二次函数图象的平移变换—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2022九上·萧山月考）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，
∴，
故答案为：C．
【分析】抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，据此解答即可.
2．（2024九上·金华开学考）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(5，4) B．(1，-2) C．(-1，-2) D．(-5，-2)
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意知： 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 可得：，因此顶点坐标为（1，-2）
故答案为：B.
【分析】先根据平移规律：左加右减得出二次函数解析式为：，再根据顶点坐标公式得出答案即可.
3．（2023九上·永康月考）抛物线可由如何平移得到（ ）
A．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位
B．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位
C．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位
D．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x+2）2-5的顶点坐标为（-2，-5），
∴平移的方法可以是向左平移2个单位，再向上平移5个单位．
故答案为：C.
【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-2，-5），由此确定平移规律.
4．（2023九上·临平月考）平移函数y＝x2的图象，得到新的图象的表达式为y＝（x﹣1）2+5，则平移的方式是（ ）
A．向左平移1单位，向下平移5单位
B．向右平移1单位，向上平移5单位
C．向左平移1单位，向上平移5单位
D．向右平移1单位，向下平移5单位
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：
函数y＝x2的图象 的顶点坐标为(0，0)，y＝（x﹣1）2+5的图象 的顶点坐标为(1，5)，
所以把函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移5个单位可得到y＝（x﹣1）2+5的图象。
故答案为：B.
【分析】考查两图像的 顶点坐标，根据顶点的平移方式得到图像的平移方式。
5．把抛物线y=x2+bx+c先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的函数表达式为y=x2-3x+5，则b= ，c=
【答案】3；7
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： y=x2-3x+5=（x-）2+，
由题意知：把y=x2-3x+5 向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 可得抛物线y=x2+bx+c得图象，
∴把y=x2-3x+5 向左平移3个单位，再向上平移2个单位后可得y=（x-+3）2++2，
即y=x2+3x+7=x2+bx+c ，
∴b=3，c=7.
故答案为：3，7.
【分析】利用逆向思维，将 y=x2-3x+5=（x-）2+向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 可得抛物线y=x2+bx+c得图象，据此解答即可.
6．（2023九上·萧山月考）已知二次函数y＝－(x＋1)2＋4的图像如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数y＝－(x－2)2＋7的图像．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】先根据二次函数y＝－(x＋1)2＋4 平移后的表达式 y＝－(x－2)2＋7 ，确定平移的规律为向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度，再确定y＝－(x＋1)2＋4 的顶点坐标（-1，4），与x轴的交点坐标（-3，0）和（1，0），最后确定三点的平移位置画图即可.
7．（2023九上·杭州月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）解：由题意将点和代入抛物线的解析式y=-x2+bx+c中，
可得
解得：
∴抛物线C的解析式为；
（2）解：∵抛物线C的解析式为
=-（x2+x）+3
=-(x+）2+
∴抛物线C的顶点坐标为，
∵将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线
∴抛物线的顶点坐标为
故抛物线的顶点坐标为.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由题意把两点（0，3）和（1，1）代入二次函数的解析式可得关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）用配方法可求出抛物线C的顶点坐标，再根据平移的性质求出抛物线的顶点坐标即可．
（1）解：将点和分别代入抛物线中
可得
解得
∴抛物线C的解析式为；
（2）解：∵抛物线C的解析式为
∴
∴当时，
∴抛物线C的顶点坐标为
∵将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线
∴抛物线的顶点坐标为
故抛物线的顶点坐标为
8．（2022九上·平阳月考）如图，将抛物线P1：y=x2+2x+m平移后得到抛物线P2：y=x2﹣5x+n，两抛物线与y轴分别交于点C，D．抛物线P1，P2的交点E的横坐标是1，过点E作x轴的平行线，分别交抛物线P1，P2于点A，B．
（1）求抛物线P1的对称轴和点A的横坐标．
（2）求线段AB和CD的长度．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
轴，
又A、E两点关于对称轴对称，E点横坐标为1，
点A的横坐标为；
故抛物线P1的对称轴为直线和点A的横坐标为．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
轴，
点B与点E关于对称轴对称，
点B的横坐标为4，
；
点E是抛物线与抛物线的交点，
，
，
，
令，
则，
；
故线段AB和CD的长度均为7．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）由抛物线的解析式可得对称轴为直线x=-1，根据A、E两点关于对称轴对称可得点A的横坐标；
（2）由抛物线P2的解析式可得对称轴，结合B、E关于对称轴对称可得点B的横坐标为4，则AB=7，由E是两抛物线的交点可得n-m=7，令x=0，求出y，表示出C、D的坐标，进而可得CD的值.
