二次函数的线段周长问题—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题
1．（2021九上·温州期中）如图，函数 的图象与x轴交于A，B两点，点C是以 为圆心，2为半径的圆上的动点，P是 的中点，连结 ，则线段 的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：连接MC，BC，BM，
当y=0时-x2+12=0
解之：
∴
∴OA=OB=；
∵点P为AC的中点，
∴OP为△ABC的中位线，
∴，
要使OP最小，则BC最小时，OP取最小值，
∴BC+MC≥BM，即BM-CM≤BC，
∴当点C，B，M在同一条直线上时，BC的值最小，
在Rt△BOM中，
MB=，
∵MC=2，
∴BC的最小值为BM-CM=4-2=2，
∴OP的最小值为1.
故答案为：A.
【分析】连接MC，BC，BM，由y=0可求出对应的x的值，可得到OA=OB=；利用三角形的中位线定理可证得，当BC最小时，OP取最小值，利用三角形的三边关系定理可知BM-CM≤BC，当点C，B，M在同一条直线上时，BC的值最小；利用勾股定理求出BM的长，根据BC的最小值为BM-CM，代入计算可求解.
2．（2020九上·宁波月考）已知抛物线 过A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式 的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y=a（x2+4x+4-4）+4a+1=a（x+2）2+1
∴抛物线的顶点坐标为（-2，1），对称轴为直线x=-2
∵二次函数图象经过点A（m，3），B（n，3）
∴抛物线的抛物线的开口向上，a＞0
∵线段AB的长不大于4
∴4a+1≥3
解之：a≥
a2+a-1的最小值为
故答案为：B.
【分析】先将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标及对称轴，再由二次函数图象经过点A（m，3），B（n，3），可确定出a的取值范围；再根据线段AB的长不大于4，可得到抛物线与y轴的交点的纵坐标大于等于3，建立关于a的不等式，求出不等式的解集；然后将a的最小值代入可得答案。
二、填空题
3．（2023九上·绍兴月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作轴的垂线交线段AB于两点C、D.当点，四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 把点代入 中，得4=4a，解得a=1，
∴y=x2，
当点，四边形CDFE为正方形 ，
∴CD=CE=4，
∴点A的纵坐标为8，
当y=8时，则y=x2=8，
解得m=或m=-（舍），
∴AB=2m=
故答案为：.
【分析】利用待定系数法求出y=x2，根据当点，四边形CDFE为正方形 ，可得CD=CE=4，从而得出点A的纵坐标为8，利用此求出点A的横坐标，继而求出AB的长.
4．（2023九上·余姚期末）如图，抛物线y=ax2-2ax+3 (a>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则线段PB的长为 .
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2 2ax＋3（a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0，3），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴顶点P坐标为（1，3 a），点M坐标为（2，3）
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4，3），
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0），
将点B（4，3）代入得4k＝3，
解得k＝，
∴直线OP解析式为y＝x，
将点P（1，3 a）代入得y＝x，
得3 a＝，
解得a＝，
∴点P(1，)，
∴.
故答案为：.
【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B的坐标；再将点B的坐标代入直线OP的解析式，用含a的式子表示出点P坐标，即可求解出a的值，据此即可解答．
5．（2022九上·定海月考）“一切为了U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌．已知线段，对于坐标平面内的一个动点P，如果满足，则称点P为线段的“U点”，如图，二次函数与x轴交于点A和点B．（1）线段的长度为 ；（2）若线段的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为 ．
【答案】4；或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：当y=0时，
解之：x1=-1，x2=-5，
∴点A（-1，0），点B（-5，0），
∴AB=|-1-（-5）|=4；
如图，作过点A，B的圆，交y轴于点D，E，连接CA，CB，CD，AE，BE，过点C作CF⊥AB于点F，CH⊥DE于点H，
∴∠CFO=∠CHO=∠FOH=90°，
∴四边形CFOH是矩形，
∴CH=OF，HO=CF；
∵ 线段的“U”点落在y轴的正半轴上，
∴∠ADB=∠AEB=30°，
∴点D和点E是线段AB的“U”点；
∵，
∴∠ACB=2∠ADB=60°，
∴△ACB是等边三角形，
∴AC=BC=CD=AB=4，
BF=AB=2，
在Rt△BCF中，
，
∵点B（-1，0）
∴OF=CH=2+1=3，
在Rt△CDH中
，
∴
∴点D；
∵CH⊥DE，
∴，
∴，
∴点E，
∴ 线段的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为或.
