二次函数的特殊三角形存在性问题—浙教版数学九（上）知识点训练
一、二次函数的特殊三角形存在性问题
1．（2024·鹰潭模拟）如图，已知抛物线与直线相交于A、B．
（1）＝ ；
（2）抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线，抛物线与直线相交于C，D （点C在点D左边），已知抛物线顶点M的横坐标为m．
①当m＝6时，求抛物线的解析式及的值；
②连接，当为等边三角形时，求点M的坐标．
2．（2024九上·珠海期中）已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接，求出的面积最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，若抛物线与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，当是等腰三角形时，求点E的坐标．
3．（2024九上·石林期末）如图、已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由．
4．（2024九上·黄石港开学考）如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2024·镇海区模拟）已知二次函数，其中.
（1）若该二次函数的图象与轴仅有一个公共点，求实数的值.
（2）在(1)的条件下，若直线的图象与二次函数的图象交于两点，且.请直接写出当的值为多少时，为直角三角形.
6．（2024·大庆）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），点M为抛物线顶点，点E为AB中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q．使得∠QCB＝2∠ABC，求点Q的坐标；
（3）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．
①若点F与点C重合，D（m，﹣12），且m＞1，求证：D，E，F三点共线；
②若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
7．（2024·长沙）已知四个不同的点都在关于的函数是常数，的图象上.
（1）当A，B两点的坐标分别为时，求代数式的值；
（2）当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与轴的公共点的个数，并说明理由；
（3）当时，该函数图象与轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：.请问是否存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由(注：表示一条长度等于EF的倍的线段).
8．（2024·泰安）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点，点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）将拋物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线，求拋物线的表达式，并判断点是否在拋物线上；
（3）在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
9．（2024·眉山） 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024·吉木萨尔模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）
（1）求该二次函数所对应的函数解析式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；
（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】（1）2
（2）解：①对于，
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得：或4，
∴
∴；
故答案为：；4
②解：∵点M在直线上，
∴，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得：或，
∴，，
∴，
如图，过点M作于点E，则，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴点M的坐标为
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（1）对于，
当时，，
解得，
∴点，
∴；
故答案为：2
【分析】（1）根据直线与二次函数的交点结合题意令y=-1即可求解；
（2）①先确定二次函数平移后的顶点坐标，结合m的值即可得到抛物线的解析式是，进而令y=-1即可求出交点坐标，从而得到CD；
②过点M作于H，先确定抛物线的解析式，再求出二次函数与y=-1的交点，过点M作于点E，则，，根据等边三角形的性质得到，根据正切函数得到，从而即可求解。
2．【答案】（1）解：抛物线与轴交于点、，
设抛物线的解析式为：，
把代入中，得
，
，
抛物线的解析式为：，
即；
（2）解：设点的坐标为，过点作轴于点，与交于点，如图1，
设直线的解析式为，则
，
解得，
直线的解析式为：，
，
，
∵，
，
∵，
当时，的最大值为，
此时点的坐标为；
（3）解：抛物线，
∴将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，
的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
把代入中，得，
点的坐标为，
设的坐标为；
①当时，则，
即，
解得，，
．
②当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或；
③当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或．
综上，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）设点的坐标为，过点作轴，与交于点，待定系数法求出直线BC的解析式，据此可表述出点M的坐标，根据三角形的面积公式表示的面积，最后根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据抛物线的平移规律求出的解析式，根据抛物线的对称轴求出点Q的坐标，设的坐标为；分三种情况：当时；当时；当时．分别列出关于的纵坐标方程，解方程求出n的值，即可求解．
（1）解：抛物线与轴交于点、，
设抛物线的解析式为：，
把代入中，得
，
，
抛物线的解析式为：，
即；
（2）解：设点的坐标为，过点作轴于点，与交于点，如图1，
设直线的解析式为，则
，
解得，
直线的解析式为：，
，
，
∵，
，
∵，
当时，的最大值为，
此时点的坐标为；
（3）解：抛物线，
∴将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，
的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
把代入中，得，
点的坐标为，
设的坐标为；
①当时，则，
即，
解得，，
．
②当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或；
③当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或．
综上，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或或．
3．【答案】（1）解：∵一次函数的表达式为：，
∴当时，，解得：，当时，，
∴，，
∵二次函数称轴为直线，
∴，
设二次函数表达式为：，
把代入得：，解得：，
∴二次函数表达式为：，
整理得：．
（2）解：存在，理由如下
①当时，如图：此时；
②当时，如图：有两种情况，
∵，，
∴，
令对称轴与x轴交于点Q，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴；
③当时，过点C作垂直于对称轴，垂足为点M，
∵对称轴为直线，
∴点P横坐标为，，
设点P，
∴，
∴，，
∵，
∴，解得：，
∴．
综上存在“圣和点”，点P坐标为：或或或
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；勾股定理；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入直线解析式可得，，根据二次函数对称性可得，设二次函数表达式为：，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据等腰三角形性质分情况讨论，结合二次函数性质及勾股定理即可求出答案.
