二次函数图象与坐标轴—浙教版数学九(上)知识点训练
一、基础夯实
1.(2022九上·温州月考)抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:∵y=x2+4x+4,
∴=b2-4ac=16-16=0,即=0,
∴抛物线与x轴只有一个交点.
故答案为:B.
【分析】根据抛物线与x轴交点个数同根的判别式符合的关系,即=0时抛物线与x轴只有一个交点,即可求解.
2.(2024九上·定海开学考)二次函数的图象的最高点在轴上,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解:二次函数的图象有最高点,
二次函数图象开口向下,即,
二次函数的顶点坐标为,
当二次函数的图象的最高点在轴上时,,即,解得或(正值舍去),
故答案为:B.
【分析】根据二次函数有最高点,得出,再由顶点坐标公式求出顶点坐标,根据题意得出,即可解出答案.
3.(2024九上·温州开学考)二次函数与y轴的交点是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:令,则,
∴与y轴的交点坐标是.
故答案为:C.
【分析】令二次函数y=2x2+5x-3中的x=0,算出对应的函数值,即可得到其与y轴交点的坐标.
4.已知二次函数y=ax2+bx+1的图象与x轴没有交点,且过点A(-2,y1),B(-3,y2),C(1,y2),D(,y3),则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y2>y1>y3 B.y3>y2>y1 C.y1>y3>y2 D.y1>y2>y3
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解:∵ y=ax2+bx+1的图象与x轴没有交点
∴,即
∴a>0,函数图象开口朝上
∵过 B(-3,y2),C(1,y2)
∴对称轴为:
∵-1>-2>-3
∴y1∵
∴y2∴y3>y2>y1
故答案为:B
【分析】根据图象与x轴无交点可得,则a>0,函数图象开口朝上,再根据二次函数性质可求出对称轴x=-1,再根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
5.(2023九上·仙居期中)二次函数的图象与轴有两个交点,若其中一个交点的坐标为,则另一个交点坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:∵二次函数的图象与轴有两个交点,若其中一个交点的坐标为 ,
∴一元二次方程:的一个根为,设另一根为
由韦达定理可得:
解得:
∴此函数的图象与轴的另一个交点坐标为.
故答案为:C.
【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点、韦达定理,根据题意可得一元二次方程的一个根为设另一根为由韦达定理可得:解得:即可求解.
6.(2023九上·余杭期中)已知二次函数的图象的对称轴为直线,则抛物线在轴上截得的线段长为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:∵二次函数y2=x2+mx的图象的对称轴为直线x=2,
解得m=-4,
∴抛物线的解析式为:,
当时,,
解得,
∴抛物线与轴的两个交点为,
∴抛物线在轴上截得的线段长为.
故答案为:A.
【分析】先求出的值,再求出抛物线与轴的两个交点,即可求出抛物线在轴上截得的线段长.
7.(2016九上·港南期中)若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是 .
【答案】0或1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;一次函数的性质
【解析】【解答】解:①若m=0,则函数y=2x+1,是一次函数,与x轴只有一个交点;
②若m≠0,则函数y=mx2+2x+1,是二次函数.
根据题意得:△=4﹣4m=0,
解得:m=1.
故答案为:0或1.
【分析】需要分类讨论:
①若m=0,则函数为一次函数;
②若m≠0,则函数为二次函数.由抛物线与x轴只有一个交点,得到根的判别式的值等于0,且m不为0,即可求出m的值.
8.(2023九上·安吉期中)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标为-5和1,则方程ax2-bx+c=0的解为 .
【答案】5或-1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:∵抛物线y= ax2+bx+c(a≠0) 的图象与x轴交点的横坐标为-5和1,
又∵抛物线y= ax2+bx+c的对称轴是,而抛物线y=ax2-bx+c的对称轴是,
∴两抛物线开头方向,形状都相同,又关于y轴对称,
∴两抛物线与x轴的交点也关于y轴对称,
∴抛物线y=ax2-bx+c的图象与x轴交点的横坐标为5和-1,
即方程 ax2-bx+c=0 的解为x1=5,x2=-1.
故答案为:5或-1.
