二次函数与一元二次方程—浙教版数学九(上)知识点训练
一、基础夯实
1.(2024九上·温州开学考)如图,抛物线与直线的两个交点坐标分别为,,则方程的解是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:∵抛物线y=ax2与直线y=kx+b的两个交点坐标分别为A(-1,1),B(3,9),
∴方程ax2=kx+b的解即为抛物线和直线的交点,
∴解为x1=-1,x2=3,
故答案为:B
【分析】根据题意可知方程ax2=kx+b的解即为抛物线y=ax2与直线y=kx+b的交点横坐标,即可求解.
2.(2024九上·温州月考)已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下,则关于的方程的解是( )
… …
… …
A., B.
C. D.,
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用;二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解:由表中数据可知,当x=0和x=2000时y的值都是1,
∴抛物线的对称轴为直线x=,
∴x=500和x=1500时y=-1,
∴当y=-1时,x1=500,x2=1500,
∵当x=0时y=1,
∴c=1,
∴y=ax2+bx+1,
当y=-1时,ax2+bx+1=-1即ax2+bx+2=0
∴关于x的方程ax2+bx+2=0的解是x1=500,x2=1500.
故答案为:D.
【分析】利用表中数据,根据二次函数的对称性可求出抛物线的对称轴,再根据二次函数图象的对称性可知当y=-1时,x1=500,x2=1500,将x=0,y=1代入函数解析式,可得到y=ax2+bx+1,由此可知当y=-1时,可得到关于x的方程ax2+bx+2=0,由此可求出此方程的解.
3.(2024九上·杭州开学考)已知二次函数的与的部分对应值如表:
则下列判断中正确的是( )
A.抛物线开口向上
B.抛物线与轴交于负半轴
C.当时,
D.方程的正根在与之间
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:观察表格可得,
A、抛物线的对称轴是直线,有最大值,抛物线开口向下,故选项A错误,不合题意;
B、当时,,抛物线与轴的交点为,故选项B错误,不合题意;
C、和时的函数值相等,则时,,故选项C错误,不合题意;
D、方程的正根在3与4之间,故选项D正确,符合题意;
故答案为:D.
【分析】观察表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向,从而可以判断各个选项中的说法是否正确,据此求解.
4.(2021九上·杭州期中)抛物线y=x2+ax+3的对称轴为直线x=1.若关于x的方程x2+ax+3﹣t=0(t为实数),在﹣2<x<3的范围内有实数根,则t的取值范围是( )
A.6<t<11 B.t≥2 C.2≤t<11 D.2≤t<6
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:∵的对称轴为直线,
∴,
∴,
∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的交点问题,
∵方程在的范围内有实数根,
当时,,
当时,,
当时,,
函数在时有最小值2,
∴,
故答案为:C.
【分析】根据对称轴求出函数解析式,再将一元二次方程x2+bx+3-t=0的实数根转化为抛物线与函数y= t的交点问题,再由-25.(2023九上·杭州期中)已知m=6,关于x的一元二次方程(x+3)(x-4)-m=0的解为x1,x2(x1<x2),则下列结论正确的是( )
A.x1<-3<4<x2 B.-3<x1<4<x2
C.-3<x1<x2<4 D.x1<-3<x2<4
【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:如图所示
根据题意得:该二次函数与x轴的交点坐标为:(-3,0)和(4,0),因此当m=6时可以看成一元二次方程(x+3)(x-4)-m=0的解是,可以看成是y=(x+3)(x-4)的图像与直线y=6交点的横坐标,由图可知:
故答案为:A.
【分析】首先把方程(x +3)(x -4)m=0的解x1和x2看作是直线y=6与二次函数 y =(x +3)(x -4)交点的横坐标,而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求出,结合图象便可求出x1和x2的取值范围,最后选出答案.
6.(2023九上·余姚月考)二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为 .
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象;二次函数与一元二次方程的综合应用;二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解:∵二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过(-1,0),
∴二次函数的对称轴为,
∴二次函数与x轴的另外一个交点为(3,0),
∴方程ax2-2ax+c=0的解为
故答案为:
【分析】先根据二次函数的图象求出其对称轴,再根据对称性结合题意即可得到二次函数与x轴的另外一个交点,再根据一元二次方程的解结合二次函数与坐标轴的交点即可求解。
7.(2024·莲都二模)已知二次函数
(1)当a=2时,
①若该函数图象的对称轴为直线x=1,且过点(0,3),求该函数的表达式;
②若方程有两个相等的实数根,求证:2b+8c≥-1;
(2)若已知点点在平面直角坐标系中,当二次函数的图象与线段MN有交点时,求a的取值范围。
【答案】(1)解:①当时,对称轴为直线,
由得,
图象过点,
函数的表达式。
②方程有两个相等的实数根,
(2)若该二次函数表达式为。
把代入得:,把代入得:,
分为两种情况来讨论:
①当时,线段MN与抛物线有交点,则
,解得:
②当a<0时,线段MN与抛物线有交点,则
,解得:
的取值范围是或。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数与不等式(组)的综合应用;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)①当时,对称轴为直线,据此求出b值,由抛物线过点(0,3)可求出c值,继而得解;
②由方程有两个相等的实数根,可得△=据此可得从而得出
(2)易求二次函数表达式为,当时,当时,分为两种情况来讨论:①当时,线段MN与抛物线有交点,则,②当a<0时,线段MN与抛物线有交点,则,据此分别解答即可.
