二次函数图象与坐标轴—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2022九上·温州月考）抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵y＝x2+4x+4，
∴=b2-4ac=16-16=0，即=0，
∴抛物线与x轴只有一个交点.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线与x轴交点个数同根的判别式符合的关系，即=0时抛物线与x轴只有一个交点，即可求解.
2．（2024九上·定海开学考）二次函数的图象的最高点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的图象有最高点，
二次函数图象开口向下，即，
二次函数的顶点坐标为，
当二次函数的图象的最高点在轴上时，，即，解得或（正值舍去），
故答案为：B．
【分析】根据二次函数有最高点，得出，再由顶点坐标公式求出顶点坐标，根据题意得出，即可解出答案.
3．（2024九上·温州开学考）二次函数与y轴的交点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令，则，
∴与y轴的交点坐标是．
故答案为：C．
【分析】令二次函数y=2x2+5x-3中的x=0，算出对应的函数值，即可得到其与y轴交点的坐标.
4．已知二次函数y=ax2+bx+1的图象与x轴没有交点，且过点A(-2，y1)，B(-3，y2)，C(1，y2)，D(，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2>y1>y3 B．y3>y2>y1 C．y1>y3>y2 D．y1>y2>y3
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ y=ax2+bx+1的图象与x轴没有交点
∴，即
∴a>0，函数图象开口朝上
∵过 B(-3，y2)，C(1，y2)
∴对称轴为：
∵-1>-2>-3
∴y1∵
∴y2∴y3>y2>y1
故答案为：B
【分析】根据图象与x轴无交点可得，则a>0，函数图象开口朝上，再根据二次函数性质可求出对称轴x=-1，再根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
5．（2023九上·仙居期中）二次函数的图象与轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为，则另一个交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为 ，
∴一元二次方程：的一个根为，设另一根为
由韦达定理可得：
解得：
∴此函数的图象与轴的另一个交点坐标为.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点、韦达定理，根据题意可得一元二次方程的一个根为设另一根为由韦达定理可得：解得：即可求解.
6．（2023九上·余杭期中）已知二次函数的图象的对称轴为直线，则抛物线在轴上截得的线段长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y2=x2+mx的图象的对称轴为直线x=2，
解得m=-4，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
解得，
∴抛物线与轴的两个交点为，
∴抛物线在轴上截得的线段长为．
故答案为：A.
【分析】先求出的值，再求出抛物线与轴的两个交点，即可求出抛物线在轴上截得的线段长．
7．（2016九上·港南期中）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ．
【答案】0或1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；
②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．
根据题意得：△=4﹣4m=0，
解得：m=1．
故答案为：0或1．
【分析】需要分类讨论：
①若m=0，则函数为一次函数；
②若m≠0，则函数为二次函数．由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m不为0，即可求出m的值．
8．（2023九上·安吉期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标为-5和1，则方程ax2－bx＋c=0的解为 ．
【答案】5或-1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y= ax2+bx+c（a≠0） 的图象与x轴交点的横坐标为-5和1，
又∵抛物线y= ax2+bx+c的对称轴是，而抛物线y=ax2－bx＋c的对称轴是，
∴两抛物线开头方向，形状都相同，又关于y轴对称，
∴两抛物线与x轴的交点也关于y轴对称，
∴抛物线y=ax2－bx＋c的图象与x轴交点的横坐标为5和-1，
即方程 ax2－bx＋c=0 的解为x1=5，x2=-1.
故答案为：5或-1.
【分析】抛物线的图像与x轴的交点就是对应一元二次方程的两个根，所以本题只需要知道抛物线y=ax2－bx＋c的图象与x轴交点就能求出.
9．（2024九上·浙江期中）已知抛物线y＝x2－1．
（1）说出该抛物线的开口方向和对称轴；
（2）设该抛物线与x轴交于点A，B，求交点A，B之间的距离．
【答案】（1）解：开口方向向上，
对称轴是 y 轴（或直线x=0）
（2）解：把 代入 ， 得：
解得： ，
即： 交点 A， B 之间的距离 .
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²的性质
【解析】【分析】（1）根据y=ax2+k的性质解答即可；
（2）令y=0，解方程求出x值即可解题.
