二次函数的面积问题—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题
1．（2024九上·定海开学考）已知点M是抛物线（m为常数）的顶点，直线与坐标轴分别交于两点，则的面积为（ ）
A． B．6 C．4 D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：，
∴点的坐标为
∴点在直线上.
∵直线与坐标轴分别交于点两点，
∴点的坐标为点的坐标.
过点作直线于点，延长交直线于点，如图所示.
∵点的坐标为， 点B的坐标，
，
，
同理，可求出：
，
，
故答案为： B.
【分析】先将原抛物线由一般式化为顶点式，得到顶点M的坐标，根据坐标特征可以判断M在直线上，再求出直线与坐标轴的两个交点A、B的坐标，根据一次函数图象及性质，得到
直线与直线平行，结合图象过点作直线于点，延长交直线于点，利用勾股定理及等腰直角三角形的性质可以求出高的长度，再利用三角形的面积公式即可求出的面积.
2．（2022九上·汉川月考）如图，抛物线与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接．
由题意可知，，
∵
∴，
∵抛物线是轴对称图形，
∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形的面积，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
故答案为：D．
【分析】先求出，再结合，，证出四边形为平行四边形，最后利用平行四边形的面积公式列出算式求解即可.
3．（2024九上·定海开学考）已知等腰直角的斜边，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动．在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①当时，，
函数图象为开口方向向上的抛物线；∴B选项不符合题意
②当时，如图，
设交于，则，
则，
，
函数图象为开口方向向下的抛物线；
③当时，；∴A选项不符合题意
④当时，同理可得，
函数图象为开口方向向下的抛物线；∴D选项不符合题意；
故只有选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据题意在移动的过程中，需要分为四段，分别是，，，，依据运动特点，分别求出对应的函数关系式，根据函数关系式对函数图象进行判断即可.
二、填空题
4．（2023九上·莎车月考）如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为 ．
【答案】6
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两点之间线段最短；轴对称的性质；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：如图所示，作出B关于y轴的对称点，则⊥y轴于点H，连接交y轴于P，
则点P就是使△PAB的周长最小时的位置．
∵抛物线y＝的对称轴是y轴，B、关于y轴对称，
∴点P在抛物线y＝上，且，
∴，
∴此时△PAB的周长最小，
∵B（3，9），
∴（﹣3，9），
∴＝6，点H的坐标是（0，9），
∵A（1，1），
∴点A到的距离为9－1＝8，
设直线A的直线方程为y＝kx+b，把点A和点的坐标代入后得到，
∴，
解得，
∴直线A的解析式为y＝﹣2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴P点的坐标为（0，3），
∴PH＝OH－OP＝6，
此时，
即△PAB的面积为6，
故答案为：6．
【分析】作出B关于y轴的对称点，则⊥y轴于点H，连接交y轴于P，先求出直线A的解析式为y＝﹣2x+3，再求出点P的坐标，可得PH＝OH－OP＝6，最后利用三角形的面积公式及割补法求出答案即可.
5．（2024九上·武昌月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点为线段中点，点为线段上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则面积的最大值为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；旋转的性质；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：如图所示，过点作轴于点，过点作的垂线，交延长线于点，
点为线段中点，点，点，
，
，
设点的坐标为，则，
，
由旋转的性质可知，，
，
∵轴，
，
，
在和中，
，
，
，
，即，
的面积为，
由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积取得最大值，最大值为，
故答案为：．
【分析】过点作轴于点，过点作的垂线，交延长线于点，设点的坐标为，则，则，再利用“AAS”证出，可得，再利用三角形的面积公式可得的面积为，最后利用二次函数的性质分析求解即可.
三、解答题
6．（2023九上·衢江月考）已知抛物线（b是常数）经过点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点A关于抛物线的对称轴的对称点为，求抛物线顶点P与点A、所围成的三角形的面积．
【答案】（1）解：∵抛物线（b是常数）经过点
∴，
解得：，
抛物线的表达式为；
故答案为：.
（2）解：抛物线，
抛物线的对称轴为，顶点坐标，
∵ 点A关于抛物线的对称轴的对称点为，
，
∴AA'=2，△AA'P的高为1，如图所示：
，
点P与点A、所围成的三角形的面积为1，
故答案为：1.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入求出b的值即可；
（2）先利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式可得对称轴和点P的坐标，再求出AA'=2，△AA'P的高为1，最后利用三角形的面积公式求解即可.
（1）解：将代入，得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：如图，
抛物线
抛物线的对称轴为，顶点坐标，
，
，
点P与点A、所围成的三角形的面积为1．
7．（2023九上·兰溪月考）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求的面积．
【答案】（1）解：二次函数的图象与轴交于，两点，
，
二次函数的解析式为．
故答案为：；
（2）解：，
点的坐标为，
点到的距离为，
，，
，
．
故答案为：8.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用两点式待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）先将二次函数的一般式化为顶点式可得点D的坐标，再求出AB的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
（1）解：二次函数的图象与轴交于，两点，
，
此二次函数的解析式为．
（2）解：，
点的坐标为，
点到的距离为，
，，
，
．
8．（2023九上·越城月考）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为，其顶点为C，对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断的形状；
（3）已知点M为线段上方抛物线上的一个动点，请写出面积关系式，并求出当面积最大时点M的坐标．
【答案】（1）解：∵ 抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．
∴与x轴的另外一个交点为（-1，0）
可设.
