二次函数与一次函数—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024九上·杭州开学考）二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
2．（2023九上·义乌月考）设是实数，若抛物线与直线有两个交点，且这两个交点在抛物线对称轴的同侧，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·东阳月考）如图，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023九上·绍兴期中）二次函数与一次函数的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．x＜3 C．x＜2或x＞3 D．x＞2
5．（2023九上·海曙月考）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
6．（2023九上·余杭月考）已知抛物线是实数，与直线交于，，则下面判断正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
7．（2023九上·义乌月考）如图，抛物线与直线y=x+1交于A、B两点，与直线交于点P，将抛物线沿着射线AB平移个单位．
（1）平移后的抛物线顶点坐标为 ；
（2）在整个平移过程中，点P经过的路程为 .
8．在平面直角坐标系中，函数，其中a，b，c为常数，且.函数的图象经过点，且满足-3；函数的图象经过点；函数的图象经过点.若，且m，n是整数，则 ， .
9．（2023九上·舟山期中）二次函数与一次函数，是一次函数图象上一点，是抛物线的顶点，若轴，则线段的长为 ．
10．（2023九上·鄞州期中）在平面直角坐标系内，二次函数 （a为常数）．
（1）若函数的图象经过点，求函数的表达式．
（2）若的图象与一次函数的图象有两个交点，横坐标分别为，2，请直接写出当时x的取值范围．
（3）已知在函数的图象上，当时，求证：．
11．（2023九上·东阳月考）已知函数（为常数），为常数且，函数的图象经过点．
（1）求函数的表达式．
（2）若函数的图象始终经过定点，
①用含有的式子表示：
②若时，总有，求的取值范围．
二、能力提升
12．（2023九上·上虞月考）如图，二次函数y=-x2+x+2及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．-313．（2022九上·萧山月考）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022九上·舟山月考）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为，，若抛物线与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2019九上·余杭期末）二次函数 的图象与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，作直线 ，将直线 下方的二次函数图象沿直线 向上翻折，与其它剩余部分组成一个组合图象 ，若线段 与组合图象 有两个交点，则 的取值范围为 .
16．（2023九上·金华期中）某数学兴趣小组对函数y＝|x2+2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下所示，其中自变量x取全体实数，x与y的几组对应值如表所示．
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
y 8 m 0 n 0 3 8 15
（1）根据如表数据填空：m＝ ，n＝ ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线将函数图象补充完整；
（3）观察该函数的图象，解决下列问题．
①该函数图象与直线y＝的交点有 个；
②当x取何值时，y随x的增大而减小，请写出x的取值范围；
③在同一平面内，若直线y＝x+b与函数y＝|x2+2x|的图象有a个交点，且a≥3，求b的取值范围．
17．（2023九上·子陵月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？判断此时△ABP的形状，并证明你的结论．
（3）在（2）的前提下，有一动点Q在抛物线上运动（线段AB的下方），当Q点运动到什么位置时，△ABQ的面积等于△ABP的面积．
三、拓展创新
18．（2023九上·义乌月考）在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点.已知函数，且是的相切函数，为切点.
（1）试写出切点的坐标（ ， ），及与的关系式 .
（2）当m，n分别取以下两组值时，①m=2，n=-2；②m=-3，n=3，不等式是否成立？说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解： 设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，
观察抛物线可知：x1+x2＞0，a＞0，
∴．
设方程（a≠0）的两根为a，b，
由根与系数的关系得： ，
∵a＞0，
∴＞0，
∴
∴a+b＞0．
故答案为：A.
【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程（a≠0）的两根为a，b，根据根与系数的关系即可得出结论．
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=（x-2m）2+4m-3（m是实数）与直线y=2x+m有两个交点，且这两个交点在抛物线对称轴的同一侧，
∴当x=2m时，把x=2m代入解析式中得：（2m-2m）2+4m-3＞4m+m，
∴m＜-3，
若y=（x-2m）2+4m-3（m是实数）与直线y=2x+m有两个交点，
则（x-2m）2+4m-3=2x+m
x2-4mx+4m2+4m-3=2x+m，
x2-（4m+2）x+4m2+3m-3=0，
Δ=（4m+2）2-4（4m2+3m-3）＞0，
即m﹥-4，
所以m的取值范围是-4＜m＜-3，
故答案为：-4＜m＜-3.
【分析】根据二次函数y=（x-2m）2+4m-3（m是实数）与直线y=2x+m有两个交点，且这两个交点在抛物线对称轴的同侧，则（2m-m）2+4m-3＞4m+m，结合根的判别式即可求出m的取值范围即可.
