二次函数图象的旋转变换—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2022九上·金华月考）将函数的图像绕原点O旋转180°，得到新的二次函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵函数y=-（x-2）2+3图象绕原点旋转180°，
∴新图象与原图象关于原点中心对称，
∴新的二次函数图象开口向上，顶点坐标为（-2，-3），
∴新的二次函数解析式为y=（x+2）2-3.
故答案为：B.
【分析】由题意可知新图象与原图象关于原点中心对称，从而可得新的二次函数图象开口向上，顶点坐标为（-2，-3），即可求解.
2．（2022九上·慈溪月考）将抛物线y=2x2-4x-5绕原点旋转180°，得到的新抛物线的解析式是（ ）
A．y=-2x2-4x+5 B．y=-2x2+4x+5 C．y=-2x2-4x-5 D．y=-2x2+4x-5
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y=2x2-4x-5=2（x-1）2-7，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-7），
∵将抛物线y=2x2-4x-5绕原点旋转180°，
∴旋转后的抛物线的开口向下，顶点坐标为（-1，7），
∴新抛物线的解析式为y=-2（x+1）2+7=-2x2-4x+5.
故答案为：A
【分析】利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标；将抛物线y=2x2-4x-5绕原点旋转180°，可得到旋转后的抛物线的开口向下，顶点坐标为（-1，7），据此可得到新的抛物线解析式.
3．（2023九上·期末）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转得到抛物线，则原抛物线的函数表达式为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：；
设原抛物线顶点坐标为（a，b)，由题意得-a=-，-(b+3)=-，
∴a=，b=-，
∴原抛物线.
故答案为：A.
【分析】抛物线图像平移后坐标的变化，可以选顶点的坐标变化来解题.向上平移3个单位长度，横坐标不变，纵坐标加3；绕原点旋转180°，横纵坐标都变为相反数.
4．（2021九上·奉贤期末）从图形运动的角度研究抛物线， 有利于我们认识新的拋物线的特征. 如果将拋物线绕着原点旋转180°，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列法正确的是（ ）
A．它们的开口方向相同 B．它们的对称轴相同
C．它们的变化情况相同 D．它们的顶点坐标相同
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，2)，将此抛物线绕原点旋转180°后所得新抛物线的开口向下，对称轴仍为y轴，顶点坐标为(0，－2)，所以在四个选项中，只有B选项符合题意．
故答案为：B
【分析】根据旋转的性质得出对称轴仍为y轴及顶点坐标，再判断即可。
5．（2022九上·铁锋期中）将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是 ．
【答案】y=-x2-1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：根据题意，-y=（-x）2+1，得到y=-x2-1．
故旋转后的抛物线解析式是y=-x2-1．
故答案是：y=-x2-1
【分析】先求出y=-x2-1，再求函数解析式即可。
6．（2021九上·西湖期中）将抛物线y＝x2+4x+3绕原点旋转180°后，再分别向下、向右平移3个单位，此时该抛物线的解析式为 .
【答案】y＝﹣（x+1）2﹣2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，此时，该抛物线顶点坐标是（﹣2，﹣1）.
将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（2，1），再分别向下、向右平移3个单位后的顶点坐标是（﹣1，﹣2）.
所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2﹣2.
故答案为：y＝﹣（x+1）2﹣2.
【分析】由函数解析式可得顶点坐标为（-2，-1），绕原点O旋转180°后的顶点坐标是（2，1），再向下、向右平移3个单位后的顶点坐标是（-1，-2），据此不难得到抛物线的解析式.
7．（2021九上·西城期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是抛物线经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线得到抛物线的过程： ．
【答案】抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线向右平移4个单位后得到抛物线后，正好与关于直线对称，
∴抛物线可以看做是抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到的，
故答案为：抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线．
【分析】根据抛物线向右平移4个单位后得到抛物线后，正好与关于直线对称，得出抛物线可以看做是抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到的，由此得出答案。
8．（2017九上·湖州月考）如图， 的图像交x轴于O点和A点，将此抛物线绕原点旋转180°得图像y2，y2与x轴交于O点和B点.
（1）若y1=2x2-3x，则y2= .
（2）设 y 1 的顶点为C，则当△ABC为直角三角形时，请你任写一个符合此条件的 y 1 的表达式 .
【答案】（1）y1=-2x2-3x
（2）y1=（x-1）2-
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】（1）解：y1=2x2-3x的图像交x轴于O点和A点，
∴O（0，0），A（，0），
又∵将y1绕原点旋转180°得图像y2，
∴B（-，0），
∴y2解析式为：y1=-2x2-3x.
（2）依据题意得：y1=（x-1）2-
【分析】（1）根据旋转的性质和抛物线与x轴交点坐标得y2解析式.
（2）根据函数图象上点的坐标特征，分别求出A、C，再根据旋转的性质得出B点坐标，根据勾股定理分别求出AB，AC，BC，再根据勾股定理的逆定理得出△ABC为直角三角形.