8.已知关于x的一元二次方程
(1)若该方程有实数根,求m的值.
(2)对于函数当x>1时,y 随x的增大而增大.
①求m的取值范围.
②若函数y =2x+n与函数y 的图象相交于y轴上同一点,求n的最小值。
【答案】(1)解: 方程有实数根 ,∴,
∴m=1.
(2)解:①的对称轴为直线,
当x>1时,y 随x的增大而增大 ,
∴,解得;
② 函数y =2x+n与函数y 的图象相交于y轴上同一点,
∴,
∴m=0时,n有最小值,此时.
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)利用根的判别式:方程有实数根时,,即可得解;
(2) ① 根据二次函数的性质可得,计算求解即可;
②由题意得,根据二次函数的性质,即可得解.
二、能力提升
9.(2024九上·浙江期中)已知直线y=kx+1与抛物线y=x2交于点A、B,与抛物线y=x2+2x-1交于点C、D.若AB=CD,则k的值为( )
A.2 B.1 C. D.-2
【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:设点A,B的横坐标为,,则,是方程 x2 -kx-1=0的两根,
∴x1+x2=k,x1x2=-1,
∴,
同理,
∵ AB=CD,
∴,
即,
解得:k=2,
故答案为:A.
【分析】设点A,B的横坐标为,,根据根于系数的关系得到x1+x2=k,x1x2=-1,然后得到,,然后根据条件列方程解题梯即可.
10.(2023九上·路桥月考)三个方程,,的正根分别记为,,,则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象;二次函数y=ax²+bx+c的性质;二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:设函数解析式为y=(x+1)(x-2),
当,,时,分别对应的方程为:,,,
则,
∵1>0,
∴函数图象开口向上,对称轴为,顶点为,
在对称轴左侧,y随x的增大而减小,
∵,
∴x1<x2<x3,
故答案为:C.
【分析】设函数解析式为y=(x+1)(x-2),根据二次函数与一元二次方程的关系可得当,,时,分别对应的方程为:,,,再根据函数的图象:y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k) ,对称轴为直线x=h,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下;二次函数的性质:当a>0,x<h时,y随x的增大而减小,x>h时,y随x的增大而增大,当a<0,x<h时,y随x的增大而增大,x>h时,y随x的增大而减小;即可得出答案.
11.(2023九上·杭州期末)已知关于x的一元二次方程有实根x1,x2,且x1<x2,现有下列说法: ①当m=0时,x1=2,x2=3;②当m>0时,2<x1<x2<3;③;④二次函数的图象与x轴的交点坐标为(2,0)和(3,0). 其中正确的有 .
【答案】①③
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理);二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】 解:①当m=0时,一元二次方程为(x 2)(x 3)=0,
∴x1=2,x2=3,故①正确;
②当m>0时,
∵一元二次方程(x 2)(x 3)=m有实根x1,x2,且x1<x2,
∴原方程转化为x2 5x+6 m=0,
根据根与系数的关系得,x1+x2= =5,x1 x2==6 m,
若2<x1<x2<3,则|x2 x1|<1,
∵(x2 x1)2=x12 2x1x2+x22=(x1+x2)2 4x1x2=25 4(6 m)=4m+1,且m>0,
∴|x2 x1|<1错误,即2<x1<x2<3错误,故②错误;
∴当m>0时,x<2或x>3,故②错误;
③(x 2)(x 3)=m转化为x2 5x+6 m=0,有实根x1,x2,且x1<x2,
∴Δ=b2 4ac=( 5)2 4(6 m)>0,即1+4m>0,
∴m> ,故③正确;
④∵一元二次方程(x 2)(x 3)=m有实根x1,x2,且x1<x2,
∴原方程转化为x2 5x+6 m=0,
根据根与系数的关系得,x1+x2= =5,x1 x2==6 m,
∴y=(x x1)(x x2) m=x2 (x1+x2)x+x1x2 m,即y=x2 5x+6 2m,
∴由二次函数y=(x x1)(x x2) m的图象与x轴的交点坐标不是(2,0)和(3,0),故④错误.
