二次函数图象的翻折变换—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2022九上·平湖期中）与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：∵，
∴顶点坐标为，
∵关于x轴对称点的坐标为
∴对称后抛物线解析式为
故选：A．
【分析】先求出与抛物线的顶点坐标，然后根据关于x轴对称的坐标特征求出对称后抛物线的顶点坐标，由a值不变，直接写出对称后的解析式即可.
2．（2022九上·温州期中）已知抛物线：，将抛物线平移得到抛物线，若两条抛物线C和关于直线对称，则下列平移方法中，正确的是（ ）
A．将抛物线C向右平移3个单位 B．将抛物线C向右平移6个单位
C．将抛物线C向左平移3个单位 D．将抛物线C向左平移6个单位
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线C的顶点坐标为（-2，1），
设C'顶点坐标为（x0，1），
∵抛物线C和C'关于直线x=1对称，
∴点（-2，1）和点（-2，1）关于直线x=1对称，
即有：，
∴，
∴C'的解析式为，
即，
可知：由到，抛物线C需向右平移6个单位，
故答案为：B.
【分析】由于抛物线C给的是顶点式，则其顶点坐标为（-2，1），设C'顶点坐标为（x0，1），抛物线C和C'关于直线x=1对称，则这两点横坐标和的一半等于1，据此列出方程，求出x0的值，得到平移后抛物线的顶点坐标，进而得出其解析式，观察两函数解析式，根据平移规律“自变量左移加，右移减，函数值上移加，下移减”即可得出答案.
3．（2019九上·湖州月考）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+（2m-1）x+2m-4与y=x2-（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A．，n=- B．m=5，n=-6
C．m=-1，n=6 D．m=1，n=-2
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+（2m-1）x+2m-4与y=x2-（3m+n）x+n关于y轴对称，
∴
解之：
故答案为：D.
【分析】根据两二次函数的图象关于y轴对称，则a，c的值不变，b的值变为相反数，分别建立关于m，n的方程组，解方程组求出m、n的值即可。
4．（2019九上·义乌月考）在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝2x2﹣4x关于y轴作轴对称变换，再将所得的抛物线，绕它的顶点旋转180°，那么经两次变换后所得的新抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2x 2 ﹣4x B．y＝﹣2x 2 +4x
C．y＝﹣2x 2﹣4x﹣4 D．y＝﹣2x 2 +4x+4
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线y＝2x2﹣4x关于y轴作轴对称变换，
所得抛物线为y＝2（﹣x）2﹣4（﹣x）＝2x2+4x；
∵y＝2x2+4x＝2（x+1）2﹣2，
∴绕顶点旋转180°后，得：y＝﹣2（x+1）2﹣2＝﹣2x2﹣4x﹣4，
故答案为：C.
【分析】由关于y轴对称的点的坐标变化特征“横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变”可知，抛物线上所有的点横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变；绕顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只有开口方向，根据这个规律即可求解.
5．（2018九上·上虞月考）抛物线C1：y=x2+1与抛物线C2关于X轴对称，则抛物线C2的解析式为（ ）
A．y=-x2 B．y=-x2+1 C．y=x2-1 D．y=-x2-1
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解、∵抛物线C1：y=x2+1的顶点为（0，1），
且抛物线C1：y=x2+1与抛物线C2关于X轴对称，
∴抛物线C2的顶点为（0，-1），且a=-1，
∴抛物线C2的解析式为y=-x2-1.故D符合题意。
【分析】由题意可得抛物线C1：y=x2+1的顶点为（0，1），根据关于X轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数可得抛物线C2的顶点为（0，-1），且a=-1，则抛物线C2的解析式即可求解。
6．（2019九上·温州月考）将抛物线y=x2-12x+16作关于X轴对称．所得抛物线的解析式是 。
【答案】y=-x2+12x-16
【知识点】二次函数图象的几何变换；轴对称的性质
【解析】【解答】解： y=x2-12x+16 =(x-6)2-36+16
=(x-6)2-20,
顶点为(6,-20),
∴关于x轴对称的点坐标为(6,20),
∴抛物线的解析式为： y=-(x-6)2+20,
即 y=-x2+12x-16.【分析】先配方，求出原抛物线的顶点，再根据关于x轴对称的特点求出所求抛物线的顶点坐标，图象形状相同，但张口相反，于是得到所得的抛物线解析式.
7．（2023九上·路桥月考）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2＋2x－1的图象先沿x轴翻折，再向下平移3个单位，所得到的新的函数图象的解析式是 ．
【答案】y＝ x2＋2x 2（或y＝ (x 1)2 1）
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： ∵将二次函数y＝x2＋2x－1的图象先沿x轴翻折
∴函数关于x轴对称，函数的横坐标不变，纵坐标互为相反数
∴翻折后的函数为-y=x2＋2x－1，即y=-x2-2x+1；
将翻折后的图像向下平移3个单位，横坐标不变，纵坐标减去3；
∴平移后的函数为y-3=-x2-2x+1，即y=-x2-2x-2.
故答案为：y=-x2-2x-2.
【分析】根据翻折的性质，翻折后，横坐标不变，纵坐标互为相反数；
向下平移时，横坐标不变，纵坐标减去3，即可求出函数的解析式.
8．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．
（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD＝8，求m的值；
（3）已知A（2k，0），B（0，k），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时，直接写出k的取值范围．
【答案】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣1）；
（2） ∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C，将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D， CD＝8，
∴点C、D到直线y＝﹣1的距离为4，C（0， m2﹣1 ），
∴OC＝3，
∴m2﹣1＝3，
解得：m=±2，
∵m＞0，
∴m＝2；
（3）∵m＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3，
当抛物线经过点A（2k，0）时，有，
解得：，
当抛物线经过点B（0，k）时，有，
∵线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点，
∴k的取值范围为：或.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的对称变换
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）由对称性以及CD=8，可得点C、D到直线y＝﹣1的距离为4，从而求得OC＝3，进而即可得到m2 1＝3，解方程求出m的值并进行取舍即可求解；
（3）由（2）得抛物线的解析式，然后将点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，求出k的值，接下来由抛物线与线段AB有且只有一个公共点即可求出k的取值范围.
二、能力提升
9．（2024九上·拱墅期末）将抛物线位于轴左侧的部分沿轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
令y=0，则x2+x-6=0，解得x=-3，y=2，
抛物线与x轴交点为（-3，0），（2，0），
由题意可得翻折后y轴左侧的抛物线为，
当直线经过点（0，-6） 时，得t=-6，此时直线与新图象有且只有2个公共点，
然后将直线向上平移过程中直至经过（0，6）之前，始终与新图象有且只有2个公共点，
把（0，6）代入中得t=6，
∴-6≤t＜6时，直线与新图象有且只有2个公共点，
联立与，令y值相等，得=，
整理为2x2+3x+2t-12=0，
△=32+4×2（2t-12）=0，解得t=，
当t=，直线与新图象有且只有2个公共点，
∴或.