9．（2018九上·天河期末）已知抛物线y=x +bx+c的顶点为D，且经过A(1，0)；B(0，2) 两点，将△OAB绕点A顺时针旋转90 后，点B落到点C的位置，将该抛物线沿着对称轴上下平移，使之经过点C，此时得到的新抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D.
（1）求新抛物线的解析式；
（2）若点N在新抛物线上，满足三角形NBB1的面积是三角形NDD1面积的2倍，求点N坐标.
【答案】（1）解：已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2），
∴，
解得，
抛物线的解析式为y=x2-3x+2；
∵A（1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
可得旋转后C点的坐标为（3，1），
当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，
可知抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.
∴平移后的抛物线解析式为：y2=x2-3x+1
（2）解：∵A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2﹣3x+2得y=2，可知抛物线y=x2﹣3x+2过点（3，2），∴将原抛物线沿对称轴向下平移1个单位后过点C，∴平移后的抛物线解析式为：y=x2﹣3x+1，D1（ ，﹣ ）．
又点N在平移后的抛物线上，且△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，∴点N到y轴的距离是到直线DD1距离的2倍，易求得N（1，﹣1），或（3，1）
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）可得关于b、c的方程组，解得b=-3、c=2，所以抛物线的解析式为y=x2-3x+2；由图可得旋转后C点的坐标为（3，1），而易得B（0，2）的对称点为（3，2），所以抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.将原解析式配成顶点式y=，根据平移的特征左加右减上加下减可得y=-1==x2﹣3x+1；
（2）由（1）已知可得B（0，2）的对称点为（3，2）。由题意可得OA=1，OB=2，因为将△OAB绕点A顺时针旋转90 后，点B落到点C的位置，所以根据旋转的性质可得C点的坐标为（3，1），即将原抛物线沿对称轴向下平移1个单位后过点C，将原解析式配成顶点式y=，根据平移的特征左加右减上加下减可得y=-1==x2﹣3x+1；所以D1（，-），D（，），已知点N在平移后的抛物线上，且△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，所以点N到y轴的距离是到直线DD1距离的2倍，则可得N（1，﹣1），或（3，1）。
二、能力提升
10．（2024九上·金华开学考）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一段抛物线.记为抛物线C1，它与x轴交于点O，A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A1，A2；将抛物线C2绕点A2，旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A2，A3；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M(2023，m)在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A．-9 B．-5 C．9 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵
∴ 抛物线C1 的对称轴为直线x=3
∴A1(6，0)，A2(12，0)
∴整个函数图象每隔12个单位长度，函数值就相等
∵2023÷12=168…7
由旋转可知： 抛物线C2 的解析式为
∴当x=7时，y=(7-9)2-9=-5
∴m=-5
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出点A1(6，0)，A2(12，0)，可以得出整个函数图象每隔12个单位长度，函数值就相等，因为2023÷12=168…7，因此当x=7时的函数值就是m的值，再根据旋转的性质可得：抛物线C2 的解析式为，把x=7代入中求出y的值即可.
11．（2023九上·黄山期中）如图，抛物线交x轴于O、A两点；将抛物线绕点A旋转180°得到抛物线，交x轴于A1；将抛物线绕点A1旋转180°得到抛物线，交x轴于A2；…，如此进行下去，则抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x（0≤x≤2），
∴配方可得y=（x-1）2-1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，-1），
∴A坐标为（2，0）
∵C2由C1旋转得到，
∴OA=AA1，即C2顶点坐标为（3，1），A1（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，-1），A2（6，0）；
C4顶点坐标为（7，1），A3（8，0）；
……，
∴抛物线C10的顶点坐标是（19，1），A8（18，0），A9（20，0）．
抛物线C10的解析式是y=-(x-18)(x-20)=-x2+38x-360．
故答案为：A.
【分析】根据物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变化找出变化规律，利用数形结合求解。将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道抛物线C10的顶点，即可求得抛物线C10的解析式。
12．（2021九上·东海期末）如图，一段抛物线： ，记为 ，它与x轴交于两点O， ；将 绕 旋转 得到 ，交x轴于 ；将 绕 旋转 得到 ，交x轴于 ，过抛物线 ， 顶点的直线与 、 、 围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为 .
【答案】108
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：
因为函数
所以，对称轴： ，则当 时， ，即 ，由题意知 ，
所以，
由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离= = =108
故答案为：108.
【分析】由函数 ，求出 ，再得出 ， ，利用由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离，求解即可.
13．（2019九上·义乌月考）在平面直角坐标系中，将函数 的图象绕坐标原点O顺时针旋转45°后，得到新曲线l.
（1）如图①，已知点A(-1，a)，B(b，10)在函数 的图象上，若 A＇， B＇是A，B旋转后的对应点，连结OA＇， OB＇，则S△OA＇B ＇= ；
（2）如图②，曲线l与直线
相交于点M、N，则S△OMN为 .