综上所述,正确的有①③,
故答案为:①③.
【分析】当m=0时,代入原方程,求解即可判断①;将m作为常数,将方程整理成一元二次方程的一般形式,根据根与系数的关系得,x1+x2= =5,x1 x2==6 m,进而利用完全平方的恒等变形可得(x2 x1)2=(x1+x2)2 4x1x2=4m+1,且m>0,据此可判断②;根据根的判别式的情况可以判断③;进而根据一元二次方程与二次函数图象之间的关系即可判断④.
12.(2022九上·杭州期中)已知二次函数y=a(x-x1)(x-x2)与x轴的交点是(1,0)和(3,0),关于x的方程a(x-x1)(x-x2)=m(m>0)的两个解分别为-1和5,关于x的方程a(x-x1)(x-x2)=n(其中m>n>0)也有两个整数解,则这两个整数解分别是 .
【答案】0和4
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:令y=m,
∵关于x的方程a(x-x1)(x-x2)=m(m>0)的两个解分别为-1和5,
∴二次函数y=a(x-x1)(x-x2)与y=m的交点分别为(-1,m)和(5,m),
又∵关于x的方程a(x-x1)(x-x2)=n(m>n>0)也有两个整数解,
∴设二次函数y=a(x-x1)(x-x2)与y=n的交点分别为(p,n)和(q,n),
∵m>n>0,
∴直线y=n在x轴和直线y=m之间,
如图所示,
由图可知,-1<p<1,3<q<5
又∵p,q都为整数,
∴p=0,q=4.
故答案为:0和4.
【分析】令y=m,由关于x的方程a(x-x1)(x-x2)=m(m>0)的两个解分别为-1和5,得二次函数y=a(x-x1)(x-x2)与y=m的交点分别为(-1,m)和(5,m),由关于x的方程a(x-x1)(x-x2)=n(m>n>0)也有两个整数解,得y=n的交点分别为(p,n)和(q,n),再由m>n>0可得直线y=n在x轴和直线y=m之间,结合图象易得-1<p<1,3<q<5,又p,q都为整数,求得p=0,q=4,即可求解.
13.(2024·金华模拟)已知二次函数是常数,的图象经过点.
(1)若抛物线的顶点为,求函数的表达式.
(2)在(1)的条件下,若函数图象过点,求证:.
(3)若函数图象经过点,其中,且关于的方程有两个相等的实数根,求的取值范围.
【答案】(1)由题意,∵抛物线的顶点为(1,-2),
∴可设抛物线为
又图象经过点(-1,2),
∴
∴.
∴函数表达式为
(2)证明:根据题意,函数图象过点,
分别将点, 代入函数解析式
可得,,
∴,
∵,
∴.
(3)∵二次函数的图象经过点(-1,2),
∴,
∴,
将方程整理可得:,
∵该方程有两个相等的实数根,
∵,
∴,
∴可有,即有
该二次函数解析式为,
当m = 2时,即该二次函数图象经过点(2,0)时,
若,即该函数图象开口向下,如图,
此时该函数图象与y轴交点在y轴的正半轴上,
此时a>0,故不符合题意;
若a>0,即该函数图象开口向上,如图,
则有4a + 2b + a = 0,即5a + 2b =0②,联立①②,可得:
,解得,
∴该函数解析式为,
令,得
解得,
∴此时
当m逐渐增大时,该函数图象与x轴的另一交点逐渐向左运动,函数图象与y轴的交点逐渐向下运动,
∵该函数图象开口向上,
∴函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上,
∴函数图象与x轴的交点在x轴的正半轴上,
∴当m逐渐增大时,有.
综上所述,n的取值范围为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】 (1) 设该抛物线的解析式为,利用待定系数法求解即可;
(2)根据题意,函数图象过点 ,易得,,进而可得,结合,即可得解;
(3) 根据二次函数的图象经过点(-1,2),易得b+2=a+c,结合方程有两个相等的实数根,根据一元二次方程的根的判别式可得a=c,进而可得2a-b= 2①;m=2时,即该二次函数图象经过点(2,0)时,易知5a+ 2b=0②,联立①②并求解,可得函数解析式为,令y=0,得,求解可知此时;当m逐渐增大时,该函数图象与x轴的另一交点逐渐向左运动,函数图象与y轴的交点逐渐向下运动,结合a=c>0,结合图象即可得解.
14.(2024九上·曲靖期末)在学习二次函数与一元二次方程时,从二次函数图象可得如下结论.
如果抛物线与x轴有公共点的横坐标是,那么当x=时,函数值是0,因此是方程的一个根.
