二次函数与反比例函数—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2022九上·普陀月考）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、反比例函数的系数k＞0，二次函数的系数-k＞0，即k＜0，二者矛盾，不符合题意；
B、二次函数的系数-k＜0，即k＞0，顶点坐标从图象中可知在y轴负半轴，二者矛盾，不符合题意；
C、反比例函数的系数k＜0，二次函数的系数-k＞0，即k＞0，二者矛盾，不符合题意；
D、反比例函数的系数k＜0，二次函数的系数-k＞0，即k＜0，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数系数和图象的关系，二次函数图象与系数的关系，逐项分析，排除即可.
2．（2021九上·金东期中）已知反比例函数 的图象如图所示，那么二次函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解： 反比例函数 的图象在二、四象限，
而二次函数 ，
抛物线的开口向下，与 轴交于正半轴，
而抛物线的对称轴为：
所以抛物线的对称轴在 轴的左侧，
故A、B、C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由反比例函数的图象在二、四象限可知k<0，则2k<0，k2>0，结合二次函数的图象与系数的关系可得抛物线开口向下，与y轴的交点在y轴正半轴，由二次函数的解析式结合对称轴公式可得对称轴直线x<0，据此判断.
3．（2019九上·宁波月考）二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，则一次函数 y=bx+b2-4ac 与反比例函数 y= 在坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在对称轴的右侧，
∴a＞0，b＜0，
抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0
∴y=bx+b2-4ac的图像经过第一、二、四象限，故排除A，C.
当x=1时，a+b+c＜0，
∴ 反比例函数 y=的图像分支在第二、四象限，排除B，
故答案为：D.
【分析】观察二次函数的图象，可知b，b2-4ac的大小，就可判定出一次函数的图象所经过的象限；再由x=1时可确定出a+b+c的大小，即可得出反比例函数图象分支的象限，综上所述，可得到答案。
4．（2021九上·西湖月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝ 的图象相交于点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三个点，则不等式ax2+bx+c＞ 的解是 ．
【答案】1＜x＜0或1＜x＜3
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当﹣1＜x＜0或1＜x＜3时，抛物线在双曲线上方，
所以不等式ax2+bx+c＞ 的解集为1＜x＜0或1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜0或1＜x＜3．
【分析】观察函数图象可知点A，B，C三个点的横坐标，要使二次函数的值大于反比例函数的值，利用图象可得到x的取值范围.
5．（2022九上·嘉兴期末）甲、乙两人研究二次函数与反比例函数，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点.”乙说：“二次函数图象的顶点及这个定点都在该反比例函数图象上.”若甲、乙两人的描述正确，则a的值为 .
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵y=ax2-4ax+3=ax（x-4）+3，
∴当x=4时，y=3，
∴二次函数图象一定过第一象限的一个定点（4，3），
∵y=ax2-4ax+3=a（x-2）2+3-4a，
∴顶点为（2，3-4a），
∵二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上，
∴2×（3-4a）=4×3，
∴a=-.
故答案为：-.
【分析】将二次函数解析式变形可得y=ax(x-4)+3，当x=4时，y=3，则二次函数图象过定点（4，3），由函数解析式可得顶点为（2，3-4a），将（2，3-4a）、（4，3）代入反比例函数解析式中就可求出a的值.
6．（2021九上·肥城期末）若二次函数 的对称轴是直线 ，则反比例函数 经过第 象限．
【答案】一、三
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】由二次函数解析式可知其对称轴为 ，
∴ ．
∴反比例函数解析式为 ．
∴该反比例函数经过第一、三象限．
故答案为：一、三．
【分析】先求出，再求出反比例函数解析式为 ，最后判断求解即可。
7．已知二次函数y=a(x+3)2+4的图象是由函数y=0.5x2的图象经平移得到，且与反比例函数y=的图象交于点(1，n)，求a，m，n的值．
【答案】解：∵二次函数y=a(x+3)2+4的图象是由函数y=0.5x2的图象经平移得到，
∴a=0.5，
∴y=0.5(x+3)2+4，
∵点(1，n)在抛物线y=0.5(x+3)2+4，
∴n=0.5(1+3)2+4=12，
∴点(1，12)在反比例函数y=的图象上，
∴m=1×12=12.