故答案为：D.
【分析】先求出翻折后的抛物线解析式，当直线在（0，6）和（0，-6）之间平移中始终与新图象有且只有2个公共点 ，其中不包含点（0，6），当直线与新图象y轴左侧部分只有一个交点时，也满足直线与新图象有且只有2个公共点，据此解答即可.
10．（2023九上·温岭期中）将抛物线y＝x2+x﹣6位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则t的取值范围是（ ）
A．﹣6C．或﹣6≤t<6 D．或﹣6≤t≤6
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：画出函数的图象如下所示：
当x=0时，y=x2+x-6=-6，
∴C（0，-6），
∴C′（0，6）.
当直线y=x+t经过点C时，有-6=×0+t，
∴t=-6.
当直线y=x+t经过点C′时，有6=×0+t，
∴t=6.
当直线y=x+t与新图象有且只有2个公共点时，也就是x+t=-(x2+x-6)有两个相等的实数根，
整理方程，可得x2+x+(t-6)=0，
△=()2-4(t-6)=0，
解得t=，
∴当直线与新图象有且只有2个公共点时，-6≤t≤6或t=.
故答案为：D.
【分析】首先画出函数的图象，令y=0，求出x的值，从而可得点C、C′的坐标，然后求出直线过点C或C′时对应的t的值，易得翻折后的图象解析式为y=-(x2+x-6)，联立直线方程结合△=0可求出t的值，据此不难得到t的范围.
11．（2022九上·瑞安期中）如图， 将抛物线沿轴翻折， 翻折前后的两条抛物线构成一个新图象．若直线与这个新图象有3个公共点， 则的值为（ ）
A．或2 B．或2 C．2或4 D．或4
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴翻折后得到的一个新抛物线解析式为，
∴翻折前后的两条抛物线与y轴的交点都为，
∵直线与这个新图象有3个公共点，
∴存在两种情况：当直线恰好经过时，当直线与抛物线恰好只有一个交点时，
当直线恰好经过时，则，
当直线与抛物线恰好只有一个交点时，
联立得，
∴，
∴，
综上所述，若直线与这个新图象有3个公共点， 则的值为或2，
故答案为：B．
【分析】首先将原抛物线的解析式配成顶点式，根据轴对称的性质得出翻折后的抛物线的解析式，两抛物线与y轴的交点都为（0，2），当直线y＝x＋m恰好经过点（0，2）与这个新图象有3个公共点，当直线y＝x＋m与新抛物线相切时，两个图象恰好有3个交点，据此即可求m的值．
12．（2019九上·宁波期中）将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（ ）
A．﹣ 或﹣12 B．﹣ 或2
C．﹣12或2 D．﹣ 或﹣12
【答案】A
【知识点】一次函数图象与几何变换；二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，
令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），
将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，
△＝49+4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣ ，
当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，
综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣ ；
故选A．
【分析】如图所示，过点B作直线y=2x+b，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y=2x+b在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．
13．（2021九上·浙江期中）将二次函数y＝﹣x2＋2x＋3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y＝x＋b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A． 或﹣2 B． 或﹣2 C． 或﹣3 D． 或﹣3
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数解析式为 ，
∴抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的顶点坐标为 ，
当y=0时， ，解得 ，
则抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与x轴的交点为 ， ，
把抛物线y＝﹣x2＋2x＋3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为 ，顶点坐标为 ，
如图，当直线 过点B时，直线 与该图象恰好有三个公共点，
∴ ，解得： ；
当直线 与抛物线 相切时，直线 与该图象恰好有三个公共点，即 有相等的实数解，整理得： ，
，解得 ，
∴b的值为-3或 .
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得顶点坐标，令y=0，求出x，得A（-1，0）、B（3，0），求出抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方时对应的函数解析式，画出对应的图象，由图象可知：当直线过点B或与抛物线相切时，两者有3个交点，据此求解.
14．（2021九上·温州月考）如图，抛物线 （a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；线段上的两点间的距离；勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 （a＞0）与x轴交于A，B，
∴
∵a＞0
解得
∴点A（-3，0），点B（1，0），
∵点B为对称中心，
∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，
∴点C（5，0），
∴抛物线 ，
∴D（－1，－4a），
点D与点D′关于点B对称，
点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，
∴D′（3，4a），
DD′= ，CD= ，
CD′= ，
∵△CDD′是直角三角形，
当∠CD′D=90°，
根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即
，
解得 ，
∵a＞0，
∴ ；
当∠DCD′=90°，
根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即
，
解得 ，
∴ ，
∴综合得a的值为或.
故答案为：A.
【分析】令y=0，求出x，可得点A、B的坐标，根据点B为对称中心可得点C的坐标，进而得到点D、D′的坐标，由两点间距离公式表示出DD′、CD、CD′，然后分∠CD′D=90°，∠DCD′=90°，结合勾股定理求出a的值即可.
15．（2019九上·长兴月考）如图，已知函数y=x2-2x-1(0≤x≤4)的图象，过点(0，m)且与x轴平行的直线l与该函数有交点，将该函数在直线l下方的图象沿直线l向上翻折，在直线l上方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是 。
【答案】2≤m≤3
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x-1=（x-1）2-2
∴抛物线的顶点坐标为（1，-2）
过点(0，m)且与x轴平行的直线l与该函数有交点，将该函数在直线l下方的图象沿直线l向上翻折，在直线l上方的图象保持不变，得到一个新图象
当m=2时，
∴新的抛物线的顶点坐标B（1，6）
此时函数的最大值为6，最小值为2；
新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5；
当m=3时，
新的抛物线的顶点坐标（1，7）
最大值为7，最小值为3
新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5；
∴m的取值范围是2≤m≤3
【分析】先将函数解析式转化为顶点式，根据已知条件，可知当m=2和m=3时，新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，即可得到m的取值范围。
16．（2020·陕西模拟）已知抛物线L：y= x2+ x+c经过点M(2，0)，现将抛物线L沿x轴翻折，并向左平移1个单位长度后得到抛物线L1。
（1）求抛物线L1的解析式.
（2）若抛物线L与x轴交于A，B两点(点B在点A右侧)，点E在抛物线L1对称轴上一点，O为坐标原点，则抛物线L上是否存在点P，使以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：∵抛物线L：y= x2+ x+c经过点M(2，0)，
∴0=1+3+c，
∴c=-4，
∴抛物线L的解析式为：y= x2+ x-4= (x+3)2- ，
抛物线L沿x轴翻折，并向左平移1个单位长度后得到抛物线L1.