3．【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：A、由图中y=ax+b的图象可得a<0，b>0，y=ax2+b图象可得a>0，b>0，故选项A不符合题意；
B、由图中y=ax+b的图象可得a＞0，b＜0，y=ax2+b图象可得a>0，b＜0，故选项B符合题意；
C、由图中y=ax+b的图象可得a<0，b>0，y=ax2+b图象可得a＜0，b＜0，故选项C不符合题意；
D、由图中y=ax+b的图象可得a＞0，b＜0，y=ax2+b图象可得a＜0，b＜0，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)中，a决定抛物线的开口方向，开口向上时a＞0，开口向下时，a＜0；a、b共同决定抛物线的对称轴直线所在位置，当对称轴直线在y轴右侧时，a、b异号，当对称轴直线在y轴时，b=0，当对称轴直线在y轴左侧时，a、b同号；c决定抛物线与y轴交点的位置，当c＞0时，抛物线交y轴的正半轴，当c=0时，抛物线交坐标原点，当c＜0时，抛物线交y轴的负半轴；据此分别从每一个选项中给出的图象读出每一个函数中a、b的正负，两个函数图象读出的信息一样即适合题意.
4．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为 ，
∴ 二次函数的图象开口向下，
∵ 二次函数和一次函数的图象交点为 交于点A（2，5）和点B（3，m），
∴ 当 x＜2或x＞3时，.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的图象特征，取一次函数在二次函数上方时自变量的取值范围即可.
5．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴将抛物线与直线的解析式联立得到：
∴
①当
此时，直线经过第一、二、四象限，
②当
此时，直线经过第一、三、四象限，
∴综上所述，直线y＝ax+k一定经过第一、四象限，
故答案为：D.
【分析】将抛物线与直线的解析式联立得到：再根据一元二次方程根与系数的关系得到：进而分情况讨论，①当②当据此即可求解.
6．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解： ∵抛物线与直线交于，，
∴
②-①，得，即.
∴若或，时，；当或时，．
故A正确，B、C、D错误.
故答案为：A.
【分析】将两点坐标分别代入抛物线直线方程可得，然后②-①可得，再根据有理数的乘法判断符号即可．
7．【答案】（1）（7，4）
（2）69
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，抛物线沿着射线AB平移个单位时，即向右平移6个单位，向上平移3个单位，
（1）∵抛物线 的顶点坐标为（1，1），
∴平移后抛物线的顶点坐标为（7，4），
故答案为（7，4）．
（2）把x=-2代入 ，得y=-8，
∴平移前点P坐标（-2，-8），
平移后抛物线的解析式为，此时p（-2，-77），
-8-（-77）=69
故答案为：69.
【分析】（1）由题意，抛物线向右平移6个单位，向上平移3个单位，即可得平移后抛物线的顶点坐标为（7，4）；
（2）由题意，平移前点P坐标（-2，-8），平移后抛物线的解析式为，求得p（-2，-77），计算求解即可.
8．【答案】-3；3
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意得，，，，，
∴，
，；
故答案是：，；
【分析】先根据二次函数与一次函数的交点结合一元二次方程根与系数的关系得到，，，，，从而得到，再结合题意即可得到m和n.
9．【答案】1
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图：
∵点是抛物线的顶点，
∴点D为原点，
∴
∵轴，是一次函数图象上一点，
∴点C为一次函数与y轴的交点，
∴
∴
故答案为：1.
【分析】根据题意得到点D为原点，点C为一次函数与y轴的交点，然后求出点C的坐标，进而即可求解.
10．【答案】（1）解：把点代入函数中
得：，
解得：或1，
∴函数的表达式为或；
（2）解：根据题意作出草图如下，
由函数图象可知，当时x的取值范围是：或；
（3）解：∵，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，
∴和时的函数值相同，
∴由图象可知当时的函数值小于当时的函数值，
即：，
∵，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把点代入二次函数中，求出a的值，即可得到函数的解析式；
（2）利用函数图象，求出二次函数图象在一次函数图象上方所对应的x范围即可；
（3）由抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，可得和时的函数值相同，利用图象可得当时的函数值小于当时的函数值，列出不等式即可得出结论．
（1）∵函数的图象经过点，
∴，
解得：或1，
∴函数的表达式为或；
（2）根据题意作出草图如下，
由函数图象可知，当时x的取值范围是：或；
（3）∵，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，
∴和时的函数值相同，
∴由图象可知当时的函数值小于当时的函数值，
即：，
∵，
∴，
∴．
11．【答案】（1）解：将代入解析式，
得：
∴，
∴；
（2）解：①将代入，
得：
∴，
∴；
②，
∵，
∴
∵
∴
∴，即；
∵
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出m的值，进而得到函数表达式；
（2）①将代入，求出k的值，进而即可求解；
②用y1-y2得，根据题意得到，进而求出，即可求解.