【知识点】二次函数图象的几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】根据二次函数y=a(x+3)2+4的图象是由函数y=0.5x2的图象经平移得到的，得出a=0.5，把点(1，n)代入抛物线y=0.5(x+3)2+4，得出n=12，再把点(1，12)代入反比例函数y=，得出m=12.
8．（2023九上·东阳期末）如图，二次函数图象的顶点为（-1，1），且与反比例函数的图象交于点A（-3，-3）
（1）求二次函数与反比例函数的解析式；
（2）判断原点（0，0）是否在二次函数的图象上，并说明理由；
（3）根据图象直接写出二次函数的值小于反比例函数的值时自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：设二次函数为y＝a（x+1）2+1，
∵经过点A（-3，-3）
∴-3＝4a+1，
∴a＝-1，
∴二次函数的解析式为y＝-（x+1）2+1，
设反比例函数的解析式为y＝，
∵二次函数的图象与反比例函数的图象交于点A（-3，-3）
∴k＝-3×（-3）＝9，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）解：把x＝0代入y＝-（x+1）2+1，得y＝-1+1＝0，
∴原点（0，0）在二次函数的图象上
（3）解：由图象可知，二次函数与反比例函数图象的交点为A（-3，-3），
当x＜-3或x＞0时二次函数的值小于反比例函数的值．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）此题告知了抛物线的顶点，故设出顶点式，再代入点A的坐标即可求出二次项系数，从而可得抛物线的解析式；设反比例函数的解析式为y＝，将点A的坐标代入求出k的值，从而可得反比例函数的解析式；
（2）将x=0代入抛物线的解析式，算出对应的函数值，即可判断；
（3）利用图象，借助交点坐标，找出抛物线的图象在反比例函数的图象的下方部分相应的自变量的取值范围即可.
9．（2022九上·下城期中）如图，二次函数图像的顶点为，且与反比例函数的图像交于点
（1）判断原点是否在二次函数的图象上，并说明理由；
（2）根据图像，直接写出关于x的不等式的解.
【答案】（1）解：根据题意，设二次函数为 ，
∵图像交于点 ，
∴
，
∴二次函数的解析式为： ，
把 代入 中，得 ，
即原点 在二次函数的图象上；
（2） 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：（2）由函数图象可知，关于x的不等式 的解集是 或 .
【分析】（1）由题意可设二次函数解析式为y=a(x+1)2+1，将A（-3，-3）代入求出a的值，据此可得二次函数的解析式，令x=0，求出y的值，据此判断；
（2）根据图象，找出二次函数图象在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
10．（2020九上·平泉期末）如图，曲线BC是反比例函数 的一部分，其中B（2，2-m），C（4，-m），抛物线 的顶点记作A．
（1）求k的值；
（2）甲同学说，点A可以与点B重合；而乙同学说，点A也可以与点C重合，甲、乙的说法对吗？请说明理由．
【答案】（1）解：∵B（2，2﹣m），C（4，﹣m）在反比例函数 的图象上，
∴k＝2（2﹣m）＝4×（﹣m），
解得：m＝﹣2，
∴k＝4×[﹣（﹣2）]＝8；
（2）解：∵m＝﹣2，
∴B（2，4），C（4，2），
∵抛物线y＝﹣x2+2bx＝﹣（x﹣b）2+b2，
∴A（b，b2）．
若点A与点B重合，则有b＝2，且b2＝4，显然成立，
∴点A与点B重合，
∴甲的说法符合题意，
若点A与点C重合，则有b＝4，且b2＝2，显然不成立，
∴点A不与点C重合，
∴乙的说法不符合题意．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将B、C坐标分别代入反比例函数，即可求解；
（2）利用配方法求得点A的坐标，利用（1）中的结论可得点B的坐标，验证后可得结论。
二、能力提升
11．（2022九上·舟山月考）如图，一组x轴正半轴上的点，，…满足条件，抛物线的顶点，，…依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以为顶点且过点O和；第二条抛物线以为顶点且经过点和；…第n条抛物线以为顶点且经过点，，依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成、、…、．请写出所有满足三角形面积为整数的n的值 ．
【答案】1或2或5
【知识点】探索图形规律；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵OB1=B1B2=Bn-1Bn=2，
∴点B1（2，0），点B2（4，0），点B3（6，0），点B4（8，0）点Bn（2n，0），
∵ 抛物线的顶点，，…依次是反比例函数图象上的点，
∴n=1时，当x=1时y=9，
∴抛物线的顶点坐标为A1（1，9），
；
n=2时，当x=3时y=3，
∴抛物线的顶点坐标为A2（3，3），
∴；
当n=3时，x=5时y=，此时△B2A3B3的面积表示整数；
∵满足三角形面积为整数，每一个三角形的底边长都为2，
∴每一个三角形的高为正整数，即就是抛物线的顶点的纵坐标为整数，
∵抛物线的顶点在双曲线 上，
∴9的的正整数倍数有1，3，9，
∴当n=5时，当x=9时y=1，
∴；
∴n的值为1或2或5.