∴抛物线L1的解析式为：y= (x+4)2+
（2）解：∵抛物线L与x轴交于A，B两点(点B在点A右侧)，
∴0= x2+ x-4，
∴x=-8，x=2，
∴点B(-8，0)，点A(2，0)，
∵点E在抛物线L1对称轴上一点，
∴点E的横坐标为-4，
若AO为边，则AO=EP=2，AO∥EP，
∴点P的横坐标为：-2或-6，
当x=-2时，y=1-3-4=-6，
∴点P(-2，-6)，
当x=-6时，y=9-9-4=-4，
∴点P(-6，-4)；
若AO为对角线，
∴AO的中点坐标为(1，0)
∴点P的横坐标为6，
∴y=9+9-4=14，
∴点P(6，14)，
综上所述：当点P坐标为(-2，-6)或(-6，-4)或(6，14)时，以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形。
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点M坐标代入解析式可求抛物线L的解析式，由轴对称和平移的性质可求解；(2)分别以AO为边或AO为对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解。
17．（2019·凤翔模拟）如图，已知抛物线C1：y＝﹣x2+4，将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2
（1）求出抛物线C2的函数表达式；
（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线C1的顶点为（0，4），
∴沿x轴翻折后顶点的坐标为（0，﹣4），
∴抛物线C2的函数表达式为y＝x2﹣4
（2）解：存在
连接AN，NE，EM，MA，
依题意可得：M（﹣m，4），N（m，﹣4），
∴M，N关于原点O对称OM＝ON，
原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别（﹣2，0），（2，0），
∴A（﹣2﹣m，0），E（2+m，0），
∴A，E关于原点O对称，
∴OA＝OE
∴四边形ANEM为平行四边形，
∴AM2＝22+42＝20，
ME2＝（2+m+m）2+42＝4m2+8m+20，
AE2＝（2+m+2+m）2＝4m2+16m+16，
若AM2+ME2＝AE2，
∴20+4m2+8m+20＝4m2+16m+16，
解得m＝3，
此时△AME是直角三角形，且∠AME＝90，
∴当m＝3时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.
【知识点】二次函数图象的几何变换；矩形的判定；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）抛物线翻折前后顶点关于x轴对称，a互为相反数；（2）连接AN，NE，EM，MA，M，N关于原点O对称OM＝ON，A，E关于原点O对称OA＝OE，可得四边形ANEM为平行四边形；若AM2+ME2＝AE2，解得m＝3，即可求解；
18．（2020·河南模拟）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象.函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A.函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点C，两函数图象分别交于B、D两点.
（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）如图2，连接AD、CD、BC、AB，判断四边形ABCD的形状，并说明理由.
（3）如图3，连接BD，点M是y轴上的动点，在平面内是否存在一点N，使以B、D、M、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵y=x2+2x+1=(x+1)2，且将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，
∴y=﹣(x+1﹣1)2+5=﹣x2+5；
（2）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∵y=﹣x2+5的顶点为点C，
∴点C的坐标为(0，5).
∵函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A，
∴点A(﹣1，0)，
联立方程组可得： ，
∴ 或 ，
∴点D的坐标为(﹣2，1)，点B的坐标为(1，4).
∵点D(﹣2，1)，点B(1，4)，点A(﹣1，0)，点C(0，5)，
∴ ，
同理可求得：CD= ，AD= ，BC= ，AC= ，BD=3 ，
∴AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）解：存在，
设点N(x，y)
若BD为矩形的边，四边形BDMN是矩形时.
∵点D的坐标为(﹣2，1)，点B的坐标为(1，4)，
设直线BD解析式为： ，
∴ ，
解得： ，
∴直线BD解析式为：y=x+3，
∵DM⊥BD，
∴设直线DM的解析式为 ，
将点D的坐标为(﹣2，1)代入得： ，
解得： ，
∴直线DM的解析式为y=﹣x﹣1，
∴点M的坐标为(0，﹣1).
∵BM与DN互相平分，
∴ ， ，
∴x=3，y=2，
∴点N的坐标为(3，2)；
若BD为矩形的边，四边形BDNM是矩形时.
∵点D的坐标为(﹣2，1)，点B的坐标为(1，4)，直线BD解析式为：y=x+3，
∵BM⊥BD，
∴设直线BM的解析式为 ，
将点B的坐标为(1，4)代入得： ，
解得： ，
∴直线BM的解析式为y=﹣x+5，
∴点M的坐标为(0，5).
∵BN与DM互相平分，
∴ ， ，
∴x=﹣3，y=2，
∴点N的坐标为(﹣3，2)；
若BD为对角线.
∵点D、B、N的坐标分别为(﹣2，1)， (1，4)， (x，y)，
点M的横坐标为0，设点M的纵坐标为 ，
∵BD与MN互相平分，
∴ ， ，
∴ ， ，
点N的坐标为( ， )，点M的坐标为(0，5﹣y)，
∵BD=MN，
∴
整理得：
解得： ，
∴点N的坐标为( ， )或( ， )，
综上所述：点N坐标为( ， )或( ， )或(3，2)或(﹣3，2).
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)由轴对称和平移的性质可求解；(2)分别求出点A，点B，点C，点D坐标，由两点距离公式可求AB，CD，AD，BC，AC，BD的长，由两组对边相等的四边形是平行四边形可证四边形ABCD是平行四边形；(3)分两种情况讨论，利用矩形的性质，可求解.
三、拓展创新
19．（2022九上·宁波期中）如图，“心”形是由抛物线 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，直线AB为“心”形对称轴，点E，F，G 是抛物线与坐标轴的交点，则AB=（ ）
A． B．8 C．10 D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥y轴于点H，连接OD，
∴∠BHO=90°，
∵“心”形是由抛物线 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的， ，
∴∠COD=60°，点C，D关于OB对称，
∴∠BOH=∠BOD=30°，
∴OB=2BH，
设BH=a，则OB=2a，
∴，
∴点B，
∵点B在抛物线y=-x2+6上，
∴
解之：（舍去），
∴点B
∴设OB的解析式为y=kx（k≠0）
∴，
解之：，
∴OB的函数解析式为
∴
解之：（舍去），
当x=时y=-6，
∴点A（，-6）
∴.
