二次函数与分段函数—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题
1．现有函数如果对于任意的实数，直线与函数的图象总有交点，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2018九上·下城期中）如图，等腰Rt△ABC（∠ACB＝90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止.设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·齐齐哈尔模拟）如图，正方形ABCD的边长是4，点E，F分别是AB，AD的中点，点P，Q为正方形ABCD边上的两个动点，点P从点D出发，沿匀速运动，到达点C时停止运动；同时，点Q从点E出发，沿匀速运动，动点P，Q速度的大小相同．设点P运动的路程为x，的面积为y，下列图象中能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019九上·衢州期中）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′＝ ，则称点Q为点P的“亲密点”．例如：点（1，2）的“亲密点”为点（1，3），点（﹣1，3）的“亲密点”为点（﹣1，﹣3）．若点P在函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，则其“亲密点”Q的纵坐标y′关于x的函数图象大致正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（2022·广汉模拟）若函数y=，则当函数值y＝8时，自变量x的值等于 .
6．（2021九上·安义月考）在平面直角坐标系xOy中，函数 （其中 ）的图象记为W，图象W经过点 ，则n的值为 ．
7．（2024九下·南湖模拟）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ．
三、解答题
8．（【全品】2024浙江专版全品中考复习方案备考手册第15课时二次函数的实际应用）某商店销售某种商品的进价为每件 30 元， 这种商品在近 60 天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：
时间： 第 （天）
日销售价 （元/件 ） 50
日销售量 （件）
为整数）
设该商品的日销售利润为 元．
（1） 直接写出 与 的函数关系式
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？ 最大日销售利润是多少？
9．（2024·吉林）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，AD是△ABC的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线AD﹣DB向终点B运动．过点P作PQ∥AB，交AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧．设点P的运动时间为t（s）（t＞0），△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S（cm2）．
（1）当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式表示）．
（2）当点E与点C重合时，求t的值．
（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
10．（2023九下·海淀开学考）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点．
（1）求该二次函数的解析式以及顶点坐标；
（2）将该二次函数的图象在y轴左侧的部分记作W，将W绕原点旋转得到，W与组成一个新函数的图象．
①若点在该新函数图象上，求b的值；
②若点是新函数图象上两点，若存在，使得，直接写出m的取值范围．
11．（2024·湖北）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B，交y轴于C．
（1）求b的值．
（2）M为函数图象上一点，满足∠MAB＝∠ACO，求M点的横坐标．
（3）将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为L，L与y轴交于点D，记DC＝d，记L顶点横坐标为n．
①求d与n的函数解析式．
②记L与x轴围成的图象为U，U与△ABC重合部分（不计边界）记为W，若d随n增加而增加，且W内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出n的取值范围．
12．（2023九上·石景山期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求的取值范围；
（3）将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足？
13．（2022九上·长沙月考）对于函数定义变换：当y≥0时，函数值不变；当y＜0时，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”
如：一次函数y=x﹣1，关联函数为，这个关联函数的转折点是（1，0）．
（1）已知一次函数y=2x﹣3，请直接写出它的“关联函数”的解析式．
（2）已知二次函数y=﹣2x﹣3，点（a，4）在它的“关联函数”的图象上，求a的值．
（3）在平面直角坐标系内，有点M（﹣1，1）、N（3，1），二次函数y=﹣2x+a的关联函数与线段MN恰有两个公共点．求a的取值范围
14．（2024九上·南宁开学考）在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式画函数图象利用函数图象研究函数性质利用图象解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请你按要求完成下列问题
（1）列表：函数自变量的取值范围是全体实数，下表列出了变量与的几组对应数值：
根据表格中的数据直接写出与的函数解析式及对应的自变量的取值范围；
（2）描点、连线：在右侧的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ▲ ；
（3）已知函数的图象如图，结合函数图象，请直接写出当时，自变量的值．结果保留位小数，误差不超过
15．（2024·夹江模拟）如图所示，图象G由图象和组成，其中图象是函数的图象，图象是函数的图象．
（1）若点在图象G上，求p的值；
（2）已知直线l与x轴平行，且与图象G有三个不同的交点，从左至右依次为点A、B、C，若，求点C的坐标；
（3）当图象G上的点满足时，记此时x的取值范围为M．设，若在M中总存在，使得，求此时实数m的取值范围．
16．（2024·荆州模拟）如图，已知经过点和的抛物线与轴交于点，过点作轴交抛物线于点．
（备用图）
（1）请用含的代数式表示和点的坐标；
（2）设直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点，连接，，，求的值；
（3）若在（2）的条件下，若点是抛物线上在轴右侧的一个动点，其横坐标为，点到抛物线对称轴和直线的距离分别是，，且，①求关于的函数解析式；②当时，直接写出的取值范围．
17．（2023九上·呼兰期中）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为BC下方抛物线上一点，连接PB，PC，若设的面积为S，点P的横坐标为t，求s与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，如图3，点Q为BC上一点，连接PQ并延长交x轴于点E，延长PB至点D，连接QD交x轴于点M，，点M为QD中点，连接AC，点F在AC上，连接EF，交BC于点K，连接EK，EH平分交FK于点H，交EF于点T，于点G，若，，求点P的坐标．
18．（2024·长沙会考）定义：经过函数图象上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿平行线向下翻折形成新的函数图象，我们把满足这种情况的函数图象称为经过这一点的“折叠函数”．
（1）【基本应用】
(ⅰ)如图，点、、均在直线l上．
①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）；
②求出经过点A、C、D的二次函数表达式；
(ⅱ)在（ⅰ）的条件下，点为二次函数图象上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围．
（2）【创新应用】如果反比例函数的图像上有一点，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】数学思想；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵y=-x2-2x=-（x+1）2+1，
∴函数y=-x2-2x的最大值为1，
把y=1代入y=x-4得，1=x-4，解得x=5，
由图象可知，当-4≤a≤5时，直线y＝n与图象总有交点，
故答案为：D．
【分析】先根据分段函数解析式，画出函数图象，观察图象即可求得a的取值范围．
2．【答案】A
【知识点】分段函数；动点问题的函数图象
【解析】【解答】设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y
∴当C从D点运动到E点时，即0 x 2时，y= ×2×2 (2 x)×(2 x)= x +2x.
当A从D点运动到E点时，即2∴y与x之间的函数关系
由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应。
故答案为：A.
【分析】由题意可分为两部分：①当C从D点运动到E点时，即0＜x＜2时，由阴影部分面积的构成可求解；②当A从D点运动到E点时，即23．【答案】D
【知识点】分段函数；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点Q在EA上运动时，
的面积为：
当点Q在AF上运动时，
的面积为：
综上所述，当时，其函数图象为一次函数，且y随x增大而增大，
当时，其函数图象为二次函数，且开口向下，
故答案为：D.
