二次函数之相似三角形存在性问题—浙教版数学九（上）知识点训练

二次函数之相似三角形存在性问题—浙教版数学九（上）知识点训练
一、二次函数之相似三角形存在性问题
1．（2022九上·义乌月考）已知抛物线与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2021九上·昆明月考）如图1，已知二次函数 的图象与一次函数 的图象相交于点 ， ，其中点 在 轴的正半轴上，点 在 轴上，点 为二次函数图象的顶点．
（1）求点 的坐标及 的值；
（2）根据图象，直接写出关于 的不等式 的解集　 　；
（3）如图2，抛物线对称轴为直线 与直线 交于 ，在直线 上是否存在点 ，使得点 、 、 组成的三角形与 与相似，若存在，请求出满足条件的所有点 坐标；若不存在，说明理由．
3．（2022九上·余姚期末）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
（1）求点A，点C的坐标；
（2）如图2，连结AC，DC，过点C作交抛物线于点E.求证：∠DCE＝∠CAO；
（3）如图3，在（2）的条件下，连结BC，在射线EC上有点P，使以点D，E，P为顶点的三角形与△ABC相似，求EP的长.
4．（2024·喀什模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．
（1）求点的坐标和抛物线的解析式；
（2）为线段上的动点（不与点O．A重合），过点作垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，.
①用含m的代数式表示线段PN的长；
②若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
5．（2024·中江模拟）如图，已知抛物线与轴交于点在的左侧），与轴交于点对称轴是直线是第一象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）△POC有可能是等边三角形吗？若是，请求点P的坐标，若不是，请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．
6．已知抛物线经过点和点．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）该抛物线与直线相交于C，D两点，是抛物线上的动点且位于轴下方，直线轴，分别与轴和直线CD相交于点M，N.
①连续PC，PD，如图①，在点P运动的过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
②连结PB，过点作，垂足为，如图②，是否存在点，使得与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2023九上·永康月考）如图1，已知抛物线F1：y＝﹣x2+2x+3交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，抛物F2：y＝x2+bx+c经过点A、B，点P是射线CB上一动点.
（1）求抛物线F2的表达式．
（2）如图2，过点P作PE⊥BC交抛物线F1第一象限部分于点E，作EFAB交BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点E的坐标．
（3）抛物线F1与F2在第一象限内的图象记为“图象Z ”，过点P作PGy轴交图象Z于点G，是否存在这样的点P，使△CPG与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的横坐标．
8．（2024九上·随县月考）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点．
（1）求抛物线与直线的函数解析式；
（2）设点的坐标为，求面积的最大值；
（3）若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由．
9．（2024九上·衡东期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）如图1，连结，求的面积的最大值；
（3）如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与相似 若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
10．（2022九上·融水期中）如图，在矩形中，，，沿直线折叠矩形的一边．使点落在边上的点处．分别以所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，抛物线经过，，三点．
（1）求的长及拋物线的解析式；
（2）一动点从点出发，沿以每秒个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒个单位长的速度向点运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，以为顶点的三角形与相似？
答案解析部分
1．【答案】解：（1）令，则，
∴，
∴．
令，则．
∴．
（2）存在．由已知得，该抛物线的对称轴为直线．
∵点与点关于直线对称，
∴，．
∴．
∵点P在y轴上，
∴
∴当时，．
设，
i）当时，则，
∴．
∴
ii）当时，则，
∴
∴．
iii）当时，则，与矛盾．
∴点P不存在
∴或．
故答案为：（1），；（2）存在，或．
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）将x=0和y=0分别代入解析式求出点B、C的坐标即可；
（2）分类讨论：i）当时，则；ii）当时，则；iii）当时，再分别求解即可.