故答案为：1或2或5.
【分析】由已知OB1=B1B2=Bn-1Bn=2，可得到点B1（2，0），点B2（4，0），点B3（6，0），点B4（8，0）点Bn（2n，0），利用抛物线的顶点，，…依次是反比例函数图象上的点，可知每一个抛物线的顶点的横坐标，n=1时，当x=1时y=9，可得到抛物线的顶点坐标A1（1，9），再利用三角形的面积公式求出△OA1B1的面积；根据满足三角形面积为整数，而每一个三角形的底边长都为2，每一个三角形的高为正整数，即就是抛物线的顶点的纵坐标为整数，抛物线的顶点在双曲线 上，9的的正整数倍数有1，3，9，据此可得到符合题意的n的值.
12．（2017九上·深圳月考）如图，对称轴为x=2的抛物线y= 反比例函数 （x＞0）交于点B，过点B作x轴的平行线，交y轴于点C，交反比例函数 于点D，连接OB、OD。则下列结论中：①ab＞0；②方程 的两根为0，4；③3a+b＜0；④tan∠BOC=4tan∠COD不符合题意的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①∵反比例函数y＝ (x＞0)在第一象限，反比例函数y＝ 在第二象限，
∴b＞0，a＜0，∴ab＜0，故①错误；
②∵对称轴为x=2的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于原点O与点A，
∴点A（4，0），∴方程ax2+bx=0的两根为0和4，故②正确；
③将A（4，0）代入抛物线y=ax2+bx得：16a+4b=0，∴b=-4a，∴3a+b=3a-4a=-a＞0，
故③错误；
④∵点B与点D纵坐标相等，∴设点B（ ，m），点D（ ，m），
∴tan∠BOC= = ，tan∠COD= =- ，
∵b=-4a，
∴tan∠BOC=4tan∠COD，故④正确，
故答案为：C。
【分析】①根据反比例函数图象与系数的关系，由反比例函数y＝在第一象限，可知b＞0，反比例函数y＝ 在第二象限，故a＜0，从而得出ab＜0；根据抛物线的对称轴，由抛物线的对称轴是直线x=2，且抛物线过坐标原点从而得出抛物线与x轴的另一个交点坐标是A（4，0），方程ax2+bx=0的两根两根就是对应的函数图象与x轴交点的横坐标，从而得出答案；将A（4，0）代入抛物线y=ax2+bx得：16a+4b=0，故b=-4a，再将b=-4a代入3a+b=3a-4a=-a＞0；根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相同及反比例函数图象上点的坐标特点，表示出B，D两点的坐标，根据正切函数的定义及b=-4a，即可得出tan∠BOC=4tan∠COD。
13．（2020九上·莱阳期末）如图，在平面直角坐标系中，点 为二次函数 与反比例函数 在第一象限的交点，已知该抛物线 与 轴正、负半轴分别交于点 、点 ，交 轴负半轴于点 ，且 ．
（1）求二次函数和反比例函数的表达式；
（2）已知点 为抛物线上一点，且在第三象限，顺次连接点 ，求四边形 面积的最大值．
【答案】（1）解：如图，过A点作 轴且与 轴交于点 ；
将 代入 中，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将A，D代入 中得：
解得 ，
∴二次函数表达式为：
（2）解：如图，过 作 轴于 ，并设点 的坐标为 ，
∵M点在第三象限
∴
则 ，
∴当 时四边形 的面积最大，最大面积为9．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将A代入反比例函数解析式即可得出k的值，再根据 ， 构造直角三角形可求得D的坐标，再将A、D的坐标代入二次函数解析式即可求得二次函数解析式；
（2）作出辅助线后所求四边形的面积分为三部分， ， 由函数性质即可求出其面积最大值。
14．（2018九上·北京期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 的图象经过点A（1，4），B（m，n）．
（1）求反比例函数 的解析式；
（2）若二次函数 的图象经过点B，求代数式 的值；