【分析】根据题意分别表示出当点Q在EA上运动时和当点Q在AF上运动时的面积，最后根据一次函数和二次函数的图象性质即可求解.
4．【答案】A
【知识点】分段函数；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵当x≥0时，y'=y+1= x2﹣2x﹣3+1=(x-1)2-3，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，-3），显然BD错误；
∵当x＜0时，y'=-y= -x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，4），显然C错误，
故只有A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据定义分别求出当x≥0和x＜0时，y'的函数关系式，分别求出两种情况下的图象开口和顶点坐标，对照选项逐一排除，最终确定符合条件的选项.
5．【答案】或4
【知识点】分段函数
【解析】【解答】解：由已知可得x2+2=8或2x=8，
分别解得x1=(不符合题意舍去)，x2=-，x3=4
故答案为或4
【分析】把x=8分别代入y=x2+2=8或y=2x=8中求出x值，结合各段x的取值范围，即可得出结果.
6．【答案】n=-3或 或
【知识点】分段函数；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：当 时，
点 在函数 的图象上，
∴ ，
解得： ；
当 且 时，
点 在函数 的图象上，
∴ ，解得： ， ；
∴综上所述：n=-3或 或 ．
【分析】分类讨论，列方程计算求解即可。
7．【答案】或
【知识点】分段函数；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∵
如图所示，画出该函数的函数图象：
可知：当或时，，则；
∴的值是或
故答案为：或
【分析】根据新定义运算法则求出=2， ，则，再根据新定义运算法则得，画出该函数的图象，即可求解
8．【答案】（1）
（2）解：当 时， ．
当 时， 有最大值， 最大值为 1296 ．
当 时， ， 当 时， 有最大值，最大值为 ．
该商品在第 26 天的日销售利润最大， 最大日销售利润是 1296 元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）当时，
w=(0.5x+35-30)(128-2x)=-x2+54x+640，
当时，
w=(50-30)(128-2x)=-40x+2560.
所以；
故答案为：；
【分析】分“”、“”两种情况，分别列出函数表达式；
（2）分别在“”、“”求出各自w的最大值，再通过比较，求出最大日销售利润.
9．【答案】（1）△APQ是等腰三角形，AQ＝t；
（2）解：如图所示，E、C重合时图形．
∵△PQE是等边三角形，
∴QE＝QP，
由（1）得QA＝QP，
∴AE＝2AQ，即2t＝3，
∴t＝；
（3）解：①当点P在AD上，点E在AC上时，重合部分是等边三角形PQE，如图作PG⊥QE于点G，
∵∠PAQ＝30°，
∴PG＝AP＝t，
∵△PQE是等边三角形，
∴QE＝PQ＝AQ＝t，
∴S＝QE PG＝．
由（2）知当点E、C重合时，t＝，
∴S＝（0＜t≤）；
②当点P在AD上，点E在AC延长线上时，重合部分是四边形PQCF．
在Rt△FCE中，CE＝2t﹣3，∠E＝60°，
∴CF＝CE tan60°＝（2t﹣3），
∴S△PCE＝（2t﹣3） （2t﹣3）＝（2t﹣3）2，
∴S＝S△PAC﹣S△PCE＝﹣（2t﹣3）2＝﹣t2+6t﹣（＜t＜2）；
③当点P在DB上，重合部分是直角三角形PQC，
S＝CQ CP＝（t﹣1） （t﹣1）＝（t﹣1）2，（2≤t≤4）．
综上所述，.
【知识点】三角形-动点问题；二次函数与分段函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（1）解：如图，过Q作QH⊥AD于点H，
∵PQ∥AB，
∴∠BAD＝∠QAP，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠QAP，
∴QA＝QP，
∴△APQ是等腰三角形．
∵QH⊥AP，
∴AH＝AP＝，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC=30°，
∴AQ＝＝t，
故△APQ是等腰三角形，AQ＝t；
【分析】（1）过Q作QH⊥AD于点H，由平行线的性质及角平分线定义可推出∠CAD＝∠QAP，从而可得△APQ是等腰三角形；由等腰三角形的三线合一得AH＝AP＝，进而由三角形的内角和定理及角平分线定义可算出∠CAD=30°，从而利用∠CAD的余弦函数可求出AQ的长；
（2）由等边三角形及等腰三角形性质可推出AQ=PQ=QC，则AE＝2AQ，结合（1）得结论建立方程可求出t的值；
（3）分类讨论：①当点P在AD上，点E在AC上时，重合部分是等边三角形PQE，如图作PG⊥QE于点G，②当点P在AD上，点E在AC延长线上时，重合部分是四边形PQCF，③当点P在DB上，重合部分是直角三角形PQC，分别画出图形，结合图形特点及三角形面积计算公式列式计算即可得出S关于t的函数关系式.