故答案为：或
【分析】由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标，然后求出线段AB的长；作过点A，B的圆，交y轴于点D，E，连接CA，CB，CD，AE，BE，过点C作CF⊥AB于点F，CH⊥DE于点H，易证四边形CFOH是矩形，利用矩形的对边相等，可证得CH=OF，HO=CF；利用线段的“U”点落在y轴的正半轴上，可知∠ADB=∠AEB=30°，即可得到点D和点E是线段AB的“U”点；利用圆周角定理可求出∠ACB=60°，由此可证得△ACB是等边三角形，利用等边三角形的性质可知AC=BC=CD=AB=4，同时可求出BF的长；在Rt△BCF中，利用勾股定理求出CF，OH的长，利用点B的坐标求出OF，CH的长；在Rt△CDH中，利用勾股定理求出DH的长，根据OD=DH+OH，可求出OD的长，即可得到点D的坐标；利用垂径定理可证得，由此可求出OE的长，可得到点E的坐标；综上所述可得到线段的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标.
三、解答题
6．（2023九上·谷城月考）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）由题意得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）点与点关于直线对称，
连接与直线交于点，则点即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点的坐标为，
与轴的交点为，
设直线的解析式为：，
，
解得，，，
直线的解析式为：，
则直线与直线的交点坐标为：
点的坐标为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，最短路径问题.根据抛物线经过点，对称轴是直线，将点代入抛物线的解析式和抛物线的对称轴放可列出方程组，解方程组求出、的值，进而可求出抛物线的解析式 ；
因为点与点关于对称，根据轴对称的性质可求出C点和B点的坐标，设直线的解析式为：，将B点和C点的坐标代入解析式可求出直线BC的解析式，连接与直线交于点，求出直线与直线的交点，据此可求出点P的坐标．
（1）由题意得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）点与点关于直线对称，
连接与直线交于点，则点即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点的坐标为，
与轴的交点为，
设直线的解析式为：，
，
解得，，，
直线的解析式为：，
则直线与直线的交点坐标为：
点的坐标为：．
7．（2024八下·昆明期末）如图，抛物线与轴交于、两点，且．
（1）求抛物线解析式；
（2）点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标．
【答案】（1）解：由题意可得，，
∴，
把、、代入，
得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2），
∴抛物线的对称轴为，
∵、两点关于对称， 点是抛物线对称轴上的一个动点 ，
∴
∴的周长为，
∴当B、C、H三点共线时，周长的最小，
如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小；
∵，，
设直线的解析式为，
代入可得：，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据题意，先求出C的坐标，然后利用待定系数法代入A、B、C三点的坐标，得到，求得，即可求解；
（2）将先求得抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解．
（1）解∶∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把、、代入，
得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：，
∴抛物线的对称轴为，
如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小；
∵、两点关于对称，
∵，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
8．（2024九上·柳州开学考）如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，其顶点为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求的面积．
（3）点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）解：当时，，
当时，，
，，
由题意得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：由抛物线的顶点式得：，
设的解析式为：，
则，
解得：，
∴的解析式为：，
令与轴交于点，
当时，，
解得：，则，
∴；
（3）解：设的解析式为：，
则：，
解得：，
的解析式为：，
点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴，
设点，
则，
，
当时，有最大值，为，
此时．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先由一次函数解析式求出、的坐标，再根据待定系数法求解抛物线解析式；
（2）先根据抛物线的顶点坐标求出AC解析式，再确定AC与x轴交点E的坐标，最后将三角形ABC分成三角形ABE和三角形CBE，由三角形面积公式即可求解；
（3）先求出AB解析式，表示出点P、点D的坐标，即可写出PD长度的表达式，再根据二次函数的性质
求出的最大值，此时的值就是的横坐标，进而求出其纵坐标．
9．（2024九上·惠州期中）如图，直线与抛物线相交于和，点是线段AB上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的点，使线段PC的长有最大值 若存在，求出线段PC的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在抛物线的对称轴上时，抛物线上存在点，使得的面积恰为面积的一半，请直接写出点的坐标.
【答案】（1）解：在直线上，
在抛物线上，
抛物线的解析式为.
（2）解：设动点P得坐标为，则C点得坐标为，
当时，线段PC最大且为.
（3）解：二次函数的对称轴为直线x=2，则D（2，0），
如图，当Q在直线AB的下方时，设直线AB交y轴于点T（0，2）过点D作直线l∥AB交y轴于点L ，
∴直线l的解析式为y=x-2，则L（0，-2），
∴TL=2-（-2）=4，
取TL的中点M（0，0），过点M作直线m∥AB，交抛物线于点Q，此时S△ABQ=S△ABD，
则直线m的解析式为：y=x，
联立得，解得x=，y=，
∴点Q的坐标为；
当点Q在直线AB的上方时，
取点N使NT=MT=2，过点，N（0，4）作直线n∥AB交抛物线于点Q，此时S△ABQ=S△ABD，
则直线n的解析式为：y=x+4，
联立得，解得x=，y=，
∴点的坐标
综上：点Q的坐标为或
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先求出点B坐标，再将A、B坐标代入中，求出a、b值即可；
（2）设动点P，则点C，可得=，利用二次函数的性质即可求解；
（3）先求D（2，0），分两种情况：当Q在直线AB的下方时，设直线AB交y轴于点T（0，2）过点D作直线l∥AB交y轴于点L ，直线l的解析式为y=x-2，则L（0，-2），可得TL=2-（-2）=4，取TL的中点M（0，0），过点M作直线m∥AB，交抛物线于点Q，此时S△ABQ=S△ABD，可得直线m的解析式为y=x，联立抛物线解析式为方程组并解之即可；当点Q在直线AB的上方时，同理求解即可.