10．（2023九上·杭州月考）已知二次函数（a为常数，）．
（1）若函数经过点，求二次函数的解析式和顶点坐标．
（2）当时，求该二次函数的图象与x轴的交点个数．
（3）设，是该函数图象上的两点，其中，当时，都有，求a的取值范围．
【答案】（1）解：∵函数y=x2+ax+a的图象经过点（-2，5），
∴（-2）2-2a+a=5，
解得：a=-1，
y=x2-x-1=(x-)2-，
∴ 二次函数的解析式为：y=x2-x-1；
顶点坐标（，-）.
（2）解：b2-4ac=a2-4a=a(a-4)，
∵0＜a＜4，
∴a-4＜0，a＞0，
∴a(a-4)＜0，
∴该二次函数的图象与x轴没有交点.
（3）解：∵M（x1，y1）N（x2，y2）是函数图象上的两点，
∴y1=x12+ax1+a，y2=x22+ax2+a，
∴y1-y2=（x12+ax1+a）-（x22+ax2+a）
=x12-x22+a（x1-x2）
=（x1-x2）（x1+x2）+a（x1-x2）
=（x1-x2）（x1+x2+a）
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0，
∵y1＜y2，
∴（x1-x2）（x1+x2+a）＜0，
∴x1+x2+a＞0，
∴x1+x2＞-a，
又∵x1+x2＞4，
∴-a≤4，
∴a≥-4，
∵a≠0，
∴a的取值范围是：且.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）由题意，将点（-2，5）代入函数解析式可得关于a的方程，解方程求出a的值，即可得二次函数的解析式；将抛物线的解析式配成顶点式，即可得抛物线的顶点坐标；
（2）计算判别式b2-4ac的值，根据b2-4ac的符号即可判断该二次函数的图象与x轴的交点个数；
（3）由题意将M（x1，y1）N（x2，y2）代入可将y1与y2表示出来，再计算y1-y2所表示的代数式，整理可得，由已知条件，及，即可求出a的取值范围．
（1）将点的坐标代入函数解析式，得，
解得；
因此，二次函数的解析式为；
，，
该二次函数的顶点坐标为；
（2）令，则，
当时，，
则该二次函数的图象与x轴没有交点；
（3），是该函数图象上的两点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
且．
二、能力提升
11．（2024九上·浙江月考）如图，已知在平面直角坐标系中，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点，；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于点，；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；探索规律-函数上点的规律；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：对于，当时，，
解得：，
∴．
∵，
∴．
由题意可知，，
∴可设：，
将代入，得：，
解得：，
∴．
由题意又可知整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，
∵，
∴m的值等于时的纵坐标，
∴．
故答案为：B．
【分析】令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值可求出，将抛物线的解析式配成顶点式可得，由旋转的性质从而可求出，，进而利用待定系数法求出C2的解析式，再根据整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，由，即可知m的值等于时的纵坐标，从而即可得出答案．
12．（2023九上·金华期中）已知二次函数y=x2-2x+m的图象C与y轴交于点M，过点M作直线l平行于x轴，将抛物线C位于直线l下方的部分翻折至直线l上方．若变换后的图象与x轴有4个交点，则m的取值范围为（ ）
A．m＞—1 B．-1＜m＜0 C．-1≤m≤0 D．-1≤m＜0
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：因为翻折后与轴有4个交点，所以，
又因为二次函数，顶点为，
顶点关于的对称点为，
翻折后二次函数为，
所以，
所以，
故答案为：.
【分析】由题意可得，再由顶点式写出顶点坐标，结合翻折后点的坐标特征写出翻折后的二次函数解析式，即可得解．
13．（2023九上·滨江开学考）已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则 ．
【答案】或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：函数的图象与坐标轴只有两个交点 ，①当m=0时，函数方程为：该直线与坐标轴必有两个交点，②当且二次函数与x轴只有一个交点时，解得：此时二次函数的方程为：，与y轴有一个交点符合题意，③当且二次函数与x轴有两个交点时，则二次函数一定经过原点，则即m=2.综上所述m的值为或或.
故答案为：或或.