10．【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过原点，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：①根据题意得：点绕原点旋转后得到，
∵将该二次函数的图象在y轴左侧的部分记作W，将W绕原点旋转得到，
∴的函数解析式为，
∴W与组成一个新函数的解析式为，
∵点在该新函数图象上，
当时，，
解得：，舍去；
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
②如图，
，
由①可设点，，，则，
设点关于原点的对称点，点关于原点的对称点，，
，
当时，当点位于点时，点位于点或点的右侧，此时，不符合题意；
同理，当点从点（不包括点沿抛物线向点（不包括点运动时，在抛物线的段上存在纵坐标等于的点，越来越小，总有，
点位于点的右侧，此时，不符合题意；
当点从点沿抛物线向上运动时，点在点的右侧，此时，不符合题意；
当点从点（不包括点沿抛物线向点运动时，在抛物线上的段上存在纵坐标等于的点，使得，点位于点的左侧，此时，符合题意；
当点与点重合时，点与点重合，此时达到最大；当点从点沿抛物线向点（不包括点运动时，总有，此时，符合题意；
当点位于点时与位于点时类似，不符合题意；
当点从点沿抛物线向下运动时，其右侧的点始终在点的上方，此时，符合题意；
综上所述：当点在抛物线的段上（不包括端点）时，符合题意，此时．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转；数学思想；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【分析】（1）把原点代入解析式，可求出a的值，再配成顶点式，即可求解；
（2）①根据旋转的性质，可得的函数解析式为，从而得到W与组成一个新函数的解析式为，再把点代入，即可求解；②根据函数图象分六种情况讨论．
（1）解：∵二次函数的图象经过原点，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：①根据题意得：点绕原点旋转后得到，
∵将该二次函数的图象在y轴左侧的部分记作W，将W绕原点旋转得到，
∴的函数解析式为，
∴W与组成一个新函数的解析式为，
∵点在该新函数图象上，
当时，，
解得：，舍去；
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
②如图，由①可设点，，，则，
设点关于原点的对称点，点关于原点的对称点，，
，
当时，当点位于点时，点位于点或点的右侧，此时，不符合题意；
同理，当点从点（不包括点沿抛物线向点（不包括点运动时，在抛物线的段上存在纵坐标等于的点，越来越小，总有，
点位于点的右侧，此时，不符合题意；
当点从点沿抛物线向上运动时，点在点的右侧，此时，不符合题意；
当点从点（不包括点沿抛物线向点运动时，在抛物线上的段上存在纵坐标等于的点，使得，点位于点的左侧，此时，符合题意；
当点与点重合时，点与点重合，此时达到最大；当点从点沿抛物线向点（不包括点运动时，总有，此时，符合题意；
当点位于点时与位于点时类似，不符合题意；
当点从点沿抛物线向下运动时，其右侧的点始终在点的上方，此时
，符合题意；
综上所述：当点在抛物线的段上（不包括端点）时，符合题意，此时．
11．【答案】（1）解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+3与x轴交于（﹣1，0），
∴0＝﹣1﹣b＝3，解得b＝2．
（2）解：∵b＝2，
∴二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
令y＝0，解得x＝﹣1或3，
令x＝0得y＝3，
∴A（﹣1.0），B（3，0），C（0，3），作MN⊥x轴于点N，
设M（m，﹣m2+2m+3），
当点M在x轴上方时，如图1，
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即，
∴，
解得或﹣1（舍去），
当点M在x轴下方时，如图2，
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即，
解得或﹣1（舍去），
综上：或．
（3）解：①∵将二次函数沿水平方向平移，
∴纵坐标不变是4，
∴图象L的解析式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4，
∴D（0，﹣n2+4），
∴CD＝d＝|﹣n2+4﹣3|＝|﹣n2+1|，
∴d＝
②n的取值范围为﹣1≤n≤1﹣或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；正切的概念；二次函数与分段函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）②由①得d＝则函数图象如图，
∵d随着n增加而增加，
∴﹣1≤n≤0或n≥1，△ABC中含（0，1），（0，2），（1，1）三个整点（不含边界），
当W内恰有2个整数点（0，1），（0，2）时，
当x＝0时，yL＞2，当x＝1时，yL≤1，
∴
∴﹣＜n＜，n≥1+或n≤1﹣，
∴﹣＜n＜1﹣，
∵﹣1≤n＜0或n≥1，
∴﹣1≤n≤1﹣；
∴
∴﹣＜n≤﹣或≤n＜，1﹣＜n＜1+，
∴，
∵﹣1≤n＜0或n≥1，
∴；
当W内恰有2个整数点（0，2），（1，1）时，此种情况不存在，舍去．
综上，n的取值范围为﹣1≤n≤1﹣或．
【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意代入点的坐标即可求解；
（2）先根据题意将二次函数的解析式化为顶点式，进而结合题意即可得到A（﹣1.0），B（3，0），C（0，3），作MN⊥x轴于点N，设M（m，﹣m2+2m+3），从而分类讨论：当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，再根据题意结合锐角三角函数的定义即可求解；
（3）①根据二次函数图象的几何变换得到图象L的解析式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4，进而得到D（0，﹣n2+4），从而根据得到CD即可求解；
②根据①的函数画出图像，进而根据图像得到﹣1≤n≤0或n≥1，△ABC中含（0，1），（0，2），（1，1）三个整点（不含边界），再分类讨论：当W内恰有2个整数点（0，1），（0，2）时，当x＝0时，yL＞2，当x＝1时，yL≤1；当W内恰有2个整数点（0，1），（1，1）时，当x＝0时，1＜yL≤2，当x＝1时，yL＞1，从而解不等式组即可求解。
12．【答案】解：（1）
结合已知根据有界函数的定义可知不是有界函数，是有界函数，
当x=2时，y=3，
当x＞-4，y大于-3
∴边界值是3；
（2）
中，随的增大而减小，
当时，，故．
当时，，
根据题意可得：，
；
（3）若，函数向下平移个单位后，时，函数值小于，此时函数的边界值大于1，与题意不符，故．
当时，，即过，
当时，，即过，
将，都向下平移个单位，得到，，
根据题意可得：或，
或，
或．
【知识点】二次函数图象的平移变换；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【分析】（1）分析题意，结合已知中有界函数的定义可进行判断；
（2）根据一次函数的性质可得的增加性，当x=a时 y最大值是2，求出a，把b代入y=-x+1，由于边界值是2，即，解不等式求出b的取值范围。
（3）要分情况讨论，易判断不符合题意，故；结合已知函数解析式可得函数过点和，以此求得其平移后的点坐标，进而可得或，由此即可求得的取值范围．
13．【答案】（1）解：令0=2x﹣4，解得x=，所以其关联函数为y=，
（2）解：令，
解得，，
所以抛物线与轴交点坐标为，，
因为抛物线开口向上，
所以关联函数，
将代入得，
解得，，
将代入得，
解得，
所以或1．
（3）解：因为，
所以抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，
点、关于直线对称，
如图，作关于轴的对称的线段，
当时，，抛物线顶点在线段上，
当时，，抛物线顶点在线段上，
所以满足题意，
当抛物线经过点，时，将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
所以符合题意，
综上所述，或．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【分析】（1）令2x-3=0，求出直线y=2x-3与x轴的交点坐标，根据抛物线开口方向和“关联函数”的定义求解；
（2）令，求出抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线开口方向求出其关联函数解析式，将（a，4）分别代入其关联函数解析式中求解；
（3）作MN关于x轴的对称的线段M'N'，由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标，结合图象求解．
（1）令0=2x﹣4，
解得x=，
∴其关联函数为y=，
（2）令，
解得，，
抛物线与轴交点坐标为，，
抛物线开口向上，
关联函数，
将代入得，
解得，，
将代入得，
解得，
或1．
（3），
抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，
点、关于直线对称，
如图，作关于轴的对称的线段，
当时，，抛物线顶点在线段上，
当时，，抛物线顶点在线段上，
满足题意，
当抛物线经过点，时，将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
符合题意，
综上所述，或．
14．【答案】（1）解：把代入：中得：
（＜），
再把代入中，
（2）如图：
根据图象可看出函数的性质：当时，随的增大而增大，
故答案为当时，随的增大而增大．
（3）解：由图象可知，当时，自变量的值为或或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的对称变换；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【分析】（1）把代入，进而即可得到a，进而把代入中，得到 再结合题意即可求解；
（2）先根据表中数据描点，进而连线，再根据函数的图象写出其一个性质即可求解；
（3）根据结合题意直接观察所画函数的图形与的图像的交点的横坐标，进而即可求解。
15．【答案】（1）解：∵，∴点在图象上
把点代入，得．
（2）解：∵
∴图象的顶点坐标为
当时，函数，∴图象与x轴的交点为
设直线l解析式为
作出如下图象，当直线与图象G有三个不同的交点时，
在函数中，令，整理得
设，，，
∴，∴
即直线l解析式为，
当时，解得（负舍）
所以，点C的坐标为．
（3）解：∵
∴令解得，令
代入解析式为，解得
代入解析式为，解得
∴x的取值范围M为
∵M中总存在使得，∴二次函数在M上的最大值大于2即可
∵的对称轴为
∴分如下情况讨论：
①当时，如图所示
此时当时，函数有最大值，即
解得
②当时，如图所示
此时当时，函数有最大值，即
无解，舍去
③当时，如图所示
此时当时，函数有最大值，即
解得
综上所述，实数m的取值范围是或．
【知识点】函数的概念；数学思想；二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点 点代入， 得到关于p的方程，解方程即可求得p的值；
（2）先求得 图象的顶点坐标为 以及图象与x轴的交点为，设直线l解析式为， 当直线与图象G有三个不同的交点时， ， 令， 设，，，，由AB的的值求得，代入即可得到点C的坐标；
（3）先求得 x的取值范围M为 ，再分三种情况进行讨论： ①当时， ②当时， ③当时， 分别求解，综合即可得出结论.