（1）解：∵一次函数的表达式为：，
∴当时，，解得：，当时，，
∴，，
∵二次函数称轴为直线，
∴，
设二次函数表达式为：，
把代入得：，解得：，
∴二次函数表达式为：，
整理得：．
（2）存在
①当时，如图：此时；
②当时，如图：有两种情况，
∵，，
∴，
令对称轴与x轴交于点Q，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴；
③当时，过点C作垂直于对称轴，垂足为点M，
∵对称轴为直线，
∴点P横坐标为，，
设点P，
∴，
∴，，
∵，
∴，解得：，
∴．
综上存在“圣和点”，点P坐标为：或或或
4．【答案】解：（1）因为抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），所以，解得：，
即此抛物线的解析式是；
（2）因为一次函数可化为=，
所以此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；
（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，
设点P的坐标为（1，y），分三种情况讨论：
①当PA=PD时=，
解得，y=，即点P的坐标为（1，）；
②当DA=DP时，=，
解得，y=，即点P的坐标为（1，）或（1，）；
③当AD=AP时，=，
解得，y=±4，即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），
当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意．
由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的图象；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），代入点的坐标，列出方程组，求得a，b，c的值，即可得求得抛物线的解析式；
（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；
（3）减少存在点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况讨论，结合勾股定理，分别列出方程，求得y的值，进而得到答案.
5．【答案】（1）解： ∵二次函数的图象与轴仅有一个公共点，
∴△=22-4·m`(-1)=0，
∴m=-1.
（2）解：由（1）知：y=-x2+2x-1=-(x-1)2，
∴A（1，0），
∵ 直线的图象与二次函数的图象交于两点 ，且过定点（0，-1） ，，
∴B（0，-1），
∴yAB=x-1，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠BAC=90°或∠ABC=90°，
当∠ABC=90°时，即直线AB⊥直线 ，则KAB·K=-1，
∴k=-1，
当∠BAC=90°时，即直线AB⊥直线AC，
∴yAC =-x+1，
联立解得或，
∴C（2，-1）
∴yBC =-1，
∴k=0，
综上可知：当k=0或k=-1时，为直角三角形.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由二次函数的图象与轴仅有一个公共点，可得△=b2-4ac=0，据此解答即可；
（2）先求A（1，0），B（0，-1），从而求出yAB=x-1，根据题意分两种情况：当∠BAC=90°或∠ABC=90°，分别求出直线的解析式，即得结论.
6．【答案】（1）解：将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，
﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵∠QCB＝2∠ABC，
∴∠QCB＝90°，
如图所示，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，
∴∠GCQ＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∵CG＝QG，
设Q（q，﹣q2+2q+3），则G（0，﹣q2+2q+3），
∴CG＝﹣q2+2q，GQ＝q，
∴﹣q2+2q＝q，
解得：q＝0（舍去）或q＝1，
∴Q（1，4）；
（3）解：①证明：点F与点C重合，则F（0，3），
∵点E为AB中点，A（﹣1，0），B（3，0），
∴E（1，0），
设直线EF的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入E（1，0），F（0，3），
解得：
联立，
解得：或，
∴D（5，﹣12），在直线EF上，即D，E，F三点共线；
②解：△ABP的面积为16是定值．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）②设D（x1，y1），F（x2，y2），
∵D，E，F三点共线，E（1，0）
∴设DF的解析式y＝k（x﹣1），
联立，
消去y得，﹣x2+（2﹣k）x+（3+k）＝0，
∴x1+x2＝2﹣k，x1x3＝﹣3﹣k，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
设直线AD解析式为y＝k1（x+1），直线BF的解析式为y＝k2（x﹣3），
联立
解得：
而不为定值，
∴P在直线y＝8上运动，
∴P到x轴的距离为定值8，
∵直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM，EM的距离是变化的，
∴△ABP的面积为是定值．
【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值可得点B的坐标，进而可判断出△OBC是等腰直角三角形；过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，易得△GCQ是等腰直角三角形，根据点的坐标与图形性质设Q（q，﹣q2+2q+3），则G（0，﹣q2+2q+3），根据两点间的距离公式表示出CG、GQ，然后根据CG＝QG建立方程，求解得出q的值，从而求出点Q的坐标；
（3）①点F与点C重合，则F（0，3），由中点坐标公式得E（1，0），利用待定系数法可求出直线EF的解析式，联立直线EF与抛物线的解析式，求解可得点D的坐标在直线EF上，即D，E，F三点共线；
②设D（x1，y1），F（x2，y2），设DF的解析式y＝k（x﹣1），联立直线DF与抛物线的解析式，可得﹣x2+（2﹣k）x+（3+k）＝0，由根与系数的关系得x1+x2＝2﹣k，x1x3＝﹣3﹣k，设直线AD解析式为y＝k1（x+1），直线BF的解析式为y＝k2（x﹣3），联立AD与BF的解析式求解可表示出点P的坐标，得出，而不为定值，则P在直线y＝8上运动，P到x轴的距离为定值8，根据直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM，EM的距离是变化的，从而根据三角形面积计算公式得出面积定值的△ABP得面积.
