二次函数的动态几何问题—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题
1．（2019九上·柯桥月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
2．（2019九上·松山期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018九上·台州期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=6cm，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以3cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以 cm/s的速度移动，设△BPQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2017九上·鄞州月考）如图，等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020九上·镇海开学考）如图， △ABC 和 △DEF 都是边长为 2 的等边三角形，它们的边 BC，EF 在同一条直线l 上，点C，E 重合.现将 △ABC 沿直线l 向右移动，直至点 B 与 F 重合时停止移动.在此过程中，设点C 移动的距离为 x ，两个三角形重叠部分的面积为 y ，则 y 随 x 变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019九上·秀洲月考）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点 P，Q 同时从点A 出发，在正方形的边上，分别按 ， 的方向，都以 1cm/s 的速度运动，到达点C运动终止，连接 PQ ，设运动时间为 x（s） ，△APQ的面积为 y（cm ） ，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·裕安月考）如图，在中，，，于点点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020九上·绍兴月考）如图，在四边形 ABCD 中， AD∥BC ， ∠A=45° ， ∠C=90° ， AD=4cm ，CD=3cm 、动点M，N同时从点A出发，点M以 cm/s 的速度沿 AB 向终点B运动，点N以2cm/s 的速度沿折线 AD-DC 向终点C运动.设点N的运动时间为ts ，△AMN 的面积为 Scm ，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2021九上·寻乌期末）如图，已知⊙P的半径是1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 ．
10．（2023九上·南浔月考）如图抛物线与轴交于，与轴交于点，点为顶点，线段上有一动点，以为底边向下作等腰三角形，且，则的最小值为 ．
11．（2023九上·安化期末）正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为 .
12．（2021九上·汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2﹣2x＋c 的图象与 x 轴交于 A、C 两点，与 y轴交于点 B（0，﹣3），若 P 是 x 轴上一动点，点 D（0，1）在 y 轴上，连接 PD，则 C 点的坐标是 ，PD＋PC 的最小值是 ．
三、解答题
13．（2023九上·乐清期中）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
14．（2024九上·拱墅期末）如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值.
15．（2024九上·浙江期中）如图1，一块矩形电子屏ABCD中，G为BC上一感应点，GC＝2，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以GP为边的正方形区域GPEF．因发生故障，只有光带CM和MB正常工作，CM＝4，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿C→M→B匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域GPEF的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图象，其中点Q表示P点运动到B点时情形．
（1）图2中a＝ ；当t＝1时，照亮的区域面积S＝ ．
（2）当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数．求出点P在整个运动过程中S关于t的函数解析式；
（3）若存在三个时刻t1、t2、t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形的面积均相等．①t1+t2＝ ；②当t3＝4t1时，则正方形GPEF的面积为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2
∴，
设PD=x，AB边上的高为h
即
解之：.
∵PD⊥AC，∠ACB=90°
∴∠ACB=∠ADP
∴PD∥BC
∴即
解之：AD=2x.
∴
∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x增大而减小；
当0＜x＜时，S1+S2的值随x增大而减小；
∴S1+S2的大小变化情况是先减小后增大.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，设PD=x，AB边上的高为h，利用三角形的面积公式求出h的值；再利用平行线分线段成比例定理，建立方程求出AD=2x，再利用勾股定理求出AP的长，然后求出 S1+S2与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可作出判断。
2．【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】∵运动时间x（s），则CP=x，CO=2x；
∴S△CPO=CP CO=x 2x=x2．
∴则△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数关系式是：y=x2（0≤x≤3），
故选：C．
【分析】解决本题的关键是正确确定y与x之间的函数解析式．
3．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠B=90°，∠C=30°
∴AC=2AB=12
∴BC==
当点P在AB之间运动即当0＜x≤2时
∴PB=3x，BQ=x
∴y=
抛物线的开口向上
∴C、D不符合题意；
当2＜x＜6时
过点P作PH⊥BC于点H
由题意可知：∠C=30°
BQ=x，AP=3x-6，则CP=12-（3x-6）=18-3x
∴PH=PC=9-
∴y=BQ·PH==
y是x的二次函数，因此A不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用直角三角形的性质及勾股定理，可求出AC、BC的长，分两种情况讨论：当点P在AB之间运动即当0＜x≤2时，根据两点的运动速度就可表示出PB和BQ的长，再利用三角形的面积公式就可得出y与x的函数解析式，就可排除C、D；当2＜x＜6时，可得出AB+AP=3x，就可表示出AP的长，再求出CP的长，过点P作PH⊥BC于点H，利用直角三角形的性质，就可得出PH的长，再利用三角形的面积公式，就可表示出y与x的函数解析式，即y是x的二次函数，因此排除A，就可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】分段函数；列二次函数关系式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y
∴当C从D点运动到E点时，即0 x 2时，y= ×2×2 (2 x)×(2 x)= x +2x.