【答案】（1）9
（2）
【知识点】二次函数图象的几何变换；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）连接OA，OB，AB，
∵ 将函数 的图象绕坐标原点O顺时针旋转45°后，得到新曲线l，
∴S△OAB=S△OA＇B＇
当x=-1时y=2+2=4
∴点A（-1，4），
当y=10时，10=2x2+2
解之：x=2（取正值）
∴点B（2，10）
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴
解之：
∴y=2x+6，
当x=0时，y=6
∴点C（0，6）
∴S△ABC=
∴S△OA＇B＇=9
故答案为：9.
（2）如图将直线MN旋转45°，过点O作OH⊥M＇N＇于点H，
∴OH=
∴点H
∴直线M＇N＇的解析式为y=-x+3，
∴-x+3=2x2+2
解之：
∴S△OMN=
故答案为：.
【分析】（1）连接OA，OB，AB，利用旋转的性质，可证得S△OAB=S△OA＇B＇，利用点的坐标及函数解析式求出点A，B的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，从而可求出点C的坐标，然后利用三角形的面积公式可求出△OAB的面积，即可求解。
如图将直线MN旋转45°，过点O作OH⊥M＇N＇于点H，利用已知可知OH的长，再求出点H的坐标及直线M＇N＇的解析式，将两函数解析式联立方程组，解方程组求出抛物线与直线M＇N＇的交点坐标，然后利用三角形的面积公式可求出△ONM的面积。
14．（2019九上·鱼台期末）在平面直角坐标系xOy中(如图)．已知抛物线y=- x2+bx+c经过点A(-1，0)和点B(0， )，顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
【答案】（1）解： ∵A（-1，0），B（0，）在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式是：y=-x2+2x+.
（2）解： 由（1）知y=-x2+2x+=-（x-2）2+，
∴C（2，），
∵点D在对称轴x=2上，
∴设CD=t，则D（2，-t），
∵线段DC饶点D顺时针旋转90°，使点C落在抛物线点P处，
∴∠PDC=90°，DP=DC=t，
∴P（2+t，-t），
∵点P在抛物线上，
∴-t=-（2+t-2）2+，
解得：t=2或t=0（舍去），
∴CD=t=2.
（3）解： 由（2）知：P（4，），D（2，），
∵抛物线平移，使点C（2，）平移到原点（0，0）的位置，
∴抛物线向左平移2各单位，向下平移个单位，
∵点P向左平移2各单位，向下平移个单位到点E，
∴E（2，-2），
设M（0，m），
∴|OM|=|yM-yO|=|m|，DE=|yD-yE|=|-（-2）|=，
设四边形边OM上的高为h，则h为点D到y轴的距离，
∴h=|xO|=2，
∴S=·（OM+DE）·h=8，
即（|m|+）×2=8，
解得：m=或m=-，
∴M（0，）或M（0，-）.
【知识点】二次函数图象的几何变换；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将点A、B坐标代入，解方程即可.
（2）根据（1）中解析式得C（2，），根据点D在对称轴x=2上，设CD=t，则D（2，-t），根据题意可得P（2+t，-t），将点P坐标代入抛物线解析式，解之即可得出答案.
（3）由（2）知：P（4，），D（2，），根据平移的性质可得抛物线向左平移2各单位，向下平移个单位，由此得出E点坐标，设M（0，m），从而得|OM|=|m|，DE=，设四边形边OM上的高为h，则h为点D到y轴的距离，即h=2，根据四边形的面积公式得（|m|+）×2=8，解之即可得出答案.
三、拓展创新
15．（2022九上·宁波期中）如图，“心”形是由抛物线 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，直线AB为“心”形对称轴，点E，F，G 是抛物线与坐标轴的交点，则AB=（ ）
A． B．8 C．10 D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥y轴于点H，连接OD，
∴∠BHO=90°，
∵“心”形是由抛物线 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的， ，
∴∠COD=60°，点C，D关于OB对称，
∴∠BOH=∠BOD=30°，
∴OB=2BH，
设BH=a，则OB=2a，
∴，
∴点B，
∵点B在抛物线y=-x2+6上，
∴
解之：（舍去），
∴点B
∴设OB的解析式为y=kx（k≠0）
∴，
解之：，
∴OB的函数解析式为
∴
解之：（舍去），
当x=时y=-6，
∴点A（，-6）
∴.
故答案为：A
【分析】过点B作BH⊥y轴于点H，连接OD，可得到∠BHO=90°，利用旋转的性质可知∠COD=60°，点C，D关于OB对称，可求出∠BOH的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得到OB=2BH，设BH=a，则OB=2a，利用勾股定理表示出OH的长，可得到点B的坐标，将点B的坐标代入二次函数解析式，可求出a的值，可得到点B的坐标；设OB的解析式为y=kx（k≠0），将点B的坐标代入求出k的值，可得到OB的函数解析式，再将直线OB和二次函数解析式，联立方程组，解方程组求出点A的坐标；然后利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出AB的长.
