二次函数与不等式（组）—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2023九上·萧山期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝-，且经过点（-2，0），（x1，y1），（x2，y2），下列说法正确的是（ ）
A．bc＞0
B．当x1＞x2≥-时，y1＞y2
C．a＝2b
D．不等式ax2+bx+c＜0的解集是-2＜x＜
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的图象开口向上，
，
二次函数的图象的对称轴为直线，
，
∴，故选项C错误；
二次函数的图象交于y轴的负半轴，
，
，故选项A错误；
二次函数的图象的对称轴为直线，且，
当时，y随x的增大而增大，
当时，，故选项B正确；
二次函数的图象经过点（-2，0），且对称轴为直线，
二次函数的图象经过点（1，0），
由图象可得当时，，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】由二次函数的图象开口向上可得，再通过对称轴证得，故C错误；由二次函数的图象交于y轴的负半轴可得，进而证得，故A错误；利用二次函数图象的性质可得当时，y随x的增大而增大，故B正确；利用二次函数图象的对称性可得二次函数的图象经过点（-2，0），（1，0），故可得的解集为，故D错误.
2．（2023九上·衢江月考）已知函数与函数的图象大致如图.若则自变量的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：联立方程可得：x2=-x+3，
解得：x1=-2，x2=，
∴两函数图象的交点的横坐标为-2和，
再根据图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是-2＜x＜．
故答案为：C．
【分析】先联立方程求出两函数图象交点的横坐标，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
3．（2023九上·萧山月考）已知二次函数，若，则自变量的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：令，
整理得：，
解得，，，
结合二次函数图象得
不等式时，不等式的解集为：或．
故答案为：A.
【分析】令，解得，，，结合二次函数图象得时，不等式的解集为：或．
4．（2022九上·杭州月考）已知抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝3，则关于x的不等式x2+bx＜﹣8的取值范围是（ ）
A．1＜x＜5 B．2＜x＜4 C．0＜x＜6 D．﹣1＜x＜7
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝3，
∴=3，
∴b=-6，
∴抛物线的解析式为y＝x2-6x，
当y=-8时，x2-6x=-8，
解得x=2或x=4，
∵抛物线的开口向上，
∴不等式x2+bx＜-8的取值范围是2＜x＜4.
故答案为：2＜x＜4.
【分析】先求出抛物线的解析式，再求出当y=-8时x=2或x=4，结合二次函数的图象即可得出答案.
5．（2021九上·江干期中）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 .
【答案】﹣5＜x＜3
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），
根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即
抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，
∴另一个交点的坐标为（3，0），
∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3.
故答案为：﹣5＜x＜3.
【分析】利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点的坐标为（3，0），根据图象可知当﹣5＜x＜3时，函数图象在x轴上方，即得出ax2+bx+c＞0的解集.
6．（2023九上·金东期末） 经过点，则不等式的解集是 ．
【答案】x＞4或x＜0
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 经过点，
-3＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴不等式的解集为x＞4或x＜0.
故答案为：x＞4或x＜0
【分析】利用函数解析式可知抛物线的开口向下，利用点A，B的纵坐标都为2，可得到不等式-3x2+bx+c＜2的解集.
7．（2023九上·路桥月考）已知二次函数y＝x2＋bx＋c经过A(1，1)和B(－1，－3)，二次函数与一次函数y＝－x－2交于C，D两点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求三角形BCD的面积．
（3）结合图象直接写出不等式x2＋bx＋c＞－x－2的解集．
【答案】（1）把A（1，1）和B（－1，－3）代入y＝x2＋bx＋c得，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x－2；
（2）联立方程组得，
解得或，
∴D（0，－2），C（－3，1）， (2分)
∵y＝x2＋2x－2＝（x＋1）2－3，
∴顶点B（－1，－3）， (1分)
过点B作y轴的平行线，与CD相交于点E，如图所示：
当x＝－1时，y＝－x－2＝1－2＝－1，
∴E（－1，－1），
∴BE＝－1－（－3）＝2，
∴S△BCD＝×2×3＝3；
（3）解集为x＜－3或x＞0．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）+2x-2＞-x-2；
移项可得+3x＞0；
因式分解x（x+3）＞0；
解得x＜－3或x＞0.