【分析】本题主要考查二次函数的图象的基本性质，根据分①m=0，②当且二次函数与x轴只有一个交点，③当且二次函数与x轴有两个交点时，则二次函数一定经过原点三种情况进行求解即可.
14．（2023九上·温州期中） 如图，抛物线与x轴交于点O，E，矩形ABCD的边AB在线段OE上，点B（2，0）在点A的左侧，点C，D在抛物线上，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，则抛物线平移的距离为 ．
【答案】3
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；矩形的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：连接AC，BD相交于点P，取OC的中点Q，连接PQ，
，
∴抛物线的对称轴为直线x=4，
∵点B（2，0），
∴点A（6，0），
当x=2时，
∴点C（2，-3）
∵GH平分矩形ABCD的面积，
∴直线GH经过点P，点P是AC的中点，
∴点P（4，-1.5）
∵平移，四边形OCHG是平行四边形，
∴PQ=CH，
∴PQ=OA，
∵OA=6，
∴CH=PQ=3，
∴抛物线向右平移的距离为3个单位长度.
故答案为：3.
【分析】连接AC，BD相交于点P，取OC的中点Q，连接PQ，利用抛物线的解析式可求出抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性，可得到点A的坐标，再将x=2代入函数解析式，可求出点C的坐标*；利用GH平分矩形ABCD的面积，可知直线GH经过点P，点P是AC的中点，利用点A，C的坐标可求出点P的坐标，利用平移可知四边形OCHG是平行四边形，可证得PQ=CH，同时可证得PQ=OA，即可求出CH，PQ的长，即可求解.
15．（2023九上·衢江月考）如图是二次函数的图象，其顶点坐标为．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在y轴上存在一点Q，使得周长最小，求此时构成的的面积．
【答案】（1）解：是二次函数的顶点坐标，
，
令，解得：，，
，两点的坐标分别为，；
故答案为：，.
（2）解：结论：存在。理由：由（1）可得：AB=3-（-1）=4，
设，则，
又，，
，即，
二次函数的最小值为，
，
将代入可得：，
解得：或．
∴点坐标为或，
故答案为：存在，或.
（3）解：作关于轴对称点为，连接交轴于，如图所示：
此时的值最小，即周长最小，
设直线的解析式为，，，
将，分别代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为：，
将代入可得：，
∴，
此时的面积为：．
故答案为：3.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；两点之间线段最短；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用点M的坐标即可得到函数解析式，再令，解关于的一元二次方程即可得到点、的坐标；
（2）设，则，再结合，，列出方程求解即可；
（3）存在．作关于轴对称点为，连接交轴于，此时的值最小．求出直线的解析式即可得到点Q的坐标，再利用割补法计算面积即可．
（1）解：是二次函数的顶点坐标，
，
令，解之得，，
，两点的坐标分别为，；
（2）在二次函数的图象上存在点，使，设，
则，
又，
，即，
二次函数的最小值为，
，
当时，，
解得：或．
故点坐标为或；
（3）如图，作关于轴对称点为，连接交轴于，
此时的值最小，即周长最小，
设直线的解析式为，，，
所以，
解之，，
直线的解析式为：，
令，，
所以，
此时的面积为：．
三、拓展创新
16．（2022九上·舟山期中）定义：若函数（c≠0）与轴的交点A，B的横坐标为，，与轴交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足＝（或＝），则称该函数为友好函数．如图，函数与轴的一个交点A的横坐标为-3，与y轴交点C的纵坐标为-3，满足＝，称为友好函数．
（1）判断是否为友好函数，并说明理由；
（2）请探究友好函数表达式中的b与c之间的关系；
（3）若是友好函数，∠ACB为锐角，求c的取值范围．
【答案】（1）解：是友好函数：理由如下：
当时，，当时，或3，
∴
与轴一个交点的横坐标和与轴交点的纵坐标都是3.
是友好函数.
（2）解：当时，，即与的交点的纵坐标为.
∵是友好函数.
∴时，，即在上.
代入得：，而
∴
（3）解：(i)当在轴负半轴上时，由(2)可得：，
即，显然当时，，
即与轴的一个交点为.则
∴只需满足，即.
∴.