2．【答案】（1）解：∵一次函数交y轴于点B，∴B点坐标为（0，5），又B在抛物线上，
∴ ，解得 b=2，
∴二次函数的解析式为
∴点M的坐标为（2，9），
当y=0时， ，解得
∴A（5，0）
代入直线解析式y=kx+5，
∴5k+5=0，解得k=-1
∴k的值为-1
（2）
（3）解：∵B（0，5），A（5，0）
∴△AOB为等腰直角三角形
分两种情况：
①如图，过点M做MP⊥MC交直线AB于点P
∵对称轴为x=2，直线AB为y=-x+5，
∴C（2，3）
∴MC=9-3=6
∴PM=6
∴点P的坐标为（-4，9）；
②如图，过点M做MP⊥AB于点P，过点P作PN⊥MC于点N，
∵CM=6，△MCP为等腰直角三角形，P点纵坐标=N点纵坐标=M点纵坐标-3=9-3=6
∴MN=CN=3，PN=3
∴点P的坐标为（-1，6）
综合以上可得点P的坐标为（-4，9）或（-1，6）
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：因为A（5，0），观察图像得：当 时，
x的取值范围是
则关于x的不等式 的解集是
故答案为：
【分析】（1）求出点B的坐标，根据点的坐标代入二次函数解析式，求出b的值，可求出点M的坐标，求出二次函数解析式，再求出点A的坐标，代入一次函数解析式可求出k的值；
（2）根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小求解即可；
（3）若点M、C、P组成的三角形与△AOB相似，则可得到△MCP为等腰直角三角形，可分两种不同的情况：①如图，过点M做MP⊥MC交直线AB于点P；②如图，过点M做MP⊥AB于点P，过点P作PN⊥MC于点N，根据等腰直角三角形的性质可求出相关线段的长，则点P的坐标可求出。
3．【答案】（1）解：令y＝0，得，
解得，x1＝-3，x2＝1，
∴，
令x＝0，y＝，
∴C（0，4）.
（2）证明：∵，
∴，
如图，作DF⊥CE于F，
∴CF＝1，，
∵AO＝3，OC＝4，
∴，
∵∠CFD＝∠AOC＝90，
∴△CFD∽△AOC，
∴∠DCE＝∠CAO；
（3）解：如图，连接DE，
∵A（-3，0），B（1，0），C（0，4），D（-1，），
∴，AB＝4，，
由抛物线的对称性质得：DE＝DC＝，CE＝2，
∴∠ECD＝∠DEC，
由（2）得∠ECD＝∠CAO，
∴∠DEC＝∠CAB，
∵△DEP和△ABC相似，
①当△DEP∽△CAB时，有，
∴，
∴.
②当△DEP∽△BAC时，有，
∴，
∴.
综上所述，EP＝或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）分别令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B、C的坐标；
（2）根据二次函数的解析式可得顶点D的坐标，作DF⊥CE于F，求出CF、DF的值，可得，证明△CFD∽△AOC，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（3）连接DE，利用两点间距离公式可得AC、AB、DC，由抛物线的对称性质得：DE＝DC＝，CE＝2，根据等腰三角形的性质可得∠ECD＝∠DEC，由（2）得∠ECD＝∠CAO，则∠DEC＝∠CAB，然后分①△DEP∽△CAB，②△DEP∽△BAC，根据相似三角形的性质进行计算即可.
4．【答案】（1）解：直线交于点，与轴交于点，
，解得，
，
抛物线经过点，，
将点、的坐标代入抛物线表达式得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：①，
则，，
，
②和相似，且，
或，
当时，如图1，则有，
点的纵坐标为4，
，解得（舍去）或，
，；
当时，如图2，过点作轴于点，
则，，，
，
，
，
，
，
，即，
解得（舍去）或，
，；
综上可知，当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或，．
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点问题得到点B的坐标，进而将点A和点B代入二次函数解析式即可求出b和c，从而即可求解；
（2）①先根据点M得到，，进而即可得到；
②先根据相似三角形的性质结合题意得到或，进而分类讨论：当时，当时，根据相似三角形的判定与性质结合题意即可求出点M的坐标.
5．【答案】（1）解：因为二次函数经过点B(2，0)，对称轴，可得点A坐标（-1，0）
由题意得
解得
抛物线的解析式为：
（2）解：不可能是等边三角形，理由如下：
取的中点，过点作轴交抛物线于点，连接，如图：
令，则
，
不可能是等边三角形．
（3）解：设点的坐标为，则．
①当时，
，
，
，
解得：（舍去），
②当时，则，
过点作轴于点，
，
解得：（舍去），
综上：点的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据对称轴和点B的坐标，可得点A坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）取OC中点D，过点作DP//x轴交抛物线与点P，连接OP，可得点D和点P的坐标，计算OP，并与OC比较，即可得到答案；
（3）设点的坐标为，则．当时，有，表示出PM，HM，根据PH=PM+HM建立关于m的方程，求解即可.当时，，过点作轴于点，证明△PEC∽△COB，可得，代入数据即可求得m的值，最后综述.
