1
3-6a+4a2+2a+4=4即4a2-4a+3=0，
b2-4ac＜0，此方程无实数解；
∴a的值为0或-2.
故答案为：0或-2
【分析】利用已知条件分情况讨论：当a＜-2时，x=-2，代入可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值；当-2≤a≤1时，x=a时，可得到关于a的方程，解方程求出a的值；当a＞1时，x=1，此方程无实数解；由此可得到符合题意的a的值.
17．【答案】（1）解：设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，由题意得：
，
解得，
∴该二次函数的表达式为y=-x2+4x-3.
（2）解：∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线的顶点坐标为（2，1），
∵a=-1＜0，
∴当x＜2时，二次函数的值随x的增大而增大；当x=2时，该二次函数的最大值为1，
∵当p≤x≤2时，该二次函数的最大值与最小值的差为，
∴，
解得（舍去），，
故
（3）解：把代入，得，即．
由题意可得，，
点P、点Q都在二次函数的图象上且纵坐标相同，对称轴，
，
，
可得，
再把代入y=-x2+4x-3，得-3-m=-（-1-2）2+1=-8，
∴m=5，
故m=5，n=1
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）下求出抛物线的对称轴和顶点坐标，得出当x=2时，该二次函数的最大值为1，根据题意列出方程，解方程求出p的值，结合x的取值范围，即可求解；
（3）先求得点C的坐标，根据题意得出，，根据题意列出方程，解方程求出n的值，即可求出点P的坐标，将点P的坐标代入抛物线解析式，即可求出m的值.
18．【答案】（1）解：抛物线过点
得
解得
抛物线的表达式为
顶点；
（2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．
设直线的表达式为
由题意知
解得
直线的表达式为
的面积为12
，
，
解得（舍）
点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点
将代入
得
解得．
（3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且
抛物线的顶点
，
易得
当时，
点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小
最近距离即边上的高，高为：
面积的最小值为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再求抛物线的对称轴为x=1，代入解析式即可求出顶点坐标；
（2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．利用待定系数法求出直线AD解析式，表示出E点、G点坐标，根据△ADE的面积列出方程求出t值，得到E点坐标，再根据平移的性质得出F点坐标代入即可解答；
（3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，由抛物线解析式求得顶点Q坐标，表示出DK、KQ，根据直线MN的性质可得，得到n关于h的函数关系，配方后结合三角形面积公式即可求出面积的最小值.
（1）解：抛物线过点
得
解得
抛物线的表达式为
顶点；
（2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．
设直线的表达式为
由题意知
解得
直线的表达式为
的面积为12
，
，
解得（舍）
点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点
将代入
得
解得．
（3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且
抛物线的顶点
，
易得
当时，
点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小
最近距离即边上的高，高为：
面积的最小值为．
19．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意，设，所以，当点两点的横坐标相等时， dAB的最小，所以，所以曼距的最小值为.
故答案为：C.
【分析】设点的坐标，根据定义表示出曼距 dAB，当两点横坐标相等时， dAB取得最小值，求解即可．
20．【答案】（1）解：∵当x=0，ymin=a；x=1，ymax=1+a，
∵y=x+a为三角形函数，
∴ ，
∴a＞1
（2）解：是三角形函数，理由如下：
∵对称轴为直线 ，0≤x≤1，
∴当 ，
∴ ，
∴它是三角形函数
（3）解：∵对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，
∴ ，若a为最小，c为最大，则有 ，同理当b为最小，c为最大时也可得 ，
∴y=x2﹣2mx+1是三角形函数，
∵y=x2﹣2mx+1=（x﹣m）2﹣m2+1，
∴对称轴为直线x=m，
①当m≤0时，当x=0，ymin=1，
当x=1，ymax=﹣2m+2，则2＞﹣2m+2，解得m＞0，
∴无解；
②当 ， ，当x=1，ymax=﹣2m+2， ，
解得0＜m＜1，
∴ ；
③当 ， ，当x=0，ymax=1，则 ，
解得 ，
∴ ；
④当m＞1，当x=1，ymin=﹣2m+2，x=0，ymax=1，则 ，
解得 ，
∴无解；
综上述可知m的取值范围为 或
【知识点】分段函数；二次函数的最值；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由函数的性质可求得其最大值和最小值，由三角形函数的定义可得到关于a的不等式组，可求得a的取值范围。
（2）由抛物线解析式可求得其对称轴，由x的范围可求得其最大值和最小值，满足三角形函数的定义。
（3）由三角形的三边关系可判断函数y=x2-2mx+1为三角形函数，再利用三角形函数的定义分别得到关于m的不等式组，即可求得m所满足的不等式，可求得m的取值范围。
1 / 1二次函数的最值—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024九上·岱山开学考）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴二次函数的顶点坐标为（-1，4），且二次函数的图象开口向下，
∵当时，，
∴a＜-1，
当y=1时，-a2-2a+3=1，
解得：或（舍去），
故答案为：A.