∵与y轴的交点为，
∴3=(-3)a，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
当x=1时，y=-1+2+3=4，
∴顶点，
∵，，
∴，
∵
∴
∴，
∴是直角三角形．
（3）解：∵过点A(3，0)，B(0，3)，
∴线段AB所在直线的解析式为：y=-x+3，（0将直线AB向上平移a个单位，使经过点M，则y=-x+3+a，
记平移后的直线为MD，点D为平移后的直线与x轴的交点，故D(3+a，0)，
过点A作AE⊥MD于点E，如图：
则△AOB∽△DEA，
∴
∵，，
∴，
∴
∴，
联立和得，
∴
∴.
∴.
即当时，面积的最大值为．
此时，.
故点M坐标．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意确定与x的另一交点（-1，0），设解析式为交点式，代入点B坐标求解即可.
（2）通过计算证明：利用勾股定理的逆定理即可判断；
（3）先求出直线AB的解析式y=-x+3，再得到直线AB平移经过点M时的解析式MD为y=-x+3+a，得与x轴的交点D(3+a，0)，过点A作AE⊥MD于点E，构造△AOB∽△DEA，求出，可得.联立解析式得，得，确定a的取值范围，代入即可得到面积的最大值以及此时点M的坐标.
（1）解：由题意得：，
解该方程组得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴顶点，
∵，，
∴，
∵
∴
∴，
∴是直角三角形．
（3）解：如图，设，连接．
∵，
∴，
∵，，
∴时，面积的最大值为．此时点M坐标．
9．（2024九上·东阳开学考）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式及点坐标；
（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标．
【答案】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
当时，，
解得，，
∴；
（2）解：连接，
设直线的表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
过点作轴的垂线，交于点，
则，
∴当取最大值时，的面积最大，
设，则，
∵点位于第三象限，
∴，，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时，点的坐标为
（3）解：∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
①当为平行四边形的边时，，
设点的横坐标为，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点在抛物线上，
∴点的坐标为或；
②当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
【知识点】二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用．
（）将B，C两点的坐标代入二次函数的解析式可列出方程组，解方程组可求出b，c的值，再求出当时，可列出一元二次方程，解方程可求出点坐标；
（）连接，设直线的表达式为，将点A和C的坐标代入表达式可求出直线的表达式，过点作轴的垂线，交于点，利用三角形的面积公式进行计算可得：，据此可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，进而可得，最后利用二次函数的性质可求出三角形的面积最大值，并求出m的值和D点的坐标；
（）先求出的长及二次函数的对称轴，再分两种情况讨论，①当为平行四边形的边时，，②当为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形的性质列出方程，解方程可求出点N的坐标.
（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
当时，，
解得，，
∴；
（2）解：连接，
设直线的表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
过点作轴的垂线，交于点，
则，
∴当取最大值时，的面积最大，
设，则，
∵点位于第三象限，
∴，，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时，点的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时，，
设点的横坐标为，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点在抛物线上，
∴点的坐标为或；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
10．（2023九上·镇海区期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．
（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）设，求k的值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．
【答案】（1）解：令x=0，y=3a，∴．
∵，
∴；
（2）解：令y=0，有，
解得：x=1或x=3，
∴，，
∴，
∴．
设直线CD交x轴于点E，如图所示，
设直线CD解析式为y=tx+b，
把C、D的坐标代入可得
，
解得：，
∴直线CD解析式为，
令y=0可解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴k=3；
（3）解：∵∠BCD＜∠BCO＜，
∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=或∠CDB=两种情况．
∵，，，∴，，．
①当∠CBD=时，则有，
即，
解得：（舍去）或a=1，
此时抛物线解析式为；
②当∠CDB=时，则有，
即，
解得：a=（舍去）或a=，
此时抛物线解析式为；
综上可知：当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；勾股定理；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先求C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；
（2）令y=0可求A、B的坐标，结合D点坐标可求△ABD的面积，利用待定系数法可求直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出△BCD的面积，可求得k的值；
（3）分∠CBD=和∠CDB=两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，求得a的值，则可求得抛物线的解析式．
（1）解：在中，
令x=0可得：y=3a，
∴．
∵，
∴；
（2）解：在中，
令y=0可解得：x=1或x=3，
∴，，
∴，
∴．
如图，设直线CD交x轴于点E，
设直线CD解析式为y=tx+b，
把C、D的坐标代入可得，
解得：，
∴直线CD解析式为，
令y=0可解得：x=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴k=3；
（3）解：∵，，，
∴，，．
∵∠BCD＜∠BCO＜，
∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=或∠CDB=两种情况．
①当∠CBD=时，则有，
即，
解得：（舍去）或a=1，
此时抛物线解析式为；
②当∠CDB=时，则有，
即，
解得：a=（舍去）或a=，
此时抛物线解析式为；
综上可知：当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为或．
11．（2023九上·兰溪月考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，，，
设抛物线解析式为，将代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
故答案为：y＝－x2－2x＋3.
（2）解：过点作轴交于点，如图1所示：
设直线解析式为，将，代入，
得：，
解得：，
直线解析式为，
设，则，
，
，
，
，
当时，的面积最大，此时点的坐标为；
故答案为：.