【分析】抛物线的图像与x轴的交点就是对应一元二次方程的两个根,所以本题只需要知道抛物线y=ax2-bx+c的图象与x轴交点就能求出.
9.(2024九上·浙江期中)已知抛物线y=x2-1.
(1)说出该抛物线的开口方向和对称轴;
(2)设该抛物线与x轴交于点A,B,求交点A,B之间的距离.
【答案】(1)解:开口方向向上,
对称轴是 y 轴(或直线x=0)
(2)解:把 代入 , 得:
解得: ,
即: 交点 A, B 之间的距离 .
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数y=ax²的性质
【解析】【分析】(1)根据y=ax2+k的性质解答即可;
(2)令y=0,解方程求出x值即可解题.
10.(2023九上·杭州月考)已知二次函数(a为常数,).
(1)若函数经过点,求二次函数的解析式和顶点坐标.
(2)当时,求该二次函数的图象与x轴的交点个数.
(3)设,是该函数图象上的两点,其中,当时,都有,求a的取值范围.
【答案】(1)解:∵函数y=x2+ax+a的图象经过点(-2,5),
∴(-2)2-2a+a=5,
解得:a=-1,
y=x2-x-1=(x-)2-,
∴ 二次函数的解析式为:y=x2-x-1;
顶点坐标(,-).
(2)解:b2-4ac=a2-4a=a(a-4),
∵0<a<4,
∴a-4<0,a>0,
∴a(a-4)<0,
∴该二次函数的图象与x轴没有交点.
(3)解:∵M(x1,y1)N(x2,y2)是函数图象上的两点,
∴y1=x12+ax1+a,y2=x22+ax2+a,
∴y1-y2=(x12+ax1+a)-(x22+ax2+a)
=x12-x22+a(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2)+a(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2+a)
∵x1<x2,
∴x1-x2<0,
∵y1<y2,
∴(x1-x2)(x1+x2+a)<0,
∴x1+x2+a>0,
∴x1+x2>-a,
又∵x1+x2>4,
∴-a≤4,
∴a≥-4,
∵a≠0,
∴a的取值范围是:且.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)由题意,将点(-2,5)代入函数解析式可得关于a的方程,解方程求出a的值,即可得二次函数的解析式;将抛物线的解析式配成顶点式,即可得抛物线的顶点坐标;
(2)计算判别式b2-4ac的值,根据b2-4ac的符号即可判断该二次函数的图象与x轴的交点个数;
(3)由题意将M(x1,y1)N(x2,y2)代入可将y1与y2表示出来,再计算y1-y2所表示的代数式,整理可得,由已知条件,及,即可求出a的取值范围.
(1)将点的坐标代入函数解析式,得,
解得;
因此,二次函数的解析式为;
,,
该二次函数的顶点坐标为;
(2)令,则,
当时,,
则该二次函数的图象与x轴没有交点;
(3),是该函数图象上的两点,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
且.
二、能力提升
11.(2024九上·浙江月考)如图,已知在平面直角坐标系中,一段抛物线,记为抛物线,它与轴交于点,;将抛物线绕点旋转得抛物线,交轴于点,;将抛物线绕点,旋转得抛物线,交轴于点,;……如此进行下去,得到一条“波浪线”,若点在此“波浪线”上,则的值为( )
A. B. C.9 D.5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;探索规律-函数上点的规律;二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解:对于,当时,,
解得:,
∴.
∵,
∴.
由题意可知,,
∴可设:,
将代入,得:,
解得:,
∴.
由题意又可知整个函数图象每隔个单位长度,函数值就相等,
∵,
∴m的值等于时的纵坐标,
∴.
故答案为:B.
【分析】令抛物线解析式中的y=0,算出对应的自变量x的值可求出,将抛物线的解析式配成顶点式可得,由旋转的性质从而可求出,,进而利用待定系数法求出C2的解析式,再根据整个函数图象每隔个单位长度,函数值就相等,由,即可知m的值等于时的纵坐标,从而即可得出答案.