6．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线对应的函数解析式为：
故答案为：.
（2）解：①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，
∴可设P（t，）（1＜t＜5），
∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，
∴M（t，0），N（t，），
∴PN＝，
联立直线CD与抛物线解析式可得，
解得或，
∴C（0，3），D（7，），
分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图所示，
则CE＝t，DF＝7 t，
∴S△PCD＝S△PCN＋S△PDN＝PN CE＋PN DF＝PN＝，
∴当t＝时，△PCD的面积有最大值，最大值为；
故答案为：存在，最大值为 .
②存在．
∵∠CQN＝∠PMB＝90°，
∴当△CNQ与△PBM相似时，有或两种情况，
∵CQ⊥PM，垂足为Q，
∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，），
∴CQ＝t，NQ＝，
∴，
∵P（t，），M（t，0），B（5，0），
∴BM＝5 t，PM＝0 （）＝，
当时，则PM＝BM，即=（5-t），
解得：t＝2或t＝5（舍去），此时P（2，）；
当时，则BM＝PM，即5 t＝（），
解得：t＝或t＝5（舍去），此时P（，）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为 或
故答案为： 或 .
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①可设出P点坐标，则可表示出M、N的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标，过C、D作PN的垂线，可用t表示出△PCD的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；
②当△CNQ与△PBM相似时有或两种情况，利用P点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．
7．【答案】（1）解：在 中， 令 得
或， 令 得，
，
把 代入
得：
解得，
抛物线 的函数表达式，
（2）解：过 作 轴交 B C 于， 如图：
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
面积最大时 P E 最大，
轴，
是等腰直角三角形，
最大时， P E 最大， 即 E H 最大时， 面积最大，
设， 则，
当 时， E H 最大为，
， 此时，
面积的最大值为；
（3）解：存在点， 使 与 相似， 理由如下：
由 (2) 知 是等腰直角三角形， 当与 相似时， 为等腰直角三角形，
轴，
当 时， 如图：
此时 与 纵坐标相等，
在 中， 令 得 或，
， 此时 的横坐标为 2 ，在 中， 令 得 或 (此时 不在第一象限， 舍去)，
的横坐标为；
当 时， 如图：
设， 则
，
是等腰直角三角形，
，
解得 (舍去)或 或 (此时 不在第一象限， 舍去) ，
的横坐标为 1 ，
同理可得 的横坐标为，
综上所述， 的横坐标为 2 或 或 1 或.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）由y=-x2+2x+3求出A（-1，0），B（3，0），C（0，3），再用待定系数法可得抛物线 F2的函数表达式y=x2-x-，直线BC解析式为y=-x+3；
（2）过E作EH∥y轴交BC于H，由△EFP是等腰直角三角形，知△PEF面积最大时PE最大，此时EH最大，设E（m，-m2+2m+3），即得 EH=-m2+3m=-（m-）2+，由二次函数性质可得答案；
（3）由（2）知△OBC是等腰直角三角形，当△CPG与△OBC相似时，△CPG为等腰直角三角形，由∠CPG=∠OCB=45°，分两种情况当∠PGC=90°时，此时G与C纵坐标相等，当∠PCG=90°时，设P3（n，-n+3），（-n2+3n）2=2×2n2，解方程即可解得答案；
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形的判定等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度.
8．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线
则
将点，代入
解得
抛物线的解析式为
设直线的解析式为
将点，代入
解得
直线的函数解析式为
（2）点M的坐标为，轴，
，，
，
，
当点P在射线上或在射线上，没有最大值，
点P在线段上，
当时有最大值
（3）存在这样的点P，使，理由如下：
，
与相似时由两种情况：
①当时，，
过点N作轴交于点E，
，
，
，
，又，
，
，，，，，
，经检验，是分式方程的根，
点的坐标为
②当时，，
则轴，
点纵坐标为，
，
或（舍去）
点的坐标为
综上所述：点的坐标为或
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由对称轴可得，再把B、C坐标代入解析式中求出a、c的值即得抛物线解析式；利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）由P（m，0）可得，，从而得出PN=，继而得出，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分两种情况：①当时，，②当时，，利用相似三角形的判定与性质分别求解即可.
