二次函数之特殊四边形存在性问题—浙教版数学九（上）知识点训
一、二次函数之特殊四边形存在性问题
1．（2024九下·南湖模拟）在直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过点．
（1）求的值．
（2）点在线段上，过点，分别作轴的垂线交抛物线点． 试探究：
①当为何值时，四边形是平行四边形．
②与的面积之和是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由．
2．（2024九上·金华开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A(-2，0)，B两点，其对称轴直线x=2与x轴交于点D.
（1）求该抛物线的函数表达式为 ；
（2）如图1，点P为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD，PB，PC，求四边形BDCP面积最大值和点P此时的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y'，当抛物线y'经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线y对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以AE为边的菱形，请直接写出满足条件的点M的坐标 .
3．（2024九上·东阳开学考）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式及点坐标；
（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标．
4．（2023九上·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点点不与点，重合，连结，，以，为边作 ，点的横坐标为．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）当 有两个顶点在轴上时，则点的坐标为 ；
（3）当 是菱形时，求的值．
（4）当为何值时， 的面积有最大值？
5．（2024九上·长沙月考）如图，抛物线y=ax2 4ax+3a（a≠0）交x轴于点A、B两点，与y轴交于点C(0， 3)，其顶点为点D.
（1）求a的值和顶点D的坐标；
（2）在x轴上有一动点M(m，0)，若点C、D以M为中心对称的对称点分别是C'、D'，请判断以C、D、C'、D'为顶点的四边形可能是正方形吗？若存在，求出对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若N是直线x=1上的一动点，把ON绕点N旋转90°，原点O的对应点为O'，若点O'恰好落在抛物线上，请求出所有符合条件的点N的坐标.
6．（2024九上·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为轴上一点，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点为抛物线对称轴上一点，点为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2024九上·岳麓开学考）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
8．（2024九上·龙湾月考）如图，矩形的边在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线上，，点D从点O开始沿边向点A以每秒2个单位的速度移动，与此同时，点E从点A开始沿边向点O以每秒1个单位的速度移动，轴，交于点F，连接，当点D到达点A时，两点同时停止移动，设移动时间为t秒．
（1）直接写出： ______， _______（含t的代数式表示）．
（2）当点D在点E的左侧时，若的面积等于2，求t的值．
（3）在整个过程中，
①若在矩形的边上能找到点P，Q，使得以E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，求出所有满足条件的t的值．
②以为邻边作矩形，连接，取线段的中点Q，连接，求的最小值（直接写出答案）．
9．（2024九上·长沙开学考）已知抛物线（，为常数，）交轴于，两点，交轴于点.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点为第四象限内该抛物线上一点，连接，过点作交轴于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点时，得到抛物线.设是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
10．（2024九上·长沙开学考）定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做和谐四边形，这条对角线叫做和谐对角线，
[概念理解]
（1）下列图形中，属于和谐四边形的是____________．
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的四边形
[性质探讨]；
（2）和谐四边形的性质：在和谐四边形中，和谐对角线平分另一条对角线．利用所学知识证明和谐四边形的性质，即：
如图1，已知：四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点与的面积相等．求证：．
[探究应用]；
（3）①如图2，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点．求证：；
②如图3，已知直线与抛物线交于两点，点在轴负半轴上，满足，点在第一象限且位于抛物线上，若四边形是和谐四边形，求点的横坐标．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：把代入抛物线，
可得，
解得，
∴a、b的值为-1与4；
（2）解：①由（1）可得抛物线的解析式为 ；
如图，设直线的解析式为，
把代入可解得，
直线的解析式为，
，
把代入，可得，
把代入，可得，
，，
若四边形是平行四边形，则，可得，
解得，
当时，四边形是平行四边形；
②，，
，
与的面积之和为定值2．
【知识点】二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线上点的坐标特点把A、B两点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx（a≠0），可得关于字母a、b的二元一次方程组，求解即可得出a、b的值；
（2）①利用待定系数法求得直线OA的解析式为y=x，根据直线上点的坐标特点可得C（m，m），D（m+1，m+1），根据点的坐标与图形性质及抛物线上点的坐标特点求出点E（m，-m2+4m）、F（m+1，-m2+2m+3），根据两点间的距离公式分别表示出EC与FD，再根据平行四边形的对边相等建立方程可求出m的值；
②根据三角形的面积计算公式把两个三角形的面积表示出来相加即可．
2．【答案】（1）
（2）解：如图：过点P作PH∥y轴交BC于点H
∵点A（-2，0），对称轴为直线x=2
∴点B（6，0），D（2，0）
∴BD=4
令x=0，则y=-4
设直线BC的解析式为y=kx-4
把点B（6，0）代入得：6k-4=0，解得
∴
设点P（m，），H（m，）
∴PH=-（）=
∴=
∴
∴四边形BDCP面积=＋=-（m-3）2＋17
∵ 点P为抛物线上第四象限内的一动点
∴0∴当m=3时，四边形BDCP面积的最大值为17
当m=3时，
∴点P的坐标为（3，-5）.
（3），M（6，0）
【知识点】二次函数的最值；菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：由题意知：
∴b=-4a
把点 A(-2，0) 代入中得：4a-2b-4=0
∴4a＋8a-4=0，解得a=，b=
∴
故答案为.
（3）由题意知：
抛物线y' 是由 抛物线y 向左平移6个单位得到：y'=
∴当x=2时，y'=
∴E（2，）
由（2）知 ：D（2，0），A（-2，0）
∴AD=4
设F（2，n）
如图：当AE=AF时
∴DE=DF=
∵四边形AEMF为菱形
∴DM=AD=4
∴OM=6
∴M（6，0）
如图：当AE=EF时
同上知：AD=4，DE=
∴
∴
∴
∵A（-2，0）
∴
综上所述：，M（6，0）
故答案为：，M（6，0）.
【分析】（1）根据 对称轴直线x=2 得到，再根据抛物线过点A（-2，0）得出：4a-2b-4=0，解出a，b即可.