二、能力提升
9．（2019九上·东阳期末）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2+3不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+5 B．y＝3（x+2）2+1
C．y＝3（x+2）2+5 D．y＝3（x﹣2）2+1
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，
∴相当于把抛物线分别向下、向左平移2个单位，
∴由“上加下减，左加右减”的原则可知，把抛物线分别向下、向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:y=3（x+2）2+1。
故答案为：B。
【分析】本题实质就是把抛物线分别向下、向左平移2个单位，根据抛物线的平移变换规律“常数项，上加下减，自变量左加右减”即可得出新抛物线的解析式。
10．抛物线y=x2+x+1经平移后，不可能得到的拋物线是（ ）
A．y=x2+x B．y=x2-4
C．y=x2+2022x-2023 D．y=-x2+x+1
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=x2+x+1经平移后，开口方向、开口大小都不变，
∴抛物线y=x2+x+1经平移后a=不变，
∴ 不可能得到的拋物线y=-x2+x+1 .
故答案为：D.
【分析】抛物线y=x2+x+1经平移后，开口方向、开口大小都不变，据此逐项判断即可.
11．（2022九上·杭州期中）已知，二次函数y=ax2+bx-1(a，b是常数，a≠0)的图象经过A(2，1)，B(4，3)，C(4，-1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为-1 B．最小值为-1
C．最大值为 D．最小值为
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵当x=2时y=2-1=1，当x=4时y=4-1=3，
∴点A，B在直线y=x-1上，
∴点A或点B是抛物线的顶点，
∵ B(4，3)，C(4，-1) 的横坐标相同，
∴抛物线不会同时经过点B，C，
∴抛物线经过点A，C，
解之：，
∴二次函数解析式为，
∵平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，
∴抛物线向左，向下平移的距离相同，
∴平移后的抛物线的解析式为，
当x=0时，，
当m=1时y的最大值为.
故答案为：C
【分析】利用点A，B，C的坐标及一次函数解析式，可知点A，B在直线y=x-1上，由此可得到点A或点B是抛物线的顶点，抛物线不会同时经过点B，C，可推出抛物线经过点A，C；利用待定系数法求出二次函数解析式，利用二次函数平移的规律及已知可得到抛物线向左，向下平移的距离相同，可知平移后的抛物线的解析式为，由x=0可得到y与m的函数解析式，利用二次函数的性质，可得到平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最值.
12．（2023九上·秀洲期中）把二次函数的图象向右平移3个单位，向再上平移1个单位，如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：二次函数经过两次平移后可得y=，
移项后可得：y=，
∵平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点
∴m-3=0，解得m=3.
故答案为：B.
【分析】二次函数的二次项系数大于0，可得函数的开口向上，当二次函数与x轴只有一个交点时，二次函数的顶点坐标的纵坐标为0，列一元一次方程，解方程即可求出m的值.
13．（2023九上·萧山月考）已知二次函数的图象可以由抛物线平移得到，且其顶点坐标为，则该二次函数的表达式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象可以由平移得到，
∴，
∴二次函数的解析式为，
故答案为：.
【分析】先根据顶点坐标得到二次函数解析式为，再根据平移的性质可得，由此可得答案．
14．（2023九上·萧山期中）已知点P（-3，m）和Q（1，m）在二次函数y＝2x2+bx-1的图象上．将这个二次函数图象向上平移 单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点．
【答案】3
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：点和在二次函数的图象上，
，
，
，
二次函数图象向上平移3单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点．
故答案为：3.