9．【答案】（1）解：把、代入得
，解得
∴该二次函数的解析式为 ；
（2）解：设直线的解析式为，把 代入得
，解得 ，
∴直线的解析式为，
过点作轴交直线于点，
设 则
，
∴当时，有最大值，最大值为.
（3）解：点的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；二次函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（3）当时，如图：
∴轴，
∴点的纵坐标为，
，
解得 (舍去)， ，
，
当时，
，
过点作于，
轴，
，
，
，
，
由（2）得
，
解得：(舍去)，
综上，点的坐标为或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，C坐标代入二次函数解析式即可求出答案；
（2）设直线的解析式为，根据待定系数法把 代入直线解析式可得直线的解析式为，过点作轴交直线于点，设 则 根据两点间的距离公式可得，再根据，根据二次函数的性质即可求出答案；
（3）当时，根据平行于x轴的直线上点的坐标特征列出方程，解方程可得；当时，过点作于，可得轴，则，由（2）得列出方程，解方程可得即可求出答案.
10．【答案】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，，．
由折叠的性质得，，
∴，，．
由勾股定理得．
∴．
设，则，
由勾股定理得，即，
解得，．
∴
∴，
∵抛物线过点，，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得，，
∴．而，，
∴．
当，，
∴，即，解得．
当，，
∴，即，解得．
∴当或时，以、、为顶点的三角形与相似．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）设，则，利用勾股定理可得，即，求出x的值，即可得到AD的长，再将点O、D、C的坐标分别代入求出a、b、c的值即可；
（2）分类讨论：①当，，②当，，再分别列出比例式和方程求解即可.
（1）解：∵四边形为矩形，
∴，，．
由折叠的性质得，，
∴，，．
由勾股定理得．
∴．
设，则，
由勾股定理得，即，
解得，．
∴
∴，
∵抛物线过点，，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：∵，，
∴，
由可得，，
∴．而，，
∴．
当，，
∴，即，解得．
当，，
∴，即，解得．
∴当或时，以、、为顶点的三角形与相似．
1 / 1二次函数之相似三角形存在性问题—浙教版数学九（上）知识点训练
一、二次函数之相似三角形存在性问题
1．（2022九上·义乌月考）已知抛物线与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）令，则，
∴，
∴．
令，则．
∴．
（2）存在．由已知得，该抛物线的对称轴为直线．
∵点与点关于直线对称，
∴，．
∴．
∵点P在y轴上，
∴
∴当时，．
设，
i）当时，则，
∴．
∴
ii）当时，则，
∴
∴．
iii）当时，则，与矛盾．
∴点P不存在
∴或．
故答案为：（1），；（2）存在，或．
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）将x=0和y=0分别代入解析式求出点B、C的坐标即可；
（2）分类讨论：i）当时，则；ii）当时，则；iii）当时，再分别求解即可.
