二次函数的实际应用（2)—浙教版数学九（上）知识点训练
一、拱桥问题
1．（2024九上·长沙开学考）如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
2．（2024九上·温州开学考）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
3．（【全品】2024浙江专版全品中考复习方案备考手册第15课时二次函数的实际应用） 如图 15-1 是抛物线形拱桥， 当拱顶离水面 时，水面宽 ， 当水面上升 时，水面宽度变为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·重庆市开学考）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 米．
5．（2023九上·杭州期中）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为.小强骑自行车从拱梁一端沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 .
6．（2023九上·杭州期中） 如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
7．（2024九上·拱墅月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案？
素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，过抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示． 某时测得水面宽20m，拱顶离水面最大距离为10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．
素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）
（1）【确定桥拱形状】根据图2，求抛物线的函数表达式．
（2）【拟定设计方案】求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
（3）【探究救生绳长度】当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数．）
8．（2024九上·杭州期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型：②）圆弧型，已知这座桥的跨度L=20米，拱高h=5米.
（1）如图1，若设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，B的垂直平分线为y轴建立坐标系，求此函数表达式；
（2）如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
（3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米，从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥 并说明理由.
二、抛球问题
9．（2021九上·杭州期中）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝ ；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降.其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
10．（2023九上·舟山期中）如图，一位篮球运动员投篮，球的行进路线是沿抛物线（，的单位都为），然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，他距篮筐中心的水平距离是，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
11．（2022九上·拱墅月考）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止
C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点
12．（2023九上·拱墅月考）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2．若h1＝1.21h2，则t1：t2＝ ．
13．（2023九上·柯桥月考）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x-6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是 ．
14．（2024九上·桐乡市期末）2022年北京冬奥会，其中跳台滑雪是极具观赏性的比赛项目之一．如图是某跳台滑雪比赛场地的横截面示意图，线段表示出发台，表示助滑坡，点表示起跳点，线段表示着陆坡，点表示此跳台滑雪的点．以水平地面为轴，过点作轴的垂线为轴，建立平面直角坐标系．已知起跳点到水平地面的距离为60米，到轴的距离是40米，米，米．
K点是跳台滑雪中打出距离分所用的参照点，此跳台的参照距离是75米，即CK=75米.
距离分=60+2×(跳跃距离-75).
跳跃距离是指起跳点C与着陆点之间的距离.
（1）求点的坐标；
（2）某运动员从点滑出，在空中飞行的轨迹（与横截面在同一平面内）可以近似地看成一条抛物线，其函数表达式为．
①若该运动员第一跳的距离分是60分，求此时该抛物线的表达式；
②为了在第二跳中取得更好的成绩，该运动在起跳角度和空中姿势方面做了一定的调整，使得第二跳的飞行轨迹抛物线的表达式为，求该运动员此跳的距离分．
15．（2024·衢州模拟）【综合与实践】
某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为．过点作，垂足为，以点为原点，以直线BC为轴，OA所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒兵球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，得到如下部分数据：
0 0.5 1 1.5 2 …
0.25 0.4 0.45 0.4 0.25 …
（1）当 ▲ 时，乒乓球达到最大高度；求出与之间的函数关系式；
（2）桌面正中间位置安装的球网GH的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端的距离约为多少 （结果保留两位小数）
（3）乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线EF长为，下沿在轴上，假设抛物线，与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点在点右侧），直接写出：
① ；
②球拍到桌边的距离CE的取值范围 ．
16．（2022九上·南湖期中）小陆和小吕参加体育节双人互垫排球项目，小陆和小吕按比赛要求站立，小陆在左边发球后，排球球心运动的路线为抛物线的一部分，以抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图），小陆发球时排球球心与y轴水平距离为，且球心离地最大高度是，根据图中信息：
（1）请求出排球球心运动路线的函数表达式；
（2）求小陆发球时球心离地高度多少米；
（3）若接球时球心离地高度不高于0.5m，则小吕在接球时球心离y轴至少多少米？（精确到0.1米，参考值：≈1.73，≈2.45）
三、喷水问题
17．（2020九上·越城期中）某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
18．（2020九上·杭州月考）某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度 与水流时间 之间的解析式为 ，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
19．（2020九上·吴兴期末）学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点. 洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD. 小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH=12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线. 小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（ ）cm
A． B． C． D．
20．（2021九上·柯城月考）准备在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水装置（如图1），已知遮阳棚DB与竖杆OB垂直，遮阳棚的高度OB＝3米，喷水点A与地面的距离OA＝1米（喷水点A喷出来的水柱呈抛物线型），水柱喷水的最高点恰好是遮阳棚的C处，C到竖杆的水平距离BC＝2米（如图2），此时水柱的函数表达式为 ，现将遮阳棚BD绕点B向上旋转45°（如图3），则此时水柱与遮阳棚的最小距离为 米.（保留根号）
21．（2018九上·浙江期中）某游乐园要建一个圆形喷水池，在喷水池的中心安装一个大的喷水头，高度为 m，喷出的水柱沿抛物线轨迹运动（如图），在离中心水平距离4m处达到最高，高度为6m，之后落在水池边缘，那么这个喷水池的直径AB为 m.
22．（2020九上·余杭期中）如图，斜坡 长10米，按图中的直角坐标系可用 表示，点A，B分别在x轴和y轴上.在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛线可用 表示.
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？
23．（2022九上·温州月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器OA喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为0.25m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m处达到最高，高度为0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界B点处．
素材2 为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高0.4m，宽0.8m，侧面用大理石包围，长方形BCDE是花坛截面，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方DE边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1 确定水柱的形状 在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
任务2 确定喷灌器的位置 求出喷灌器OA与围墙的距．
任务3 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，
如图所示：
∵桥的最大高度是16米，跨度是40米，
∴抛物线顶点C（0，16），A（20，0），B（20，0），
设抛物线解析式为y=ax2+16，将A（20，0）代入得0=400a+16，解得，
∴抛物线解析式为，
当x=5时，，
∴在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是15米，
故选：D．
【分析】以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，根据桥的最大高度是16米，跨度是40米，求出抛物线解析式，再将x=5代入计算，即可求解，其中掌握二次函数的解析式的三种形式：一般式、顶点式和交点式，合理应用待定系数法求解是解答的关键.