7．【答案】（1）解：将代入得
②-①得8a+4b=8，即.
所以.
（2）解：此函数图象与轴的公共点个数为两个.
由，得.
可得或.
当时，，此拋物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在轴的下方，此时该函数图象与轴有两个公共点；
当时，，此拋物线开口向下，而A，B两点之中至少有一个点在轴的上方，此时该函数图象与轴也有两个公共点.
综上所述，此函数图象与轴必有两个公共点.
（3）解：因为，所以该函数图象开口向上.
由，得，可得.
由，得，可得.
所以直线AB，CD均与轴平行.
由(2)可知该函数图象与轴必有两个公共点，设.由图象可知，即.
所以的两根为，可得
同理的两根为，可得.
同理的两根为，可得.
由于，结合图象与计算可得.
若存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为的直角三角形，所以线段AB不可能是该直角三角形的斜边.
①当以线段CD为斜边，且两锐角分别为时，因为，所以必须同时满足：.
将上述各式代入化简可得，且，联立解之得，解得符合要求.
所以，此时该函数的最小值为.
②当以线段为斜边时，必有，同理代入化简可得，解得.
因为以线段为斜边，且有一个内角为，而，所以，即，化简得符合要求.
所以，此时该函数的最小值为.
综上所述，存在两个的值符合题意；
当时，此时该函数的最小值为；
当时，此时该函数的最小值为
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；求代数式的值-整体代入求值；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据点A和点B的坐标，代入二次函数关系式中，即可得出，然后整体代入，即可得出的值；
（2）令由，求解，再根据a的正负分类讨论即可；
（3）由内角之比可得出这是一个含30°锐角的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的三角函数值建立方程即可.
8．【答案】（1）解：∵ 抛物线的图象经过点
∴ a+-4=-1
解得a=
∴ 抛物线的表达式为
（2）解：点D在拋物线上；
=
将抛物线C1 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线，
∴ 拋物线的表达式为y=
∴ x=1，y==-1
∴ 点D（1，-1）在拋物线上.
（3）解：存在点P，使是等腰直角三角形
①当∠P1BD=90°，P1B=BD，如图所示，过点B作直线l∥y轴，过点P1作P1E⊥l于E，过点D作DF⊥l于F，则∠EP1B+∠EBP1=90°
∴ ∠P1EB=∠BFD=90°，∠EBP1+∠FDB=90°，
∴ ∠EP1B=∠FDB
∴
∴ EP1=FB=1，EB=FD=3
∴ 点P1的横坐标为-1，点P1的纵坐标为3，
∴ 把-1代入拋物线的表达式y=得y=3=EB，则P1在抛物线C2上
∴ 点P1存在，坐标为（-1，3）.
②当∠P2DB=90°，P2D=BD，如图所示，过点D作直线l∥x轴，过点P2作P1F⊥l于F，过点B作BE⊥l于E，
同理可证
∴ FD=EB=1，P2F=DE=3
∴ 点P1的横坐标为2，点P2的纵坐标为P2F-BE=3-1=2
∴ 把2代入拋物线的表达式y=得y=2，则P2在抛物线C2上
∴ 点P2存在，坐标为（2，2）.