(ⅱ)当C在y轴正半轴上时，且A与B不重合时，
∴显然都满足∠ACB为锐角.
∴c>0，且c≠1.
(ⅲ)当C与原点重合时，不符合题意.综上所述，c<-1或c>0，且c≠1.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用函数解析式，由x=0求出对应的y的值，由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，再根据友好函数的定义，可作出判断.
（2）利用函数解析式，由x=0求出y的值，利用y=2x2+bx+c是友好函数，将（0，c）代入函数解析式，可得到b，c之间的关系.
（3）利用友好函数的定义，分情况讨论：当点C在y轴的负半轴时，可知c=b-1，代入函数解析式，可得到y=x2+bx+b-1，可知当x=1时y=0，可得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∠ACO=45°，只需满足∠BCO＜45°，则BO＜CO，即可得到c的取值范围；当点C在y轴的正半轴时，点A，B不重合，显然都满足∠ACB为锐角，可得到c的取值范围；当C与原点重合时，不符合题意；综上所述，可得到c的取值范围.
17．（2023九上·义乌期末）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）.我们规定；抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区城”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点.
（1）求抛物线的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）如果抛物线经过（1，3）.
①求a的值
②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的坐标；
（3）如果抛物线在“G区域”内有4个整点，求a的取值范围，
【答案】（1）解：∵，
∴顶点P的坐标为；
（2）解：①∵抛物线经过，
∴，解得；
②由①得：，
令得，，
解得，，
∴点，点.
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
（3）解：
当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为.
当时，如图1所示，
此时有，解得；
当时，如图2所示，
此时有，解得；
综上，如果“G区域”内仅有4个整点时，则a的取值范围为或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式即可得出顶点的坐标；
（2）①将点（1，3）代入y=ax2-2ax-3a可算出a的值；②易得抛物线的解析式，令解析式中的y=0算出对应的自变量的值，可得点A、B的坐标，再令解析式中的x=0、x=1、x=2，算出对应的函数值即可判断得出 “G区域”内整点的坐标；
（3）令解析式中的x=0算出对应的函数值可得抛物线与y轴交点的坐标，分a＜0及a＞0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．
1 / 1二次函数图象与坐标轴—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2022九上·温州月考）抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2024九上·定海开学考）二次函数的图象的最高点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·温州开学考）二次函数与y轴的交点是（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数y=ax2+bx+1的图象与x轴没有交点，且过点A(-2，y1)，B(-3，y2)，C(1，y2)，D(，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2>y1>y3 B．y3>y2>y1 C．y1>y3>y2 D．y1>y2>y3
5．（2023九上·仙居期中）二次函数的图象与轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为，则另一个交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·余杭期中）已知二次函数的图象的对称轴为直线，则抛物线在轴上截得的线段长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2016九上·港南期中）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ．
8．（2023九上·安吉期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标为-5和1，则方程ax2－bx＋c=0的解为 ．
9．（2024九上·浙江期中）已知抛物线y＝x2－1．
（1）说出该抛物线的开口方向和对称轴；
（2）设该抛物线与x轴交于点A，B，求交点A，B之间的距离．
10．（2023九上·杭州月考）已知二次函数（a为常数，）．
（1）若函数经过点，求二次函数的解析式和顶点坐标．
（2）当时，求该二次函数的图象与x轴的交点个数．
（3）设，是该函数图象上的两点，其中，当时，都有，求a的取值范围．
二、能力提升
11．（2024九上·浙江月考）如图，已知在平面直角坐标系中，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点，；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于点，；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．5
12．（2023九上·金华期中）已知二次函数y=x2-2x+m的图象C与y轴交于点M，过点M作直线l平行于x轴，将抛物线C位于直线l下方的部分翻折至直线l上方．若变换后的图象与x轴有4个交点，则m的取值范围为（ ）
A．m＞—1 B．-1＜m＜0 C．-1≤m≤0 D．-1≤m＜0
13．（2023九上·滨江开学考）已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则 ．
14．（2023九上·温州期中） 如图，抛物线与x轴交于点O，E，矩形ABCD的边AB在线段OE上，点B（2，0）在点A的左侧，点C，D在抛物线上，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，则抛物线平移的距离为 ．
15．（2023九上·衢江月考）如图是二次函数的图象，其顶点坐标为．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在y轴上存在一点Q，使得周长最小，求此时构成的的面积．
三、拓展创新
16．（2022九上·舟山期中）定义：若函数（c≠0）与轴的交点A，B的横坐标为，，与轴交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足＝（或＝），则称该函数为友好函数．如图，函数与轴的一个交点A的横坐标为-3，与y轴交点C的纵坐标为-3，满足＝，称为友好函数．
（1）判断是否为友好函数，并说明理由；
（2）请探究友好函数表达式中的b与c之间的关系；
（3）若是友好函数，∠ACB为锐角，求c的取值范围．
17．（2023九上·义乌期末）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）.我们规定；抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区城”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点.