（3）若反比例函数 的图象与二次函数 的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．
【答案】（1）解：将A（1，4）代入函数y＝ 得：k=4
反比例函数y＝ 的解析式是
（2）解：∵B（m，n）在反比例函数y＝ 上，∴mn=4，又二次函数y＝（x－1）2的图象经过点 B（m，n），
∴ 即n-1=m2-2m
∴
（3）解：由反比例函数的解析式为 ，令y＝x，可得x2＝4，解得x＝±2．∴反比例函数 的图象与直线y＝x交于点（2，2），（－2，－2）．如图，当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（2，2）时，可得a＝2；
当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（－2，－2）时，可得a＝－ .
∵二次函数y＝a（x－1）2图象的顶点为（1，0），
∴由图象可知，符合题意的a的取值范围是0＜a＜2或a＜－ .
【知识点】代数式求值；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）只需将点A的坐标代入反比例函数的解析式就可得出答案。
（2）根据B（m，n）在反比例函数图象上得出mn=4，将点B的坐标代入y=（x-1）2得到n-1=m2-2m，再将代数式变形为用含mn和m2-2m的代数式表示，然后再整体代入即可解决问题。
（3）可先求出直线y=x与反比例函数y=交点的坐标，然后分a>0和a<0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过两交点时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题。
三、拓展探索
15．（2020九上·天河月考）若一次函数 与反比例函数 同时经过点 则称二次函数 为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点．
（1）判断 与 是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；
（2）已知：整数m，n，t满足条件 ，并且一次函数 与反比例函数 存在“共享函数” ，求m的值．
（3）若一次函数 和反比例函数 在自变量x的值满足的 的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．
【答案】（1）解：联立y=x-2与 并整理得： x2-2x-3=0，解得：x=3或-1，
故点P的坐标为：（3，1）或（-1，-3）；
（2）解：由题意得： ，解得： ，
∵t＜n＜8m，
∴ ，
解得：6＜n＜24；
∴9＜n+3＜27，
故1＜m＜3，
m是整数，故m=2；
（3）解：由y=x+m和反比例函数 得：“共享函数”的解析式为y=x2+mx-m，
函数的对称轴为：x=- m；
①当m+6≤ m时，即m≤-4，
x=m+6，函数取得最小值，即（m+6）2+m（m+6）-m=3，
解得m=- 或-3（舍去）；
②当m＜ m＜m+6，即-4＜m＜0，
函数在x=- m处取得最小值，即（- m）2- m2-m=3，无解；
③当m≥0时，
函数在x=m处，取得最小值，即m2+m2-m=3，解得：m=±4（舍去-4），
综上，m= 或- （舍去），
故“共享函数”的解析式为y=x2+mx-m=x2- x+ 或x2+ x- ．
【知识点】解一元一次不等式组；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据“共享函数”的定义联立一次函数与反比例函数解析式，解方程组，即可求出共享点；（2）根据“共享函数”与一次函数解析式联立方程组，解方程组 得 由t＜n＜8m，建立不等式组，求出n的范围及m的整数值即可；
（3） 先求出“共享函数”的解析式为y=x2+mx-m， 由 函数的对称轴为：x=- m， 分三种情况①当m+6≤ m时②当m＜ m＜m+6③当m≥0时， 利用二次函数的性质分别求出m的值，然后求出“共享函数”的解析式即可.