2．（2021九上·昆明月考）如图1，已知二次函数 的图象与一次函数 的图象相交于点 ， ，其中点 在 轴的正半轴上，点 在 轴上，点 为二次函数图象的顶点．
（1）求点 的坐标及 的值；
（2）根据图象，直接写出关于 的不等式 的解集　 　；
（3）如图2，抛物线对称轴为直线 与直线 交于 ，在直线 上是否存在点 ，使得点 、 、 组成的三角形与 与相似，若存在，请求出满足条件的所有点 坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵一次函数交y轴于点B，∴B点坐标为（0，5），又B在抛物线上，
∴ ，解得 b=2，
∴二次函数的解析式为
∴点M的坐标为（2，9），
当y=0时， ，解得
∴A（5，0）
代入直线解析式y=kx+5，
∴5k+5=0，解得k=-1
∴k的值为-1
（2）
（3）解：∵B（0，5），A（5，0）
∴△AOB为等腰直角三角形
分两种情况：
①如图，过点M做MP⊥MC交直线AB于点P
∵对称轴为x=2，直线AB为y=-x+5，
∴C（2，3）
∴MC=9-3=6
∴PM=6
∴点P的坐标为（-4，9）；
②如图，过点M做MP⊥AB于点P，过点P作PN⊥MC于点N，
∵CM=6，△MCP为等腰直角三角形，P点纵坐标=N点纵坐标=M点纵坐标-3=9-3=6
∴MN=CN=3，PN=3
∴点P的坐标为（-1，6）
综合以上可得点P的坐标为（-4，9）或（-1，6）
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：因为A（5，0），观察图像得：当 时，
x的取值范围是
则关于x的不等式 的解集是
故答案为：
【分析】（1）求出点B的坐标，根据点的坐标代入二次函数解析式，求出b的值，可求出点M的坐标，求出二次函数解析式，再求出点A的坐标，代入一次函数解析式可求出k的值；
（2）根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小求解即可；
（3）若点M、C、P组成的三角形与△AOB相似，则可得到△MCP为等腰直角三角形，可分两种不同的情况：①如图，过点M做MP⊥MC交直线AB于点P；②如图，过点M做MP⊥AB于点P，过点P作PN⊥MC于点N，根据等腰直角三角形的性质可求出相关线段的长，则点P的坐标可求出。
3．（2022九上·余姚期末）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
（1）求点A，点C的坐标；
（2）如图2，连结AC，DC，过点C作交抛物线于点E.求证：∠DCE＝∠CAO；
（3）如图3，在（2）的条件下，连结BC，在射线EC上有点P，使以点D，E，P为顶点的三角形与△ABC相似，求EP的长.
【答案】（1）解：令y＝0，得，
解得，x1＝-3，x2＝1，
∴，
令x＝0，y＝，
∴C（0，4）.
（2）证明：∵，
∴，
如图，作DF⊥CE于F，
∴CF＝1，，
∵AO＝3，OC＝4，
∴，
∵∠CFD＝∠AOC＝90，
∴△CFD∽△AOC，
∴∠DCE＝∠CAO；
（3）解：如图，连接DE，
∵A（-3，0），B（1，0），C（0，4），D（-1，），
∴，AB＝4，，
由抛物线的对称性质得：DE＝DC＝，CE＝2，
∴∠ECD＝∠DEC，
由（2）得∠ECD＝∠CAO，
∴∠DEC＝∠CAB，
∵△DEP和△ABC相似，
①当△DEP∽△CAB时，有，
∴，
∴.
②当△DEP∽△BAC时，有，
∴，
∴.
综上所述，EP＝或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）分别令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B、C的坐标；
（2）根据二次函数的解析式可得顶点D的坐标，作DF⊥CE于F，求出CF、DF的值，可得，证明△CFD∽△AOC，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（3）连接DE，利用两点间距离公式可得AC、AB、DC，由抛物线的对称性质得：DE＝DC＝，CE＝2，根据等腰三角形的性质可得∠ECD＝∠DEC，由（2）得∠ECD＝∠CAO，则∠DEC＝∠CAB，然后分①△DEP∽△CAB，②△DEP∽△BAC，根据相似三角形的性质进行计算即可.
4．（2024·喀什模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．
（1）求点的坐标和抛物线的解析式；
（2）为线段上的动点（不与点O．A重合），过点作垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，.
①用含m的代数式表示线段PN的长；
②若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】（1）解：直线交于点，与轴交于点，
，解得，
，
抛物线经过点，，
将点、的坐标代入抛物线表达式得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：①，
则，，
，
②和相似，且，
或，
当时，如图1，则有，
点的纵坐标为4，
，解得（舍去）或，
，；
当时，如图2，过点作轴于点，
则，，，
，
，
，
，
，
，即，
解得（舍去）或，
，；
综上可知，当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或，．
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点问题得到点B的坐标，进而将点A和点B代入二次函数解析式即可求出b和c，从而即可求解；
（2）①先根据点M得到，，进而即可得到；
②先根据相似三角形的性质结合题意得到或，进而分类讨论：当时，当时，根据相似三角形的判定与性质结合题意即可求出点M的坐标.