（3）解：存在．分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．①当点在轴上方时，如图所示：
∵，
∴与纵坐标相等，
，
解得：，（舍去），
，
②当点在轴下方时，如图所示：
∵为对角线，
∴的中点坐标相同，即它们的中点的纵坐标为0，
∴与纵坐标互为相反数，
，
解得：，，
或，
综上所述，点的坐标为或或．
故答案为：或或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得，再将数据代入可得，求出OA的值，即可得到点A、B、C的坐标，最后利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2） 过点作轴交于点， 先求出直线BC的解析式， 设，则， 利用割补法求出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）分类讨论：①当点在轴上方时， ②当点在轴下方时， 再分别画出图象并求解即可.
（1）解：∵，，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，，，
设抛物线解析式为，将代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图1，过点作轴交于点，
设直线解析式为，将，代入，
得：，
解得：，
直线解析式为，
设，则，
，
，
，
，
当时，的面积最大，此时点的坐标为；
（3）解：存在．分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．
①当点在轴上方时，∵，
∴与纵坐标相等，
，
解得：，（舍去），
，
②当点在轴下方时，∵为对角线，
∴的中点坐标相同，即它们的中点的纵坐标为0，
∴与纵坐标互为相反数，
，
解得：，，
或，
综上所述，点的坐标为或或．
12．（2023九上·椒江月考）已知抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若点M是抛物线的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标；
（2）在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）若，且，求a的取值范围．
【答案】（1）解：∵点M是抛物线的顶点，
∴可设抛物线解析式为，
∵抛物线过点，
∴
解得： ，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得或1，
∴，
当时，，
∴；
（2）解：设，设直线的解析式为，
把代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
过P点作轴交于点G，如图所示：
∴，
∴，
∴，
当时，的面积有最大值，此时，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与x轴的交点为，
∴，
∴四边形面积的最大值为；
（3）解：将和两点代入，
∴，
解得，
∴，
当时，，解得：，
当时，，解得，
∴或．
【知识点】利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法设抛物线解析式为，再将点N代入解析式求出a的值， 从而确定函数的解析式 ，再根据抛物线与纵坐标交点坐标特点求出点A、B、C的坐标即可；
（2）根据点的坐标与图形性质可设，利用待定系数法求出直线AC的解析式为，可得，利用“铅锤法”求出，可得当时，的面积有最大值，此时，再求出，最后相加即可；
（3）先将点M、N代入解析式求出，再分类讨论：①当时，求出，②当时，求出，即可得到或．
（1）解：∵点M是抛物线的顶点，
∴可设抛物线解析式为，
∵抛物线过点，
∴
解得： ，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得或1，
∴，
当时，，
∴；
（2）解：设，
设直线的解析式为，
把代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
过P点作轴交于点G，
∴，
∴，
∴，
当时，的面积有最大值，此时，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与x轴的交点为，
∴，
∴四边形面积的最大值为；
（3）解：将和两点代入，
∴，解得，
∴，
当时，，解得：，
当时，，解得，
∴或．
13．（2023九上·金华期中）在四边形ABCD中，AD＝BC＝1，AB＝CD＝2，BD．点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），连结AE，过E作CE的垂线交边AB于点F．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）设DE＝x，求△AEF的面积S关于x的函数表达式．
（3）在点E运动过程，当△AEF的某一个内角等于∠BDC时，求所有满足条件的AF的长．
【答案】（1）∵AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝1，AB＝2，BD，
∴AD2+AB2＝BD2，
∴∠DAB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）过点E作EJ⊥AB于点J，交CD于点K．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAJ＝∠ADK＝∠AJK＝90°，
∴四边形ADKJ是矩形，
∴AJ＝DK，AD＝JK，AD∥JK∥BC，
∴，
∴，
∴EKx，DKx，
∴EJ＝JK＝EK＝1x，
∵EF⊥EC，
∴∠EJF＝∠FEC＝∠EKC＝90°，
∴∠JEF+∠CEK＝90°，∠CEK+∠ECK＝90°，
∴∠JEF＝∠ECK，
∴△EJF∽△CKE，
∴，
∴，
∴JFx，
∴AF＝AJ+JFxxx，
∴S AF EJx×（1x）x2x（0＜x）；
（3）当∠EAF＝∠CDB时，∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴EA＝EB，
∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠ADE+∠ABE＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴DE＝EB，
∴x，
∴AF．
当∠AEF＝∠BDC＝∠ABE时，
∵∠EAF＝∠EAB，
∴△EAF∽△BAE，
∴AE2＝AF AB，
∴（1x）2+（x）2x×2，
解得x，
∴AF，
综上所述，AF的长为或．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质.（1）根据AD＝BC，AB＝CD，利用平行四边形的判定定理可证明：四边形ABCD是平行四边形，根据AD＝1，AB＝2，BD，利用勾股定理可证明∠DAB＝90°，再根据有一个角是直角的四边形是矩形可证明结论；
（2）过点E作EJ⊥AB于点J，交CD于点K，根据四边形ABCD是矩形，利用矩形的性质可得：∠DAJ＝∠ADK＝∠AJK＝90°，进而可证明四边形ADKJ是矩形，利用矩形的性质可得，代入数据可求出EK，DK，进而可求出EJ，根据EF⊥EC，利用角的运算可得∠JEF＝∠ECK，利用相似三角形的判定定理可得：△EJF∽△CKE，利用相似三角形的性质可得，代入数据可求出JF，进而可求出AF，利用三角形的面积计算公式可求出函数表达式；
（3）根据题意可知需要分两种情形：当∠EAF＝∠CDB时，当∠AEF＝∠BDC＝∠ABE时，利用角的运算可推出∠DAE＝∠ADE，根据等角对等边可得：AE＝DE；利用相似三角形判定定理可得：△EAF∽△BAE，进而可得AE2＝AF AB；根据上述式子可列出方程，解方程可求出x的值，进而可求出AF.