2．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设出抛物线方程，
由图象可知该图象经过点，
故，
，
故，
故答案为：A．
【分析】以拱桥洞的最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，则可设该抛物线的解析式y=ax2（a≠0），由题意知该抛物线经过点（-3，-3），将该点坐标代入可求出a的值， 从而即可得到该抛物线的解析式.
3．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以顶点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的表达式为y=ax2，则点（-2，-2）在抛物线上，所以(-2)2a=-2，解得a=-0.5，所以抛物线的表达式为y=-0.5x2，当水面上升1.5m时，也就是y=-(2-1.5)=-0.5，此时-0.5x2=-0.5，解得x=±1，所以水面宽度为1-（-1）=2（m）.
故答案为：B.
【分析】先建立平面直角坐标系，设出函数表达式为y=ax2，根据图象代入一对点的坐标求出函数表达式，再求出当水面上升 时，水面宽度.
4．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：∵该抛物线上的点E、F距水面AB高8米，
∴当时，有，
解得：，
∴，即这两盏灯的水平距离EF为米，
故答案为：．
【分析】可知求EF的值，只需求点E、F的横坐标即可，根据题意可知当时，有，然后解方程求出x的值，即为所求两点横坐标的值.
5．【答案】36
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由题意知，抛物线的对称轴方程为x=18，则点C的坐标为（36，0），根据抛物线的对称性可得小强从O点经过10秒和26秒时到点C的时间相同，所以小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需10+（26-10）+10=36秒.
故答案为：36.
【分析】由题意得抛物线对称轴方程，再根据抛物线的对称性即可得解。
6．【答案】（1）解：由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2），
设抛物线解析式为y＝a（x-10）2+6，
把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2，
解得：，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为y＝（x-10）2+6；
（2）解：此船不能通过，理由：
当y＝2+3＝5时，（x-10）2+6=5，
解得x＝5或x＝15，
∵15-5＝10＜12，
∴此船不能通过桥洞．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）先求出点A，点P，点B的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式，将A的坐标代入即可求得；
（2）当y=5时得x的值，再计算出两个x的值的差的绝对值与12比较大小即可.
7．【答案】（1）解：如图，已知抛物线关于轴对称，设解析式为，抛物线经过，，得：
，
解得，
；
（2）解：两种放法：
①抛物线，设抛物线与x轴的两个交点记作F，G，令，
点，.
如图，从距离对称轴2米处开始向两边悬挂，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于轴成轴对称，
，
左侧可挂3个，桥面可挂6个．
最右侧位于点上方处，即点；
②抛物线顶点上方1米处放一个，此时两边各放两个，
最右侧在处，此时，
最右侧位于上方处，即点；
（3）解：如图，
当水位达到最高时，水位线为，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，
当时，，，，
在中， ，
故至少需约．
【知识点】勾股定理；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据题意运用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）根据题意分两种放法进行讨论，①从距离对称轴2米处开始向两侧悬挂，②在抛物线顶点处悬挂1个，再向两侧悬挂，进而根据二次函数的图象与性质即可求解；
（3）根据二次函数的最值得到当水位达到最高时，水位线为，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，尼尔根据二次函数图象上的点得到点E的坐标，从而得到，，再根据勾股定理即可求出EM.
8．【答案】（1）解：
∴C(0，5)，
设抛物线的解析式为
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：设圆心为O， 连接OC交AB于E点， 连接AO，
∵AB=20，
∴AE=10，
∵h=5，
∴CE=5，
在Rt△AEO中，
解得AO=12.5，
∴该圆弧所在圆的半径12.5米；
（3）解：
抛物线型方案货船不能顺利通过该桥； 圆弧型方案货船能顺利通过该桥； 理由如下：
①在抛物线型上时， 当x =7.5时， y≈2.19，
∵2.19米<2.2米，
∴货船不能顺利通过该桥；
②在圆弧型时， 设EG =7.5米，
过点G作FH⊥AB交弧BC于点F， 过点O作
OH⊥FH交于H点， 连接OF，
∴OH=EG=7.5米，
在Rt△OHF中，
∴FH=10米，
∵GH =OE =12.5-5=7.5(米)，
∴FG=2.5米，
∵2.5米>2.2米，
∴货船能顺利通过该桥.
【知识点】垂径定理的实际应用；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】(1)根据题意设抛物线的解析式为y=a(x+8)(x﹣8)， 将点(0，4)代入， 求出a的值，即可确定函数的解析式；
(2)设圆心为O， 连接OC交AB于E点， 连接AO， 在Rt△AEO中， 解得AO = 10，即可求该圆弧所在圆的半径10米；
(3))①在抛物线型上时， 当x =7.5时， y≈2.19， 由2.19米<2.2米，可知货船不能顺利通过该桥；
②在圆弧型时， 设EG = 7.5米， 过点G作FH⊥AB交弧BC于点F， 过点O作OH⊥FH交于H点， 连接OF， 在Rt△OHF中， 利用勾股定理求出FH =10米，可得FG=2.5米， 再由2.5米> 2.2米， 即可判断货船能顺利通过该桥.
9．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，故①正确，
抛物线的对称轴t＝4.5，故②正确，
∵t＝9时，h＝0，
∴点（9，0）在该抛物线上，故③正确，
∵当t＝5时，h＝20，当t＝7时，h＝14，
∴足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确.
∴正确的有①②③④.
故答案为：C.
【分析】由表格可知抛物线经过点（9，0）及（0，0），故设抛物线的解析式为h＝at(t-9)，把（1，8）代入可得a的值，据此可得函数解析式，进而得到对称轴以及最大值，据此判断①②③；根据表格中的数据可直接判断④.