【分析】（1）根据待定系数法解二次函数的解析式，将点A和B的坐标代入函数，加减消元法解一元二次方程即可；
（2）根据图像的交点的性质，列关于x，y的一元二次方程，加减消元法解方程即可求出交点的坐标；根据二次函数的图形性质，可得顶点的坐标；根据一次函数的点的性质，将x=-1代入一次函数，可以求出点E的坐标；根据两点间的距离公式，可以得到BE的长；根据三角形的面积公式，即可求出三角形BCD的面积；
（3）根据不等式的性质，移项，因式分解，即可求得关于x的解集.
8．（2022九上·杭州月考）在平面直角坐标系中，设二次函数，实数
（1）若二次函数图象经过点（-2，-10），求这个二次函数的解析式及顶点坐标：
（2）若二次函数图象上始终存在两个不同点，这两个点关于原点对称，求a的取值范围；
（3）若，设点，是二次函数图象上两个不同点，且，求证：.
【答案】（1）解：二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式是，
∴，
∴顶坐标是
（2）解：∵二次函数图象上始终存在两个不同点，这两个点关于原点对称，
∴设这两个点的坐标是与，且，
∴与，
两式相加得，
∴，
∴，
∴，
∴或；
（3）证明：由题知，，
∴
∵，，
∴
∵，
∴
∴
又∵，
∴.
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式，再将解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（2）设这两个点的坐标是与，将这两个坐标分别代入二次函数解析式中，再将两式相加得， ，根据x2＞0即可求出a的范围；
（3）把M、N两点代入函数解析式中，然后求出，由，可得 ，由a＞0及即可求解.
二、能力提升
9．（2022九上·杭州期中）已知二次函数的图象过，，，，若，则下列表达式正确的是（ ）
A．对于任意，恒成立
B．不存在实数，使得成立
C．存在实数，使得成立
D．对于任意，恒成立
【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴二次函数对称轴为：
∵二次函数的图象过，，且，
若a＞0，则
若a＜0，则
∴对于任意，恒成立，
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的对称性可知，点B和点D的横坐标互为相反数，即点B和点D关于抛物线的对称轴对称，即可知抛物线的对称轴，再根据已知条件，结合二次函数的性质，即可得出答案.
10．（2021九上·宁波期中）汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：S甲 ，S乙 .由此可以推测（ ）
A．甲车超速 B．乙车超速
C．两车都超速 D．两车都未超速
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由 ，先求出 ，x的解也就是二次函数 的图象与x轴的两个交点的横坐标：
从图象可得 ，x是在A点的左侧以及B点的右侧，即 或 .
由 ，先求出 ，x的解也就是二次函数 的图象与x轴的两个交点的横坐标：
从图象可得 ，x是在C点的左侧以及D点的右侧，即 或 .
由于 ，从而可得：
， .
经比较：乙车超过限速.
故答案为：B.
【分析】令S甲>12，可得x<-40或x>30；令S乙>10，可得x<-50或x>40，结合x>0确定出x的范围，据此判断.
11．（2021九上·长兴月考）如图，已知y＝ 与y＝x2﹣7的图象的交点A（﹣2，﹣3），B（﹣1，﹣6），C（3，2），则不等式x2＞ +7的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞3 B．﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜3
C．﹣2＜x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣2或﹣1＜x＜0或x＞3
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：不等式x2＞ +7的解集实际上就是当抛物线y＝x2﹣7的图象位于值反比例函数y＝ 的图象上方时，所对应的自变量x的取值范围，
根据图象可以得到：
在第一象限，当x＞3时，二次函数的值大于反比例函数的值，
在第三象限，有两部分，即当x＜﹣2或﹣1＜x＜0时，二次函数的值大于反比例函数的值，
故答案为：D.
【分析】不等式x2＞ +7的解集实际上就是当抛物线y＝x2﹣7的图象位于值反比例函数y＝ 的图象上方时，所对应的自变量x的取值范围，利用图象求解即可.
12．（2019九上·长兴月考）已知二次函数y=x2-4x+3和一次函数y=-px+p，若对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2-4x+3>-px+p恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．x>1 B．13
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵x2-4x+3>-px+p，
∴x2-1＞（4-p）（x-1）
∵ 0≤p≤4，
当p=0时，x2-1＞（4-0）（x-1）
x2-4x+3＞0
∴x＞3或x＜1；
当p=4时，x2-1＞（4-4）（x-1）
∴x＞1或x＜-1;
当0＜p＜4时，
当x+1＞4-p＞0
解之：x＞-1；
当x+1＜4-p＜0时，
解之：x＜-1.