故答案为：A
【分析】过点B作BH⊥y轴于点H，连接OD，可得到∠BHO=90°，利用旋转的性质可知∠COD=60°，点C，D关于OB对称，可求出∠BOH的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得到OB=2BH，设BH=a，则OB=2a，利用勾股定理表示出OH的长，可得到点B的坐标，将点B的坐标代入二次函数解析式，可求出a的值，可得到点B的坐标；设OB的解析式为y=kx（k≠0），将点B的坐标代入求出k的值，可得到OB的函数解析式，再将直线OB和二次函数解析式，联立方程组，解方程组求出点A的坐标；然后利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出AB的长.
20．（2024·长沙会考）定义：经过函数图象上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿平行线向下翻折形成新的函数图象，我们把满足这种情况的函数图象称为经过这一点的“折叠函数”．
（1）【基本应用】
(ⅰ)如图，点、、均在直线l上．
①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）；
②求出经过点A、C、D的二次函数表达式；
(ⅱ)在（ⅰ）的条件下，点为二次函数图象上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围．
（2）【创新应用】如果反比例函数的图像上有一点，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为 ．
【答案】（1）(ⅰ)解：①设直线的解析式为，则
，解得：，
∴直线解析式为，
将代入得，，解得：，
∴
以点C为顶点，作，作，交x轴于点D，则点D即为所求；
②由图知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设经过，，三点的抛物线为，则：
，
解得：，
∴解析式．
(ⅱ)解：原抛物线，
点，所以新抛物线的解析式顶点纵坐标为：
，
故翻折后的抛物线解析式为：，
如图，点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，满足题意，则，解得（P在对称轴左侧）， （P在对称轴右侧），
如图，当点P落在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点，
点P落在x轴上时，（ P在对称轴左侧），（P在对称轴右侧）；
当点P落在x轴在下方时，折叠函数与x轴无交点．
∴当折叠函数与x轴至少有三个交点时，或．
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征；尺规作图-作一个角等于已知角；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）解：反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
如图，设点在翻折后的图象上，则其关于直线的对称点在上，对称点坐标为，代入得，，即折后的图象解析式为，
时，，解得，
∴交点坐标为．
故答案为：
【分析】（1）(ⅰ)①根据待定系数法求出直线AB的函数解析式，进而将点C代入即可求出m，以点C为顶点，作，作，交x轴于点D，则点D即为所求；
②先根据画图得到，，进而根据等腰直角三角形得到AD，根据坐标系中两点间的距离公式求出AC即可得到AD，从而即可得到点D的坐标，运用待定系数法设经过，，三点的抛物线为，从而代入点即可求出二次函数的解析式；
(ⅱ)先求出原抛物线的顶点式， 点设， 可得折叠后新抛物线的解析式顶点纵坐标为：，故翻折后的抛物线解析式为：，进而分类讨论：点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，满足题意；当点P落在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点，从而结合题意即可求解；
（2）先运用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而设点在翻折后的图象上，则其关于直线的对称点在上，对称点坐标为，代入即可求出折后的图象解析式为，令y=0即可求出其交点坐标。
21．（2022·藁城模拟）如图，函数的图象过原点，将其沿y轴翻折，得到函数的图象，把函数与的图象合并后称为函数L的图象．
（1）a的值为 ；函数的解析式为 （注明x的取值范围）；对于函数L，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ；
（2）当直线与函数L的图象有4个交点时，求b的取值范围．
（3）坐标系中有一个正方形，其中，将函数L的图象沿y轴的正方向平移m个单位，直接写出当其与正方形的边有公共点时m的最大值与最小值的差．
【答案】（1）-2；；x＜-1或0＜x＜1
（2）解：当时，直线与函数L的图象有3个交点；
当且直线与函数的图象有一个交点时，直线与函数L的图象有3个交点，此时方程即有两个相等的实数根，
∴，
解得，
当直线与函数L的图象有4个交点时，b的取值范围是．
（3）解：最大值与最小值的差为10．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数-动态几何问题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】(1)∵函数的图象过原点，
∴，
解得a= -2，
故答案为：-2；
∵函数的图象过原点，将其沿y轴翻折，得到函数的图象，
∴，顶点为(1，2)，
∴，
故答案为：；
由抛物线开口向下，根据在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴的范围是，的取值范围是，
故答案为：或．
(3)设平移后，对应部分的解析式为，当抛物线经过点D(3，2)时，m有最小值，
∴，
∴，
当抛物线经过点C(4，2)时，m有最大值，
∴，
∴．
∴其最大值与最小值的差为10．
【分析】（1）利用二次函数的图象与性质计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图象求解即可；
（3）分类讨论，列方程求出m的值即可。
22．（2022·衡阳）如图，已知抛物线 交 轴于 、 两点，将该抛物线位于 轴下方的部分沿 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象 ”，图象 交 轴于点 .
（1）写出图象 位于线段 上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线 与图象 有三个交点，请结合图象，直接写出 的值；
（3） 为 轴正半轴上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ，交图象 于点 ，是否存在这样的点 ，使 与 相似？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由翻折可知： .
令 ，解得： ， ，
所以， ， ，
设图象 的解析式为 ，代入 ，解得 ，
所以解析式为
（2）解：如图
当直线y=-x+b过点C时，b=2；
当直线y=-x+b在x轴上方与抛物线W相切时
∴-x+b=-x2+x+2
整理得x2-2x-2+b=0
b2-4ac=0即4-4（-2+b）=0
解之：b=3.
∴ 或
（3）解：如图1，当 时， ，此时， ；
如图2，当 时， ，
此时， 点纵坐标为2， ，解得 ， （舍）；
所以 ；
如图3，当 时， ，此时，直线 的解析式：
；联立方程组： ，解得 ， （舍），所以 .
因此，综上所述： 点坐标为 或 或 .
【知识点】二次函数图象的几何变换；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用函数解析式可求出点C的坐标，由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标；利用二次函数的交点式设W的函数解析式为y=a（x+1）（x-2），将点C的坐标代入，可求出a的值，即可得到函数解析式.
（2）分情况讨论：当直线y=-x+b经过点C时，此直线与图象W有三个交点，将点C的坐标代入可求出b的值；当直线y=-x+b位于x轴上方与抛物线W相切时，将两函数联立方程组，可得到关于x的一元二次方程，根据b2-4ac=0，可得到关于b的方程，解方程求出b的值.
（3）分情况讨论：当CN∥OB时可证得△OBC∽△NMC，利用PN∥y轴，可得到点P的坐标；当CN∥OB时，易证△CMN∽△BOC，由y=2，可求出x的值，可得到点P的坐标；当∠NCM=90°时，△OBC∽△CMN，可求出直线CN的函数解析式，将其函数解析式与抛物线联立方程组，解方程组求出x的值，可得到点P的坐标；综上所述，可得到符合题意的点P的坐标.