16．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∵，
∴对称轴为直线，
∴点的坐标为．
（2）解：设与对称轴交于点，则，，
∵点与点关于抛物线对称轴对称，，轴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
解得：．
∴的值为；
（3）解：①∵，
∴抛物线的解析式为，
∴，，抛物线对称轴方程为，直线的方程为，
∴，
∵点在轴右侧的抛物线上运动，，
∴当时，；
当时，；
当时，．
∴与之间的函数关系式为
②在0＜t≤1时，
，解得：，；
，解得：t=0，t=6（舍去）；
在1＜t≤2时，
，解得：（舍去），；
，解得：t=2，t=-4（舍去）；
在t＞2时，
，解得：（舍去），；
，解得：t=2（舍去），t=4；
如图：
当时，的取值范围为或或．
【知识点】二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将A点代入求得n=m+1，代入解析式，并转化为顶点式，得到对称轴直线，即可用含m的代数式表示出D的横坐标和纵坐标，即可求解；
（2）先用含m的代数式表示出CD和GF的值，根据题意可得△CDF是等腰直角三角形，即可列出方程式，解方程求出m的值，即可；
（3）①先求出函数解析式，化为顶点式求出对称轴，分别表示出d1和d2，即可求解；
②分别求出d=0和d=1时，t的值，画出函数d、t的图象，即可求解.
17．【答案】（1）解：将、代入得
解得
抛物线的解析式为．
（2）解：点P在抛物线上
当时，，
过点P作于点R，于S，
点P在第三象限
，
连接OP
（3）解：过点Q作交AB于点N
，，
为QD的中点
，
，
平分
，
，
，
，
，
，
，
设AC解析式为
，
直线AC解析式为
设直线EP的解析式为
过点P作于点I
把点、代入
得
解得，（舍去）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与分段函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）分别将点A，B的坐标代入函数解析式，可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，可得到抛物线的解析式.
（2）已知点P在抛物线上，则可设出，由x=0可求出对应的y的值，可得到点C的坐标；过点P作于点R，于S，利用点P所在的象限，可表示出PR，PS的长，连接OP，根据，利用三角形的面积公式可得到S与t的函数解析式.
（3） 过点Q作交AB于点N ，可证得∠MQN=∠MDB，∠MNQ=∠DBM，∠NQE=∠NBP，利用线段中点的定义可证得DM=MQ，利用ASA可证得△QMN≌△DMB，利用全等三角形的对应边相等，可证得QN=DB=QE，可推出∠QNE=∠QEN=∠PBE，利用等角对等边可证得PB=PE，利用角平分线的概念和平行线的性质可证得∠THE=∠KEH，可推出TE=TH；再利用AS证明△TGE≌△HFT，可得到EG=TF，从而可证得AE=EF；再证明AC∥EP，利用待定系数法求出最小AC的函数解析式， 设直线EP的解析式为， 过点P作于点I ，可表示出BI、EI的长，据此可得到点E的坐标，将点P和点E的坐标分别代入，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，即可求出厎P的坐标.
18．【答案】（1）(ⅰ)解：①设直线的解析式为，则
，解得：，
∴直线解析式为，
将代入得，，解得：，
∴
以点C为顶点，作，作，交x轴于点D，则点D即为所求；
②由图知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设经过，，三点的抛物线为，则：
，
解得：，
∴解析式．
(ⅱ)解：原抛物线，
点，所以新抛物线的解析式顶点纵坐标为：
，
故翻折后的抛物线解析式为：，
如图，点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，满足题意，则，解得（P在对称轴左侧）， （P在对称轴右侧），
如图，当点P落在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点，
点P落在x轴上时，（ P在对称轴左侧），（P在对称轴右侧）；
当点P落在x轴在下方时，折叠函数与x轴无交点．
∴当折叠函数与x轴至少有三个交点时，或．
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征；尺规作图-作一个角等于已知角；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）解：反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
如图，设点在翻折后的图象上，则其关于直线的对称点在上，对称点坐标为，代入得，，即折后的图象解析式为，
时，，解得，
∴交点坐标为．
故答案为：
【分析】（1）(ⅰ)①根据待定系数法求出直线AB的函数解析式，进而将点C代入即可求出m，以点C为顶点，作，作，交x轴于点D，则点D即为所求；
②先根据画图得到，，进而根据等腰直角三角形得到AD，根据坐标系中两点间的距离公式求出AC即可得到AD，从而即可得到点D的坐标，运用待定系数法设经过，，三点的抛物线为，从而代入点即可求出二次函数的解析式；
(ⅱ)先求出原抛物线的顶点式， 点设， 可得折叠后新抛物线的解析式顶点纵坐标为：，故翻折后的抛物线解析式为：，进而分类讨论：点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，满足题意；当点P落在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点，从而结合题意即可求解；
（2）先运用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而设点在翻折后的图象上，则其关于直线的对称点在上，对称点坐标为，代入即可求出折后的图象解析式为，令y=0即可求出其交点坐标。
1 / 1二次函数与分段函数—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题
1．现有函数如果对于任意的实数，直线与函数的图象总有交点，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数学思想；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵y=-x2-2x=-（x+1）2+1，
∴函数y=-x2-2x的最大值为1，
把y=1代入y=x-4得，1=x-4，解得x=5，
由图象可知，当-4≤a≤5时，直线y＝n与图象总有交点，
故答案为：D．
【分析】先根据分段函数解析式，画出函数图象，观察图象即可求得a的取值范围．
2．（2018九上·下城期中）如图，等腰Rt△ABC（∠ACB＝90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止.设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数；动点问题的函数图象
【解析】【解答】设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y
∴当C从D点运动到E点时，即0 x 2时，y= ×2×2 (2 x)×(2 x)= x +2x.
