二次函数的实际应用（3)—浙教版数学九（上）知识点训练
一、几何问题
1．（2024九上·遵化期末）用的绳子围成一个的矩形，则矩形面积与一边长为之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·丰宁期末）两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，则这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·大朗开学考） 用总长为a米的材料做成如图所示的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图，则a的值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
4．如图，在一面靠墙的空地上用长为28米的篱笆围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，墙长12米．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S关于x的函数表达式为 ，自变量x的取值范围为
5．（2023九上·杭州期中）如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃ABCD的面积最大为 m2．
6．一条长为8的铁丝剪成两段，分别折成一个正方形．若这两个正方形面积的和为2.5，则这两条线段长分别为 和 ．在所有剪法中，两个正方形面积和的最大值为
7．（2023九上·铁东月考）如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．若设台布垂下的长度为，则可列出x满足的方程为 ．（不必化简）
8．（2022九上·天津期中）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
9．（2024九上·江岸月考）如图，用长32米的竹篱笆围成一个矩形院墙，其中一面靠墙，墙长14米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x米，院墙的面积为S平方米．
（1）直接写出S与x的函数关系式；
（2）若院墙的面积为120平方米，求x的值；
（3）若在墙的对面再开一个宽为a（）米的门，且面积S的最大值为154平方米，求a的值．
10．（2023九上·防城期中） [ 综合与实践]
如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体．
[知识背景]把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把周长为36 cm的矩形ABCD绕它的一条边AB旋转可以形成一个圆柱体
请完成下列方案设计中的任务
[方案设计]目标：设计一个侧面积最大的圆柱体．
任务一：把圆柱体的侧面沿着其中一条母线EF剪开并展平，研究圆柱体侧面展开图的形状及边长．
（1）圆柱体的侧面展开图是一个什么平面图形？ GH的长度与圆柱体的底面周长有什么关系？
（2）如图，设BC的长度为xcm，请用含有x的代数式分别表示AB、GJ、GH的长度；
任务二：计算圆柱体侧面积，设圆柱体的侧面积为ycm．
（3）在(2)的条件下，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； ．
（4）在(3)的条件下，求当x取何值时，圆柱体的侧面积y最大？最大值是多少？
11．（2024九上·零陵期末）湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题.
信息及素材
素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的．
素材二 一般采用的是长方体包装盒．
（1）任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率；
（2）任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的正方形边长．
12．（2024九上·珠海期中）课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：
（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)．
若，设厘米，该水槽的横截面面积为厘米，请你写出关于的函数关系式(不必写出的取值范围)，并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)．
若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的的最大值比较大小．
（2）假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？
二、行程问题
13．（2023九上·椒江月考）2022年大型客机取得合格证，客机着陆后滑行距离（单位：米）关于滑行时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为 秒．
14．（2024·从江模拟）据统计，每年因汽车追尾而造成的交通事故占交通事故总数的以上注意车速，保持车距是行车安全中必须遵守的某公路上正在行驶的甲车，发现前方道路有一辆乙车并开始减速，减速后甲车行驶的路程单位：与时间单位：的关系如表所示．
时间单位：
行驶的路程单位：
（1）根据所得数据中甲车行驶的路程单位：与时间单位：的变化规律，利用初中所学函数知识求出与之间的函数关系式，并写出的值；
（2）若乙车因事故抛锚在距甲车米处，甲车是否会追尾抛锚的车辆？试说明理由；
（3）乙车以的速度匀速行驶，若要避免发生追尾事故，甲车至少在距离乙车多少米处开始刹车？
15．（2024九下·浉河模拟）综合与实践．
某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察，刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间 0 1 2 3
刹车后行驶的距离y 0 27 48 63
发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；
②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若汽车刹车后，行驶了多长距离；
（3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
16．（2024·南宁月考）综合与实践
南宁轨道交通5号线（Nanning Rail Transit Metro Line 5)，是南宁市第五条建成运营的轨道交通线路，于2017年9月7日全线开工建设，于2021年12月16日开通运营一期工程（国凯大道站至金桥客运站)，南宁轨道交通5号线是广西首条采用全自动无人驾驶模式运行的地铁线路．数学小组成员了解到5号线地铁列车准备进入某站时在距离停车线256米处开始减速.他们想了解列车从减速开始，经过多少秒在停车线处停下？为解决这一问题，数学小组建立函数模型来描述地铁列车车头离停车线的距离s(米）与时间t(秒)的函数关系，再应用该函数解决相应问题.