5．（2024·中江模拟）如图，已知抛物线与轴交于点在的左侧），与轴交于点对称轴是直线是第一象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）△POC有可能是等边三角形吗？若是，请求点P的坐标，若不是，请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．
【答案】（1）解：因为二次函数经过点B(2，0)，对称轴，可得点A坐标（-1，0）
由题意得
解得
抛物线的解析式为：
（2）解：不可能是等边三角形，理由如下：
取的中点，过点作轴交抛物线于点，连接，如图：
令，则
，
不可能是等边三角形．
（3）解：设点的坐标为，则．
①当时，
，
，
，
解得：（舍去），
②当时，则，
过点作轴于点，
，
解得：（舍去），
综上：点的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据对称轴和点B的坐标，可得点A坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）取OC中点D，过点作DP//x轴交抛物线与点P，连接OP，可得点D和点P的坐标，计算OP，并与OC比较，即可得到答案；
（3）设点的坐标为，则．当时，有，表示出PM，HM，根据PH=PM+HM建立关于m的方程，求解即可.当时，，过点作轴于点，证明△PEC∽△COB，可得，代入数据即可求得m的值，最后综述.
6．已知抛物线经过点和点．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）该抛物线与直线相交于C，D两点，是抛物线上的动点且位于轴下方，直线轴，分别与轴和直线CD相交于点M，N.
①连续PC，PD，如图①，在点P运动的过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
②连结PB，过点作，垂足为，如图②，是否存在点，使得与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线对应的函数解析式为：
故答案为：.
（2）解：①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，
∴可设P（t，）（1＜t＜5），
∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，
∴M（t，0），N（t，），
∴PN＝，
联立直线CD与抛物线解析式可得，
解得或，
∴C（0，3），D（7，），
分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图所示，
则CE＝t，DF＝7 t，
∴S△PCD＝S△PCN＋S△PDN＝PN CE＋PN DF＝PN＝，
∴当t＝时，△PCD的面积有最大值，最大值为；
故答案为：存在，最大值为 .
②存在．
∵∠CQN＝∠PMB＝90°，
∴当△CNQ与△PBM相似时，有或两种情况，
∵CQ⊥PM，垂足为Q，
∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，），
∴CQ＝t，NQ＝，
∴，
∵P（t，），M（t，0），B（5，0），
∴BM＝5 t，PM＝0 （）＝，
当时，则PM＝BM，即=（5-t），
解得：t＝2或t＝5（舍去），此时P（2，）；
当时，则BM＝PM，即5 t＝（），
解得：t＝或t＝5（舍去），此时P（，）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为 或
故答案为： 或 .
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①可设出P点坐标，则可表示出M、N的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标，过C、D作PN的垂线，可用t表示出△PCD的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；
②当△CNQ与△PBM相似时有或两种情况，利用P点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．
7．（2023九上·永康月考）如图1，已知抛物线F1：y＝﹣x2+2x+3交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，抛物F2：y＝x2+bx+c经过点A、B，点P是射线CB上一动点.
（1）求抛物线F2的表达式．
（2）如图2，过点P作PE⊥BC交抛物线F1第一象限部分于点E，作EFAB交BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点E的坐标．
（3）抛物线F1与F2在第一象限内的图象记为“图象Z ”，过点P作PGy轴交图象Z于点G，是否存在这样的点P，使△CPG与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的横坐标．
【答案】（1）解：在 中， 令 得
或， 令 得，
，
把 代入
得：
解得，
抛物线 的函数表达式，
（2）解：过 作 轴交 B C 于， 如图：
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
面积最大时 P E 最大，
轴，
是等腰直角三角形，
最大时， P E 最大， 即 E H 最大时， 面积最大，
设， 则，
当 时， E H 最大为，
， 此时，
面积的最大值为；
（3）解：存在点， 使 与 相似， 理由如下：
由 (2) 知 是等腰直角三角形， 当与 相似时， 为等腰直角三角形，
轴，
当 时， 如图：
此时 与 纵坐标相等，
在 中， 令 得 或，
， 此时 的横坐标为 2 ，在 中， 令 得 或 (此时 不在第一象限， 舍去)，
的横坐标为；
当 时， 如图：
设， 则
，
是等腰直角三角形，
，
解得 (舍去)或 或 (此时 不在第一象限， 舍去) ，
的横坐标为 1 ，
同理可得 的横坐标为，
综上所述， 的横坐标为 2 或 或 1 或.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）由y=-x2+2x+3求出A（-1，0），B（3，0），C（0，3），再用待定系数法可得抛物线 F2的函数表达式y=x2-x-，直线BC解析式为y=-x+3；
（2）过E作EH∥y轴交BC于H，由△EFP是等腰直角三角形，知△PEF面积最大时PE最大，此时EH最大，设E（m，-m2+2m+3），即得 EH=-m2+3m=-（m-）2+，由二次函数性质可得答案；
（3）由（2）知△OBC是等腰直角三角形，当△CPG与△OBC相似时，△CPG为等腰直角三角形，由∠CPG=∠OCB=45°，分两种情况当∠PGC=90°时，此时G与C纵坐标相等，当∠PCG=90°时，设P3（n，-n+3），（-n2+3n）2=2×2n2，解方程即可解得答案；
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形的判定等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度.