当A从D点运动到E点时，即2∴y与x之间的函数关系
由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应。
故答案为：A.
【分析】由题意可分为两部分：①当C从D点运动到E点时，即0＜x＜2时，由阴影部分面积的构成可求解；②当A从D点运动到E点时，即23．（2024·齐齐哈尔模拟）如图，正方形ABCD的边长是4，点E，F分别是AB，AD的中点，点P，Q为正方形ABCD边上的两个动点，点P从点D出发，沿匀速运动，到达点C时停止运动；同时，点Q从点E出发，沿匀速运动，动点P，Q速度的大小相同．设点P运动的路程为x，的面积为y，下列图象中能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点Q在EA上运动时，
的面积为：
当点Q在AF上运动时，
的面积为：
综上所述，当时，其函数图象为一次函数，且y随x增大而增大，
当时，其函数图象为二次函数，且开口向下，
故答案为：D.
【分析】根据题意分别表示出当点Q在EA上运动时和当点Q在AF上运动时的面积，最后根据一次函数和二次函数的图象性质即可求解.
4．（2019九上·衢州期中）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′＝ ，则称点Q为点P的“亲密点”．例如：点（1，2）的“亲密点”为点（1，3），点（﹣1，3）的“亲密点”为点（﹣1，﹣3）．若点P在函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，则其“亲密点”Q的纵坐标y′关于x的函数图象大致正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵当x≥0时，y'=y+1= x2﹣2x﹣3+1=(x-1)2-3，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，-3），显然BD错误；
∵当x＜0时，y'=-y= -x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，4），显然C错误，
故只有A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据定义分别求出当x≥0和x＜0时，y'的函数关系式，分别求出两种情况下的图象开口和顶点坐标，对照选项逐一排除，最终确定符合条件的选项.
二、填空题
5．（2022·广汉模拟）若函数y=，则当函数值y＝8时，自变量x的值等于 .
【答案】或4
【知识点】分段函数
【解析】【解答】解：由已知可得x2+2=8或2x=8，
分别解得x1=(不符合题意舍去)，x2=-，x3=4
故答案为或4
【分析】把x=8分别代入y=x2+2=8或y=2x=8中求出x值，结合各段x的取值范围，即可得出结果.
6．（2021九上·安义月考）在平面直角坐标系xOy中，函数 （其中 ）的图象记为W，图象W经过点 ，则n的值为 ．
【答案】n=-3或 或
【知识点】分段函数；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：当 时，
点 在函数 的图象上，
∴ ，
解得： ；
当 且 时，
点 在函数 的图象上，
∴ ，解得： ， ；
∴综上所述：n=-3或 或 ．
【分析】分类讨论，列方程计算求解即可。
7．（2024九下·南湖模拟）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ．
【答案】或
【知识点】分段函数；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∵
如图所示，画出该函数的函数图象：
可知：当或时，，则；
∴的值是或
故答案为：或
【分析】根据新定义运算法则求出=2， ，则，再根据新定义运算法则得，画出该函数的图象，即可求解
三、解答题
8．（【全品】2024浙江专版全品中考复习方案备考手册第15课时二次函数的实际应用）某商店销售某种商品的进价为每件 30 元， 这种商品在近 60 天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：
时间： 第 （天）
日销售价 （元/件 ） 50
日销售量 （件）
为整数）
设该商品的日销售利润为 元．
（1） 直接写出 与 的函数关系式
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？ 最大日销售利润是多少？
【答案】（1）
（2）解：当 时， ．
当 时， 有最大值， 最大值为 1296 ．
当 时， ， 当 时， 有最大值，最大值为 ．
该商品在第 26 天的日销售利润最大， 最大日销售利润是 1296 元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）当时，
w=(0.5x+35-30)(128-2x)=-x2+54x+640，
当时，
w=(50-30)(128-2x)=-40x+2560.
所以；
故答案为：；
【分析】分“”、“”两种情况，分别列出函数表达式；
（2）分别在“”、“”求出各自w的最大值，再通过比较，求出最大日销售利润.
9．（2024·吉林）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，AD是△ABC的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线AD﹣DB向终点B运动．过点P作PQ∥AB，交AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧．设点P的运动时间为t（s）（t＞0），△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S（cm2）．
（1）当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式表示）．
（2）当点E与点C重合时，求t的值．
（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）△APQ是等腰三角形，AQ＝t；
（2）解：如图所示，E、C重合时图形．
∵△PQE是等边三角形，
∴QE＝QP，
由（1）得QA＝QP，
∴AE＝2AQ，即2t＝3，
∴t＝；
（3）解：①当点P在AD上，点E在AC上时，重合部分是等边三角形PQE，如图作PG⊥QE于点G，
∵∠PAQ＝30°，
∴PG＝AP＝t，
∵△PQE是等边三角形，
∴QE＝PQ＝AQ＝t，
∴S＝QE PG＝．
由（2）知当点E、C重合时，t＝，
∴S＝（0＜t≤）；
②当点P在AD上，点E在AC延长线上时，重合部分是四边形PQCF．
在Rt△FCE中，CE＝2t﹣3，∠E＝60°，
∴CF＝CE tan60°＝（2t﹣3），
∴S△PCE＝（2t﹣3） （2t﹣3）＝（2t﹣3）2，
∴S＝S△PAC﹣S△PCE＝﹣（2t﹣3）2＝﹣t2+6t﹣（＜t＜2）；
③当点P在DB上，重合部分是直角三角形PQC，
S＝CQ CP＝（t﹣1） （t﹣1）＝（t﹣1）2，（2≤t≤4）．
综上所述，.