1 / 1二次函数图象的翻折变换—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2022九上·平湖期中）与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022九上·温州期中）已知抛物线：，将抛物线平移得到抛物线，若两条抛物线C和关于直线对称，则下列平移方法中，正确的是（ ）
A．将抛物线C向右平移3个单位 B．将抛物线C向右平移6个单位
C．将抛物线C向左平移3个单位 D．将抛物线C向左平移6个单位
3．（2019九上·湖州月考）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+（2m-1）x+2m-4与y=x2-（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A．，n=- B．m=5，n=-6
C．m=-1，n=6 D．m=1，n=-2
4．（2019九上·义乌月考）在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝2x2﹣4x关于y轴作轴对称变换，再将所得的抛物线，绕它的顶点旋转180°，那么经两次变换后所得的新抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2x 2 ﹣4x B．y＝﹣2x 2 +4x
C．y＝﹣2x 2﹣4x﹣4 D．y＝﹣2x 2 +4x+4
5．（2018九上·上虞月考）抛物线C1：y=x2+1与抛物线C2关于X轴对称，则抛物线C2的解析式为（ ）
A．y=-x2 B．y=-x2+1 C．y=x2-1 D．y=-x2-1
6．（2019九上·温州月考）将抛物线y=x2-12x+16作关于X轴对称．所得抛物线的解析式是 。
7．（2023九上·路桥月考）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2＋2x－1的图象先沿x轴翻折，再向下平移3个单位，所得到的新的函数图象的解析式是 ．
8．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．
（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD＝8，求m的值；
（3）已知A（2k，0），B（0，k），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时，直接写出k的取值范围．
二、能力提升
9．（2024九上·拱墅期末）将抛物线位于轴左侧的部分沿轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．（2023九上·温岭期中）将抛物线y＝x2+x﹣6位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则t的取值范围是（ ）
A．﹣6C．或﹣6≤t<6 D．或﹣6≤t≤6
11．（2022九上·瑞安期中）如图， 将抛物线沿轴翻折， 翻折前后的两条抛物线构成一个新图象．若直线与这个新图象有3个公共点， 则的值为（ ）
A．或2 B．或2 C．2或4 D．或4
12．（2019九上·宁波期中）将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（ ）
A．﹣ 或﹣12 B．﹣ 或2
C．﹣12或2 D．﹣ 或﹣12
13．（2021九上·浙江期中）将二次函数y＝﹣x2＋2x＋3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y＝x＋b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A． 或﹣2 B． 或﹣2 C． 或﹣3 D． 或﹣3
14．（2021九上·温州月考）如图，抛物线 （a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
15．（2019九上·长兴月考）如图，已知函数y=x2-2x-1(0≤x≤4)的图象，过点(0，m)且与x轴平行的直线l与该函数有交点，将该函数在直线l下方的图象沿直线l向上翻折，在直线l上方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是 。
16．（2020·陕西模拟）已知抛物线L：y= x2+ x+c经过点M(2，0)，现将抛物线L沿x轴翻折，并向左平移1个单位长度后得到抛物线L1。
（1）求抛物线L1的解析式.
（2）若抛物线L与x轴交于A，B两点(点B在点A右侧)，点E在抛物线L1对称轴上一点，O为坐标原点，则抛物线L上是否存在点P，使以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
17．（2019·凤翔模拟）如图，已知抛物线C1：y＝﹣x2+4，将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2
（1）求出抛物线C2的函数表达式；
（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.
18．（2020·河南模拟）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象.函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A.函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点C，两函数图象分别交于B、D两点.
（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）如图2，连接AD、CD、BC、AB，判断四边形ABCD的形状，并说明理由.
（3）如图3，连接BD，点M是y轴上的动点，在平面内是否存在一点N，使以B、D、M、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.
三、拓展创新
19．（2022九上·宁波期中）如图，“心”形是由抛物线 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，直线AB为“心”形对称轴，点E，F，G 是抛物线与坐标轴的交点，则AB=（ ）
A． B．8 C．10 D．
20．（2024·长沙会考）定义：经过函数图象上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿平行线向下翻折形成新的函数图象，我们把满足这种情况的函数图象称为经过这一点的“折叠函数”．
（1）【基本应用】
(ⅰ)如图，点、、均在直线l上．
①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）；
②求出经过点A、C、D的二次函数表达式；
(ⅱ)在（ⅰ）的条件下，点为二次函数图象上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围．
（2）【创新应用】如果反比例函数的图像上有一点，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为 ．
21．（2022·藁城模拟）如图，函数的图象过原点，将其沿y轴翻折，得到函数的图象，把函数与的图象合并后称为函数L的图象．
（1）a的值为 ；函数的解析式为 （注明x的取值范围）；对于函数L，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ；
（2）当直线与函数L的图象有4个交点时，求b的取值范围．
（3）坐标系中有一个正方形，其中，将函数L的图象沿y轴的正方向平移m个单位，直接写出当其与正方形的边有公共点时m的最大值与最小值的差．
22．（2022·衡阳）如图，已知抛物线 交 轴于 、 两点，将该抛物线位于 轴下方的部分沿 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象 ”，图象 交 轴于点 .
（1）写出图象 位于线段 上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线 与图象 有三个交点，请结合图象，直接写出 的值；
（3） 为 轴正半轴上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ，交图象 于点 ，是否存在这样的点 ，使 与 相似？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：∵，
∴顶点坐标为，
∵关于x轴对称点的坐标为
∴对称后抛物线解析式为
故选：A．
【分析】先求出与抛物线的顶点坐标，然后根据关于x轴对称的坐标特征求出对称后抛物线的顶点坐标，由a值不变，直接写出对称后的解析式即可.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线C的顶点坐标为（-2，1），
设C'顶点坐标为（x0，1），
∵抛物线C和C'关于直线x=1对称，
∴点（-2，1）和点（-2，1）关于直线x=1对称，
即有：，
∴，
∴C'的解析式为，
即，
可知：由到，抛物线C需向右平移6个单位，
故答案为：B.
【分析】由于抛物线C给的是顶点式，则其顶点坐标为（-2，1），设C'顶点坐标为（x0，1），抛物线C和C'关于直线x=1对称，则这两点横坐标和的一半等于1，据此列出方程，求出x0的值，得到平移后抛物线的顶点坐标，进而得出其解析式，观察两函数解析式，根据平移规律“自变量左移加，右移减，函数值上移加，下移减”即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+（2m-1）x+2m-4与y=x2-（3m+n）x+n关于y轴对称，
∴
解之：
故答案为：D.