当A从D点运动到E点时，即2∴y与x之间的函数关系
由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应。
故答案为：A.
【分析】根据已知观察图像，可知此题分两段求解，即当C从D点运动到E点时，即0 x 2时；当A从D点运动到E点时，即25．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：由题意可知重叠部分的三角形是等边三角形，
∵点C 移动的距离为 x
∴重叠部分的三角形的边长为x，
∴重叠的三角形的高为
∴y是x的二次函数，再往右移动重叠部分的边长变为4-x，
点C移动到点F之前，重叠部分的三角形的边长为x，
∴；
点B移动到点F时，重叠部分的三角形的边长为4-x，则高为
∴
当两三角形重合时面积正好是；
故答案为：A.
【分析】由题意可知重叠部分的三角形是等边三角形，点C 移动的距离为 x，利用解直角三角形可得到重叠的三角形的高，再往右移动重叠部分的边长变为4-x，点C移动到点F之前，重叠部分的三角形的边长为x，利用三角形的面积公式可知y是x的二次函数；点B移动到点F时，重叠部分的三角形的边长为4-x，利用解直角三角形可求出高，然后利用三角形的面积公式可得到y与x的函数解析式，由此可得答案。
6．【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：如图，
①当0≤x≤2时，∵正方形的边长为2cm，∴y=S△APQ=AQ AP=x2；
②当2≤x≤4时，y=S△APQ=S正方形ABCD S△CP′Q′ S△ABQ′ S△AP′D，=2×2 (4 x)2
×2×(x 2) ×2×(x 2)= x2+2x；
∴ y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，对照各选项，只有A的图象符合.
故答案为：A.
【分析】根据题意结合图形，分两种情况讨论：①0≤x≤2时，根据S△APQ=AQ AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；②2≤x≤4时，根据S△APQ=S正方形ABCD-S△CP′Q′-S△ABQ′-S△AP′D列出函数关系式，从而再得到函数图象，再对照四个选项即可作答．
7．【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：在中，，，
，，
于点，
，
，，
四边形是矩形，
，，
点运动的路程为，
，
则，
，
四边形的面积为，
当点从点出发，沿路径运动时，
即时，
，
当时，抛物线开口向下；
当点沿路径运动时，
即时，
是的平分线，
，
四边形是正方形，
，，
，
．
当时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映与之间函数关系的图象是：．
故选：．
【分析】根据动点的坐标特点，找到矩形长和宽的表达式，进一步找到面积的表达式；根据二次函数的图象特点判定最终图象。
8．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：①如图，当0＜t≤2时，作MH⊥AN于N，
S=AN×MH=×2t×tcos45°=t2，
②如图，当2＜t≤3时，连接DM，
S=S△MND+S△AMD+S△ADN=×（2t-4）×（4-t）+×4×t-×4×（2t-4）
=-t2+4t，
③如图，当3＜t≤3.5时，连接BN，
S=S△MND+S△AMD+S△ADN=×（2t-4）×1+×4×3-×4×（2t-4）
=-3t+12，
综上可知，符合条件的函数图象是B.
故答案为：B.
【分析】分三种情况作答，即①当0＜t≤2时，②当3＜t≤3.5时，③当3＜t≤3.5时，用分割法分别求出 △AMN的面积表达式，根据此分段函数选出符合条件的选项即可.