（2）先求出点B，C的坐标，再求出直线BC的解析式，设点点P（m，），H（m，），得出PH=，再根据三角形面积公式分别得出：，8，从而求出四边形BDCP面积，化为顶点式为：四边形BDCP面积=-（m-3）2＋17，求出当m=3时，四边形BDCP面积的最大值为17，以及点p的坐标.
（3）先根据抛物线y' 是由 抛物线y 向左平移6个单位得到：y'=，求出点E（2，）AD=4，设F（2，n）然后分类讨论：
当AE=EF时，根据四边形AEMF为菱形，得到DM=AD=4从而得出OM=6，因此M（6，0）
当AE=EF时同上知：AD=4，DE=
再根据勾股定理求出AE的长，即：，再根据菱形的性质，得到：，又因为A（-2，0），因此可得.
3．【答案】（1）解：把B（1，0）和C（0，-3）代入y=ax2+bx+c得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3；
∵点A在x轴上，
∴解方程x2+2x-3=0得：
x1=1，x2=3，
∴A（-3，0）.
（2）解：连接AD、CD，
设直线AC的表达式为y=kx+n，
由题意，把A（-3，0）和C（0，-3）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，
过点D作x轴的垂线，交AC于点G，
由图得：S ACD=S ADG+S CDG=DG·OA+DG×3=DG，
∴当DG取最大值时， ACD的面积最大，
设D（m，m2+2m-3），则G（m，-m-3），
∵点D在第三象限，
∴-3＜m＜0，DG=-m-3-(m2+2m-3)=-m2-3m，
∴S ACD=（-m2-3m）=-（m+）2+，
∴当m=-时， ACD的面积最大，且最大值为，
此时点D的坐标为（-，）.
答： ACD的面积的最大值为；D（，）.
（3）解：在二次函数图象上存在点N， 使以为顶点的四边形是平行四边形 ，
理由如下：∵B（1，0），
∴OB=1，
由y=x2+2x-3得，抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
∴当OB为平行四边形的边时，MN=OB=1，
设点N的横坐标为t，
∵MN∥x轴，
∴，
解得：t=0或t=2，
∵点N在抛物线上，
∴点N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）；
∴当OB为平行四边形的对角线时，
，
解得：t=2，
∴点N的坐标为（2，5）.
综上可得：在二次函数图象上存在点N， 使以为顶点的四边形是平行四边形 ，且N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）或（2，5）.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法计算即可求解；
（2）连接AD、CD，用待定系数法求出直线AC的表达式；过点D作x轴的垂线，交AC于点G，由图得：S ACD=S ADG+S CDG=DG·OA+DG×3=DG，于是当DG取最大值时， ACD的面积最大，设D（m，m2+2m-3），则G（m，-m-3），可得S ACD与m之间的函数关系式，并配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解；
（3）由题意可分两种情况讨论：①当OB为平行四边形的边时，②当OB为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质可得关于t的方程，解方程即可求解.
4．【答案】（1）解：抛物线与轴交于点，，
抛物线的解析式为，
即；
（2）
（3）解：抛物线的解析式为，点的横坐标为．
，
是菱形，
，
，
整理得，解得，
点是抛物线在第四象限上一个动点，
，
的值为；
（4）解：过作轴交直线于点，如图，
设直线的解析式为，把、坐标代入得：
，
解得：，
，
设，则，
，
，
，
当时，四边形的面积有最大值．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）∵抛物线的解析式为，令，则，
∴，
∵有两个顶点在轴上时，
∴点D在x轴上，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点P和点C为抛物线上的对称点，
∵抛物线的对称轴为，，
∴，
故答案为：
【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点结合题意即可得到交点式，化为一般式即可求解；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点得到点C的坐标，再根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到点P和点C为抛物线上的对称点，从而根据二次函数的对称性结合题意即可得到点P的坐标；
（3）先根据题意得到，进而根据菱形的性质得到，从而根据坐标系中两点间的距离公式结合题意即可求出m；
（4）过作轴交直线于点，运用待定系数法求出直线BC的函数解析式，进而设，则，根据坐标系中两点间的距离得到，进而即可表示△PBC的面积，再根据结合二次函数的最值即可求解。
5．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2 4ax+3a与y轴交于点C(0， 3)
∴﹣3=3a，解得：a=-1
∴
∴顶点D坐标为：（2，1）
（2）解：存在，理由如下：
∵点M（m，0）在x轴上
∴点C'只能在x轴上方，点D'只能在x轴下方
则四边形只能为CDC'D'，即对角线CC'和DD'相等，且关于点M对称
∴CM=C'M，DM=D'M
∵四边形CDC'D'为正方形
∴CM=C'M=DM=D'M
∴CM2=DM2
即，解得：m=﹣1
故存在点M使得以C、D、C'、D'为顶点的四边形可能是正方形，点M（﹣1，0）
（3）解：令y=0，则
解得：x=1或x=3，则点A（1，0），B（3，0）
①当把ON绕点N逆时针旋转90°，原点O的对应点为O'
∴ON=ON'，∠ONO'=90°
连接OO'，过点O'作O'E⊥AN
则△ONO'为等腰直角三角形，∠NEO'=90°
∵
∴
在△NO'E和△ONA中
∴△NO'E≌△ONA（AAS）
∴NE=OA，O'E=NA
设N（1，n），则O'（n+1，n-1）
∵点O'恰好落在抛物线上
∴，解得：
∴
②当把ON绕点N逆顺时针旋转90°，原点O的对应点为O'
∴ON=ON'，∠ONO'=90°，过点O'作O'F⊥AN
同理可得△NO'F≌△ONA（AAS）
∴NF=OA，O'F=NA
设N（1，n），则O'（1-n，n+1）
∵点O'恰好落在抛物线上
∴，解得：
∴
综上所述，符合条件的点N的坐标为：，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；旋转的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）将点C坐标代入抛物线解析式可得a值，再将解析式转化为顶点式，即可求出答案.