10．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意得：篮筐中心点的坐标为：，
∴，
解得：
故答案为：D.
【分析】根据题意得到篮筐中心点的坐标为：，将其代入抛物线解析式即可求出a的值.
11．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图所示：滑行的距离s与时间t的函数关系可得，当t＝6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止.
故答案为：A.
【分析】由图象可得：当t＝6秒时，滑行距离最大，此时小球处于停止状态，据此判断.
12．【答案】11：10
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当小球落回地面时，高h=0，此时t=；
∴可得，；
∵h＝vt﹣4.9t2 =-4.9
∴，
∵h1＝1.21h2 ∴=1.21
∴=1.1=11：10
∴t1：t2 ==11：10
故答案为：11：10.
【分析】根据二次函数的性质，当y=0时，可得关于t的代数式；根据高度之间的等式关系列等式即可求出速度的比值，进而求出时间的比值.
13．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2=a（0-6）2+h，
解得：，
故抛物线的表达式为，
由题意得：当x=9时，，
解得：h＞2.32；
当x=18时，，
解得：，
故h的取值范围是为，
故答案为：.
【分析】将A代入抛物线解析是求出，得出抛物线的表达式为，由题意得：当x=9时，y＞2.24，当x=18时，y≤0，即可求解．
14．【答案】（1）解：解：由题意可得：点，
设的解析式为：，
则有：，解得：，
∴的解析式为：，
设点K的坐标为，则有：，
解得：或（不合题意舍去），
∴点K的坐标为．
（2）解：①设该运动员的着陆点为E，则跳跃距离为
∵该运动员第一跳的距离分是60分，
∴，即．
∴点E与点K重合，即点E的坐标为，
由题意可得：，
解得：
所以；
②设新的着陆点为Q，
联立，
解得：或（与点C重合舍去）
∴点Q的坐标为，
∴跳跃距离为，
∴第二次的距离分为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-抛球问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）由题意可得：点，设的解析式为：，即可求出CD的解析式，然后设点K的坐标为，则有：，进而即可得到点K的坐标；
（2）①设该运动员的着陆点为E，则跳跃距离为，结合题意即可求出CE的长度，进而求出点E的坐标，然后利用待定系数法即可求出其解析式；
②设新的着陆点为Q，联立一次函数和二次函数即可得到点Q的坐标，进而利用勾股定理求出CQ的距离，进而即可求解.
15．【答案】（1）解：由表可知当时，乒乓球达到最大高度．
抛物线的关系式为．
（2）解：由题意得，，
当时，
乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为．
答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为．
（3）2.5；
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）根据图表可知：当x=0和x=2时，y=0.25
则抛物线的对称轴为：
设
把（1，0.45）和（2，0.25）代入得：
解得：a=-0.2，b=0.4
∴ 抛物线的关系式为
（3）令y=0
∴
∴点D的坐标为（2.5，0）
把点D代入中得：p=-2.5
过点F作MF⊥BC，垂足为M
在Rt△EFM中，FM=sin·EF=，
令y=0，，解得
∵点在点右侧
∴OE的最大值为3.5，CE的最大值为：3.5-0.03-2.74-0.08=0.65
令y=，
∴OM=3.3
∴CE=3.3-0.03-2.74-0.08=0.45，CE的最小值为0.45
∴球拍到桌边的距离CE的取值范围.
故答案为：2.5；.
【分析】
（1）根据图表，求出抛物线的对称轴，再设抛物线为，把（1，0.45）和（2，0.25）代入，求出a，b，c即可
（2）求出OG=1.4，再把x=1.4代入中，求出y的值，再用y的值减去0.15即可
（3）① 先令y=0，解出方程的解，得出点D的坐标，再代入中，求出p的值
②令y=0，，解出OE的最大值，再用3.5-0.03-2.74-0.08=0.65计算出CE的最大值，再令y=，得出CE的最小值即可.
16．【答案】（1）解：抛物线对称轴为y轴，
设抛物线的解析式为，
球心离地最大高度是，
，
，
将点代入，可得：，
解得，
设抛物线的解析式为；
（2）解：将代入可得：
，
小陆发球时球心离地高度为米；
（3）解：将代入可得：
，
解得，，
小吕在y轴右侧，，
小吕在接球时球心离y轴至少米.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）由于抛物线的对称轴是y轴，故一次项系数b=0，又可知抛物线的顶点纵坐标为1.1，从而可设所求抛物线的解析式为y=ax2+1.1，进而将点 代入可算出a的值，求出抛物线的解析式；
（2）将x=-1.5代入（1）所求的抛物线算出对应的函数值即可得出答案；
（3）将y=0.5代入（1）所求的抛物线算出对应的自变量的值，从而即可得出答案.
17．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+ ，
把点A（0，10）代入a(x﹣1)2+ ，得a(0﹣1)2+ ＝10，
解得a＝﹣ ，
因此抛物线解析式为y＝﹣ (x﹣1)2+ ，
当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
即OB＝3米.
故答案为：B.
【分析】设抛物线的解析式为y＝a(x-1)2+，将点A坐标代入可得a的值，进而得到函数解析式，令y=0，求出x的值即可得到OB的长.
18．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：在h＝30t 5t2中，令h＝0可得30t 5t2＝0，
解得：t＝0或t＝6，
所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s，
故答案为：B.
【分析】求出解析中h＝0时t的值即可得.
19．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：如图，以GH所在的直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立所示平面直角坐标系，喷口B为抛物线的顶点，则共线的三点B、D、H所在的直线为抛物线的对称轴，
根据题意，Q（9，15.5），B（6，16），OH=6，
设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+16，
将点Q的坐标代入解得：a=-，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-6）2+16=-x2+x+14，
当y=0时，即0=-x2+x+14，
解得：x1=6+12，x2=6-12（舍去），
∴洗手液落在台面上的位置距DH的水平距离为：6+12-6=12.
