二次函数与一元二次方程—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024九上·温州开学考）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=kx+b的两个交点坐标分别为A（-1，1），B（3，9），
∴方程ax2=kx+b的解即为抛物线和直线的交点，
∴解为x1=-1，x2=3，
故答案为：B
【分析】根据题意可知方程ax2=kx+b的解即为抛物线y=ax2与直线y=kx+b的交点横坐标，即可求解.
2．（2024九上·温州月考）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下，则关于的方程的解是（ ）
… …
… …
A．， B．
C． D．，
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表中数据可知，当x=0和x=2000时y的值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x=，
∴x=500和x=1500时y=-1，
∴当y=-1时，x1=500，x2=1500，
∵当x=0时y=1，
∴c=1，
∴y=ax2+bx+1，
当y=-1时，ax2+bx+1=-1即ax2+bx+2=0
∴关于x的方程ax2+bx+2=0的解是x1=500，x2=1500.
故答案为：D.
【分析】利用表中数据，根据二次函数的对称性可求出抛物线的对称轴，再根据二次函数图象的对称性可知当y=-1时，x1=500，x2=1500，将x=0，y=1代入函数解析式，可得到y=ax2+bx+1，由此可知当y=-1时，可得到关于x的方程ax2+bx+2=0，由此可求出此方程的解.
3．（2024九上·杭州开学考）已知二次函数的与的部分对应值如表：
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与轴交于负半轴
C．当时，
D．方程的正根在与之间
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：观察表格可得，
A、抛物线的对称轴是直线，有最大值，抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意；
B、当时，，抛物线与轴的交点为，故选项B错误，不合题意；
C、和时的函数值相等，则时，，故选项C错误，不合题意；
D、方程的正根在3与4之间，故选项D正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】观察表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，据此求解．
4．（2021九上·杭州期中）抛物线y＝x2＋ax＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的方程x2＋ax＋3﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的交点问题，
∵方程在的范围内有实数根，
当时，，
当时，，
当时，，
函数在时有最小值2，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据对称轴求出函数解析式，再将一元二次方程x2+bx+3-t=0的实数根转化为抛物线与函数y= t的交点问题，再由-25．（2023九上·杭州期中）已知m=6，关于x的一元二次方程(x+3)(x－4)－m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（ ）
A．x1＜－3＜4＜x2 B．－3＜x1＜4＜x2
C．－3＜x1＜x2＜4 D．x1＜－3＜x2＜4
【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图所示
根据题意得：该二次函数与x轴的交点坐标为：（-3，0）和（4，0），因此当m=6时可以看成一元二次方程(x+3)(x－4)－m＝0的解是，可以看成是y=（x+3）（x-4）的图像与直线y=6交点的横坐标，由图可知：
故答案为：A.
【分析】首先把方程(x +3)(x -4)m=0的解x1和x2看作是直线y=6与二次函数 y =(x +3)(x -4)交点的横坐标，而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求出，结合图象便可求出x1和x2的取值范围，最后选出答案.
6．（2023九上·余姚月考）二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过(－1，0)，
∴二次函数的对称轴为，
∴二次函数与x轴的另外一个交点为（3，0），
∴方程ax2－2ax＋c＝0的解为
故答案为：
【分析】先根据二次函数的图象求出其对称轴，再根据对称性结合题意即可得到二次函数与x轴的另外一个交点，再根据一元二次方程的解结合二次函数与坐标轴的交点即可求解。
7．（2024·莲都二模）已知二次函数
（1）当a=2时，
①若该函数图象的对称轴为直线x=1，且过点(0，3)，求该函数的表达式；
②若方程有两个相等的实数根，求证：2b+8c≥-1；
（2）若已知点点在平面直角坐标系中，当二次函数的图象与线段MN有交点时，求a的取值范围。
【答案】（1）解：①当时，对称轴为直线，
由得，
图象过点，
函数的表达式。
②方程有两个相等的实数根，
（2）若该二次函数表达式为。
把代入得：，把代入得：，
分为两种情况来讨论：
①当时，线段MN与抛物线有交点，则
，解得：
②当a<0时，线段MN与抛物线有交点，则
，解得：
的取值范围是或。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）①当时，对称轴为直线，据此求出b值，由抛物线过点(0，3)可求出c值，继而得解；
②由方程有两个相等的实数根，可得△=据此可得从而得出
（2）易求二次函数表达式为，当时，当时，分为两种情况来讨论：①当时，线段MN与抛物线有交点，则，②当a<0时，线段MN与抛物线有交点，则，据此分别解答即可.