（2）根据点M（m，0）在x轴上，则点C'只能在x轴上方，点D'只能在x轴下方，则四边形只能为CDC'D'，即对角线CC'和DD'相等，且关于点M对称，根据对称性质可得CM=C'M，DM=D'M，根据正方形性质可得CM=C'M=DM=D'M，即CM2=DM2，列出方程，解方程即可求出答案.
（3）根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入抛物线解析式则点A（1，0），B（3，0），分情况讨论：①当把ON绕点N逆时针旋转90°，原点O的对应点为O'，则ON=ON'，∠ONO'=90°，连接OO'，过点O'作O'E⊥AN，根据等腰直角三角形性质及角之间的转换可得，再根据全等三角形判定定理可得△NO'E≌△ONA（AAS），则NE=OA，O'E=NA，设N（1，n），则O'（n+1，n-1），将点O'代入抛物线解析式列出方程，解方程即可求出答案；②当把ON绕点N逆顺时针旋转90°，原点O的对应点为O'，则ON=ON'，∠ONO'=90°，过点O'作O'F⊥AN，同理可得△NO'F≌△ONA（AAS），则NF=OA，O'F=NA，设N（1，n），则O'（1-n，n+1），将点O'代入抛物线解析式列出方程，解方程即可求出答案.
6．【答案】（1）解：由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，
则OB＝AB AO＝5-4＝1，故点B的坐标为（1，0），
则，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x-3.
（2）解：EP＋PB存在最小值，如图所示：
∵点E关于y轴对称点为E'，且点E的坐标为（2，5），
∴点E'坐标为（-2，5）．
连接BE'，交y轴于点P，连接EP，则此时EP＋PB＝E'P＋PB＝E'B最小，
由点B的坐标为（1，0），点E'坐标为（-2，5）
设直线BE'的函数表达式为y＝kx＋d，
则，
解得：，
∴直线BE'的表达式为，
令x＝0，得y＝，
∴点P坐标为(0，)．
在Rt△BCE'中，BC＝5，CE'＝1-（-2）＝3，
∴，
则EP＋PB的最小值＝BE'＝．
（3）解：∵y＝x2＋2x-3＝（x＋1）2-4，
∴抛物线对称轴为直线x＝-1，设点F的坐标为（-1，m），
在Rt△BCE中，BC＝5，CE＝1，∠BCE＝90°，
∴BE2＝BC2＋CE2＝52＋12＝26，
∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，
∴BE＝BF或BE＝EF，
当BE＝BF时，如图2，设直线x＝-1与x轴交于点H，则H（-1，0），
∴BH＝1-（-1）＝2，HF＝|m|，
∴BF2＝BH2＋HF2＝22＋|m|2＝4＋m2，
∴4＋m2＝26，
解得：，；
当EB＝EF时，如图3，设直线x＝-1与CD交于点K，则K（-1，5），
∴EK＝2-（-1）＝3，KF＝|m-5|，
在Rt△EKF中，EF2＝EK2＋KF2＝32＋|m 5|2＝m2 10m＋34，
∴m2 10m＋34＝26，
解得：，；
故点F的坐标为（-1，）或（-1，）或（-1，）或（-1，）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；菱形的性质；二次函数-动态几何问题；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）作点E关于y轴对称点为E'，连接BE'交y轴于点P，则EP＋PB＝E'P＋PB＝E'B＝为最小值，利用待定系数法求得直线BE'的表达式为，令x＝0，即可得出点P的坐标；
（3）以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，则BE＝BF或BE＝EF，分两种情况分别建立方程求解即可得出答案．
7．【答案】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，
将A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点代入，得，
解得：，∴此函数解析式为：y＝x2+x﹣2．
（2）如图，过点M作y轴的平行线交AB于点D，
∵M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，
∴设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，
设直线AB的解析式为y＝kx﹣2，
把A（﹣2，0）代入得，-2k-2=0，解得：k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
∵MD∥y轴，∴点D的坐标为（m，﹣m﹣2），
∴MD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，
∴S△MAB＝S△MDA+S△MDB＝MD OA＝×2（m2﹣2m）
＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，
∵﹣2＜m＜0，∴当m＝﹣1时，S△MAB有最大值1，
综上所述，S关于m的函数关系式是S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1．
（3）点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+）或（2，﹣2）．
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）设P（x，x2+x﹣2），
①如图，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
∵直线的解析式为y＝﹣x，则Q（x，﹣x），
由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣2）|＝2，即|﹣x2﹣2x+2|＝2，
当﹣x2﹣2x+2＝2时，x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣2，∴Q（﹣2，2），
当﹣x2﹣2x+2＝﹣2时，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
∴Q（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+），
②如图，当BO为对角线时，OQ∥BP，
∵直线AB的解析式为y=-x-2，直线OQ的解析式为y=-x，
∴A与P重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，∴BQ＝OP＝2，点Q的横坐标为2，
把x=2代入y＝﹣x得y=-2，∴Q（2，﹣2），
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+）或（2，﹣2）．
【分析】（1）设此抛物线的函数解析式，将A，B，C三点代入y＝ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可得答案；
（2）根据题意，设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），由A、B坐标可求出直线AB的解析式，得到点D的坐标为（m，﹣m﹣2），得出MD的长度，进而求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值；
（3）设P（x，x2+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标.
8．【答案】（1）4，t
（2）解：∵，，
∴，
∴或
（3）解：①如图，当时，，
取的中点Q，以为邻边作正方形，此时点P在边上，且，符合题意；
如图，当时，点D与点A重合，点F与点B重合，作正方形，满足条件；
当时，点D、E重合，此时，，作正方形，满足条件；
综上所述：或或，满足条件；
②
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边在坐标轴上，，
∴，点B的横坐标为8，
将x=8代入 得y=4，
∴，
∴，
∵，
∴=90°，
∴，即，
∴，
故答案为：4，t；
（3）②如图，由题意得，，
∴，
∵，
∴时，的最小值为.