9．【答案】（3，1）或（-1，1）或（1，-1）
【知识点】二次函数-动态几何问题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：设点P（x，y），，
∵⊙P与x轴相切
∴|y|＝1
∴y＝±1
①当y＝1时，，
解得：x1＝3，x2＝－1
∴点P（3，1），（－1，1）
②当y＝－1时，，
解得：x＝1
∴点P（1，－1）
故答案为（3，1）或（－1，1）或（1，－1）
【分析】先求出y＝±1，再分类讨论列方程求解即可。
10．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；二次函数-动态几何问题
【解析】 【解答】解：令y=0得：解得：即抛物线与轴交于与轴交于点又将抛物线的一般方程配成顶点方程可得：则抛物线的顶点P坐标为，对称轴直线方程为：设直线AP的方程为：将A、P两点代入得：解得：即直线AP的方程为：
∵为线段上一动点，∴可设点D的坐标为过点E作x轴的平行线交y轴于点N，交过D点的与y轴平行线于点M，
设点E的坐标为，则∵
∴又在和中，∴（AAS），
∴则解得故点E的坐标为：根据两点间的距离公式可得：，故当时，有最小值，即的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题主要考查二次函数与几何问题得综合运用、三角形全等的判定与性质、两点间的距离公式，根据已知条件分别求得点A、B、P的坐标，然后在运用待定系数法求得直线AP的方程，进而可设出点D的坐标，设点E的坐标为，再证明，得到得出a、b关于m的表达式，再运用两点式表示出，运用二次函数的性质即可求出的最小值，进而求出答案.
11．【答案】
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定；二次函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意作出图形，如图所示：
在正方形中，，边长为6，设的长为，则，
，
，即，
，
，
，
，
，，
∴，
，
∴，
，
在时有最大值，最大值为，
故答案为：．
【分析】本题考查几何综合，正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值。根据题意，作出图形，设的长为，则，利用正方形的性质可推出，利用两个三角形相似的判定可证明，利用相似三角形的性质可得：，代入数据进行计算，再进行配方可得：，利用二次函数的性质可求出BE的最大值.
12．【答案】（3，0）；4
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），C（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），
∴OD＝1，BD＝1-（-3）=4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∵∠PCJ=45°，
∴∠CPJ=90°-∠PCJ=45°，
∴PJ=JC，
根据勾股定理
∴，
∴，
∵，
∴，
∴PD+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故答案为： （3，0），4．
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可。
13．【答案】（1）解：将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴顶点坐标E（4，﹣1）；
（2）解：如图1.1，图1.2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB＝CD．
设D（4，m），
∵C（0，3），由勾股定理可得：
42+（m﹣3）2＝62+32，
解得，
∴满足条件的点D的坐标为或；
（3）解：如图2，设CQ交抛物线的对称轴于点M，
设P（n，），则Q（n，），
设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则＝nk+3，
解得：k＝n﹣2﹣，
∴CQ：y＝（）x+3，
当x＝4时，y＝4（）+3＝n﹣5﹣，
∴M（4，），ME＝n﹣4﹣，
∴S△CQE＝S△CEM+S△QEM＝×n （n﹣4﹣）＝12，
∴n2﹣4n﹣60＝0，
解得n＝10或n＝﹣6，
当n＝10时，P（10，8），当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．
综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】( 1 )根据二次函数y＝ax2+bx+3的图像与x轴相交于A（2，0），B（6，0）两点，把这两点代入到该二次函数中求出a和b的值即可.
( 2 )当BD的垂直平分线恰好经过点C时，说明C点在线段BD的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质得出CB=CD，然后通过设D（4，m），再通过勾股定理求出m的值，即可求出D点坐标.
（3）设CQ交抛物线的对称轴于点M，然后设P和Q点坐标和直线CQ的解析式，求出k的值并代入直线CQ的解析式中，把x=4代入直线CQ的解析式中求出y的值即可表示出M点的坐标，从而得出ME的长， 根据S△CQE＝S△CEM+S△QEM得出n2﹣4n﹣60＝0 ，求出n的值，由此即可得出满足条件的p点坐标.