【分析】利用二次函数的轴对称性解得b的值，再通过二次函数的顶点式可得二次函数图象向上平移3单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点．
15．（2023九上·义乌月考）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过C、D作x轴平行线，作A关于直线y=4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E=CD，连接BE交直线y=9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y=4于D'，如图：
作图可知：四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，
∴A'E∥CD，C'D'∥CD，且A'E=CD，C'D'=CD，
∴C'D'∥A'E且C'D'=A'E，
∴四边形A'EC'D'是平行四边形，
∴A'D'=EC'，
∵A关于直线y=4的对称点A'，
∴AD'=A'D'，
∴EC'=AD'，
∴BE=BC'+EC'=BC'+AD'，即此时BC'+AD'转化到一条直线上，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，
而AB、CD为定值，
∴此时四边形ABC′D′的周长最小，
∵A（3，0）关于直线y=4的对称点A'，
∴A'（3，8），
∵四边形A'ECD是平行四边形，C（-3，9），D（2，4），
∴E（-2，13），
设直线BE解析式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴直线BE解析式为，
令y=9得：，
解得：，
∴，
∴，
即将抛物线y=x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，
∴此时抛物线为，
故答案为：.
【分析】过C、D作x轴平行线，作A关于直线y=4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E=CD，连接BE交直线y=9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y=4于D'，四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，可得四边形A'EC'D'是平行四边形，可证BE=BC'+EC'=BC'+AD'，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，故此时四边形ABC′D′的周长最小，求出A'（3，8），E（-2，13），可得直线BE解析式为，求出点C'坐标，得出CC'的值，得出抛物线y=x2向右移四边形ABC′D′的周长最小，即可求解.
16．（2024九上·婺城开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其对称轴直线与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式为______；
（2）如图1，点为抛物线上第四象限内的一动点，连接，，，求四边形面积最大值和点此时的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出满足条件的点的坐标______．
【答案】（1）
（2）解：设，
由题意可得，当时，，
解得，，故，
当时，，故，
∵对称轴直线与轴交于点，
∴，
，
∵，
∴当时最大，最大值为，
当时，，
∴；
（3）或或或
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，
，
解得，
∴抛物线解析式为：；
故答案为：；
（3）解：由题意可得，B点移动到了O点，即函数向左平移了6个单位，
，
当时，，
∴坐标为：，
设F点坐标为，
①当，，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据可得，
，
，
∴或；
②当， ，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据，
，
解得：，
，，
综上所述M点坐标为：或或或．
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式可得关于字母a、b的一个方程，再根据抛物线的对称轴直线公式可得一个关于字母a、b的二元一次方程，联立两方程，求解得到a、b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）设，根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点先求出B、C两点的坐标，根据点的坐标与图形性质求出点D的坐标，然后根据用m表示出面积，利用二次函数性质即可求出最大值，进而即可求出点P的坐标；
（3）根据平移性质“左移加，右移减，上移加，下移减”得到新的抛物线解析式并求出点坐标，设出坐标，根据菱形性质分①当，，时，②当， ，时，两种情况结合根据平移性质即可得到答案．
（1）解：由题意可得，
，
解得，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：设，由题意可得，
当时，，解得，，故，
当时，，故，
∵对称轴直线与轴交于点，
∴，
，
∵，
∴当时最大，最大值为，
当时，，
∴；
（3）解：由题意可得，B点移动到了O点，即函数向左平移了6个单位，
，
当时，，
∴坐标为：，
设F点坐标为，
当，，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据可得，
，
，
∴或；
②当， ，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据，
，
解得：，
，，
综上所述M点坐标为：或或或．
三、拓展创新
17．（2017九上·金华开学考）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．
如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．
（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么
①a= ，b= ．
②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为 。
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．
（3）如果抛物线 的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为 ，请直接写出点B的坐标．
【答案】（1）1；-2；D
（2）解：∵B（2，c－1），
∴AC=2×2=4．
∵当x=0，y=c，
∴A（0，c）．
∵F1：y=ax2+c，B（2，c－1）．
∴设F2：y=a（x－2）2+c－1．
∵点A（0，c）在F2上，
∴4a+c－1=c，
∴ ．
∴BD=（4a+c）－（c－1）=2．
∴S四边形ABCD=AC·BD=4
（3）解：如图所示，
y=，
设F2的解析式y=，把（1，2）代入得到a2=3b，
B(1+a，2+b)，C(3b+1+a，2)，D(1+a，).