∴x的取值范围为x＜-1或x＞3.
故答案为：D
【分析】将不等式转化为x2-1＞（4-p）（x-1），再根据p的取值范围，分别求出p=0和p=4时，x的取值范围；再求出当0＜p＜4时，x+1＞4-p＞0和x+1＜4-p＜0时x的取值范围，然后就可得到符合题意的x的取值范围。
13．（2023九上·武义月考）抛物线交轴于A（-1，0），B（2，0）两点，则不等式的解为 ．
【答案】 或x＞2
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 抛物线交轴于A（-1，0），B（2，0）两点，
∴x=-1和x=2是方程的解，
∴方程的解也是 x=-1和x=2，
∴函数与x轴交于点A（-1，0），B（2，0）
∴的 解集为 或x＞2.
故答案为： 或x＞2.
【分析】首先得出方程的解，进一步得出方程的解，再得出函数与x轴交于点A（-1，0），B（2，0） ，进一步根据函数性质，得出的 解集为 或x＞2.
14．（2023九上·义乌月考）对于二次函数，规定函数是它的相关函数.已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为 ．
【答案】或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点，的坐标分别为，，
∴MN∥x轴，线段MN的中点的横坐标为；
线段MN的中点坐标为（2，1）
如图1，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有1个公共点，
当x=2时，y=-4+8+n=1，
解之：n=3；
如图2，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有3个公共点，
抛物线y=x2-4x-n与y轴交点的纵坐标为1，
∴-n=1，
解之：n=-1；
∴当-3＜n＜-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有3个公共点；
如图3，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有3个公共点
∵抛物线经过点（0，1），
∴n=1；
如图4，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有2，个公共点，
∵抛物线经过点，
∴
解之：，
∴当时， 线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有3个公共点；
综上所述n的取值范围为或.
故答案为：或.
【分析】利用点M、N的坐标，可求出线段MN的中点坐标，同时可证得MN∥x轴；如图1，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有1个公共点，将x=2，y=1代入函数解析式可求出n的值；如图2，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有3个公共点，可得到抛物线y=x2-4x-n与y轴交点的纵坐标为1，可得到n的值；可得到当-3＜n＜-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有3个公共点；如图3，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有3个公共点，可知抛物线经过点（0，1），代入可求出n的值；如图4，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有2，个公共点，抛物线经过点，据此可得到关于n的方程，解方程求出n的值，即可求出n的取值范围；综上所述可得到符合题意的n的取值范围.
15．（2023九上·萧山月考）已知抛物线经过点.请解决下列问题：
（1）点分别落在抛物线上，且，求的值.
（2）当时，
①求的取值范围.
②若，求的值.
【答案】（1）对称轴，
抛物线经过点.
（2）①当时，，
.
②当时，.
若，即时，
，
则，
解得(舍去).
若，即时，
，
则，
解得(舍去)，.
综上所述：或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)利用二次函数的性质可得对称轴为直线，进而解得m=2，再将点P坐标代入解析式求得k的值.
（2） ① 将点P坐标代入二次函数解析式得到k关于m的表达式，再利用函数性质求得k的取值范围.
② 由二次函数的性质可得当时，，当时，，解得；当时，，解得.
16．（2023九上·萧山期中）已知，点M为二次函数y=-x2+2bx-b2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴和y轴于点A，B．
（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由；
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞-x2+2bx-b2+4b+1，结合图象，求x的取值范围；
（3）如图2，点A坐标为(5，0)，点M在△AOB内，若点C(，y1)，D(，y2)都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．
【答案】（1）解：点在直线上，
理由如下：，
顶点的坐标是，
把代入，得，
点在直线上；
（2）解：如图1，直线交轴于点，
点坐标为，
又在抛物线上，
，
解得，
二次函数的解析是为，
当时，，
解得，
，
由图象，得当时，的取值范围是或；
（3）解：如图2，
直线与直线AB交于点，与轴交于，
设直线AB的函数关系式为：，
将代入得，
解方程组得，，
直线AB的解析式为，
联立EF，AB得方程组，
解得：，
点，而点坐标为，
点在内，
，
，
当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，，
，
且二次函数图象开口向下，顶点在直线上，
综上：①当时，；②当时，；③当时，.
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)将二次函数解析式化为顶点式得到点M的坐标，再将点M横坐标代入一次函数解析式即可判定点M在直线y=4x+1上.