故答案为：B.
【分析】根据题意建立直角坐标系，然后根据顶点法求出抛物线的解析式，再令y=0，根据函数式求出x值，则知洗手液落在台面上的位置距DH的水平距离为.
20．【答案】y＝﹣ x2+2x+1；
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点，
过点B作BG⊥MN于G，如图：
∵抛物线的顶点C的坐标为（2，3），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，
把点A （0，1）的坐标代入y＝a（x﹣2）2+3，得：
1＝a×（0﹣2）2+3，
解得：a＝﹣ ，
∴y＝﹣ （x﹣2）2+3＝﹣ x2+2x+1，
∵∠DBC＝45°，BC⊥y轴，
∴BD与直线y＝x平行，且BD与y轴的夹角是45°，
∵BD//MN，
∴MN与直线y＝x平行，∠BMG＝45°，
∴设MN的解析式为y＝x+b，
∵MN与抛物线只有一个交点，
方程组 只有一组解，
∴方程x+b＝﹣ x2+2x+1有两个相等的实数根，
将方程整理得： x2﹣x+b﹣1＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4× ×（b﹣1）＝0，
解得：b＝ ，
∴MN的解析式为y＝x+ ，
令x＝0，得y＝ ，
∴M（0， ），
∵B（0，3），
∴BM＝3﹣ ＝ （米），
在Rt△BMG中，∠BGM＝90°，∠BMG＝45°，
∵sin∠BMG＝ ，
∴BG＝BM sin∠BMG＝ sin45°＝ × ＝ （米），
∴此时水住与遮阳棚的最小距离为 米.
故答案为：y＝﹣ x2+2x+1， .
【分析】将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点，过点B作BG⊥MN于G，利用抛物线的人顶点坐标设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，将点A的坐标代入求出函数解析式，利用已知可证得MN与直线y＝x平行，∠BMG＝45°，根据BD∥MN，因此设MN的解析式为y＝x+b，将直线MN和抛物线的解析式联立方程组，可得到关于x的方程，利用抛物线与MN只有一个交点，可求出b的值，由此可得到直线MN的函数解析式；由x=0求出对应的y的值，可得到点M的坐标，继而可求出MB的长；在Rt△BMG中，利用解直角三角形求出水住与遮阳棚的最小距离BG的长.
21．【答案】20
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：∵喷出的水柱中心4m处达到最高，高度为6m，
∴抛物线的顶点坐标为(4，6)或( 4，6)，
设抛物线解析式为 或
即这个喷水头应设计的高度为 m.
把 代入抛物线解析式，解得：
所以，函数解析式为 或
当 时，抛物线与x轴的交点坐标为(10，0)或( 10，0)，
∴圆形喷水池的直径为20m，
故答案为：20.
【分析】由题意可得抛物线的顶点坐标为(4，6)或( 4，6)，于是可设抛物线的解析式为顶点式，再把点代入解析式即可求得a1和a2的值，令y=0，求出抛物线与x轴的交点，再求差即可求解。
22．【答案】（1）解：令x=0，得y=5，所以B（0，5），
令y=0，得x=5 ，所以A（5 ，0），
将A（0，5）、B（5 ，0）代入y=- x2+bx+c得，
c=5，-25+5 b+5=0，解得b= ，
所以抛物线的表达式为y=- x2+ x+5.
y=- （x-2 ）2+9，所以顶点坐标为（2 ，9）.
∴抛物线的表达式为y=- x2+ x+5.
顶点坐标为（2 ，9）；
（2）解：∵AB=10，OB=5，
∴∠OAB=30°，
∵AC=2，
∴所以C点纵坐标为1，
∴C点的横坐标为4 ，
所以当x=4 时，y=5，
所以1+3.5=4.5＜5，
所以水柱能越过这棵树.
即在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能越过这棵树.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点坐标的特点，求出点A，B的坐标，然后将点A，B的坐标分别代入抛物线的解析式得出关于，b，c的二元一次方程组，求解得出b，c的值，从而即可得出抛物线的解析式，将抛物线的解析式配成顶点式即可得出其顶点坐标；
（2）首先找出点C的坐标，然后将其横坐标代入抛物线的解析式算出对应的纵坐标，进而与这棵树的顶端与x轴的直线的距离比大小即可解决问题.
23．【答案】解：任务1：如图2，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为y＝a（x-2）2+0.45，
把A（0，0.25）代入得：0.25＝a（0-2）2+0.45，
解得：a＝- ，
∴抛物线的表达式为y＝- （x-2）2+0.45；
任务2：令y＝0，得- （x-2）2+0.45＝0，
解得：x1＝5，x2＝-1（舍去），
∴B（5，0），
∴OB＝5，
∴喷灌器OA与围墙的距离为5m；
任务3：如图3，
由题意得：CD＝0.4m，BC＝0.8m，
∴D（4.2，0.4），E（5，0.4），
设y＝- （x-2）2+k，
把D（4.2，0.4）代入得：0.4＝- （4.2-2）2+k，
解得：k＝0.642，
∴y＝- （x-2）2+0.642，
当x＝0时，y＝0.442，
∴OAmin＝0.442m，
设y＝- （x-2）2+k′，
把E（5，0.4）代入得，0.4＝- （5-2）2+k′，
解得：k′＝0.85，
∴y＝- （x-2）2+0.85，
当x＝0时，y＝- （0-2）2+0.85＝0.65，
∴OAmax＝0.65m，
∴0.442m≤OA≤0.65m，
∴喷水口距离地面高度的最小值为0.442m．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）如图2，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
（2）令y＝0，即得- （x-2）2+0.45＝0，解之可求得点B坐标，求得OB的长方程的解，即可得到喷灌器OA与围墙的距离；
（3）由题意可得D（4.2，0.4），E（5，0.4），分别代入y＝-（x-2）2+k，求得k的最小值和最大值，再令x＝0，分别求得OA的最小值和最大值，即可解决问题.