【分析】（1）根据矩形性质、点的坐标与图形性质及直线上点的坐标特点求出A、B的坐标，从而可得AB的长，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得DF∥AB，进而利用平行线分线段成比例定理求出DF的长即可；
（2）根据DE=OA-OD-AE表示出DE，利用三角形的面积公式列出方程，即可求解；
（3）①分当时，当时，当时，三种情况分别求解即可；②由题意得，，根据两点间距离公式列出表达式，利用二次函数的性质即可求解
（1）解：∵矩形的边在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线上，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴或
（3）①如图，当时，，
取的中点Q，以为邻边作正方形，此时点P在边上，且，符合题意；
如图，当时，点D与点A重合，点F与点B重合，作正方形，满足条件；
当时，点D、E重合，此时，，作正方形，满足条件；
综上所述：或或，满足条件；
②如图，由题意得，，
∴，
∵，
∴时，的最小值为
9．【答案】（1）解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2＋bx-4，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝x2-3x-4．
（2）解：如图，连接BC，则△BCP的面积＝△BQP面积，过点P作PT∥y轴交BC于点T，
令x＝0，则y＝-4，
∴C（0，-4）；
∴OB＝OC＝4，直线BC的解析式为：y＝x-4，
设点P的横坐标为m，则P（m，m2-3m-4），T（m，m-4），
∴TP＝m-4-（m2-3m-4）＝-m2＋4m，
∴S△BCP＝ TP （xB xC）＝ （-m2＋4m） 4＝-2（m-2）2＋8，
∵-2＜0，
∴当m＝2时，S△BCP的最大值为8；此时P（2，-6）．
综上，△PBQ面积的最大值为8，此时P（2，-6）．
（3）解：∵将抛物线y＝x2-3x-4＝（x ）2 向右平移经过点（，0），
∴点A（-1，0）向右平移个单位，
∴平移后的抛物线为：y＝（x 3）2 ．
∵点E在平移后抛物线的对称轴上，
∴设点E（3，t），该对称轴与x轴交于点G，
①当点P为直角顶点时，过点P作x轴的平行线，交GH于点H，过点A作y轴的平行线交PH于点H，
∴∠APE＝∠PHE＝∠M＝90°，AM＝6，MP＝4，PH＝1，
∴∠APM＋∠EPH＝∠EPH＋∠HEP＝90°，
∴∠APM＝∠HEP，
∴△APM∽△PEH，
∴AM：PM＝PH：EH，解得EH＝，
∴E（3，）；
由矩形的性质可知，xP xA＝xE xF，yP yA＝yE yF，
∴2-（-1）＝3 xF，-6-0＝-yF，
∴xF＝0，yF＝，
∴F（0，）；
②当点A为直角顶点时，过点E作x轴的平行线交AM于点K，
同理可得△AEK∽△PAM，
∴AK：EK＝PM：AM，解得AK＝2，
∴E（3，2），
由矩形的性质可知，xP xA＝xF xE，yP yA＝yF yE，
∴2-（-1）＝xF-3，-6-0＝yF-2，
∴xF＝6，yF＝-4，
∴F（6，-4）；
③当点E为直角顶点，如图，
同理可得△AGE∽△EHP，
∴AG：GE＝EH：PH，
∴4：（-t）＝（6＋t）：1，
解得t＝-3＋或t＝-3-，
当t＝-3＋时，
由矩形的性质可知，xP xA＝xF xE，yP yA＝yF yE，
∴xF＝-2，yF＝-3-，
∴F（-2，-3-）；
同理可得，当t＝-3-时，F（-2，-3＋）；
综上得符合题意的点F的坐标为：F（0，）或（6，-4）或（-2，-3-）或（-2，-3＋）．
【知识点】二次函数-动态几何问题；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）将A（-1，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2＋bx-4，解方程组即可；
（2）如图，连接BC，则△BCP的面积＝△BQP面积，过点P作PT∥y轴交BC于点T，设点P的横坐标为m，则可得点P和点T的坐标，进而表达△BQP的面积，利用二次函数的性质可求出最值；
（3）先求出平移后的二次函数的抛物线，设点E的坐标，若以A，P，E，F为顶点的四边形为矩形，则△APE一定是直角三角形，根据题意进行分类讨论：当点P是直角顶点；当点A是直角顶点；当点E是直角顶点，分别求出点E的坐标，再利用矩形的性质可求出点F的坐标．
10．【答案】（2）证明：过点作于点，过点作于点，
∴
∵
∴
又∵
∴(AAS)
∴.
（3）①证明：如图2中，在上取一点T，使得，连接．
∵四边形ABCD是和谐四边形
∴：
又∵
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∴
∵
∴AT=BC
∴
∴
∵
∴．
②解：由题意知：
联立两个函数解析式得：
，解得：或
∴点A在第一象限，点B在第三象限
∴
如图：过点作轴，过点作，过点作
∴，，
∵
∵，
∴∠CAE=∠BCF
∴
∴，
∴，CE=BF=2
∴
∴
∵四边形是和谐四边形
当时
∴当时，
∴
∴
∴将直线向上平移5个单位得到
同理：联立两个函数解析式得：，解得：或，
∵点在第一象限，
∴
∴点的横坐标为
当时
由（2）可知，的中点在直线上
∵，
∴的中点坐标为
设直线的解析式为：
把代入，得-2k-3=1，解得：
∴
此时直线与抛物线的交点在二，四象限，不符合题意
综上：点的横坐标为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（1）只有平行四边形的对角线把平分四边形的面积分成两个面积相等的三角形，
故答案为：A.
【分析】（1）根据平行四边形的性质与和谐四边形的定义即可得出结论.
（2）过点作于点，过点作于点，得到：，再
根据，得到因此，又因为
可证明，即可得证.