12．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：在中，令得：解得：则二次函数与x轴的两个交点坐标为同理令可得则二次函数与y轴的交点为，故翻折后的函数与y轴的交点为如下图，当直线经过点B时，直线与翻折后的图像有三个交点，把代入直线的解析式可得：解得：由题意可得：二次函数翻折到x下方的部分的解析式为：即翻折后的部分解析式为：当直线与只有一个交点C时，直线与x轴下方的整个函数图象3个交点，联立直线和消去y并化简得：此时该一元二次方程只有一个实数解，故解得：根据数形结合可知当直线在以上两种情况之间移动时，当直线y=x+m与新图象有4个交点 ，则m的取值范围为：
故答案为：D.
【分析】本题主要考查二次函数图象和性质，以及二次函数与一元二次方程的关系，特别是数形结合分析问题的能力.
先根据题意求出原二次函数与x轴，y轴的交点，与x轴的两个交点坐标为与y轴的交点为。从而得到翻折后与y轴的交点为并通过翻折关系求出翻折部分翻折后的解析式：结合函数的图象知道：过点B作直线，将直线向下平移到C点处相切，则直线y=x+m与新图象有4个交点 ，即可求解.
13．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，
即x2﹣4x+3=0，
解得x=1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y=x+m1与C2相切时，
令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1=0，
△=﹣8m1﹣15=0，
解得m1=，
当y=x+m2过点B时，
即0=3+m2，
m2=﹣3，
当时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故答案为：D．
考点：二次函数的图象．
【分析】先求出A、B的坐标，然后根据平移求出C2的解析式，分别求出直线 y=x+m与抛物线C2的相切时m的值以及直线y=x+m过点B时的m值，结合图象即可求解.
14．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设yMN=kx+b（k≠0）
∴
解之：
∴；
∵抛物线与线段MN有两个不同的交点，
∴
3ax2-2x+1=0
b2-4ac＞0即4-12a＞0
解之：；
当a＞0时，x=2时y≥1，
∴4a-2+2≥1
解之：，符合题意；
∴
当a＜0时，x=-1时y≤2且
解之：a≥-1
∴a的取值范围时a≥-1或.
故答案为：A
【分析】利用待定系数法求出MN的函数解析式，利用抛物线与MN有两个不同的交点，将两函数解析式联立方程组，可得到关于x的一元二次方程，由b2-4ac＞0，可得到关于a的不等式，求出不等式的解集；分情况讨论：当a＞0时，可知x=2时y≥1，可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，可得到a的取值范围；当a＜0时，x=-1时y≤2且，可得到不等式的解集，综上所述可得到a的取值范围.
15．【答案】 或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：分类讨论（一）：原抛物线与线段BC就有两个交点B、C.
当抛物线在x轴下方部分，以x轴为对称轴向上翻折后，就会又多一个交点，所以要满足只有两个交点，直线y=t需向上平移，点B不再是交点，交点只有点C和点B、C之间的一个点，所以t >0；当以直线y=3为对称轴向上翻折时，线段 与组合图象 就只有点C一个交点了，不符合题意，所以t<3，故 ；
（二）∵ =（x-2）2-1，
∴抛物线沿 翻折后的部分是抛物线 ）2+k在直线y=t的上方部分，当直线BC：y=-x+3与抛物线 只有一个交点时，即 的△=0，解得k= ，此时线段BC与组合图象W的交点，既有C、B，又多一个，共三个，不符合题意，所以翻折部分需向下平移，即直线y=t向下平移，k= 时，抛物线 ）2+ 的顶点坐标为（2， ），与 的顶点（2，-1）的中点是（2，- ），所以t<- ，又因为 ，所以 .