14．【答案】（1）解：抛物线过点，且它的对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为，把代入，得，
解得：，
故此拋物线的解析式为；
（2）解：如图，
∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
设
设直线OA的解析式为，
则，
解得：，
设直线OA与抛物线对称轴交于点，则，
解得：，
点的坐标为；
（3）解：设直线AB的解析式为，把代入得：，
解得：，
直线AB的解析式为，
当的值最大时，A、B、P在同一条直线上，
∵P是抛物线上的动点，
解得：舍去)，
此时，.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，再利用待定系数法（交点式）求解析式即可；
（2）可设设先求出直线OA的解析式为y=x，再求出直线OA与抛物线对称轴交于点（2，2），可得BH=m-2，根据三角形OAB的面积建立关于m的方程并解之即可；
（3）先求出直线AB的解析式为，当A、B、P在同一条直线上，的值最大，最大值为AB的长，利用两点间的距离公式求出AB即得的最大值，联立直线AB与抛物线解析式为方程组并解之，即得点P坐标.
15．【答案】（1）24；9
（2）解：i)当 时，
ii)当 时， 由已知可得抛物线的顶点为
设解析式为 ，
图象经过
抛物线的解析式为：
综上所述， 点 在整个运动过程中 关于 的函数解析式为
（3）8；
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(1)由题意，当t=4时，PC=4，由勾股定理得GP2=GC2+PC2=(2)2+42=24，S=GP2=24，故a=24.当t=1时，PC=1，GP2=GC2+PC2=(2)2+12=9，故S=9；
(3)如图所示，
当0≤t≤8时，图像关于直线x=4对称，且存在 三个时刻t1、t2、t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形的面积均相等，故 t1+t2＝ 8；
当t>4时，，图像关于直线x=8对称，故t2+t3=16，
同时 t1+t2＝ 8， t3＝4t1 ，
解得t3=，
代入函数解析式得S=
【分析】(1)由图像当t=4时，S=a，求出此时的PC的长得GP的平方，即为正方形的面积，同理当t=1时，求出GP2，即为面积；
(2)当t<4时，求出GP2的表达式，即为面积表达式；当t>4时，结合题意设顶点式，代入(4，24)即可求出解析式；
(3)结合图像的对称性知 t1+t2＝ 8，t2+t3=16，同时 t3＝4t1，求出t3的值，代入函数解析式即可得对应的面积.
1 / 1二次函数的动态几何问题—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题
1．（2019九上·柯桥月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】C
【知识点】勾股定理；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2
∴，
设PD=x，AB边上的高为h
即
解之：.
∵PD⊥AC，∠ACB=90°
∴∠ACB=∠ADP
∴PD∥BC
∴即
解之：AD=2x.
∴
∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x增大而减小；
当0＜x＜时，S1+S2的值随x增大而减小；
∴S1+S2的大小变化情况是先减小后增大.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，设PD=x，AB边上的高为h，利用三角形的面积公式求出h的值；再利用平行线分线段成比例定理，建立方程求出AD=2x，再利用勾股定理求出AP的长，然后求出 S1+S2与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可作出判断。
2．（2019九上·松山期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】∵运动时间x（s），则CP=x，CO=2x；
∴S△CPO=CP CO=x 2x=x2．
∴则△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数关系式是：y=x2（0≤x≤3），
故选：C．
【分析】解决本题的关键是正确确定y与x之间的函数解析式．
3．（2018九上·台州期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=6cm，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以3cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以 cm/s的速度移动，设△BPQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠B=90°，∠C=30°
∴AC=2AB=12
∴BC==
当点P在AB之间运动即当0＜x≤2时
∴PB=3x，BQ=x
∴y=
抛物线的开口向上
∴C、D不符合题意；
当2＜x＜6时
过点P作PH⊥BC于点H
由题意可知：∠C=30°
BQ=x，AP=3x-6，则CP=12-（3x-6）=18-3x
∴PH=PC=9-
∴y=BQ·PH==
y是x的二次函数，因此A不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用直角三角形的性质及勾股定理，可求出AC、BC的长，分两种情况讨论：当点P在AB之间运动即当0＜x≤2时，根据两点的运动速度就可表示出PB和BQ的长，再利用三角形的面积公式就可得出y与x的函数解析式，就可排除C、D；当2＜x＜6时，可得出AB+AP=3x，就可表示出AP的长，再求出CP的长，过点P作PH⊥BC于点H，利用直角三角形的性质，就可得出PH的长，再利用三角形的面积公式，就可表示出y与x的函数解析式，即y是x的二次函数，因此排除A，就可得出答案。
4．（2017九上·鄞州月考）如图，等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数；列二次函数关系式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y
∴当C从D点运动到E点时，即0 x 2时，y= ×2×2 (2 x)×(2 x)= x +2x.