【建立模型】
①收集数据
（秒） 0 4 8 12 16 20 24 …
（米） 256 196 144 100 64 36 16 …
②建立平面直角坐标系
为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．
③描点连线
④猜想模型
（1）请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接；
（2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 ▲ 函数图象（选填“一次、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式（不要求写出自变量取值范围）；
（3）【问题解决】
地铁从减速开始，经过多少秒在停车线处停下
（4）【拓展应用】已知5号地铁列车在该地铁站经历的过程如下：
进站：车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒；停靠：列车停靠时长为40秒（即列车停稳到再次启动停留的时间为40秒）；出站：列车再次启动到列车车头刚好出站，用时5秒．数学小组经计算得知，在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离（米）与时间（秒）的函数关系变为．
请结合以上信息，求出该地铁站的长度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵矩形的一边长为，的绳子围成一个的矩形，
∴矩形的另一边长为20-x（cm），
∴，
∴矩形面积与一边长为之间的函数关系式为.
故答案为：C．
【分析】先用x表示出矩形的另一边长，根据矩形的面积算法列出函数关系式 ．
2．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，
∴另一个正方形的边长为，
∴这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为，
故选：D．
【分析】依据正方形的面积公式即可求解，其中解决本题的难点是求得另一正方形的边长，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
3．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由图象可知，当x=2时，y有最大，最大值为4，
∴当x=2米，窗框的最大面积是4平方米，根据矩形面积计算公式，另一边为4÷2=2 (米)，
∴材料总长a=3×2+3×2=12(米).
故答案为：B.
【分析】由图象可知：x=2时，面积最大为y=4，根据图形是矩形，由面积公式易得另一边为2米，从而得出a的值.
4．【答案】S=-4x2+28x；4≤x≤7
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB=x，则BC=28-4x，
∴S=x（28-4x）=-4x2+28x；
∵墙长为12m，
∴28-4x≤12，
解之：x≥4，
∵S≥0，
∴-x（28-4x）≥0，
∵x＞0，
∴28-4x≥0，
解之：x≤7，
∴x的取值范围为4≤x≤7.
故答案为：S=-4x2+28x，4≤x≤7.
【分析】利用已知条件可表示出BC的长，利用矩形的面积公式可得到S与x的函数解析式；根据墙长为12m和S的取值范围，可得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集即可.
5．【答案】48
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设BC=x，花圃ABCD的面积记为，
∵篱笆长为24m，
∴，此二次函数的对称轴为且开口向下，
∴
故答案为：48.
【分析】根据题意列出二次函数，求花圃的最大面积即是求二次函数的最大值.
6．【答案】2；6；2
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）设其中一条线段长为x，则另一条线段长为（8-x），
依题意列方程得
解得：x1＝2，x2＝6，
∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是2和6；
故答案为：2，6
（2）设两个正方形的面积和为y，则
，(0＜x＜8)
∵a＝＞0，对称轴为直线x=4，
∴当x=4时，y的最小值＝2．
∴两个正方形的面积之和最小为2．
故答案为：2．
【分析】（1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一条线段的长为x，则另一条线段的长为（8-x），根据“两个正方形的面积之和等于2.5”作为等量关系列方程，解方程即可求解；
（2）设两个正方形的面积和为y，由题可得二次函数，利用二次函数的最值的求法可求得y的最小值是2.
7．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】根据题意，长方形桌子的面积是，
桌布的面积是桌子的2倍，
即
长方形桌布的面积可以表示为长和宽的乘积
即
故可列方程：
故答案为：
【分析】根据长方形桌布的面积为等量列出方程。
8．【答案】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x- )2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC= m时，y最大= m2.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 12×3-1×（12-a）=32 ，再求解即可；
（2）根据题意先求出 y=x·(21-3x) ，再根据函数解析式的性质计算求解即可。
9．【答案】（1）解：根据题意知，整理得，
故答案为：.