同学们,请你结合所学的数学知识解决下列问题
(1)若二次函数(m为常数)与x轴两交点的横坐标为,,,求二次函数的解析式;
(2)不论 m为何值,该函数的图象都会经过一个定点,求定点的坐标;
(3)在(1)的条件下,当,时,对应的函数值为N,Q,若求证:
【答案】(1)解:由题意得
,
,
,
解得:,
,
二次函数的解析式为
(2)解:
,
不论 m为何值,该函数的图象都会经过一个定点,
不含项,
,
解得 ,
当时,
;
该函数图象始终过定点;
(3)解:证明:当,时,
,
,
,
,
①当时,
,
,
,
;
②当时,
,
,
,
;
综上所述:.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理);二次函数与不等式(组)的综合应用;二次函数y=ax²+bx+c的图象;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)利用根与系数的关系可得,再结合可得求出m的值即可得二次函数解析式;
(2)将二次函数的解析式变形为,再结合“ 不论 m为何值,该函数的图象都会经过一个定点”可得,再求出x的值,最后求出y的值即可;
(3)先求出,再分类讨论:①当时,②当时,再分别求出的解析式,最后求解即可.
三、拓展创新
15.(2023九上·宁波月考)规定:若点在某一个函数的图象上,且点的横纵坐标互为相反数,则称点为这个函数的“互反点”.若关于的二次函数对于任意的常数,恒有两个“互反点”,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:令得,
整理得,
由题意知,有两个不相等的实数根,
,
不等式成立,
关于n的一元二次方程无解,
,
整理得,
解得,
故答案为:D.
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系,一元二次方程的根的判别式,根据恒有两个“互反点”,可得有两个不相等的实数根,推出,根据关于n的一元二次方程无解,即可求出的取值范围.
16.(2022九上·北仑期中)对于实数a,b,定义运算“*”:; ,关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根,则m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】定义新运算;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:当2x 1≤x 1时,即x≤0,
(2x 1)*(x 1)=(2x 1)2 (2x 1)(x 1)=2x2 x,
当2x 1>x 1时,即x>0,
(2x 1)*(x 1)=(x 1)2 (2x 1)(x 1)= x2+x,
∴,
∵ 关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根 ,
∴直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点,
∵抛物线y=2x2-x(x≤0)的最低点作为(0,0),而顶点坐标为,对称轴直线为x=,故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点,且m的取值范围为m≥0,
∴直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点,∴-x2+x=m一定有两个不相等的实数根,∴1-4m>0,解得,
又∵抛物线y=-x2+x与x轴两交点的坐标为(0,0)、(1,0),∴当m=0时,直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x只有两个不同的交点,
综上所述m的取值范围为:,
即当时, 关于x的方程(2x 1)*(x 1)=m恰有三个不相等的实数根.
故答案为:.
【分析】首先根据定义新运算法则可得,从图象的角度来说直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点,抛物线y=2x2-x(x≤0)的最低点作为(0,0),而顶点坐标为,对称轴直线为x=,故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点,且m的取值范围为m≥0,从而得出直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点,根据根的判别式列出不等式,求解可得m取值范围,又由于抛物线y=2x2-x(x≤0)及y=-x2+x(x>0)与x轴的交点是(0,0)、(1,0),故m≠0,综上所述即可得出答案.
17.(2023九上·绍兴月考)若定义:若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点,则把该函数称为“明德函数”,该点称为“明德点”,例如:“明德函数”,其“明德点”为.
(1)①判断:函数 “明德函数”(填“是”或“不是”);
②函数的图像上的明德点是 ;
(2)若抛物线上有两个“明德点”,求的取值范围;
(3)若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”,且当时,的最小值为,求的值.
【答案】(1)不是;(0,0)或(2,4)
(2)抛物线是“明德函数”, ,
整理得:,
抛物线上有两个“明德点”,
,,
的取值范围为且;
(3)由题意可知,
整理得,
整理得,
对称轴为直线m=k,此时n的最小值为2k;根据题意分类讨论:
①
②
③
综上,k的值为0或。
【知识点】定义新运算;二次函数y=ax²+bx+c的性质;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:(1)①令2x+3=2x,此方程无解,
∴ 函数不是“ 明德函数 ”
故答案为:不是.
② 令x2=2x,解得x=0或2,
∴ 函数的图像上的明德点是(0,0) 或(2,4);
故答案为:(0,0) 或(2,4);
【分析】(1)根据“ 明德函数 ”的定义进行判断即可;
(2)根据“ 明德函数 ”的定义可得,可得△>0,据此解答即可;
(3)根据“ 明德函数 ”的定义可得,由唯一一个“明德点”,可得△=0,可得,对称轴为直线m=k,此时n的最小值为2k,再分类讨论即可.