当A从D点运动到E点时，即2∴y与x之间的函数关系
由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应。
故答案为：A.
【分析】根据已知观察图像，可知此题分两段求解，即当C从D点运动到E点时，即0 x 2时；当A从D点运动到E点时，即25．（2020九上·镇海开学考）如图， △ABC 和 △DEF 都是边长为 2 的等边三角形，它们的边 BC，EF 在同一条直线l 上，点C，E 重合.现将 △ABC 沿直线l 向右移动，直至点 B 与 F 重合时停止移动.在此过程中，设点C 移动的距离为 x ，两个三角形重叠部分的面积为 y ，则 y 随 x 变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：由题意可知重叠部分的三角形是等边三角形，
∵点C 移动的距离为 x
∴重叠部分的三角形的边长为x，
∴重叠的三角形的高为
∴y是x的二次函数，再往右移动重叠部分的边长变为4-x，
点C移动到点F之前，重叠部分的三角形的边长为x，
∴；
点B移动到点F时，重叠部分的三角形的边长为4-x，则高为
∴
当两三角形重合时面积正好是；
故答案为：A.
【分析】由题意可知重叠部分的三角形是等边三角形，点C 移动的距离为 x，利用解直角三角形可得到重叠的三角形的高，再往右移动重叠部分的边长变为4-x，点C移动到点F之前，重叠部分的三角形的边长为x，利用三角形的面积公式可知y是x的二次函数；点B移动到点F时，重叠部分的三角形的边长为4-x，利用解直角三角形可求出高，然后利用三角形的面积公式可得到y与x的函数解析式，由此可得答案。
6．（2019九上·秀洲月考）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点 P，Q 同时从点A 出发，在正方形的边上，分别按 ， 的方向，都以 1cm/s 的速度运动，到达点C运动终止，连接 PQ ，设运动时间为 x（s） ，△APQ的面积为 y（cm ） ，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：如图，
①当0≤x≤2时，∵正方形的边长为2cm，∴y=S△APQ=AQ AP=x2；
②当2≤x≤4时，y=S△APQ=S正方形ABCD S△CP′Q′ S△ABQ′ S△AP′D，=2×2 (4 x)2
×2×(x 2) ×2×(x 2)= x2+2x；
∴ y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，对照各选项，只有A的图象符合.
故答案为：A.
【分析】根据题意结合图形，分两种情况讨论：①0≤x≤2时，根据S△APQ=AQ AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；②2≤x≤4时，根据S△APQ=S正方形ABCD-S△CP′Q′-S△ABQ′-S△AP′D列出函数关系式，从而再得到函数图象，再对照四个选项即可作答．
7．（2023九上·裕安月考）如图，在中，，，于点点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：在中，，，
，，
于点，
，
，，
四边形是矩形，
，，
点运动的路程为，
，
则，
，
四边形的面积为，
当点从点出发，沿路径运动时，
即时，
，
当时，抛物线开口向下；
当点沿路径运动时，
即时，
是的平分线，
，
四边形是正方形，
，，
，
．
当时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映与之间函数关系的图象是：．
故选：．
【分析】根据动点的坐标特点，找到矩形长和宽的表达式，进一步找到面积的表达式；根据二次函数的图象特点判定最终图象。
8．（2020九上·绍兴月考）如图，在四边形 ABCD 中， AD∥BC ， ∠A=45° ， ∠C=90° ， AD=4cm ，CD=3cm 、动点M，N同时从点A出发，点M以 cm/s 的速度沿 AB 向终点B运动，点N以2cm/s 的速度沿折线 AD-DC 向终点C运动.设点N的运动时间为ts ，△AMN 的面积为 Scm ，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：①如图，当0＜t≤2时，作MH⊥AN于N，
S=AN×MH=×2t×tcos45°=t2，
②如图，当2＜t≤3时，连接DM，
S=S△MND+S△AMD+S△ADN=×（2t-4）×（4-t）+×4×t-×4×（2t-4）
=-t2+4t，
③如图，当3＜t≤3.5时，连接BN，
S=S△MND+S△AMD+S△ADN=×（2t-4）×1+×4×3-×4×（2t-4）
=-3t+12，
综上可知，符合条件的函数图象是B.