（2）解：院墙的面积为120平方米，即，
将代入中，
有，整理得，解得，，
墙长14米，
，解得，
不符合题意，舍去．
∴x=．
故答案为：．
（3）解：在墙的对面再开一个宽为a（）米的门，
矩形的另一边长为米，
，
，
，
的对称轴为，且，
在取得最大值，
面积S的最大值为154平方米，
，解得．
故答案为：.
【知识点】二次函数的最值；列二次函数关系式；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用长方形的面积公式列出函数解析式即可；
（2）将代入，可得，整理得，再求出x的值即可；
（3）先求出的对称轴为，且，可得在取得最大值，再列出方程，最后求出a的值即可.
10．【答案】（1）圆柱体的侧面展开图是一个矩形，GH的长度与圆柱体的底面周长相等；
（2）AB=GJ= (18-x) cm，GH=2πxcm
（3）y=2πx(18-x)
=- 2πx2 +36ux (0即y=- 2πx2+36πx (0（4）由y =- 2πx2 +36πx (0∵-2π< 0，抛物线开口向下，
∴当x=≈3 ( cm)时，圆柱体的侧面积y最大，
最大面积为： - 2×3×32+36×3×3=270 ( cm2)，
所以，当x的值为3cm时，圆柱体的侧面积y最大，最大面积为270 cm2
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】 （1）根据圆柱体与平面图形的关系求解；
（2）根据矩形的周长及圆的周长公式求解；
（3）根据圆柱的侧面积等于矩形的面积列代数式求解；
（4）先把二次函数进行配方，再根据二次函数的最值求解．
11．【答案】（1）解：设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为，
根据题意得：
解得：，（不符合题意舍去）
纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为
答：纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为.
（2）解：设裁掉正方形的边长为，
根据题意得：，
∴当时，有最大值
∴被裁掉的正方形边长为厘米时，无盖长方体纸盒的侧面积最大．
故答案为：有，被裁掉的正方形边长为20厘米时，无盖长方体纸盒的侧面积最大.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为，根据“ 2022年达到了72千克 ”列出方程，再求解即可；
（2）设裁掉正方形的边长为，再利用长方形的面积公式求出，最后利用二次函数的性质分析求解即可.
12．【答案】（1）解：方案①将二次函数的解析式由一般式化为顶点式可得：，
当时，取得最大值，最大值为；
②如图所示，过点作于，于，则，
设，梯形的面积为，则，
又∵，
∴，，，
；
当，
∵，
；
（2）解：由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①然后根据直角三角形的面积公式即可得出的函数关系式，根据将解析式化为顶点式，即可求出最值；
②过点作于，于，可设为那么也为可用正方形的边长求得．通过构建的直角三角形，用表示出和的长，求出的长，根据梯形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求出函数的最大值；
（）由（）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
（1）解：方案①，
当时，取得最大值，最大值为；
②如图所示，过点作于，于，则，
设，梯形的面积为，则，
又∵，
∴，，，
；
当，
∵，
；
（2）由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
13．【答案】18
【知识点】二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：∵，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，g有最大值，
∵飞机滑行到最大距离停下来，此时滑行的时间最长，
∴该飞机着陆后滑行最长时间为18秒．
故答案为：18．
【分析】先利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再结合二次函数的解析式可得当时，g有最大值，从而得解.
14．【答案】（1）解：由表格数据可知，是的二次函数，且其图象经过原点．
设、为常数，且．
将，和，分别代入，
得，
解得，
；
当时，；
与之间的函数关系式为，；
（2）解：甲车会追尾抛锚的车辆．理由如下：
，
当时，的最大值为，此时甲车停止前进，
，
甲车会追尾抛锚的车辆；
（3）解：设甲车在距离乙车米处开始刹车，经过甲车追上乙车．
当甲车追上乙车时，得，即，
当时，取最大值，的最大值为，
甲车至少在距离乙车米处开始刹车．
【知识点】二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由表格数据可知，s是t的二次函数，从而根据表格给出的数据，利用待定系数法可求出s关于t的函数解析式，进而将t=3代入算出对应的函数值，即可得出n的值；
（2）甲车会追尾抛锚的车辆．理由如下：将（1）所求的函数解析式配成顶点式可得当t=8时，s的最大值为64，此时甲车停止前进，再将64与50比大小即可得出结论；
（3）设甲车在距离乙车x米处开始刹车，经过ts甲车追上乙车，根据追及问题中的等量关系“甲车所行驶的距离=甲乙两车之间的距离+乙车行驶的距离”建立x关于t的函数解析式，再根据所建立的函数解析式的性质解题即可.