（1）∵AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝1，AB＝2，BD，
∴AD2+AB2＝BD2，
∴∠DAB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）过点E作EJ⊥AB于点J，交CD于点K．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAJ＝∠ADK＝∠AJK＝90°，
∴四边形ADKJ是矩形，
∴AJ＝DK，AD＝JK，AD∥JK∥BC，
∴，
∴，
∴EKx，DKx，
∴EJ＝JK＝EK＝1x，
∵EF⊥EC，
∴∠EJF＝∠FEC＝∠EKC＝90°，
∴∠JEF+∠CEK＝90°，∠CEK+∠ECK＝90°，
∴∠JEF＝∠ECK，
∴△EJF∽△CKE，
∴，
∴，
∴JFx，
∴AF＝AJ+JFxxx，
∴S AF EJx×（1x）x2x（0＜x）；
（3）当∠EAF＝∠CDB时，∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴EA＝EB，
∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠ADE+∠ABE＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴DE＝EB，
∴x，
∴AF．
当∠AEF＝∠BDC＝∠ABE时，
∵∠EAF＝∠EAB，
∴△EAF∽△BAE，
∴AE2＝AF AB，
∴（1x）2+（x）2x×2，
解得x，
∴AF，
综上所述，AF的长为或．
14．（2023九上·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点点不与点，重合，连结，，以，为边作 ，点的横坐标为．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）当 有两个顶点在轴上时，则点的坐标为 ；
（3）当 是菱形时，求的值．
（4）当为何值时， 的面积有最大值？
【答案】（1）解：抛物线与轴交于点，，
抛物线的解析式为，
即；
（2）
（3）解：抛物线的解析式为，点的横坐标为．
，
是菱形，
，
，
整理得，解得，
点是抛物线在第四象限上一个动点，
，
的值为；
（4）解：过作轴交直线于点，如图，
设直线的解析式为，把、坐标代入得：
，
解得：，
，
设，则，
，
，
，
当时，四边形的面积有最大值．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）∵抛物线的解析式为，令，则，
∴，
∵有两个顶点在轴上时，
∴点D在x轴上，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点P和点C为抛物线上的对称点，
∵抛物线的对称轴为，，
∴，
故答案为：
【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点结合题意即可得到交点式，化为一般式即可求解；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点得到点C的坐标，再根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到点P和点C为抛物线上的对称点，从而根据二次函数的对称性结合题意即可得到点P的坐标；
（3）先根据题意得到，进而根据菱形的性质得到，从而根据坐标系中两点间的距离公式结合题意即可求出m；
（4）过作轴交直线于点，运用待定系数法求出直线BC的函数解析式，进而设，则，根据坐标系中两点间的距离得到，进而即可表示△PBC的面积，再根据结合二次函数的最值即可求解。
15．（2023九上·余姚月考）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a-c|+|b-d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）=|a-c|+|b-d|．已知二次函数y1的图像经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（－1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．
（1）求L（A，B）；
（2）求抛物线y1的表达式；
（3）已知y2=2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．
①若D，E是y2=2tx+1图像上的两个动点，且DE=5，求△CDE面积的最大值；
②当t≤x≤t+3时，若函数y=y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．
（补充两点间距离公式：平面直角坐标中两点A（x1，y1），B(x2，y2），则AB=）
【答案】（1）解：由题意得：
（2）点在直线上运动，
设点，且
由平面上两点间距离，利用勾股定理得：
即
又
二次函数的图像经过，
设
代入解析式得：
解方程组得：
抛物线的表达式为；
（3）①
令时，
直线恒过定点
直线的图像是绕点旋转的直线，
当直线时，点到DE的距离最大，面积也最大，
过点作交直线于点
由点到直线的距离，垂线段最短知：
面积的最大值为
②
二次函数的对称轴为
二次函数的图像开口向下，当时，函数值取得最大值
又
当时，函数值取得最小值
函数的最大值与最小值之和为8
整理得：
解得：
实数的值为.