故答案为：B.
【分析】分三种情况作答，即①当0＜t≤2时，②当3＜t≤3.5时，③当3＜t≤3.5时，用分割法分别求出 △AMN的面积表达式，根据此分段函数选出符合条件的选项即可.
二、填空题
9．（2021九上·寻乌期末）如图，已知⊙P的半径是1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 ．
【答案】（3，1）或（-1，1）或（1，-1）
【知识点】二次函数-动态几何问题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：设点P（x，y），，
∵⊙P与x轴相切
∴|y|＝1
∴y＝±1
①当y＝1时，，
解得：x1＝3，x2＝－1
∴点P（3，1），（－1，1）
②当y＝－1时，，
解得：x＝1
∴点P（1，－1）
故答案为（3，1）或（－1，1）或（1，－1）
【分析】先求出y＝±1，再分类讨论列方程求解即可。
10．（2023九上·南浔月考）如图抛物线与轴交于，与轴交于点，点为顶点，线段上有一动点，以为底边向下作等腰三角形，且，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；二次函数-动态几何问题
【解析】 【解答】解：令y=0得：解得：即抛物线与轴交于与轴交于点又将抛物线的一般方程配成顶点方程可得：则抛物线的顶点P坐标为，对称轴直线方程为：设直线AP的方程为：将A、P两点代入得：解得：即直线AP的方程为：
∵为线段上一动点，∴可设点D的坐标为过点E作x轴的平行线交y轴于点N，交过D点的与y轴平行线于点M，
设点E的坐标为，则∵
∴又在和中，∴（AAS），
∴则解得故点E的坐标为：根据两点间的距离公式可得：，故当时，有最小值，即的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题主要考查二次函数与几何问题得综合运用、三角形全等的判定与性质、两点间的距离公式，根据已知条件分别求得点A、B、P的坐标，然后在运用待定系数法求得直线AP的方程，进而可设出点D的坐标，设点E的坐标为，再证明，得到得出a、b关于m的表达式，再运用两点式表示出，运用二次函数的性质即可求出的最小值，进而求出答案.
11．（2023九上·安化期末）正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定；二次函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意作出图形，如图所示：
在正方形中，，边长为6，设的长为，则，
，
，即，
，
，
，
，
，，
∴，
，
∴，
，
在时有最大值，最大值为，
故答案为：．
【分析】本题考查几何综合，正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值。根据题意，作出图形，设的长为，则，利用正方形的性质可推出，利用两个三角形相似的判定可证明，利用相似三角形的性质可得：，代入数据进行计算，再进行配方可得：，利用二次函数的性质可求出BE的最大值.
12．（2021九上·汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2﹣2x＋c 的图象与 x 轴交于 A、C 两点，与 y轴交于点 B（0，﹣3），若 P 是 x 轴上一动点，点 D（0，1）在 y 轴上，连接 PD，则 C 点的坐标是 ，PD＋PC 的最小值是 ．
【答案】（3，0）；4
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），C（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），
∴OD＝1，BD＝1-（-3）=4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∵∠PCJ=45°，
∴∠CPJ=90°-∠PCJ=45°，
∴PJ=JC，
根据勾股定理
∴，
∴，
∵，
∴，
∴PD+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故答案为： （3，0），4．
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可。
三、解答题
13．（2023九上·乐清期中）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴顶点坐标E（4，﹣1）；
（2）解：如图1.1，图1.2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB＝CD．
设D（4，m），
∵C（0，3），由勾股定理可得：
42+（m﹣3）2＝62+32，
解得，
∴满足条件的点D的坐标为或；
（3）解：如图2，设CQ交抛物线的对称轴于点M，
设P（n，），则Q（n，），
设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则＝nk+3，
解得：k＝n﹣2﹣，
∴CQ：y＝（）x+3，
当x＝4时，y＝4（）+3＝n﹣5﹣，
∴M（4，），ME＝n﹣4﹣，
∴S△CQE＝S△CEM+S△QEM＝×n （n﹣4﹣）＝12，
∴n2﹣4n﹣60＝0，
解得n＝10或n＝﹣6，
当n＝10时，P（10，8），当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．
综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】( 1 )根据二次函数y＝ax2+bx+3的图像与x轴相交于A（2，0），B（6，0）两点，把这两点代入到该二次函数中求出a和b的值即可.