综上所述：t的取值范围是： 或 。
故答案为： 或 。
【分析】分类讨论（一）：原抛物线与线段BC就有两个交点B、C，当抛物线在x轴下方部分，以x轴为对称轴向上翻折后，就会又多一个交点，所以要满足只有两个交点，直线y=t需向上平移，点B不再是交点，交点只有点C和点B、C之间的一个点，所以t >0；当以直线y=3为对称轴向上翻折时，线段 与组合图象 就只有点C一个交点了，不符合题意；（二）将抛物线配成顶点式，由于抛物线沿 翻折后的部分是抛物线 ）2+k在直线y=t的上方部分根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点，求出点A，B，C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，联立直线BC的解析式与抛物线 ）2+k解析式得出-x+3= ）2+k，由两函数只有一个交点，故其根的判别式的值等于0，从而列出方程，求解算出k的值，再找出两抛物线顶点为端点的线段中点的坐标，从而即可取出t的取值范围，综上所述即可得出答案。
16．【答案】（1）3；1
（2）解：描点画出如下函数图象：
（3）解：①4；
②根据函数图象可得：若y随x的增大而减小，则x＜-2或-1＜x＜0；
③把（-2，0）代入y＝x+b得，-2+b＝0，解得b＝2，
令x+b＝-x2-2x，整理得x2+3x+b＝0，
当Δ＝0时，直线y＝x+b与函数y＝|x2+2x|的图象有3个交点，
Δ＝9-4b＝0，解得b＝，
故在同一平面内，若直线y＝x+b与函数y＝|x2+2x|的图象有a个交点，且a≥3，
则2≤b≤．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）将带入 y＝|x2+2x| 可得：
将带入 y＝|x2+2x| 可得：故填：3；1.
（2）①由图象知图象与直线由4个交点，故填：4.
【分析】（1）将横坐标代入即可求解；
（2）根据坐标描点连线即可；
（3）在图中作出直线 y＝ 即可，得到 函数图象与直线y＝的交点 的个数，根据函数图象即可求出y随x的增大而减小时x的取值范围；当直线过点时，直线与函数图象必有三个交点，故把（-2，0）代入y＝x+得，-2+b＝0，解得b＝2，当直线与二次函数只有一个交点时，翻折后必有三个以上的交点，故联立直线和二次函数的方程消去y得到：x2+3x+b＝0，当Δ＝0时，直线y＝x+b与函数y＝|x2+2x|的图象有3个交点即可求解.
17．【答案】（1）解：直线 与 轴、轴分别交于 两点，
抛物线 经过 两点，
解得 ，
抛物线的解析式为：，
令， 则，
解得 或，
（2）解：设 ，
， 当 时， 线段 有最大值是 4 ， 此时，
△ABP的形状为直角三角形，
证明 ：，
，
的形状为直角三角形；
（3）解：如图，过P作AB的平行线l
设直线l的解析式为：m，
代入，得， .
解得：，
∴直线l：，
∵直线，直线l：，
∴将直线l向下平移 8 个单位即可得到直线l关于线段AB对称的直线l'为： ，
令， .
解得： 或， .
的坐标为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理的逆定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）先求出A、B两点坐标，再代入抛物线解析式中，求出b，c，得到抛物线解析式，再根据求出的解析式求出C点坐标；
（2）设，用t的代数式表示出E，P的坐标和EP的长，再求出当t=2时，PE的长度，从而得到P的坐标，再结合勾股定理的逆定理判断△ABP的形状；
（3）过P作AB的平行线l，求出L的解析式，再求出L关于AB的对称直线L'的解析式，接下来求出L'与抛物线的交点q的坐标即可.
18．【答案】（1）1；0；m+n=0
（2）解：方法 1： ①当 时， ，
要使 成立， 即使 ， 即 ，而 ，
当 时， 不能使 成立；
②当 时， ，
要使 成立， 即使 ，
， 即 ，
当 时，能使 成立.
方法 2： 要使 成立， 即使 成立，
由 (1) 知 ， 即 ，
$即
又即
当 时， 成立，
①当 时， 不成立；
②当 时， 成立.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）联立，得：mx2+（n-m）x-n=0
∵有一个公共点
∴（n-m）2+4mn=0，
∴（n+m）2=0，
∴m+n=0，
∴n=-m，
把n=-m代入方程mx2+（n-m）x-n=0得，x2-2x+1=0，
解得x=1，
把n=-m，x=1，代入y2=mx+n得，y2=0
∴切点P的坐标为（1，0）.
故答案为：1，0，m+n=0.
【分析】（1）联立，得：mx2+（n-m）x-n=0，根据有一个公共点从而求出m、n的关系，然后代入方程及函数即可求得。
（2）分别把 ①m=2，n=-2；②m=-3，n=3， 代入比较函数值即可得出答案.