（1）求抛物线的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）如果抛物线经过（1，3）.
①求a的值
②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的坐标；
（3）如果抛物线在“G区域”内有4个整点，求a的取值范围，
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵y＝x2+4x+4，
∴=b2-4ac=16-16=0，即=0，
∴抛物线与x轴只有一个交点.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线与x轴交点个数同根的判别式符合的关系，即=0时抛物线与x轴只有一个交点，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的图象有最高点，
二次函数图象开口向下，即，
二次函数的顶点坐标为，
当二次函数的图象的最高点在轴上时，，即，解得或（正值舍去），
故答案为：B．
【分析】根据二次函数有最高点，得出，再由顶点坐标公式求出顶点坐标，根据题意得出，即可解出答案.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令，则，
∴与y轴的交点坐标是．
故答案为：C．
【分析】令二次函数y=2x2+5x-3中的x=0，算出对应的函数值，即可得到其与y轴交点的坐标.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ y=ax2+bx+1的图象与x轴没有交点
∴，即
∴a>0，函数图象开口朝上
∵过 B(-3，y2)，C(1，y2)
∴对称轴为：
∵-1>-2>-3
∴y1∵
∴y2∴y3>y2>y1
故答案为：B
【分析】根据图象与x轴无交点可得，则a>0，函数图象开口朝上，再根据二次函数性质可求出对称轴x=-1，再根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为 ，
∴一元二次方程：的一个根为，设另一根为
由韦达定理可得：
解得：
∴此函数的图象与轴的另一个交点坐标为.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点、韦达定理，根据题意可得一元二次方程的一个根为设另一根为由韦达定理可得：解得：即可求解.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y2=x2+mx的图象的对称轴为直线x=2，
解得m=-4，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
解得，
∴抛物线与轴的两个交点为，
∴抛物线在轴上截得的线段长为．
故答案为：A.
【分析】先求出的值，再求出抛物线与轴的两个交点，即可求出抛物线在轴上截得的线段长．
7．【答案】0或1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；
②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．
根据题意得：△=4﹣4m=0，
解得：m=1．
故答案为：0或1．
【分析】需要分类讨论：
①若m=0，则函数为一次函数；
②若m≠0，则函数为二次函数．由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m不为0，即可求出m的值．
8．【答案】5或-1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y= ax2+bx+c（a≠0） 的图象与x轴交点的横坐标为-5和1，
又∵抛物线y= ax2+bx+c的对称轴是，而抛物线y=ax2－bx＋c的对称轴是，
∴两抛物线开头方向，形状都相同，又关于y轴对称，
∴两抛物线与x轴的交点也关于y轴对称，
∴抛物线y=ax2－bx＋c的图象与x轴交点的横坐标为5和-1，
即方程 ax2－bx＋c=0 的解为x1=5，x2=-1.
故答案为：5或-1.
【分析】抛物线的图像与x轴的交点就是对应一元二次方程的两个根，所以本题只需要知道抛物线y=ax2－bx＋c的图象与x轴交点就能求出.
9．【答案】（1）解：开口方向向上，
对称轴是 y 轴（或直线x=0）
（2）解：把 代入 ， 得：
解得： ，
即： 交点 A， B 之间的距离 .
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²的性质
【解析】【分析】（1）根据y=ax2+k的性质解答即可；
（2）令y=0，解方程求出x值即可解题.