16．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质（6） 同步练习）定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．写出y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数” ．
【答案】y=x2+3x+2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： ∵y=﹣x2+3x﹣2，
∴a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，
设y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”为y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数），
∴a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，
即﹣1+a2=0，3=b2，﹣2+c2=0，
解得a2=1，b2=3，c2=2，
∴y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”为y=x2+3x+2，
故答案为：y=x2+3x+2．
【分析】由题意可知，“旋转函数”的二次项系数互为相反数，一次项系数相等，常数项互为相反数，根据这个特点即可求解。
17．（2021九上·惠水期末）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”.求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数.
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数.
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值.
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”.
【答案】（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴ ，
解得： ，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1.
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）.
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）.
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）.
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6.
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2020即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”.
18．（2022九上·惠水期中）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”求函数的“旋转函数”.
小组同学是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”.
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数的“旋转函数”是 ；
（2）若函数与互为“旋转函数”，求的值；
（3）已知函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点，，关于原点的对称点分别是，，，试求证：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”.
【答案】（1）
（2）解：根据题意得：，解得，
（3）证明：化简得，
当时，求得，当时，解方程得
则、、三点的坐标分别为，，，
、、三点关于原点对称的点坐标分别为，，，
设经过、、三点的函数解析式为，代入得，
则化简得：，
与原函数是旋转函数.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）解：由函数知，，，，
，，，
，，，
，
故答案为：；
【分析】（1）由函数可求a1、b1、c1的值，利用“旋转函数”的定义求出a1、b1、c1的值，即得结论；
（2） 由函数与互为“旋转函数”，可求出m、n的值， 再代入计算即可；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出A、B、C的坐标，结合对称性求出A1、B1、C1的坐标，李爷爷待定系数法（交点式）求出经过、、三点的函数解析式，根据“旋转函数”的定义进行判断即可.
19．（20212九上·义乌期末）如图1，直线与x，y轴分别相交于A、B两点.将绕点O逆时针旋转90°得到，过点A，B，D的抛物线P叫做直线l的关联抛物线，直线l叫做P的关联直线.
（1）若直线，则抛物线P表示的函数解析式为 ，若抛物线，则直线l表示的函数解析式为 ；
（2）如图2，若直线，G为AB中点，H为CD的中点，连接GH，取GH中点M，连接OM，已知.求直线l的关联抛物线P表示的函数解析式；
（3）若将某直线的关联抛物线向右平移个单位得到抛物线，则a、m、n应满足的关系式为 .
【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴A（4，0），B（0，-4t），
根据旋转的全等性质，得到OD=OB=|-4t|= -4t，
∴D（4t，0），
∵G为AB中点，H为CD的中点，连接GH，取GH中点M，
∴G（2，-2t），H（2t，2），M（t+1，1-t），
根据勾股定理，得到，
解得t=-2，t=2（舍去），
故t=-2，
∴A（4，0），B（0，8），D（-8，0），
设抛物线解析式为y=a（x-4）（x+8），把B的坐标代入解析式，
得8=-32a，
解得a=，
∴.
（3）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=1，
∴A（1，0），B（0，2），
根据旋转的全等性质，得到OD=0B=2，
∴D（-2，0）.
设抛物线解析式为y=a（x-1）（x+2），把B的坐标代入解析式，
得2=-2a，
解得a=-1，
∴；
∵，
∴，解得，
∴A（1，0），D（-4，0），
根据旋转性质，得到OB=OD=4，
∴B（0，4）.
设直线的解析式为y=kx+4，
把点A的坐标代入，得k+4=0，
解得k=-4，
∴y=-4x+4，
故答案为：；.
（3）解：∵某直线的关联抛物线向右平移个单位得到抛物线，
∴将向左平移个单位得到关联抛物线，
∴，
∵＞0，
∴m＜0，
∴点A（m+n，0），D（2m，0），B（0，-2m），
解得a（m+n）=-1，
故答案为：a（m+n）=-1.
【分析】（1）若l：y＝ 2x＋2，分别令x=0，y=0可求出点A、B的坐标，由旋转的性质可得点D的坐标；利用待定系数法求出P表示的函数解析式；若P：y＝ x2 3x＋4，同理可求出点D、A、B的坐标，再用待定系数法求出l表示的函数解析式即可；
（2）根据旋转的性质得OD=OB=|-4t|= -4t，于是可将A、B、D三点的坐标用含t的代数式表示出来，连接GH，取GH中点M，由线段中点的定义，G、H、M三点的坐标也可用含t的代数式表示出来，用勾股定理可得关于t的方程，解方程求得t的值，则可得A、B、D三点的坐标，则设抛物线解析式为y=a（x-4）（x+8），把B的坐标代入解析式计算即可求解；
（3）根据直线的关联抛物线的定义和抛物线平移的性质即可求解．
1 / 1二次函数图象的旋转变换—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2022九上·金华月考）将函数的图像绕原点O旋转180°，得到新的二次函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022九上·慈溪月考）将抛物线y=2x2-4x-5绕原点旋转180°，得到的新抛物线的解析式是（ ）
A．y=-2x2-4x+5 B．y=-2x2+4x+5 C．y=-2x2-4x-5 D．y=-2x2+4x-5
3．（2023九上·期末）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转得到抛物线，则原抛物线的函数表达式为（ ）.