1 / 1二次函数与一元二次方程—浙教版数学九(上)知识点训练
一、基础夯实
1.(2024九上·温州开学考)如图,抛物线与直线的两个交点坐标分别为,,则方程的解是( )
A., B.,
C., D.,
2.(2024九上·温州月考)已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下,则关于的方程的解是( )
… …
… …
A., B.
C. D.,
3.(2024九上·杭州开学考)已知二次函数的与的部分对应值如表:
则下列判断中正确的是( )
A.抛物线开口向上
B.抛物线与轴交于负半轴
C.当时,
D.方程的正根在与之间
4.(2021九上·杭州期中)抛物线y=x2+ax+3的对称轴为直线x=1.若关于x的方程x2+ax+3﹣t=0(t为实数),在﹣2<x<3的范围内有实数根,则t的取值范围是( )
A.6<t<11 B.t≥2 C.2≤t<11 D.2≤t<6
5.(2023九上·杭州期中)已知m=6,关于x的一元二次方程(x+3)(x-4)-m=0的解为x1,x2(x1<x2),则下列结论正确的是( )
A.x1<-3<4<x2 B.-3<x1<4<x2
C.-3<x1<x2<4 D.x1<-3<x2<4
6.(2023九上·余姚月考)二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为 .
7.(2024·莲都二模)已知二次函数
(1)当a=2时,
①若该函数图象的对称轴为直线x=1,且过点(0,3),求该函数的表达式;
②若方程有两个相等的实数根,求证:2b+8c≥-1;
(2)若已知点点在平面直角坐标系中,当二次函数的图象与线段MN有交点时,求a的取值范围。
8.已知关于x的一元二次方程
(1)若该方程有实数根,求m的值.
(2)对于函数当x>1时,y 随x的增大而增大.
①求m的取值范围.
②若函数y =2x+n与函数y 的图象相交于y轴上同一点,求n的最小值。
二、能力提升
9.(2024九上·浙江期中)已知直线y=kx+1与抛物线y=x2交于点A、B,与抛物线y=x2+2x-1交于点C、D.若AB=CD,则k的值为( )
A.2 B.1 C. D.-2
10.(2023九上·路桥月考)三个方程,,的正根分别记为,,,则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
11.(2023九上·杭州期末)已知关于x的一元二次方程有实根x1,x2,且x1<x2,现有下列说法: ①当m=0时,x1=2,x2=3;②当m>0时,2<x1<x2<3;③;④二次函数的图象与x轴的交点坐标为(2,0)和(3,0). 其中正确的有 .
12.(2022九上·杭州期中)已知二次函数y=a(x-x1)(x-x2)与x轴的交点是(1,0)和(3,0),关于x的方程a(x-x1)(x-x2)=m(m>0)的两个解分别为-1和5,关于x的方程a(x-x1)(x-x2)=n(其中m>n>0)也有两个整数解,则这两个整数解分别是 .
13.(2024·金华模拟)已知二次函数是常数,的图象经过点.
(1)若抛物线的顶点为,求函数的表达式.
(2)在(1)的条件下,若函数图象过点,求证:.
(3)若函数图象经过点,其中,且关于的方程有两个相等的实数根,求的取值范围.
14.(2024九上·曲靖期末)在学习二次函数与一元二次方程时,从二次函数图象可得如下结论.
如果抛物线与x轴有公共点的横坐标是,那么当x=时,函数值是0,因此是方程的一个根.
同学们,请你结合所学的数学知识解决下列问题
(1)若二次函数(m为常数)与x轴两交点的横坐标为,,,求二次函数的解析式;
(2)不论 m为何值,该函数的图象都会经过一个定点,求定点的坐标;
(3)在(1)的条件下,当,时,对应的函数值为N,Q,若求证:
三、拓展创新
15.(2023九上·宁波月考)规定:若点在某一个函数的图象上,且点的横纵坐标互为相反数,则称点为这个函数的“互反点”.若关于的二次函数对于任意的常数,恒有两个“互反点”,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
16.(2022九上·北仑期中)对于实数a,b,定义运算“*”:; ,关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根,则m的取值范围是 .
17.(2023九上·绍兴月考)若定义:若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点,则把该函数称为“明德函数”,该点称为“明德点”,例如:“明德函数”,其“明德点”为.
(1)①判断:函数 “明德函数”(填“是”或“不是”);
②函数的图像上的明德点是 ;
(2)若抛物线上有两个“明德点”,求的取值范围;
(3)若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”,且当时,的最小值为,求的值.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:∵抛物线y=ax2与直线y=kx+b的两个交点坐标分别为A(-1,1),B(3,9),
∴方程ax2=kx+b的解即为抛物线和直线的交点,
∴解为x1=-1,x2=3,
故答案为:B
【分析】根据题意可知方程ax2=kx+b的解即为抛物线y=ax2与直线y=kx+b的交点横坐标,即可求解.