( 2 )当BD的垂直平分线恰好经过点C时，说明C点在线段BD的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质得出CB=CD，然后通过设D（4，m），再通过勾股定理求出m的值，即可求出D点坐标.
（3）设CQ交抛物线的对称轴于点M，然后设P和Q点坐标和直线CQ的解析式，求出k的值并代入直线CQ的解析式中，把x=4代入直线CQ的解析式中求出y的值即可表示出M点的坐标，从而得出ME的长， 根据S△CQE＝S△CEM+S△QEM得出n2﹣4n﹣60＝0 ，求出n的值，由此即可得出满足条件的p点坐标.
14．（2024九上·拱墅期末）如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值.
【答案】（1）解：抛物线过点，且它的对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为，把代入，得，
解得：，
故此拋物线的解析式为；
（2）解：如图，
∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
设
设直线OA的解析式为，
则，
解得：，
设直线OA与抛物线对称轴交于点，则，
解得：，
点的坐标为；
（3）解：设直线AB的解析式为，把代入得：，
解得：，
直线AB的解析式为，
当的值最大时，A、B、P在同一条直线上，
∵P是抛物线上的动点，
解得：舍去)，
此时，.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，再利用待定系数法（交点式）求解析式即可；
（2）可设设先求出直线OA的解析式为y=x，再求出直线OA与抛物线对称轴交于点（2，2），可得BH=m-2，根据三角形OAB的面积建立关于m的方程并解之即可；
（3）先求出直线AB的解析式为，当A、B、P在同一条直线上，的值最大，最大值为AB的长，利用两点间的距离公式求出AB即得的最大值，联立直线AB与抛物线解析式为方程组并解之，即得点P坐标.
15．（2024九上·浙江期中）如图1，一块矩形电子屏ABCD中，G为BC上一感应点，GC＝2，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以GP为边的正方形区域GPEF．因发生故障，只有光带CM和MB正常工作，CM＝4，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿C→M→B匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域GPEF的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图象，其中点Q表示P点运动到B点时情形．
（1）图2中a＝ ；当t＝1时，照亮的区域面积S＝ ．
（2）当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数．求出点P在整个运动过程中S关于t的函数解析式；
（3）若存在三个时刻t1、t2、t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形的面积均相等．①t1+t2＝ ；②当t3＝4t1时，则正方形GPEF的面积为 ．
【答案】（1）24；9
（2）解：i)当 时，
ii)当 时， 由已知可得抛物线的顶点为
设解析式为 ，
图象经过
抛物线的解析式为：
综上所述， 点 在整个运动过程中 关于 的函数解析式为
（3）8；
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(1)由题意，当t=4时，PC=4，由勾股定理得GP2=GC2+PC2=(2)2+42=24，S=GP2=24，故a=24.当t=1时，PC=1，GP2=GC2+PC2=(2)2+12=9，故S=9；
(3)如图所示，
当0≤t≤8时，图像关于直线x=4对称，且存在 三个时刻t1、t2、t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形的面积均相等，故 t1+t2＝ 8；
当t>4时，，图像关于直线x=8对称，故t2+t3=16，
同时 t1+t2＝ 8， t3＝4t1 ，
解得t3=，
代入函数解析式得S=
【分析】(1)由图像当t=4时，S=a，求出此时的PC的长得GP的平方，即为正方形的面积，同理当t=1时，求出GP2，即为面积；
(2)当t<4时，求出GP2的表达式，即为面积表达式；当t>4时，结合题意设顶点式，代入(4，24)即可求出解析式；
(3)结合图像的对称性知 t1+t2＝ 8，t2+t3=16，同时 t3＝4t1，求出t3的值，代入函数解析式即可得对应的面积.
1 / 1