A． B．
C． D．
4．（2021九上·奉贤期末）从图形运动的角度研究抛物线， 有利于我们认识新的拋物线的特征. 如果将拋物线绕着原点旋转180°，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列法正确的是（ ）
A．它们的开口方向相同 B．它们的对称轴相同
C．它们的变化情况相同 D．它们的顶点坐标相同
5．（2022九上·铁锋期中）将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是 ．
6．（2021九上·西湖期中）将抛物线y＝x2+4x+3绕原点旋转180°后，再分别向下、向右平移3个单位，此时该抛物线的解析式为 .
7．（2021九上·西城期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是抛物线经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线得到抛物线的过程： ．
8．（2017九上·湖州月考）如图， 的图像交x轴于O点和A点，将此抛物线绕原点旋转180°得图像y2，y2与x轴交于O点和B点.
（1）若y1=2x2-3x，则y2= .
（2）设 y 1 的顶点为C，则当△ABC为直角三角形时，请你任写一个符合此条件的 y 1 的表达式 .
9．（2018九上·天河期末）已知抛物线y=x +bx+c的顶点为D，且经过A(1，0)；B(0，2) 两点，将△OAB绕点A顺时针旋转90 后，点B落到点C的位置，将该抛物线沿着对称轴上下平移，使之经过点C，此时得到的新抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D.
（1）求新抛物线的解析式；
（2）若点N在新抛物线上，满足三角形NBB1的面积是三角形NDD1面积的2倍，求点N坐标.
二、能力提升
10．（2024九上·金华开学考）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一段抛物线.记为抛物线C1，它与x轴交于点O，A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A1，A2；将抛物线C2绕点A2，旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A2，A3；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M(2023，m)在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A．-9 B．-5 C．9 D．5
11．（2023九上·黄山期中）如图，抛物线交x轴于O、A两点；将抛物线绕点A旋转180°得到抛物线，交x轴于A1；将抛物线绕点A1旋转180°得到抛物线，交x轴于A2；…，如此进行下去，则抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021九上·东海期末）如图，一段抛物线： ，记为 ，它与x轴交于两点O， ；将 绕 旋转 得到 ，交x轴于 ；将 绕 旋转 得到 ，交x轴于 ，过抛物线 ， 顶点的直线与 、 、 围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为 .
13．（2019九上·义乌月考）在平面直角坐标系中，将函数 的图象绕坐标原点O顺时针旋转45°后，得到新曲线l.
（1）如图①，已知点A(-1，a)，B(b，10)在函数 的图象上，若 A＇， B＇是A，B旋转后的对应点，连结OA＇， OB＇，则S△OA＇B ＇= ；
（2）如图②，曲线l与直线
相交于点M、N，则S△OMN为 .
14．（2019九上·鱼台期末）在平面直角坐标系xOy中(如图)．已知抛物线y=- x2+bx+c经过点A(-1，0)和点B(0， )，顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
三、拓展创新
15．（2022九上·宁波期中）如图，“心”形是由抛物线 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，直线AB为“心”形对称轴，点E，F，G 是抛物线与坐标轴的交点，则AB=（ ）
A． B．8 C．10 D．
16．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质（6） 同步练习）定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．写出y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数” ．
17．（2021九上·惠水期末）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”.求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数.
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数.
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值.
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”.
18．（2022九上·惠水期中）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”求函数的“旋转函数”.
小组同学是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”.
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数的“旋转函数”是 ；
（2）若函数与互为“旋转函数”，求的值；
（3）已知函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点，，关于原点的对称点分别是，，，试求证：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”.
19．（20212九上·义乌期末）如图1，直线与x，y轴分别相交于A、B两点.将绕点O逆时针旋转90°得到，过点A，B，D的抛物线P叫做直线l的关联抛物线，直线l叫做P的关联直线.
（1）若直线，则抛物线P表示的函数解析式为 ，若抛物线，则直线l表示的函数解析式为 ；
（2）如图2，若直线，G为AB中点，H为CD的中点，连接GH，取GH中点M，连接OM，已知.求直线l的关联抛物线P表示的函数解析式；
（3）若将某直线的关联抛物线向右平移个单位得到抛物线，则a、m、n应满足的关系式为 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵函数y=-（x-2）2+3图象绕原点旋转180°，
∴新图象与原图象关于原点中心对称，
∴新的二次函数图象开口向上，顶点坐标为（-2，-3），
∴新的二次函数解析式为y=（x+2）2-3.
故答案为：B.