(2)利用直线解析式求得点B坐标，再将点B坐标代入二次函数解析式解得b值，进而求得点A坐标，观察函数图象可得当时，的取值范围是或.
(3)利用点A坐标解得直线AB解析式为，由于点M在直线上，联立方程组可得两直线交于点，由点在内可得，解得，若点C、D关于抛物线的对称轴对称，可解得，利用二次函数的增减性可得当时，；当时，；当时，.
三、拓展创新
17．（2022九上·东阳月考）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：x2-2x-3＜0．
解：设x2-2x-3＝0，解得：x1＝-1，x2＝3，
则抛物线y＝x2-2x-3与x轴的交点坐标为（-1，0）和（3，0）．
画出二次函数y＝x2-2x-3的大致图象（如图所示）．
由图象可知：当-1＜x＜3时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2-2x-3＜0．
所以一元二次不等式x2-2x-3＜0的解集为：-1＜x＜3．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 .（只填序号）
①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．
（2）用类似的方法解一元二次不等式：-x2+2x＞0．
（3）某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数y＝-（x-1）（|x|-3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
①自变量x的取值范围是▲；x与y的几组对应值如表，其中m＝▲．
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 -3 m -3 0 1 0 -3 …
②如图，在直角坐标系中画出了函数y＝-（x-1）（|x|-3）的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．
③结合函数图象，解决下列问题：
解不等式：-3≤-（x-1）（|x|-3）≤0．
【答案】（1）①；③
（2）解：设-x2+2x＝0，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴抛物线y＝-x2+2x与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0），
画出二次函数y＝-x2+2 x的大致图象，如下图所示，
由图象可知：当0＜x＜2时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即-x2+2x＞0．
∴一元二次不等式-x2+2x＞0的解集为0＜x＜2．
（3）解：②列表如下：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 -3 -4 -3 0 1 0 -3 …
如图所示，画函数y＝-（x-1）（|x|-3）的图象.
③由图象可知：当-3≤x≤-2或0≤x≤1或3≤x≤4时函数图象位于-3与0之间，
∴-3≤y≤0，即-3≤-（x-1）（|x|-3）≤0，
∴不等式-3≤-（x-1）（|x|-3）≤0的解集为：-3≤x≤-2或0≤x≤1或3≤x≤4.
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数与不等式（组）的综合应用；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】（1）上述解题过程中，渗透了数学思想中的转化思想和数形结合思想.
故答案为：①和③；
（3）①∵函数y＝-（x-1）（|x|-3），
∴自变量x的取值范围是：任意实数；
当x=-1时，y=-（-1-1）（|-1|-3）=-4，
∴m＝-4．
故答案为：任意实数；-4.
【分析】（1）依据解答过程体现的数学思想方法解答即可；
（2）利用转化思想和数形结合思想的方法，画出函数的图象，再观察图象解答即可；
（3）①依据函数的解析式填表计算即可；②利用描点法解答即可；③利用转化思想和数形结合思想的方法，观察图象解答即可．
18．（2023九上·浙江期中）新定义：我们把抛物线与抛物线(其中)称为“关联抛物线”.例如：抛物线的“关联抛物线”为.已知抛物线的“关联抛物线”为.
（1）写出抛物线的函数表达式(用含的式子表示) ，顶点坐标为 .
（2）对于和，当时，求的取值范围.
（3）若，当时，的最大值与最小值的差为2a，求的值.
【答案】（1）；
（2）解：，
，
即：，
当时，解得：或；
当时，解得：；
综上所述，当时，或；当时，；
（3）解：抛物线：，
当时，．
当 时，；
当 时，；
∵ ，∴
根据题意可知，需要分两种情况讨论：
Ⅰ．当，即时，
若，即，则；，
，
解得或（舍或（舍；
若，即时，；，
，
解得或（舍或（舍；
Ⅱ．当，即时，；．
，
解得（舍或（舍；
综上所述，的值为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）解： 抛物线 ，根据“关联抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；
，
顶点坐标为；
故答案为：；；
【分析】（1）根据“关联抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；配方可得，即可得顶点坐标为；
（2）由，得，即，当时，，可得或；当时，，得；
（3）求出当时，．当 时，；当 时，；分情况讨论：Ⅰ．当，即时，若，，若，，Ⅱ．当，即时，，分别解方程可得答案．
1 / 1二次函数与不等式（组）—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2023九上·萧山期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝-，且经过点（-2，0），（x1，y1），（x2，y2），下列说法正确的是（ ）
A．bc＞0
B．当x1＞x2≥-时，y1＞y2
C．a＝2b
D．不等式ax2+bx+c＜0的解集是-2＜x＜
2．（2023九上·衢江月考）已知函数与函数的图象大致如图.若则自变量的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
3．（2023九上·萧山月考）已知二次函数，若，则自变量的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
4．（2022九上·杭州月考）已知抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝3，则关于x的不等式x2+bx＜﹣8的取值范围是（ ）
A．1＜x＜5 B．2＜x＜4 C．0＜x＜6 D．﹣1＜x＜7
5．（2021九上·江干期中）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 .