10．（2024九下·周村模拟）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标．
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点，，
∴，，
∵，
∴，
把和代入二次函数中得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：如图1，∵直线经过点和，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵二次函数，
∴设点，则，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴点E的坐标为；
（3）解：存在，∵，
∴对称轴为直线，
设，分三种情况：
①点B为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
②点A为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
③点P为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或；
综上，点P的坐标为或或或．
【知识点】解二元一次方程；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的y=x2+bx+c可得到关于b、c的方程组，求解得b、c的值，从而即可得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据点的坐标与图形性质，设点E（t，t+1），则F（t，t2-2t-3），用两点间的距离公式表示出EF，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标；
（3）存在，设P（1，m），分三种情况：分别以A，B，P为直角顶点，根据勾股定理及两点间的距离公式分别列方程，解方程即可.
11．（2024九下·泸县模拟）如图，已知抛物线的图像与x轴交于点和点，与y轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，点M是直线下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作轴于点H，交于点N，求线段最大时点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点Q，使得．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点和点，代入得，
，解得，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入得，，解得，
∴，
∴设，，
∴，
∴当时，线段最大，
∴将代入，
∴；
（3）点Q的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（3）解：如图所示，当点Q在x轴上方抛物线上时，
∵，
∴，
∴设直线的解析式为，
∴将，代入得，解得，
∴，
∴设直线的解析式为，
∴将点代入得：，
∴，
∴联立和得，，
∴解得，
∴将代入，
∴点Q的坐标为；
如图所示，当点Q在x轴下方抛物线上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线的表达式为，
∴联立直线和直线可得，，即，
∴解得，
∴将代入，
∴，
∴设直线的解析式为，
∴将，代入得，
∴解得，
∴，
∴联立直线和抛物线得，，即，
∴解得，，
∴将代入，
∴，
综上所述，点Q的坐标为或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得，设，，根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点Q在x轴上方抛物线上时，根据直线平行判定定理可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，M坐标代入解析式可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点C，Q坐标代入解析式可得，联立两直线方程，解方程即可求出答案；当点Q在x轴下方抛物线上时，根据直线平行判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即直线的表达式为，联立直线和直线方程，解方程可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点C，H坐标代入解析式可得，联立直线和抛物线方程，解方程即可求出答案.
12．（2024九下·肇源模拟）如图，抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）如图1，动点P从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动，同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒，问P、Q两点运动多久后的面积S最大，最大面积是多少？
（3）如图2，点D为抛物线上一动点，直线交y轴于点E，直线交y轴于点F，求的值．
【答案】（1）令，即有：，
利用因式分解法，求得：，，
结合图形，可知、，
令，，
则有C点坐标为：，
即结果为：、，；
（2）∵、，，∴、，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
过Q点作于N点，如图，
根据运动的特点，可得：，，
∴，
∵，，
∴的取值范围为：，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
运动秒时，有最大值，最大值为；
（3）根据题意，设点的坐标为：，设直线的解析式为：，
∵，
∴，
解得，
即直线的解析式为：，
∴令，，
∴点坐标为：，
∵，
∴，
同理可求出直线的解析式为：，
∴令，，
∴点坐标为：，
∵，
∴，
根据题意可知：若，则可知、、、四点重合，
此时不符合题意，故，
∴，
即值为．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题考查求解抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式.（1）令可得：，解一元二次方程可求出x的值，据此可求出点A、B的坐标，令，通过计算可求出C点坐标；
（2）先根据点A，B，C的坐标，可求出、，据此进而推出是等腰直角三角形，利用勾股定理可求出BC，过Q点作于N点，根据题意可得，，
，利用角的运算可得：，进而可证明是等腰直角三角形，，利用勾股定理可推出，利用三角形的面积公式进行计算可得：，再利用二次函数的性质可求出面积的最大值；
（3）设点的坐标为：，设直线的解析式为：，将A点和D点的坐标代入函数解析式，据此可求出直线的解析式为：，令，可求出点坐标为：，进而可求出，同理可求出直线的解析式为：，令，可求出点坐标为：，进而可求出，分两种情况进行讨论：若；若，据此可求出答案．
13．（2024九上·潮南期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点．
（1）求，满足的关系式及的值；
（2）当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值；