【分析】先将抛物线的解析式整理为顶点坐标式，得出抛物线的顶点坐标为（-1，4），且二次函数的图象开口向下，先求出当时，，得出x=a时，函数值y=1，结合抛物线的对称轴和开口方向可得a＜-1，将y=1代入抛物线解析式，求出a的值即可.
2．（2024九上·温州月考）二次函数的最小值是0，那么的值等于（ ）
A．2 B．4 C． D．8
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：y=x2-4x+c=（x-2）2-4+c，
∵二次函数的最小值是0，
∴-4+c=0
解之：c=4.
故答案为：B.
【分析】先将函数解析式转化为顶点式，再根据二次函数y=x2-4x+c的最小值是0，可得到关于c的方程，解方程求出c的值.
3．（2024九上·嘉兴期末）已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
对称轴为，顶点坐标为，开口向上.
当，即-3故，故.
当，即b<－3时，最小值在处取得，
故，故(不符合题意，舍去).
当，即b>1时，最小值在处取得，
故，故.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数表达式求出对称轴和顶点坐标.然后分情况讨论，当时，最小值在顶点处取得；当时，最小值在处取得；当时，最小值在处取得；把x的值代入，得到关于b的方程，求解即可。
4．（2023九上·江北期末）已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数对称轴为，
由题意得，二次函数经过点，，，
结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；
②当时，最小值为，最大值为5；
③当时，最小值为，最大值为时y的值；
∴m的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=2，二次函数经过点（0，5）、（2，-4a+5）、（4，5），然后分05．（2023九上·拱墅月考）若一次函数y＝（n+1）x+n的图象过第一、三、四象限，则函数y＝nx2﹣nx（ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝（n+1）x+n的图象过第一、三、四象限
∴，解得-1==
∵-1∴二次函数的开口向下，有最大值，当x=时，y值最大=
故答案为：B.
【分析】根据一次函数图象与象限的关系，可得一次函数的系数和常数项与0的大小关系，进而可得n的取值范围；根据二次函数的系数和顶点式，可直接判断函数的最值.
6．（2024九上·温州月考）已知二次函数中，当时，的最小值是 ．
【答案】-22
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：y=-x2-2x+2=-（x+1）2+3，
∵a=-1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴当-1＜x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x=4时y的最小值为-16-8+2=-22；
当-1≤x≤4时，y的最小值为-22.
故答案为：-22.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可知抛物线的开口向下，当-1＜x≤4时，y随x的增大而减小，将x=4代入函数解析式，可求出此时y的最小值.
7．（2024九上·金华开学考）已知点P(m，n)在二次函数.的图象上，则m-n的最大值等于 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵点P(m，n)在二次函数的图象上
∴n=m2＋4
∴m-n=m-m2-4=-m2＋m-4=
∴当m=时，m-n 的最大值 为.
故答案为：.
【分析】把点P坐标代入中得到n=m2＋4，从而得到m-n=，再根据二次函数的最值得出答案.
8．（2024九上·温州开学考）已知，则当 时，y有最大值是 ．
【答案】3；6
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵，-2＜0，
∴当时，y有最大值是，
故答案为：3；6．
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大可得当-2(x-3)2+36最大时，y就最大；进而结合二次函数的性质，可得其最值.
9．（2023九上·仙居期中）已知二次函数有最大值，则 ．
【答案】-2
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：因为 二次函数有最大值 ，
所以
解得且
故综上所述m的取值为m=-2.
故答案为：-2.