15．【答案】（1）解：设y关于t的函数解析式为，
∵点在函数图象上，
∴，
解得：，
∴y关于t的函数解析式为；
（2）解：当时，
，
答：汽车刹车后，行驶了；
（3）解：不会．理由如下：
∵，
∴当时，y=75，
∴汽车刹车后行驶了，
∵，
∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设，根据点在函数图象上，得到关于a、b、c的方程组求解，再代回解析式中即可；
（2）求出时的函数值；
（3）把二次函数表达式转化为顶点式，求出最大值与80比较．
16．【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：二次；
设，
因为时，，所以，则．
把）和）代入，得
解得，
（3）解：在中，令，得，
解得，
地铁从减速开始，经过32秒在停车线处停下．
（4）解：由题意可得：地铁从减速开始，经过32秒在停车线处停下，车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒，
当时，由表格可知，进站口与停车线的距离为144（米），
在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离与时间（秒）的函数关系变为，
当时，，
该地铁站的长度为：（米）．
【知识点】二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（2） 根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的二次函数图象.
故答案为：二次.
【分析】（1）根据题意描点连线即可求解；
（2）根据函数的图象可知其可能是二次函数的图象，进而运用待定系数法求出二次函数的解析式即可求解；
（3）令s=0求出t即可求解；
（4）先根据题意得到地铁从减速开始，经过32秒在停车线处停下，车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒，进而根据表格得到当时，进站口与停车线的距离为144（米），在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离与时间（秒）的函数关系变为，计算出车头刚好出站时t的值，代入解析式即可求出s，从而即可求解。
1 / 1二次函数的实际应用（3)—浙教版数学九（上）知识点训练
一、几何问题
1．（2024九上·遵化期末）用的绳子围成一个的矩形，则矩形面积与一边长为之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵矩形的一边长为，的绳子围成一个的矩形，
∴矩形的另一边长为20-x（cm），
∴，
∴矩形面积与一边长为之间的函数关系式为.
故答案为：C．
【分析】先用x表示出矩形的另一边长，根据矩形的面积算法列出函数关系式 ．
2．（2023九上·丰宁期末）两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，则这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，
∴另一个正方形的边长为，
∴这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为，
故选：D．
【分析】依据正方形的面积公式即可求解，其中解决本题的难点是求得另一正方形的边长，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
3．（2023九上·大朗开学考） 用总长为a米的材料做成如图所示的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图，则a的值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由图象可知，当x=2时，y有最大，最大值为4，
∴当x=2米，窗框的最大面积是4平方米，根据矩形面积计算公式，另一边为4÷2=2 (米)，
∴材料总长a=3×2+3×2=12(米).
故答案为：B.
【分析】由图象可知：x=2时，面积最大为y=4，根据图形是矩形，由面积公式易得另一边为2米，从而得出a的值.
4．如图，在一面靠墙的空地上用长为28米的篱笆围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，墙长12米．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S关于x的函数表达式为 ，自变量x的取值范围为
【答案】S=-4x2+28x；4≤x≤7
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB=x，则BC=28-4x，
∴S=x（28-4x）=-4x2+28x；
∵墙长为12m，
∴28-4x≤12，
解之：x≥4，
∵S≥0，
∴-x（28-4x）≥0，
∵x＞0，
∴28-4x≥0，
解之：x≤7，
∴x的取值范围为4≤x≤7.
故答案为：S=-4x2+28x，4≤x≤7.
【分析】利用已知条件可表示出BC的长，利用矩形的面积公式可得到S与x的函数解析式；根据墙长为12m和S的取值范围，可得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集即可.