6．（2023九上·金东期末） 经过点，则不等式的解集是 ．
7．（2023九上·路桥月考）已知二次函数y＝x2＋bx＋c经过A(1，1)和B(－1，－3)，二次函数与一次函数y＝－x－2交于C，D两点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求三角形BCD的面积．
（3）结合图象直接写出不等式x2＋bx＋c＞－x－2的解集．
8．（2022九上·杭州月考）在平面直角坐标系中，设二次函数，实数
（1）若二次函数图象经过点（-2，-10），求这个二次函数的解析式及顶点坐标：
（2）若二次函数图象上始终存在两个不同点，这两个点关于原点对称，求a的取值范围；
（3）若，设点，是二次函数图象上两个不同点，且，求证：.
二、能力提升
9．（2022九上·杭州期中）已知二次函数的图象过，，，，若，则下列表达式正确的是（ ）
A．对于任意，恒成立
B．不存在实数，使得成立
C．存在实数，使得成立
D．对于任意，恒成立
10．（2021九上·宁波期中）汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：S甲 ，S乙 .由此可以推测（ ）
A．甲车超速 B．乙车超速
C．两车都超速 D．两车都未超速
11．（2021九上·长兴月考）如图，已知y＝ 与y＝x2﹣7的图象的交点A（﹣2，﹣3），B（﹣1，﹣6），C（3，2），则不等式x2＞ +7的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞3 B．﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜3
C．﹣2＜x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣2或﹣1＜x＜0或x＞3
12．（2019九上·长兴月考）已知二次函数y=x2-4x+3和一次函数y=-px+p，若对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2-4x+3>-px+p恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．x>1 B．13
13．（2023九上·武义月考）抛物线交轴于A（-1，0），B（2，0）两点，则不等式的解为 ．
14．（2023九上·义乌月考）对于二次函数，规定函数是它的相关函数.已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为 ．
15．（2023九上·萧山月考）已知抛物线经过点.请解决下列问题：
（1）点分别落在抛物线上，且，求的值.
（2）当时，
①求的取值范围.
②若，求的值.
16．（2023九上·萧山期中）已知，点M为二次函数y=-x2+2bx-b2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴和y轴于点A，B．
（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由；
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞-x2+2bx-b2+4b+1，结合图象，求x的取值范围；
（3）如图2，点A坐标为(5，0)，点M在△AOB内，若点C(，y1)，D(，y2)都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．
三、拓展创新
17．（2022九上·东阳月考）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：x2-2x-3＜0．
解：设x2-2x-3＝0，解得：x1＝-1，x2＝3，
则抛物线y＝x2-2x-3与x轴的交点坐标为（-1，0）和（3，0）．
画出二次函数y＝x2-2x-3的大致图象（如图所示）．
由图象可知：当-1＜x＜3时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2-2x-3＜0．
所以一元二次不等式x2-2x-3＜0的解集为：-1＜x＜3．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 .（只填序号）
①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．
（2）用类似的方法解一元二次不等式：-x2+2x＞0．
（3）某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数y＝-（x-1）（|x|-3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
①自变量x的取值范围是▲；x与y的几组对应值如表，其中m＝▲．
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 -3 m -3 0 1 0 -3 …
②如图，在直角坐标系中画出了函数y＝-（x-1）（|x|-3）的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．
③结合函数图象，解决下列问题：
解不等式：-3≤-（x-1）（|x|-3）≤0．
18．（2023九上·浙江期中）新定义：我们把抛物线与抛物线(其中)称为“关联抛物线”.例如：抛物线的“关联抛物线”为.已知抛物线的“关联抛物线”为.
（1）写出抛物线的函数表达式(用含的式子表示) ，顶点坐标为 .