（3）当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点．当取何值时，线段取最大值？并求出的最大值．
【答案】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，，
将，代入中，得：，
∴，
∴，；
（2）解：如图1，作点A关于抛物线对称轴的对称点C，连接BC交抛物线对称轴于点P，
∴AP+BP=CP+BP=BC，此时AP+BP取得最小值为BC，
∵的周长为AB+AP+BP，
∴要使的周长最小，只需最小即可，
∴的周长最小值为，
当时，由（1）得，
，
抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴是：，
∵A（-2，0），
∴由对称性可得，
∵A（-2，0），B（0，-2），
∴中，，中，，
周长的最小值为；
（3）解：当时，，
，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，
设，则，
，
，
∴当时，有最大值是．
【知识点】二次函数的最值；等腰直角三角形；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）先求出A、B两点的坐标，然后将这两点坐标代入抛物线的表达式中，即可求解；
（2）作点A关于抛物线对称轴的对称点C，连接BC交抛物线对称轴于点P，由轴对称的性质得AP+BP=CP+BP=BC，此时AP+BP取得最小值为BC，从而有的周长最小值为，接下来求出抛物线的解析式，得C点坐标，最后利用勾股定理求出AB、BC的值，即可得到答案；
（3）根据时，可得抛物线的解析式，如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，设，则，表示的长，求得最大值，进而得到答案．
（1）解：直线中，当时，，
，
当时，，
，
，
将，代入抛物线中，得：
，
，；
（2）解：如图1，当时，，
，
抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴是：，
由对称性可得，
要使的周长最小，只需最小即可，
如图1，连接交直线于点，
因为点与点关于直线对称，由对称性可知：，
因为两点之间线段最短，所以此时的周长最小，
所以的周长最小值为，
中，，
中，，
周长的最小值为；
（3）解：当时，，
，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，
设，则，
，
，
∴当时，有最大值是．
14．（2024·宜宾）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点E在以点为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，
∴1-b+c=0，c=﹣4，
∴b=﹣3.
故，
∵
顶点坐标为：.
（2）在y轴上存在一点M，使得△BDM的周长最小，理由如下：
作顶点关于y轴的对称点，连接BD'交y轴于M，如图：
在中令y=0，得
解得：x1=-1，x2=4
故点B(4，0).
∴，
∴△BDM的周长为：.
当B，M，D'三点共线时，周长取得最小值，最小值为.
设直线BD'的解析式为：y=kx+b（k≠0）
∴，
解得：.
故，
令x=0，，
∴点M的坐标为：.
（3）以AP为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，如图：
由A(-1，0)，P(3，0)，△APQ是等边三角形，可得Q的坐标为.
∵△AEF，△APQ都是等边三角形，
∴AE=AF，AP=AQ，∠EAF=∠PAQ=60°，
∴∠EAP=∠FAQ，
∴△EAP≌△FAQ(SAS)，
∴PE=QF=1，
∴点F的轨迹是以Q为圆心，1为半径的圆，
∵B(4，0)，
∴.
∴当F在线段BQ上时，BF最小，此时；
当F在线段BQ的延长线上时，BF最大，此时
∴BF的范围时.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法得抛物线的表达式，转化成顶点式即可得抛物线顶点D的坐标；
（2）作关于y轴的对称点，连接BD'交y轴于M，求出B(4，0)，计算BD长，可知BD为定值；由对称性得BDM的周长为，可知B，M，D'三点共线时周长最小，最小为D'M+BM；由B(4，0)，得直线BD'解析式，令x=0即可得点M的坐标；
(3)以AP为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，由A(-1，0)，P(3，0)，△APQ是等边三角形可得Q的坐标为，证明△EAP≌△FAQ，有PE=QF=1，可知F的轨迹是以Q为圆心，1为半径的圆，求出BQ的长，再根据F在线段QB上时，BF最小为BQ－QF；当F在线段BQ的延长线上时，BF最大为BQ+QF，可得BF的范围.
15．（2024·兴安盟、呼伦贝尔）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点.经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C.
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m.
①m为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得与相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）把，，代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
直线解析式为，
当时，，
；
（2）①设，则，
，
当时，有最大值为；
②，，
，
又，
，
又轴，
轴，
，
当时，如图，
，
轴，
P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
，
，
P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
，
，
，
，
，
解得，（舍去），
，
P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）将已知点的坐标代入函数解析式，可得到关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，可得到抛物线的解析式；设直线AB的函数解析式为y=mx+n，将点A、B的坐标代入，可得到关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，可得到直线AB的函数解析式，由x=0求出对应的y的值，可得到点C的坐标.
（2）①利用两函数解析式，则，可表示出PD关于m的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解；②利用点A，C的坐标可证得∠ACO=∠AOC=45°，易证PD∥y轴，可证得∠PDB=45°；再分情况讨论：当△PBD∽△OAC时，可证得∠BPD=90°，可得到点P的纵坐标为3，将y=3代入二次函数解析式，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到点P的坐标；当△PBD∽△AOC时，过点B作BF⊥PD于点F，可表示出BF的长，再证明，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，可得到点P的坐标；综上所述，可得到符合题意的点P的坐标.