1 / 1二次函数与一次函数—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024九上·杭州开学考）二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解： 设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，
观察抛物线可知：x1+x2＞0，a＞0，
∴．
设方程（a≠0）的两根为a，b，
由根与系数的关系得： ，
∵a＞0，
∴＞0，
∴
∴a+b＞0．
故答案为：A.
【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程（a≠0）的两根为a，b，根据根与系数的关系即可得出结论．
2．（2023九上·义乌月考）设是实数，若抛物线与直线有两个交点，且这两个交点在抛物线对称轴的同侧，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=（x-2m）2+4m-3（m是实数）与直线y=2x+m有两个交点，且这两个交点在抛物线对称轴的同一侧，
∴当x=2m时，把x=2m代入解析式中得：（2m-2m）2+4m-3＞4m+m，
∴m＜-3，
若y=（x-2m）2+4m-3（m是实数）与直线y=2x+m有两个交点，
则（x-2m）2+4m-3=2x+m
x2-4mx+4m2+4m-3=2x+m，
x2-（4m+2）x+4m2+3m-3=0，
Δ=（4m+2）2-4（4m2+3m-3）＞0，
即m﹥-4，
所以m的取值范围是-4＜m＜-3，
故答案为：-4＜m＜-3.
【分析】根据二次函数y=（x-2m）2+4m-3（m是实数）与直线y=2x+m有两个交点，且这两个交点在抛物线对称轴的同侧，则（2m-m）2+4m-3＞4m+m，结合根的判别式即可求出m的取值范围即可.
3．（2023九上·东阳月考）如图，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：A、由图中y=ax+b的图象可得a<0，b>0，y=ax2+b图象可得a>0，b>0，故选项A不符合题意；
B、由图中y=ax+b的图象可得a＞0，b＜0，y=ax2+b图象可得a>0，b＜0，故选项B符合题意；
C、由图中y=ax+b的图象可得a<0，b>0，y=ax2+b图象可得a＜0，b＜0，故选项C不符合题意；
D、由图中y=ax+b的图象可得a＞0，b＜0，y=ax2+b图象可得a＜0，b＜0，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)中，a决定抛物线的开口方向，开口向上时a＞0，开口向下时，a＜0；a、b共同决定抛物线的对称轴直线所在位置，当对称轴直线在y轴右侧时，a、b异号，当对称轴直线在y轴时，b=0，当对称轴直线在y轴左侧时，a、b同号；c决定抛物线与y轴交点的位置，当c＞0时，抛物线交y轴的正半轴，当c=0时，抛物线交坐标原点，当c＜0时，抛物线交y轴的负半轴；据此分别从每一个选项中给出的图象读出每一个函数中a、b的正负，两个函数图象读出的信息一样即适合题意.
4．（2023九上·绍兴期中）二次函数与一次函数的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．x＜3 C．x＜2或x＞3 D．x＞2
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为 ，
∴ 二次函数的图象开口向下，
∵ 二次函数和一次函数的图象交点为 交于点A（2，5）和点B（3，m），
∴ 当 x＜2或x＞3时，.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的图象特征，取一次函数在二次函数上方时自变量的取值范围即可.
5．（2023九上·海曙月考）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴将抛物线与直线的解析式联立得到：
∴
①当
此时，直线经过第一、二、四象限，
②当
此时，直线经过第一、三、四象限，
∴综上所述，直线y＝ax+k一定经过第一、四象限，
故答案为：D.
【分析】将抛物线与直线的解析式联立得到：再根据一元二次方程根与系数的关系得到：进而分情况讨论，①当②当据此即可求解.
6．（2023九上·余杭月考）已知抛物线是实数，与直线交于，，则下面判断正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解： ∵抛物线与直线交于，，
∴
②-①，得，即.
∴若或，时，；当或时，．
故A正确，B、C、D错误.
故答案为：A.
【分析】将两点坐标分别代入抛物线直线方程可得，然后②-①可得，再根据有理数的乘法判断符号即可．
7．（2023九上·义乌月考）如图，抛物线与直线y=x+1交于A、B两点，与直线交于点P，将抛物线沿着射线AB平移个单位．
（1）平移后的抛物线顶点坐标为 ；
（2）在整个平移过程中，点P经过的路程为 .