12.(2023九上·金华期中)已知二次函数y=x2-2x+m的图象C与y轴交于点M,过点M作直线l平行于x轴,将抛物线C位于直线l下方的部分翻折至直线l上方.若变换后的图象与x轴有4个交点,则m的取值范围为( )
A.m>—1 B.-1<m<0 C.-1≤m≤0 D.-1≤m<0
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:因为翻折后与轴有4个交点,所以,
又因为二次函数,顶点为,
顶点关于的对称点为,
翻折后二次函数为,
所以,
所以,
故答案为:.
【分析】由题意可得,再由顶点式写出顶点坐标,结合翻折后点的坐标特征写出翻折后的二次函数解析式,即可得解.
13.(2023九上·滨江开学考)已知函数的图象与坐标轴只有两个交点,则 .
【答案】或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:函数的图象与坐标轴只有两个交点 ,①当m=0时,函数方程为:该直线与坐标轴必有两个交点,②当且二次函数与x轴只有一个交点时,解得:此时二次函数的方程为:,与y轴有一个交点符合题意,③当且二次函数与x轴有两个交点时,则二次函数一定经过原点,则即m=2.综上所述m的值为或或.
故答案为:或或.
【分析】本题主要考查二次函数的图象的基本性质,根据分①m=0,②当且二次函数与x轴只有一个交点,③当且二次函数与x轴有两个交点时,则二次函数一定经过原点三种情况进行求解即可.
14.(2023九上·温州期中) 如图,抛物线与x轴交于点O,E,矩形ABCD的边AB在线段OE上,点B(2,0)在点A的左侧,点C,D在抛物线上,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,则抛物线平移的距离为 .
【答案】3
【知识点】二次函数图象的几何变换;二次函数图象与坐标轴的交点问题;矩形的性质;二次函数y=a(x-h)²+k的性质
【解析】【解答】解:连接AC,BD相交于点P,取OC的中点Q,连接PQ,
,
∴抛物线的对称轴为直线x=4,
∵点B(2,0),
∴点A(6,0),
当x=2时,
∴点C(2,-3)
∵GH平分矩形ABCD的面积,
∴直线GH经过点P,点P是AC的中点,
∴点P(4,-1.5)
∵平移,四边形OCHG是平行四边形,
∴PQ=CH,
∴PQ=OA,
∵OA=6,
∴CH=PQ=3,
∴抛物线向右平移的距离为3个单位长度.
故答案为:3.
【分析】连接AC,BD相交于点P,取OC的中点Q,连接PQ,利用抛物线的解析式可求出抛物线的对称轴,利用二次函数的对称性,可得到点A的坐标,再将x=2代入函数解析式,可求出点C的坐标*;利用GH平分矩形ABCD的面积,可知直线GH经过点P,点P是AC的中点,利用点A,C的坐标可求出点P的坐标,利用平移可知四边形OCHG是平行四边形,可证得PQ=CH,同时可证得PQ=OA,即可求出CH,PQ的长,即可求解.
15.(2023九上·衢江月考)如图是二次函数的图象,其顶点坐标为.
(1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标;
(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在y轴上存在一点Q,使得周长最小,求此时构成的的面积.
【答案】(1)解:是二次函数的顶点坐标,
,
令,解得:,,
,两点的坐标分别为,;
故答案为:,.
(2)解:结论:存在。理由:由(1)可得:AB=3-(-1)=4,
设,则,
又,,
,即,
二次函数的最小值为,
,
将代入可得:,
解得:或.
∴点坐标为或,
故答案为:存在,或.
(3)解:作关于轴对称点为,连接交轴于,如图所示:
此时的值最小,即周长最小,
设直线的解析式为,,,
将,分别代入,
可得:,
解得:,
直线的解析式为:,
将代入可得:,
∴,
此时的面积为:.
故答案为:3.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;两点之间线段最短;二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)利用点M的坐标即可得到函数解析式,再令,解关于的一元二次方程即可得到点、的坐标;
(2)设,则,再结合,,列出方程求解即可;
(3)存在.作关于轴对称点为,连接交轴于,此时的值最小.求出直线的解析式即可得到点Q的坐标,再利用割补法计算面积即可.
(1)解:是二次函数的顶点坐标,
,
令,解之得,,
,两点的坐标分别为,;
(2)在二次函数的图象上存在点,使,设,
则,
又,
,即,
二次函数的最小值为,
,
当时,,
解得:或.