B点在A点的右侧时，AC=2a，BD=2b，
∴，
∴ab=，
∴a=，b=1，
∴B1(1+，1)
B在点A的左侧时，同法可得B2(1-，1)，
综上所述，B1(1+，1)，B2(1-，1)。
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：（1）①由A、C点关于对称轴对称，得对称轴x=1.
将C点坐标代入解析式，及对称轴公式，得，
，
解得，
②当x=1时，y=x2，B（1，1）；
y=x2-2x=-1，D(1，-1)，
四边形ABCD的对角线相等互相平分，且互相垂直，
四边形ABCD是正方形。
【分析】（1）①由A、C点关于对称轴对称，得对称轴x=1.将C点坐标代入抛物线y=ax2+bx，及对称轴公式，得出关于a，b的二元一次方程组，求解得出a，b的值；②把x=1分别代入y=x2与y=x2-2x得出B，D两点的坐标，根据四边形ABCD的对角线相等互相平分，且互相垂直，故四边形ABCD是正方形；
（2）根据抛物线的对称性，由A点的坐标及B点的横坐标，得出AC=2，根据抛物线与坐标轴的交点坐标特点得出A点的坐标，根据B点是F2的顶点，故设F2：y=a（x－2）2+c－1，将A点的坐标代入得出4a+c－1=c， a = ，将x=2代入F1表示出D点的坐标，进而计算出BD的长，根据对角线互相垂直的四边形的面积定义两对角线积的一半即可算出答案；
（3）首先将抛物线 y =x 2 x +配成顶点式得出其顶点坐标，根据抛物线的几何变化规律，设出其过顶抛物线F2的解析式y=，把（1，2）代入得到a2=3b，从而得出B(1+a，2+b)，C(3b+1+a，2)，D(1+a，)，B点在A点的右侧时，AC=2a，BD=2b，根据对角线互相垂直的四边形的面积定义两对角线积的一半即可算出列出方程，求解得出a，b的值，从而得出B点的坐标，B在点A的左侧时，同法可得B点的坐标，综上所述即可得出答案。
1 / 1二次函数图象的平移变换—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2022九上·萧山月考）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·金华开学考）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(5，4) B．(1，-2) C．(-1，-2) D．(-5，-2)
3．（2023九上·永康月考）抛物线可由如何平移得到（ ）
A．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位
B．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位
C．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位
D．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位
4．（2023九上·临平月考）平移函数y＝x2的图象，得到新的图象的表达式为y＝（x﹣1）2+5，则平移的方式是（ ）
A．向左平移1单位，向下平移5单位
B．向右平移1单位，向上平移5单位
C．向左平移1单位，向上平移5单位
D．向右平移1单位，向下平移5单位
5．把抛物线y=x2+bx+c先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的函数表达式为y=x2-3x+5，则b= ，c=
6．（2023九上·萧山月考）已知二次函数y＝－(x＋1)2＋4的图像如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数y＝－(x－2)2＋7的图像．
7．（2023九上·杭州月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的顶点坐标．
8．（2022九上·平阳月考）如图，将抛物线P1：y=x2+2x+m平移后得到抛物线P2：y=x2﹣5x+n，两抛物线与y轴分别交于点C，D．抛物线P1，P2的交点E的横坐标是1，过点E作x轴的平行线，分别交抛物线P1，P2于点A，B．
（1）求抛物线P1的对称轴和点A的横坐标．
（2）求线段AB和CD的长度．
二、能力提升
9．（2019九上·东阳期末）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2+3不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+5 B．y＝3（x+2）2+1
C．y＝3（x+2）2+5 D．y＝3（x﹣2）2+1
10．抛物线y=x2+x+1经平移后，不可能得到的拋物线是（ ）
A．y=x2+x B．y=x2-4
C．y=x2+2022x-2023 D．y=-x2+x+1
11．（2022九上·杭州期中）已知，二次函数y=ax2+bx-1(a，b是常数，a≠0)的图象经过A(2，1)，B(4，3)，C(4，-1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为-1 B．最小值为-1
C．最大值为 D．最小值为
12．（2023九上·秀洲期中）把二次函数的图象向右平移3个单位，向再上平移1个单位，如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m应满足（ ）
A． B． C． D．
13．（2023九上·萧山月考）已知二次函数的图象可以由抛物线平移得到，且其顶点坐标为，则该二次函数的表达式为 ．
14．（2023九上·萧山期中）已知点P（-3，m）和Q（1，m）在二次函数y＝2x2+bx-1的图象上．将这个二次函数图象向上平移 单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点．
15．（2023九上·义乌月考）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
16．（2024九上·婺城开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其对称轴直线与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式为______；
（2）如图1，点为抛物线上第四象限内的一动点，连接，，，求四边形面积最大值和点此时的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出满足条件的点的坐标______．
三、拓展创新
17．（2017九上·金华开学考）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．
如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．
（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么
①a= ，b= ．
②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为 。
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．
（3）如果抛物线 的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为 ，请直接写出点B的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，
∴，
故答案为：C．
【分析】抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，据此解答即可.