8．已知关于x的一元二次方程
（1）若该方程有实数根，求m的值.
（2）对于函数当x>1时，y 随x的增大而增大.
①求m的取值范围.
②若函数y =2x+n与函数y 的图象相交于y轴上同一点，求n的最小值。
【答案】（1）解： 方程有实数根 ，∴，
∴m=1.
（2）解：①的对称轴为直线，
当x>1时，y 随x的增大而增大 ，
∴，解得；
② 函数y =2x+n与函数y 的图象相交于y轴上同一点，
∴，
∴m=0时，n有最小值，此时.
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）利用根的判别式：方程有实数根时，，即可得解；
（2） ① 根据二次函数的性质可得，计算求解即可；
②由题意得，根据二次函数的性质，即可得解.
二、能力提升
9．（2024九上·浙江期中）已知直线y＝kx＋1与抛物线y＝x2交于点A、B，与抛物线y＝x2＋2x－1交于点C、D．若AB＝CD，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．－2
【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设点A，B的横坐标为，，则，是方程 x2 -kx-1=0的两根，
∴x1+x2=k，x1x2=-1，
∴，
同理，
∵ AB＝CD，
∴，
即，
解得：k=2，
故答案为：A.
【分析】设点A，B的横坐标为，，根据根于系数的关系得到x1+x2=k，x1x2=-1，然后得到，，然后根据条件列方程解题梯即可.
10．（2023九上·路桥月考）三个方程，，的正根分别记为，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设函数解析式为y=（x+1）（x-2），
当，，时，分别对应的方程为：，，，
则，
∵1＞0，
∴函数图象开口向上，对称轴为，顶点为，
在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∵，
∴x1＜x2＜x3，
故答案为：C.
【分析】设函数解析式为y=（x+1）（x-2），根据二次函数与一元二次方程的关系可得当，，时，分别对应的方程为：，，，再根据函数的图象：y=a（x-h）2+k（a≠0，a、h、k为常数），顶点坐标为（h，k） ，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；二次函数的性质：当a>0，x＜h时，y随x的增大而减小，x>h时，y随x的增大而增大，当a＜0，x＜h时，y随x的增大而增大，x>h时，y随x的增大而减小；即可得出答案.
11．（2023九上·杭州期末）已知关于x的一元二次方程有实根x1，x2，且x1＜x2，现有下列说法： ①当m=0时，x1=2，x2=3；②当m>0时，2＜x1＜x2＜3；③；④二次函数的图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（3，0）. 其中正确的有 .
【答案】①③
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】 解：①当m＝0时，一元二次方程为（x 2）（x 3）＝0，
∴x1＝2，x2＝3，故①正确；
②当m＞0时，
∵一元二次方程（x 2）（x 3）＝m有实根x1，x2，且x1＜x2，
∴原方程转化为x2 5x＋6 m＝0，
根据根与系数的关系得，x1＋x2＝ ＝5，x1 x2＝＝6 m，
若2＜x1＜x2＜3，则|x2 x1|＜1，
∵(x2 x1)2＝x12 2x1x2＋x22＝(x1＋x2)2 4x1x2＝25 4(6 m)＝4m＋1，且m＞0，
∴|x2 x1|＜1错误，即2＜x1＜x2＜3错误，故②错误；
∴当m＞0时，x＜2或x＞3，故②错误；
③（x 2）（x 3）＝m转化为x2 5x＋6 m＝0，有实根x1，x2，且x1＜x2，
∴Δ＝b2 4ac＝（ 5）2 4（6 m）＞0，即1＋4m＞0，
∴m＞ ，故③正确；
④∵一元二次方程（x 2）（x 3）＝m有实根x1，x2，且x1＜x2，
∴原方程转化为x2 5x＋6 m＝0，
根据根与系数的关系得，x1＋x2＝ ＝5，x1 x2＝＝6 m，
∴y＝(x x1)(x x2) m＝x2 (x1＋x2)x＋x1x2 m，即y＝x2 5x＋6 2m，
∴由二次函数y＝（x x1）（x x2） m的图象与x轴的交点坐标不是（2，0）和（3，0），故④错误．
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
【分析】当m=0时，代入原方程，求解即可判断①；将m作为常数，将方程整理成一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得，x1＋x2＝ ＝5，x1 x2＝＝6 m，进而利用完全平方的恒等变形可得(x2 x1)2＝(x1＋x2)2 4x1x2＝4m＋1，且m＞0，据此可判断②；根据根的判别式的情况可以判断③；进而根据一元二次方程与二次函数图象之间的关系即可判断④.