【分析】本题主要考查二次函数的最值，当x取全体实数时，只有开口向下才有最大值，故解出m即可求解.
10．（2024九上·温州月考）已知抛物线的图象经过点，．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围．
【答案】（1）解：拋物线的图象经过点，
，且.
.
所求二次函数的表达式为
（2）由题意，，
当时，取最大值为4.
①当时，
又，
当时，取最大值为；
当时，取最小值为.
又，
.
②当t>1时，
若，即，
当时，取最大值为；
当时，取最小值为，此时，符合题意.
若，即，
当时，取最大值为；
当时，取最小值为.
又，
.
.
或，不合题意
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将已知的两个点的坐标分别代入函数解析式，可得到关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，可得到二次函数解析式.
（2）将函数解析式转化为顶点式，可得到当x=1时y的最大值，再分情况讨论：当t≤1时，由x的取值范围，可得到当x=t时y的最大值，当x=-2时y的最小值，根据m-n=9，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值；当t＞1时，可得到t的取值范围为1＜t≤4，分别求出当x=1和x=t时y的最大值和最小值，根据m-n=9可求出n的值，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值；综上所述，可得到t的值.
11．（2024九上·金华开学考）已知函数.(b，c为常数)的图象经过点(0，3)，(6，3).
（1）求b，c的值；
（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当-2≤x≤k时，求y的最小值.(可用含k的代数式表示)
【答案】（1）解：把点(0，3)，(6，3)代入得：
解得，c=3，b=-6
（2）解：由（1）知：
∵a=1>0，对称轴为直线x=3
∴ 0≤x≤4
∴当x=3时，y有最小值为-6
当x=0时，y有最小值=（0-3）2-6=3
∴ y的最大值与最小值之差 为3-（-6）=9.
∴ 当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差 为9.
（3）解：由（1）可得：
∵a=1>0，对称轴为直线x=3
∴当k ≤ 3时
∴当-2 ≤x ≤ k时，y随x的增大而减小
∴当x= k时，y有最小值为k2-6k＋3
当k>3时
∴当-2≤x≤ k时，顶点（3，-6）是抛物线的最低点
∴ y的最小值为-6
综上所述，y的最小值为-6或k2-6k＋3.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把点(0，3)，(6，3)代入得，解出b，c即可.
（2）先把二次函数化为顶点式为：，当 0≤x≤4时，再根据开口方向和对称轴可以得到：当x=3时，y有最小值为-6，当x=0时，y有最小值=（0-3）2-6=3，再求 y的最大值与最小值之差 即可.
（3）分两种情况讨论：
当k ≤ 3时，当-2 ≤x ≤ k时，y随x的增大而减小
根据增减性可得：当当x= k时，y有最小值=k2-6k＋3
当k>3时，x的取值范围为当-2≤x≤ k时，因此顶点（3，-6）是抛物线的最低点， 因此y的最小值为-6.
二、能力提升
12．（2022九上·杭州月考）已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过，，三个点中的其中两个点.平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为-1 B．最小值为-1
C．最大值为 D．最小值为
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得，二次函数的图象经过点A，B或点A，点C，
①若经过点A和点B
把A（2，1），B（4，3）代入得
解得
∵
∴二次函数的图象不能经过点A，B；
②若经过点A、点C，则有
解得，
∴
当时，
则点A（2，1）是的顶点
此时二次函数的顶点在上，且与y轴交点，纵坐标为-1，故D不符合题意；
经过平移，顶点始终在直线上，
故平移后函数表达式为，其中c为沿x轴正方向平移的单位，c取实数，
当x=0时，
当时，y有最大值，为：
故答案为：C.
【分析】由题意得：二次函数的图象经过点A，B或点A，点C，分别将A、B或A、C的坐标代入求出a、b的值，得到二次函数的解析式，求出顶点坐标，此时二次函数的顶点在y=x-1上，且与y轴交点纵坐标为-1，据此判断D；根据二次函数图象的几何变换可得平移后函数表达式为y=(x-2-c)2+c+1，令x=0，表示出y，结合二次函数的性质可得y的最大值，据此判断.