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意知： 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 可得：，因此顶点坐标为（1，-2）
故答案为：B.
【分析】先根据平移规律：左加右减得出二次函数解析式为：，再根据顶点坐标公式得出答案即可.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x+2）2-5的顶点坐标为（-2，-5），
∴平移的方法可以是向左平移2个单位，再向上平移5个单位．
故答案为：C.
【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-2，-5），由此确定平移规律.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：
函数y＝x2的图象 的顶点坐标为(0，0)，y＝（x﹣1）2+5的图象 的顶点坐标为(1，5)，
所以把函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移5个单位可得到y＝（x﹣1）2+5的图象。
故答案为：B.
【分析】考查两图像的 顶点坐标，根据顶点的平移方式得到图像的平移方式。
5．【答案】3；7
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： y=x2-3x+5=（x-）2+，
由题意知：把y=x2-3x+5 向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 可得抛物线y=x2+bx+c得图象，
∴把y=x2-3x+5 向左平移3个单位，再向上平移2个单位后可得y=（x-+3）2++2，
即y=x2+3x+7=x2+bx+c ，
∴b=3，c=7.
故答案为：3，7.
【分析】利用逆向思维，将 y=x2-3x+5=（x-）2+向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 可得抛物线y=x2+bx+c得图象，据此解答即可.
6．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】先根据二次函数y＝－(x＋1)2＋4 平移后的表达式 y＝－(x－2)2＋7 ，确定平移的规律为向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度，再确定y＝－(x＋1)2＋4 的顶点坐标（-1，4），与x轴的交点坐标（-3，0）和（1，0），最后确定三点的平移位置画图即可.
7．【答案】（1）解：由题意将点和代入抛物线的解析式y=-x2+bx+c中，
可得
解得：
∴抛物线C的解析式为；
（2）解：∵抛物线C的解析式为
=-（x2+x）+3
=-(x+）2+
∴抛物线C的顶点坐标为，
∵将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线
∴抛物线的顶点坐标为
故抛物线的顶点坐标为.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由题意把两点（0，3）和（1，1）代入二次函数的解析式可得关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）用配方法可求出抛物线C的顶点坐标，再根据平移的性质求出抛物线的顶点坐标即可．
（1）解：将点和分别代入抛物线中
可得
解得
∴抛物线C的解析式为；
（2）解：∵抛物线C的解析式为
∴
∴当时，
∴抛物线C的顶点坐标为
∵将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线
∴抛物线的顶点坐标为
故抛物线的顶点坐标为
8．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
轴，
又A、E两点关于对称轴对称，E点横坐标为1，
点A的横坐标为；
故抛物线P1的对称轴为直线和点A的横坐标为．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
轴，
点B与点E关于对称轴对称，
点B的横坐标为4，
；
点E是抛物线与抛物线的交点，
，
，
，
令，
则，
；
故线段AB和CD的长度均为7．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）由抛物线的解析式可得对称轴为直线x=-1，根据A、E两点关于对称轴对称可得点A的横坐标；
（2）由抛物线P2的解析式可得对称轴，结合B、E关于对称轴对称可得点B的横坐标为4，则AB=7，由E是两抛物线的交点可得n-m=7，令x=0，求出y，表示出C、D的坐标，进而可得CD的值.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，
∴相当于把抛物线分别向下、向左平移2个单位，
∴由“上加下减，左加右减”的原则可知，把抛物线分别向下、向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:y=3（x+2）2+1。
故答案为：B。
【分析】本题实质就是把抛物线分别向下、向左平移2个单位，根据抛物线的平移变换规律“常数项，上加下减，自变量左加右减”即可得出新抛物线的解析式。
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=x2+x+1经平移后，开口方向、开口大小都不变，
∴抛物线y=x2+x+1经平移后a=不变，
∴ 不可能得到的拋物线y=-x2+x+1 .