12．（2022九上·杭州期中）已知二次函数y=a（x-x1）（x-x2）与x轴的交点是（1，0）和（3，0），关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=m（m>0）的两个解分别为-1和5，关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=n（其中m>n>0）也有两个整数解，则这两个整数解分别是 ．
【答案】0和4
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：令y=m，
∵关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=m（m>0）的两个解分别为-1和5，
∴二次函数y＝a（x-x1）（x-x2）与y＝m的交点分别为（-1，m）和（5，m），
又∵关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=n（m>n＞0）也有两个整数解，
∴设二次函数y＝a（x-x1）（x-x2）与y＝n的交点分别为（p，n）和（q，n），
∵m>n＞0，
∴直线y＝n在x轴和直线y＝m之间，
如图所示，
由图可知，-1＜p＜1，3＜q＜5
又∵p，q都为整数，
∴p＝0，q＝4.
故答案为：0和4.
【分析】令y=m，由关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=m（m>0）的两个解分别为-1和5，得二次函数y＝a（x-x1）（x-x2）与y＝m的交点分别为（-1，m）和（5，m），由关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=n（m>n＞0）也有两个整数解，得y＝n的交点分别为（p，n）和（q，n），再由m>n＞0可得直线y＝n在x轴和直线y＝m之间，结合图象易得-1＜p＜1，3＜q＜5，又p，q都为整数，求得p＝0，q＝4，即可求解.
13．（2024·金华模拟）已知二次函数是常数，的图象经过点.
（1）若抛物线的顶点为，求函数的表达式.
（2）在（1）的条件下，若函数图象过点，求证：.
（3）若函数图象经过点，其中，且关于的方程有两个相等的实数根，求的取值范围.
【答案】（1）由题意，∵抛物线的顶点为(1，-2)，
∴可设抛物线为
又图象经过点(-1，2)，
∴
∴.
∴函数表达式为
（2）证明：根据题意，函数图象过点，
分别将点， 代入函数解析式
可得，，
∴，
∵，
∴.
（3）∵二次函数的图象经过点(-1，2)，
∴，
∴，
将方程整理可得：，
∵该方程有两个相等的实数根，
∵，
∴，
∴可有，即有
该二次函数解析式为，
当m = 2时，即该二次函数图象经过点(2，0)时，
若，即该函数图象开口向下，如图，
此时该函数图象与y轴交点在y轴的正半轴上，
此时a>0，故不符合题意；
若a>0，即该函数图象开口向上，如图，
则有4a + 2b + a = 0，即5a + 2b =0②，联立①②，可得：
，解得，
∴该函数解析式为，
令，得
解得，
∴此时
当m逐渐增大时，该函数图象与x轴的另一交点逐渐向左运动，函数图象与y轴的交点逐渐向下运动，
∵该函数图象开口向上，
∴函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴函数图象与x轴的交点在x轴的正半轴上，
∴当m逐渐增大时，有.
综上所述，n的取值范围为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】 (1) 设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可；
(2)根据题意，函数图象过点 ，易得，，进而可得，结合，即可得解；
(3) 根据二次函数的图象经过点(-1，2)，易得b+2=a+c，结合方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程的根的判别式可得a=c，进而可得2a-b= 2①；m=2时，即该二次函数图象经过点(2，0)时，易知5a+ 2b=0②，联立①②并求解，可得函数解析式为，令y=0，得，求解可知此时；当m逐渐增大时，该函数图象与x轴的另一交点逐渐向左运动，函数图象与y轴的交点逐渐向下运动，结合a=c>0，结合图象即可得解.