10．【答案】（1）解：∵函数y=x2+ax+a的图象经过点（-2，5），
∴（-2）2-2a+a=5，
解得：a=-1，
y=x2-x-1=(x-)2-，
∴ 二次函数的解析式为：y=x2-x-1；
顶点坐标（，-）.
（2）解：b2-4ac=a2-4a=a(a-4)，
∵0＜a＜4，
∴a-4＜0，a＞0，
∴a(a-4)＜0，
∴该二次函数的图象与x轴没有交点.
（3）解：∵M（x1，y1）N（x2，y2）是函数图象上的两点，
∴y1=x12+ax1+a，y2=x22+ax2+a，
∴y1-y2=（x12+ax1+a）-（x22+ax2+a）
=x12-x22+a（x1-x2）
=（x1-x2）（x1+x2）+a（x1-x2）
=（x1-x2）（x1+x2+a）
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0，
∵y1＜y2，
∴（x1-x2）（x1+x2+a）＜0，
∴x1+x2+a＞0，
∴x1+x2＞-a，
又∵x1+x2＞4，
∴-a≤4，
∴a≥-4，
∵a≠0，
∴a的取值范围是：且.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）由题意，将点（-2，5）代入函数解析式可得关于a的方程，解方程求出a的值，即可得二次函数的解析式；将抛物线的解析式配成顶点式，即可得抛物线的顶点坐标；
（2）计算判别式b2-4ac的值，根据b2-4ac的符号即可判断该二次函数的图象与x轴的交点个数；
（3）由题意将M（x1，y1）N（x2，y2）代入可将y1与y2表示出来，再计算y1-y2所表示的代数式，整理可得，由已知条件，及，即可求出a的取值范围．
（1）将点的坐标代入函数解析式，得，
解得；
因此，二次函数的解析式为；
，，
该二次函数的顶点坐标为；
（2）令，则，
当时，，
则该二次函数的图象与x轴没有交点；
（3），是该函数图象上的两点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
且．
11．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；探索规律-函数上点的规律；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：对于，当时，，
解得：，
∴．
∵，
∴．
由题意可知，，
∴可设：，
将代入，得：，
解得：，
∴．
由题意又可知整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，
∵，
∴m的值等于时的纵坐标，
∴．
故答案为：B．
【分析】令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值可求出，将抛物线的解析式配成顶点式可得，由旋转的性质从而可求出，，进而利用待定系数法求出C2的解析式，再根据整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，由，即可知m的值等于时的纵坐标，从而即可得出答案．
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：因为翻折后与轴有4个交点，所以，
又因为二次函数，顶点为，
顶点关于的对称点为，
翻折后二次函数为，
所以，
所以，
故答案为：.
【分析】由题意可得，再由顶点式写出顶点坐标，结合翻折后点的坐标特征写出翻折后的二次函数解析式，即可得解．
13．【答案】或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：函数的图象与坐标轴只有两个交点 ，①当m=0时，函数方程为：该直线与坐标轴必有两个交点，②当且二次函数与x轴只有一个交点时，解得：此时二次函数的方程为：，与y轴有一个交点符合题意，③当且二次函数与x轴有两个交点时，则二次函数一定经过原点，则即m=2.综上所述m的值为或或.
故答案为：或或.
【分析】本题主要考查二次函数的图象的基本性质，根据分①m=0，②当且二次函数与x轴只有一个交点，③当且二次函数与x轴有两个交点时，则二次函数一定经过原点三种情况进行求解即可.
14．【答案】3
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；矩形的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：连接AC，BD相交于点P，取OC的中点Q，连接PQ，
，
∴抛物线的对称轴为直线x=4，
∵点B（2，0），
∴点A（6，0），
当x=2时，
∴点C（2，-3）
∵GH平分矩形ABCD的面积，
∴直线GH经过点P，点P是AC的中点，
∴点P（4，-1.5）
∵平移，四边形OCHG是平行四边形，
∴PQ=CH，
∴PQ=OA，
∵OA=6，
∴CH=PQ=3，
∴抛物线向右平移的距离为3个单位长度.
故答案为：3.