【答案】（1）（7，4）
（2）69
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，抛物线沿着射线AB平移个单位时，即向右平移6个单位，向上平移3个单位，
（1）∵抛物线 的顶点坐标为（1，1），
∴平移后抛物线的顶点坐标为（7，4），
故答案为（7，4）．
（2）把x=-2代入 ，得y=-8，
∴平移前点P坐标（-2，-8），
平移后抛物线的解析式为，此时p（-2，-77），
-8-（-77）=69
故答案为：69.
【分析】（1）由题意，抛物线向右平移6个单位，向上平移3个单位，即可得平移后抛物线的顶点坐标为（7，4）；
（2）由题意，平移前点P坐标（-2，-8），平移后抛物线的解析式为，求得p（-2，-77），计算求解即可.
8．在平面直角坐标系中，函数，其中a，b，c为常数，且.函数的图象经过点，且满足-3；函数的图象经过点；函数的图象经过点.若，且m，n是整数，则 ， .
【答案】-3；3
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意得，，，，，
∴，
，；
故答案是：，；
【分析】先根据二次函数与一次函数的交点结合一元二次方程根与系数的关系得到，，，，，从而得到，再结合题意即可得到m和n.
9．（2023九上·舟山期中）二次函数与一次函数，是一次函数图象上一点，是抛物线的顶点，若轴，则线段的长为 ．
【答案】1
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图：
∵点是抛物线的顶点，
∴点D为原点，
∴
∵轴，是一次函数图象上一点，
∴点C为一次函数与y轴的交点，
∴
∴
故答案为：1.
【分析】根据题意得到点D为原点，点C为一次函数与y轴的交点，然后求出点C的坐标，进而即可求解.
10．（2023九上·鄞州期中）在平面直角坐标系内，二次函数 （a为常数）．
（1）若函数的图象经过点，求函数的表达式．
（2）若的图象与一次函数的图象有两个交点，横坐标分别为，2，请直接写出当时x的取值范围．
（3）已知在函数的图象上，当时，求证：．
【答案】（1）解：把点代入函数中
得：，
解得：或1，
∴函数的表达式为或；
（2）解：根据题意作出草图如下，
由函数图象可知，当时x的取值范围是：或；
（3）解：∵，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，
∴和时的函数值相同，
∴由图象可知当时的函数值小于当时的函数值，
即：，
∵，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把点代入二次函数中，求出a的值，即可得到函数的解析式；
（2）利用函数图象，求出二次函数图象在一次函数图象上方所对应的x范围即可；
（3）由抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，可得和时的函数值相同，利用图象可得当时的函数值小于当时的函数值，列出不等式即可得出结论．
（1）∵函数的图象经过点，
∴，
解得：或1，
∴函数的表达式为或；
（2）根据题意作出草图如下，
由函数图象可知，当时x的取值范围是：或；
（3）∵，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，
∴和时的函数值相同，
∴由图象可知当时的函数值小于当时的函数值，
即：，
∵，
∴，
∴．
11．（2023九上·东阳月考）已知函数（为常数），为常数且，函数的图象经过点．
（1）求函数的表达式．
（2）若函数的图象始终经过定点，
①用含有的式子表示：
②若时，总有，求的取值范围．
【答案】（1）解：将代入解析式，
得：
∴，
∴；
（2）解：①将代入，
得：
∴，
∴；
②，
∵，
∴
∵
∴
∴，即；
∵
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出m的值，进而得到函数表达式；
（2）①将代入，求出k的值，进而即可求解；
②用y1-y2得，根据题意得到，进而求出，即可求解.
二、能力提升
12．（2023九上·上虞月考）如图，二次函数y=-x2+x+2及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．-3【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：在中，令得：解得：则二次函数与x轴的两个交点坐标为同理令可得则二次函数与y轴的交点为，故翻折后的函数与y轴的交点为如下图，当直线经过点B时，直线与翻折后的图像有三个交点，把代入直线的解析式可得：解得：由题意可得：二次函数翻折到x下方的部分的解析式为：即翻折后的部分解析式为：当直线与只有一个交点C时，直线与x轴下方的整个函数图象3个交点，联立直线和消去y并化简得：此时该一元二次方程只有一个实数解，故解得：根据数形结合可知当直线在以上两种情况之间移动时，当直线y=x+m与新图象有4个交点 ，则m的取值范围为：
故答案为：D.
【分析】本题主要考查二次函数图象和性质，以及二次函数与一元二次方程的关系，特别是数形结合分析问题的能力.
先根据题意求出原二次函数与x轴，y轴的交点，与x轴的两个交点坐标为与y轴的交点为。从而得到翻折后与y轴的交点为并通过翻折关系求出翻折部分翻折后的解析式：结合函数的图象知道：过点B作直线，将直线向下平移到C点处相切，则直线y=x+m与新图象有4个交点 ，即可求解.