14．（2024九上·曲靖期末）在学习二次函数与一元二次方程时，从二次函数图象可得如下结论．
如果抛物线与x轴有公共点的横坐标是，那么当x＝时，函数值是0，因此是方程的一个根．
同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题
（1）若二次函数（m为常数）与x轴两交点的横坐标为，，，求二次函数的解析式；
（2）不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标；
（3）在（1）的条件下，当，时，对应的函数值为N，Q，若求证：
【答案】（1）解：由题意得
，
，
，
解得：，
，
二次函数的解析式为
（2）解：
，
不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，
不含项，
，
解得 ，
当时，
；
该函数图象始终过定点；
（3）解：证明：当，时，
，
，
，
，
①当时，
，
，
，
；
②当时，
，
，
，
；
综上所述：．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）利用根与系数的关系可得，再结合可得求出m的值即可得二次函数解析式；
（2）将二次函数的解析式变形为，再结合“ 不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点”可得，再求出x的值，最后求出y的值即可；
（3）先求出，再分类讨论：①当时，②当时，再分别求出的解析式，最后求解即可.
三、拓展创新
15．（2023九上·宁波月考）规定：若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标互为相反数，则称点为这个函数的“互反点”．若关于的二次函数对于任意的常数，恒有两个“互反点”，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：令得，
整理得，
由题意知，有两个不相等的实数根，
，
不等式成立，
关于n的一元二次方程无解，
，
整理得，
解得，
故答案为：D.
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式，根据恒有两个“互反点”，可得有两个不相等的实数根，推出，根据关于n的一元二次方程无解，即可求出的取值范围．
16．（2022九上·北仑期中）对于实数a，b，定义运算“*”：； ，关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】定义新运算；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：当2x 1≤x 1时，即x≤0，
（2x 1）*（x 1）＝（2x 1）2 （2x 1）（x 1）＝2x2 x，
当2x 1＞x 1时，即x＞0，
（2x 1）*（x 1）＝（x 1）2 （2x 1）（x 1）＝ x2＋x，
∴，
∵ 关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根 ，
∴直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点，
∵抛物线y=2x2-x（x≤0）的最低点作为（0，0），而顶点坐标为，对称轴直线为x=，故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点，且m的取值范围为m≥0，
∴直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点，∴-x2+x=m一定有两个不相等的实数根，∴1-4m＞0，解得，
又∵抛物线y=-x2+x与x轴两交点的坐标为（0，0）、（1，0），∴当m=0时，直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x只有两个不同的交点，
综上所述m的取值范围为：，
即当时， 关于x的方程（2x 1）*（x 1）＝m恰有三个不相等的实数根.
故答案为：.
【分析】首先根据定义新运算法则可得，从图象的角度来说直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点，抛物线y=2x2-x（x≤0）的最低点作为（0，0），而顶点坐标为，对称轴直线为x=，故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点，且m的取值范围为m≥0，从而得出直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点，根据根的判别式列出不等式，求解可得m取值范围，又由于抛物线y=2x2-x（x≤0）及y=-x2+x（x＞0）与x轴的交点是（0，0）、（1，0），故m≠0，综上所述即可得出答案.
17．（2023九上·绍兴月考）若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为.
（1）①判断：函数 “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图像上的明德点是 ；
（2）若抛物线上有两个“明德点”，求的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值.
【答案】（1）不是；（0，0）或（2，4）
（2）抛物线是“明德函数”， ，
整理得：，
抛物线上有两个“明德点”，
，，
的取值范围为且；
（3）由题意可知，
整理得，
整理得，
对称轴为直线m=k，此时n的最小值为2k；根据题意分类讨论：
①
②
③
综上，k的值为0或。
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）①令2x+3=2x，此方程无解，
∴ 函数不是“ 明德函数 ”
故答案为：不是.
② 令x2=2x，解得x=0或2，
∴ 函数的图像上的明德点是（0，0） 或（2，4）；
故答案为：（0，0） 或（2，4）；
【分析】（1）根据“ 明德函数 ”的定义进行判断即可；
（2）根据“ 明德函数 ”的定义可得，可得△＞0，据此解答即可；
（3）根据“ 明德函数 ”的定义可得，由唯一一个“明德点”，可得△=0，可得，对称轴为直线m=k，此时n的最小值为2k，再分类讨论即可.