【分析】根据两二次函数的图象关于y轴对称，则a，c的值不变，b的值变为相反数，分别建立关于m，n的方程组，解方程组求出m、n的值即可。
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线y＝2x2﹣4x关于y轴作轴对称变换，
所得抛物线为y＝2（﹣x）2﹣4（﹣x）＝2x2+4x；
∵y＝2x2+4x＝2（x+1）2﹣2，
∴绕顶点旋转180°后，得：y＝﹣2（x+1）2﹣2＝﹣2x2﹣4x﹣4，
故答案为：C.
【分析】由关于y轴对称的点的坐标变化特征“横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变”可知，抛物线上所有的点横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变；绕顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只有开口方向，根据这个规律即可求解.
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解、∵抛物线C1：y=x2+1的顶点为（0，1），
且抛物线C1：y=x2+1与抛物线C2关于X轴对称，
∴抛物线C2的顶点为（0，-1），且a=-1，
∴抛物线C2的解析式为y=-x2-1.故D符合题意。
【分析】由题意可得抛物线C1：y=x2+1的顶点为（0，1），根据关于X轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数可得抛物线C2的顶点为（0，-1），且a=-1，则抛物线C2的解析式即可求解。
6．【答案】y=-x2+12x-16
【知识点】二次函数图象的几何变换；轴对称的性质
【解析】【解答】解： y=x2-12x+16 =(x-6)2-36+16
=(x-6)2-20,
顶点为(6,-20),
∴关于x轴对称的点坐标为(6,20),
∴抛物线的解析式为： y=-(x-6)2+20,
即 y=-x2+12x-16.【分析】先配方，求出原抛物线的顶点，再根据关于x轴对称的特点求出所求抛物线的顶点坐标，图象形状相同，但张口相反，于是得到所得的抛物线解析式.
7．【答案】y＝ x2＋2x 2（或y＝ (x 1)2 1）
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： ∵将二次函数y＝x2＋2x－1的图象先沿x轴翻折
∴函数关于x轴对称，函数的横坐标不变，纵坐标互为相反数
∴翻折后的函数为-y=x2＋2x－1，即y=-x2-2x+1；
将翻折后的图像向下平移3个单位，横坐标不变，纵坐标减去3；
∴平移后的函数为y-3=-x2-2x+1，即y=-x2-2x-2.
故答案为：y=-x2-2x-2.
【分析】根据翻折的性质，翻折后，横坐标不变，纵坐标互为相反数；
向下平移时，横坐标不变，纵坐标减去3，即可求出函数的解析式.
8．【答案】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣1）；
（2） ∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C，将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D， CD＝8，
∴点C、D到直线y＝﹣1的距离为4，C（0， m2﹣1 ），
∴OC＝3，
∴m2﹣1＝3，
解得：m=±2，
∵m＞0，
∴m＝2；
（3）∵m＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3，
当抛物线经过点A（2k，0）时，有，
解得：，
当抛物线经过点B（0，k）时，有，
∵线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点，
∴k的取值范围为：或.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的对称变换
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）由对称性以及CD=8，可得点C、D到直线y＝﹣1的距离为4，从而求得OC＝3，进而即可得到m2 1＝3，解方程求出m的值并进行取舍即可求解；
（3）由（2）得抛物线的解析式，然后将点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，求出k的值，接下来由抛物线与线段AB有且只有一个公共点即可求出k的取值范围.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
令y=0，则x2+x-6=0，解得x=-3，y=2，
抛物线与x轴交点为（-3，0），（2，0），
由题意可得翻折后y轴左侧的抛物线为，
当直线经过点（0，-6） 时，得t=-6，此时直线与新图象有且只有2个公共点，
然后将直线向上平移过程中直至经过（0，6）之前，始终与新图象有且只有2个公共点，
把（0，6）代入中得t=6，
∴-6≤t＜6时，直线与新图象有且只有2个公共点，
联立与，令y值相等，得=，
整理为2x2+3x+2t-12=0，
△=32+4×2（2t-12）=0，解得t=，
当t=，直线与新图象有且只有2个公共点，
∴或.
故答案为：D.
【分析】先求出翻折后的抛物线解析式，当直线在（0，6）和（0，-6）之间平移中始终与新图象有且只有2个公共点 ，其中不包含点（0，6），当直线与新图象y轴左侧部分只有一个交点时，也满足直线与新图象有且只有2个公共点，据此解答即可.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：画出函数的图象如下所示：
当x=0时，y=x2+x-6=-6，
∴C（0，-6），
∴C′（0，6）.
当直线y=x+t经过点C时，有-6=×0+t，
∴t=-6.
当直线y=x+t经过点C′时，有6=×0+t，
∴t=6.
当直线y=x+t与新图象有且只有2个公共点时，也就是x+t=-(x2+x-6)有两个相等的实数根，
整理方程，可得x2+x+(t-6)=0，
△=()2-4(t-6)=0，
解得t=，
∴当直线与新图象有且只有2个公共点时，-6≤t≤6或t=.
故答案为：D.
【分析】首先画出函数的图象，令y=0，求出x的值，从而可得点C、C′的坐标，然后求出直线过点C或C′时对应的t的值，易得翻折后的图象解析式为y=-(x2+x-6)，联立直线方程结合△=0可求出t的值，据此不难得到t的范围.
11．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴翻折后得到的一个新抛物线解析式为，
∴翻折前后的两条抛物线与y轴的交点都为，
∵直线与这个新图象有3个公共点，
∴存在两种情况：当直线恰好经过时，当直线与抛物线恰好只有一个交点时，
当直线恰好经过时，则，
当直线与抛物线恰好只有一个交点时，
联立得，
∴，
∴，
综上所述，若直线与这个新图象有3个公共点， 则的值为或2，
故答案为：B．
【分析】首先将原抛物线的解析式配成顶点式，根据轴对称的性质得出翻折后的抛物线的解析式，两抛物线与y轴的交点都为（0，2），当直线y＝x＋m恰好经过点（0，2）与这个新图象有3个公共点，当直线y＝x＋m与新抛物线相切时，两个图象恰好有3个交点，据此即可求m的值．
12．【答案】A
【知识点】一次函数图象与几何变换；二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，
令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），
将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，
△＝49+4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣ ，
当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，
综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣ ；
故选A．
【分析】如图所示，过点B作直线y=2x+b，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y=2x+b在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．
13．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数解析式为 ，
∴抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的顶点坐标为 ，
当y=0时， ，解得 ，
则抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与x轴的交点为 ， ，
把抛物线y＝﹣x2＋2x＋3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为 ，顶点坐标为 ，
如图，当直线 过点B时，直线 与该图象恰好有三个公共点，
∴ ，解得： ；
当直线 与抛物线 相切时，直线 与该图象恰好有三个公共点，即 有相等的实数解，整理得： ，
，解得 ，
∴b的值为-3或 .