13．（2022九上·萧山月考）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，
即x2﹣4x+3=0，
解得x=1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y=x+m1与C2相切时，
令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1=0，
△=﹣8m1﹣15=0，
解得m1=，
当y=x+m2过点B时，
即0=3+m2，
m2=﹣3，
当时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故答案为：D．
考点：二次函数的图象．
【分析】先求出A、B的坐标，然后根据平移求出C2的解析式，分别求出直线 y=x+m与抛物线C2的相切时m的值以及直线y=x+m过点B时的m值，结合图象即可求解.
14．（2022九上·舟山月考）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为，，若抛物线与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设yMN=kx+b（k≠0）
∴
解之：
∴；
∵抛物线与线段MN有两个不同的交点，
∴
3ax2-2x+1=0
b2-4ac＞0即4-12a＞0
解之：；
当a＞0时，x=2时y≥1，
∴4a-2+2≥1
解之：，符合题意；
∴
当a＜0时，x=-1时y≤2且
解之：a≥-1
∴a的取值范围时a≥-1或.
故答案为：A
【分析】利用待定系数法求出MN的函数解析式，利用抛物线与MN有两个不同的交点，将两函数解析式联立方程组，可得到关于x的一元二次方程，由b2-4ac＞0，可得到关于a的不等式，求出不等式的解集；分情况讨论：当a＞0时，可知x=2时y≥1，可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，可得到a的取值范围；当a＜0时，x=-1时y≤2且，可得到不等式的解集，综上所述可得到a的取值范围.
15．（2019九上·余杭期末）二次函数 的图象与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，作直线 ，将直线 下方的二次函数图象沿直线 向上翻折，与其它剩余部分组成一个组合图象 ，若线段 与组合图象 有两个交点，则 的取值范围为 .
【答案】 或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：分类讨论（一）：原抛物线与线段BC就有两个交点B、C.
当抛物线在x轴下方部分，以x轴为对称轴向上翻折后，就会又多一个交点，所以要满足只有两个交点，直线y=t需向上平移，点B不再是交点，交点只有点C和点B、C之间的一个点，所以t >0；当以直线y=3为对称轴向上翻折时，线段 与组合图象 就只有点C一个交点了，不符合题意，所以t<3，故 ；
（二）∵ =（x-2）2-1，
∴抛物线沿 翻折后的部分是抛物线 ）2+k在直线y=t的上方部分，当直线BC：y=-x+3与抛物线 只有一个交点时，即 的△=0，解得k= ，此时线段BC与组合图象W的交点，既有C、B，又多一个，共三个，不符合题意，所以翻折部分需向下平移，即直线y=t向下平移，k= 时，抛物线 ）2+ 的顶点坐标为（2， ），与 的顶点（2，-1）的中点是（2，- ），所以t<- ，又因为 ，所以 .
综上所述：t的取值范围是： 或 。
故答案为： 或 。
【分析】分类讨论（一）：原抛物线与线段BC就有两个交点B、C，当抛物线在x轴下方部分，以x轴为对称轴向上翻折后，就会又多一个交点，所以要满足只有两个交点，直线y=t需向上平移，点B不再是交点，交点只有点C和点B、C之间的一个点，所以t >0；当以直线y=3为对称轴向上翻折时，线段 与组合图象 就只有点C一个交点了，不符合题意；（二）将抛物线配成顶点式，由于抛物线沿 翻折后的部分是抛物线 ）2+k在直线y=t的上方部分根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点，求出点A，B，C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，联立直线BC的解析式与抛物线 ）2+k解析式得出-x+3= ）2+k，由两函数只有一个交点，故其根的判别式的值等于0，从而列出方程，求解算出k的值，再找出两抛物线顶点为端点的线段中点的坐标，从而即可取出t的取值范围，综上所述即可得出答案。
16．（2023九上·金华期中）某数学兴趣小组对函数y＝|x2+2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下所示，其中自变量x取全体实数，x与y的几组对应值如表所示．
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
y 8 m 0 n 0 3 8 15
（1）根据如表数据填空：m＝ ，n＝ ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线将函数图象补充完整；
（3）观察该函数的图象，解决下列问题．
①该函数图象与直线y＝的交点有 个；
②当x取何值时，y随x的增大而减小，请写出x的取值范围；
③在同一平面内，若直线y＝x+b与函数y＝|x2+2x|的图象有a个交点，且a≥3，求b的取值范围．
【答案】（1）3；1
（2）解：描点画出如下函数图象：
（3）解：①4；
②根据函数图象可得：若y随x的增大而减小，则x＜-2或-1＜x＜0；
③把（-2，0）代入y＝x+b得，-2+b＝0，解得b＝2，
令x+b＝-x2-2x，整理得x2+3x+b＝0，
当Δ＝0时，直线y＝x+b与函数y＝|x2+2x|的图象有3个交点，
Δ＝9-4b＝0，解得b＝，
故在同一平面内，若直线y＝x+b与函数y＝|x2+2x|的图象有a个交点，且a≥3，
则2≤b≤．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）将带入 y＝|x2+2x| 可得：
将带入 y＝|x2+2x| 可得：故填：3；1.