1 / 1二次函数的实际应用（2)—浙教版数学九（上）知识点训练
一、拱桥问题
1．（2024九上·长沙开学考）如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，
如图所示：
∵桥的最大高度是16米，跨度是40米，
∴抛物线顶点C（0，16），A（20，0），B（20，0），
设抛物线解析式为y=ax2+16，将A（20，0）代入得0=400a+16，解得，
∴抛物线解析式为，
当x=5时，，
∴在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是15米，
故选：D．
【分析】以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，根据桥的最大高度是16米，跨度是40米，求出抛物线解析式，再将x=5代入计算，即可求解，其中掌握二次函数的解析式的三种形式：一般式、顶点式和交点式，合理应用待定系数法求解是解答的关键.
2．（2024九上·温州开学考）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设出抛物线方程，
由图象可知该图象经过点，
故，
，
故，
故答案为：A．
【分析】以拱桥洞的最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，则可设该抛物线的解析式y=ax2（a≠0），由题意知该抛物线经过点（-3，-3），将该点坐标代入可求出a的值， 从而即可得到该抛物线的解析式.
3．（【全品】2024浙江专版全品中考复习方案备考手册第15课时二次函数的实际应用） 如图 15-1 是抛物线形拱桥， 当拱顶离水面 时，水面宽 ， 当水面上升 时，水面宽度变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以顶点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的表达式为y=ax2，则点（-2，-2）在抛物线上，所以(-2)2a=-2，解得a=-0.5，所以抛物线的表达式为y=-0.5x2，当水面上升1.5m时，也就是y=-(2-1.5)=-0.5，此时-0.5x2=-0.5，解得x=±1，所以水面宽度为1-（-1）=2（m）.
故答案为：B.
【分析】先建立平面直角坐标系，设出函数表达式为y=ax2，根据图象代入一对点的坐标求出函数表达式，再求出当水面上升 时，水面宽度.
4．（2024九上·重庆市开学考）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 米．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：∵该抛物线上的点E、F距水面AB高8米，
∴当时，有，
解得：，
∴，即这两盏灯的水平距离EF为米，
故答案为：．
【分析】可知求EF的值，只需求点E、F的横坐标即可，根据题意可知当时，有，然后解方程求出x的值，即为所求两点横坐标的值.
5．（2023九上·杭州期中）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为.小强骑自行车从拱梁一端沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 .
【答案】36
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由题意知，抛物线的对称轴方程为x=18，则点C的坐标为（36，0），根据抛物线的对称性可得小强从O点经过10秒和26秒时到点C的时间相同，所以小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需10+（26-10）+10=36秒.
故答案为：36.
【分析】由题意得抛物线对称轴方程，再根据抛物线的对称性即可得解。
6．（2023九上·杭州期中） 如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2），
设抛物线解析式为y＝a（x-10）2+6，
把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2，
解得：，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为y＝（x-10）2+6；
（2）解：此船不能通过，理由：
当y＝2+3＝5时，（x-10）2+6=5，
解得x＝5或x＝15，
∵15-5＝10＜12，
∴此船不能通过桥洞．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）先求出点A，点P，点B的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式，将A的坐标代入即可求得；
（2）当y=5时得x的值，再计算出两个x的值的差的绝对值与12比较大小即可.
7．（2024九上·拱墅月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案？
素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，过抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示． 某时测得水面宽20m，拱顶离水面最大距离为10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．
素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）
（1）【确定桥拱形状】根据图2，求抛物线的函数表达式．
（2）【拟定设计方案】求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
（3）【探究救生绳长度】当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数．）
【答案】（1）解：如图，已知抛物线关于轴对称，设解析式为，抛物线经过，，得：
，
解得，
；
（2）解：两种放法：
①抛物线，设抛物线与x轴的两个交点记作F，G，令，
点，.
如图，从距离对称轴2米处开始向两边悬挂，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于轴成轴对称，
，
左侧可挂3个，桥面可挂6个．
最右侧位于点上方处，即点；
②抛物线顶点上方1米处放一个，此时两边各放两个，
最右侧在处，此时，
最右侧位于上方处，即点；
（3）解：如图，
当水位达到最高时，水位线为，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，
当时，，，，
在中， ，
故至少需约．
【知识点】勾股定理；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据题意运用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）根据题意分两种放法进行讨论，①从距离对称轴2米处开始向两侧悬挂，②在抛物线顶点处悬挂1个，再向两侧悬挂，进而根据二次函数的图象与性质即可求解；
（3）根据二次函数的最值得到当水位达到最高时，水位线为，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，尼尔根据二次函数图象上的点得到点E的坐标，从而得到，，再根据勾股定理即可求出EM.
8．（2024九上·杭州期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型：②）圆弧型，已知这座桥的跨度L=20米，拱高h=5米.
（1）如图1，若设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，B的垂直平分线为y轴建立坐标系，求此函数表达式；
（2）如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
（3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米，从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥 并说明理由.
【答案】（1）解：
∴C(0，5)，
设抛物线的解析式为
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：设圆心为O， 连接OC交AB于E点， 连接AO，
∵AB=20，
∴AE=10，
∵h=5，
∴CE=5，
在Rt△AEO中，
解得AO=12.5，
∴该圆弧所在圆的半径12.5米；
（3）解：
抛物线型方案货船不能顺利通过该桥； 圆弧型方案货船能顺利通过该桥； 理由如下：
①在抛物线型上时， 当x =7.5时， y≈2.19，
∵2.19米<2.2米，
∴货船不能顺利通过该桥；
②在圆弧型时， 设EG =7.5米，
过点G作FH⊥AB交弧BC于点F， 过点O作
OH⊥FH交于H点， 连接OF，
∴OH=EG=7.5米，
在Rt△OHF中，
∴FH=10米，
∵GH =OE =12.5-5=7.5(米)，
∴FG=2.5米，
∵2.5米>2.2米，
∴货船能顺利通过该桥.