1 / 1二次函数与一元二次方程—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024九上·温州开学考）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2024九上·温州月考）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下，则关于的方程的解是（ ）
… …
… …
A．， B．
C． D．，
3．（2024九上·杭州开学考）已知二次函数的与的部分对应值如表：
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与轴交于负半轴
C．当时，
D．方程的正根在与之间
4．（2021九上·杭州期中）抛物线y＝x2＋ax＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的方程x2＋ax＋3﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6
5．（2023九上·杭州期中）已知m=6，关于x的一元二次方程(x+3)(x－4)－m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（ ）
A．x1＜－3＜4＜x2 B．－3＜x1＜4＜x2
C．－3＜x1＜x2＜4 D．x1＜－3＜x2＜4
6．（2023九上·余姚月考）二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为 ．
7．（2024·莲都二模）已知二次函数
（1）当a=2时，
①若该函数图象的对称轴为直线x=1，且过点(0，3)，求该函数的表达式；
②若方程有两个相等的实数根，求证：2b+8c≥-1；
（2）若已知点点在平面直角坐标系中，当二次函数的图象与线段MN有交点时，求a的取值范围。
8．已知关于x的一元二次方程
（1）若该方程有实数根，求m的值.
（2）对于函数当x>1时，y 随x的增大而增大.
①求m的取值范围.
②若函数y =2x+n与函数y 的图象相交于y轴上同一点，求n的最小值。
二、能力提升
9．（2024九上·浙江期中）已知直线y＝kx＋1与抛物线y＝x2交于点A、B，与抛物线y＝x2＋2x－1交于点C、D．若AB＝CD，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．－2
10．（2023九上·路桥月考）三个方程，，的正根分别记为，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023九上·杭州期末）已知关于x的一元二次方程有实根x1，x2，且x1＜x2，现有下列说法： ①当m=0时，x1=2，x2=3；②当m>0时，2＜x1＜x2＜3；③；④二次函数的图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（3，0）. 其中正确的有 .
12．（2022九上·杭州期中）已知二次函数y=a（x-x1）（x-x2）与x轴的交点是（1，0）和（3，0），关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=m（m>0）的两个解分别为-1和5，关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=n（其中m>n>0）也有两个整数解，则这两个整数解分别是 ．
13．（2024·金华模拟）已知二次函数是常数，的图象经过点.
（1）若抛物线的顶点为，求函数的表达式.
（2）在（1）的条件下，若函数图象过点，求证：.
（3）若函数图象经过点，其中，且关于的方程有两个相等的实数根，求的取值范围.
14．（2024九上·曲靖期末）在学习二次函数与一元二次方程时，从二次函数图象可得如下结论．
如果抛物线与x轴有公共点的横坐标是，那么当x＝时，函数值是0，因此是方程的一个根．
同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题
（1）若二次函数（m为常数）与x轴两交点的横坐标为，，，求二次函数的解析式；
（2）不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标；
（3）在（1）的条件下，当，时，对应的函数值为N，Q，若求证：
三、拓展创新
15．（2023九上·宁波月考）规定：若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标互为相反数，则称点为这个函数的“互反点”．若关于的二次函数对于任意的常数，恒有两个“互反点”，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．（2022九上·北仑期中）对于实数a，b，定义运算“*”：； ，关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
17．（2023九上·绍兴月考）若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为.
（1）①判断：函数 “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图像上的明德点是 ；
（2）若抛物线上有两个“明德点”，求的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=kx+b的两个交点坐标分别为A（-1，1），B（3，9），
∴方程ax2=kx+b的解即为抛物线和直线的交点，
∴解为x1=-1，x2=3，
故答案为：B
【分析】根据题意可知方程ax2=kx+b的解即为抛物线y=ax2与直线y=kx+b的交点横坐标，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表中数据可知，当x=0和x=2000时y的值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x=，
∴x=500和x=1500时y=-1，
∴当y=-1时，x1=500，x2=1500，
∵当x=0时y=1，
∴c=1，
∴y=ax2+bx+1，
当y=-1时，ax2+bx+1=-1即ax2+bx+2=0
∴关于x的方程ax2+bx+2=0的解是x1=500，x2=1500.
故答案为：D.