故点坐标为或;
(3)如图,作关于轴对称点为,连接交轴于,
此时的值最小,即周长最小,
设直线的解析式为,,,
所以,
解之,,
直线的解析式为:,
令,,
所以,
此时的面积为:.
三、拓展创新
16.(2022九上·舟山期中)定义:若函数(c≠0)与轴的交点A,B的横坐标为,,与轴交点的纵坐标为,若,中至少存在一个值,满足=(或=),则称该函数为友好函数.如图,函数与轴的一个交点A的横坐标为-3,与y轴交点C的纵坐标为-3,满足=,称为友好函数.
(1)判断是否为友好函数,并说明理由;
(2)请探究友好函数表达式中的b与c之间的关系;
(3)若是友好函数,∠ACB为锐角,求c的取值范围.
【答案】(1)解:是友好函数:理由如下:
当时,,当时,或3,
∴
与轴一个交点的横坐标和与轴交点的纵坐标都是3.
是友好函数.
(2)解:当时,,即与的交点的纵坐标为.
∵是友好函数.
∴时,,即在上.
代入得:,而
∴
(3)解:(i)当在轴负半轴上时,由(2)可得:,
即,显然当时,,
即与轴的一个交点为.则
∴只需满足,即.
∴.
(ⅱ)当C在y轴正半轴上时,且A与B不重合时,
∴显然都满足∠ACB为锐角.
∴c>0,且c≠1.
(ⅲ)当C与原点重合时,不符合题意.综上所述,c<-1或c>0,且c≠1.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)利用函数解析式,由x=0求出对应的y的值,由y=0可得到关于x的方程,解方程求出x的值,再根据友好函数的定义,可作出判断.
(2)利用函数解析式,由x=0求出y的值,利用y=2x2+bx+c是友好函数,将(0,c)代入函数解析式,可得到b,c之间的关系.
(3)利用友好函数的定义,分情况讨论:当点C在y轴的负半轴时,可知c=b-1,代入函数解析式,可得到y=x2+bx+b-1,可知当x=1时y=0,可得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0),∠ACO=45°,只需满足∠BCO<45°,则BO<CO,即可得到c的取值范围;当点C在y轴的正半轴时,点A,B不重合,显然都满足∠ACB为锐角,可得到c的取值范围;当C与原点重合时,不符合题意;综上所述,可得到c的取值范围.
17.(2023九上·义乌期末)在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为P,且该抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).我们规定;抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区城”(不包含边界),横、纵坐标都是整数的点称为整点.
(1)求抛物线的顶点P的坐标(用含a的代数式表示);
(2)如果抛物线经过(1,3).
①求a的值
②在①的条件下,直接写出“G区域”内整点的坐标;
(3)如果抛物线在“G区域”内有4个整点,求a的取值范围,
【答案】(1)解:∵,
∴顶点P的坐标为;
(2)解:①∵抛物线经过,
∴,解得;
②由①得:,
令得,,
解得,,
∴点,点.
当时,,
∴,两个整点在“G区域”;
当时,,
∴,两个整点在“G区域”;
当时,,
∴,两个整点在“G区域”;
(3)解:
当时,,
∴抛物线与y轴的交点坐标为.
当时,如图1所示,
此时有,解得;
当时,如图2所示,
此时有,解得;
综上,如果“G区域”内仅有4个整点时,则a的取值范围为或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax²+bx+c的图象;二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)将抛物线的解析式配成顶点式即可得出顶点的坐标;
(2)①将点(1,3)代入y=ax2-2ax-3a可算出a的值;②易得抛物线的解析式,令解析式中的y=0算出对应的自变量的值,可得点A、B的坐标,再令解析式中的x=0、x=1、x=2,算出对应的函数值即可判断得出 “G区域”内整点的坐标;
(3)令解析式中的x=0算出对应的函数值可得抛物线与y轴交点的坐标,分a<0及a>0两种情况考虑,依照题意画出图形,结合图形找出关于a的不等式组,解之即可得出结论.