③当∠BP3D=90°，P3D=P3B，如图所示，过点P3作直线l∥x轴，过点B作BE⊥l于E，过点D作DF⊥l于F，
同理可证
∴ BE=P3F=1，EP3=FD
设点P3（m，n）
∴ m+2=n+1，1-m=1
解得：m=0，n=1
∴ P3（0，1）
则m=0时，y=≠1
则P3不存在
综上，在轴上方的抛物线上，存在点， 使是等腰直角三角形，点P的坐标为 P1（-1，3）或P2（2，2） .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）把点D坐标代入抛物线可得表达式；
（2）先根据平移规律得出平移后拋物线的表达式为y=，再把点D坐标代入，可做判断；
（3）分∠PBD=90°，∠PDB=90°，∠BPD=90°三种情况讨论，结合等腰直角的性质，构造“一线三垂直”全等，得到点P坐标.
9．【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线的解析式，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到抛物线的解析式.
（2）过作轴交于，由点A、C的坐标，可求出直线AC的函数解析式，利用两函数解析式，设，则，可表示出DK的长，利用三角形的面积公式，根据△ACD的面积为3，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，即可得到点D的坐标.
（3）利用二次函数解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；设，，过作轴于，过作轴于，分情况讨论：OA=OC=3时，当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，可得到点P的坐标；当在第一象限，在第四象限时，利用AAS证明△DOM≌△OPN，可推出PN=OM，ON=DM，由此可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，可得到符合题意的点P的坐标；当在第四象限，在第三象限时，如图：利用AAS证明△DOM≌△OPN，利用 全等三角形的性质可知PN=OM，ON=DM，可得到关于m、n的方程组，解方程组求出n、m的值，可得到符合题意的点P的坐标；当在第四象限，在第一象限，如图：同理可求出符合题意的点P的坐标；综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
10．【答案】（1）解：设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b)（x﹣c），
∵ y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），
∴ 二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．
又∵ 点D（4，3）在二次函数上，
∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，
∴ 解得：a＝1，
∴ 二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．
（2）解：如图1所示．
因点P在二次函数图象上，设P（p，p2﹣4p+3）．
∵y＝x2﹣4x+3与y轴相交于点C，
∴点C的坐标为（0，3）．
又∵点B的坐标为B（3，0），
∴OB＝OC
∴△COB为等腰直角三角形．
又∵PF//y轴，PE//x轴，
∴△PEF为等腰直角三角形．
∴EF＝PF．
设一次函数的lBC的表达式为y＝kx+b，
又∵B（3，0）和C（0，3）在直线BC上，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∴yF＝﹣p+3．
FP＝﹣p+3﹣（p2﹣4p+3）＝﹣p2+3p．
∴EF＝﹣p2+3p．
∴线段EF的最大值为，EFmax＝＝；
（3） 解：①如图2所示：
设点N的坐标为（m，m2﹣4m+3），则点M的坐标为（m，3），
若∠CNB＝90°时，点N在抛物线上，作MN//y轴，l//x轴交y轴于点E，
BF⊥l交l于点F．
∵C、D两点的坐标为（0，3）和（4，3），
∴CD∥x轴．
又∵∠CNE＝∠NBF，∠CEN＝∠NFB＝90°，
∴△CNE∽△NBF．
∴＝，
又∵CE＝﹣m2+4m，NE＝m；NF＝3﹣m，BF＝﹣m2+4m﹣3，
∴＝，
化简得：m2﹣5m+5＝0．
解得：m1＝，m2＝．
∴M点坐标为（，3）或（，3）
②如图3所示：
当∠CBN＝90°时，过B作BG⊥CD，
∵∠NBF＝∠CBG，∠NFB＝∠BGC＝90°，
∴△BFN∽△CGB，
∵△BFN为等腰直角三角形，
∴BF＝FN，
∴0﹣（m2﹣4m+3）＝3﹣m．
∴化简得，m2﹣5m+6＝0．
解得，m＝2或m＝3（舍去）
∴M点坐标为，（2，3）．
综上所述，满足题意的M点坐标为可以为（2，3），（，3），（，3）．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将点A，点B和点C都代入，即可求得；
（2）设P（p，p2﹣4p+3），证明△COB和△PEF为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得EF＝PF，利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求出PF的长度，即可得EF＝﹣p2+3p，再根据二次函数性质求最大值即可；
（3）设点N的坐标为（m，m2﹣4m+3），则点M的坐标为（m，3），分情况：①∠CNB=90°，证明△CNE∽△NBF，根据相似三角形的性质可得m的方程并求解，即可求得m的值，即可求得M的坐标；
②∠CBN=90°，证明△BFN∽△CGB，根据三角形的性质可推出BF=FN，可求得m的方程并求解，即可求得M的坐标.