故答案为：D.
【分析】抛物线y=x2+x+1经平移后，开口方向、开口大小都不变，据此逐项判断即可.
11．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵当x=2时y=2-1=1，当x=4时y=4-1=3，
∴点A，B在直线y=x-1上，
∴点A或点B是抛物线的顶点，
∵ B(4，3)，C(4，-1) 的横坐标相同，
∴抛物线不会同时经过点B，C，
∴抛物线经过点A，C，
解之：，
∴二次函数解析式为，
∵平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，
∴抛物线向左，向下平移的距离相同，
∴平移后的抛物线的解析式为，
当x=0时，，
当m=1时y的最大值为.
故答案为：C
【分析】利用点A，B，C的坐标及一次函数解析式，可知点A，B在直线y=x-1上，由此可得到点A或点B是抛物线的顶点，抛物线不会同时经过点B，C，可推出抛物线经过点A，C；利用待定系数法求出二次函数解析式，利用二次函数平移的规律及已知可得到抛物线向左，向下平移的距离相同，可知平移后的抛物线的解析式为，由x=0可得到y与m的函数解析式，利用二次函数的性质，可得到平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最值.
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：二次函数经过两次平移后可得y=，
移项后可得：y=，
∵平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点
∴m-3=0，解得m=3.
故答案为：B.
【分析】二次函数的二次项系数大于0，可得函数的开口向上，当二次函数与x轴只有一个交点时，二次函数的顶点坐标的纵坐标为0，列一元一次方程，解方程即可求出m的值.
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象可以由平移得到，
∴，
∴二次函数的解析式为，
故答案为：.
【分析】先根据顶点坐标得到二次函数解析式为，再根据平移的性质可得，由此可得答案．
14．【答案】3
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：点和在二次函数的图象上，
，
，
，
二次函数图象向上平移3单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点．
故答案为：3.
【分析】利用二次函数的轴对称性解得b的值，再通过二次函数的顶点式可得二次函数图象向上平移3单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点．
15．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过C、D作x轴平行线，作A关于直线y=4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E=CD，连接BE交直线y=9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y=4于D'，如图：
作图可知：四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，
∴A'E∥CD，C'D'∥CD，且A'E=CD，C'D'=CD，
∴C'D'∥A'E且C'D'=A'E，
∴四边形A'EC'D'是平行四边形，
∴A'D'=EC'，
∵A关于直线y=4的对称点A'，
∴AD'=A'D'，
∴EC'=AD'，
∴BE=BC'+EC'=BC'+AD'，即此时BC'+AD'转化到一条直线上，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，
而AB、CD为定值，
∴此时四边形ABC′D′的周长最小，
∵A（3，0）关于直线y=4的对称点A'，
∴A'（3，8），
∵四边形A'ECD是平行四边形，C（-3，9），D（2，4），
∴E（-2，13），
设直线BE解析式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴直线BE解析式为，
令y=9得：，
解得：，
∴，
∴，
即将抛物线y=x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，
∴此时抛物线为，
故答案为：.
【分析】过C、D作x轴平行线，作A关于直线y=4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E=CD，连接BE交直线y=9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y=4于D'，四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，可得四边形A'EC'D'是平行四边形，可证BE=BC'+EC'=BC'+AD'，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，故此时四边形ABC′D′的周长最小，求出A'（3，8），E（-2，13），可得直线BE解析式为，求出点C'坐标，得出CC'的值，得出抛物线y=x2向右移四边形ABC′D′的周长最小，即可求解.