【分析】利用表中数据，根据二次函数的对称性可求出抛物线的对称轴，再根据二次函数图象的对称性可知当y=-1时，x1=500，x2=1500，将x=0，y=1代入函数解析式，可得到y=ax2+bx+1，由此可知当y=-1时，可得到关于x的方程ax2+bx+2=0，由此可求出此方程的解.
3．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：观察表格可得，
A、抛物线的对称轴是直线，有最大值，抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意；
B、当时，，抛物线与轴的交点为，故选项B错误，不合题意；
C、和时的函数值相等，则时，，故选项C错误，不合题意；
D、方程的正根在3与4之间，故选项D正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】观察表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，据此求解．
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的交点问题，
∵方程在的范围内有实数根，
当时，，
当时，，
当时，，
函数在时有最小值2，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据对称轴求出函数解析式，再将一元二次方程x2+bx+3-t=0的实数根转化为抛物线与函数y= t的交点问题，再由-25．【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图所示
根据题意得：该二次函数与x轴的交点坐标为：（-3，0）和（4，0），因此当m=6时可以看成一元二次方程(x+3)(x－4)－m＝0的解是，可以看成是y=（x+3）（x-4）的图像与直线y=6交点的横坐标，由图可知：
故答案为：A.
【分析】首先把方程(x +3)(x -4)m=0的解x1和x2看作是直线y=6与二次函数 y =(x +3)(x -4)交点的横坐标，而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求出，结合图象便可求出x1和x2的取值范围，最后选出答案.
6．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过(－1，0)，
∴二次函数的对称轴为，
∴二次函数与x轴的另外一个交点为（3，0），
∴方程ax2－2ax＋c＝0的解为
故答案为：
【分析】先根据二次函数的图象求出其对称轴，再根据对称性结合题意即可得到二次函数与x轴的另外一个交点，再根据一元二次方程的解结合二次函数与坐标轴的交点即可求解。
7．【答案】（1）解：①当时，对称轴为直线，
由得，
图象过点，
函数的表达式。
②方程有两个相等的实数根，
（2）若该二次函数表达式为。
把代入得：，把代入得：，
分为两种情况来讨论：
①当时，线段MN与抛物线有交点，则
，解得：
②当a<0时，线段MN与抛物线有交点，则
，解得：
的取值范围是或。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）①当时，对称轴为直线，据此求出b值，由抛物线过点(0，3)可求出c值，继而得解；
②由方程有两个相等的实数根，可得△=据此可得从而得出
（2）易求二次函数表达式为，当时，当时，分为两种情况来讨论：①当时，线段MN与抛物线有交点，则，②当a<0时，线段MN与抛物线有交点，则，据此分别解答即可.
8．【答案】（1）解： 方程有实数根 ，∴，
∴m=1.
（2）解：①的对称轴为直线，
当x>1时，y 随x的增大而增大 ，
∴，解得；
② 函数y =2x+n与函数y 的图象相交于y轴上同一点，
∴，
∴m=0时，n有最小值，此时.
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）利用根的判别式：方程有实数根时，，即可得解；
（2） ① 根据二次函数的性质可得，计算求解即可；
②由题意得，根据二次函数的性质，即可得解.
9．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设点A，B的横坐标为，，则，是方程 x2 -kx-1=0的两根，
∴x1+x2=k，x1x2=-1，
∴，
同理，
∵ AB＝CD，
∴，
即，
解得：k=2，
故答案为：A.
【分析】设点A，B的横坐标为，，根据根于系数的关系得到x1+x2=k，x1x2=-1，然后得到，，然后根据条件列方程解题梯即可.
10．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设函数解析式为y=（x+1）（x-2），
当，，时，分别对应的方程为：，，，
则，
∵1＞0，
∴函数图象开口向上，对称轴为，顶点为，
在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∵，
∴x1＜x2＜x3，
故答案为：C.
【分析】设函数解析式为y=（x+1）（x-2），根据二次函数与一元二次方程的关系可得当，，时，分别对应的方程为：，，，再根据函数的图象：y=a（x-h）2+k（a≠0，a、h、k为常数），顶点坐标为（h，k） ，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；二次函数的性质：当a>0，x＜h时，y随x的增大而减小，x>h时，y随x的增大而增大，当a＜0，x＜h时，y随x的增大而增大，x>h时，y随x的增大而减小；即可得出答案.