【知识点】勾股定理；二次函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据点A和点B的坐标结合新定义即可求解；
（2）先根据题意设点，且，进而根据坐标系中两点间的距离公式结合勾股定理即可得到，再根据得到，从而即可求出点C的坐标，再根据待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（3）①先根据题意得到直线恒过定点，进而得到当直线时，点到DE的距离最大，面积也最大，过点作交直线于点，根据垂线段最短得到，再根据三角形的面积结合勾股定理即可求解；
②先根据题意得到y，进而根据二次函数的图象与性质结合二次函数的最值得到y的对称轴和二次函数的图像开口向下，当时，函数值取得最大值，当时，函数值取得最小值，再根据“函数的最大值与最小值之和为8”即可求解。
1 / 1二次函数的面积问题—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题
1．（2024九上·定海开学考）已知点M是抛物线（m为常数）的顶点，直线与坐标轴分别交于两点，则的面积为（ ）
A． B．6 C．4 D．
2．（2022九上·汉川月考）如图，抛物线与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
3．（2024九上·定海开学考）已知等腰直角的斜边，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动．在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2023九上·莎车月考）如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为 ．
5．（2024九上·武昌月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点为线段中点，点为线段上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则面积的最大值为 ．
三、解答题
6．（2023九上·衢江月考）已知抛物线（b是常数）经过点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点A关于抛物线的对称轴的对称点为，求抛物线顶点P与点A、所围成的三角形的面积．
7．（2023九上·兰溪月考）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求的面积．
8．（2023九上·越城月考）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为，其顶点为C，对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断的形状；
（3）已知点M为线段上方抛物线上的一个动点，请写出面积关系式，并求出当面积最大时点M的坐标．
9．（2024九上·东阳开学考）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式及点坐标；
（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标．
10．（2023九上·镇海区期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．
（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）设，求k的值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．
11．（2023九上·兰溪月考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2023九上·椒江月考）已知抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若点M是抛物线的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标；
（2）在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）若，且，求a的取值范围．
13．（2023九上·金华期中）在四边形ABCD中，AD＝BC＝1，AB＝CD＝2，BD．点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），连结AE，过E作CE的垂线交边AB于点F．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）设DE＝x，求△AEF的面积S关于x的函数表达式．
（3）在点E运动过程，当△AEF的某一个内角等于∠BDC时，求所有满足条件的AF的长．
14．（2023九上·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点点不与点，重合，连结，，以，为边作 ，点的横坐标为．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）当 有两个顶点在轴上时，则点的坐标为 ；
（3）当 是菱形时，求的值．
（4）当为何值时， 的面积有最大值？
15．（2023九上·余姚月考）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a-c|+|b-d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）=|a-c|+|b-d|．已知二次函数y1的图像经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（－1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．
（1）求L（A，B）；
（2）求抛物线y1的表达式；
（3）已知y2=2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．
①若D，E是y2=2tx+1图像上的两个动点，且DE=5，求△CDE面积的最大值；
②当t≤x≤t+3时，若函数y=y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．
（补充两点间距离公式：平面直角坐标中两点A（x1，y1），B(x2，y2），则AB=）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：，
∴点的坐标为
∴点在直线上.
∵直线与坐标轴分别交于点两点，
∴点的坐标为点的坐标.
过点作直线于点，延长交直线于点，如图所示.
∵点的坐标为， 点B的坐标，
，
，
同理，可求出：
，
，
故答案为： B.
【分析】先将原抛物线由一般式化为顶点式，得到顶点M的坐标，根据坐标特征可以判断M在直线上，再求出直线与坐标轴的两个交点A、B的坐标，根据一次函数图象及性质，得到
直线与直线平行，结合图象过点作直线于点，延长交直线于点，利用勾股定理及等腰直角三角形的性质可以求出高的长度，再利用三角形的面积公式即可求出的面积.
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接．
由题意可知，，
∵
∴，
∵抛物线是轴对称图形，
∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形的面积，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
故答案为：D．
【分析】先求出，再结合，，证出四边形为平行四边形，最后利用平行四边形的面积公式列出算式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①当时，，
函数图象为开口方向向上的抛物线；∴B选项不符合题意
②当时，如图，
设交于，则，
则，
，
函数图象为开口方向向下的抛物线；
③当时，；∴A选项不符合题意
④当时，同理可得，
函数图象为开口方向向下的抛物线；∴D选项不符合题意；
故只有选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据题意在移动的过程中，需要分为四段，分别是，，，，依据运动特点，分别求出对应的函数关系式，根据函数关系式对函数图象进行判断即可.
4．【答案】6
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两点之间线段最短；轴对称的性质；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：如图所示，作出B关于y轴的对称点，则⊥y轴于点H，连接交y轴于P，
则点P就是使△PAB的周长最小时的位置．
∵抛物线y＝的对称轴是y轴，B、关于y轴对称，
∴点P在抛物线y＝上，且，
∴，
∴此时△PAB的周长最小，
∵B（3，9），
∴（﹣3，9），
∴＝6，点H的坐标是（0，9），
∵A（1，1），
∴点A到的距离为9－1＝8，
设直线A的直线方程为y＝kx+b，把点A和点的坐标代入后得到，
∴，
解得，
∴直线A的解析式为y＝﹣2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴P点的坐标为（0，3），
∴PH＝OH－OP＝6，
此时，
即△PAB的面积为6，
故答案为：6．
【分析】作出B关于y轴的对称点，则⊥y轴于点H，连接交y轴于P，先求出直线A的解析式为y＝﹣2x+3，再求出点P的坐标，可得PH＝OH－OP＝6，最后利用三角形的面积公式及割补法求出答案即可.
5．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；旋转的性质；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：如图所示，过点作轴于点，过点作的垂线，交延长线于点，
点为线段中点，点，点，
，
，
设点的坐标为，则，
，
由旋转的性质可知，，
，
∵轴，
，
，
在和中，
，
，
，
，即，
的面积为，
由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积取得最大值，最大值为，
故答案为：．
【分析】过点作轴于点，过点作的垂线，交延长线于点，设点的坐标为，则，则，再利用“AAS”证出，可得，再利用三角形的面积公式可得的面积为，最后利用二次函数的性质分析求解即可.