【分析】由题意可知新图象与原图象关于原点中心对称，从而可得新的二次函数图象开口向上，顶点坐标为（-2，-3），即可求解.
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y=2x2-4x-5=2（x-1）2-7，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-7），
∵将抛物线y=2x2-4x-5绕原点旋转180°，
∴旋转后的抛物线的开口向下，顶点坐标为（-1，7），
∴新抛物线的解析式为y=-2（x+1）2+7=-2x2-4x+5.
故答案为：A
【分析】利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标；将抛物线y=2x2-4x-5绕原点旋转180°，可得到旋转后的抛物线的开口向下，顶点坐标为（-1，7），据此可得到新的抛物线解析式.
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：；
设原抛物线顶点坐标为（a，b)，由题意得-a=-，-(b+3)=-，
∴a=，b=-，
∴原抛物线.
故答案为：A.
【分析】抛物线图像平移后坐标的变化，可以选顶点的坐标变化来解题.向上平移3个单位长度，横坐标不变，纵坐标加3；绕原点旋转180°，横纵坐标都变为相反数.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，2)，将此抛物线绕原点旋转180°后所得新抛物线的开口向下，对称轴仍为y轴，顶点坐标为(0，－2)，所以在四个选项中，只有B选项符合题意．
故答案为：B
【分析】根据旋转的性质得出对称轴仍为y轴及顶点坐标，再判断即可。
5．【答案】y=-x2-1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：根据题意，-y=（-x）2+1，得到y=-x2-1．
故旋转后的抛物线解析式是y=-x2-1．
故答案是：y=-x2-1
【分析】先求出y=-x2-1，再求函数解析式即可。
6．【答案】y＝﹣（x+1）2﹣2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，此时，该抛物线顶点坐标是（﹣2，﹣1）.
将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（2，1），再分别向下、向右平移3个单位后的顶点坐标是（﹣1，﹣2）.
所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2﹣2.
故答案为：y＝﹣（x+1）2﹣2.
【分析】由函数解析式可得顶点坐标为（-2，-1），绕原点O旋转180°后的顶点坐标是（2，1），再向下、向右平移3个单位后的顶点坐标是（-1，-2），据此不难得到抛物线的解析式.
7．【答案】抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线向右平移4个单位后得到抛物线后，正好与关于直线对称，
∴抛物线可以看做是抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到的，
故答案为：抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线．
【分析】根据抛物线向右平移4个单位后得到抛物线后，正好与关于直线对称，得出抛物线可以看做是抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到的，由此得出答案。
8．【答案】（1）y1=-2x2-3x
（2）y1=（x-1）2-
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】（1）解：y1=2x2-3x的图像交x轴于O点和A点，
∴O（0，0），A（，0），
又∵将y1绕原点旋转180°得图像y2，
∴B（-，0），
∴y2解析式为：y1=-2x2-3x.
（2）依据题意得：y1=（x-1）2-
【分析】（1）根据旋转的性质和抛物线与x轴交点坐标得y2解析式.
（2）根据函数图象上点的坐标特征，分别求出A、C，再根据旋转的性质得出B点坐标，根据勾股定理分别求出AB，AC，BC，再根据勾股定理的逆定理得出△ABC为直角三角形.
9．【答案】（1）解：已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2），
∴，
解得，
抛物线的解析式为y=x2-3x+2；
∵A（1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
可得旋转后C点的坐标为（3，1），
当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，
可知抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.
∴平移后的抛物线解析式为：y2=x2-3x+1
（2）解：∵A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2﹣3x+2得y=2，可知抛物线y=x2﹣3x+2过点（3，2），∴将原抛物线沿对称轴向下平移1个单位后过点C，∴平移后的抛物线解析式为：y=x2﹣3x+1，D1（ ，﹣ ）．
又点N在平移后的抛物线上，且△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，∴点N到y轴的距离是到直线DD1距离的2倍，易求得N（1，﹣1），或（3，1）
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）可得关于b、c的方程组，解得b=-3、c=2，所以抛物线的解析式为y=x2-3x+2；由图可得旋转后C点的坐标为（3，1），而易得B（0，2）的对称点为（3，2），所以抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.将原解析式配成顶点式y=，根据平移的特征左加右减上加下减可得y=-1==x2﹣3x+1；
（2）由（1）已知可得B（0，2）的对称点为（3，2）。由题意可得OA=1，OB=2，因为将△OAB绕点A顺时针旋转90 后，点B落到点C的位置，所以根据旋转的性质可得C点的坐标为（3，1），即将原抛物线沿对称轴向下平移1个单位后过点C，将原解析式配成顶点式y=，根据平移的特征左加右减上加下减可得y=-1==x2﹣3x+1；所以D1（，-），D（，），已知点N在平移后的抛物线上，且△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，所以点N到y轴的距离是到直线DD1距离的2倍，则可得N（1，﹣1），或（3，1）。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵
∴ 抛物线C1 的对称轴为直线x=3
∴A1(6，0)，A2(12，0)
∴整个函数图象每隔12个单位长度，函数值就相等
∵2023÷12=168…7
由旋转可知： 抛物线C2 的解析式为
∴当x=7时，y=(7-9)2-9=-5
∴m=-5
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出点A1(6，0)，A2(12，0)，可以得出整个函数图象每隔12个单位长度，函数值就相等，因为2023÷12=168…7，因此当x=7时的函数值就是m的值，再根据旋转的性质可得：抛物线C2 的解析式为，把x=7代入中求出y的值即可.