【知识点】三角形-动点问题；二次函数与分段函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（1）解：如图，过Q作QH⊥AD于点H，
∵PQ∥AB，
∴∠BAD＝∠QAP，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠QAP，
∴QA＝QP，
∴△APQ是等腰三角形．
∵QH⊥AP，
∴AH＝AP＝，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC=30°，
∴AQ＝＝t，
故△APQ是等腰三角形，AQ＝t；
【分析】（1）过Q作QH⊥AD于点H，由平行线的性质及角平分线定义可推出∠CAD＝∠QAP，从而可得△APQ是等腰三角形；由等腰三角形的三线合一得AH＝AP＝，进而由三角形的内角和定理及角平分线定义可算出∠CAD=30°，从而利用∠CAD的余弦函数可求出AQ的长；
（2）由等边三角形及等腰三角形性质可推出AQ=PQ=QC，则AE＝2AQ，结合（1）得结论建立方程可求出t的值；
（3）分类讨论：①当点P在AD上，点E在AC上时，重合部分是等边三角形PQE，如图作PG⊥QE于点G，②当点P在AD上，点E在AC延长线上时，重合部分是四边形PQCF，③当点P在DB上，重合部分是直角三角形PQC，分别画出图形，结合图形特点及三角形面积计算公式列式计算即可得出S关于t的函数关系式.
10．（2023九下·海淀开学考）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点．
（1）求该二次函数的解析式以及顶点坐标；
（2）将该二次函数的图象在y轴左侧的部分记作W，将W绕原点旋转得到，W与组成一个新函数的图象．
①若点在该新函数图象上，求b的值；
②若点是新函数图象上两点，若存在，使得，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过原点，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：①根据题意得：点绕原点旋转后得到，
∵将该二次函数的图象在y轴左侧的部分记作W，将W绕原点旋转得到，
∴的函数解析式为，
∴W与组成一个新函数的解析式为，
∵点在该新函数图象上，
当时，，
解得：，舍去；
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
②如图，
，
由①可设点，，，则，
设点关于原点的对称点，点关于原点的对称点，，
，
当时，当点位于点时，点位于点或点的右侧，此时，不符合题意；
同理，当点从点（不包括点沿抛物线向点（不包括点运动时，在抛物线的段上存在纵坐标等于的点，越来越小，总有，
点位于点的右侧，此时，不符合题意；
当点从点沿抛物线向上运动时，点在点的右侧，此时，不符合题意；
当点从点（不包括点沿抛物线向点运动时，在抛物线上的段上存在纵坐标等于的点，使得，点位于点的左侧，此时，符合题意；
当点与点重合时，点与点重合，此时达到最大；当点从点沿抛物线向点（不包括点运动时，总有，此时，符合题意；
当点位于点时与位于点时类似，不符合题意；
当点从点沿抛物线向下运动时，其右侧的点始终在点的上方，此时，符合题意；
综上所述：当点在抛物线的段上（不包括端点）时，符合题意，此时．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转；数学思想；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【分析】（1）把原点代入解析式，可求出a的值，再配成顶点式，即可求解；
（2）①根据旋转的性质，可得的函数解析式为，从而得到W与组成一个新函数的解析式为，再把点代入，即可求解；②根据函数图象分六种情况讨论．
（1）解：∵二次函数的图象经过原点，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：①根据题意得：点绕原点旋转后得到，
∵将该二次函数的图象在y轴左侧的部分记作W，将W绕原点旋转得到，
∴的函数解析式为，
∴W与组成一个新函数的解析式为，
∵点在该新函数图象上，
当时，，
解得：，舍去；
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
②如图，由①可设点，，，则，
设点关于原点的对称点，点关于原点的对称点，，
，
当时，当点位于点时，点位于点或点的右侧，此时，不符合题意；
同理，当点从点（不包括点沿抛物线向点（不包括点运动时，在抛物线的段上存在纵坐标等于的点，越来越小，总有，
点位于点的右侧，此时，不符合题意；
当点从点沿抛物线向上运动时，点在点的右侧，此时，不符合题意；
当点从点（不包括点沿抛物线向点运动时，在抛物线上的段上存在纵坐标等于的点，使得，点位于点的左侧，此时，符合题意；
当点与点重合时，点与点重合，此时达到最大；当点从点沿抛物线向点（不包括点运动时，总有，此时，符合题意；
当点位于点时与位于点时类似，不符合题意；
当点从点沿抛物线向下运动时，其右侧的点始终在点的上方，此时
，符合题意；
综上所述：当点在抛物线的段上（不包括端点）时，符合题意，此时．
11．（2024·湖北）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B，交y轴于C．
（1）求b的值．
（2）M为函数图象上一点，满足∠MAB＝∠ACO，求M点的横坐标．
（3）将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为L，L与y轴交于点D，记DC＝d，记L顶点横坐标为n．
①求d与n的函数解析式．
②记L与x轴围成的图象为U，U与△ABC重合部分（不计边界）记为W，若d随n增加而增加，且W内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+3与x轴交于（﹣1，0），
∴0＝﹣1﹣b＝3，解得b＝2．
（2）解：∵b＝2，
∴二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
令y＝0，解得x＝﹣1或3，
令x＝0得y＝3，
∴A（﹣1.0），B（3，0），C（0，3），作MN⊥x轴于点N，
设M（m，﹣m2+2m+3），
当点M在x轴上方时，如图1，
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即，
∴，
解得或﹣1（舍去），
当点M在x轴下方时，如图2，
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即，
解得或﹣1（舍去），
综上：或．
（3）解：①∵将二次函数沿水平方向平移，
∴纵坐标不变是4，
∴图象L的解析式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4，
∴D（0，﹣n2+4），
∴CD＝d＝|﹣n2+4﹣3|＝|﹣n2+1|，
∴d＝
②n的取值范围为﹣1≤n≤1﹣或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；正切的概念；二次函数与分段函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）②由①得d＝则函数图象如图，
∵d随着n增加而增加，
∴﹣1≤n≤0或n≥1，△ABC中含（0，1），（0，2），（1，1）三个整点（不含边界），
当W内恰有2个整数点（0，1），（0，2）时，
当x＝0时，yL＞2，当x＝1时，yL≤1，
∴
∴﹣＜n＜，n≥1+或n≤1﹣，
∴﹣＜n＜1﹣，
∵﹣1≤n＜0或n≥1，
∴﹣1≤n≤1﹣；
∴
∴﹣＜n≤﹣或≤n＜，1﹣＜n＜1+，
∴，
∵﹣1≤n＜0或n≥1，
∴；
当W内恰有2个整数点（0，2），（1，1）时，此种情况不存在，舍去．
综上，n的取值范围为﹣1≤n≤1﹣或．
【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意代入点的坐标即可求解；