（3）①在上取一点T，使得，连接，先根据：，证明四边形是平行四边形，因此，因此可得又因为，可得，再根据等边对等角可得：，再利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可得：可得结论．②先联立直线和抛物线的解析式得：，解出x，y，得出两点坐标，过点作轴，过点作，过点作，再根据一线三垂直模型证明（AAS）得出：，CE=BF=2，从而求出得出点坐标，再根据和谐四边形的性质进行分类讨论：和，两种情况讨论求解即可．
1 / 1二次函数之特殊四边形存在性问题—浙教版数学九（上）知识点训
一、二次函数之特殊四边形存在性问题
1．（2024九下·南湖模拟）在直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过点．
（1）求的值．
（2）点在线段上，过点，分别作轴的垂线交抛物线点． 试探究：
①当为何值时，四边形是平行四边形．
②与的面积之和是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由．
【答案】（1）解：把代入抛物线，
可得，
解得，
∴a、b的值为-1与4；
（2）解：①由（1）可得抛物线的解析式为 ；
如图，设直线的解析式为，
把代入可解得，
直线的解析式为，
，
把代入，可得，
把代入，可得，
，，
若四边形是平行四边形，则，可得，
解得，
当时，四边形是平行四边形；
②，，
，
与的面积之和为定值2．
【知识点】二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线上点的坐标特点把A、B两点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx（a≠0），可得关于字母a、b的二元一次方程组，求解即可得出a、b的值；
（2）①利用待定系数法求得直线OA的解析式为y=x，根据直线上点的坐标特点可得C（m，m），D（m+1，m+1），根据点的坐标与图形性质及抛物线上点的坐标特点求出点E（m，-m2+4m）、F（m+1，-m2+2m+3），根据两点间的距离公式分别表示出EC与FD，再根据平行四边形的对边相等建立方程可求出m的值；
②根据三角形的面积计算公式把两个三角形的面积表示出来相加即可．
2．（2024九上·金华开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A(-2，0)，B两点，其对称轴直线x=2与x轴交于点D.
（1）求该抛物线的函数表达式为 ；
（2）如图1，点P为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD，PB，PC，求四边形BDCP面积最大值和点P此时的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y'，当抛物线y'经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线y对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以AE为边的菱形，请直接写出满足条件的点M的坐标 .
【答案】（1）
（2）解：如图：过点P作PH∥y轴交BC于点H
∵点A（-2，0），对称轴为直线x=2
∴点B（6，0），D（2，0）
∴BD=4
令x=0，则y=-4
设直线BC的解析式为y=kx-4
把点B（6，0）代入得：6k-4=0，解得
∴
设点P（m，），H（m，）
∴PH=-（）=
∴=
∴
∴四边形BDCP面积=＋=-（m-3）2＋17
∵ 点P为抛物线上第四象限内的一动点
∴0∴当m=3时，四边形BDCP面积的最大值为17
当m=3时，
∴点P的坐标为（3，-5）.
（3），M（6，0）
【知识点】二次函数的最值；菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：由题意知：
∴b=-4a
把点 A(-2，0) 代入中得：4a-2b-4=0
∴4a＋8a-4=0，解得a=，b=
∴
故答案为.
（3）由题意知：
抛物线y' 是由 抛物线y 向左平移6个单位得到：y'=
∴当x=2时，y'=
∴E（2，）
由（2）知 ：D（2，0），A（-2，0）
∴AD=4
设F（2，n）
如图：当AE=AF时
∴DE=DF=
∵四边形AEMF为菱形
∴DM=AD=4
∴OM=6
∴M（6，0）
如图：当AE=EF时
同上知：AD=4，DE=
∴
∴
∴
∵A（-2，0）
∴
综上所述：，M（6，0）
故答案为：，M（6，0）.
【分析】（1）根据 对称轴直线x=2 得到，再根据抛物线过点A（-2，0）得出：4a-2b-4=0，解出a，b即可.
（2）先求出点B，C的坐标，再求出直线BC的解析式，设点点P（m，），H（m，），得出PH=，再根据三角形面积公式分别得出：，8，从而求出四边形BDCP面积，化为顶点式为：四边形BDCP面积=-（m-3）2＋17，求出当m=3时，四边形BDCP面积的最大值为17，以及点p的坐标.
（3）先根据抛物线y' 是由 抛物线y 向左平移6个单位得到：y'=，求出点E（2，）AD=4，设F（2，n）然后分类讨论：
当AE=EF时，根据四边形AEMF为菱形，得到DM=AD=4从而得出OM=6，因此M（6，0）
当AE=EF时同上知：AD=4，DE=
再根据勾股定理求出AE的长，即：，再根据菱形的性质，得到：，又因为A（-2，0），因此可得.
3．（2024九上·东阳开学考）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式及点坐标；
（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标．
【答案】（1）解：把B（1，0）和C（0，-3）代入y=ax2+bx+c得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3；
∵点A在x轴上，
∴解方程x2+2x-3=0得：
x1=1，x2=3，
∴A（-3，0）.
（2）解：连接AD、CD，
设直线AC的表达式为y=kx+n，
由题意，把A（-3，0）和C（0，-3）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，
过点D作x轴的垂线，交AC于点G，
由图得：S ACD=S ADG+S CDG=DG·OA+DG×3=DG，
∴当DG取最大值时， ACD的面积最大，
设D（m，m2+2m-3），则G（m，-m-3），
∵点D在第三象限，
∴-3＜m＜0，DG=-m-3-(m2+2m-3)=-m2-3m，
∴S ACD=（-m2-3m）=-（m+）2+，
∴当m=-时， ACD的面积最大，且最大值为，
此时点D的坐标为（-，）.
答： ACD的面积的最大值为；D（，）.
（3）解：在二次函数图象上存在点N， 使以为顶点的四边形是平行四边形 ，
理由如下：∵B（1，0），
∴OB=1，
由y=x2+2x-3得，抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
∴当OB为平行四边形的边时，MN=OB=1，
设点N的横坐标为t，
∵MN∥x轴，
∴，
解得：t=0或t=2，
∵点N在抛物线上，
∴点N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）；
∴当OB为平行四边形的对角线时，
，
解得：t=2，
∴点N的坐标为（2，5）.