13．（2024九上·桐乡市期末）已知点，，反比例函数经过点，点在线段上，过点作直线与轴平行，交反比例函数图象于点，再分别过点和点作轴垂线，所形成的矩形的面积的最大值是（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的最值；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：设直线BC的解析式为
∴
∴
∵反比例函数经过点，
∴反比例函数解析式为：
设点P纵坐标为m，则点Q纵坐标也为m，
∴
∴
∴
∵点P在线段BC上，
∴
∴
∴矩形最大值为，
故答案为：A.
【分析】分别结合题意求出直线BC的解析式和反比例函数的解析式，然后设点P纵坐标为m，则点Q纵坐标也为m，然后用含m的代数式表示矩形的面积，最后结合二次函数的性质即可求出其最大值.
14．（2023九上·定海月考） 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，
∵ 二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，5），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线BC为，
设，则Q，
∴PQ=-t2+4t，
∵PQ∥AB，
∴△PQK∽△ABK，
∴，
∵k=-，
∴当时，有最大值为：，
∴有最小值为，
∴
故答案为：A.
【分析】过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，先由抛物线与纵坐标的交点坐标特点求出A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而根据点的坐标与图形的性质设，则Q，由两点间的距离公式表示出PQ=-t2+4t，AB=5，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△PQK∽△ABK，根据相似三角形对应边成比例可得，然后根据二次函数的性质求出有最大值，从而得到有最小值，进而可得答案.
15．（2023九上·龙泉期中）若b≤x≤b＋3时，二次函数y＝x2＋bx＋b2的最小值为15，则b的值为（ ）
A．-或 B．或
C．2或 D．-2或
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数
∴二次函数图象开口向上，对称轴为
①当时，即
∴当时，为最小值，
∴
解得：
②当时，即
在自变量x满足的情况下，y随x增大而增大，
∴当时，为最小值，
∴
解得：
③当时，即
在自变量x满足的情况下，y随x增大而减小，
∴当时，为最小值，
∴
解得：
综上所述，b的值为：或，
故答案为：B.
【分析】由二次函数解析式知：二次函数图象开口向上，对称轴为然后分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别根据二次函数的增减性和最值计算即可.
16．（2022九上·舟山期中）已知关于的二次函数，其中为实数，当-2≤x≤1时，的最小值为4，满足条件的的值为 。
【答案】0或-2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 当-2≤x≤1时，的最小值为4
当a＜-2时，x=-2，
12+12a+4a2+2a+4=4
2a2+7a+6=0
解之：a1=-2，a2=-（舍去）；
当-2≤a≤1时，x=a时
3a2-6a2+4a2+2a+4=4
解之：a1=0，a2=-2；
当a＞1时，x=1
3-6a+4a2+2a+4=4即4a2-4a+3=0，
b2-4ac＜0，此方程无实数解；
∴a的值为0或-2.
故答案为：0或-2
【分析】利用已知条件分情况讨论：当a＜-2时，x=-2，代入可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值；当-2≤a≤1时，x=a时，可得到关于a的方程，解方程求出a的值；当a＞1时，x=1，此方程无实数解；由此可得到符合题意的a的值.
17．（2024九上·温州开学考）小明在研究某二次函数时，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x … 2 3 5 …
y … 1 0 …
（1）求该二次函数的表达式．
（2）当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求p的值．
（3）已知点C是该二次函数图象与y轴的交点，把点C向下平移个单位得到点M．若点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移5n个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，求m，n的值．
【答案】（1）解：设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，由题意得：
，
解得，
∴该二次函数的表达式为y=-x2+4x-3.
（2）解：∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线的顶点坐标为（2，1），
∵a=-1＜0，
∴当x＜2时，二次函数的值随x的增大而增大；当x=2时，该二次函数的最大值为1，
∵当p≤x≤2时，该二次函数的最大值与最小值的差为，
∴，
解得（舍去），，
故
（3）解：把代入，得，即．
由题意可得，，
点P、点Q都在二次函数的图象上且纵坐标相同，对称轴，
，
，
可得，
再把代入y=-x2+4x-3，得-3-m=-（-1-2）2+1=-8，
∴m=5，
故m=5，n=1
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）下求出抛物线的对称轴和顶点坐标，得出当x=2时，该二次函数的最大值为1，根据题意列出方程，解方程求出p的值，结合x的取值范围，即可求解；
（3）先求得点C的坐标，根据题意得出，，根据题意列出方程，解方程求出n的值，即可求出点P的坐标，将点P的坐标代入抛物线解析式，即可求出m的值.