2.【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用;二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解:由表中数据可知,当x=0和x=2000时y的值都是1,
∴抛物线的对称轴为直线x=,
∴x=500和x=1500时y=-1,
∴当y=-1时,x1=500,x2=1500,
∵当x=0时y=1,
∴c=1,
∴y=ax2+bx+1,
当y=-1时,ax2+bx+1=-1即ax2+bx+2=0
∴关于x的方程ax2+bx+2=0的解是x1=500,x2=1500.
故答案为:D.
【分析】利用表中数据,根据二次函数的对称性可求出抛物线的对称轴,再根据二次函数图象的对称性可知当y=-1时,x1=500,x2=1500,将x=0,y=1代入函数解析式,可得到y=ax2+bx+1,由此可知当y=-1时,可得到关于x的方程ax2+bx+2=0,由此可求出此方程的解.
3.【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:观察表格可得,
A、抛物线的对称轴是直线,有最大值,抛物线开口向下,故选项A错误,不合题意;
B、当时,,抛物线与轴的交点为,故选项B错误,不合题意;
C、和时的函数值相等,则时,,故选项C错误,不合题意;
D、方程的正根在3与4之间,故选项D正确,符合题意;
故答案为:D.
【分析】观察表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向,从而可以判断各个选项中的说法是否正确,据此求解.
4.【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:∵的对称轴为直线,
∴,
∴,
∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的交点问题,
∵方程在的范围内有实数根,
当时,,
当时,,
当时,,
函数在时有最小值2,
∴,
故答案为:C.
【分析】根据对称轴求出函数解析式,再将一元二次方程x2+bx+3-t=0的实数根转化为抛物线与函数y= t的交点问题,再由-25.【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:如图所示
根据题意得:该二次函数与x轴的交点坐标为:(-3,0)和(4,0),因此当m=6时可以看成一元二次方程(x+3)(x-4)-m=0的解是,可以看成是y=(x+3)(x-4)的图像与直线y=6交点的横坐标,由图可知:
故答案为:A.
【分析】首先把方程(x +3)(x -4)m=0的解x1和x2看作是直线y=6与二次函数 y =(x +3)(x -4)交点的横坐标,而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求出,结合图象便可求出x1和x2的取值范围,最后选出答案.
6.【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象;二次函数与一元二次方程的综合应用;二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解:∵二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过(-1,0),
∴二次函数的对称轴为,
∴二次函数与x轴的另外一个交点为(3,0),
∴方程ax2-2ax+c=0的解为
故答案为:
【分析】先根据二次函数的图象求出其对称轴,再根据对称性结合题意即可得到二次函数与x轴的另外一个交点,再根据一元二次方程的解结合二次函数与坐标轴的交点即可求解。
7.【答案】(1)解:①当时,对称轴为直线,
由得,
图象过点,
函数的表达式。
②方程有两个相等的实数根,
(2)若该二次函数表达式为。
把代入得:,把代入得:,
分为两种情况来讨论:
①当时,线段MN与抛物线有交点,则
,解得:
②当a<0时,线段MN与抛物线有交点,则
,解得:
的取值范围是或。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数与不等式(组)的综合应用;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)①当时,对称轴为直线,据此求出b值,由抛物线过点(0,3)可求出c值,继而得解;
②由方程有两个相等的实数根,可得△=据此可得从而得出
(2)易求二次函数表达式为,当时,当时,分为两种情况来讨论:①当时,线段MN与抛物线有交点,则,②当a<0时,线段MN与抛物线有交点,则,据此分别解答即可.
8.【答案】(1)解: 方程有实数根 ,∴,
∴m=1.
(2)解:①的对称轴为直线,
当x>1时,y 随x的增大而增大 ,
∴,解得;
② 函数y =2x+n与函数y 的图象相交于y轴上同一点,
∴,
∴m=0时,n有最小值,此时.
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)利用根的判别式:方程有实数根时,,即可得解;
(2) ① 根据二次函数的性质可得,计算求解即可;
②由题意得,根据二次函数的性质,即可得解.
9.【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:设点A,B的横坐标为,,则,是方程 x2 -kx-1=0的两根,
∴x1+x2=k,x1x2=-1,
∴,
同理,
∵ AB=CD,
∴,
即,
解得:k=2,
故答案为:A.
【分析】设点A,B的横坐标为,,根据根于系数的关系得到x1+x2=k,x1x2=-1,然后得到,,然后根据条件列方程解题梯即可.
10.【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象;二次函数y=ax²+bx+c的性质;二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:设函数解析式为y=(x+1)(x-2),
当,,时,分别对应的方程为:,,,
则,
∵1>0,
∴函数图象开口向上,对称轴为,顶点为,
在对称轴左侧,y随x的增大而减小,
∵,
∴x1<x2<x3,
故答案为:C.