1 / 1二次函数图象与坐标轴—浙教版数学九(上)知识点训练
一、基础夯实
1.(2022九上·温州月考)抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.(2024九上·定海开学考)二次函数的图象的最高点在轴上,则的值为( )
A. B. C. D.
3.(2024九上·温州开学考)二次函数与y轴的交点是( )
A. B. C. D.
4.已知二次函数y=ax2+bx+1的图象与x轴没有交点,且过点A(-2,y1),B(-3,y2),C(1,y2),D(,y3),则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y2>y1>y3 B.y3>y2>y1 C.y1>y3>y2 D.y1>y2>y3
5.(2023九上·仙居期中)二次函数的图象与轴有两个交点,若其中一个交点的坐标为,则另一个交点坐标为( )
A. B. C. D.
6.(2023九上·余杭期中)已知二次函数的图象的对称轴为直线,则抛物线在轴上截得的线段长为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
7.(2016九上·港南期中)若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是 .
8.(2023九上·安吉期中)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标为-5和1,则方程ax2-bx+c=0的解为 .
9.(2024九上·浙江期中)已知抛物线y=x2-1.
(1)说出该抛物线的开口方向和对称轴;
(2)设该抛物线与x轴交于点A,B,求交点A,B之间的距离.
10.(2023九上·杭州月考)已知二次函数(a为常数,).
(1)若函数经过点,求二次函数的解析式和顶点坐标.
(2)当时,求该二次函数的图象与x轴的交点个数.
(3)设,是该函数图象上的两点,其中,当时,都有,求a的取值范围.
二、能力提升
11.(2024九上·浙江月考)如图,已知在平面直角坐标系中,一段抛物线,记为抛物线,它与轴交于点,;将抛物线绕点旋转得抛物线,交轴于点,;将抛物线绕点,旋转得抛物线,交轴于点,;……如此进行下去,得到一条“波浪线”,若点在此“波浪线”上,则的值为( )
A. B. C.9 D.5
12.(2023九上·金华期中)已知二次函数y=x2-2x+m的图象C与y轴交于点M,过点M作直线l平行于x轴,将抛物线C位于直线l下方的部分翻折至直线l上方.若变换后的图象与x轴有4个交点,则m的取值范围为( )
A.m>—1 B.-1<m<0 C.-1≤m≤0 D.-1≤m<0
13.(2023九上·滨江开学考)已知函数的图象与坐标轴只有两个交点,则 .
14.(2023九上·温州期中) 如图,抛物线与x轴交于点O,E,矩形ABCD的边AB在线段OE上,点B(2,0)在点A的左侧,点C,D在抛物线上,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,则抛物线平移的距离为 .
15.(2023九上·衢江月考)如图是二次函数的图象,其顶点坐标为.
(1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标;
(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在y轴上存在一点Q,使得周长最小,求此时构成的的面积.
三、拓展创新
16.(2022九上·舟山期中)定义:若函数(c≠0)与轴的交点A,B的横坐标为,,与轴交点的纵坐标为,若,中至少存在一个值,满足=(或=),则称该函数为友好函数.如图,函数与轴的一个交点A的横坐标为-3,与y轴交点C的纵坐标为-3,满足=,称为友好函数.
(1)判断是否为友好函数,并说明理由;
(2)请探究友好函数表达式中的b与c之间的关系;
(3)若是友好函数,∠ACB为锐角,求c的取值范围.
17.(2023九上·义乌期末)在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为P,且该抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).我们规定;抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区城”(不包含边界),横、纵坐标都是整数的点称为整点.
(1)求抛物线的顶点P的坐标(用含a的代数式表示);
(2)如果抛物线经过(1,3).
①求a的值
②在①的条件下,直接写出“G区域”内整点的坐标;
(3)如果抛物线在“G区域”内有4个整点,求a的取值范围,
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:∵y=x2+4x+4,
∴=b2-4ac=16-16=0,即=0,
∴抛物线与x轴只有一个交点.
故答案为:B.
【分析】根据抛物线与x轴交点个数同根的判别式符合的关系,即=0时抛物线与x轴只有一个交点,即可求解.
2.【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解:二次函数的图象有最高点,
二次函数图象开口向下,即,
二次函数的顶点坐标为,
当二次函数的图象的最高点在轴上时,,即,解得或(正值舍去),
故答案为:B.