（2）先根据题意将二次函数的解析式化为顶点式，进而结合题意即可得到A（﹣1.0），B（3，0），C（0，3），作MN⊥x轴于点N，设M（m，﹣m2+2m+3），从而分类讨论：当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，再根据题意结合锐角三角函数的定义即可求解；
（3）①根据二次函数图象的几何变换得到图象L的解析式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4，进而得到D（0，﹣n2+4），从而根据得到CD即可求解；
②根据①的函数画出图像，进而根据图像得到﹣1≤n≤0或n≥1，△ABC中含（0，1），（0，2），（1，1）三个整点（不含边界），再分类讨论：当W内恰有2个整数点（0，1），（0，2）时，当x＝0时，yL＞2，当x＝1时，yL≤1；当W内恰有2个整数点（0，1），（1，1）时，当x＝0时，1＜yL≤2，当x＝1时，yL＞1，从而解不等式组即可求解。
12．（2023九上·石景山期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求的取值范围；
（3）将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足？
【答案】解：（1）
结合已知根据有界函数的定义可知不是有界函数，是有界函数，
当x=2时，y=3，
当x＞-4，y大于-3
∴边界值是3；
（2）
中，随的增大而减小，
当时，，故．
当时，，
根据题意可得：，
；
（3）若，函数向下平移个单位后，时，函数值小于，此时函数的边界值大于1，与题意不符，故．
当时，，即过，
当时，，即过，
将，都向下平移个单位，得到，，
根据题意可得：或，
或，
或．
【知识点】二次函数图象的平移变换；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【分析】（1）分析题意，结合已知中有界函数的定义可进行判断；
（2）根据一次函数的性质可得的增加性，当x=a时 y最大值是2，求出a，把b代入y=-x+1，由于边界值是2，即，解不等式求出b的取值范围。
（3）要分情况讨论，易判断不符合题意，故；结合已知函数解析式可得函数过点和，以此求得其平移后的点坐标，进而可得或，由此即可求得的取值范围．
13．（2022九上·长沙月考）对于函数定义变换：当y≥0时，函数值不变；当y＜0时，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”
如：一次函数y=x﹣1，关联函数为，这个关联函数的转折点是（1，0）．
（1）已知一次函数y=2x﹣3，请直接写出它的“关联函数”的解析式．
（2）已知二次函数y=﹣2x﹣3，点（a，4）在它的“关联函数”的图象上，求a的值．
（3）在平面直角坐标系内，有点M（﹣1，1）、N（3，1），二次函数y=﹣2x+a的关联函数与线段MN恰有两个公共点．求a的取值范围
【答案】（1）解：令0=2x﹣4，解得x=，所以其关联函数为y=，
（2）解：令，
解得，，
所以抛物线与轴交点坐标为，，
因为抛物线开口向上，
所以关联函数，
将代入得，
解得，，
将代入得，
解得，
所以或1．
（3）解：因为，
所以抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，
点、关于直线对称，
如图，作关于轴的对称的线段，
当时，，抛物线顶点在线段上，
当时，，抛物线顶点在线段上，
所以满足题意，
当抛物线经过点，时，将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
所以符合题意，
综上所述，或．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【分析】（1）令2x-3=0，求出直线y=2x-3与x轴的交点坐标，根据抛物线开口方向和“关联函数”的定义求解；
（2）令，求出抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线开口方向求出其关联函数解析式，将（a，4）分别代入其关联函数解析式中求解；
（3）作MN关于x轴的对称的线段M'N'，由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标，结合图象求解．
（1）令0=2x﹣4，
解得x=，
∴其关联函数为y=，
（2）令，
解得，，
抛物线与轴交点坐标为，，
抛物线开口向上，
关联函数，
将代入得，
解得，，
将代入得，
解得，
或1．
（3），
抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，
点、关于直线对称，
如图，作关于轴的对称的线段，
当时，，抛物线顶点在线段上，
当时，，抛物线顶点在线段上，
满足题意，
当抛物线经过点，时，将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
符合题意，
综上所述，或．
14．（2024九上·南宁开学考）在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式画函数图象利用函数图象研究函数性质利用图象解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请你按要求完成下列问题
（1）列表：函数自变量的取值范围是全体实数，下表列出了变量与的几组对应数值：
根据表格中的数据直接写出与的函数解析式及对应的自变量的取值范围；
（2）描点、连线：在右侧的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ▲ ；
（3）已知函数的图象如图，结合函数图象，请直接写出当时，自变量的值．结果保留位小数，误差不超过
【答案】（1）解：把代入：中得：
（＜），
再把代入中，
（2）如图：
根据图象可看出函数的性质：当时，随的增大而增大，
故答案为当时，随的增大而增大．
（3）解：由图象可知，当时，自变量的值为或或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的对称变换；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【分析】（1）把代入，进而即可得到a，进而把代入中，得到 再结合题意即可求解；
（2）先根据表中数据描点，进而连线，再根据函数的图象写出其一个性质即可求解；
（3）根据结合题意直接观察所画函数的图形与的图像的交点的横坐标，进而即可求解。
15．（2024·夹江模拟）如图所示，图象G由图象和组成，其中图象是函数的图象，图象是函数的图象．
（1）若点在图象G上，求p的值；
（2）已知直线l与x轴平行，且与图象G有三个不同的交点，从左至右依次为点A、B、C，若，求点C的坐标；
（3）当图象G上的点满足时，记此时x的取值范围为M．设，若在M中总存在，使得，求此时实数m的取值范围．
【答案】（1）解：∵，∴点在图象上
把点代入，得．
（2）解：∵
∴图象的顶点坐标为
当时，函数，∴图象与x轴的交点为
设直线l解析式为
作出如下图象，当直线与图象G有三个不同的交点时，
在函数中，令，整理得
设，，，
∴，∴
即直线l解析式为，
当时，解得（负舍）
所以，点C的坐标为．
（3）解：∵
∴令解得，令
代入解析式为，解得
代入解析式为，解得
∴x的取值范围M为
∵M中总存在使得，∴二次函数在M上的最大值大于2即可
∵的对称轴为
∴分如下情况讨论：
①当时，如图所示
此时当时，函数有最大值，即
解得
②当时，如图所示
此时当时，函数有最大值，即
无解，舍去
③当时，如图所示
此时当时，函数有最大值，即
解得
综上所述，实数m的取值范围是或．
【知识点】函数的概念；数学思想；二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点 点代入， 得到关于p的方程，解方程即可求得p的值；
（2）先求得 图象的顶点坐标为 以及图象与x轴的交点为，设直线l解析式为， 当直线与图象G有三个不同的交点时， ， 令， 设，，，，由AB的的值求得，代入即可得到点C的坐标；
（3）先求得 x的取值范围M为 ，再分三种情况进行讨论： ①当时， ②当时， ③当时， 分别求解，综合即可得出结论.