5．（2023九上·杭州期中）如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃ABCD的面积最大为 m2．
【答案】48
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设BC=x，花圃ABCD的面积记为，
∵篱笆长为24m，
∴，此二次函数的对称轴为且开口向下，
∴
故答案为：48.
【分析】根据题意列出二次函数，求花圃的最大面积即是求二次函数的最大值.
6．一条长为8的铁丝剪成两段，分别折成一个正方形．若这两个正方形面积的和为2.5，则这两条线段长分别为 和 ．在所有剪法中，两个正方形面积和的最大值为
【答案】2；6；2
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）设其中一条线段长为x，则另一条线段长为（8-x），
依题意列方程得
解得：x1＝2，x2＝6，
∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是2和6；
故答案为：2，6
（2）设两个正方形的面积和为y，则
，(0＜x＜8)
∵a＝＞0，对称轴为直线x=4，
∴当x=4时，y的最小值＝2．
∴两个正方形的面积之和最小为2．
故答案为：2．
【分析】（1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一条线段的长为x，则另一条线段的长为（8-x），根据“两个正方形的面积之和等于2.5”作为等量关系列方程，解方程即可求解；
（2）设两个正方形的面积和为y，由题可得二次函数，利用二次函数的最值的求法可求得y的最小值是2.
7．（2023九上·铁东月考）如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．若设台布垂下的长度为，则可列出x满足的方程为 ．（不必化简）
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】根据题意，长方形桌子的面积是，
桌布的面积是桌子的2倍，
即
长方形桌布的面积可以表示为长和宽的乘积
即
故可列方程：
故答案为：
【分析】根据长方形桌布的面积为等量列出方程。
8．（2022九上·天津期中）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
【答案】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x- )2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC= m时，y最大= m2.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 12×3-1×（12-a）=32 ，再求解即可；
（2）根据题意先求出 y=x·(21-3x) ，再根据函数解析式的性质计算求解即可。
9．（2024九上·江岸月考）如图，用长32米的竹篱笆围成一个矩形院墙，其中一面靠墙，墙长14米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x米，院墙的面积为S平方米．
（1）直接写出S与x的函数关系式；
（2）若院墙的面积为120平方米，求x的值；
（3）若在墙的对面再开一个宽为a（）米的门，且面积S的最大值为154平方米，求a的值．
【答案】（1）解：根据题意知，整理得，
故答案为：.
（2）解：院墙的面积为120平方米，即，
将代入中，
有，整理得，解得，，
墙长14米，
，解得，
不符合题意，舍去．
∴x=．
故答案为：．
（3）解：在墙的对面再开一个宽为a（）米的门，
矩形的另一边长为米，
，
，
，
的对称轴为，且，
在取得最大值，
面积S的最大值为154平方米，
，解得．
故答案为：.
【知识点】二次函数的最值；列二次函数关系式；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用长方形的面积公式列出函数解析式即可；
（2）将代入，可得，整理得，再求出x的值即可；
（3）先求出的对称轴为，且，可得在取得最大值，再列出方程，最后求出a的值即可.
10．（2023九上·防城期中） [ 综合与实践]
如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体．
[知识背景]把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把周长为36 cm的矩形ABCD绕它的一条边AB旋转可以形成一个圆柱体
请完成下列方案设计中的任务
[方案设计]目标：设计一个侧面积最大的圆柱体．
任务一：把圆柱体的侧面沿着其中一条母线EF剪开并展平，研究圆柱体侧面展开图的形状及边长．
（1）圆柱体的侧面展开图是一个什么平面图形？ GH的长度与圆柱体的底面周长有什么关系？
（2）如图，设BC的长度为xcm，请用含有x的代数式分别表示AB、GJ、GH的长度；
任务二：计算圆柱体侧面积，设圆柱体的侧面积为ycm．
（3）在(2)的条件下，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； ．
（4）在(3)的条件下，求当x取何值时，圆柱体的侧面积y最大？最大值是多少？
【答案】（1）圆柱体的侧面展开图是一个矩形，GH的长度与圆柱体的底面周长相等；
（2）AB=GJ= (18-x) cm，GH=2πxcm
（3）y=2πx(18-x)
=- 2πx2 +36ux (0即y=- 2πx2+36πx (0（4）由y =- 2πx2 +36πx (0∵-2π< 0，抛物线开口向下，
∴当x=≈3 ( cm)时，圆柱体的侧面积y最大，
最大面积为： - 2×3×32+36×3×3=270 ( cm2)，
所以，当x的值为3cm时，圆柱体的侧面积y最大，最大面积为270 cm2
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】 （1）根据圆柱体与平面图形的关系求解；
（2）根据矩形的周长及圆的周长公式求解；
（3）根据圆柱的侧面积等于矩形的面积列代数式求解；
（4）先把二次函数进行配方，再根据二次函数的最值求解．
11．（2024九上·零陵期末）湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题.