16．【答案】（1）
（2）解：设，
由题意可得，当时，，
解得，，故，
当时，，故，
∵对称轴直线与轴交于点，
∴，
，
∵，
∴当时最大，最大值为，
当时，，
∴；
（3）或或或
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，
，
解得，
∴抛物线解析式为：；
故答案为：；
（3）解：由题意可得，B点移动到了O点，即函数向左平移了6个单位，
，
当时，，
∴坐标为：，
设F点坐标为，
①当，，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据可得，
，
，
∴或；
②当， ，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据，
，
解得：，
，，
综上所述M点坐标为：或或或．
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式可得关于字母a、b的一个方程，再根据抛物线的对称轴直线公式可得一个关于字母a、b的二元一次方程，联立两方程，求解得到a、b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）设，根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点先求出B、C两点的坐标，根据点的坐标与图形性质求出点D的坐标，然后根据用m表示出面积，利用二次函数性质即可求出最大值，进而即可求出点P的坐标；
（3）根据平移性质“左移加，右移减，上移加，下移减”得到新的抛物线解析式并求出点坐标，设出坐标，根据菱形性质分①当，，时，②当， ，时，两种情况结合根据平移性质即可得到答案．
（1）解：由题意可得，
，
解得，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：设，由题意可得，
当时，，解得，，故，
当时，，故，
∵对称轴直线与轴交于点，
∴，
，
∵，
∴当时最大，最大值为，
当时，，
∴；
（3）解：由题意可得，B点移动到了O点，即函数向左平移了6个单位，
，
当时，，
∴坐标为：，
设F点坐标为，
当，，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据可得，
，
，
∴或；
②当， ，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据，
，
解得：，
，，
综上所述M点坐标为：或或或．
17．【答案】（1）1；-2；D
（2）解：∵B（2，c－1），
∴AC=2×2=4．
∵当x=0，y=c，
∴A（0，c）．
∵F1：y=ax2+c，B（2，c－1）．
∴设F2：y=a（x－2）2+c－1．
∵点A（0，c）在F2上，
∴4a+c－1=c，
∴ ．
∴BD=（4a+c）－（c－1）=2．
∴S四边形ABCD=AC·BD=4
（3）解：如图所示，
y=，
设F2的解析式y=，把（1，2）代入得到a2=3b，
B(1+a，2+b)，C(3b+1+a，2)，D(1+a，).
B点在A点的右侧时，AC=2a，BD=2b，
∴，
∴ab=，
∴a=，b=1，
∴B1(1+，1)
B在点A的左侧时，同法可得B2(1-，1)，
综上所述，B1(1+，1)，B2(1-，1)。
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：（1）①由A、C点关于对称轴对称，得对称轴x=1.
将C点坐标代入解析式，及对称轴公式，得，
，
解得，
②当x=1时，y=x2，B（1，1）；
y=x2-2x=-1，D(1，-1)，
四边形ABCD的对角线相等互相平分，且互相垂直，
四边形ABCD是正方形。
【分析】（1）①由A、C点关于对称轴对称，得对称轴x=1.将C点坐标代入抛物线y=ax2+bx，及对称轴公式，得出关于a，b的二元一次方程组，求解得出a，b的值；②把x=1分别代入y=x2与y=x2-2x得出B，D两点的坐标，根据四边形ABCD的对角线相等互相平分，且互相垂直，故四边形ABCD是正方形；
（2）根据抛物线的对称性，由A点的坐标及B点的横坐标，得出AC=2，根据抛物线与坐标轴的交点坐标特点得出A点的坐标，根据B点是F2的顶点，故设F2：y=a（x－2）2+c－1，将A点的坐标代入得出4a+c－1=c， a = ，将x=2代入F1表示出D点的坐标，进而计算出BD的长，根据对角线互相垂直的四边形的面积定义两对角线积的一半即可算出答案；
（3）首先将抛物线 y =x 2 x +配成顶点式得出其顶点坐标，根据抛物线的几何变化规律，设出其过顶抛物线F2的解析式y=，把（1，2）代入得到a2=3b，从而得出B(1+a，2+b)，C(3b+1+a，2)，D(1+a，)，B点在A点的右侧时，AC=2a，BD=2b，根据对角线互相垂直的四边形的面积定义两对角线积的一半即可算出列出方程，求解得出a，b的值，从而得出B点的坐标，B在点A的左侧时，同法可得B点的坐标，综上所述即可得出答案。
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