1 / 1二次函数的线段周长问题—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题
1．（2021九上·温州期中）如图，函数 的图象与x轴交于A，B两点，点C是以 为圆心，2为半径的圆上的动点，P是 的中点，连结 ，则线段 的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2020九上·宁波月考）已知抛物线 过A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式 的最小值是( )
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2023九上·绍兴月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作轴的垂线交线段AB于两点C、D.当点，四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为 .
4．（2023九上·余姚期末）如图，抛物线y=ax2-2ax+3 (a>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则线段PB的长为 .
5．（2022九上·定海月考）“一切为了U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌．已知线段，对于坐标平面内的一个动点P，如果满足，则称点P为线段的“U点”，如图，二次函数与x轴交于点A和点B．（1）线段的长度为 ；（2）若线段的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为 ．
三、解答题
6．（2023九上·谷城月考）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2024八下·昆明期末）如图，抛物线与轴交于、两点，且．
（1）求抛物线解析式；
（2）点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标．
8．（2024九上·柳州开学考）如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，其顶点为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求的面积．
（3）点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标．
9．（2024九上·惠州期中）如图，直线与抛物线相交于和，点是线段AB上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的点，使线段PC的长有最大值 若存在，求出线段PC的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在抛物线的对称轴上时，抛物线上存在点，使得的面积恰为面积的一半，请直接写出点的坐标.
10．（2024九下·周村模拟）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标．
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2024九下·泸县模拟）如图，已知抛物线的图像与x轴交于点和点，与y轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，点M是直线下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作轴于点H，交于点N，求线段最大时点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点Q，使得．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2024九下·肇源模拟）如图，抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）如图1，动点P从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动，同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒，问P、Q两点运动多久后的面积S最大，最大面积是多少？
（3）如图2，点D为抛物线上一动点，直线交y轴于点E，直线交y轴于点F，求的值．
13．（2024九上·潮南期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点．
（1）求，满足的关系式及的值；
（2）当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值；
（3）当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点．当取何值时，线段取最大值？并求出的最大值．
14．（2024·宜宾）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点E在以点为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围．
15．（2024·兴安盟、呼伦贝尔）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点.经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C.
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m.
①m为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得与相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：连接MC，BC，BM，
当y=0时-x2+12=0
解之：
∴
∴OA=OB=；
∵点P为AC的中点，
∴OP为△ABC的中位线，
∴，
要使OP最小，则BC最小时，OP取最小值，
∴BC+MC≥BM，即BM-CM≤BC，
∴当点C，B，M在同一条直线上时，BC的值最小，
在Rt△BOM中，
MB=，
∵MC=2，
∴BC的最小值为BM-CM=4-2=2，
∴OP的最小值为1.
故答案为：A.
【分析】连接MC，BC，BM，由y=0可求出对应的x的值，可得到OA=OB=；利用三角形的中位线定理可证得，当BC最小时，OP取最小值，利用三角形的三边关系定理可知BM-CM≤BC，当点C，B，M在同一条直线上时，BC的值最小；利用勾股定理求出BM的长，根据BC的最小值为BM-CM，代入计算可求解.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y=a（x2+4x+4-4）+4a+1=a（x+2）2+1
∴抛物线的顶点坐标为（-2，1），对称轴为直线x=-2
∵二次函数图象经过点A（m，3），B（n，3）
∴抛物线的抛物线的开口向上，a＞0
∵线段AB的长不大于4
∴4a+1≥3
解之：a≥
a2+a-1的最小值为
故答案为：B.
【分析】先将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标及对称轴，再由二次函数图象经过点A（m，3），B（n，3），可确定出a的取值范围；再根据线段AB的长不大于4，可得到抛物线与y轴的交点的纵坐标大于等于3，建立关于a的不等式，求出不等式的解集；然后将a的最小值代入可得答案。
3．【答案】
【知识点】正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 把点代入 中，得4=4a，解得a=1，
∴y=x2，
当点，四边形CDFE为正方形 ，
∴CD=CE=4，
∴点A的纵坐标为8，
当y=8时，则y=x2=8，
解得m=或m=-（舍），
∴AB=2m=
故答案为：.
【分析】利用待定系数法求出y=x2，根据当点，四边形CDFE为正方形 ，可得CD=CE=4，从而得出点A的纵坐标为8，利用此求出点A的横坐标，继而求出AB的长.
4．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2 2ax＋3（a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0，3），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴顶点P坐标为（1，3 a），点M坐标为（2，3）
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4，3），
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0），
将点B（4，3）代入得4k＝3，
解得k＝，
∴直线OP解析式为y＝x，
将点P（1，3 a）代入得y＝x，
得3 a＝，
解得a＝，
∴点P(1，)，
∴.
故答案为：.