信息及素材
素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的．
素材二 一般采用的是长方体包装盒．
（1）任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率；
（2）任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的正方形边长．
【答案】（1）解：设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为，
根据题意得：
解得：，（不符合题意舍去）
纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为
答：纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为.
（2）解：设裁掉正方形的边长为，
根据题意得：，
∴当时，有最大值
∴被裁掉的正方形边长为厘米时，无盖长方体纸盒的侧面积最大．
故答案为：有，被裁掉的正方形边长为20厘米时，无盖长方体纸盒的侧面积最大.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为，根据“ 2022年达到了72千克 ”列出方程，再求解即可；
（2）设裁掉正方形的边长为，再利用长方形的面积公式求出，最后利用二次函数的性质分析求解即可.
12．（2024九上·珠海期中）课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：
（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)．
若，设厘米，该水槽的横截面面积为厘米，请你写出关于的函数关系式(不必写出的取值范围)，并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)．
若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的的最大值比较大小．
（2）假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？
【答案】（1）解：方案①将二次函数的解析式由一般式化为顶点式可得：，
当时，取得最大值，最大值为；
②如图所示，过点作于，于，则，
设，梯形的面积为，则，
又∵，
∴，，，
；
当，
∵，
；
（2）解：由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①然后根据直角三角形的面积公式即可得出的函数关系式，根据将解析式化为顶点式，即可求出最值；
②过点作于，于，可设为那么也为可用正方形的边长求得．通过构建的直角三角形，用表示出和的长，求出的长，根据梯形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求出函数的最大值；
（）由（）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
（1）解：方案①，
当时，取得最大值，最大值为；
②如图所示，过点作于，于，则，
设，梯形的面积为，则，
又∵，
∴，，，
；
当，
∵，
；
（2）由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
二、行程问题
13．（2023九上·椒江月考）2022年大型客机取得合格证，客机着陆后滑行距离（单位：米）关于滑行时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为 秒．
【答案】18
【知识点】二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：∵，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，g有最大值，
∵飞机滑行到最大距离停下来，此时滑行的时间最长，
∴该飞机着陆后滑行最长时间为18秒．
故答案为：18．
【分析】先利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再结合二次函数的解析式可得当时，g有最大值，从而得解.
14．（2024·从江模拟）据统计，每年因汽车追尾而造成的交通事故占交通事故总数的以上注意车速，保持车距是行车安全中必须遵守的某公路上正在行驶的甲车，发现前方道路有一辆乙车并开始减速，减速后甲车行驶的路程单位：与时间单位：的关系如表所示．
时间单位：
行驶的路程单位：
（1）根据所得数据中甲车行驶的路程单位：与时间单位：的变化规律，利用初中所学函数知识求出与之间的函数关系式，并写出的值；
（2）若乙车因事故抛锚在距甲车米处，甲车是否会追尾抛锚的车辆？试说明理由；
（3）乙车以的速度匀速行驶，若要避免发生追尾事故，甲车至少在距离乙车多少米处开始刹车？
【答案】（1）解：由表格数据可知，是的二次函数，且其图象经过原点．
设、为常数，且．
将，和，分别代入，
得，
解得，
；
当时，；
与之间的函数关系式为，；
（2）解：甲车会追尾抛锚的车辆．理由如下：
，
当时，的最大值为，此时甲车停止前进，
，
甲车会追尾抛锚的车辆；
（3）解：设甲车在距离乙车米处开始刹车，经过甲车追上乙车．
当甲车追上乙车时，得，即，
当时，取最大值，的最大值为，
甲车至少在距离乙车米处开始刹车．
【知识点】二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由表格数据可知，s是t的二次函数，从而根据表格给出的数据，利用待定系数法可求出s关于t的函数解析式，进而将t=3代入算出对应的函数值，即可得出n的值；
（2）甲车会追尾抛锚的车辆．理由如下：将（1）所求的函数解析式配成顶点式可得当t=8时，s的最大值为64，此时甲车停止前进，再将64与50比大小即可得出结论；
（3）设甲车在距离乙车x米处开始刹车，经过ts甲车追上乙车，根据追及问题中的等量关系“甲车所行驶的距离=甲乙两车之间的距离+乙车行驶的距离”建立x关于t的函数解析式，再根据所建立的函数解析式的性质解题即可.