（2）对于和，当时，求的取值范围.
（3）若，当时，的最大值与最小值的差为2a，求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的图象开口向上，
，
二次函数的图象的对称轴为直线，
，
∴，故选项C错误；
二次函数的图象交于y轴的负半轴，
，
，故选项A错误；
二次函数的图象的对称轴为直线，且，
当时，y随x的增大而增大，
当时，，故选项B正确；
二次函数的图象经过点（-2，0），且对称轴为直线，
二次函数的图象经过点（1，0），
由图象可得当时，，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】由二次函数的图象开口向上可得，再通过对称轴证得，故C错误；由二次函数的图象交于y轴的负半轴可得，进而证得，故A错误；利用二次函数图象的性质可得当时，y随x的增大而增大，故B正确；利用二次函数图象的对称性可得二次函数的图象经过点（-2，0），（1，0），故可得的解集为，故D错误.
2．【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：联立方程可得：x2=-x+3，
解得：x1=-2，x2=，
∴两函数图象的交点的横坐标为-2和，
再根据图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是-2＜x＜．
故答案为：C．
【分析】先联立方程求出两函数图象交点的横坐标，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
3．【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：令，
整理得：，
解得，，，
结合二次函数图象得
不等式时，不等式的解集为：或．
故答案为：A.
【分析】令，解得，，，结合二次函数图象得时，不等式的解集为：或．
4．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝3，
∴=3，
∴b=-6，
∴抛物线的解析式为y＝x2-6x，
当y=-8时，x2-6x=-8，
解得x=2或x=4，
∵抛物线的开口向上，
∴不等式x2+bx＜-8的取值范围是2＜x＜4.
故答案为：2＜x＜4.
【分析】先求出抛物线的解析式，再求出当y=-8时x=2或x=4，结合二次函数的图象即可得出答案.
5．【答案】﹣5＜x＜3
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），
根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即
抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，
∴另一个交点的坐标为（3，0），
∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3.
故答案为：﹣5＜x＜3.
【分析】利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点的坐标为（3，0），根据图象可知当﹣5＜x＜3时，函数图象在x轴上方，即得出ax2+bx+c＞0的解集.
6．【答案】x＞4或x＜0
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 经过点，
-3＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴不等式的解集为x＞4或x＜0.
故答案为：x＞4或x＜0
【分析】利用函数解析式可知抛物线的开口向下，利用点A，B的纵坐标都为2，可得到不等式-3x2+bx+c＜2的解集.
7．【答案】（1）把A（1，1）和B（－1，－3）代入y＝x2＋bx＋c得，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x－2；
（2）联立方程组得，
解得或，
∴D（0，－2），C（－3，1）， (2分)
∵y＝x2＋2x－2＝（x＋1）2－3，
∴顶点B（－1，－3）， (1分)
过点B作y轴的平行线，与CD相交于点E，如图所示：
当x＝－1时，y＝－x－2＝1－2＝－1，
∴E（－1，－1），
∴BE＝－1－（－3）＝2，
∴S△BCD＝×2×3＝3；
（3）解集为x＜－3或x＞0．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）+2x-2＞-x-2；
移项可得+3x＞0；
因式分解x（x+3）＞0；
解得x＜－3或x＞0.
【分析】（1）根据待定系数法解二次函数的解析式，将点A和B的坐标代入函数，加减消元法解一元二次方程即可；
（2）根据图像的交点的性质，列关于x，y的一元二次方程，加减消元法解方程即可求出交点的坐标；根据二次函数的图形性质，可得顶点的坐标；根据一次函数的点的性质，将x=-1代入一次函数，可以求出点E的坐标；根据两点间的距离公式，可以得到BE的长；根据三角形的面积公式，即可求出三角形BCD的面积；
（3）根据不等式的性质，移项，因式分解，即可求得关于x的解集.
8．【答案】（1）解：二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式是，
∴，
∴顶坐标是
（2）解：∵二次函数图象上始终存在两个不同点，这两个点关于原点对称，
∴设这两个点的坐标是与，且，
∴与，
两式相加得，
∴，
∴，
∴，
∴或；
（3）证明：由题知，，
∴
∵，，
∴
∵，
∴
∴
又∵，
∴.
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式，再将解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（2）设这两个点的坐标是与，将这两个坐标分别代入二次函数解析式中，再将两式相加得， ，根据x2＞0即可求出a的范围；
（3）把M、N两点代入函数解析式中，然后求出，由，可得 ，由a＞0及即可求解.