【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B的坐标；再将点B的坐标代入直线OP的解析式，用含a的式子表示出点P坐标，即可求解出a的值，据此即可解答．
5．【答案】4；或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：当y=0时，
解之：x1=-1，x2=-5，
∴点A（-1，0），点B（-5，0），
∴AB=|-1-（-5）|=4；
如图，作过点A，B的圆，交y轴于点D，E，连接CA，CB，CD，AE，BE，过点C作CF⊥AB于点F，CH⊥DE于点H，
∴∠CFO=∠CHO=∠FOH=90°，
∴四边形CFOH是矩形，
∴CH=OF，HO=CF；
∵ 线段的“U”点落在y轴的正半轴上，
∴∠ADB=∠AEB=30°，
∴点D和点E是线段AB的“U”点；
∵，
∴∠ACB=2∠ADB=60°，
∴△ACB是等边三角形，
∴AC=BC=CD=AB=4，
BF=AB=2，
在Rt△BCF中，
，
∵点B（-1，0）
∴OF=CH=2+1=3，
在Rt△CDH中
，
∴
∴点D；
∵CH⊥DE，
∴，
∴，
∴点E，
∴ 线段的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为或.
故答案为：或
【分析】由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标，然后求出线段AB的长；作过点A，B的圆，交y轴于点D，E，连接CA，CB，CD，AE，BE，过点C作CF⊥AB于点F，CH⊥DE于点H，易证四边形CFOH是矩形，利用矩形的对边相等，可证得CH=OF，HO=CF；利用线段的“U”点落在y轴的正半轴上，可知∠ADB=∠AEB=30°，即可得到点D和点E是线段AB的“U”点；利用圆周角定理可求出∠ACB=60°，由此可证得△ACB是等边三角形，利用等边三角形的性质可知AC=BC=CD=AB=4，同时可求出BF的长；在Rt△BCF中，利用勾股定理求出CF，OH的长，利用点B的坐标求出OF，CH的长；在Rt△CDH中，利用勾股定理求出DH的长，根据OD=DH+OH，可求出OD的长，即可得到点D的坐标；利用垂径定理可证得，由此可求出OE的长，可得到点E的坐标；综上所述可得到线段的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标.
6．【答案】（1）由题意得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）点与点关于直线对称，
连接与直线交于点，则点即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点的坐标为，
与轴的交点为，
设直线的解析式为：，
，
解得，，，
直线的解析式为：，
则直线与直线的交点坐标为：
点的坐标为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，最短路径问题.根据抛物线经过点，对称轴是直线，将点代入抛物线的解析式和抛物线的对称轴放可列出方程组，解方程组求出、的值，进而可求出抛物线的解析式 ；
因为点与点关于对称，根据轴对称的性质可求出C点和B点的坐标，设直线的解析式为：，将B点和C点的坐标代入解析式可求出直线BC的解析式，连接与直线交于点，求出直线与直线的交点，据此可求出点P的坐标．
（1）由题意得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）点与点关于直线对称，
连接与直线交于点，则点即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点的坐标为，
与轴的交点为，
设直线的解析式为：，
，
解得，，，
直线的解析式为：，
则直线与直线的交点坐标为：
点的坐标为：．
7．【答案】（1）解：由题意可得，，
∴，
把、、代入，
得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2），
∴抛物线的对称轴为，
∵、两点关于对称， 点是抛物线对称轴上的一个动点 ，
∴
∴的周长为，
∴当B、C、H三点共线时，周长的最小，
如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小；
∵，，
设直线的解析式为，
代入可得：，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据题意，先求出C的坐标，然后利用待定系数法代入A、B、C三点的坐标，得到，求得，即可求解；
（2）将先求得抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解．
（1）解∶∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把、、代入，
得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：，
∴抛物线的对称轴为，
如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小；
∵、两点关于对称，
∵，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
8．【答案】（1）解：当时，，
当时，，
，，
由题意得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：由抛物线的顶点式得：，
设的解析式为：，
则，
解得：，
∴的解析式为：，
令与轴交于点，
当时，，
解得：，则，
∴；
（3）解：设的解析式为：，
则：，
解得：，
的解析式为：，
点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴，
设点，
则，
，
当时，有最大值，为，
此时．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先由一次函数解析式求出、的坐标，再根据待定系数法求解抛物线解析式；
（2）先根据抛物线的顶点坐标求出AC解析式，再确定AC与x轴交点E的坐标，最后将三角形ABC分成三角形ABE和三角形CBE，由三角形面积公式即可求解；
（3）先求出AB解析式，表示出点P、点D的坐标，即可写出PD长度的表达式，再根据二次函数的性质
求出的最大值，此时的值就是的横坐标，进而求出其纵坐标．
9．【答案】（1）解：在直线上，
在抛物线上，
抛物线的解析式为.
（2）解：设动点P得坐标为，则C点得坐标为，
当时，线段PC最大且为.