【分析】设函数解析式为y=(x+1)(x-2),根据二次函数与一元二次方程的关系可得当,,时,分别对应的方程为:,,,再根据函数的图象:y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k) ,对称轴为直线x=h,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下;二次函数的性质:当a>0,x<h时,y随x的增大而减小,x>h时,y随x的增大而增大,当a<0,x<h时,y随x的增大而增大,x>h时,y随x的增大而减小;即可得出答案.
11.【答案】①③
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理);二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】 解:①当m=0时,一元二次方程为(x 2)(x 3)=0,
∴x1=2,x2=3,故①正确;
②当m>0时,
∵一元二次方程(x 2)(x 3)=m有实根x1,x2,且x1<x2,
∴原方程转化为x2 5x+6 m=0,
根据根与系数的关系得,x1+x2= =5,x1 x2==6 m,
若2<x1<x2<3,则|x2 x1|<1,
∵(x2 x1)2=x12 2x1x2+x22=(x1+x2)2 4x1x2=25 4(6 m)=4m+1,且m>0,
∴|x2 x1|<1错误,即2<x1<x2<3错误,故②错误;
∴当m>0时,x<2或x>3,故②错误;
③(x 2)(x 3)=m转化为x2 5x+6 m=0,有实根x1,x2,且x1<x2,
∴Δ=b2 4ac=( 5)2 4(6 m)>0,即1+4m>0,
∴m> ,故③正确;
④∵一元二次方程(x 2)(x 3)=m有实根x1,x2,且x1<x2,
∴原方程转化为x2 5x+6 m=0,
根据根与系数的关系得,x1+x2= =5,x1 x2==6 m,
∴y=(x x1)(x x2) m=x2 (x1+x2)x+x1x2 m,即y=x2 5x+6 2m,
∴由二次函数y=(x x1)(x x2) m的图象与x轴的交点坐标不是(2,0)和(3,0),故④错误.
综上所述,正确的有①③,
故答案为:①③.
【分析】当m=0时,代入原方程,求解即可判断①;将m作为常数,将方程整理成一元二次方程的一般形式,根据根与系数的关系得,x1+x2= =5,x1 x2==6 m,进而利用完全平方的恒等变形可得(x2 x1)2=(x1+x2)2 4x1x2=4m+1,且m>0,据此可判断②;根据根的判别式的情况可以判断③;进而根据一元二次方程与二次函数图象之间的关系即可判断④.
12.【答案】0和4
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:令y=m,
∵关于x的方程a(x-x1)(x-x2)=m(m>0)的两个解分别为-1和5,
∴二次函数y=a(x-x1)(x-x2)与y=m的交点分别为(-1,m)和(5,m),
又∵关于x的方程a(x-x1)(x-x2)=n(m>n>0)也有两个整数解,
∴设二次函数y=a(x-x1)(x-x2)与y=n的交点分别为(p,n)和(q,n),
∵m>n>0,
∴直线y=n在x轴和直线y=m之间,
如图所示,
由图可知,-1<p<1,3<q<5
又∵p,q都为整数,
∴p=0,q=4.
故答案为:0和4.
【分析】令y=m,由关于x的方程a(x-x1)(x-x2)=m(m>0)的两个解分别为-1和5,得二次函数y=a(x-x1)(x-x2)与y=m的交点分别为(-1,m)和(5,m),由关于x的方程a(x-x1)(x-x2)=n(m>n>0)也有两个整数解,得y=n的交点分别为(p,n)和(q,n),再由m>n>0可得直线y=n在x轴和直线y=m之间,结合图象易得-1<p<1,3<q<5,又p,q都为整数,求得p=0,q=4,即可求解.
13.【答案】(1)由题意,∵抛物线的顶点为(1,-2),
∴可设抛物线为
又图象经过点(-1,2),
∴
∴.
∴函数表达式为
(2)证明:根据题意,函数图象过点,
分别将点, 代入函数解析式
可得,,
∴,
∵,
∴.
(3)∵二次函数的图象经过点(-1,2),
∴,
∴,
将方程整理可得:,
∵该方程有两个相等的实数根,
∵,
∴,
∴可有,即有
该二次函数解析式为,
当m = 2时,即该二次函数图象经过点(2,0)时,
若,即该函数图象开口向下,如图,
此时该函数图象与y轴交点在y轴的正半轴上,
此时a>0,故不符合题意;
若a>0,即该函数图象开口向上,如图,
则有4a + 2b + a = 0,即5a + 2b =0②,联立①②,可得:
,解得,
∴该函数解析式为,
令,得
解得,
∴此时
当m逐渐增大时,该函数图象与x轴的另一交点逐渐向左运动,函数图象与y轴的交点逐渐向下运动,
∵该函数图象开口向上,
∴函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上,
∴函数图象与x轴的交点在x轴的正半轴上,
∴当m逐渐增大时,有.