【知识点】垂径定理的实际应用；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】(1)根据题意设抛物线的解析式为y=a(x+8)(x﹣8)， 将点(0，4)代入， 求出a的值，即可确定函数的解析式；
(2)设圆心为O， 连接OC交AB于E点， 连接AO， 在Rt△AEO中， 解得AO = 10，即可求该圆弧所在圆的半径10米；
(3))①在抛物线型上时， 当x =7.5时， y≈2.19， 由2.19米<2.2米，可知货船不能顺利通过该桥；
②在圆弧型时， 设EG = 7.5米， 过点G作FH⊥AB交弧BC于点F， 过点O作OH⊥FH交于H点， 连接OF， 在Rt△OHF中， 利用勾股定理求出FH =10米，可得FG=2.5米， 再由2.5米> 2.2米， 即可判断货船能顺利通过该桥.
二、抛球问题
9．（2021九上·杭州期中）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝ ；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降.其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，故①正确，
抛物线的对称轴t＝4.5，故②正确，
∵t＝9时，h＝0，
∴点（9，0）在该抛物线上，故③正确，
∵当t＝5时，h＝20，当t＝7时，h＝14，
∴足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确.
∴正确的有①②③④.
故答案为：C.
【分析】由表格可知抛物线经过点（9，0）及（0，0），故设抛物线的解析式为h＝at(t-9)，把（1，8）代入可得a的值，据此可得函数解析式，进而得到对称轴以及最大值，据此判断①②③；根据表格中的数据可直接判断④.
10．（2023九上·舟山期中）如图，一位篮球运动员投篮，球的行进路线是沿抛物线（，的单位都为），然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，他距篮筐中心的水平距离是，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意得：篮筐中心点的坐标为：，
∴，
解得：
故答案为：D.
【分析】根据题意得到篮筐中心点的坐标为：，将其代入抛物线解析式即可求出a的值.
11．（2022九上·拱墅月考）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止
C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图所示：滑行的距离s与时间t的函数关系可得，当t＝6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止.
故答案为：A.
【分析】由图象可得：当t＝6秒时，滑行距离最大，此时小球处于停止状态，据此判断.
12．（2023九上·拱墅月考）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2．若h1＝1.21h2，则t1：t2＝ ．
【答案】11：10
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当小球落回地面时，高h=0，此时t=；
∴可得，；
∵h＝vt﹣4.9t2 =-4.9
∴，
∵h1＝1.21h2 ∴=1.21
∴=1.1=11：10
∴t1：t2 ==11：10
故答案为：11：10.
【分析】根据二次函数的性质，当y=0时，可得关于t的代数式；根据高度之间的等式关系列等式即可求出速度的比值，进而求出时间的比值.
13．（2023九上·柯桥月考）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x-6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2=a（0-6）2+h，
解得：，
故抛物线的表达式为，
由题意得：当x=9时，，
解得：h＞2.32；
当x=18时，，
解得：，
故h的取值范围是为，
故答案为：.
【分析】将A代入抛物线解析是求出，得出抛物线的表达式为，由题意得：当x=9时，y＞2.24，当x=18时，y≤0，即可求解．
14．（2024九上·桐乡市期末）2022年北京冬奥会，其中跳台滑雪是极具观赏性的比赛项目之一．如图是某跳台滑雪比赛场地的横截面示意图，线段表示出发台，表示助滑坡，点表示起跳点，线段表示着陆坡，点表示此跳台滑雪的点．以水平地面为轴，过点作轴的垂线为轴，建立平面直角坐标系．已知起跳点到水平地面的距离为60米，到轴的距离是40米，米，米．
K点是跳台滑雪中打出距离分所用的参照点，此跳台的参照距离是75米，即CK=75米.
距离分=60+2×(跳跃距离-75).
跳跃距离是指起跳点C与着陆点之间的距离.
（1）求点的坐标；
（2）某运动员从点滑出，在空中飞行的轨迹（与横截面在同一平面内）可以近似地看成一条抛物线，其函数表达式为．
①若该运动员第一跳的距离分是60分，求此时该抛物线的表达式；
②为了在第二跳中取得更好的成绩，该运动在起跳角度和空中姿势方面做了一定的调整，使得第二跳的飞行轨迹抛物线的表达式为，求该运动员此跳的距离分．
【答案】（1）解：解：由题意可得：点，
设的解析式为：，
则有：，解得：，
∴的解析式为：，
设点K的坐标为，则有：，
解得：或（不合题意舍去），
∴点K的坐标为．
（2）解：①设该运动员的着陆点为E，则跳跃距离为
∵该运动员第一跳的距离分是60分，
∴，即．
∴点E与点K重合，即点E的坐标为，
由题意可得：，
解得：
所以；
②设新的着陆点为Q，
联立，
解得：或（与点C重合舍去）
∴点Q的坐标为，
∴跳跃距离为，
∴第二次的距离分为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-抛球问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）由题意可得：点，设的解析式为：，即可求出CD的解析式，然后设点K的坐标为，则有：，进而即可得到点K的坐标；
（2）①设该运动员的着陆点为E，则跳跃距离为，结合题意即可求出CE的长度，进而求出点E的坐标，然后利用待定系数法即可求出其解析式；
②设新的着陆点为Q，联立一次函数和二次函数即可得到点Q的坐标，进而利用勾股定理求出CQ的距离，进而即可求解.