综上可得：在二次函数图象上存在点N， 使以为顶点的四边形是平行四边形 ，且N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）或（2，5）.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法计算即可求解；
（2）连接AD、CD，用待定系数法求出直线AC的表达式；过点D作x轴的垂线，交AC于点G，由图得：S ACD=S ADG+S CDG=DG·OA+DG×3=DG，于是当DG取最大值时， ACD的面积最大，设D（m，m2+2m-3），则G（m，-m-3），可得S ACD与m之间的函数关系式，并配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解；
（3）由题意可分两种情况讨论：①当OB为平行四边形的边时，②当OB为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质可得关于t的方程，解方程即可求解.
4．（2023九上·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点点不与点，重合，连结，，以，为边作 ，点的横坐标为．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）当 有两个顶点在轴上时，则点的坐标为 ；
（3）当 是菱形时，求的值．
（4）当为何值时， 的面积有最大值？
【答案】（1）解：抛物线与轴交于点，，
抛物线的解析式为，
即；
（2）
（3）解：抛物线的解析式为，点的横坐标为．
，
是菱形，
，
，
整理得，解得，
点是抛物线在第四象限上一个动点，
，
的值为；
（4）解：过作轴交直线于点，如图，
设直线的解析式为，把、坐标代入得：
，
解得：，
，
设，则，
，
，
，
当时，四边形的面积有最大值．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）∵抛物线的解析式为，令，则，
∴，
∵有两个顶点在轴上时，
∴点D在x轴上，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点P和点C为抛物线上的对称点，
∵抛物线的对称轴为，，
∴，
故答案为：
【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点结合题意即可得到交点式，化为一般式即可求解；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点得到点C的坐标，再根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到点P和点C为抛物线上的对称点，从而根据二次函数的对称性结合题意即可得到点P的坐标；
（3）先根据题意得到，进而根据菱形的性质得到，从而根据坐标系中两点间的距离公式结合题意即可求出m；
（4）过作轴交直线于点，运用待定系数法求出直线BC的函数解析式，进而设，则，根据坐标系中两点间的距离得到，进而即可表示△PBC的面积，再根据结合二次函数的最值即可求解。
5．（2024九上·长沙月考）如图，抛物线y=ax2 4ax+3a（a≠0）交x轴于点A、B两点，与y轴交于点C(0， 3)，其顶点为点D.
（1）求a的值和顶点D的坐标；
（2）在x轴上有一动点M(m，0)，若点C、D以M为中心对称的对称点分别是C'、D'，请判断以C、D、C'、D'为顶点的四边形可能是正方形吗？若存在，求出对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若N是直线x=1上的一动点，把ON绕点N旋转90°，原点O的对应点为O'，若点O'恰好落在抛物线上，请求出所有符合条件的点N的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2 4ax+3a与y轴交于点C(0， 3)
∴﹣3=3a，解得：a=-1
∴
∴顶点D坐标为：（2，1）
（2）解：存在，理由如下：
∵点M（m，0）在x轴上
∴点C'只能在x轴上方，点D'只能在x轴下方
则四边形只能为CDC'D'，即对角线CC'和DD'相等，且关于点M对称
∴CM=C'M，DM=D'M
∵四边形CDC'D'为正方形
∴CM=C'M=DM=D'M
∴CM2=DM2
即，解得：m=﹣1
故存在点M使得以C、D、C'、D'为顶点的四边形可能是正方形，点M（﹣1，0）
（3）解：令y=0，则
解得：x=1或x=3，则点A（1，0），B（3，0）
①当把ON绕点N逆时针旋转90°，原点O的对应点为O'
∴ON=ON'，∠ONO'=90°
连接OO'，过点O'作O'E⊥AN
则△ONO'为等腰直角三角形，∠NEO'=90°
∵
∴
在△NO'E和△ONA中
∴△NO'E≌△ONA（AAS）
∴NE=OA，O'E=NA
设N（1，n），则O'（n+1，n-1）
∵点O'恰好落在抛物线上
∴，解得：
∴
②当把ON绕点N逆顺时针旋转90°，原点O的对应点为O'
∴ON=ON'，∠ONO'=90°，过点O'作O'F⊥AN
同理可得△NO'F≌△ONA（AAS）
∴NF=OA，O'F=NA
设N（1，n），则O'（1-n，n+1）
∵点O'恰好落在抛物线上
∴，解得：
∴
综上所述，符合条件的点N的坐标为：，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；旋转的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）将点C坐标代入抛物线解析式可得a值，再将解析式转化为顶点式，即可求出答案.
（2）根据点M（m，0）在x轴上，则点C'只能在x轴上方，点D'只能在x轴下方，则四边形只能为CDC'D'，即对角线CC'和DD'相等，且关于点M对称，根据对称性质可得CM=C'M，DM=D'M，根据正方形性质可得CM=C'M=DM=D'M，即CM2=DM2，列出方程，解方程即可求出答案.
（3）根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入抛物线解析式则点A（1，0），B（3，0），分情况讨论：①当把ON绕点N逆时针旋转90°，原点O的对应点为O'，则ON=ON'，∠ONO'=90°，连接OO'，过点O'作O'E⊥AN，根据等腰直角三角形性质及角之间的转换可得，再根据全等三角形判定定理可得△NO'E≌△ONA（AAS），则NE=OA，O'E=NA，设N（1，n），则O'（n+1，n-1），将点O'代入抛物线解析式列出方程，解方程即可求出答案；②当把ON绕点N逆顺时针旋转90°，原点O的对应点为O'，则ON=ON'，∠ONO'=90°，过点O'作O'F⊥AN，同理可得△NO'F≌△ONA（AAS），则NF=OA，O'F=NA，设N（1，n），则O'（1-n，n+1），将点O'代入抛物线解析式列出方程，解方程即可求出答案.
6．（2024九上·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为轴上一点，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点为抛物线对称轴上一点，点为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，
则OB＝AB AO＝5-4＝1，故点B的坐标为（1，0），
则，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x-3.