16．（2024·荆州模拟）如图，已知经过点和的抛物线与轴交于点，过点作轴交抛物线于点．
（备用图）
（1）请用含的代数式表示和点的坐标；
（2）设直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点，连接，，，求的值；
（3）若在（2）的条件下，若点是抛物线上在轴右侧的一个动点，其横坐标为，点到抛物线对称轴和直线的距离分别是，，且，①求关于的函数解析式；②当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∵，
∴对称轴为直线，
∴点的坐标为．
（2）解：设与对称轴交于点，则，，
∵点与点关于抛物线对称轴对称，，轴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
解得：．
∴的值为；
（3）解：①∵，
∴抛物线的解析式为，
∴，，抛物线对称轴方程为，直线的方程为，
∴，
∵点在轴右侧的抛物线上运动，，
∴当时，；
当时，；
当时，．
∴与之间的函数关系式为
②在0＜t≤1时，
，解得：，；
，解得：t=0，t=6（舍去）；
在1＜t≤2时，
，解得：（舍去），；
，解得：t=2，t=-4（舍去）；
在t＞2时，
，解得：（舍去），；
，解得：t=2（舍去），t=4；
如图：
当时，的取值范围为或或．
【知识点】二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将A点代入求得n=m+1，代入解析式，并转化为顶点式，得到对称轴直线，即可用含m的代数式表示出D的横坐标和纵坐标，即可求解；
（2）先用含m的代数式表示出CD和GF的值，根据题意可得△CDF是等腰直角三角形，即可列出方程式，解方程求出m的值，即可；
（3）①先求出函数解析式，化为顶点式求出对称轴，分别表示出d1和d2，即可求解；
②分别求出d=0和d=1时，t的值，画出函数d、t的图象，即可求解.
17．（2023九上·呼兰期中）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为BC下方抛物线上一点，连接PB，PC，若设的面积为S，点P的横坐标为t，求s与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，如图3，点Q为BC上一点，连接PQ并延长交x轴于点E，延长PB至点D，连接QD交x轴于点M，，点M为QD中点，连接AC，点F在AC上，连接EF，交BC于点K，连接EK，EH平分交FK于点H，交EF于点T，于点G，若，，求点P的坐标．
【答案】（1）解：将、代入得
解得
抛物线的解析式为．
（2）解：点P在抛物线上
当时，，
过点P作于点R，于S，
点P在第三象限
，
连接OP
（3）解：过点Q作交AB于点N
，，
为QD的中点
，
，
平分
，
，
，
，
，
，
，
设AC解析式为
，
直线AC解析式为
设直线EP的解析式为
过点P作于点I
把点、代入
得
解得，（舍去）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与分段函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）分别将点A，B的坐标代入函数解析式，可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，可得到抛物线的解析式.
（2）已知点P在抛物线上，则可设出，由x=0可求出对应的y的值，可得到点C的坐标；过点P作于点R，于S，利用点P所在的象限，可表示出PR，PS的长，连接OP，根据，利用三角形的面积公式可得到S与t的函数解析式.
（3） 过点Q作交AB于点N ，可证得∠MQN=∠MDB，∠MNQ=∠DBM，∠NQE=∠NBP，利用线段中点的定义可证得DM=MQ，利用ASA可证得△QMN≌△DMB，利用全等三角形的对应边相等，可证得QN=DB=QE，可推出∠QNE=∠QEN=∠PBE，利用等角对等边可证得PB=PE，利用角平分线的概念和平行线的性质可证得∠THE=∠KEH，可推出TE=TH；再利用AS证明△TGE≌△HFT，可得到EG=TF，从而可证得AE=EF；再证明AC∥EP，利用待定系数法求出最小AC的函数解析式， 设直线EP的解析式为， 过点P作于点I ，可表示出BI、EI的长，据此可得到点E的坐标，将点P和点E的坐标分别代入，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，即可求出厎P的坐标.
18．（2024·长沙会考）定义：经过函数图象上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿平行线向下翻折形成新的函数图象，我们把满足这种情况的函数图象称为经过这一点的“折叠函数”．
（1）【基本应用】
(ⅰ)如图，点、、均在直线l上．
①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）；
②求出经过点A、C、D的二次函数表达式；
(ⅱ)在（ⅰ）的条件下，点为二次函数图象上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围．
（2）【创新应用】如果反比例函数的图像上有一点，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为 ．
【答案】（1）(ⅰ)解：①设直线的解析式为，则
，解得：，
∴直线解析式为，
将代入得，，解得：，
∴
以点C为顶点，作，作，交x轴于点D，则点D即为所求；
②由图知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设经过，，三点的抛物线为，则：
，
解得：，
∴解析式．
(ⅱ)解：原抛物线，
点，所以新抛物线的解析式顶点纵坐标为：
，
故翻折后的抛物线解析式为：，
如图，点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，满足题意，则，解得（P在对称轴左侧）， （P在对称轴右侧），
如图，当点P落在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点，
点P落在x轴上时，（ P在对称轴左侧），（P在对称轴右侧）；
当点P落在x轴在下方时，折叠函数与x轴无交点．
∴当折叠函数与x轴至少有三个交点时，或．
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征；尺规作图-作一个角等于已知角；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）解：反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
如图，设点在翻折后的图象上，则其关于直线的对称点在上，对称点坐标为，代入得，，即折后的图象解析式为，
时，，解得，
∴交点坐标为．
故答案为：
【分析】（1）(ⅰ)①根据待定系数法求出直线AB的函数解析式，进而将点C代入即可求出m，以点C为顶点，作，作，交x轴于点D，则点D即为所求；
②先根据画图得到，，进而根据等腰直角三角形得到AD，根据坐标系中两点间的距离公式求出AC即可得到AD，从而即可得到点D的坐标，运用待定系数法设经过，，三点的抛物线为，从而代入点即可求出二次函数的解析式；
(ⅱ)先求出原抛物线的顶点式， 点设， 可得折叠后新抛物线的解析式顶点纵坐标为：，故翻折后的抛物线解析式为：，进而分类讨论：点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，满足题意；当点P落在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点，从而结合题意即可求解；
（2）先运用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而设点在翻折后的图象上，则其关于直线的对称点在上，对称点坐标为，代入即可求出折后的图象解析式为，令y=0即可求出其交点坐标。
1 / 1