1 / 1二次函数的特殊三角形存在性问题—浙教版数学九（上）知识点训练
一、二次函数的特殊三角形存在性问题
1．（2024·鹰潭模拟）如图，已知抛物线与直线相交于A、B．
（1）＝ ；
（2）抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线，抛物线与直线相交于C，D （点C在点D左边），已知抛物线顶点M的横坐标为m．
①当m＝6时，求抛物线的解析式及的值；
②连接，当为等边三角形时，求点M的坐标．
【答案】（1）2
（2）解：①对于，
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得：或4，
∴
∴；
故答案为：；4
②解：∵点M在直线上，
∴，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得：或，
∴，，
∴，
如图，过点M作于点E，则，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴点M的坐标为
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（1）对于，
当时，，
解得，
∴点，
∴；
故答案为：2
【分析】（1）根据直线与二次函数的交点结合题意令y=-1即可求解；
（2）①先确定二次函数平移后的顶点坐标，结合m的值即可得到抛物线的解析式是，进而令y=-1即可求出交点坐标，从而得到CD；
②过点M作于H，先确定抛物线的解析式，再求出二次函数与y=-1的交点，过点M作于点E，则，，根据等边三角形的性质得到，根据正切函数得到，从而即可求解。
2．（2024九上·珠海期中）已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接，求出的面积最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，若抛物线与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，当是等腰三角形时，求点E的坐标．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于点、，
设抛物线的解析式为：，
把代入中，得
，
，
抛物线的解析式为：，
即；
（2）解：设点的坐标为，过点作轴于点，与交于点，如图1，
设直线的解析式为，则
，
解得，
直线的解析式为：，
，
，
∵，
，
∵，
当时，的最大值为，
此时点的坐标为；
（3）解：抛物线，
∴将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，
的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
把代入中，得，
点的坐标为，
设的坐标为；
①当时，则，
即，
解得，，
．
②当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或；
③当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或．
综上，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）设点的坐标为，过点作轴，与交于点，待定系数法求出直线BC的解析式，据此可表述出点M的坐标，根据三角形的面积公式表示的面积，最后根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据抛物线的平移规律求出的解析式，根据抛物线的对称轴求出点Q的坐标，设的坐标为；分三种情况：当时；当时；当时．分别列出关于的纵坐标方程，解方程求出n的值，即可求解．
（1）解：抛物线与轴交于点、，
设抛物线的解析式为：，
把代入中，得
，
，
抛物线的解析式为：，
即；
（2）解：设点的坐标为，过点作轴于点，与交于点，如图1，
设直线的解析式为，则
，
解得，
直线的解析式为：，
，
，
∵，
，
∵，
当时，的最大值为，
此时点的坐标为；
（3）解：抛物线，
∴将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，
的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
把代入中，得，
点的坐标为，
设的坐标为；
①当时，则，
即，
解得，，
．
②当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或；
③当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或．
综上，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或或．
3．（2024九上·石林期末）如图、已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵一次函数的表达式为：，
∴当时，，解得：，当时，，
∴，，
∵二次函数称轴为直线，
∴，
设二次函数表达式为：，
把代入得：，解得：，
∴二次函数表达式为：，
整理得：．
（2）解：存在，理由如下
①当时，如图：此时；
②当时，如图：有两种情况，
∵，，
∴，
令对称轴与x轴交于点Q，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴；
③当时，过点C作垂直于对称轴，垂足为点M，
∵对称轴为直线，
∴点P横坐标为，，
设点P，
∴，
∴，，
∵，
∴，解得：，
∴．
综上存在“圣和点”，点P坐标为：或或或
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；勾股定理；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入直线解析式可得，，根据二次函数对称性可得，设二次函数表达式为：，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据等腰三角形性质分情况讨论，结合二次函数性质及勾股定理即可求出答案.