15．（2024·衢州模拟）【综合与实践】
某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为．过点作，垂足为，以点为原点，以直线BC为轴，OA所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒兵球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，得到如下部分数据：
0 0.5 1 1.5 2 …
0.25 0.4 0.45 0.4 0.25 …
（1）当 ▲ 时，乒乓球达到最大高度；求出与之间的函数关系式；
（2）桌面正中间位置安装的球网GH的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端的距离约为多少 （结果保留两位小数）
（3）乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线EF长为，下沿在轴上，假设抛物线，与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点在点右侧），直接写出：
① ；
②球拍到桌边的距离CE的取值范围 ．
【答案】（1）解：由表可知当时，乒乓球达到最大高度．
抛物线的关系式为．
（2）解：由题意得，，
当时，
乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为．
答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为．
（3）2.5；
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）根据图表可知：当x=0和x=2时，y=0.25
则抛物线的对称轴为：
设
把（1，0.45）和（2，0.25）代入得：
解得：a=-0.2，b=0.4
∴ 抛物线的关系式为
（3）令y=0
∴
∴点D的坐标为（2.5，0）
把点D代入中得：p=-2.5
过点F作MF⊥BC，垂足为M
在Rt△EFM中，FM=sin·EF=，
令y=0，，解得
∵点在点右侧
∴OE的最大值为3.5，CE的最大值为：3.5-0.03-2.74-0.08=0.65
令y=，
∴OM=3.3
∴CE=3.3-0.03-2.74-0.08=0.45，CE的最小值为0.45
∴球拍到桌边的距离CE的取值范围.
故答案为：2.5；.
【分析】
（1）根据图表，求出抛物线的对称轴，再设抛物线为，把（1，0.45）和（2，0.25）代入，求出a，b，c即可
（2）求出OG=1.4，再把x=1.4代入中，求出y的值，再用y的值减去0.15即可
（3）① 先令y=0，解出方程的解，得出点D的坐标，再代入中，求出p的值
②令y=0，，解出OE的最大值，再用3.5-0.03-2.74-0.08=0.65计算出CE的最大值，再令y=，得出CE的最小值即可.
16．（2022九上·南湖期中）小陆和小吕参加体育节双人互垫排球项目，小陆和小吕按比赛要求站立，小陆在左边发球后，排球球心运动的路线为抛物线的一部分，以抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图），小陆发球时排球球心与y轴水平距离为，且球心离地最大高度是，根据图中信息：
（1）请求出排球球心运动路线的函数表达式；
（2）求小陆发球时球心离地高度多少米；
（3）若接球时球心离地高度不高于0.5m，则小吕在接球时球心离y轴至少多少米？（精确到0.1米，参考值：≈1.73，≈2.45）
【答案】（1）解：抛物线对称轴为y轴，
设抛物线的解析式为，
球心离地最大高度是，
，
，
将点代入，可得：，
解得，
设抛物线的解析式为；
（2）解：将代入可得：
，
小陆发球时球心离地高度为米；
（3）解：将代入可得：
，
解得，，
小吕在y轴右侧，，
小吕在接球时球心离y轴至少米.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）由于抛物线的对称轴是y轴，故一次项系数b=0，又可知抛物线的顶点纵坐标为1.1，从而可设所求抛物线的解析式为y=ax2+1.1，进而将点 代入可算出a的值，求出抛物线的解析式；
（2）将x=-1.5代入（1）所求的抛物线算出对应的函数值即可得出答案；
（3）将y=0.5代入（1）所求的抛物线算出对应的自变量的值，从而即可得出答案.
三、喷水问题
17．（2020九上·越城期中）某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+ ，
把点A（0，10）代入a(x﹣1)2+ ，得a(0﹣1)2+ ＝10，
解得a＝﹣ ，
因此抛物线解析式为y＝﹣ (x﹣1)2+ ，
当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
即OB＝3米.
故答案为：B.
【分析】设抛物线的解析式为y＝a(x-1)2+，将点A坐标代入可得a的值，进而得到函数解析式，令y=0，求出x的值即可得到OB的长.
18．（2020九上·杭州月考）某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度 与水流时间 之间的解析式为 ，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：在h＝30t 5t2中，令h＝0可得30t 5t2＝0，
解得：t＝0或t＝6，
所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s，
故答案为：B.
【分析】求出解析中h＝0时t的值即可得.
19．（2020九上·吴兴期末）学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点. 洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD. 小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH=12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线. 小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（ ）cm
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：如图，以GH所在的直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立所示平面直角坐标系，喷口B为抛物线的顶点，则共线的三点B、D、H所在的直线为抛物线的对称轴，
根据题意，Q（9，15.5），B（6，16），OH=6，
设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+16，
将点Q的坐标代入解得：a=-，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-6）2+16=-x2+x+14，
当y=0时，即0=-x2+x+14，
解得：x1=6+12，x2=6-12（舍去），
∴洗手液落在台面上的位置距DH的水平距离为：6+12-6=12.
故答案为：B.
【分析】根据题意建立直角坐标系，然后根据顶点法求出抛物线的解析式，再令y=0，根据函数式求出x值，则知洗手液落在台面上的位置距DH的水平距离为.
20．（2021九上·柯城月考）准备在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水装置（如图1），已知遮阳棚DB与竖杆OB垂直，遮阳棚的高度OB＝3米，喷水点A与地面的距离OA＝1米（喷水点A喷出来的水柱呈抛物线型），水柱喷水的最高点恰好是遮阳棚的C处，C到竖杆的水平距离BC＝2米（如图2），此时水柱的函数表达式为 ，现将遮阳棚BD绕点B向上旋转45°（如图3），则此时水柱与遮阳棚的最小距离为 米.（保留根号）
【答案】y＝﹣ x2+2x+1；
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点，
过点B作BG⊥MN于G，如图：
∵抛物线的顶点C的坐标为（2，3），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，
把点A （0，1）的坐标代入y＝a（x﹣2）2+3，得：
1＝a×（0﹣2）2+3，
解得：a＝﹣ ，
∴y＝﹣ （x﹣2）2+3＝﹣ x2+2x+1，
∵∠DBC＝45°，BC⊥y轴，
∴BD与直线y＝x平行，且BD与y轴的夹角是45°，
∵BD//MN，
∴MN与直线y＝x平行，∠BMG＝45°，
∴设MN的解析式为y＝x+b，
∵MN与抛物线只有一个交点，
方程组 只有一组解，
∴方程x+b＝﹣ x2+2x+1有两个相等的实数根，
将方程整理得： x2﹣x+b﹣1＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4× ×（b﹣1）＝0，
解得：b＝ ，
∴MN的解析式为y＝x+ ，
令x＝0，得y＝ ，
∴M（0， ），
∵B（0，3），
∴BM＝3﹣ ＝ （米），
在Rt△BMG中，∠BGM＝90°，∠BMG＝45°，
∵sin∠BMG＝ ，
∴BG＝BM sin∠BMG＝ sin45°＝ × ＝ （米），
∴此时水住与遮阳棚的最小距离为 米.