11．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x（0≤x≤2），
∴配方可得y=（x-1）2-1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，-1），
∴A坐标为（2，0）
∵C2由C1旋转得到，
∴OA=AA1，即C2顶点坐标为（3，1），A1（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，-1），A2（6，0）；
C4顶点坐标为（7，1），A3（8，0）；
……，
∴抛物线C10的顶点坐标是（19，1），A8（18，0），A9（20，0）．
抛物线C10的解析式是y=-(x-18)(x-20)=-x2+38x-360．
故答案为：A.
【分析】根据物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变化找出变化规律，利用数形结合求解。将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道抛物线C10的顶点，即可求得抛物线C10的解析式。
12．【答案】108
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：
因为函数
所以，对称轴： ，则当 时， ，即 ，由题意知 ，
所以，
由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离= = =108
故答案为：108.
【分析】由函数 ，求出 ，再得出 ， ，利用由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离，求解即可.
13．【答案】（1）9
（2）
【知识点】二次函数图象的几何变换；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）连接OA，OB，AB，
∵ 将函数 的图象绕坐标原点O顺时针旋转45°后，得到新曲线l，
∴S△OAB=S△OA＇B＇
当x=-1时y=2+2=4
∴点A（-1，4），
当y=10时，10=2x2+2
解之：x=2（取正值）
∴点B（2，10）
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴
解之：
∴y=2x+6，
当x=0时，y=6
∴点C（0，6）
∴S△ABC=
∴S△OA＇B＇=9
故答案为：9.
（2）如图将直线MN旋转45°，过点O作OH⊥M＇N＇于点H，
∴OH=
∴点H
∴直线M＇N＇的解析式为y=-x+3，
∴-x+3=2x2+2
解之：
∴S△OMN=
故答案为：.
【分析】（1）连接OA，OB，AB，利用旋转的性质，可证得S△OAB=S△OA＇B＇，利用点的坐标及函数解析式求出点A，B的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，从而可求出点C的坐标，然后利用三角形的面积公式可求出△OAB的面积，即可求解。
如图将直线MN旋转45°，过点O作OH⊥M＇N＇于点H，利用已知可知OH的长，再求出点H的坐标及直线M＇N＇的解析式，将两函数解析式联立方程组，解方程组求出抛物线与直线M＇N＇的交点坐标，然后利用三角形的面积公式可求出△ONM的面积。
14．【答案】（1）解： ∵A（-1，0），B（0，）在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式是：y=-x2+2x+.
（2）解： 由（1）知y=-x2+2x+=-（x-2）2+，
∴C（2，），
∵点D在对称轴x=2上，
∴设CD=t，则D（2，-t），
∵线段DC饶点D顺时针旋转90°，使点C落在抛物线点P处，
∴∠PDC=90°，DP=DC=t，
∴P（2+t，-t），
∵点P在抛物线上，
∴-t=-（2+t-2）2+，
解得：t=2或t=0（舍去），
∴CD=t=2.
（3）解： 由（2）知：P（4，），D（2，），
∵抛物线平移，使点C（2，）平移到原点（0，0）的位置，
∴抛物线向左平移2各单位，向下平移个单位，
∵点P向左平移2各单位，向下平移个单位到点E，
∴E（2，-2），
设M（0，m），
∴|OM|=|yM-yO|=|m|，DE=|yD-yE|=|-（-2）|=，
设四边形边OM上的高为h，则h为点D到y轴的距离，
∴h=|xO|=2，
∴S=·（OM+DE）·h=8，
即（|m|+）×2=8，
解得：m=或m=-，
∴M（0，）或M（0，-）.
【知识点】二次函数图象的几何变换；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将点A、B坐标代入，解方程即可.
（2）根据（1）中解析式得C（2，），根据点D在对称轴x=2上，设CD=t，则D（2，-t），根据题意可得P（2+t，-t），将点P坐标代入抛物线解析式，解之即可得出答案.
（3）由（2）知：P（4，），D（2，），根据平移的性质可得抛物线向左平移2各单位，向下平移个单位，由此得出E点坐标，设M（0，m），从而得|OM|=|m|，DE=，设四边形边OM上的高为h，则h为点D到y轴的距离，即h=2，根据四边形的面积公式得（|m|+）×2=8，解之即可得出答案.