（1）解：∵一次函数的表达式为：，
∴当时，，解得：，当时，，
∴，，
∵二次函数称轴为直线，
∴，
设二次函数表达式为：，
把代入得：，解得：，
∴二次函数表达式为：，
整理得：．
（2）存在
①当时，如图：此时；
②当时，如图：有两种情况，
∵，，
∴，
令对称轴与x轴交于点Q，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴；
③当时，过点C作垂直于对称轴，垂足为点M，
∵对称轴为直线，
∴点P横坐标为，，
设点P，
∴，
∴，，
∵，
∴，解得：，
∴．
综上存在“圣和点”，点P坐标为：或或或
4．（2024九上·黄石港开学考）如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）因为抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），所以，解得：，
即此抛物线的解析式是；
（2）因为一次函数可化为=，
所以此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；
（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，
设点P的坐标为（1，y），分三种情况讨论：
①当PA=PD时=，
解得，y=，即点P的坐标为（1，）；
②当DA=DP时，=，
解得，y=，即点P的坐标为（1，）或（1，）；
③当AD=AP时，=，
解得，y=±4，即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），
当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意．
由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的图象；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），代入点的坐标，列出方程组，求得a，b，c的值，即可得求得抛物线的解析式；
（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；
（3）减少存在点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况讨论，结合勾股定理，分别列出方程，求得y的值，进而得到答案.
5．（2024·镇海区模拟）已知二次函数，其中.
（1）若该二次函数的图象与轴仅有一个公共点，求实数的值.
（2）在(1)的条件下，若直线的图象与二次函数的图象交于两点，且.请直接写出当的值为多少时，为直角三角形.
【答案】（1）解： ∵二次函数的图象与轴仅有一个公共点，
∴△=22-4·m`(-1)=0，
∴m=-1.
（2）解：由（1）知：y=-x2+2x-1=-(x-1)2，
∴A（1，0），
∵ 直线的图象与二次函数的图象交于两点 ，且过定点（0，-1） ，，
∴B（0，-1），
∴yAB=x-1，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠BAC=90°或∠ABC=90°，
当∠ABC=90°时，即直线AB⊥直线 ，则KAB·K=-1，
∴k=-1，
当∠BAC=90°时，即直线AB⊥直线AC，
∴yAC =-x+1，
联立解得或，
∴C（2，-1）
∴yBC =-1，
∴k=0，
综上可知：当k=0或k=-1时，为直角三角形.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由二次函数的图象与轴仅有一个公共点，可得△=b2-4ac=0，据此解答即可；
（2）先求A（1，0），B（0，-1），从而求出yAB=x-1，根据题意分两种情况：当∠BAC=90°或∠ABC=90°，分别求出直线的解析式，即得结论.
6．（2024·大庆）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），点M为抛物线顶点，点E为AB中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q．使得∠QCB＝2∠ABC，求点Q的坐标；
（3）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．
①若点F与点C重合，D（m，﹣12），且m＞1，求证：D，E，F三点共线；
②若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【答案】（1）解：将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，
﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵∠QCB＝2∠ABC，
∴∠QCB＝90°，
如图所示，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，
∴∠GCQ＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∵CG＝QG，
设Q（q，﹣q2+2q+3），则G（0，﹣q2+2q+3），
∴CG＝﹣q2+2q，GQ＝q，
∴﹣q2+2q＝q，
解得：q＝0（舍去）或q＝1，
∴Q（1，4）；
（3）解：①证明：点F与点C重合，则F（0，3），
∵点E为AB中点，A（﹣1，0），B（3，0），
∴E（1，0），
设直线EF的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入E（1，0），F（0，3），
解得：
联立，
解得：或，
∴D（5，﹣12），在直线EF上，即D，E，F三点共线；
②解：△ABP的面积为16是定值．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）②设D（x1，y1），F（x2，y2），
∵D，E，F三点共线，E（1，0）
∴设DF的解析式y＝k（x﹣1），
联立，
消去y得，﹣x2+（2﹣k）x+（3+k）＝0，
∴x1+x2＝2﹣k，x1x3＝﹣3﹣k，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
设直线AD解析式为y＝k1（x+1），直线BF的解析式为y＝k2（x﹣3），
联立
解得：
而不为定值，
∴P在直线y＝8上运动，
∴P到x轴的距离为定值8，
∵直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM，EM的距离是变化的，
∴△ABP的面积为是定值．
【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值可得点B的坐标，进而可判断出△OBC是等腰直角三角形；过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，易得△GCQ是等腰直角三角形，根据点的坐标与图形性质设Q（q，﹣q2+2q+3），则G（0，﹣q2+2q+3），根据两点间的距离公式表示出CG、GQ，然后根据CG＝QG建立方程，求解得出q的值，从而求出点Q的坐标；
（3）①点F与点C重合，则F（0，3），由中点坐标公式得E（1，0），利用待定系数法可求出直线EF的解析式，联立直线EF与抛物线的解析式，求解可得点D的坐标在直线EF上，即D，E，F三点共线；
②设D（x1，y1），F（x2，y2），设DF的解析式y＝k（x﹣1），联立直线DF与抛物线的解析式，可得﹣x2+（2﹣k）x+（3+k）＝0，由根与系数的关系得x1+x2＝2﹣k，x1x3＝﹣3﹣k，设直线AD解析式为y＝k1（x+1），直线BF的解析式为y＝k2（x﹣3），联立AD与BF的解析式求解可表示出点P的坐标，得出，而不为定值，则P在直线y＝8上运动，P到x轴的距离为定值8，根据直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM，EM的距离是变化的，从而根据三角形面积计算公式得出面积定值的△ABP得面积.