15．（2024九下·浉河模拟）综合与实践．
某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察，刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间 0 1 2 3
刹车后行驶的距离y 0 27 48 63
发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；
②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若汽车刹车后，行驶了多长距离；
（3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
【答案】（1）解：设y关于t的函数解析式为，
∵点在函数图象上，
∴，
解得：，
∴y关于t的函数解析式为；
（2）解：当时，
，
答：汽车刹车后，行驶了；
（3）解：不会．理由如下：
∵，
∴当时，y=75，
∴汽车刹车后行驶了，
∵，
∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设，根据点在函数图象上，得到关于a、b、c的方程组求解，再代回解析式中即可；
（2）求出时的函数值；
（3）把二次函数表达式转化为顶点式，求出最大值与80比较．
16．（2024·南宁月考）综合与实践
南宁轨道交通5号线（Nanning Rail Transit Metro Line 5)，是南宁市第五条建成运营的轨道交通线路，于2017年9月7日全线开工建设，于2021年12月16日开通运营一期工程（国凯大道站至金桥客运站)，南宁轨道交通5号线是广西首条采用全自动无人驾驶模式运行的地铁线路．数学小组成员了解到5号线地铁列车准备进入某站时在距离停车线256米处开始减速.他们想了解列车从减速开始，经过多少秒在停车线处停下？为解决这一问题，数学小组建立函数模型来描述地铁列车车头离停车线的距离s(米）与时间t(秒)的函数关系，再应用该函数解决相应问题.
【建立模型】
①收集数据
（秒） 0 4 8 12 16 20 24 …
（米） 256 196 144 100 64 36 16 …
②建立平面直角坐标系
为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．
③描点连线
④猜想模型
（1）请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接；
（2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 ▲ 函数图象（选填“一次、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式（不要求写出自变量取值范围）；
（3）【问题解决】
地铁从减速开始，经过多少秒在停车线处停下
（4）【拓展应用】已知5号地铁列车在该地铁站经历的过程如下：
进站：车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒；停靠：列车停靠时长为40秒（即列车停稳到再次启动停留的时间为40秒）；出站：列车再次启动到列车车头刚好出站，用时5秒．数学小组经计算得知，在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离（米）与时间（秒）的函数关系变为．
请结合以上信息，求出该地铁站的长度．
【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：二次；
设，
因为时，，所以，则．
把）和）代入，得
解得，
（3）解：在中，令，得，
解得，
地铁从减速开始，经过32秒在停车线处停下．
（4）解：由题意可得：地铁从减速开始，经过32秒在停车线处停下，车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒，
当时，由表格可知，进站口与停车线的距离为144（米），
在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离与时间（秒）的函数关系变为，
当时，，
该地铁站的长度为：（米）．
【知识点】二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（2） 根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的二次函数图象.
故答案为：二次.
【分析】（1）根据题意描点连线即可求解；
（2）根据函数的图象可知其可能是二次函数的图象，进而运用待定系数法求出二次函数的解析式即可求解；
（3）令s=0求出t即可求解；
（4）先根据题意得到地铁从减速开始，经过32秒在停车线处停下，车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒，进而根据表格得到当时，进站口与停车线的距离为144（米），在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离与时间（秒）的函数关系变为，计算出车头刚好出站时t的值，代入解析式即可求出s，从而即可求解。
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