【分析】根据二次函数有最高点,得出,再由顶点坐标公式求出顶点坐标,根据题意得出,即可解出答案.
3.【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:令,则,
∴与y轴的交点坐标是.
故答案为:C.
【分析】令二次函数y=2x2+5x-3中的x=0,算出对应的函数值,即可得到其与y轴交点的坐标.
4.【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解:∵ y=ax2+bx+1的图象与x轴没有交点
∴,即
∴a>0,函数图象开口朝上
∵过 B(-3,y2),C(1,y2)
∴对称轴为:
∵-1>-2>-3
∴y1∵
∴y2∴y3>y2>y1
故答案为:B
【分析】根据图象与x轴无交点可得,则a>0,函数图象开口朝上,再根据二次函数性质可求出对称轴x=-1,再根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
5.【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:∵二次函数的图象与轴有两个交点,若其中一个交点的坐标为 ,
∴一元二次方程:的一个根为,设另一根为
由韦达定理可得:
解得:
∴此函数的图象与轴的另一个交点坐标为.
故答案为:C.
【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点、韦达定理,根据题意可得一元二次方程的一个根为设另一根为由韦达定理可得:解得:即可求解.
6.【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:∵二次函数y2=x2+mx的图象的对称轴为直线x=2,
解得m=-4,
∴抛物线的解析式为:,
当时,,
解得,
∴抛物线与轴的两个交点为,
∴抛物线在轴上截得的线段长为.
故答案为:A.
【分析】先求出的值,再求出抛物线与轴的两个交点,即可求出抛物线在轴上截得的线段长.
7.【答案】0或1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;一次函数的性质
【解析】【解答】解:①若m=0,则函数y=2x+1,是一次函数,与x轴只有一个交点;
②若m≠0,则函数y=mx2+2x+1,是二次函数.
根据题意得:△=4﹣4m=0,
解得:m=1.
故答案为:0或1.
【分析】需要分类讨论:
①若m=0,则函数为一次函数;
②若m≠0,则函数为二次函数.由抛物线与x轴只有一个交点,得到根的判别式的值等于0,且m不为0,即可求出m的值.
8.【答案】5或-1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:∵抛物线y= ax2+bx+c(a≠0) 的图象与x轴交点的横坐标为-5和1,
又∵抛物线y= ax2+bx+c的对称轴是,而抛物线y=ax2-bx+c的对称轴是,
∴两抛物线开头方向,形状都相同,又关于y轴对称,
∴两抛物线与x轴的交点也关于y轴对称,
∴抛物线y=ax2-bx+c的图象与x轴交点的横坐标为5和-1,
即方程 ax2-bx+c=0 的解为x1=5,x2=-1.
故答案为:5或-1.
【分析】抛物线的图像与x轴的交点就是对应一元二次方程的两个根,所以本题只需要知道抛物线y=ax2-bx+c的图象与x轴交点就能求出.
9.【答案】(1)解:开口方向向上,
对称轴是 y 轴(或直线x=0)
(2)解:把 代入 , 得:
解得: ,
即: 交点 A, B 之间的距离 .
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数y=ax²的性质
【解析】【分析】(1)根据y=ax2+k的性质解答即可;
(2)令y=0,解方程求出x值即可解题.
10.【答案】(1)解:∵函数y=x2+ax+a的图象经过点(-2,5),
∴(-2)2-2a+a=5,
解得:a=-1,
y=x2-x-1=(x-)2-,
∴ 二次函数的解析式为:y=x2-x-1;
顶点坐标(,-).
(2)解:b2-4ac=a2-4a=a(a-4),
∵0<a<4,
∴a-4<0,a>0,
∴a(a-4)<0,
∴该二次函数的图象与x轴没有交点.