1 / 1二次函数与反比例函数—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2022九上·普陀月考）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021九上·金东期中）已知反比例函数 的图象如图所示，那么二次函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019九上·宁波月考）二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，则一次函数 y=bx+b2-4ac 与反比例函数 y= 在坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021九上·西湖月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝ 的图象相交于点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三个点，则不等式ax2+bx+c＞ 的解是 ．
5．（2022九上·嘉兴期末）甲、乙两人研究二次函数与反比例函数，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点.”乙说：“二次函数图象的顶点及这个定点都在该反比例函数图象上.”若甲、乙两人的描述正确，则a的值为 .
6．（2021九上·肥城期末）若二次函数 的对称轴是直线 ，则反比例函数 经过第 象限．
7．已知二次函数y=a(x+3)2+4的图象是由函数y=0.5x2的图象经平移得到，且与反比例函数y=的图象交于点(1，n)，求a，m，n的值．
8．（2023九上·东阳期末）如图，二次函数图象的顶点为（-1，1），且与反比例函数的图象交于点A（-3，-3）
（1）求二次函数与反比例函数的解析式；
（2）判断原点（0，0）是否在二次函数的图象上，并说明理由；
（3）根据图象直接写出二次函数的值小于反比例函数的值时自变量x的取值范围．
9．（2022九上·下城期中）如图，二次函数图像的顶点为，且与反比例函数的图像交于点
（1）判断原点是否在二次函数的图象上，并说明理由；
（2）根据图像，直接写出关于x的不等式的解.
10．（2020九上·平泉期末）如图，曲线BC是反比例函数 的一部分，其中B（2，2-m），C（4，-m），抛物线 的顶点记作A．
（1）求k的值；
（2）甲同学说，点A可以与点B重合；而乙同学说，点A也可以与点C重合，甲、乙的说法对吗？请说明理由．
二、能力提升
11．（2022九上·舟山月考）如图，一组x轴正半轴上的点，，…满足条件，抛物线的顶点，，…依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以为顶点且过点O和；第二条抛物线以为顶点且经过点和；…第n条抛物线以为顶点且经过点，，依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成、、…、．请写出所有满足三角形面积为整数的n的值 ．
12．（2017九上·深圳月考）如图，对称轴为x=2的抛物线y= 反比例函数 （x＞0）交于点B，过点B作x轴的平行线，交y轴于点C，交反比例函数 于点D，连接OB、OD。则下列结论中：①ab＞0；②方程 的两根为0，4；③3a+b＜0；④tan∠BOC=4tan∠COD不符合题意的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
13．（2020九上·莱阳期末）如图，在平面直角坐标系中，点 为二次函数 与反比例函数 在第一象限的交点，已知该抛物线 与 轴正、负半轴分别交于点 、点 ，交 轴负半轴于点 ，且 ．
（1）求二次函数和反比例函数的表达式；
（2）已知点 为抛物线上一点，且在第三象限，顺次连接点 ，求四边形 面积的最大值．
14．（2018九上·北京期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 的图象经过点A（1，4），B（m，n）．
（1）求反比例函数 的解析式；
（2）若二次函数 的图象经过点B，求代数式 的值；
（3）若反比例函数 的图象与二次函数 的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．
三、拓展探索
15．（2020九上·天河月考）若一次函数 与反比例函数 同时经过点 则称二次函数 为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点．
（1）判断 与 是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；
（2）已知：整数m，n，t满足条件 ，并且一次函数 与反比例函数 存在“共享函数” ，求m的值．
（3）若一次函数 和反比例函数 在自变量x的值满足的 的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、反比例函数的系数k＞0，二次函数的系数-k＞0，即k＜0，二者矛盾，不符合题意；
B、二次函数的系数-k＜0，即k＞0，顶点坐标从图象中可知在y轴负半轴，二者矛盾，不符合题意；
C、反比例函数的系数k＜0，二次函数的系数-k＞0，即k＞0，二者矛盾，不符合题意；
D、反比例函数的系数k＜0，二次函数的系数-k＞0，即k＜0，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数系数和图象的关系，二次函数图象与系数的关系，逐项分析，排除即可.