8．（2024九上·随县月考）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点．
（1）求抛物线与直线的函数解析式；
（2）设点的坐标为，求面积的最大值；
（3）若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线
则
将点，代入
解得
抛物线的解析式为
设直线的解析式为
将点，代入
解得
直线的函数解析式为
（2）点M的坐标为，轴，
，，
，
，
当点P在射线上或在射线上，没有最大值，
点P在线段上，
当时有最大值
（3）存在这样的点P，使，理由如下：
，
与相似时由两种情况：
①当时，，
过点N作轴交于点E，
，
，
，
，又，
，
，，，，，
，经检验，是分式方程的根，
点的坐标为
②当时，，
则轴，
点纵坐标为，
，
或（舍去）
点的坐标为
综上所述：点的坐标为或
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由对称轴可得，再把B、C坐标代入解析式中求出a、c的值即得抛物线解析式；利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）由P（m，0）可得，，从而得出PN=，继而得出，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分两种情况：①当时，，②当时，，利用相似三角形的判定与性质分别求解即可.
9．（2024九上·衡东期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）如图1，连结，求的面积的最大值；
（3）如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与相似 若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：把、代入得
，解得
∴该二次函数的解析式为 ；
（2）解：设直线的解析式为，把 代入得
，解得 ，
∴直线的解析式为，
过点作轴交直线于点，
设 则
，
∴当时，有最大值，最大值为.
（3）解：点的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；二次函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（3）当时，如图：
∴轴，
∴点的纵坐标为，
，
解得 (舍去)， ，
，
当时，
，
过点作于，
轴，
，
，
，
，
由（2）得
，
解得：(舍去)，
综上，点的坐标为或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，C坐标代入二次函数解析式即可求出答案；
（2）设直线的解析式为，根据待定系数法把 代入直线解析式可得直线的解析式为，过点作轴交直线于点，设 则 根据两点间的距离公式可得，再根据，根据二次函数的性质即可求出答案；
（3）当时，根据平行于x轴的直线上点的坐标特征列出方程，解方程可得；当时，过点作于，可得轴，则，由（2）得列出方程，解方程可得即可求出答案.
10．（2022九上·融水期中）如图，在矩形中，，，沿直线折叠矩形的一边．使点落在边上的点处．分别以所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，抛物线经过，，三点．
（1）求的长及拋物线的解析式；
（2）一动点从点出发，沿以每秒个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒个单位长的速度向点运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，以为顶点的三角形与相似？
【答案】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，，．
由折叠的性质得，，
∴，，．
由勾股定理得．
∴．
设，则，
由勾股定理得，即，
解得，．
∴
∴，
∵抛物线过点，，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得，，
∴．而，，
∴．
当，，
∴，即，解得．
当，，
∴，即，解得．
∴当或时，以、、为顶点的三角形与相似．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）设，则，利用勾股定理可得，即，求出x的值，即可得到AD的长，再将点O、D、C的坐标分别代入求出a、b、c的值即可；
（2）分类讨论：①当，，②当，，再分别列出比例式和方程求解即可.
（1）解：∵四边形为矩形，
∴，，．
由折叠的性质得，，
∴，，．
由勾股定理得．
∴．
设，则，
由勾股定理得，即，
解得，．
∴
∴，
∵抛物线过点，，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：∵，，
∴，
由可得，，
∴．而，，
∴．
当，，
∴，即，解得．
当，，
∴，即，解得．
∴当或时，以、、为顶点的三角形与相似．
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