7．（2024·长沙）已知四个不同的点都在关于的函数是常数，的图象上.
（1）当A，B两点的坐标分别为时，求代数式的值；
（2）当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与轴的公共点的个数，并说明理由；
（3）当时，该函数图象与轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：.请问是否存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由(注：表示一条长度等于EF的倍的线段).
【答案】（1）解：将代入得
②-①得8a+4b=8，即.
所以.
（2）解：此函数图象与轴的公共点个数为两个.
由，得.
可得或.
当时，，此拋物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在轴的下方，此时该函数图象与轴有两个公共点；
当时，，此拋物线开口向下，而A，B两点之中至少有一个点在轴的上方，此时该函数图象与轴也有两个公共点.
综上所述，此函数图象与轴必有两个公共点.
（3）解：因为，所以该函数图象开口向上.
由，得，可得.
由，得，可得.
所以直线AB，CD均与轴平行.
由(2)可知该函数图象与轴必有两个公共点，设.由图象可知，即.
所以的两根为，可得
同理的两根为，可得.
同理的两根为，可得.
由于，结合图象与计算可得.
若存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为的直角三角形，所以线段AB不可能是该直角三角形的斜边.
①当以线段CD为斜边，且两锐角分别为时，因为，所以必须同时满足：.
将上述各式代入化简可得，且，联立解之得，解得符合要求.
所以，此时该函数的最小值为.
②当以线段为斜边时，必有，同理代入化简可得，解得.
因为以线段为斜边，且有一个内角为，而，所以，即，化简得符合要求.
所以，此时该函数的最小值为.
综上所述，存在两个的值符合题意；
当时，此时该函数的最小值为；
当时，此时该函数的最小值为
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；求代数式的值-整体代入求值；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据点A和点B的坐标，代入二次函数关系式中，即可得出，然后整体代入，即可得出的值；
（2）令由，求解，再根据a的正负分类讨论即可；
（3）由内角之比可得出这是一个含30°锐角的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的三角函数值建立方程即可.
8．（2024·泰安）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点，点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）将拋物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线，求拋物线的表达式，并判断点是否在拋物线上；
（3）在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵ 抛物线的图象经过点
∴ a+-4=-1
解得a=
∴ 抛物线的表达式为
（2）解：点D在拋物线上；
=
将抛物线C1 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线，
∴ 拋物线的表达式为y=
∴ x=1，y==-1
∴ 点D（1，-1）在拋物线上.
（3）解：存在点P，使是等腰直角三角形
①当∠P1BD=90°，P1B=BD，如图所示，过点B作直线l∥y轴，过点P1作P1E⊥l于E，过点D作DF⊥l于F，则∠EP1B+∠EBP1=90°
∴ ∠P1EB=∠BFD=90°，∠EBP1+∠FDB=90°，
∴ ∠EP1B=∠FDB
∴
∴ EP1=FB=1，EB=FD=3
∴ 点P1的横坐标为-1，点P1的纵坐标为3，
∴ 把-1代入拋物线的表达式y=得y=3=EB，则P1在抛物线C2上
∴ 点P1存在，坐标为（-1，3）.
②当∠P2DB=90°，P2D=BD，如图所示，过点D作直线l∥x轴，过点P2作P1F⊥l于F，过点B作BE⊥l于E，
同理可证
∴ FD=EB=1，P2F=DE=3
∴ 点P1的横坐标为2，点P2的纵坐标为P2F-BE=3-1=2
∴ 把2代入拋物线的表达式y=得y=2，则P2在抛物线C2上
∴ 点P2存在，坐标为（2，2）.