2．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解： 反比例函数 的图象在二、四象限，
而二次函数 ，
抛物线的开口向下，与 轴交于正半轴，
而抛物线的对称轴为：
所以抛物线的对称轴在 轴的左侧，
故A、B、C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由反比例函数的图象在二、四象限可知k<0，则2k<0，k2>0，结合二次函数的图象与系数的关系可得抛物线开口向下，与y轴的交点在y轴正半轴，由二次函数的解析式结合对称轴公式可得对称轴直线x<0，据此判断.
3．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在对称轴的右侧，
∴a＞0，b＜0，
抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0
∴y=bx+b2-4ac的图像经过第一、二、四象限，故排除A，C.
当x=1时，a+b+c＜0，
∴ 反比例函数 y=的图像分支在第二、四象限，排除B，
故答案为：D.
【分析】观察二次函数的图象，可知b，b2-4ac的大小，就可判定出一次函数的图象所经过的象限；再由x=1时可确定出a+b+c的大小，即可得出反比例函数图象分支的象限，综上所述，可得到答案。
4．【答案】1＜x＜0或1＜x＜3
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当﹣1＜x＜0或1＜x＜3时，抛物线在双曲线上方，
所以不等式ax2+bx+c＞ 的解集为1＜x＜0或1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜0或1＜x＜3．
【分析】观察函数图象可知点A，B，C三个点的横坐标，要使二次函数的值大于反比例函数的值，利用图象可得到x的取值范围.
5．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵y=ax2-4ax+3=ax（x-4）+3，
∴当x=4时，y=3，
∴二次函数图象一定过第一象限的一个定点（4，3），
∵y=ax2-4ax+3=a（x-2）2+3-4a，
∴顶点为（2，3-4a），
∵二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上，
∴2×（3-4a）=4×3，
∴a=-.
故答案为：-.
【分析】将二次函数解析式变形可得y=ax(x-4)+3，当x=4时，y=3，则二次函数图象过定点（4，3），由函数解析式可得顶点为（2，3-4a），将（2，3-4a）、（4，3）代入反比例函数解析式中就可求出a的值.
6．【答案】一、三
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】由二次函数解析式可知其对称轴为 ，
∴ ．
∴反比例函数解析式为 ．
∴该反比例函数经过第一、三象限．
故答案为：一、三．
【分析】先求出，再求出反比例函数解析式为 ，最后判断求解即可。
7．【答案】解：∵二次函数y=a(x+3)2+4的图象是由函数y=0.5x2的图象经平移得到，
∴a=0.5，
∴y=0.5(x+3)2+4，
∵点(1，n)在抛物线y=0.5(x+3)2+4，
∴n=0.5(1+3)2+4=12，
∴点(1，12)在反比例函数y=的图象上，
∴m=1×12=12.
【知识点】二次函数图象的几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】根据二次函数y=a(x+3)2+4的图象是由函数y=0.5x2的图象经平移得到的，得出a=0.5，把点(1，n)代入抛物线y=0.5(x+3)2+4，得出n=12，再把点(1，12)代入反比例函数y=，得出m=12.
8．【答案】（1）解：设二次函数为y＝a（x+1）2+1，
∵经过点A（-3，-3）
∴-3＝4a+1，
∴a＝-1，
∴二次函数的解析式为y＝-（x+1）2+1，
设反比例函数的解析式为y＝，
∵二次函数的图象与反比例函数的图象交于点A（-3，-3）
∴k＝-3×（-3）＝9，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）解：把x＝0代入y＝-（x+1）2+1，得y＝-1+1＝0，
∴原点（0，0）在二次函数的图象上
（3）解：由图象可知，二次函数与反比例函数图象的交点为A（-3，-3），
当x＜-3或x＞0时二次函数的值小于反比例函数的值．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）此题告知了抛物线的顶点，故设出顶点式，再代入点A的坐标即可求出二次项系数，从而可得抛物线的解析式；设反比例函数的解析式为y＝，将点A的坐标代入求出k的值，从而可得反比例函数的解析式；
（2）将x=0代入抛物线的解析式，算出对应的函数值，即可判断；
（3）利用图象，借助交点坐标，找出抛物线的图象在反比例函数的图象的下方部分相应的自变量的取值范围即可.