【分析】连接AC，BD相交于点P，取OC的中点Q，连接PQ，利用抛物线的解析式可求出抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性，可得到点A的坐标，再将x=2代入函数解析式，可求出点C的坐标*；利用GH平分矩形ABCD的面积，可知直线GH经过点P，点P是AC的中点，利用点A，C的坐标可求出点P的坐标，利用平移可知四边形OCHG是平行四边形，可证得PQ=CH，同时可证得PQ=OA，即可求出CH，PQ的长，即可求解.
15．【答案】（1）解：是二次函数的顶点坐标，
，
令，解得：，，
，两点的坐标分别为，；
故答案为：，.
（2）解：结论：存在。理由：由（1）可得：AB=3-（-1）=4，
设，则，
又，，
，即，
二次函数的最小值为，
，
将代入可得：，
解得：或．
∴点坐标为或，
故答案为：存在，或.
（3）解：作关于轴对称点为，连接交轴于，如图所示：
此时的值最小，即周长最小，
设直线的解析式为，，，
将，分别代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为：，
将代入可得：，
∴，
此时的面积为：．
故答案为：3.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；两点之间线段最短；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用点M的坐标即可得到函数解析式，再令，解关于的一元二次方程即可得到点、的坐标；
（2）设，则，再结合，，列出方程求解即可；
（3）存在．作关于轴对称点为，连接交轴于，此时的值最小．求出直线的解析式即可得到点Q的坐标，再利用割补法计算面积即可．
（1）解：是二次函数的顶点坐标，
，
令，解之得，，
，两点的坐标分别为，；
（2）在二次函数的图象上存在点，使，设，
则，
又，
，即，
二次函数的最小值为，
，
当时，，
解得：或．
故点坐标为或；
（3）如图，作关于轴对称点为，连接交轴于，
此时的值最小，即周长最小，
设直线的解析式为，，，
所以，
解之，，
直线的解析式为：，
令，，
所以，
此时的面积为：．
16．【答案】（1）解：是友好函数：理由如下：
当时，，当时，或3，
∴
与轴一个交点的横坐标和与轴交点的纵坐标都是3.
是友好函数.
（2）解：当时，，即与的交点的纵坐标为.
∵是友好函数.
∴时，，即在上.
代入得：，而
∴
（3）解：(i)当在轴负半轴上时，由(2)可得：，
即，显然当时，，
即与轴的一个交点为.则
∴只需满足，即.
∴.
(ⅱ)当C在y轴正半轴上时，且A与B不重合时，
∴显然都满足∠ACB为锐角.
∴c>0，且c≠1.
(ⅲ)当C与原点重合时，不符合题意.综上所述，c<-1或c>0，且c≠1.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用函数解析式，由x=0求出对应的y的值，由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，再根据友好函数的定义，可作出判断.
（2）利用函数解析式，由x=0求出y的值，利用y=2x2+bx+c是友好函数，将（0，c）代入函数解析式，可得到b，c之间的关系.
（3）利用友好函数的定义，分情况讨论：当点C在y轴的负半轴时，可知c=b-1，代入函数解析式，可得到y=x2+bx+b-1，可知当x=1时y=0，可得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∠ACO=45°，只需满足∠BCO＜45°，则BO＜CO，即可得到c的取值范围；当点C在y轴的正半轴时，点A，B不重合，显然都满足∠ACB为锐角，可得到c的取值范围；当C与原点重合时，不符合题意；综上所述，可得到c的取值范围.
17．【答案】（1）解：∵，
∴顶点P的坐标为；
（2）解：①∵抛物线经过，
∴，解得；
②由①得：，
令得，，
解得，，
∴点，点.
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
（3）解：
当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为.
当时，如图1所示，
此时有，解得；
当时，如图2所示，
此时有，解得；
综上，如果“G区域”内仅有4个整点时，则a的取值范围为或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式即可得出顶点的坐标；
（2）①将点（1，3）代入y=ax2-2ax-3a可算出a的值；②易得抛物线的解析式，令解析式中的y=0算出对应的自变量的值，可得点A、B的坐标，再令解析式中的x=0、x=1、x=2，算出对应的函数值即可判断得出 “G区域”内整点的坐标；
（3）令解析式中的x=0算出对应的函数值可得抛物线与y轴交点的坐标，分a＜0及a＞0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．
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