(3)解:∵M(x1,y1)N(x2,y2)是函数图象上的两点,
∴y1=x12+ax1+a,y2=x22+ax2+a,
∴y1-y2=(x12+ax1+a)-(x22+ax2+a)
=x12-x22+a(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2)+a(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2+a)
∵x1<x2,
∴x1-x2<0,
∵y1<y2,
∴(x1-x2)(x1+x2+a)<0,
∴x1+x2+a>0,
∴x1+x2>-a,
又∵x1+x2>4,
∴-a≤4,
∴a≥-4,
∵a≠0,
∴a的取值范围是:且.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)由题意,将点(-2,5)代入函数解析式可得关于a的方程,解方程求出a的值,即可得二次函数的解析式;将抛物线的解析式配成顶点式,即可得抛物线的顶点坐标;
(2)计算判别式b2-4ac的值,根据b2-4ac的符号即可判断该二次函数的图象与x轴的交点个数;
(3)由题意将M(x1,y1)N(x2,y2)代入可将y1与y2表示出来,再计算y1-y2所表示的代数式,整理可得,由已知条件,及,即可求出a的取值范围.
(1)将点的坐标代入函数解析式,得,
解得;
因此,二次函数的解析式为;
,,
该二次函数的顶点坐标为;
(2)令,则,
当时,,
则该二次函数的图象与x轴没有交点;
(3),是该函数图象上的两点,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
且.
11.【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;探索规律-函数上点的规律;二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解:对于,当时,,
解得:,
∴.
∵,
∴.
由题意可知,,
∴可设:,
将代入,得:,
解得:,
∴.
由题意又可知整个函数图象每隔个单位长度,函数值就相等,
∵,
∴m的值等于时的纵坐标,
∴.
故答案为:B.
【分析】令抛物线解析式中的y=0,算出对应的自变量x的值可求出,将抛物线的解析式配成顶点式可得,由旋转的性质从而可求出,,进而利用待定系数法求出C2的解析式,再根据整个函数图象每隔个单位长度,函数值就相等,由,即可知m的值等于时的纵坐标,从而即可得出答案.
12.【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:因为翻折后与轴有4个交点,所以,
又因为二次函数,顶点为,
顶点关于的对称点为,
翻折后二次函数为,
所以,
所以,
故答案为:.
【分析】由题意可得,再由顶点式写出顶点坐标,结合翻折后点的坐标特征写出翻折后的二次函数解析式,即可得解.
13.【答案】或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:函数的图象与坐标轴只有两个交点 ,①当m=0时,函数方程为:该直线与坐标轴必有两个交点,②当且二次函数与x轴只有一个交点时,解得:此时二次函数的方程为:,与y轴有一个交点符合题意,③当且二次函数与x轴有两个交点时,则二次函数一定经过原点,则即m=2.综上所述m的值为或或.
故答案为:或或.
【分析】本题主要考查二次函数的图象的基本性质,根据分①m=0,②当且二次函数与x轴只有一个交点,③当且二次函数与x轴有两个交点时,则二次函数一定经过原点三种情况进行求解即可.
14.【答案】3
【知识点】二次函数图象的几何变换;二次函数图象与坐标轴的交点问题;矩形的性质;二次函数y=a(x-h)²+k的性质
【解析】【解答】解:连接AC,BD相交于点P,取OC的中点Q,连接PQ,
,
∴抛物线的对称轴为直线x=4,
∵点B(2,0),
∴点A(6,0),
当x=2时,
∴点C(2,-3)
∵GH平分矩形ABCD的面积,
∴直线GH经过点P,点P是AC的中点,
∴点P(4,-1.5)
∵平移,四边形OCHG是平行四边形,
∴PQ=CH,
∴PQ=OA,
∵OA=6,
∴CH=PQ=3,
∴抛物线向右平移的距离为3个单位长度.
故答案为:3.
【分析】连接AC,BD相交于点P,取OC的中点Q,连接PQ,利用抛物线的解析式可求出抛物线的对称轴,利用二次函数的对称性,可得到点A的坐标,再将x=2代入函数解析式,可求出点C的坐标*;利用GH平分矩形ABCD的面积,可知直线GH经过点P,点P是AC的中点,利用点A,C的坐标可求出点P的坐标,利用平移可知四边形OCHG是平行四边形,可证得PQ=CH,同时可证得PQ=OA,即可求出CH,PQ的长,即可求解.
15.【答案】(1)解:是二次函数的顶点坐标,
,
令,解得:,,
,两点的坐标分别为,;
故答案为:,.