9．【答案】（1）解：根据题意，设二次函数为 ，
∵图像交于点 ，
∴
，
∴二次函数的解析式为： ，
把 代入 中，得 ，
即原点 在二次函数的图象上；
（2） 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：（2）由函数图象可知，关于x的不等式 的解集是 或 .
【分析】（1）由题意可设二次函数解析式为y=a(x+1)2+1，将A（-3，-3）代入求出a的值，据此可得二次函数的解析式，令x=0，求出y的值，据此判断；
（2）根据图象，找出二次函数图象在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
10．【答案】（1）解：∵B（2，2﹣m），C（4，﹣m）在反比例函数 的图象上，
∴k＝2（2﹣m）＝4×（﹣m），
解得：m＝﹣2，
∴k＝4×[﹣（﹣2）]＝8；
（2）解：∵m＝﹣2，
∴B（2，4），C（4，2），
∵抛物线y＝﹣x2+2bx＝﹣（x﹣b）2+b2，
∴A（b，b2）．
若点A与点B重合，则有b＝2，且b2＝4，显然成立，
∴点A与点B重合，
∴甲的说法符合题意，
若点A与点C重合，则有b＝4，且b2＝2，显然不成立，
∴点A不与点C重合，
∴乙的说法不符合题意．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将B、C坐标分别代入反比例函数，即可求解；
（2）利用配方法求得点A的坐标，利用（1）中的结论可得点B的坐标，验证后可得结论。
11．【答案】1或2或5
【知识点】探索图形规律；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵OB1=B1B2=Bn-1Bn=2，
∴点B1（2，0），点B2（4，0），点B3（6，0），点B4（8，0）点Bn（2n，0），
∵ 抛物线的顶点，，…依次是反比例函数图象上的点，
∴n=1时，当x=1时y=9，
∴抛物线的顶点坐标为A1（1，9），
；
n=2时，当x=3时y=3，
∴抛物线的顶点坐标为A2（3，3），
∴；
当n=3时，x=5时y=，此时△B2A3B3的面积表示整数；
∵满足三角形面积为整数，每一个三角形的底边长都为2，
∴每一个三角形的高为正整数，即就是抛物线的顶点的纵坐标为整数，
∵抛物线的顶点在双曲线 上，
∴9的的正整数倍数有1，3，9，
∴当n=5时，当x=9时y=1，
∴；
∴n的值为1或2或5.
故答案为：1或2或5.
【分析】由已知OB1=B1B2=Bn-1Bn=2，可得到点B1（2，0），点B2（4，0），点B3（6，0），点B4（8，0）点Bn（2n，0），利用抛物线的顶点，，…依次是反比例函数图象上的点，可知每一个抛物线的顶点的横坐标，n=1时，当x=1时y=9，可得到抛物线的顶点坐标A1（1，9），再利用三角形的面积公式求出△OA1B1的面积；根据满足三角形面积为整数，而每一个三角形的底边长都为2，每一个三角形的高为正整数，即就是抛物线的顶点的纵坐标为整数，抛物线的顶点在双曲线 上，9的的正整数倍数有1，3，9，据此可得到符合题意的n的值.