（3）解：二次函数的对称轴为直线x=2，则D（2，0），
如图，当Q在直线AB的下方时，设直线AB交y轴于点T（0，2）过点D作直线l∥AB交y轴于点L ，
∴直线l的解析式为y=x-2，则L（0，-2），
∴TL=2-（-2）=4，
取TL的中点M（0，0），过点M作直线m∥AB，交抛物线于点Q，此时S△ABQ=S△ABD，
则直线m的解析式为：y=x，
联立得，解得x=，y=，
∴点Q的坐标为；
当点Q在直线AB的上方时，
取点N使NT=MT=2，过点，N（0，4）作直线n∥AB交抛物线于点Q，此时S△ABQ=S△ABD，
则直线n的解析式为：y=x+4，
联立得，解得x=，y=，
∴点的坐标
综上：点Q的坐标为或
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先求出点B坐标，再将A、B坐标代入中，求出a、b值即可；
（2）设动点P，则点C，可得=，利用二次函数的性质即可求解；
（3）先求D（2，0），分两种情况：当Q在直线AB的下方时，设直线AB交y轴于点T（0，2）过点D作直线l∥AB交y轴于点L ，直线l的解析式为y=x-2，则L（0，-2），可得TL=2-（-2）=4，取TL的中点M（0，0），过点M作直线m∥AB，交抛物线于点Q，此时S△ABQ=S△ABD，可得直线m的解析式为y=x，联立抛物线解析式为方程组并解之即可；当点Q在直线AB的上方时，同理求解即可.
10．【答案】（1）解：∵点，，
∴，，
∵，
∴，
把和代入二次函数中得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：如图1，∵直线经过点和，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵二次函数，
∴设点，则，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴点E的坐标为；
（3）解：存在，∵，
∴对称轴为直线，
设，分三种情况：
①点B为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
②点A为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
③点P为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或；
综上，点P的坐标为或或或．
【知识点】解二元一次方程；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的y=x2+bx+c可得到关于b、c的方程组，求解得b、c的值，从而即可得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据点的坐标与图形性质，设点E（t，t+1），则F（t，t2-2t-3），用两点间的距离公式表示出EF，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标；
（3）存在，设P（1，m），分三种情况：分别以A，B，P为直角顶点，根据勾股定理及两点间的距离公式分别列方程，解方程即可.
11．【答案】（1）解：将点和点，代入得，
，解得，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入得，，解得，
∴，
∴设，，
∴，
∴当时，线段最大，
∴将代入，
∴；
（3）点Q的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（3）解：如图所示，当点Q在x轴上方抛物线上时，
∵，
∴，
∴设直线的解析式为，
∴将，代入得，解得，
∴，
∴设直线的解析式为，
∴将点代入得：，
∴，
∴联立和得，，
∴解得，
∴将代入，
∴点Q的坐标为；
如图所示，当点Q在x轴下方抛物线上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线的表达式为，
∴联立直线和直线可得，，即，
∴解得，
∴将代入，
∴，
∴设直线的解析式为，
∴将，代入得，
∴解得，
∴，
∴联立直线和抛物线得，，即，
∴解得，，
∴将代入，
∴，
综上所述，点Q的坐标为或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得，设，，根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点Q在x轴上方抛物线上时，根据直线平行判定定理可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，M坐标代入解析式可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点C，Q坐标代入解析式可得，联立两直线方程，解方程即可求出答案；当点Q在x轴下方抛物线上时，根据直线平行判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即直线的表达式为，联立直线和直线方程，解方程可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点C，H坐标代入解析式可得，联立直线和抛物线方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】（1）令，即有：，
利用因式分解法，求得：，，
结合图形，可知、，
令，，
则有C点坐标为：，
即结果为：、，；
（2）∵、，，∴、，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
过Q点作于N点，如图，
根据运动的特点，可得：，，
∴，
∵，，
∴的取值范围为：，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
运动秒时，有最大值，最大值为；
（3）根据题意，设点的坐标为：，设直线的解析式为：，
∵，
∴，
解得，
即直线的解析式为：，
∴令，，
∴点坐标为：，
∵，
∴，
同理可求出直线的解析式为：，
∴令，，
∴点坐标为：，
∵，
∴，
根据题意可知：若，则可知、、、四点重合，
此时不符合题意，故，
∴，
即值为．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题考查求解抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式.（1）令可得：，解一元二次方程可求出x的值，据此可求出点A、B的坐标，令，通过计算可求出C点坐标；
（2）先根据点A，B，C的坐标，可求出、，据此进而推出是等腰直角三角形，利用勾股定理可求出BC，过Q点作于N点，根据题意可得，，
，利用角的运算可得：，进而可证明是等腰直角三角形，，利用勾股定理可推出，利用三角形的面积公式进行计算可得：，再利用二次函数的性质可求出面积的最大值；