（2）①由图象知图象与直线由4个交点，故填：4.
【分析】（1）将横坐标代入即可求解；
（2）根据坐标描点连线即可；
（3）在图中作出直线 y＝ 即可，得到 函数图象与直线y＝的交点 的个数，根据函数图象即可求出y随x的增大而减小时x的取值范围；当直线过点时，直线与函数图象必有三个交点，故把（-2，0）代入y＝x+得，-2+b＝0，解得b＝2，当直线与二次函数只有一个交点时，翻折后必有三个以上的交点，故联立直线和二次函数的方程消去y得到：x2+3x+b＝0，当Δ＝0时，直线y＝x+b与函数y＝|x2+2x|的图象有3个交点即可求解.
17．（2023九上·子陵月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？判断此时△ABP的形状，并证明你的结论．
（3）在（2）的前提下，有一动点Q在抛物线上运动（线段AB的下方），当Q点运动到什么位置时，△ABQ的面积等于△ABP的面积．
【答案】（1）解：直线 与 轴、轴分别交于 两点，
抛物线 经过 两点，
解得 ，
抛物线的解析式为：，
令， 则，
解得 或，
（2）解：设 ，
， 当 时， 线段 有最大值是 4 ， 此时，
△ABP的形状为直角三角形，
证明 ：，
，
的形状为直角三角形；
（3）解：如图，过P作AB的平行线l
设直线l的解析式为：m，
代入，得， .
解得：，
∴直线l：，
∵直线，直线l：，
∴将直线l向下平移 8 个单位即可得到直线l关于线段AB对称的直线l'为： ，
令， .
解得： 或， .
的坐标为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理的逆定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）先求出A、B两点坐标，再代入抛物线解析式中，求出b，c，得到抛物线解析式，再根据求出的解析式求出C点坐标；
（2）设，用t的代数式表示出E，P的坐标和EP的长，再求出当t=2时，PE的长度，从而得到P的坐标，再结合勾股定理的逆定理判断△ABP的形状；
（3）过P作AB的平行线l，求出L的解析式，再求出L关于AB的对称直线L'的解析式，接下来求出L'与抛物线的交点q的坐标即可.
三、拓展创新
18．（2023九上·义乌月考）在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点.已知函数，且是的相切函数，为切点.
（1）试写出切点的坐标（ ， ），及与的关系式 .
（2）当m，n分别取以下两组值时，①m=2，n=-2；②m=-3，n=3，不等式是否成立？说明理由.
【答案】（1）1；0；m+n=0
（2）解：方法 1： ①当 时， ，
要使 成立， 即使 ， 即 ，而 ，
当 时， 不能使 成立；
②当 时， ，
要使 成立， 即使 ，
， 即 ，
当 时，能使 成立.
方法 2： 要使 成立， 即使 成立，
由 (1) 知 ， 即 ，
$即
又即
当 时， 成立，
①当 时， 不成立；
②当 时， 成立.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）联立，得：mx2+（n-m）x-n=0
∵有一个公共点
∴（n-m）2+4mn=0，
∴（n+m）2=0，
∴m+n=0，
∴n=-m，
把n=-m代入方程mx2+（n-m）x-n=0得，x2-2x+1=0，
解得x=1，
把n=-m，x=1，代入y2=mx+n得，y2=0
∴切点P的坐标为（1，0）.
故答案为：1，0，m+n=0.
【分析】（1）联立，得：mx2+（n-m）x-n=0，根据有一个公共点从而求出m、n的关系，然后代入方程及函数即可求得。
（2）分别把 ①m=2，n=-2；②m=-3，n=3， 代入比较函数值即可得出答案.
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