（2）解：EP＋PB存在最小值，如图所示：
∵点E关于y轴对称点为E'，且点E的坐标为（2，5），
∴点E'坐标为（-2，5）．
连接BE'，交y轴于点P，连接EP，则此时EP＋PB＝E'P＋PB＝E'B最小，
由点B的坐标为（1，0），点E'坐标为（-2，5）
设直线BE'的函数表达式为y＝kx＋d，
则，
解得：，
∴直线BE'的表达式为，
令x＝0，得y＝，
∴点P坐标为(0，)．
在Rt△BCE'中，BC＝5，CE'＝1-（-2）＝3，
∴，
则EP＋PB的最小值＝BE'＝．
（3）解：∵y＝x2＋2x-3＝（x＋1）2-4，
∴抛物线对称轴为直线x＝-1，设点F的坐标为（-1，m），
在Rt△BCE中，BC＝5，CE＝1，∠BCE＝90°，
∴BE2＝BC2＋CE2＝52＋12＝26，
∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，
∴BE＝BF或BE＝EF，
当BE＝BF时，如图2，设直线x＝-1与x轴交于点H，则H（-1，0），
∴BH＝1-（-1）＝2，HF＝|m|，
∴BF2＝BH2＋HF2＝22＋|m|2＝4＋m2，
∴4＋m2＝26，
解得：，；
当EB＝EF时，如图3，设直线x＝-1与CD交于点K，则K（-1，5），
∴EK＝2-（-1）＝3，KF＝|m-5|，
在Rt△EKF中，EF2＝EK2＋KF2＝32＋|m 5|2＝m2 10m＋34，
∴m2 10m＋34＝26，
解得：，；
故点F的坐标为（-1，）或（-1，）或（-1，）或（-1，）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；菱形的性质；二次函数-动态几何问题；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）作点E关于y轴对称点为E'，连接BE'交y轴于点P，则EP＋PB＝E'P＋PB＝E'B＝为最小值，利用待定系数法求得直线BE'的表达式为，令x＝0，即可得出点P的坐标；
（3）以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，则BE＝BF或BE＝EF，分两种情况分别建立方程求解即可得出答案．
7．（2024九上·岳麓开学考）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
【答案】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，
将A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点代入，得，
解得：，∴此函数解析式为：y＝x2+x﹣2．
（2）如图，过点M作y轴的平行线交AB于点D，
∵M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，
∴设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，
设直线AB的解析式为y＝kx﹣2，
把A（﹣2，0）代入得，-2k-2=0，解得：k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
∵MD∥y轴，∴点D的坐标为（m，﹣m﹣2），
∴MD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，
∴S△MAB＝S△MDA+S△MDB＝MD OA＝×2（m2﹣2m）
＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，
∵﹣2＜m＜0，∴当m＝﹣1时，S△MAB有最大值1，
综上所述，S关于m的函数关系式是S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1．
（3）点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+）或（2，﹣2）．
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）设P（x，x2+x﹣2），
①如图，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
∵直线的解析式为y＝﹣x，则Q（x，﹣x），
由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣2）|＝2，即|﹣x2﹣2x+2|＝2，
当﹣x2﹣2x+2＝2时，x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣2，∴Q（﹣2，2），
当﹣x2﹣2x+2＝﹣2时，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
∴Q（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+），
②如图，当BO为对角线时，OQ∥BP，
∵直线AB的解析式为y=-x-2，直线OQ的解析式为y=-x，
∴A与P重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，∴BQ＝OP＝2，点Q的横坐标为2，
把x=2代入y＝﹣x得y=-2，∴Q（2，﹣2），
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+）或（2，﹣2）．
【分析】（1）设此抛物线的函数解析式，将A，B，C三点代入y＝ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可得答案；
（2）根据题意，设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），由A、B坐标可求出直线AB的解析式，得到点D的坐标为（m，﹣m﹣2），得出MD的长度，进而求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值；
（3）设P（x，x2+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标.
8．（2024九上·龙湾月考）如图，矩形的边在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线上，，点D从点O开始沿边向点A以每秒2个单位的速度移动，与此同时，点E从点A开始沿边向点O以每秒1个单位的速度移动，轴，交于点F，连接，当点D到达点A时，两点同时停止移动，设移动时间为t秒．
（1）直接写出： ______， _______（含t的代数式表示）．
（2）当点D在点E的左侧时，若的面积等于2，求t的值．
（3）在整个过程中，
①若在矩形的边上能找到点P，Q，使得以E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，求出所有满足条件的t的值．
②以为邻边作矩形，连接，取线段的中点Q，连接，求的最小值（直接写出答案）．
【答案】（1）4，t
（2）解：∵，，
∴，
∴或
（3）解：①如图，当时，，
取的中点Q，以为邻边作正方形，此时点P在边上，且，符合题意；
如图，当时，点D与点A重合，点F与点B重合，作正方形，满足条件；
当时，点D、E重合，此时，，作正方形，满足条件；
综上所述：或或，满足条件；
②
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边在坐标轴上，，
∴，点B的横坐标为8，
将x=8代入 得y=4，
∴，
∴，
∵，
∴=90°，
∴，即，
∴，
故答案为：4，t；
（3）②如图，由题意得，，
∴，
∵，
∴时，的最小值为.