9．【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴二次函数对称轴为：
∵二次函数的图象过，，且，
若a＞0，则
若a＜0，则
∴对于任意，恒成立，
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的对称性可知，点B和点D的横坐标互为相反数，即点B和点D关于抛物线的对称轴对称，即可知抛物线的对称轴，再根据已知条件，结合二次函数的性质，即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由 ，先求出 ，x的解也就是二次函数 的图象与x轴的两个交点的横坐标：
从图象可得 ，x是在A点的左侧以及B点的右侧，即 或 .
由 ，先求出 ，x的解也就是二次函数 的图象与x轴的两个交点的横坐标：
从图象可得 ，x是在C点的左侧以及D点的右侧，即 或 .
由于 ，从而可得：
， .
经比较：乙车超过限速.
故答案为：B.
【分析】令S甲>12，可得x<-40或x>30；令S乙>10，可得x<-50或x>40，结合x>0确定出x的范围，据此判断.
11．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：不等式x2＞ +7的解集实际上就是当抛物线y＝x2﹣7的图象位于值反比例函数y＝ 的图象上方时，所对应的自变量x的取值范围，
根据图象可以得到：
在第一象限，当x＞3时，二次函数的值大于反比例函数的值，
在第三象限，有两部分，即当x＜﹣2或﹣1＜x＜0时，二次函数的值大于反比例函数的值，
故答案为：D.
【分析】不等式x2＞ +7的解集实际上就是当抛物线y＝x2﹣7的图象位于值反比例函数y＝ 的图象上方时，所对应的自变量x的取值范围，利用图象求解即可.
12．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵x2-4x+3>-px+p，
∴x2-1＞（4-p）（x-1）
∵ 0≤p≤4，
当p=0时，x2-1＞（4-0）（x-1）
x2-4x+3＞0
∴x＞3或x＜1；
当p=4时，x2-1＞（4-4）（x-1）
∴x＞1或x＜-1;
当0＜p＜4时，
当x+1＞4-p＞0
解之：x＞-1；
当x+1＜4-p＜0时，
解之：x＜-1.
∴x的取值范围为x＜-1或x＞3.
故答案为：D
【分析】将不等式转化为x2-1＞（4-p）（x-1），再根据p的取值范围，分别求出p=0和p=4时，x的取值范围；再求出当0＜p＜4时，x+1＞4-p＞0和x+1＜4-p＜0时x的取值范围，然后就可得到符合题意的x的取值范围。
13．【答案】 或x＞2
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 抛物线交轴于A（-1，0），B（2，0）两点，
∴x=-1和x=2是方程的解，
∴方程的解也是 x=-1和x=2，
∴函数与x轴交于点A（-1，0），B（2，0）
∴的 解集为 或x＞2.
故答案为： 或x＞2.
【分析】首先得出方程的解，进一步得出方程的解，再得出函数与x轴交于点A（-1，0），B（2，0） ，进一步根据函数性质，得出的 解集为 或x＞2.
14．【答案】或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点，的坐标分别为，，
∴MN∥x轴，线段MN的中点的横坐标为；
线段MN的中点坐标为（2，1）
如图1，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有1个公共点，
当x=2时，y=-4+8+n=1，
解之：n=3；
如图2，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有3个公共点，
抛物线y=x2-4x-n与y轴交点的纵坐标为1，
∴-n=1，
解之：n=-1；
∴当-3＜n＜-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有3个公共点；
如图3，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有3个公共点
∵抛物线经过点（0，1），
∴n=1；
如图4，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有2，个公共点，
∵抛物线经过点，
∴
解之：，
∴当时， 线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有3个公共点；
综上所述n的取值范围为或.
故答案为：或.
【分析】利用点M、N的坐标，可求出线段MN的中点坐标，同时可证得MN∥x轴；如图1，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有1个公共点，将x=2，y=1代入函数解析式可求出n的值；如图2，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有3个公共点，可得到抛物线y=x2-4x-n与y轴交点的纵坐标为1，可得到n的值；可得到当-3＜n＜-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有3个公共点；如图3，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有3个公共点，可知抛物线经过点（0，1），代入可求出n的值；如图4，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n相关函数图象恰好有2，个公共点，抛物线经过点，据此可得到关于n的方程，解方程求出n的值，即可求出n的取值范围；综上所述可得到符合题意的n的取值范围.