11．【答案】①③
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】 解：①当m＝0时，一元二次方程为（x 2）（x 3）＝0，
∴x1＝2，x2＝3，故①正确；
②当m＞0时，
∵一元二次方程（x 2）（x 3）＝m有实根x1，x2，且x1＜x2，
∴原方程转化为x2 5x＋6 m＝0，
根据根与系数的关系得，x1＋x2＝ ＝5，x1 x2＝＝6 m，
若2＜x1＜x2＜3，则|x2 x1|＜1，
∵(x2 x1)2＝x12 2x1x2＋x22＝(x1＋x2)2 4x1x2＝25 4(6 m)＝4m＋1，且m＞0，
∴|x2 x1|＜1错误，即2＜x1＜x2＜3错误，故②错误；
∴当m＞0时，x＜2或x＞3，故②错误；
③（x 2）（x 3）＝m转化为x2 5x＋6 m＝0，有实根x1，x2，且x1＜x2，
∴Δ＝b2 4ac＝（ 5）2 4（6 m）＞0，即1＋4m＞0，
∴m＞ ，故③正确；
④∵一元二次方程（x 2）（x 3）＝m有实根x1，x2，且x1＜x2，
∴原方程转化为x2 5x＋6 m＝0，
根据根与系数的关系得，x1＋x2＝ ＝5，x1 x2＝＝6 m，
∴y＝(x x1)(x x2) m＝x2 (x1＋x2)x＋x1x2 m，即y＝x2 5x＋6 2m，
∴由二次函数y＝（x x1）（x x2） m的图象与x轴的交点坐标不是（2，0）和（3，0），故④错误．
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
【分析】当m=0时，代入原方程，求解即可判断①；将m作为常数，将方程整理成一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得，x1＋x2＝ ＝5，x1 x2＝＝6 m，进而利用完全平方的恒等变形可得(x2 x1)2＝(x1＋x2)2 4x1x2＝4m＋1，且m＞0，据此可判断②；根据根的判别式的情况可以判断③；进而根据一元二次方程与二次函数图象之间的关系即可判断④.
12．【答案】0和4
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：令y=m，
∵关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=m（m>0）的两个解分别为-1和5，
∴二次函数y＝a（x-x1）（x-x2）与y＝m的交点分别为（-1，m）和（5，m），
又∵关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=n（m>n＞0）也有两个整数解，
∴设二次函数y＝a（x-x1）（x-x2）与y＝n的交点分别为（p，n）和（q，n），
∵m>n＞0，
∴直线y＝n在x轴和直线y＝m之间，
如图所示，
由图可知，-1＜p＜1，3＜q＜5
又∵p，q都为整数，
∴p＝0，q＝4.
故答案为：0和4.
【分析】令y=m，由关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=m（m>0）的两个解分别为-1和5，得二次函数y＝a（x-x1）（x-x2）与y＝m的交点分别为（-1，m）和（5，m），由关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=n（m>n＞0）也有两个整数解，得y＝n的交点分别为（p，n）和（q，n），再由m>n＞0可得直线y＝n在x轴和直线y＝m之间，结合图象易得-1＜p＜1，3＜q＜5，又p，q都为整数，求得p＝0，q＝4，即可求解.
13．【答案】（1）由题意，∵抛物线的顶点为(1，-2)，
∴可设抛物线为
又图象经过点(-1，2)，
∴
∴.
∴函数表达式为
（2）证明：根据题意，函数图象过点，
分别将点， 代入函数解析式
可得，，
∴，
∵，
∴.
（3）∵二次函数的图象经过点(-1，2)，
∴，
∴，
将方程整理可得：，
∵该方程有两个相等的实数根，
∵，
∴，
∴可有，即有
该二次函数解析式为，
当m = 2时，即该二次函数图象经过点(2，0)时，
若，即该函数图象开口向下，如图，
此时该函数图象与y轴交点在y轴的正半轴上，
此时a>0，故不符合题意；
若a>0，即该函数图象开口向上，如图，
则有4a + 2b + a = 0，即5a + 2b =0②，联立①②，可得：
，解得，
∴该函数解析式为，
令，得
解得，
∴此时
当m逐渐增大时，该函数图象与x轴的另一交点逐渐向左运动，函数图象与y轴的交点逐渐向下运动，
∵该函数图象开口向上，
∴函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴函数图象与x轴的交点在x轴的正半轴上，
∴当m逐渐增大时，有.