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得顶点坐标，令y=0，求出x，得A（-1，0）、B（3，0），求出抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方时对应的函数解析式，画出对应的图象，由图象可知：当直线过点B或与抛物线相切时，两者有3个交点，据此求解.
14．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；线段上的两点间的距离；勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 （a＞0）与x轴交于A，B，
∴
∵a＞0
解得
∴点A（-3，0），点B（1，0），
∵点B为对称中心，
∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，
∴点C（5，0），
∴抛物线 ，
∴D（－1，－4a），
点D与点D′关于点B对称，
点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，
∴D′（3，4a），
DD′= ，CD= ，
CD′= ，
∵△CDD′是直角三角形，
当∠CD′D=90°，
根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即
，
解得 ，
∵a＞0，
∴ ；
当∠DCD′=90°，
根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即
，
解得 ，
∴ ，
∴综合得a的值为或.
故答案为：A.
【分析】令y=0，求出x，可得点A、B的坐标，根据点B为对称中心可得点C的坐标，进而得到点D、D′的坐标，由两点间距离公式表示出DD′、CD、CD′，然后分∠CD′D=90°，∠DCD′=90°，结合勾股定理求出a的值即可.
15．【答案】2≤m≤3
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x-1=（x-1）2-2
∴抛物线的顶点坐标为（1，-2）
过点(0，m)且与x轴平行的直线l与该函数有交点，将该函数在直线l下方的图象沿直线l向上翻折，在直线l上方的图象保持不变，得到一个新图象
当m=2时，
∴新的抛物线的顶点坐标B（1，6）
此时函数的最大值为6，最小值为2；
新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5；
当m=3时，
新的抛物线的顶点坐标（1，7）
最大值为7，最小值为3
新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5；
∴m的取值范围是2≤m≤3
【分析】先将函数解析式转化为顶点式，根据已知条件，可知当m=2和m=3时，新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，即可得到m的取值范围。
16．【答案】（1）解：∵抛物线L：y= x2+ x+c经过点M(2，0)，
∴0=1+3+c，
∴c=-4，
∴抛物线L的解析式为：y= x2+ x-4= (x+3)2- ，
抛物线L沿x轴翻折，并向左平移1个单位长度后得到抛物线L1.
∴抛物线L1的解析式为：y= (x+4)2+
（2）解：∵抛物线L与x轴交于A，B两点(点B在点A右侧)，
∴0= x2+ x-4，
∴x=-8，x=2，
∴点B(-8，0)，点A(2，0)，
∵点E在抛物线L1对称轴上一点，
∴点E的横坐标为-4，
若AO为边，则AO=EP=2，AO∥EP，
∴点P的横坐标为：-2或-6，
当x=-2时，y=1-3-4=-6，
∴点P(-2，-6)，
当x=-6时，y=9-9-4=-4，
∴点P(-6，-4)；
若AO为对角线，
∴AO的中点坐标为(1，0)
∴点P的横坐标为6，
∴y=9+9-4=14，
∴点P(6，14)，
综上所述：当点P坐标为(-2，-6)或(-6，-4)或(6，14)时，以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形。
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点M坐标代入解析式可求抛物线L的解析式，由轴对称和平移的性质可求解；(2)分别以AO为边或AO为对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解。
17．【答案】（1）解：∵抛物线C1的顶点为（0，4），
∴沿x轴翻折后顶点的坐标为（0，﹣4），
∴抛物线C2的函数表达式为y＝x2﹣4
（2）解：存在
连接AN，NE，EM，MA，
依题意可得：M（﹣m，4），N（m，﹣4），
∴M，N关于原点O对称OM＝ON，
原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别（﹣2，0），（2，0），
∴A（﹣2﹣m，0），E（2+m，0），
∴A，E关于原点O对称，
∴OA＝OE
∴四边形ANEM为平行四边形，
∴AM2＝22+42＝20，
ME2＝（2+m+m）2+42＝4m2+8m+20，
AE2＝（2+m+2+m）2＝4m2+16m+16，
若AM2+ME2＝AE2，
∴20+4m2+8m+20＝4m2+16m+16，
解得m＝3，
此时△AME是直角三角形，且∠AME＝90，
∴当m＝3时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.
【知识点】二次函数图象的几何变换；矩形的判定；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）抛物线翻折前后顶点关于x轴对称，a互为相反数；（2）连接AN，NE，EM，MA，M，N关于原点O对称OM＝ON，A，E关于原点O对称OA＝OE，可得四边形ANEM为平行四边形；若AM2+ME2＝AE2，解得m＝3，即可求解；
18．【答案】（1）解：∵y=x2+2x+1=(x+1)2，且将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，
∴y=﹣(x+1﹣1)2+5=﹣x2+5；
（2）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∵y=﹣x2+5的顶点为点C，
∴点C的坐标为(0，5).
∵函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A，
∴点A(﹣1，0)，
联立方程组可得： ，
∴ 或 ，
∴点D的坐标为(﹣2，1)，点B的坐标为(1，4).
∵点D(﹣2，1)，点B(1，4)，点A(﹣1，0)，点C(0，5)，
∴ ，
同理可求得：CD= ，AD= ，BC= ，AC= ，BD=3 ，
∴AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）解：存在，
设点N(x，y)
若BD为矩形的边，四边形BDMN是矩形时.
∵点D的坐标为(﹣2，1)，点B的坐标为(1，4)，
设直线BD解析式为： ，
∴ ，
解得： ，
∴直线BD解析式为：y=x+3，
∵DM⊥BD，
∴设直线DM的解析式为 ，
将点D的坐标为(﹣2，1)代入得： ，
解得： ，
∴直线DM的解析式为y=﹣x﹣1，
∴点M的坐标为(0，﹣1).
∵BM与DN互相平分，
∴ ， ，
∴x=3，y=2，
∴点N的坐标为(3，2)；
若BD为矩形的边，四边形BDNM是矩形时.
∵点D的坐标为(﹣2，1)，点B的坐标为(1，4)，直线BD解析式为：y=x+3，
∵BM⊥BD，
∴设直线BM的解析式为 ，
将点B的坐标为(1，4)代入得： ，
解得： ，
∴直线BM的解析式为y=﹣x+5，
∴点M的坐标为(0，5).
∵BN与DM互相平分，
∴ ， ，
∴x=﹣3，y=2，
∴点N的坐标为(﹣3，2)；
若BD为对角线.
∵点D、B、N的坐标分别为(﹣2，1)， (1，4)， (x，y)，
点M的横坐标为0，设点M的纵坐标为 ，
∵BD与MN互相平分，
∴ ， ，
∴ ， ，
点N的坐标为( ， )，点M的坐标为(0，5﹣y)，
∵BD=MN，
∴
整理得：
解得： ，
∴点N的坐标为( ， )或( ， )，
综上所述：点N坐标为( ， )或( ， )或(3，2)或(﹣3，2).