6．【答案】（1）解：∵抛物线（b是常数）经过点
∴，
解得：，
抛物线的表达式为；
故答案为：.
（2）解：抛物线，
抛物线的对称轴为，顶点坐标，
∵ 点A关于抛物线的对称轴的对称点为，
，
∴AA'=2，△AA'P的高为1，如图所示：
，
点P与点A、所围成的三角形的面积为1，
故答案为：1.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入求出b的值即可；
（2）先利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式可得对称轴和点P的坐标，再求出AA'=2，△AA'P的高为1，最后利用三角形的面积公式求解即可.
（1）解：将代入，得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：如图，
抛物线
抛物线的对称轴为，顶点坐标，
，
，
点P与点A、所围成的三角形的面积为1．
7．【答案】（1）解：二次函数的图象与轴交于，两点，
，
二次函数的解析式为．
故答案为：；
（2）解：，
点的坐标为，
点到的距离为，
，，
，
．
故答案为：8.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用两点式待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）先将二次函数的一般式化为顶点式可得点D的坐标，再求出AB的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
（1）解：二次函数的图象与轴交于，两点，
，
此二次函数的解析式为．
（2）解：，
点的坐标为，
点到的距离为，
，，
，
．
8．【答案】（1）解：∵ 抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．
∴与x轴的另外一个交点为（-1，0）
可设.
∵与y轴的交点为，
∴3=(-3)a，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
当x=1时，y=-1+2+3=4，
∴顶点，
∵，，
∴，
∵
∴
∴，
∴是直角三角形．
（3）解：∵过点A(3，0)，B(0，3)，
∴线段AB所在直线的解析式为：y=-x+3，（0将直线AB向上平移a个单位，使经过点M，则y=-x+3+a，
记平移后的直线为MD，点D为平移后的直线与x轴的交点，故D(3+a，0)，
过点A作AE⊥MD于点E，如图：
则△AOB∽△DEA，
∴
∵，，
∴，
∴
∴，
联立和得，
∴
∴.
∴.
即当时，面积的最大值为．
此时，.
故点M坐标．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意确定与x的另一交点（-1，0），设解析式为交点式，代入点B坐标求解即可.
（2）通过计算证明：利用勾股定理的逆定理即可判断；
（3）先求出直线AB的解析式y=-x+3，再得到直线AB平移经过点M时的解析式MD为y=-x+3+a，得与x轴的交点D(3+a，0)，过点A作AE⊥MD于点E，构造△AOB∽△DEA，求出，可得.联立解析式得，得，确定a的取值范围，代入即可得到面积的最大值以及此时点M的坐标.
（1）解：由题意得：，
解该方程组得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴顶点，
∵，，
∴，
∵
∴
∴，
∴是直角三角形．
（3）解：如图，设，连接．
∵，
∴，
∵，，
∴时，面积的最大值为．此时点M坐标．
9．【答案】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
当时，，
解得，，
∴；
（2）解：连接，
设直线的表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
过点作轴的垂线，交于点，
则，
∴当取最大值时，的面积最大，
设，则，
∵点位于第三象限，
∴，，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时，点的坐标为
（3）解：∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
①当为平行四边形的边时，，
设点的横坐标为，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点在抛物线上，
∴点的坐标为或；
②当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
【知识点】二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用．
（）将B，C两点的坐标代入二次函数的解析式可列出方程组，解方程组可求出b，c的值，再求出当时，可列出一元二次方程，解方程可求出点坐标；
（）连接，设直线的表达式为，将点A和C的坐标代入表达式可求出直线的表达式，过点作轴的垂线，交于点，利用三角形的面积公式进行计算可得：，据此可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，进而可得，最后利用二次函数的性质可求出三角形的面积最大值，并求出m的值和D点的坐标；
（）先求出的长及二次函数的对称轴，再分两种情况讨论，①当为平行四边形的边时，，②当为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形的性质列出方程，解方程可求出点N的坐标.
（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
当时，，
解得，，
∴；
（2）解：连接，
设直线的表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
过点作轴的垂线，交于点，
则，
∴当取最大值时，的面积最大，
设，则，
∵点位于第三象限，
∴，，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时，点的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时，，
设点的横坐标为，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点在抛物线上，
∴点的坐标为或；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
10．【答案】（1）解：令x=0，y=3a，∴．
∵，
∴；
（2）解：令y=0，有，
解得：x=1或x=3，
∴，，
∴，
∴．
设直线CD交x轴于点E，如图所示，
设直线CD解析式为y=tx+b，
把C、D的坐标代入可得
，
解得：，
∴直线CD解析式为，
令y=0可解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴k=3；
（3）解：∵∠BCD＜∠BCO＜，
∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=或∠CDB=两种情况．
∵，，，∴，，．
①当∠CBD=时，则有，
即，
解得：（舍去）或a=1，
此时抛物线解析式为；
②当∠CDB=时，则有，
即，
解得：a=（舍去）或a=，
此时抛物线解析式为；
综上可知：当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；勾股定理；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先求C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；
（2）令y=0可求A、B的坐标，结合D点坐标可求△ABD的面积，利用待定系数法可求直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出△BCD的面积，可求得k的值；
（3）分∠CBD=和∠CDB=两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，求得a的值，则可求得抛物线的解析式．
（1）解：在中，
令x=0可得：y=3a，
∴．
∵，
∴；
（2）解：在中，
令y=0可解得：x=1或x=3，
∴，，
∴，
∴．
如图，设直线CD交x轴于点E，
设直线CD解析式为y=tx+b，
把C、D的坐标代入可得，
解得：，
∴直线CD解析式为，
令y=0可解得：x=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴k=3；
（3）解：∵，，，
∴，，．
∵∠BCD＜∠BCO＜，
∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=或∠CDB=两种情况．
①当∠CBD=时，则有，
即，
解得：（舍去）或a=1，
此时抛物线解析式为；
②当∠CDB=时，则有，
即，
解得：a=（舍去）或a=，
此时抛物线解析式为；
综上可知：当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为或．
11．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，，，
设抛物线解析式为，将代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
故答案为：y＝－x2－2x＋3.