12．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①∵反比例函数y＝ (x＞0)在第一象限，反比例函数y＝ 在第二象限，
∴b＞0，a＜0，∴ab＜0，故①错误；
②∵对称轴为x=2的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于原点O与点A，
∴点A（4，0），∴方程ax2+bx=0的两根为0和4，故②正确；
③将A（4，0）代入抛物线y=ax2+bx得：16a+4b=0，∴b=-4a，∴3a+b=3a-4a=-a＞0，
故③错误；
④∵点B与点D纵坐标相等，∴设点B（ ，m），点D（ ，m），
∴tan∠BOC= = ，tan∠COD= =- ，
∵b=-4a，
∴tan∠BOC=4tan∠COD，故④正确，
故答案为：C。
【分析】①根据反比例函数图象与系数的关系，由反比例函数y＝在第一象限，可知b＞0，反比例函数y＝ 在第二象限，故a＜0，从而得出ab＜0；根据抛物线的对称轴，由抛物线的对称轴是直线x=2，且抛物线过坐标原点从而得出抛物线与x轴的另一个交点坐标是A（4，0），方程ax2+bx=0的两根两根就是对应的函数图象与x轴交点的横坐标，从而得出答案；将A（4，0）代入抛物线y=ax2+bx得：16a+4b=0，故b=-4a，再将b=-4a代入3a+b=3a-4a=-a＞0；根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相同及反比例函数图象上点的坐标特点，表示出B，D两点的坐标，根据正切函数的定义及b=-4a，即可得出tan∠BOC=4tan∠COD。
13．【答案】（1）解：如图，过A点作 轴且与 轴交于点 ；
将 代入 中，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将A，D代入 中得：
解得 ，
∴二次函数表达式为：
（2）解：如图，过 作 轴于 ，并设点 的坐标为 ，
∵M点在第三象限
∴
则 ，
∴当 时四边形 的面积最大，最大面积为9．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将A代入反比例函数解析式即可得出k的值，再根据 ， 构造直角三角形可求得D的坐标，再将A、D的坐标代入二次函数解析式即可求得二次函数解析式；
（2）作出辅助线后所求四边形的面积分为三部分， ， 由函数性质即可求出其面积最大值。
14．【答案】（1）解：将A（1，4）代入函数y＝ 得：k=4
反比例函数y＝ 的解析式是
（2）解：∵B（m，n）在反比例函数y＝ 上，∴mn=4，又二次函数y＝（x－1）2的图象经过点 B（m，n），
∴ 即n-1=m2-2m
∴
（3）解：由反比例函数的解析式为 ，令y＝x，可得x2＝4，解得x＝±2．∴反比例函数 的图象与直线y＝x交于点（2，2），（－2，－2）．如图，当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（2，2）时，可得a＝2；
当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（－2，－2）时，可得a＝－ .
∵二次函数y＝a（x－1）2图象的顶点为（1，0），
∴由图象可知，符合题意的a的取值范围是0＜a＜2或a＜－ .
【知识点】代数式求值；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）只需将点A的坐标代入反比例函数的解析式就可得出答案。
（2）根据B（m，n）在反比例函数图象上得出mn=4，将点B的坐标代入y=（x-1）2得到n-1=m2-2m，再将代数式变形为用含mn和m2-2m的代数式表示，然后再整体代入即可解决问题。
（3）可先求出直线y=x与反比例函数y=交点的坐标，然后分a>0和a<0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过两交点时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题。
15．【答案】（1）解：联立y=x-2与 并整理得： x2-2x-3=0，解得：x=3或-1，
故点P的坐标为：（3，1）或（-1，-3）；
（2）解：由题意得： ，解得： ，
∵t＜n＜8m，
∴ ，
解得：6＜n＜24；
∴9＜n+3＜27，
故1＜m＜3，
m是整数，故m=2；
（3）解：由y=x+m和反比例函数 得：“共享函数”的解析式为y=x2+mx-m，
函数的对称轴为：x=- m；
①当m+6≤ m时，即m≤-4，
x=m+6，函数取得最小值，即（m+6）2+m（m+6）-m=3，
解得m=- 或-3（舍去）；
②当m＜ m＜m+6，即-4＜m＜0，
函数在x=- m处取得最小值，即（- m）2- m2-m=3，无解；
③当m≥0时，
函数在x=m处，取得最小值，即m2+m2-m=3，解得：m=±4（舍去-4），
综上，m= 或- （舍去），
故“共享函数”的解析式为y=x2+mx-m=x2- x+ 或x2+ x- ．
【知识点】解一元一次不等式组；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据“共享函数”的定义联立一次函数与反比例函数解析式，解方程组，即可求出共享点；（2）根据“共享函数”与一次函数解析式联立方程组，解方程组 得 由t＜n＜8m，建立不等式组，求出n的范围及m的整数值即可；
（3） 先求出“共享函数”的解析式为y=x2+mx-m， 由 函数的对称轴为：x=- m， 分三种情况①当m+6≤ m时②当m＜ m＜m+6③当m≥0时， 利用二次函数的性质分别求出m的值，然后求出“共享函数”的解析式即可.
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