15．【答案】（1）对称轴，
抛物线经过点.
（2）①当时，，
.
②当时，.
若，即时，
，
则，
解得(舍去).
若，即时，
，
则，
解得(舍去)，.
综上所述：或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)利用二次函数的性质可得对称轴为直线，进而解得m=2，再将点P坐标代入解析式求得k的值.
（2） ① 将点P坐标代入二次函数解析式得到k关于m的表达式，再利用函数性质求得k的取值范围.
② 由二次函数的性质可得当时，，当时，，解得；当时，，解得.
16．【答案】（1）解：点在直线上，
理由如下：，
顶点的坐标是，
把代入，得，
点在直线上；
（2）解：如图1，直线交轴于点，
点坐标为，
又在抛物线上，
，
解得，
二次函数的解析是为，
当时，，
解得，
，
由图象，得当时，的取值范围是或；
（3）解：如图2，
直线与直线AB交于点，与轴交于，
设直线AB的函数关系式为：，
将代入得，
解方程组得，，
直线AB的解析式为，
联立EF，AB得方程组，
解得：，
点，而点坐标为，
点在内，
，
，
当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，，
，
且二次函数图象开口向下，顶点在直线上，
综上：①当时，；②当时，；③当时，.
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)将二次函数解析式化为顶点式得到点M的坐标，再将点M横坐标代入一次函数解析式即可判定点M在直线y=4x+1上.
(2)利用直线解析式求得点B坐标，再将点B坐标代入二次函数解析式解得b值，进而求得点A坐标，观察函数图象可得当时，的取值范围是或.
(3)利用点A坐标解得直线AB解析式为，由于点M在直线上，联立方程组可得两直线交于点，由点在内可得，解得，若点C、D关于抛物线的对称轴对称，可解得，利用二次函数的增减性可得当时，；当时，；当时，.
17．【答案】（1）①；③
（2）解：设-x2+2x＝0，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴抛物线y＝-x2+2x与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0），
画出二次函数y＝-x2+2 x的大致图象，如下图所示，
由图象可知：当0＜x＜2时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即-x2+2x＞0．
∴一元二次不等式-x2+2x＞0的解集为0＜x＜2．
（3）解：②列表如下：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 -3 -4 -3 0 1 0 -3 …
如图所示，画函数y＝-（x-1）（|x|-3）的图象.
③由图象可知：当-3≤x≤-2或0≤x≤1或3≤x≤4时函数图象位于-3与0之间，
∴-3≤y≤0，即-3≤-（x-1）（|x|-3）≤0，
∴不等式-3≤-（x-1）（|x|-3）≤0的解集为：-3≤x≤-2或0≤x≤1或3≤x≤4.
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数与不等式（组）的综合应用；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】（1）上述解题过程中，渗透了数学思想中的转化思想和数形结合思想.
故答案为：①和③；
（3）①∵函数y＝-（x-1）（|x|-3），
∴自变量x的取值范围是：任意实数；
当x=-1时，y=-（-1-1）（|-1|-3）=-4，
∴m＝-4．
故答案为：任意实数；-4.
【分析】（1）依据解答过程体现的数学思想方法解答即可；
（2）利用转化思想和数形结合思想的方法，画出函数的图象，再观察图象解答即可；
（3）①依据函数的解析式填表计算即可；②利用描点法解答即可；③利用转化思想和数形结合思想的方法，观察图象解答即可．
18．【答案】（1）；
（2）解：，
，
即：，
当时，解得：或；
当时，解得：；
综上所述，当时，或；当时，；
（3）解：抛物线：，
当时，．
当 时，；
当 时，；
∵ ，∴
根据题意可知，需要分两种情况讨论：
Ⅰ．当，即时，
若，即，则；，
，
解得或（舍或（舍；
若，即时，；，
，
解得或（舍或（舍；
Ⅱ．当，即时，；．
，
解得（舍或（舍；
综上所述，的值为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）解： 抛物线 ，根据“关联抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；
，
顶点坐标为；
故答案为：；；
【分析】（1）根据“关联抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；配方可得，即可得顶点坐标为；
（2）由，得，即，当时，，可得或；当时，，得；
（3）求出当时，．当 时，；当 时，；分情况讨论：Ⅰ．当，即时，若，，若，，Ⅱ．当，即时，，分别解方程可得答案．
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