（2）解：过点作轴交于点，如图1所示：
设直线解析式为，将，代入，
得：，
解得：，
直线解析式为，
设，则，
，
，
，
，
当时，的面积最大，此时点的坐标为；
故答案为：.
（3）解：存在．分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．①当点在轴上方时，如图所示：
∵，
∴与纵坐标相等，
，
解得：，（舍去），
，
②当点在轴下方时，如图所示：
∵为对角线，
∴的中点坐标相同，即它们的中点的纵坐标为0，
∴与纵坐标互为相反数，
，
解得：，，
或，
综上所述，点的坐标为或或．
故答案为：或或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得，再将数据代入可得，求出OA的值，即可得到点A、B、C的坐标，最后利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2） 过点作轴交于点， 先求出直线BC的解析式， 设，则， 利用割补法求出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）分类讨论：①当点在轴上方时， ②当点在轴下方时， 再分别画出图象并求解即可.
（1）解：∵，，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，，，
设抛物线解析式为，将代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图1，过点作轴交于点，
设直线解析式为，将，代入，
得：，
解得：，
直线解析式为，
设，则，
，
，
，
，
当时，的面积最大，此时点的坐标为；
（3）解：存在．分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．
①当点在轴上方时，∵，
∴与纵坐标相等，
，
解得：，（舍去），
，
②当点在轴下方时，∵为对角线，
∴的中点坐标相同，即它们的中点的纵坐标为0，
∴与纵坐标互为相反数，
，
解得：，，
或，
综上所述，点的坐标为或或．
12．【答案】（1）解：∵点M是抛物线的顶点，
∴可设抛物线解析式为，
∵抛物线过点，
∴
解得： ，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得或1，
∴，
当时，，
∴；
（2）解：设，设直线的解析式为，
把代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
过P点作轴交于点G，如图所示：
∴，
∴，
∴，
当时，的面积有最大值，此时，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与x轴的交点为，
∴，
∴四边形面积的最大值为；
（3）解：将和两点代入，
∴，
解得，
∴，
当时，，解得：，
当时，，解得，
∴或．
【知识点】利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法设抛物线解析式为，再将点N代入解析式求出a的值， 从而确定函数的解析式 ，再根据抛物线与纵坐标交点坐标特点求出点A、B、C的坐标即可；
（2）根据点的坐标与图形性质可设，利用待定系数法求出直线AC的解析式为，可得，利用“铅锤法”求出，可得当时，的面积有最大值，此时，再求出，最后相加即可；
（3）先将点M、N代入解析式求出，再分类讨论：①当时，求出，②当时，求出，即可得到或．
（1）解：∵点M是抛物线的顶点，
∴可设抛物线解析式为，
∵抛物线过点，
∴
解得： ，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得或1，
∴，
当时，，
∴；
（2）解：设，
设直线的解析式为，
把代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
过P点作轴交于点G，
∴，
∴，
∴，
当时，的面积有最大值，此时，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与x轴的交点为，
∴，
∴四边形面积的最大值为；
（3）解：将和两点代入，
∴，解得，
∴，
当时，，解得：，
当时，，解得，
∴或．
13．【答案】（1）∵AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝1，AB＝2，BD，
∴AD2+AB2＝BD2，
∴∠DAB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）过点E作EJ⊥AB于点J，交CD于点K．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAJ＝∠ADK＝∠AJK＝90°，
∴四边形ADKJ是矩形，
∴AJ＝DK，AD＝JK，AD∥JK∥BC，
∴，
∴，
∴EKx，DKx，
∴EJ＝JK＝EK＝1x，
∵EF⊥EC，
∴∠EJF＝∠FEC＝∠EKC＝90°，
∴∠JEF+∠CEK＝90°，∠CEK+∠ECK＝90°，
∴∠JEF＝∠ECK，
∴△EJF∽△CKE，
∴，
∴，
∴JFx，
∴AF＝AJ+JFxxx，
∴S AF EJx×（1x）x2x（0＜x）；
（3）当∠EAF＝∠CDB时，∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴EA＝EB，
∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠ADE+∠ABE＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴DE＝EB，
∴x，
∴AF．
当∠AEF＝∠BDC＝∠ABE时，
∵∠EAF＝∠EAB，
∴△EAF∽△BAE，
∴AE2＝AF AB，
∴（1x）2+（x）2x×2，
解得x，
∴AF，
综上所述，AF的长为或．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质.（1）根据AD＝BC，AB＝CD，利用平行四边形的判定定理可证明：四边形ABCD是平行四边形，根据AD＝1，AB＝2，BD，利用勾股定理可证明∠DAB＝90°，再根据有一个角是直角的四边形是矩形可证明结论；
（2）过点E作EJ⊥AB于点J，交CD于点K，根据四边形ABCD是矩形，利用矩形的性质可得：∠DAJ＝∠ADK＝∠AJK＝90°，进而可证明四边形ADKJ是矩形，利用矩形的性质可得，代入数据可求出EK，DK，进而可求出EJ，根据EF⊥EC，利用角的运算可得∠JEF＝∠ECK，利用相似三角形的判定定理可得：△EJF∽△CKE，利用相似三角形的性质可得，代入数据可求出JF，进而可求出AF，利用三角形的面积计算公式可求出函数表达式；
（3）根据题意可知需要分两种情形：当∠EAF＝∠CDB时，当∠AEF＝∠BDC＝∠ABE时，利用角的运算可推出∠DAE＝∠ADE，根据等角对等边可得：AE＝DE；利用相似三角形判定定理可得：△EAF∽△BAE，进而可得AE2＝AF AB；根据上述式子可列出方程，解方程可求出x的值，进而可求出AF.