15．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥y轴于点H，连接OD，
∴∠BHO=90°，
∵“心”形是由抛物线 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的， ，
∴∠COD=60°，点C，D关于OB对称，
∴∠BOH=∠BOD=30°，
∴OB=2BH，
设BH=a，则OB=2a，
∴，
∴点B，
∵点B在抛物线y=-x2+6上，
∴
解之：（舍去），
∴点B
∴设OB的解析式为y=kx（k≠0）
∴，
解之：，
∴OB的函数解析式为
∴
解之：（舍去），
当x=时y=-6，
∴点A（，-6）
∴.
故答案为：A
【分析】过点B作BH⊥y轴于点H，连接OD，可得到∠BHO=90°，利用旋转的性质可知∠COD=60°，点C，D关于OB对称，可求出∠BOH的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得到OB=2BH，设BH=a，则OB=2a，利用勾股定理表示出OH的长，可得到点B的坐标，将点B的坐标代入二次函数解析式，可求出a的值，可得到点B的坐标；设OB的解析式为y=kx（k≠0），将点B的坐标代入求出k的值，可得到OB的函数解析式，再将直线OB和二次函数解析式，联立方程组，解方程组求出点A的坐标；然后利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出AB的长.
16．【答案】y=x2+3x+2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： ∵y=﹣x2+3x﹣2，
∴a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，
设y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”为y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数），
∴a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，
即﹣1+a2=0，3=b2，﹣2+c2=0，
解得a2=1，b2=3，c2=2，
∴y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”为y=x2+3x+2，
故答案为：y=x2+3x+2．
【分析】由题意可知，“旋转函数”的二次项系数互为相反数，一次项系数相等，常数项互为相反数，根据这个特点即可求解。
17．【答案】（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴ ，
解得： ，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1.
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）.
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）.
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）.
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6.
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2020即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”.
18．【答案】（1）
（2）解：根据题意得：，解得，
（3）证明：化简得，
当时，求得，当时，解方程得
则、、三点的坐标分别为，，，
、、三点关于原点对称的点坐标分别为，，，
设经过、、三点的函数解析式为，代入得，
则化简得：，
与原函数是旋转函数.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）解：由函数知，，，，
，，，
，，，
，
故答案为：；
【分析】（1）由函数可求a1、b1、c1的值，利用“旋转函数”的定义求出a1、b1、c1的值，即得结论；
（2） 由函数与互为“旋转函数”，可求出m、n的值， 再代入计算即可；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出A、B、C的坐标，结合对称性求出A1、B1、C1的坐标，李爷爷待定系数法（交点式）求出经过、、三点的函数解析式，根据“旋转函数”的定义进行判断即可.
19．【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴A（4，0），B（0，-4t），
根据旋转的全等性质，得到OD=OB=|-4t|= -4t，
∴D（4t，0），
∵G为AB中点，H为CD的中点，连接GH，取GH中点M，
∴G（2，-2t），H（2t，2），M（t+1，1-t），
根据勾股定理，得到，
解得t=-2，t=2（舍去），
故t=-2，
∴A（4，0），B（0，8），D（-8，0），
设抛物线解析式为y=a（x-4）（x+8），把B的坐标代入解析式，
得8=-32a，
解得a=，
∴.
（3）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=1，
∴A（1，0），B（0，2），
根据旋转的全等性质，得到OD=0B=2，
∴D（-2，0）.
设抛物线解析式为y=a（x-1）（x+2），把B的坐标代入解析式，
得2=-2a，
解得a=-1，
∴；
∵，
∴，解得，
∴A（1，0），D（-4，0），
根据旋转性质，得到OB=OD=4，
∴B（0，4）.
设直线的解析式为y=kx+4，
把点A的坐标代入，得k+4=0，
解得k=-4，
∴y=-4x+4，
故答案为：；.
（3）解：∵某直线的关联抛物线向右平移个单位得到抛物线，
∴将向左平移个单位得到关联抛物线，
∴，
∵＞0，
∴m＜0，
∴点A（m+n，0），D（2m，0），B（0，-2m），
解得a（m+n）=-1，
故答案为：a（m+n）=-1.
【分析】（1）若l：y＝ 2x＋2，分别令x=0，y=0可求出点A、B的坐标，由旋转的性质可得点D的坐标；利用待定系数法求出P表示的函数解析式；若P：y＝ x2 3x＋4，同理可求出点D、A、B的坐标，再用待定系数法求出l表示的函数解析式即可；
（2）根据旋转的性质得OD=OB=|-4t|= -4t，于是可将A、B、D三点的坐标用含t的代数式表示出来，连接GH，取GH中点M，由线段中点的定义，G、H、M三点的坐标也可用含t的代数式表示出来，用勾股定理可得关于t的方程，解方程求得t的值，则可得A、B、D三点的坐标，则设抛物线解析式为y=a（x-4）（x+8），把B的坐标代入解析式计算即可求解；
（3）根据直线的关联抛物线的定义和抛物线平移的性质即可求解．
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