（3）设点的坐标为：，设直线的解析式为：，将A点和D点的坐标代入函数解析式，据此可求出直线的解析式为：，令，可求出点坐标为：，进而可求出，同理可求出直线的解析式为：，令，可求出点坐标为：，进而可求出，分两种情况进行讨论：若；若，据此可求出答案．
13．【答案】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，，
将，代入中，得：，
∴，
∴，；
（2）解：如图1，作点A关于抛物线对称轴的对称点C，连接BC交抛物线对称轴于点P，
∴AP+BP=CP+BP=BC，此时AP+BP取得最小值为BC，
∵的周长为AB+AP+BP，
∴要使的周长最小，只需最小即可，
∴的周长最小值为，
当时，由（1）得，
，
抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴是：，
∵A（-2，0），
∴由对称性可得，
∵A（-2，0），B（0，-2），
∴中，，中，，
周长的最小值为；
（3）解：当时，，
，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，
设，则，
，
，
∴当时，有最大值是．
【知识点】二次函数的最值；等腰直角三角形；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）先求出A、B两点的坐标，然后将这两点坐标代入抛物线的表达式中，即可求解；
（2）作点A关于抛物线对称轴的对称点C，连接BC交抛物线对称轴于点P，由轴对称的性质得AP+BP=CP+BP=BC，此时AP+BP取得最小值为BC，从而有的周长最小值为，接下来求出抛物线的解析式，得C点坐标，最后利用勾股定理求出AB、BC的值，即可得到答案；
（3）根据时，可得抛物线的解析式，如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，设，则，表示的长，求得最大值，进而得到答案．
（1）解：直线中，当时，，
，
当时，，
，
，
将，代入抛物线中，得：
，
，；
（2）解：如图1，当时，，
，
抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴是：，
由对称性可得，
要使的周长最小，只需最小即可，
如图1，连接交直线于点，
因为点与点关于直线对称，由对称性可知：，
因为两点之间线段最短，所以此时的周长最小，
所以的周长最小值为，
中，，
中，，
周长的最小值为；
（3）解：当时，，
，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，
设，则，
，
，
∴当时，有最大值是．
14．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，
∴1-b+c=0，c=﹣4，
∴b=﹣3.
故，
∵
顶点坐标为：.
（2）在y轴上存在一点M，使得△BDM的周长最小，理由如下：
作顶点关于y轴的对称点，连接BD'交y轴于M，如图：
在中令y=0，得
解得：x1=-1，x2=4
故点B(4，0).
∴，
∴△BDM的周长为：.
当B，M，D'三点共线时，周长取得最小值，最小值为.
设直线BD'的解析式为：y=kx+b（k≠0）
∴，
解得：.
故，
令x=0，，
∴点M的坐标为：.
（3）以AP为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，如图：
由A(-1，0)，P(3，0)，△APQ是等边三角形，可得Q的坐标为.
∵△AEF，△APQ都是等边三角形，
∴AE=AF，AP=AQ，∠EAF=∠PAQ=60°，
∴∠EAP=∠FAQ，
∴△EAP≌△FAQ(SAS)，
∴PE=QF=1，
∴点F的轨迹是以Q为圆心，1为半径的圆，
∵B(4，0)，
∴.
∴当F在线段BQ上时，BF最小，此时；
当F在线段BQ的延长线上时，BF最大，此时
∴BF的范围时.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法得抛物线的表达式，转化成顶点式即可得抛物线顶点D的坐标；
（2）作关于y轴的对称点，连接BD'交y轴于M，求出B(4，0)，计算BD长，可知BD为定值；由对称性得BDM的周长为，可知B，M，D'三点共线时周长最小，最小为D'M+BM；由B(4，0)，得直线BD'解析式，令x=0即可得点M的坐标；
(3)以AP为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，由A(-1，0)，P(3，0)，△APQ是等边三角形可得Q的坐标为，证明△EAP≌△FAQ，有PE=QF=1，可知F的轨迹是以Q为圆心，1为半径的圆，求出BQ的长，再根据F在线段QB上时，BF最小为BQ－QF；当F在线段BQ的延长线上时，BF最大为BQ+QF，可得BF的范围.
15．【答案】（1）把，，代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
直线解析式为，
当时，，
；
（2）①设，则，
，
当时，有最大值为；
②，，
，
又，
，
又轴，
轴，
，
当时，如图，
，
轴，
P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
，
，
P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
，
，
，
，
，
解得，（舍去），
，
P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）将已知点的坐标代入函数解析式，可得到关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，可得到抛物线的解析式；设直线AB的函数解析式为y=mx+n，将点A、B的坐标代入，可得到关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，可得到直线AB的函数解析式，由x=0求出对应的y的值，可得到点C的坐标.
（2）①利用两函数解析式，则，可表示出PD关于m的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解；②利用点A，C的坐标可证得∠ACO=∠AOC=45°，易证PD∥y轴，可证得∠PDB=45°；再分情况讨论：当△PBD∽△OAC时，可证得∠BPD=90°，可得到点P的纵坐标为3，将y=3代入二次函数解析式，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到点P的坐标；当△PBD∽△AOC时，过点B作BF⊥PD于点F，可表示出BF的长，再证明，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，可得到点P的坐标；综上所述，可得到符合题意的点P的坐标.
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