（1）∵AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝1，AB＝2，BD，
∴AD2+AB2＝BD2，
∴∠DAB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）过点E作EJ⊥AB于点J，交CD于点K．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAJ＝∠ADK＝∠AJK＝90°，
∴四边形ADKJ是矩形，
∴AJ＝DK，AD＝JK，AD∥JK∥BC，
∴，
∴，
∴EKx，DKx，
∴EJ＝JK＝EK＝1x，
∵EF⊥EC，
∴∠EJF＝∠FEC＝∠EKC＝90°，
∴∠JEF+∠CEK＝90°，∠CEK+∠ECK＝90°，
∴∠JEF＝∠ECK，
∴△EJF∽△CKE，
∴，
∴，
∴JFx，
∴AF＝AJ+JFxxx，
∴S AF EJx×（1x）x2x（0＜x）；
（3）当∠EAF＝∠CDB时，∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴EA＝EB，
∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠ADE+∠ABE＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴DE＝EB，
∴x，
∴AF．
当∠AEF＝∠BDC＝∠ABE时，
∵∠EAF＝∠EAB，
∴△EAF∽△BAE，
∴AE2＝AF AB，
∴（1x）2+（x）2x×2，
解得x，
∴AF，
综上所述，AF的长为或．
14．【答案】（1）解：抛物线与轴交于点，，
抛物线的解析式为，
即；
（2）
（3）解：抛物线的解析式为，点的横坐标为．
，
是菱形，
，
，
整理得，解得，
点是抛物线在第四象限上一个动点，
，
的值为；
（4）解：过作轴交直线于点，如图，
设直线的解析式为，把、坐标代入得：
，
解得：，
，
设，则，
，
，
，
当时，四边形的面积有最大值．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）∵抛物线的解析式为，令，则，
∴，
∵有两个顶点在轴上时，
∴点D在x轴上，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点P和点C为抛物线上的对称点，
∵抛物线的对称轴为，，
∴，
故答案为：
【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点结合题意即可得到交点式，化为一般式即可求解；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点得到点C的坐标，再根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到点P和点C为抛物线上的对称点，从而根据二次函数的对称性结合题意即可得到点P的坐标；
（3）先根据题意得到，进而根据菱形的性质得到，从而根据坐标系中两点间的距离公式结合题意即可求出m；
（4）过作轴交直线于点，运用待定系数法求出直线BC的函数解析式，进而设，则，根据坐标系中两点间的距离得到，进而即可表示△PBC的面积，再根据结合二次函数的最值即可求解。
15．【答案】（1）解：由题意得：
（2）点在直线上运动，
设点，且
由平面上两点间距离，利用勾股定理得：
即
又
二次函数的图像经过，
设
代入解析式得：
解方程组得：
抛物线的表达式为；
（3）①
令时，
直线恒过定点
直线的图像是绕点旋转的直线，
当直线时，点到DE的距离最大，面积也最大，
过点作交直线于点
由点到直线的距离，垂线段最短知：
面积的最大值为
②
二次函数的对称轴为
二次函数的图像开口向下，当时，函数值取得最大值
又
当时，函数值取得最小值
函数的最大值与最小值之和为8
整理得：
解得：
实数的值为.
【知识点】勾股定理；二次函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据点A和点B的坐标结合新定义即可求解；
（2）先根据题意设点，且，进而根据坐标系中两点间的距离公式结合勾股定理即可得到，再根据得到，从而即可求出点C的坐标，再根据待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（3）①先根据题意得到直线恒过定点，进而得到当直线时，点到DE的距离最大，面积也最大，过点作交直线于点，根据垂线段最短得到，再根据三角形的面积结合勾股定理即可求解；
②先根据题意得到y，进而根据二次函数的图象与性质结合二次函数的最值得到y的对称轴和二次函数的图像开口向下，当时，函数值取得最大值，当时，函数值取得最小值，再根据“函数的最大值与最小值之和为8”即可求解。
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