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)由轴对称和平移的性质可求解；(2)分别求出点A，点B，点C，点D坐标，由两点距离公式可求AB，CD，AD，BC，AC，BD的长，由两组对边相等的四边形是平行四边形可证四边形ABCD是平行四边形；(3)分两种情况讨论，利用矩形的性质，可求解.
19．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥y轴于点H，连接OD，
∴∠BHO=90°，
∵“心”形是由抛物线 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的， ，
∴∠COD=60°，点C，D关于OB对称，
∴∠BOH=∠BOD=30°，
∴OB=2BH，
设BH=a，则OB=2a，
∴，
∴点B，
∵点B在抛物线y=-x2+6上，
∴
解之：（舍去），
∴点B
∴设OB的解析式为y=kx（k≠0）
∴，
解之：，
∴OB的函数解析式为
∴
解之：（舍去），
当x=时y=-6，
∴点A（，-6）
∴.
故答案为：A
【分析】过点B作BH⊥y轴于点H，连接OD，可得到∠BHO=90°，利用旋转的性质可知∠COD=60°，点C，D关于OB对称，可求出∠BOH的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得到OB=2BH，设BH=a，则OB=2a，利用勾股定理表示出OH的长，可得到点B的坐标，将点B的坐标代入二次函数解析式，可求出a的值，可得到点B的坐标；设OB的解析式为y=kx（k≠0），将点B的坐标代入求出k的值，可得到OB的函数解析式，再将直线OB和二次函数解析式，联立方程组，解方程组求出点A的坐标；然后利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出AB的长.
20．【答案】（1）(ⅰ)解：①设直线的解析式为，则
，解得：，
∴直线解析式为，
将代入得，，解得：，
∴
以点C为顶点，作，作，交x轴于点D，则点D即为所求；
②由图知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设经过，，三点的抛物线为，则：
，
解得：，
∴解析式．
(ⅱ)解：原抛物线，
点，所以新抛物线的解析式顶点纵坐标为：
，
故翻折后的抛物线解析式为：，
如图，点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，满足题意，则，解得（P在对称轴左侧）， （P在对称轴右侧），
如图，当点P落在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点，
点P落在x轴上时，（ P在对称轴左侧），（P在对称轴右侧）；
当点P落在x轴在下方时，折叠函数与x轴无交点．
∴当折叠函数与x轴至少有三个交点时，或．
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征；尺规作图-作一个角等于已知角；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）解：反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
如图，设点在翻折后的图象上，则其关于直线的对称点在上，对称点坐标为，代入得，，即折后的图象解析式为，
时，，解得，
∴交点坐标为．
故答案为：
【分析】（1）(ⅰ)①根据待定系数法求出直线AB的函数解析式，进而将点C代入即可求出m，以点C为顶点，作，作，交x轴于点D，则点D即为所求；
②先根据画图得到，，进而根据等腰直角三角形得到AD，根据坐标系中两点间的距离公式求出AC即可得到AD，从而即可得到点D的坐标，运用待定系数法设经过，，三点的抛物线为，从而代入点即可求出二次函数的解析式；
(ⅱ)先求出原抛物线的顶点式， 点设， 可得折叠后新抛物线的解析式顶点纵坐标为：，故翻折后的抛物线解析式为：，进而分类讨论：点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，满足题意；当点P落在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点，从而结合题意即可求解；
（2）先运用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而设点在翻折后的图象上，则其关于直线的对称点在上，对称点坐标为，代入即可求出折后的图象解析式为，令y=0即可求出其交点坐标。
21．【答案】（1）-2；；x＜-1或0＜x＜1
（2）解：当时，直线与函数L的图象有3个交点；
当且直线与函数的图象有一个交点时，直线与函数L的图象有3个交点，此时方程即有两个相等的实数根，
∴，
解得，
当直线与函数L的图象有4个交点时，b的取值范围是．
（3）解：最大值与最小值的差为10．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数-动态几何问题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】(1)∵函数的图象过原点，
∴，
解得a= -2，
故答案为：-2；
∵函数的图象过原点，将其沿y轴翻折，得到函数的图象，
∴，顶点为(1，2)，
∴，
故答案为：；
由抛物线开口向下，根据在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴的范围是，的取值范围是，
故答案为：或．
(3)设平移后，对应部分的解析式为，当抛物线经过点D(3，2)时，m有最小值，
∴，
∴，
当抛物线经过点C(4，2)时，m有最大值，
∴，
∴．
∴其最大值与最小值的差为10．
【分析】（1）利用二次函数的图象与性质计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图象求解即可；
（3）分类讨论，列方程求出m的值即可。
22．【答案】（1）解：由翻折可知： .
令 ，解得： ， ，
所以， ， ，
设图象 的解析式为 ，代入 ，解得 ，
所以解析式为
（2）解：如图
当直线y=-x+b过点C时，b=2；
当直线y=-x+b在x轴上方与抛物线W相切时
∴-x+b=-x2+x+2
整理得x2-2x-2+b=0
b2-4ac=0即4-4（-2+b）=0
解之：b=3.
∴ 或
（3）解：如图1，当 时， ，此时， ；
如图2，当 时， ，
此时， 点纵坐标为2， ，解得 ， （舍）；
所以 ；
如图3，当 时， ，此时，直线 的解析式：
；联立方程组： ，解得 ， （舍），所以 .
因此，综上所述： 点坐标为 或 或 .
【知识点】二次函数图象的几何变换；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用函数解析式可求出点C的坐标，由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标；利用二次函数的交点式设W的函数解析式为y=a（x+1）（x-2），将点C的坐标代入，可求出a的值，即可得到函数解析式.
（2）分情况讨论：当直线y=-x+b经过点C时，此直线与图象W有三个交点，将点C的坐标代入可求出b的值；当直线y=-x+b位于x轴上方与抛物线W相切时，将两函数联立方程组，可得到关于x的一元二次方程，根据b2-4ac=0，可得到关于b的方程，解方程求出b的值.
（3）分情况讨论：当CN∥OB时可证得△OBC∽△NMC，利用PN∥y轴，可得到点P的坐标；当CN∥OB时，易证△CMN∽△BOC，由y=2，可求出x的值，可得到点P的坐标；当∠NCM=90°时，△OBC∽△CMN，可求出直线CN的函数解析式，将其函数解析式与抛物线联立方程组，解方程组求出x的值，可得到点P的坐标；综上所述，可得到符合题意的点P的坐标.
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