故答案为：y＝﹣ x2+2x+1， .
【分析】将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点，过点B作BG⊥MN于G，利用抛物线的人顶点坐标设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，将点A的坐标代入求出函数解析式，利用已知可证得MN与直线y＝x平行，∠BMG＝45°，根据BD∥MN，因此设MN的解析式为y＝x+b，将直线MN和抛物线的解析式联立方程组，可得到关于x的方程，利用抛物线与MN只有一个交点，可求出b的值，由此可得到直线MN的函数解析式；由x=0求出对应的y的值，可得到点M的坐标，继而可求出MB的长；在Rt△BMG中，利用解直角三角形求出水住与遮阳棚的最小距离BG的长.
21．（2018九上·浙江期中）某游乐园要建一个圆形喷水池，在喷水池的中心安装一个大的喷水头，高度为 m，喷出的水柱沿抛物线轨迹运动（如图），在离中心水平距离4m处达到最高，高度为6m，之后落在水池边缘，那么这个喷水池的直径AB为 m.
【答案】20
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：∵喷出的水柱中心4m处达到最高，高度为6m，
∴抛物线的顶点坐标为(4，6)或( 4，6)，
设抛物线解析式为 或
即这个喷水头应设计的高度为 m.
把 代入抛物线解析式，解得：
所以，函数解析式为 或
当 时，抛物线与x轴的交点坐标为(10，0)或( 10，0)，
∴圆形喷水池的直径为20m，
故答案为：20.
【分析】由题意可得抛物线的顶点坐标为(4，6)或( 4，6)，于是可设抛物线的解析式为顶点式，再把点代入解析式即可求得a1和a2的值，令y=0，求出抛物线与x轴的交点，再求差即可求解。
22．（2020九上·余杭期中）如图，斜坡 长10米，按图中的直角坐标系可用 表示，点A，B分别在x轴和y轴上.在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛线可用 表示.
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？
【答案】（1）解：令x=0，得y=5，所以B（0，5），
令y=0，得x=5 ，所以A（5 ，0），
将A（0，5）、B（5 ，0）代入y=- x2+bx+c得，
c=5，-25+5 b+5=0，解得b= ，
所以抛物线的表达式为y=- x2+ x+5.
y=- （x-2 ）2+9，所以顶点坐标为（2 ，9）.
∴抛物线的表达式为y=- x2+ x+5.
顶点坐标为（2 ，9）；
（2）解：∵AB=10，OB=5，
∴∠OAB=30°，
∵AC=2，
∴所以C点纵坐标为1，
∴C点的横坐标为4 ，
所以当x=4 时，y=5，
所以1+3.5=4.5＜5，
所以水柱能越过这棵树.
即在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能越过这棵树.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点坐标的特点，求出点A，B的坐标，然后将点A，B的坐标分别代入抛物线的解析式得出关于，b，c的二元一次方程组，求解得出b，c的值，从而即可得出抛物线的解析式，将抛物线的解析式配成顶点式即可得出其顶点坐标；
（2）首先找出点C的坐标，然后将其横坐标代入抛物线的解析式算出对应的纵坐标，进而与这棵树的顶端与x轴的直线的距离比大小即可解决问题.
23．（2022九上·温州月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器OA喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为0.25m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m处达到最高，高度为0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界B点处．
素材2 为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高0.4m，宽0.8m，侧面用大理石包围，长方形BCDE是花坛截面，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方DE边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1 确定水柱的形状 在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
任务2 确定喷灌器的位置 求出喷灌器OA与围墙的距．
任务3 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
【答案】解：任务1：如图2，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为y＝a（x-2）2+0.45，
把A（0，0.25）代入得：0.25＝a（0-2）2+0.45，
解得：a＝- ，
∴抛物线的表达式为y＝- （x-2）2+0.45；
任务2：令y＝0，得- （x-2）2+0.45＝0，
解得：x1＝5，x2＝-1（舍去），
∴B（5，0），
∴OB＝5，
∴喷灌器OA与围墙的距离为5m；
任务3：如图3，
由题意得：CD＝0.4m，BC＝0.8m，
∴D（4.2，0.4），E（5，0.4），
设y＝- （x-2）2+k，
把D（4.2，0.4）代入得：0.4＝- （4.2-2）2+k，
解得：k＝0.642，
∴y＝- （x-2）2+0.642，
当x＝0时，y＝0.442，
∴OAmin＝0.442m，
设y＝- （x-2）2+k′，
把E（5，0.4）代入得，0.4＝- （5-2）2+k′，
解得：k′＝0.85，
∴y＝- （x-2）2+0.85，
当x＝0时，y＝- （0-2）2+0.85＝0.65，
∴OAmax＝0.65m，
∴0.442m≤OA≤0.65m，
∴喷水口距离地面高度的最小值为0.442m．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）如图2，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
（2）令y＝0，即得- （x-2）2+0.45＝0，解之可求得点B坐标，求得OB的长方程的解，即可得到喷灌器OA与围墙的距离；
（3）由题意可得D（4.2，0.4），E（5，0.4），分别代入y＝-（x-2）2+k，求得k的最小值和最大值，再令x＝0，分别求得OA的最小值和最大值，即可解决问题.
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