(2)解:结论:存在。理由:由(1)可得:AB=3-(-1)=4,
设,则,
又,,
,即,
二次函数的最小值为,
,
将代入可得:,
解得:或.
∴点坐标为或,
故答案为:存在,或.
(3)解:作关于轴对称点为,连接交轴于,如图所示:
此时的值最小,即周长最小,
设直线的解析式为,,,
将,分别代入,
可得:,
解得:,
直线的解析式为:,
将代入可得:,
∴,
此时的面积为:.
故答案为:3.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;两点之间线段最短;二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)利用点M的坐标即可得到函数解析式,再令,解关于的一元二次方程即可得到点、的坐标;
(2)设,则,再结合,,列出方程求解即可;
(3)存在.作关于轴对称点为,连接交轴于,此时的值最小.求出直线的解析式即可得到点Q的坐标,再利用割补法计算面积即可.
(1)解:是二次函数的顶点坐标,
,
令,解之得,,
,两点的坐标分别为,;
(2)在二次函数的图象上存在点,使,设,
则,
又,
,即,
二次函数的最小值为,
,
当时,,
解得:或.
故点坐标为或;
(3)如图,作关于轴对称点为,连接交轴于,
此时的值最小,即周长最小,
设直线的解析式为,,,
所以,
解之,,
直线的解析式为:,
令,,
所以,
此时的面积为:.
16.【答案】(1)解:是友好函数:理由如下:
当时,,当时,或3,
∴
与轴一个交点的横坐标和与轴交点的纵坐标都是3.
是友好函数.
(2)解:当时,,即与的交点的纵坐标为.
∵是友好函数.
∴时,,即在上.
代入得:,而
∴
(3)解:(i)当在轴负半轴上时,由(2)可得:,
即,显然当时,,
即与轴的一个交点为.则
∴只需满足,即.
∴.
(ⅱ)当C在y轴正半轴上时,且A与B不重合时,
∴显然都满足∠ACB为锐角.
∴c>0,且c≠1.
(ⅲ)当C与原点重合时,不符合题意.综上所述,c<-1或c>0,且c≠1.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)利用函数解析式,由x=0求出对应的y的值,由y=0可得到关于x的方程,解方程求出x的值,再根据友好函数的定义,可作出判断.
(2)利用函数解析式,由x=0求出y的值,利用y=2x2+bx+c是友好函数,将(0,c)代入函数解析式,可得到b,c之间的关系.
(3)利用友好函数的定义,分情况讨论:当点C在y轴的负半轴时,可知c=b-1,代入函数解析式,可得到y=x2+bx+b-1,可知当x=1时y=0,可得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0),∠ACO=45°,只需满足∠BCO<45°,则BO<CO,即可得到c的取值范围;当点C在y轴的正半轴时,点A,B不重合,显然都满足∠ACB为锐角,可得到c的取值范围;当C与原点重合时,不符合题意;综上所述,可得到c的取值范围.
17.【答案】(1)解:∵,
∴顶点P的坐标为;
(2)解:①∵抛物线经过,
∴,解得;
②由①得:,
令得,,
解得,,
∴点,点.
当时,,
∴,两个整点在“G区域”;
当时,,
∴,两个整点在“G区域”;
当时,,
∴,两个整点在“G区域”;
(3)解:
当时,,
∴抛物线与y轴的交点坐标为.
当时,如图1所示,
此时有,解得;
当时,如图2所示,
此时有,解得;
综上,如果“G区域”内仅有4个整点时,则a的取值范围为或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax²+bx+c的图象;二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)将抛物线的解析式配成顶点式即可得出顶点的坐标;
(2)①将点(1,3)代入y=ax2-2ax-3a可算出a的值;②易得抛物线的解析式,令解析式中的y=0算出对应的自变量的值,可得点A、B的坐标,再令解析式中的x=0、x=1、x=2,算出对应的函数值即可判断得出 “G区域”内整点的坐标;
(3)令解析式中的x=0算出对应的函数值可得抛物线与y轴交点的坐标,分a<0及a>0两种情况考虑,依照题意画出图形,结合图形找出关于a的不等式组,解之即可得出结论.
1 / 1