综上所述,n的取值范围为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】 (1) 设该抛物线的解析式为,利用待定系数法求解即可;
(2)根据题意,函数图象过点 ,易得,,进而可得,结合,即可得解;
(3) 根据二次函数的图象经过点(-1,2),易得b+2=a+c,结合方程有两个相等的实数根,根据一元二次方程的根的判别式可得a=c,进而可得2a-b= 2①;m=2时,即该二次函数图象经过点(2,0)时,易知5a+ 2b=0②,联立①②并求解,可得函数解析式为,令y=0,得,求解可知此时;当m逐渐增大时,该函数图象与x轴的另一交点逐渐向左运动,函数图象与y轴的交点逐渐向下运动,结合a=c>0,结合图象即可得解.
14.【答案】(1)解:由题意得
,
,
,
解得:,
,
二次函数的解析式为
(2)解:
,
不论 m为何值,该函数的图象都会经过一个定点,
不含项,
,
解得 ,
当时,
;
该函数图象始终过定点;
(3)解:证明:当,时,
,
,
,
,
①当时,
,
,
,
;
②当时,
,
,
,
;
综上所述:.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理);二次函数与不等式(组)的综合应用;二次函数y=ax²+bx+c的图象;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)利用根与系数的关系可得,再结合可得求出m的值即可得二次函数解析式;
(2)将二次函数的解析式变形为,再结合“ 不论 m为何值,该函数的图象都会经过一个定点”可得,再求出x的值,最后求出y的值即可;
(3)先求出,再分类讨论:①当时,②当时,再分别求出的解析式,最后求解即可.
15.【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:令得,
整理得,
由题意知,有两个不相等的实数根,
,
不等式成立,
关于n的一元二次方程无解,
,
整理得,
解得,
故答案为:D.
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系,一元二次方程的根的判别式,根据恒有两个“互反点”,可得有两个不相等的实数根,推出,根据关于n的一元二次方程无解,即可求出的取值范围.
16.【答案】
【知识点】定义新运算;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:当2x 1≤x 1时,即x≤0,
(2x 1)*(x 1)=(2x 1)2 (2x 1)(x 1)=2x2 x,
当2x 1>x 1时,即x>0,
(2x 1)*(x 1)=(x 1)2 (2x 1)(x 1)= x2+x,
∴,
∵ 关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根 ,
∴直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点,
∵抛物线y=2x2-x(x≤0)的最低点作为(0,0),而顶点坐标为,对称轴直线为x=,故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点,且m的取值范围为m≥0,
∴直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点,∴-x2+x=m一定有两个不相等的实数根,∴1-4m>0,解得,
又∵抛物线y=-x2+x与x轴两交点的坐标为(0,0)、(1,0),∴当m=0时,直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x只有两个不同的交点,
综上所述m的取值范围为:,
即当时, 关于x的方程(2x 1)*(x 1)=m恰有三个不相等的实数根.
故答案为:.
【分析】首先根据定义新运算法则可得,从图象的角度来说直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点,抛物线y=2x2-x(x≤0)的最低点作为(0,0),而顶点坐标为,对称轴直线为x=,故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点,且m的取值范围为m≥0,从而得出直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点,根据根的判别式列出不等式,求解可得m取值范围,又由于抛物线y=2x2-x(x≤0)及y=-x2+x(x>0)与x轴的交点是(0,0)、(1,0),故m≠0,综上所述即可得出答案.
17.【答案】(1)不是;(0,0)或(2,4)
(2)抛物线是“明德函数”, ,
整理得:,
抛物线上有两个“明德点”,
,,
的取值范围为且;
(3)由题意可知,
整理得,
整理得,
对称轴为直线m=k,此时n的最小值为2k;根据题意分类讨论:
①
②
③
综上,k的值为0或。
【知识点】定义新运算;二次函数y=ax²+bx+c的性质;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:(1)①令2x+3=2x,此方程无解,
∴ 函数不是“ 明德函数 ”
故答案为:不是.
② 令x2=2x,解得x=0或2,
∴ 函数的图像上的明德点是(0,0) 或(2,4);
故答案为:(0,0) 或(2,4);
【分析】(1)根据“ 明德函数 ”的定义进行判断即可;
(2)根据“ 明德函数 ”的定义可得,可得△>0,据此解答即可;
(3)根据“ 明德函数 ”的定义可得,由唯一一个“明德点”,可得△=0,可得,对称轴为直线m=k,此时n的最小值为2k,再分类讨论即可.
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