【分析】（1）根据矩形性质、点的坐标与图形性质及直线上点的坐标特点求出A、B的坐标，从而可得AB的长，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得DF∥AB，进而利用平行线分线段成比例定理求出DF的长即可；
（2）根据DE=OA-OD-AE表示出DE，利用三角形的面积公式列出方程，即可求解；
（3）①分当时，当时，当时，三种情况分别求解即可；②由题意得，，根据两点间距离公式列出表达式，利用二次函数的性质即可求解
（1）解：∵矩形的边在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线上，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴或
（3）①如图，当时，，
取的中点Q，以为邻边作正方形，此时点P在边上，且，符合题意；
如图，当时，点D与点A重合，点F与点B重合，作正方形，满足条件；
当时，点D、E重合，此时，，作正方形，满足条件；
综上所述：或或，满足条件；
②如图，由题意得，，
∴，
∵，
∴时，的最小值为
9．（2024九上·长沙开学考）已知抛物线（，为常数，）交轴于，两点，交轴于点.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点为第四象限内该抛物线上一点，连接，过点作交轴于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点时，得到抛物线.设是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2＋bx-4，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝x2-3x-4．
（2）解：如图，连接BC，则△BCP的面积＝△BQP面积，过点P作PT∥y轴交BC于点T，
令x＝0，则y＝-4，
∴C（0，-4）；
∴OB＝OC＝4，直线BC的解析式为：y＝x-4，
设点P的横坐标为m，则P（m，m2-3m-4），T（m，m-4），
∴TP＝m-4-（m2-3m-4）＝-m2＋4m，
∴S△BCP＝ TP （xB xC）＝ （-m2＋4m） 4＝-2（m-2）2＋8，
∵-2＜0，
∴当m＝2时，S△BCP的最大值为8；此时P（2，-6）．
综上，△PBQ面积的最大值为8，此时P（2，-6）．
（3）解：∵将抛物线y＝x2-3x-4＝（x ）2 向右平移经过点（，0），
∴点A（-1，0）向右平移个单位，
∴平移后的抛物线为：y＝（x 3）2 ．
∵点E在平移后抛物线的对称轴上，
∴设点E（3，t），该对称轴与x轴交于点G，
①当点P为直角顶点时，过点P作x轴的平行线，交GH于点H，过点A作y轴的平行线交PH于点H，
∴∠APE＝∠PHE＝∠M＝90°，AM＝6，MP＝4，PH＝1，
∴∠APM＋∠EPH＝∠EPH＋∠HEP＝90°，
∴∠APM＝∠HEP，
∴△APM∽△PEH，
∴AM：PM＝PH：EH，解得EH＝，
∴E（3，）；
由矩形的性质可知，xP xA＝xE xF，yP yA＝yE yF，
∴2-（-1）＝3 xF，-6-0＝-yF，
∴xF＝0，yF＝，
∴F（0，）；
②当点A为直角顶点时，过点E作x轴的平行线交AM于点K，
同理可得△AEK∽△PAM，
∴AK：EK＝PM：AM，解得AK＝2，
∴E（3，2），
由矩形的性质可知，xP xA＝xF xE，yP yA＝yF yE，
∴2-（-1）＝xF-3，-6-0＝yF-2，
∴xF＝6，yF＝-4，
∴F（6，-4）；
③当点E为直角顶点，如图，
同理可得△AGE∽△EHP，
∴AG：GE＝EH：PH，
∴4：（-t）＝（6＋t）：1，
解得t＝-3＋或t＝-3-，
当t＝-3＋时，
由矩形的性质可知，xP xA＝xF xE，yP yA＝yF yE，
∴xF＝-2，yF＝-3-，
∴F（-2，-3-）；
同理可得，当t＝-3-时，F（-2，-3＋）；
综上得符合题意的点F的坐标为：F（0，）或（6，-4）或（-2，-3-）或（-2，-3＋）．
【知识点】二次函数-动态几何问题；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）将A（-1，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2＋bx-4，解方程组即可；
（2）如图，连接BC，则△BCP的面积＝△BQP面积，过点P作PT∥y轴交BC于点T，设点P的横坐标为m，则可得点P和点T的坐标，进而表达△BQP的面积，利用二次函数的性质可求出最值；
（3）先求出平移后的二次函数的抛物线，设点E的坐标，若以A，P，E，F为顶点的四边形为矩形，则△APE一定是直角三角形，根据题意进行分类讨论：当点P是直角顶点；当点A是直角顶点；当点E是直角顶点，分别求出点E的坐标，再利用矩形的性质可求出点F的坐标．
10．（2024九上·长沙开学考）定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做和谐四边形，这条对角线叫做和谐对角线，
[概念理解]
（1）下列图形中，属于和谐四边形的是____________．
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的四边形
[性质探讨]；
（2）和谐四边形的性质：在和谐四边形中，和谐对角线平分另一条对角线．利用所学知识证明和谐四边形的性质，即：
如图1，已知：四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点与的面积相等．求证：．
[探究应用]；
（3）①如图2，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点．求证：；
②如图3，已知直线与抛物线交于两点，点在轴负半轴上，满足，点在第一象限且位于抛物线上，若四边形是和谐四边形，求点的横坐标．
【答案】（2）证明：过点作于点，过点作于点，
∴
∵
∴
又∵
∴(AAS)
∴.
（3）①证明：如图2中，在上取一点T，使得，连接．
∵四边形ABCD是和谐四边形
∴：
又∵
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∴
∵
∴AT=BC
∴
∴
∵
∴．
②解：由题意知：
联立两个函数解析式得：
，解得：或
∴点A在第一象限，点B在第三象限
∴
如图：过点作轴，过点作，过点作
∴，，
∵
∵，
∴∠CAE=∠BCF
∴
∴，
∴，CE=BF=2
∴
∴
∵四边形是和谐四边形
当时
∴当时，
∴
∴
∴将直线向上平移5个单位得到
同理：联立两个函数解析式得：，解得：或，
∵点在第一象限，
∴
∴点的横坐标为
当时
由（2）可知，的中点在直线上
∵，
∴的中点坐标为
设直线的解析式为：
把代入，得-2k-3=1，解得：
∴
此时直线与抛物线的交点在二，四象限，不符合题意
综上：点的横坐标为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（1）只有平行四边形的对角线把平分四边形的面积分成两个面积相等的三角形，
故答案为：A.
【分析】（1）根据平行四边形的性质与和谐四边形的定义即可得出结论.
（2）过点作于点，过点作于点，得到：，再
根据，得到因此，又因为
可证明，即可得证.
（3）①在上取一点T，使得，连接，先根据：，证明四边形是平行四边形，因此，因此可得又因为，可得，再根据等边对等角可得：，再利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可得：可得结论．②先联立直线和抛物线的解析式得：，解出x，y，得出两点坐标，过点作轴，过点作，过点作，再根据一线三垂直模型证明（AAS）得出：，CE=BF=2，从而求出得出点坐标，再根据和谐四边形的性质进行分类讨论：和，两种情况讨论求解即可．
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