18．（2024九上·定海开学考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值；
（3）如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值．
【答案】（1）解：抛物线过点
得
解得
抛物线的表达式为
顶点；
（2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．
设直线的表达式为
由题意知
解得
直线的表达式为
的面积为12
，
，
解得（舍）
点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点
将代入
得
解得．
（3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且
抛物线的顶点
，
易得
当时，
点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小
最近距离即边上的高，高为：
面积的最小值为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再求抛物线的对称轴为x=1，代入解析式即可求出顶点坐标；
（2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．利用待定系数法求出直线AD解析式，表示出E点、G点坐标，根据△ADE的面积列出方程求出t值，得到E点坐标，再根据平移的性质得出F点坐标代入即可解答；
（3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，由抛物线解析式求得顶点Q坐标，表示出DK、KQ，根据直线MN的性质可得，得到n关于h的函数关系，配方后结合三角形面积公式即可求出面积的最小值.
（1）解：抛物线过点
得
解得
抛物线的表达式为
顶点；
（2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．
设直线的表达式为
由题意知
解得
直线的表达式为
的面积为12
，
，
解得（舍）
点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点
将代入
得
解得．
（3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且
抛物线的顶点
，
易得
当时，
点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小
最近距离即边上的高，高为：
面积的最小值为．
三、拓展创新
19．（2023九上·浙江期中）定义平面内任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)之间的距离dPQ=|x2-x1|+|y2-y1|称为这两点间的曼哈顿距离(简称为曼距)．例如，在平面直角坐标系中，点P(-3，-2)与点Q(2，2)之间的曼距dPQ=|-3-2|+|-2-2|=5+4=9，若点A在直线y=x-2上，点B为抛物线y=x2+2x上一点，则曼距dAB的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意，设，所以，当点两点的横坐标相等时， dAB的最小，所以，所以曼距的最小值为.
故答案为：C.
【分析】设点的坐标，根据定义表示出曼距 dAB，当两点横坐标相等时， dAB取得最小值，求解即可．
20．（2017九上·义乌月考）新定义函数：在y关于x的函数中，若0≤x≤1时，函数y有最大值和最小值，分别记ymax和ymin，且满足 ，则我们称函数y为“三角形函数”．
（1）若函数y=x+a为“三角形函数”，求a的取值范围；
（2）判断函数y=x2﹣ x+1是否为“三角形函数”，并说明理由；
（3）已知函数y=x2﹣2mx+1，若对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围．
【答案】（1）解：∵当x=0，ymin=a；x=1，ymax=1+a，
∵y=x+a为三角形函数，
∴ ，
∴a＞1
（2）解：是三角形函数，理由如下：
∵对称轴为直线 ，0≤x≤1，
∴当 ，
∴ ，
∴它是三角形函数
（3）解：∵对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，
∴ ，若a为最小，c为最大，则有 ，同理当b为最小，c为最大时也可得 ，
∴y=x2﹣2mx+1是三角形函数，
∵y=x2﹣2mx+1=（x﹣m）2﹣m2+1，
∴对称轴为直线x=m，
①当m≤0时，当x=0，ymin=1，
当x=1，ymax=﹣2m+2，则2＞﹣2m+2，解得m＞0，
∴无解；
②当 ， ，当x=1，ymax=﹣2m+2， ，
解得0＜m＜1，
∴ ；
③当 ， ，当x=0，ymax=1，则 ，
解得 ，
∴ ；
④当m＞1，当x=1，ymin=﹣2m+2，x=0，ymax=1，则 ，
解得 ，
∴无解；
综上述可知m的取值范围为 或
【知识点】分段函数；二次函数的最值；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由函数的性质可求得其最大值和最小值，由三角形函数的定义可得到关于a的不等式组，可求得a的取值范围。
（2）由抛物线解析式可求得其对称轴，由x的范围可求得其最大值和最小值，满足三角形函数的定义。
（3）由三角形的三边关系可判断函数y=x2-2mx+1为三角形函数，再利用三角形函数的定义分别得到关于m的不等式组，即可求得m所满足的不等式，可求得m的取值范围。
1 / 1