综上所述，n的取值范围为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】 (1) 设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可；
(2)根据题意，函数图象过点 ，易得，，进而可得，结合，即可得解；
(3) 根据二次函数的图象经过点(-1，2)，易得b+2=a+c，结合方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程的根的判别式可得a=c，进而可得2a-b= 2①；m=2时，即该二次函数图象经过点(2，0)时，易知5a+ 2b=0②，联立①②并求解，可得函数解析式为，令y=0，得，求解可知此时；当m逐渐增大时，该函数图象与x轴的另一交点逐渐向左运动，函数图象与y轴的交点逐渐向下运动，结合a=c>0，结合图象即可得解.
14．【答案】（1）解：由题意得
，
，
，
解得：，
，
二次函数的解析式为
（2）解：
，
不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，
不含项，
，
解得 ，
当时，
；
该函数图象始终过定点；
（3）解：证明：当，时，
，
，
，
，
①当时，
，
，
，
；
②当时，
，
，
，
；
综上所述：．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）利用根与系数的关系可得，再结合可得求出m的值即可得二次函数解析式；
（2）将二次函数的解析式变形为，再结合“ 不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点”可得，再求出x的值，最后求出y的值即可；
（3）先求出，再分类讨论：①当时，②当时，再分别求出的解析式，最后求解即可.
15．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：令得，
整理得，
由题意知，有两个不相等的实数根，
，
不等式成立，
关于n的一元二次方程无解，
，
整理得，
解得，
故答案为：D.
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式，根据恒有两个“互反点”，可得有两个不相等的实数根，推出，根据关于n的一元二次方程无解，即可求出的取值范围．
16．【答案】
【知识点】定义新运算；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：当2x 1≤x 1时，即x≤0，
（2x 1）*（x 1）＝（2x 1）2 （2x 1）（x 1）＝2x2 x，
当2x 1＞x 1时，即x＞0，
（2x 1）*（x 1）＝（x 1）2 （2x 1）（x 1）＝ x2＋x，
∴，
∵ 关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根 ，
∴直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点，
∵抛物线y=2x2-x（x≤0）的最低点作为（0，0），而顶点坐标为，对称轴直线为x=，故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点，且m的取值范围为m≥0，
∴直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点，∴-x2+x=m一定有两个不相等的实数根，∴1-4m＞0，解得，
又∵抛物线y=-x2+x与x轴两交点的坐标为（0，0）、（1，0），∴当m=0时，直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x只有两个不同的交点，
综上所述m的取值范围为：，
即当时， 关于x的方程（2x 1）*（x 1）＝m恰有三个不相等的实数根.
故答案为：.
【分析】首先根据定义新运算法则可得，从图象的角度来说直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点，抛物线y=2x2-x（x≤0）的最低点作为（0，0），而顶点坐标为，对称轴直线为x=，故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点，且m的取值范围为m≥0，从而得出直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点，根据根的判别式列出不等式，求解可得m取值范围，又由于抛物线y=2x2-x（x≤0）及y=-x2+x（x＞0）与x轴的交点是（0，0）、（1，0），故m≠0，综上所述即可得出答案.
17．【答案】（1）不是；（0，0）或（2，4）
（2）抛物线是“明德函数”， ，
整理得：，
抛物线上有两个“明德点”，
，，
的取值范围为且；
（3）由题意可知，
整理得，
整理得，
对称轴为直线m=k，此时n的最小值为2k；根据题意分类讨论：
①
②
③
综上，k的值为0或。
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）①令2x+3=2x，此方程无解，
∴ 函数不是“ 明德函数 ”
故答案为：不是.
② 令x2=2x，解得x=0或2，
∴ 函数的图像上的明德点是（0，0） 或（2，4）；
故答案为：（0，0） 或（2，4）；
【分析】（1）根据“ 明德函数 ”的定义进行判断即可；
（2）根据“ 明德函数 ”的定义可得，可得△＞0，据此解答即可；
（3）根据“ 明德函数 ”的定义可得，由唯一一个“明德点”，可得△=0，可得，对称轴为直线m=k，此时n的最小值为2k，再分类讨论即可.
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