③当∠BP3D=90°，P3D=P3B，如图所示，过点P3作直线l∥x轴，过点B作BE⊥l于E，过点D作DF⊥l于F，
同理可证
∴ BE=P3F=1，EP3=FD
设点P3（m，n）
∴ m+2=n+1，1-m=1
解得：m=0，n=1
∴ P3（0，1）
则m=0时，y=≠1
则P3不存在
综上，在轴上方的抛物线上，存在点， 使是等腰直角三角形，点P的坐标为 P1（-1，3）或P2（2，2） .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）把点D坐标代入抛物线可得表达式；
（2）先根据平移规律得出平移后拋物线的表达式为y=，再把点D坐标代入，可做判断；
（3）分∠PBD=90°，∠PDB=90°，∠BPD=90°三种情况讨论，结合等腰直角的性质，构造“一线三垂直”全等，得到点P坐标.
9．（2024·眉山） 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线的解析式，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到抛物线的解析式.
（2）过作轴交于，由点A、C的坐标，可求出直线AC的函数解析式，利用两函数解析式，设，则，可表示出DK的长，利用三角形的面积公式，根据△ACD的面积为3，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，即可得到点D的坐标.
（3）利用二次函数解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；设，，过作轴于，过作轴于，分情况讨论：OA=OC=3时，当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，可得到点P的坐标；当在第一象限，在第四象限时，利用AAS证明△DOM≌△OPN，可推出PN=OM，ON=DM，由此可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，可得到符合题意的点P的坐标；当在第四象限，在第三象限时，如图：利用AAS证明△DOM≌△OPN，利用 全等三角形的性质可知PN=OM，ON=DM，可得到关于m、n的方程组，解方程组求出n、m的值，可得到符合题意的点P的坐标；当在第四象限，在第一象限，如图：同理可求出符合题意的点P的坐标；综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
10．（2024·吉木萨尔模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）
（1）求该二次函数所对应的函数解析式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；
（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
【答案】（1）解：设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b)（x﹣c），
∵ y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），
∴ 二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．
又∵ 点D（4，3）在二次函数上，
∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，
∴ 解得：a＝1，
∴ 二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．
（2）解：如图1所示．
因点P在二次函数图象上，设P（p，p2﹣4p+3）．
∵y＝x2﹣4x+3与y轴相交于点C，
∴点C的坐标为（0，3）．
又∵点B的坐标为B（3，0），
∴OB＝OC
∴△COB为等腰直角三角形．
又∵PF//y轴，PE//x轴，
∴△PEF为等腰直角三角形．
∴EF＝PF．
设一次函数的lBC的表达式为y＝kx+b，
又∵B（3，0）和C（0，3）在直线BC上，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∴yF＝﹣p+3．
FP＝﹣p+3﹣（p2﹣4p+3）＝﹣p2+3p．
∴EF＝﹣p2+3p．
∴线段EF的最大值为，EFmax＝＝；
（3） 解：①如图2所示：
设点N的坐标为（m，m2﹣4m+3），则点M的坐标为（m，3），
若∠CNB＝90°时，点N在抛物线上，作MN//y轴，l//x轴交y轴于点E，
BF⊥l交l于点F．
∵C、D两点的坐标为（0，3）和（4，3），
∴CD∥x轴．
又∵∠CNE＝∠NBF，∠CEN＝∠NFB＝90°，
∴△CNE∽△NBF．
∴＝，
又∵CE＝﹣m2+4m，NE＝m；NF＝3﹣m，BF＝﹣m2+4m﹣3，
∴＝，
化简得：m2﹣5m+5＝0．
解得：m1＝，m2＝．
∴M点坐标为（，3）或（，3）
②如图3所示：
当∠CBN＝90°时，过B作BG⊥CD，
∵∠NBF＝∠CBG，∠NFB＝∠BGC＝90°，
∴△BFN∽△CGB，
∵△BFN为等腰直角三角形，
∴BF＝FN，
∴0﹣（m2﹣4m+3）＝3﹣m．
∴化简得，m2﹣5m+6＝0．
解得，m＝2或m＝3（舍去）
∴M点坐标为，（2，3）．
综上所述，满足题意的M点坐标为可以为（2，3），（，3），（，3）．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将点A，点B和点C都代入，即可求得；
（2）设P（p，p2﹣4p+3），证明△COB和△PEF为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得EF＝PF，利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求出PF的长度，即可得EF＝﹣p2+3p，再根据二次函数性质求最大值即可；
（3）设点N的坐标为（m，m2﹣4m+3），则点M的坐标为（m，3），分情况：①∠CNB=90°，证明△CNE∽△NBF，根据相似三角形的性质可得m的方程并求解，即可求得m的值，即可求得M的坐标；
②∠CBN=90°，证明△BFN∽△CGB，根据三角形的性质可推出BF=FN，可求得m的方程并求解，即可求得M的坐标.
1 / 1
